搜索： a048098-编号：a048099
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1、8、48、1518、5828、28032、304260、290783、1255500、4325170、11135837、18567909、321903029、1394350275、287946949、1659945758、38882519234
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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链接
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例子
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a（2）=8，因为8和9在A048098型，7和10不是，8是具有此属性的最小数字。
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数学
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smQ[n_]：=系数整数[n][[-1，1]]^2<=n；seq[len_，nmax_]：=模块[{s=表[0，{len}]，v={1}，n=2，c=0，m}，While[c<=len&&n<=nmax，如果[smQ[n]，v=联接[v，{n}]，m=长度[v]；v={}；如果[0<=m<=len&&s[[m]]==0，c++；s[[m]]=n-m]]；n++]；s] ；序列[6，10^5]
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交叉参考
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关键字
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非n,更多
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作者
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状态
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经核准的
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1、2、3、2、5、3、7、4、3、5、11、4、13、7、5、4、17、6、19、5、7、11、23、6、5、13、9、7、29、6、31、8、11、17、6、37、19、13、8、41、7、43、11、9、23、47、8、7、10、17、13、53、9、11、8、19、29、59、10、61、31、9、8、13、11、67、17、23、10、71、9、73、37、15，19，11，13，79，10
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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a（n）是最小的k，使得n出现在k X k乘法表中，并且A027424号（k） 是n的个数，a（n）<=k。
a（p）=p对于p是素数或1，这些也是这个序列中的记录高点-查尔斯·库斯尼奇2022年8月26日
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参考文献
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G.Tenenbaum，R.L.Graham等人编辑的第268ff页，《Paul Erdős I的数学》。
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链接
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公式
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例子
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36的除数是{1,2,3,4,6,9,12,18,36}。其中{1,2,3,4,6}为次，{6,9,12,18,36}为优，因此a（36）=6。
40的除数是{1,2,4,5,8,10,20,40}。其中{1,2,4,5}是次优的，{8,10,20,40}是优的，因此a（40）=8。
（结束）
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MAPLE公司
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结束进程：
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数学
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a033677 n=头部$
dropWhile（（<n）。（^2）[d|d<-[1..n]，mod n d==0]
（Python）
从sympy导入除数
d=除数（n）
返回d[长度（d）//2]#柴华武2021年4月5日
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交叉参考
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-严格上级：A048098型,A064052号,A238535型,人民币341594元,A341595型,A341642飞机,A341643型,A341644型,A341645型,A341646飞机,A341673型.
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关键字
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非n,容易的,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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A060775号
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| 最大除数d|n，使得d<n/d，其中a（1）=1。 |
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+10
62
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1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 3, 2, 1, 3, 1, 4, 3, 2, 1, 4, 1, 2, 3, 4, 1, 5, 1, 4, 3, 2, 5, 4, 1, 2, 3, 5, 1, 6, 1, 4, 5, 2, 1, 6, 1, 5, 3, 4, 1, 6, 5, 7, 3, 2, 1, 6, 1, 2, 7, 4, 5, 6, 1, 4, 3, 7, 1, 8, 1, 2, 5, 4, 7, 6, 1, 8, 3, 2, 1, 7, 5, 2, 3
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,6
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评论
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此外：n的最大除数，小于sqrt（n）。
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链接
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公式
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a（n）=max{d:d|n和d<sqrt（n）或d=1}，其中“|”表示“除法”。[由更正M.F.哈斯勒2019年4月3日]
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例子
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n=252，D={1，2，3，4，6，7，9，12，14，18，21，28，36，42，63，84，126，252}，18个除数，9是14，所以a（252）=14。
选定n的严格次除数：
n=1 2 6 12 20 30 42 56 72 90 110 132 156 182 210 240
-----------------------------------------------------------------
{} 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 4 3 3 4 3 3 5 3 3 7 3 3
5 6 7 4 5 10 4 4 13 5 4
6 6 6 6 6 5
8 9 11 12 7 6
10 8
14 10
12
15
（结束）
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MAPLE公司
