搜索: a048601-编号:a048600
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1, 3, 14, 105, 1287, 26026, 873392, 48825972, 4559177300, 712438499850, 186574469114250, 81973527087903750, 60475684628083567500, 74966560165861256115000, 156232609877290216839177600
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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链接
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配方奶粉
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a(n)~Pi^(1/3)*exp(1/36)*3^(3*n^2/2-3*n+47/36)*n^(31/36)/(a^(1/3)*Gamma(1/3,^(2/3)*2^(2*n^2-4*n+31/12)),其中a是Glaisher-Kinkelin常数A074962号. -瓦茨拉夫·科特索维奇2017年10月26日
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数学
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表[n*(2*n-3)!/(n-2)!*乘积[(3*k+1)!/[(n+k)!),{k,0,n-2}],{n,2,20}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2017年10月26日*)
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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已批准
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A005130型
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| 罗宾斯数:a(n)=Product_{k=0..n-1}(3k+1)/(n+k)!;部分不超过n的下降平面隔板的数量;以及n X n交替符号矩阵(ASM)的数量。 (原名M1808)
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1, 1, 2, 7, 42, 429, 7436, 218348, 10850216, 911835460, 129534272700, 31095744852375, 12611311859677500, 8639383518297652500, 9995541355448167482000, 19529076234661277104897200, 64427185703425689356896743840, 358869201916137601447486156417296
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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也称为Andrews-Mills-Robbins-Rumsey数-N.J.A.斯隆2013年5月24日
交替符号矩阵是由0、1和-1组成的矩阵,这样(a)每行和每列的和为1;(b) 每行和每列中的非零项以符号交替出现。
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参考文献
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Miklos Bona,编辑,《枚举组合数学手册》,CRC出版社,2015年,第71、557、573页。
D.M.Bressoud,《证明与确认》,坎布。大学出版社,1999年;第4页A_n,第197页D_r。
C.Pickover,《心灵迷宫》,圣马丁出版社,纽约,1992年,第75章,第385-386页。
C.A.Pickover,《数字的奇迹》,“普林斯顿数字”,第83章,牛津大学出版社,纽约,2001年。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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T.Amdeberhan和V.H.Moll,平面分割的算术性质El.J.库姆。18(2)(2011)#P1。
E.Beyerstedt、V.H.Moll和X.Sun,ASM数的p-adic估计,J.国际顺序。14 (2011) # 11.8.7.
D.M.Bressoud和J.Propp,交替符号矩阵猜想的求解,通知Amer。数学。Soc.,46(1999年第6期),637-646。
H.Cheballah、S.Giraudo和R.Maurice,填充方阵上的组合Hopf代数结构,arXiv预印本arXiv:1306.6605[math.CO],2013-2015。
F.Colomo和A.G.Pronko,关于交替符号矩阵的精化3-计数,arXiv:math-ph/04040452004;应用数学进展34(2005)798。
J.de Gier,循环、匹配和交替符号矩阵,arXiv:math/021285[math.CO],2002-2003年。
P.Di Francesco、P.Zinn-Justin和J.-B.Zuber,某些平铺问题的行列式。。。,arXiv:math-ph/0410002,2004年。
D.D.Frey和J.A.Sellers,雅可比数与交替符号矩阵《整数序列杂志》第3卷(2000)#00.2.3。
迪伦·豪尔(Dylan Heuer)、切尔西·莫罗(Chelsey Morrow)、本·诺特布姆(Ben Noteboom)、萨拉·索尔杰姆(Sara Solhjem)、杰西卡·斯特里克(Jessica Striker)和科里·沃兰(Corey Vorland)。《链式排列和交替符号矩阵——受三人国际象棋启发》,《离散数学》340,第12期(2017):2732-2752。阿尔索arXiv公司:1611.03387.
G.Kuperberg,交替符号矩阵猜想的另一个证明,arXiv:math/9712207[math.CO],1997年;国际。数学。Res.Notices,第3号,(1996),139-150。
W.H.Mills、David P Robbins和Howard Rumsey Jr。,交替符号矩阵和下降平面划分J.组合理论系列。A 34(1983),第3期,340-359。MR0700040(85b:05013)。
C.皮克沃,心灵迷宫《纽约圣马丁出版社》,1992年,第75章,第385-386页。[带注释的扫描副本]
J.Propp等人,交替符号矩阵的多个面《离散数学与理论计算机科学学报》AA(DM-CCG),2001年,43-58。
A.V.拉祖莫夫和余。G.斯特罗加诺夫,自旋链与组合学,arXiv:cond-mat/0012141【cond-mat.stat-mech】,2000年。
D.P.Robbins,交替符号矩阵的对称类,arXiv:math/0008045[math.CO],2000年。
R.P.斯坦利,面包师关于平面分割的十几个猜想第285-293页,“Combinatoire Enumerative(蒙特利尔,1985)”,Lect。数学笔记。1234, 1986.
