搜索: a048989-编号:a0489899
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A000720号
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| pi(n),素数<=n。有时称为PrimePi(n。。。 (原名M0256 N0090)
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+10 1879
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0, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 17, 17, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 19, 19, 19, 19, 20, 20, 21, 21, 21, 21, 21, 21
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,3
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评论
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将2n划分为两个部分的数量,其中两个部分为素数最小的部分-韦斯利·伊万·赫特2013年7月20日
等效于黎曼假设:abs(a(n)-li(n))<sqrt(n)*log(n)/(8*Pi),对于n>=2657,其中li(n)是对数积分(Lowell Schoenfeld)-伊利亚·古特科夫斯基2016年7月5日
Hardy-Littlewood的第二个猜想是,对于整数x和最小值为{x,y}>=2的y,π(x)+pi(y)>=pi(x+y),已知它适用于足够大的(x,y)(Udrescu 1975)-彼得·卢什尼2021年1月12日
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参考文献
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Tom M.Apostol,《解析数论导论》,Springer-Verlag,1976年,第8页。
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Richard Crandall和Carl Pomerance,《素数:计算视角》,Springer,NY,2001年;见第5页。
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G.J.O.Jameson,素数定理,剑桥。大学出版社,2003年。[另请参阅D.M.Bressoud的评论(链接如下)。]
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N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
Gerald Tenenbaum和Michel Mendès France,《素数及其分布》,AMS Providence RI出版社,1999年。
V.Udrescu,关于猜想pi(x+y)<=pi(x)+pi(y)的一些注记。数学。Pures应用程序。20 (1975), 1201-1208.
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链接
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。,数学函数手册,国家标准局,应用数学。第55辑,第十次印刷,1972年[备选扫描件]。
保罗·贝特曼和哈罗德·戴蒙德,素数的百年阿默尔。数学。月份。,第103卷,第9期(1996年11月),第729-741页,MAA华盛顿特区。
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大英百科全书,素数定理[web.archive.org的一份不再提供的百科全书文章个人副本]
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约翰·洛奇,素数的分布,B.S.本科生数学交换,第3卷,第1期(2005年秋季)。
西蒙·普劳夫,盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》,1992年;arXiv:0911.4975[math.NT],2009年。
J.Barkley Rosser,一些素数函数的显式界《美国数学杂志》,第63卷,第1期(1941年),第211-232页。
J.Barkley Rosser和Lowell Schoenfeld,一些素数函数的近似公式,伊利诺伊州。数学。6 (1962) 64-94.
J.Barkley Rosser和Lowell Schoenfeld,一些素数函数的近似公式(扫描古代带注释影印件中的一些关键页面)。
塞巴斯蒂安·马丁·鲁伊斯和乔纳森·索多,π(n)和第n素数的公式,arXiv:math/0210312[math.NT],2002年,2014年。
伊戈尔·图尔卡诺夫,素数计数函数,arXiv:1603.02914[math.NT],2016年。
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配方奶粉
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素数定理给出了a(n)~n/log(n)的渐近表达式。
对于x>1,pi(x)<(x/log x)*(1+3/(2 log x))。对于x>=59,pi(x)>(x/log x)*(1+1/(2 log x))。[Rosser和Schoenfeld]
对于x>=355991,pi(x)<(x/log(x。对于x>=599,pi(x)>(x/log(x。[杜萨特]
对于x>=55,x/(log(x)+2)<pi(x,<x/(对数(x)-4)。[罗瑟]
对于n>=33,a(n)=1+和{j=3..n}((j-2)!-j*地板((j-2)/j) )(哈代和赖特);对于n>=1,a(n)=n-1+总和{j=2..n}(floor(2-总和{i=1..j}(loor(j/i)-地板(j-1)/i))(Ruiz和Sondow 2000)-贝诺伊特·克洛伊特2003年8月31日
设pf(n)表示整数n的素因子集,则a(n)=card(pf(n!/floor(n/2)!)-彼得·卢什尼2011年3月13日
a(n)=(1/2)*Sum_{p<=n}(μ(p)*d(p)*sigma(p)*phi(p))+Sum_{p<=n}p^2-韦斯利·伊万·赫特,2013年1月4日
a(n)=n/(log(n)-1-和{k=1..m}A233824型(k) /log(n)^k+O(1/log(n-乔纳森·桑多2013年12月19日
a(n)=总和{j=2..n}H(-sin^2(Pi*(Gamma(j)+1)/j)),其中H(x)是Heaviside阶跃函数,取H(0)=1-凯沙夫·拉加万2016年6月18日
a(n)=和{m=1..n}A137851号(m) /m*H(楼层(n/m)),其中H(n)=和{m=1..n}1/m是调和数函数。
(结束)
Sum_{k=2..n}1/a(k)~(1/2)*log(n)^2+O(log(n))(de Koninck和Ivić,1980)-阿米拉姆·埃尔达尔2021年3月8日
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例子
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有3个素数<=6,即2、3和5,因此pi(6)=3。
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MAPLE公司
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数学
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数组[PrimePi[#]&,100]
累加[Table[Boole[PrimeQ[n]],{n,100}]](*哈维·P·戴尔2015年1月17日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)向量(300,j,素数(j))\\乔格·阿恩特2008年5月9日
(鼠尾草)[范围(1,79)内n的prime_pi(n)]#零入侵拉霍斯,2009年6月6日
(岩浆)[1..200]]中的[#PrimesUpTo(n):n//布鲁诺·贝塞利2011年7月6日
(哈斯克尔)
a000720 n=a000720_列表!!(n-1)
a000720_list=扫描1(+)a010051_list--莱因哈德·祖姆凯勒2011年9月15日
(Python)
从sympy导入primepi
对于范围(1100)中的n:打印(primepi(n),end=',')#斯特凡诺·斯佩齐亚2018年11月30日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A048989号,A000040型,A132090型,A137588型,A139328号,A104272号,A143223号,A143224号,A143225号,A143226号,A143227号.
囊性纤维变性。143538英镑,A036234号,A033844号,A034387号,A034386号,A179215号,A010051型,A212210型-A212213型,A233824型,A056171号,A304483型.
囊性纤维变性。A036378号:2的幂之间的素数p,2^n<p<=2^(n+1)。
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关键字
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非n,核心,容易的,美好的
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作者
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扩展
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编辑人M.F.哈斯勒,2018年4月27日和2018年12月21日(恢复链接)
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状态
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经核准的
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1, 2, 7, 8, 9, 10, 13, 14, 15, 16, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 37, 38, 39, 40, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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链接
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数学
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选择[范围[100]!PrimeQ[PrimePi[#]]&](*哈维·P·戴尔2019年5月6日*)
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关键字
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容易的,非n
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作者
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