搜索： a049458-编号：a049459
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A001550号
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| a（n）=1^n+2^n+3^n。
（原名M2580 N1020）
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+10
101
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3, 6, 14, 36, 98, 276, 794, 2316, 6818, 20196, 60074, 179196, 535538, 1602516, 4799354, 14381676, 43112258, 129271236, 387682634, 1162785756, 3487832978, 10462450356, 31385253914, 94151567436, 282446313698, 847322163876
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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0,1
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评论
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参考文献
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。1964年第55辑（以及各种重印本），第813页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。第55辑，第十次印刷，1972年[备选扫描件]。
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
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配方奶粉
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总尺寸：（3-12*x+11*x^2）/（1-6*x+11*x^2-6*x^3）。
a（n）=5*a（n-1）-6*a（n-2）+2。（结束）
例如：exp（x）+exp（2*x）+exp（3*x）-穆罕默德·阿扎里安2008年12月26日
a（0）=3，a（1）=6，a（2）=14，a（n）=6*a（n-1）-11*a（n-2）+6*a（n-3）-哈维·P·戴尔2011年4月30日
A000392号（n） =（3*a（n+1）-12*a（n）+10*a（n-1））/2。（结束）
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MAPLE公司
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数学
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表[1^n+2^n+3^n，{n，0，30}]
系数列表[级数[（3-12x+11x^2）/（1-6x+11x2-6x^3），{x，0，30}]，x]（*或*）线性递归[{6，-11，6}，{3，6，14}，31](*哈维·P·戴尔2011年4月30日*）
总计[范围[3]^#]&/@范围[0，30](*哈维·P·戴尔2019年9月23日*）
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黄体脂酮素
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（Haskell）a001550 n=总和$map（^n）[1..3]--莱因哈德·祖姆凯勒2012年3月1日
（岩浆）[0..30]]中的[1^n+2^n+3^n:n//韦斯利·伊万·赫特2020年6月25日
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交叉参考
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关键字
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非n,容易的,美好的
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作者
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经核准的
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1, 4, 20, 120, 840, 6720, 60480, 604800, 6652800, 79833600, 1037836800, 14529715200, 217945728000, 3487131648000, 59281238016000, 1067062284288000, 20274183401472000, 405483668029440000, 8515157028618240000, 187333454629601280000, 4308669456480829440000
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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3,2
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评论
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a（n）也是不相交循环的乘积，a（3）=1，a（4）=4，a（5）=20，置换分解中减少的3个循环数-文锦Woan2008年12月21日
a（n）是在三个不同的循环中具有1、2和3的n个置换的数量-杰弗里·克雷策，2009年4月26日
高阶指数积分E（x，m=1，n=4）~exp（-x）/x*（1-4/x+20/x^2-120/x^3+840/x^4-6720/x^5+60480/x^6-604800/x^7+…）的渐近展开导致了上述序列。请参见A163931号和A130534型了解更多信息。
（结束）
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参考文献
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N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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索马亚·巴拉蒂、贝塔·贝尼、阿巴斯·贾法扎德和丹尼尔·雅库比，混合限制斯特林数，arXiv:1812.02955[math.CO]，2018年。
D.S.Mitrinovic和R.S.Mitrinovic，斯特林名录贝尔格莱德大学。出版物。埃利克特罗恩。法克。序列号。材料Fiz。1962年第77期，77页。
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配方奶粉
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例如，如果偏移量为0:1/（1-x）^4。
G.f.:G（0）/2，其中G（k）=1+1/（1-x/（x+1/（k+4）/G（k+1）））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年6月1日
G.f.:W（0），其中W（k）=1-x*（k+4）/；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年8月26日
o.g.f.A（x）满足Riccati方程x^2*A'（x）+（4*x-1）*A（x”）+1=0。