R.P.斯坦利,面包师关于平面分割的十几个猜想第285-293页,“Combinatoire Enumerative(蒙特利尔,1985)”,Lect。数学笔记。1234, 1986. 预打印。[带注释的扫描副本]
D.Zeilberger,交替符号矩阵猜想的证明,arXiv:math/9407211[math.CO],1994年。
D.Zeilberger,交替符号矩阵猜想的证明,Elec.J.Combin.,第3卷(第2期)(1996年),#R13。
D.Zeilberger,戴夫·罗宾斯的猜测艺术,申请中的高级。数学。34 (2005), 939-954. 该链接指向Doron Zeilberger主页上的一个版本。备份副本是在这里[仅pdf文件,无活动链接]
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配方奶粉
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a(n)=产品{k=0..n-1}(3k+1)/(n+k)!。
这个序列的“斯特林公式”是
a(n)~3^(5/36+(3/2)*n^2)/(2^(1/4+2*n^ 2)*n(5/36))*(exp(zeta'(-1))*gamma(2/3)^2/Pi)^(1/3)。
其结果与真实值非常接近:
1.0063254118710128, 2.003523267231662,
7.0056223910285915, 42.01915917750558,
429.12582410098327, 7437.518404899576,
218380.8077275304, 1.085146545456063*^7,
9.119184824937415*^8
(结束)
对于n>0,a(n)=3^(n-1/3)*BarnesG(n+1)*Barnes G(3*n)^(1/3)*Gamma(n)^(1/3)*Gamma-瓦茨拉夫·科特索维奇2021年3月4日
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例子
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G.f.=1+x+2*x^2+7*x^3+42*x^4+429*x^5+7436*x^6+218348*x^7+。。。
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MAPLE公司
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A005130型:=进程(n)局部k;mul((3*k+1)/(n+k)!,k=0..n-1);结束;
a_prox:=n->(2^(5/12-2*n^2)*3^(-7/36+1/2*(3*n^ 2))*exp(1/3*Zeta(1,-1))*Pi^(1/3))/(n^(3/36)*GAMMA(1/3)^(2/3))#彼得·卢什尼2014年8月14日
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数学
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f[n_]:=乘积[(3k+1)!/(n+k)!,{k,0,n-1}];表[f[n],{n,0,17}](*罗伯特·威尔逊v2004年7月15日*)
a[n_]:=如果[n<0,0,乘积[(3 k+1)!/(n+k)!,{k,0,n-1}]];(*迈克尔·索莫斯2015年5月6日*)
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黄体脂酮素
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(PARI){a(n)=如果(n<0,0,prod(k=0,n-1,(3*k+1)!/(n+k)!)}/*迈克尔·索莫斯2003年8月30日*/
(PARI){a(n)=my(a);如果(n<0,0,a=Vec((1-(1-9*x+O(x^(2*n)))^(1/3))/(3*x));matdet(矩阵(n,n,i,j,a[i+j-1]))/3^二项式(n,2)}/*迈克尔·索莫斯,2003年8月30日*/
(GAP)a:=列表([0..18],n->乘积([0..n-1],k->阶乘(3*k+1)/阶乘(n+k));;打印(a)#穆尼鲁·A·阿西鲁2019年1月2日
(Python)
从数学导入prod,阶乘
定义A005130型(n) :return prod(范围(n)中k的阶乘(3*k+1))#柴华武2022年2月2日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的,核心
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作者
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状态
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已批准
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A006366号
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| n立方体中的循环对称平面分区数;也就是2n X 2n半圈对称交替符号矩阵的数量除以n X n交替符号矩阵数量。 (原名M1529)
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+10 6
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1, 2, 5, 20, 132, 1452, 26741, 826540, 42939620, 3752922788, 552176360205, 136830327773400, 57125602787130000, 40191587143536420000, 47663133295107416936400, 95288872904963020131203520, 321195665986577042490185260608
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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在1995年的《整数序列百科全书》中,该序列出现了两次,即M1529和M1530。
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参考文献
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D.M.Bressoud,《证明与确认》,坎布。大学出版社,1999年;第198页的等式(6.7),除非给出的公式不正确。应该如图所示。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
R.P.Stanley,《一个面包师关于平面分割的十几个猜想》,第285-293页,“Combinatoire Enumerative(Montreal 1985)”,Lect。数学笔记。1234, 1986.