G.f.作为S分数：A（x）=1/（1-4*x/（1-x/（1-5*x/。
A（x）=1/（1-3*x-x/（1-4*x/（1-2*x/。（结束）
和{n>=3}1/a（n）=6*e-15。
和{n>=3}（-1）^（n+1）/a（n）=3-6/e。（结束）
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MAPLE公司
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f:=进程（n）n/6; 结束；
BB:=[S，{S=Prod（Z，Z，C），C=并集（B，Z，Z），B=Prod（Z，C）}，标记]：seq（组合结构[计数]（BB，大小=n）/12，n=3..20）#零入侵拉霍斯2008年6月19日
G（x）：=1/（1-x）^4:f[0]：=G（x#零入侵拉霍斯2009年4月1日
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数学
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黄体脂酮素
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（岩浆）[因子（n）/6:n in[3..30]]//文森佐·利班迪2011年6月20日
（哈斯克尔）
a001715=（翻转分区6）。a000142号--莱因哈德·祖姆凯勒2014年8月31日
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交叉参考
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关键字
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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1, 3, 1, 9, 7, 1, 27, 37, 12, 1, 81, 175, 97, 18, 1, 243, 781, 660, 205, 25, 1, 729, 3367, 4081, 1890, 380, 33, 1, 2187, 14197, 23772, 15421, 4550, 644, 42, 1, 6561, 58975, 133057, 116298, 47271, 9702, 1022, 52, 1, 19683, 242461, 724260, 830845, 447195
(列表;桌子;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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3,2
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评论
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这是第二类r-Stirling数的r=3的情况。第二类3-Stirling数给出了将集合{1,2，…，n}划分为k个非空不相交子集的方法，限制了元素1，2和3属于不同的子集。有关一般情况的备注，请参见A143494号（r=2）。第一类3-斯特林数的对应数组是A143492号两种r-Stirling数的理论都是在[Broder]中发展起来的。有关3-Lah编号，请参阅143498英镑.
设D是导数算子D/dx，E是欧拉算子x*D/dx。那么x^（-3）*E^n*x^3=Sum_{k=0..n}T（n+3，k+3）*x^k*D^k。
生成多项式R_n（x）：=Sum_{k=3..n}T（n，k）*x^k满足R_（n+1）（x）=x*R_n。因此，多项式R_n（x）只有实数零（适用推论1.2）。（刘和王）。
与3-欧拉数E_3（n，j）的关系：=A144697号（n，j）：T（n，k）=（3！/k！）*和{j=n-k.n.n-3}E_3（n，j）*二项式（j，n-k）对于n>=k>=3。
（结束）
T（n，k）=S（n，k，3），n>=k>=3，在米哈伊洛夫的第一篇论文中，等式（28）或（A3）。例如，（A20）中k列的k->3，r->k。因此，在偏移量[0,0]的情况下，这个三角形是Sheffer三角形（exp（3*x），exp（x）-1），例如，第m列的f>=0:exp（3+x）*（（exp）-1）^m）/m！。请参阅下面给出的公式之一。有关Sheffer矩阵，请参阅下面的W.Lang链接A006232号带有S.Roman参考，也可在A132393号. -沃尔夫迪特·朗2011年9月29日
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链接
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安德烈·布罗德，r-Stirling数，报告编号：CS-TR-82-949，斯坦福大学计算机科学系；看见也，离散数学。49, 241-259 (1984).
A.Dzhumadildaev和D.Yeliussizov，有向图的路分解及其在Weyl代数中的应用，arXiv预印本arXiv:1408.6764v1[math.CO]，2014。[第1版包含许多对OEIS的引用，这些引用在第2版中被删除-N.J.A.斯隆2015年3月28日]
阿斯卡·朱马迪尔·达耶夫和达米尔·叶利乌西佐夫，行走、分区和正常排序《组合数学电子杂志》，22（4）（2015），#P4.10。
V.V.米哈伊洛夫，正规序和广义斯特林数，J.Phys A:数学。将军18（1985）231-235。
Michael J.Schlosser和Meesue Yoo，椭圆车号和文件号，《组合数学电子杂志》，24（1）（2017），#P1.31。
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配方奶粉
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T（n+3，k+3）=（1/k！）*和{i=0..k}（-1）^（k-i）*二项式（k，i）*（i+3）^n，n，k>=0。
T（n，k）=搅拌2（n，k）-3*搅拌2（n-1，k）+2*搅拌2。
递归关系：对于n>3，T（n，k）=T（n-1，k-1）+k*T；T（3,3）=1；当k>3时，T（3，k）=0。
特殊情况：T（n，3）=3^（n-3）；T（n，4）=4^（n-3）-3^（n-3）。
例如，（k+3）列（偏移量为3）：（1/k！）*exp（3x）*（exp（x）-1）^k。
O.g.f.第k列：和{n>=k}T（n，k）*x^n=x^k/（（1-3*x）*（1-4*x）*（1-k*x））。
例如：exp（3*t+x*（exp（t）-1））=和{n>=0}和{k=0..n}t（n+3，k+3）*x^k*t^n/n！=和{n>=0}B_n（3；x）*t^n/n！=1+（3+x）*t/1！+（9+7*x+x^2）*t^2/2！+。。。，其中，行多项式B_n（3；x）：=Sum_{k=0..n}T（n+3，k+3）*x^k可以称为3-贝尔多项式。
Dobinski类型恒等式：行多项式B_n（3；x）=exp（-x）*Sum_{i>=0}（i+3）^n*x^i/i！；求和{k=0..n}k*T（n+3，k+3）*x^k=Sum_{i>=0}（i+3）^n*x^i/（1+x）^（i+1）。
T（n，k）是下降阶乘和移位单项式（x+3）^（n-3）之间的连接系数。例如，9+7*x+x*（x-1）=（x+3）^2和27+37*x+12x*（x1）+x*。
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例子
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三角形开始
n\k|。。。。3....4....5....6....7....8
==================================
3..|....1
4..|....3....1
5.|。。。。9....7....1
6..|...27...37...12....1
7.|。。。81..175...97...18....1
8..|..243..781..660..205...25....1
...