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链接
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W.F.Lunnon,帕斯卡矩阵,光纤。夸脱。第15卷(1977年)第201-204页。
R.P.斯坦利,面包师关于平面分割的十几个猜想第285-293页,“Combinatoire Enumerative(蒙特利尔,1985)”,Lect。数学笔记。1234, 1986. 预打印。[带注释的扫描副本]
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配方奶粉
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a(n)=产品{i=1..n}((3*i-1)/(3*i-2))*产品{j=i.n}。
a(n)~exp(1/36)*GAMMA(1/3)^(4/3)*n^(7/36)*3^(3*n^2/2+11/36)/(a^(1/3)*Pi^(2/3)*2^(2*n^2+7/12)),其中a=A074962号=1.2824271291…是Glaisher-Kinkelin常数-瓦茨拉夫·科特索维奇2015年3月1日
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MAPLE公司
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A006366号:=proc(n)局部i,j;mul((3*i-1)*mul(n+i+j-1)/(2*i+j-1),j=i。。n) /(3*i-2),i=1。。n) 结束;
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数学
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表[产品[(3i-1)/(3i-2)产品[(n+i+j-1)/(2i+j-1],{j,i,n}],{i,n{],{n,0,20}](*哈维·P·戴尔,2013年4月17日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)a(n)=产品(i=0,n-1,(3*i+2)*(3*i)/(n+i)!)
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交叉参考
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关键词
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非n,美好的,容易的
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作者
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状态
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已批准
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2, 2, 3, 2, 4, 5, 2, 5, 9, 7, 2, 6, 14, 16, 9, 2, 7, 20, 30, 25, 11, 2, 8, 27, 50, 55, 36, 13, 2, 9, 35, 77, 105, 91, 49, 15, 2, 10, 44, 112, 182, 196, 140, 64, 17, 2, 11, 54, 156, 294, 378, 336, 204, 81, 19, 2, 12, 65, 210, 450, 672, 714, 540, 285, 100, 21, 2, 13, 77, 275, 660, 1122
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,1
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参考文献
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D.M.Bressoud,《证明与确认》,坎布。大学出版社,1999年;第6页上的三角形,分母。
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链接
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例子
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三角形开始:
2;
3, 2;
4, 5, 2;
5, 9, 7, 2;
6, 14, 16, 9, 2;
7, 20, 30, 25, 11, 2;
...
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交叉参考
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关键词
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作者
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扩展
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状态
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已批准
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2, 2, 3, 2, 5, 4, 2, 7, 9, 5, 2, 9, 16, 14, 6, 2, 11, 25, 30, 20, 7, 2, 13, 36, 55, 50, 27, 8, 2, 15, 49, 91, 105, 77, 35, 9, 2, 17, 64, 140, 196, 182, 112, 44, 10, 2, 19, 81, 204, 336, 378, 294, 156, 54, 11, 2, 21, 100, 285, 540, 714, 672, 450, 210, 65, 12, 2, 23, 121, 385
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,1
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参考文献
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D.M.Bressoud,《证明与确认》,坎布。大学出版社,1999年;第6页的三角形,分子。
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链接
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配方奶粉
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a(n,k)=(二项式(n+2,k+1)+二项式(n+1,k)+二项式(n,k)-二项式(n,k+1))/2。
a(n,k)=二项式(n-1,k-1)+二项式。(结束)
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例子
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三角形开始:
2;
2, 3;
2, 5, 4;
2, 7, 9, 5;
2, 9, 16, 14, 6;
2, 11, 25, 30, 20, 7;
...
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数学
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表[(二项式[n+2,k+1]+二项式[n+1,k]+二项式[n,k]-二项式(n,k+1))/2,{n,0,11},{k,0,n}]//展平(*迈克尔·德弗利格,2018年6月29日*)
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交叉参考
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关键词
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作者
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扩展
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状态
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已批准
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1, 1, 1, 2, 5, 2, 9, 36, 36, 9, 90, 495, 855, 495, 90, 2025, 14175, 34830, 34830, 14175, 2025, 102060, 867510, 2776032, 4082400, 2776032, 867510, 102060
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,4
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评论
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精确定义见Mills等人,第353-354页和第359页。截至1983年,这些数字的公式尚不清楚。
这些是ASM的二元生成函数的值,通过等于-1的条目数和第一行中的位置1表示(参见示例部分)。这里选择权重x=3,给出n x n ASM的3个枚举的分解。
作为多项式系数的三角形,A210697型具有与第(2n+1)行和第n行相关的有趣属性(见Mills等人,第359页)。
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链接
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W.H.Mills、David P Robbins、Howard Rumsey Jr.、。,交替符号矩阵和下降平面划分J.组合理论系列。A 34(1983),第3期,340-359。MR0700040(85b:05013)。见第359页。
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例子
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作为多项式表的二元g.f。
(x度是ASM中-1个条目的计数)
设置x=k给出ASM的k枚举
n个
1 | 1
2 | 1, 1
3|2,2+x,2
4|6+x,6+7*x+x^2,6+7*x+x2,6+x
5|24+16*x+2*x^2,24+52*x+26*x^2+3*x^3,24+64*x+38*x^1+
|8*x^3+x^4,24+52*x+26*x^2+3*x^3,24+16*x+2*x^2
...