T（5,4）=7。集合{1,2,3,4,5}可以划分为四个子集，使得1、2和3以7种方式属于不同的子集：{{1}{2}{3}{4,5{}、{{1{2}}{5}{3,4}}、}{1}}{2{4}{3,1}、{1,5}}和{{2}{3}{5}{1,4}}。
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MAPLE公司
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A143495号：=（n，k）->（1/（k-3）！）*加（（-1）^（k-i-1）*二项式（k-3，i）*（i+3）^(A143495号（n，k），k=3..n）结束do；
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数学
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nmax=12；t[n，k_]：=1/（k-3）！*和[（-1）^（k-j-1）*二项式[k-3，j]*（j+3）^，（n-3），{j，0，k-3}]；扁平[表[t[n，k]，{n，3，nmax}，{k，3，n}]](*Jean-François Alcover公司2011年12月7日，Maple之后*）
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黄体脂酮素
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（鼠尾草）
@缓存函数
定义斯特林2r（n，k，r）：
如果n<r：返回0
如果n==r：如果k==r否则为0，则返回1
返回斯特林2r（n-1，k-1，r）+k*斯特林2R（n-1、k，r）
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交叉参考
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关键字
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作者
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状态
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经核准的
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1, -1, 1, 0, -1, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -2, -1, 2, 1, 0, -6, -5, 5, 5, 1, 0, -24, -26, 15, 25, 9, 1, 0, -120, -154, 49, 140, 70, 14, 1, 0, -720, -1044, 140, 889, 560, 154, 20, 1, 0, -5040, -8028, -64, 6363, 4809, 1638, 294, 27, 1, 0, -40320, -69264, -8540, 50840, 44835, 17913, 3990, 510, 35, 1
(列表;桌子;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,12
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评论
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行多项式s（n，x）：=Sum_{j=0..n}T（n，k）*x^k满足risefac（x-1，n）=s（n、x），其中上升阶乘为risefca（x-1、n）：=Product_{j=0..n-1}（x-1+j），n>=1，risefac（x-1,0）=1。与公式risefac（x，n）=s1（n，x）和的行多项式s1（n，x）进行比较A132393号（未签名的斯特林1）。
这是下三角Sheffer阵列，例如f。
T（x，z）=（1-z）*exp（-x*log（1-z。请参阅下面的W.Lang链接A006232号Sheffer矩阵和罗马参考。在表示列f.s的符号中，这是Sheffer（1-z，-log（1-z））。在本影符号（参见罗马）中，这被称为Sheffer for（exp（t），1-exp（-t））。
行多项式满足s（n，x）=（x+n-1）*s（n-1，x），s。
行多项式也满足
s（n，x）-s（n，x-1）=n*s（n-1，x），n>1，s（0，x）=1
行多项式也满足（根据推论3.7.2）。罗马参考文献第50页）
s（n，x）=（x-1）*s（n-1，x+1），n>=1，s（0，n）=1。
指数卷积恒等式为
s（n，x+y）=Sum_{k=0..n}二项式（n，k）*s（k，y）*s1（n-k，x），
n>=0，对称x<->y。
当n=0时，行和为1，否则为0，交替行和为1,2,2，后跟零，例如f.（1-x）^2。
Sheffer a序列Sha（n）=A164555号（n）/A027642号（n） 例如f.x/（1-exp（-x）），z序列为Shz（n）=-1，例如f.-exp（x）。
逆Sheffer矩阵为（（-1）^（n-k））*A105794号（n，k），例如f.exp（z）*exp（x*（1-exp（-z）））。（结束）
此外，t在t*（t-1）*总和[（-1）^（n+m）t^（m-1）StirlingS1[n，m]，{m，n}]中的系数，其中t^k等于k时，给出n！，由此可知，第n行与[0，…，n]的点积等于（n-1）-沃特·梅森2012年5月15日
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参考文献
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S.Roman，《数学微积分》，学术出版社，纽约，1984年。
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链接
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Igor Victorovich Statsenko，关于广义特殊数三角形的序数《创新科学》第2-2期，国家Ufa出版社，埃特纳出版社，2024年，第15-19页。俄语。
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配方奶粉
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例如：（1-y）^（1-x）。
如果定义f（n，i，a）=Sum_{k=0..n-i}二项式（n，k）*Stirling1（n-k，i）*Product_{j=0..k-1}（-a-j），则|T（n，i）|=|f（n、i、-1）|，对于n=1,2，。。。；i=0…n-米兰Janjic2008年12月21日
T（n，k）=|S1（n-1，k-1）|-|S1=A132393号（n，k）（无符号Stirling1）。
递归：T（n，k）=T（n-1，k-1）+（n-2）*T（n-1，k），如果n>=k>=0；如果n<k，T（n，k）=0；T（n，-1）=0；T（0,0）=1。
例如，k列：（1-x）*（（-log（1-x））^k）/k！。（结束）
T（n，k）=和{i=0..n}二项式（n，i）*（n-i）*Stirling1（i，k）*TC（m，n，i），其中TC（m，n，k）=Sum_{i=0..n-k}二项式（n+1，n-k-i）*Stirling2（i+m+1，i+1）*（-1）^i，m=1，n>=0。请参见A130534型,A370518型对于m=0和m=2-伊戈尔·维克托维奇·斯塔森科2024年2月27日
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例子
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三角形开始
1;
-1, 1;
0, -1, 1;
0, -1, 0, 1;
0, -2, -1, 2, 1;
0, -6, -5, 5, 5, 1;
0, -24, -26, 15, 25, 9, 1;
...
重复周期：
-2=T（4,1）=T（3,0）+（4-2）*T（3,1）=0+2*（-1）。
行多项式：
s（3，x）=-x+x^3=（x-1）*s1（2，x）=（x-l）*（x+x*2）。
s（3，x）=（x-1）*s（2，x+1）=（x-1）*（-（x+1）+（x+1）^2）。
s（3，x）-s（3，x-1）=-x+x^3-（-（x-1）+（x-1，^3）=3*（-x+x2）=3*s（2，x）。
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MAPLE公司
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A094645号_行：=n->seq（（-1）^（n-k）*coeff（展开（pochhammer（x-n+2，n）），x，k），k=0..n）：seq（打印(A094645号_行（n）），n=0..6）#彼得·卢什尼2013年5月16日
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数学
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t[n，k]/；n>=k>=0：=t[n，k]=t[n-1，k-1]+（n-2）*t[n-1，k]；t[n，k]/；n<k=0；t[_，-1]=0；t[0,0]=1；扁平[表[t[n，k]，{n，0，10}，{k，0，n}]](*Jean-François Alcover公司2011年9月29日，复发后*）；
表[系数列表[t*（t-1）*总和[（-1）^（n+m）*t^（m-1）*StirlingS1[n，m]，{m，n}]，t]，{n，1，7}](*沃特·梅森2012年5月15日*）
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交叉参考
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关键字
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作者
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状态
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经核准的
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1, -4, 1, 20, -9, 1, -120, 74, -15, 1, 840, -638, 179, -22, 1, -6720, 5944, -2070, 355, -30, 1, 60480, -60216, 24574, -5265, 625, -39, 1, -604800, 662640, -305956, 77224, -11515, 1015, -49, 1, 6652800, -7893840, 4028156, -1155420, 203889
(列表;桌子;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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a（n，m）=^4P_n^m，用a（0,0）：=1表示给定引用。