三角形开始:
n个
1 | 1
2 | 1 1
3 | 2 5 2
4 | 9 36 36 9
5 | 90 495 855 495 90
6 | 2025 14175 34830 34830 14175 2025
...
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交叉参考
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关键词
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作者
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扩展
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状态
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已批准
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1, 2, 4, 11, 53, 482, 7918, 226266, 11076482, 922911942, 130457184642, 31226202037017, 12642538061714517, 8652026056359367017, 10004193381504526849017, 19539080428042781631746217
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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Robbins数的部分和。部分不超过n的下降平面分区数的部分和。n×n交替符号矩阵(ASM)数的部分总和。在2,11,53之后,这个部分和什么时候又是素数,因为它不是通过a(32)的素数?
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链接
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配方奶粉
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a(n)~Pi^(1/3)*exp(1/36)*3^(3*n^2/2-7/36)/(a^(1/3)*Gamma(1/3,^(2/3)*n^(5/36)*2^(2*n^2-5/12)),其中a是Glaisher-Kinkelin常数A074962号. -瓦茨拉夫·科特索维奇2017年10月26日
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例子
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a(17)=1+1+2+7+42+429+7436+218348+10850216+911835460+129534272700+31095744852375+12611311859677500+86393518297652500+99955413554481672000+1952907623466127104897200+64427256896743840+358869201916137601447486156417296。
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数学
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表[和[积[(3k+1)!/(j+k)!,{k,0,j-1}],{j,0,n}],}n,0,20}](*瓦茨拉夫·科特索维奇,2017年10月26日*)
累加[表[积[(3k+1)!/(n+k)!,{k,0,n-1}],{n,0,20}]](*哈维·P·戴尔2019年2月6日*)
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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已批准
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0, 1, -1, 1, -2, 1, 1, -4, 5, -2, 1, -11, 33, -37, 14, 1, -53, 495, -1423, 1568, -588, 1, -482, 23232, -213778, 612035, -673260, 252252, 1, -7918, 3607384, -172966930, 1590265243, -4551765520, 5006613612, -1875745872, 1, -226266, 1732486848, -787838048562, 37768573496883, -347235787044084
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,5
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评论
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链接
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例子
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三角形的生成:
1
1 1
2 3 2
7 14 14 7
42 105 135 105 42
...
并得到多项式
x-1
x^2-2*x+1
x^3-4*x^2+5*x-2
x^4-11*x^3+33*x^2-37*x+14
x^5-53*x^4+495*x^3-1423*x^2+1568*x-588
...
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黄体脂酮素
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(PARI)T(n,k)=二项式(n+k-2,k-1)*((2*n-k-1)/(n-k)!)*触头(j=0,n-2,(3*j+1)/(n+j)!)RM(n)=M=矩阵(n,n);对于(l=1,n,对于(k=1,l,M[l,k]=T(l,k));M代表(i=1,10,打印(charpoly(RM(i)))
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交叉参考
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关键词
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作者
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Lambert Klasen(Lambert.Klasen(AT)gmx.net)和加里·亚当森2005年1月30日
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扩展
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序列前面加了一个(0)=0以启用表格显示(因此偏移量被相应地设置为0)米歇尔·马库斯2013年8月23日
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状态
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已批准
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抵消
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1,1
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评论
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这些是Sun和Moll第14页表1中的值。
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参考文献
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D.Bressoud,《证明与确认:交替符号矩阵猜想的故事》,剑桥大学出版社,1999年。
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链接
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D.Bressoud和J.Propp,交替符号矩阵猜想的求解,通知Amer。数学。Soc.,46:637-6461999年。
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例子
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a(7)=8,因为“Nu(T(n))=7的八个解是26、38、46、82、5462、10922、10924和J_15-1=21844”,其中J_k=第k个Jacobsthal数=A001045号(k) ●●●●。
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交叉参考
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关键词
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更多,非n
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作者
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状态
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已批准
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