一元行多项式s（n，x）：=和（a（n，m）*x^m，m=0..n），即s（n、x）=积（x-（4+k），k=0..n-1），n>=1和s（0，x）=1满足s（n），x+y）=和（二项式（n，k）*s（k，x）*S1（n-k，y），k=0..n(A008275号（n，m）*x^m，m=1..n）和S1（0，x）=1。
在本影演算中（参见中给出的S.Roman参考A048854号)s（n，x）多项式称为（exp（4*t），exp（t）-1）的Sheffer。
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参考文献
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米特里诺维奇，D.S。；米特里诺维奇，R.S。；表aux d’une class de nombres依赖于aux nombres-de Stirling。贝尔格莱德大学。普比。埃利克特罗恩。法克。序列号。材料Fiz。1962年第77期，77页。
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链接
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配方奶粉
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a（n，m）=a（n-1，m-1）-（n+3）*a（n-1，m），n>=m>=0；a（n，m）：=0，n<m；a（n，-1）：=0，a（0，0）=1。例如，对于有符号三角形的第m列：（log（1+x））^m）/（m！*（1+x）^4）。
三角形（有符号）=[-4，-1，-5，-2，-6，-3，-7，-4，-8，…]三角形[1，0，1，0，0，…]；三角形（无符号）=[4，1，5，2，6，3，7，4，8，5，…]DELTA[1，0，1，0，1,0，1,0，…]；其中DELTA是Deléham的运算符，定义于A084938号（中的未签名版本143493英镑).
如果我们定义f（n，i，a）=和（二项式（n，k）*stirling1（n-k，i）*乘积（-a-j，j=0..k-1），k=0..n-i），那么T（n，i）=f（n、i、4），对于n=1,2，。。。；i=0…n-米兰Janjic2008年12月21日
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例子
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1;
-4, 1;
20, -9, 1;
-120, 74, -15, 1;
840, -638, 179, -22, 1;
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MAPLE公司
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A049459号_行：=n->seq（（-1）^（n-k）*系数（展开（pochhammer（x+4，n）），x，k），k=0..n）：seq（打印(A049459美元_行（n）），n=0..8）#彼得·卢什尼2013年5月16日
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数学
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a[n，m]/；0<=m<=n:=a[n，m]=a[n-1，m-1]-（n+3）*a[n-1，m]；
a[n，m]/；n<m=0；
a[_，-1]=0；a[0,0]=1；
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a049459 n k=a049459_tabl！！不！！k个
a049459_row n=a049459 _ tabl！！n个
a049459_tabl=映射fst$迭代（\（行，i）->
（zipWith（-）（[0]++行）$map（*i）（行++[0]），i+1））（[1]，4）
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交叉参考
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经核准的
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1、3、1、12、7、1、60、47、12、1、360、342、119、18、1、2520、2754、1175、245、25、1、20160、24552、12154、3135、445、33、1、181440、241128、133938、40369、7140、742、42、1、1814400、2592720、1580508、537628、111769、14560、1162、52、1、19958400
(列表;桌子;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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3,2
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评论
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请参见A049458号用于此数组的签名版本。第一类无符号3-Stirling数将集合{1,2，…，n}的置换计数为k个不相交的循环，限制元素1、2和3属于不同的循环。这是第一类无符号r-Stirling数的r=3的情况。其他情况参见abs(A008275号)（r=1），A143491号（r=2）和143493英镑（r=4）。请参见A143495号对应的第二类3-斯特林数。两种r-Stirling数的理论都是在[Broder]中发展起来的。有关相关3-Lah编号的详细信息，请参见A143498号.
当偏移量n=0且k=0时，这是谢弗三角形（1/（1-x）^3，-log（1-x））（在S.Roman书的本影符号中，这将被称为谢弗（exp（-3*t），1-exp（-t））。参见下面给出的示例f。也可与例如f.的签名版本进行比较A049458号. -沃尔夫迪特·朗2011年10月10日
偏移量n=0且k=0：三角形T（n，k），按行读取，由（3,1,4,2,5,3,6,4,7,5,8,6，…）DELTA（1,0,1,0,0,1,0,1,1,0，…）给出，其中DELTA是在A084938号. -菲利普·德尔汉姆2011年10月31日
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链接
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阿斯卡·朱马迪尔·达耶夫和达米尔·叶利乌西佐夫，行走、分区和正常排序《组合数学电子杂志》，22（4）（2015），#P4.10。
Michael J.Schlosser和Meesue Yoo，椭圆车号和文件号，《组合数学电子杂志》，24（1）（2017），#P1.31。
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配方奶粉
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T（n，k）=（n-3）！*求和{j=k-3..n-3}C（n-j-1,2）*|斯特林1（j，k-3）|/j！。
递归关系：T（n，k）=T（n-1，k-1）+（n-1）*T（n-1，k）对于n>3，边界条件为：T（n,2）=T（2，n）=0，对于所有n；T（3,3）=1；当k>3时，T（3，k）=0。
特殊情况：
T（n，3）=（n-1）/2! 对于n>=3。
T（n，4）=（n-1）/2!*（1/3+…+1/（n-1）），对于n>=3。
T（n，k）=和{3<=i_1<…<i_（n-k）<n}（i_1*i_2*…*i_（n-k））。例如，T（6,4）=Sum_{3<=i<j<6}（i*j）=3*4+3*5+4*5=47。
行g.f.：求和{k=3..n}T（n，k）*x^k=x^3*（x+3）*（x+4）**（x+n-1）。
例如，对于列（k+3）：求和{n=k..inf}T（n+3，k+3，*x^n/n！=1/k*1/（1-x）^3*（log（1/（1-x））^k。
例如：（1/（1-t））^（x+3）=和{n=0..inf}和{k=0..n}t（n+3，k+3）*x^k*t^n/n！=1+（3+x）*t/1！+（12+7*x+x^2）*t^2/2！+。。。。
如果我们定义f（n，i，a）=和（二项式（n，k）*斯特林1（n-k，i）*积（-a-j，j=0..k-1），k=0..n-i），那么T（n，i）=|f（n、i、3）|，对于n=1,2，。。。；i=0…n-米兰Janjic2008年12月21日
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例子
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三角形开始
n\k|。。。。。3.....4.....5.....6.....7.....8
========================================
3..|.....1
4..|.....3.....1
5..|....12.....7.....1
6..|....60....47....12.....1
7..|...360...342...119....18.....1
8..|。。2520..2754..1175...245....25.....1
...
T（5,4）=7。{1,2,3,4,5}具有4个循环的置换，使得1、2和3属于不同的循环：（14）（2）（3）（5）、（15）（2。
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MAPLE公司
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组合：T:=（n，k）->（n-3）！*加法（二项式（n-j-1，2）*abs（stirling1（j，k-3））/j！，j=k-3..n-3）：对于n从3到12 do seq（T（n，k），k=3..n）end do；
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交叉参考
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关键字
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作者
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状态
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经核准的
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1, -10, 1, 110, -21, 1, -1320, 362, -33, 1, 17160, -6026, 791, -46, 1, -240240, 101524, -17100, 1435, -60, 1, 3603600, -1763100, 358024, -38625, 2335, -75, 1, -57657600, 31813200, -7491484, 976024, -75985, 3535, -91, 1, 980179200, -598482000, 159168428, -24083892, 2267769, -136080, 5082, -108, 1
(列表;桌子;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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a（n，m）=^10P_n^m，用a（0,0）：=1表示给定引用。一元行多项式s（n，x）：=和（a（n，m）*x^m，m=0..n），即s（n、x）=积（x-（10+k），k=0..n-1），n>=1和s（0，x）=1满足s（n），x+y）=和（二项式（n，k）*s（k，x）*S1（n-k，y），k=0..n(A008275号（n，m）*x^m，m=1..n）和S1（0，x）=1。在本影演算中（参见中给出的S.Roman参考A048854号)s（n，x）多项式被称为（exp（10*t），exp（t）-1）的Sheffer。
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链接
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D.S.Mitrinovic、M.S.Mitrinovic、，斯特林名录贝尔格莱德大学。Pubi公司。埃利克特罗恩。法克。序列号。材料Fiz。77 (1962).
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配方奶粉
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a（n，m）=a（n-1，m-1）-（n+9）*a（n-1,m），n>=m>=0；a（n，m）：=0，n<m；a（n，-1）：=0，a（0，0）=1。
例如，对于有符号三角形的第m列：（（log（1+x））^m）/（m！*（1+x）^10）。
三角形（有符号）=[-10，-1，-11，-2，-12，-3，-13，-14，-4，…]三角形A000035号; 三角形（无符号）=[10，1，11，2，12，3，13，4，14，5，15，…]三角形A000035号; 其中DELTA是Deléham的运算符，定义于A084938号.
如果我们定义f（n，i，a）=和（二项式（n，k）*stirling1（n-k，i）*乘积（-a-j，j=0..k-1），k=0..n-i），那么T（n，i）=f（n、i、10），对于n=1,2，。。。；i=0…n-米兰Janjic2008年12月21日
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例子
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{1}; {-10,1}; {110,-21,1}; {-1320,362,-331}; ... s（2，x）=110-21*x+x^2；S1（2，x）=-x+x^2（箍筋1）。
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数学
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a[n_，m_]：=Pochhammer[m+1，n-m]系列系数[Log[1+x]^m/（1+x）^10，{x，0，n}]；
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a051523 n k=a051523_tabl！！不！！k个
a051523_row n=a051523-tabl！！n个
a051523_tabl=映射fst$迭代（\（行，i）->
（zipWith（-）（[0]++行）$map（*i）（行++[0]），i+1））（[1]，10）
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交叉参考
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关键字
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作者
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状态
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经核准的
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1, -2, 1, 2, -3, 1, 0, 2, -3, 1, 0, 2, -1, -2, 1, 0, 4, 0, -5, 0, 1, 0, 12, 4, -15, -5, 3, 1, 0, 48, 28, -56, -35, 7, 7, 1, 0, 240, 188, -252, -231, 0, 42, 12, 1, 0, 1440, 1368, -1324, -1638, -231, 252, 114, 18, 1, 0, 10080, 11016, -7900, -12790, -3255, 1533, 1050, 240, 25, 1
(列表;桌子;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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三角形T（n，k），0<=k<=n，按行读取，由[-2，1，-1，2，0，3，1，4，2，5，…]DELTA[1，0，1，0，1，1，0，0，1，1，0，…]给出，其中DELTA是A084938号. -菲利普·德尔汉姆2006年8月23日
行多项式s（n，x）：=Sum_{k=0..n}T（n，k）*x^k满足risefac（x-2，n）=s（n、x），其中上升阶乘为risefca（x-2、n）：=Product_{j=0..n-1}（x-2+j），n>=1，risefac（x-2,0）=1。将其与公式risefac（x，n）=|S1|（n，x）以及A132393号（无符号Stirling1）。
这是Sheffer数组a族的第三个三角形，称它们为|S1|（a），例如，行多项式的f.为|S1 |（a；x；z）=（（1-z）^a）*exp（-x*log（1-z））。在表示列f.s的符号中，这是Sheffer（（1-z）^a，-log（1-z））。在本影符号中（参见罗马参考，在A094645号)这被称为Sheffer for（exp（a*t），1-exp（-t））。对于a=0，这将成为无符号Stirling1三角形|S1|（0）=A132393号行多项式|S1|（0；n，x）=：S1（n，x。
例如，列号k（带前导零）：（（1-x）^a）*（（-log（1-x，）^k）/k！，k>=0。
例如，行和的f.为（1-x）^（a-1），交替行和的f为（1-x^（a+1）。
行多项式递归：
|S1|（a；n，x）=（x+（n-1-a））*|S1|。
|S1|（a；n，x）-|S1|（b；n，x-1）=n*|S1|[a；n-1，x），n>=1，
同样（根据罗马参考文献第50页的推论3.7.2）：|S1|（a；n，x）=（x-a）*|S1|（a；n-1，x+1），n>=1。
递归：|S1|（a；n，k）=|S1||如果n<m，|S1|（a；n，-1）=0，|S1 |（a，n-0）=1，则S1|（b；n，k）=0。
连接至|Stirling1|=|S1|（0）：
|S1|（a；n，k）=和{p=0..a}|S1|（a；a，p）*abs（斯特林1（n-a，k-p）），n>=a。
指数卷积恒等式为
|S1|（a；n，x+y）=和{k=0..n}二项式（n，k）*|S1|（b；k，y）*S1（n-k，x），n>=0，具有对称性x<->y。
Sheffer a序列和z序列是（参见下面的W.Lang链接A006232号)：Sha（a；n）=A164555号（n）/A027642号（n） （与a无关），例如f.x/（1-exp（-x）），z序列具有e.g.f.（exp（a*x）-1）/（exp。
逆Sheffer矩阵有f.exp（a*z）*exp（x*（1-exp（-z），
（或本影符号（（1-t）^a，-log（1-t，）））。
（结束）
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链接
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配方奶粉
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例如：（1-y）^（2-x）。
和{k=0..n}T（n，k）*x^k=A000007号（n） ，A000142号（n） ，A000142号（n+1），2017年10月（n+2），A001715号（n+3），A001720号（n+4）中，A001725号（n+5），A001730号（n+6），A049388美元（n） ，A049389号（n） ，A049398号（n） ，A051431号（n） x=2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13-菲利普·德尔汉姆2007年11月13日
如果我们定义f（n，i，a）=Sum_{k=0..n-i}二项式（n，k）*Stirling1（n-k，i）*Product_{j=0..k-1}（-a-j），那么|T（n，i）|=|f（n，i，-2）|，对于n=1,2，。。。；i=0…n-米兰Janjic2008年12月21日
risefac（x-2，n）=Sum_{k=0..n}T（n，k）*x^k，n>=0，带递增阶乘（参见上面的注释）。
递归：T（n，k）=T（n-1，k-1）+（n-3）*T（n-1，k）；如果n<m，T（n，k）=0，T（n-1）=0；T（0,0）=1。
T（n，k）=2*abs（S1（n-2，k））-3*abs=A048994号（n，k）。
例如，列号k（带前导零）：
（（1-x）^2）*（（-log（1-x））^k）/k！，k>=0。
例如，行总和为1-x，即[1，-1,0,0，…]，
交替行和的例如f.是（1-x）^3。即[1，-3,3,1,0,0，…]。（结束）
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例子
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三角形开始
1;
-2, 1;
2, -3, 1;
0, 2, -3, 1;
0, 2, -1, -2, 1;
0, 4, 0, -5, 0, 1;
...
立管系数（x-2,3）=（x-2）*（x-1）*x=2*x-3*x^2+x^3。
-1=T（4,2）=T（3,1）+1*T（3,2）=2+（-3）。
T（4,3）=2*abs（S1（2,3））-3*abs。
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MAPLE公司
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A094646号_行：=n->seq（（-1）^（n-k）*系数（展开（pochhammer（x-n+3，n）），x，k），k=0..n）：seq（打印(A094646号_行（n）），n=0..6）#彼得·卢什尼2013年5月16日
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数学
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交叉参考
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关键字
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1
(列表;桌子;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,1
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评论
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参考文献
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Das、Sajal K.、Joydep Ghosh和Narsingh Deo。《斯特林网络：多处理器系统的通用组合拓扑》，《离散应用数学》37（1992）：119-146。见第122页-N.J.A.斯隆2014年11月20日
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链接
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配方奶粉
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T（n，k）=A087748号（n，k）=A008275号（n，k）模块2=A047999号（[n/2]，k-[（n+1）/2]）=T（n-2，k-2）XOR T（n-2,k-1），T（1,1）=T；T（2n，k）=T（2n-1，k-1）异或T（2n-1，k）；T（2n+1，k）=T（2n，k-1）-亨利·博托姆利2003年12月1日
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例子
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三角形开始：
1
1 1
0 1 1
0 1 0 1
0 0 1 0 1
0 0 1 1 1 1
0 0 0 1 1 1 1
0 0 0 1 0 0 0 1
0 0 0 0 1 0 0 0 1
0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1
0 0 0 0 0 1 1 0 1 1
0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1
0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1
0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
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黄体脂酮素
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（PARI）p=2；s=14；S1T=矩阵（s，s，n，k，如果（k==1，（-1）^（n-1）*（n-1！））；对于（n=2，s，对于（k=2，n，S1T[n，k]=-（n-1）*S1T[n-1，k]+S1T[n-1，k-1]））；
S1TMP=矩阵（s，s，n，k，S1T[n，k]%p）；
对于（n=1，s，对于（k=1，n，print1（S1TMP[n，k]，“”））；打印（））/*杰拉尔德·麦卡维2009年10月17日*/
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关键字
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1、3、3、5、5、15、17、17、51、51、85、85、255、255、257、257、771、771、1285、1285、3855、3855、4369、4369、13107、13107、21845、21845、65535、65535、65535、65537、196611、196611、327685、327685、983055、983055、1114129、1114129
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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交叉参考
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基础,容易的,非n,较少的
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