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带有（数字理论）：
a： =n->max（选择（d->is（d=1或d<sqrt（n）），除数（n）
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数学
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表[Part[Divisors[w]，Floor[Divisor Sigma[0，w]/2]]，{w，1，256}]
表[如果[n==1，1，Max[Select[Divisors[n]，#<n/#&]]]，{n，100}](*古斯·怀斯曼2021年2月28日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）对于（n=21000，d=除数（n））；写入（“b060775.txt”，n，“”，d[长度（d）\2]）\\哈里·史密斯2009年7月11日
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交叉参考
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关键字
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作者
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扩展
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姓名变更人古斯·怀斯曼，2021年2月28日（原为：n的中位数除数较低，a（1）=1。）
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状态
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经核准的
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A064052号
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| 非sqrt（n）-光滑：n的某个素因子>sqrt（n）。 |
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+10
48
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2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 26, 28, 29, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 44, 46, 47, 51, 52, 53, 55, 57, 58, 59, 61, 62, 65, 66, 67, 68, 69, 71, 73, 74, 76, 77, 78, 79, 82, 83, 85, 86, 87, 88, 89, 91, 92, 93, 94, 95, 97, 99, 101, 102
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,1
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评论
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如果正整数N的最大素因子大于sqrt（N），Finch将其定义为“锯齿”-弗兰克·埃勒曼2011年4月21日
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参考文献
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S.R.Finch，《数学常数》，2003年，第2.21章。
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链接
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例子
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9=3*3不是“锯齿”，但10=5*2是“锯齿”：5>sqrt（10）。
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数学
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Reap[对于[n=2，n<=102，n++，f=FactorInteger[n][[-1，1]]；如果[f>Sqrt[n]，Sow[n]]][[2，1]](*Jean-François Alcover公司2014年5月16日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{n=0；对于（m=2，10^9，f=factor（m）~；如果（f[1，length（f）]^2>m，则写入（“b064052.txt”，n++，“”，m）；如果（n==1000，break））}\\哈里·史密斯，2009年9月6日
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交叉参考
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关键字
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A161906号
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| 按行读取的三角形，其中第n行列出了n的除数，这些除数小于等于sqrt（n）。 |
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+10
46
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1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 4, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 2, 4, 1, 3, 1, 2, 1, 1, 2, 3, 4, 1, 5, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 4, 1, 1, 2, 3, 5, 1, 1, 2, 4, 1, 3, 1, 2, 1, 5, 1, 2, 3, 4, 6, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 4, 5, 1, 1, 2, 3, 6, 1, 1, 2, 4, 1, 3, 5, 1, 2, 1, 1, 2, 3
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,5
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评论
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链接
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例子
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三角形开始：
1……….1；
2....... 1;
3....... 1;
4..... 1,2;
5....... 1;
6..... 1,2;
7....... 1;
8..... 1,2;
9..... 1,3;
10..... 1,2;
11....... 1;
12... 1,2,3;
13....... 1;
14..... 1,2;
15..... 1,3;
16... 1,2,4;
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数学
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div[n_]：=选择[Divisors[n]，#<=Sqrt[n]&]；div/@范围[48]//压扁(*阿米拉姆·埃尔达尔2020年11月13日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a161906 n k=a161906_tabf！！（n-1）！！（k-1）
a161906_row n=a161906-tabf！！（n-1）
a161906_tabf=zipWith（\m ds->takeWhile（（<=m））。（^2）天）
[1..]a027750_tabf'
（PARI）行（n）=选择（x->（x<=sqrt（n）），除数（n）\\米歇尔·马库斯2020年11月13日
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交叉参考
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-上级：A033677号,A051283号,A059172号,A063538号,A063539号,A070038号,A116882号,A116883号,A341591,A341592飞机,A341593飞机,A341675型,A341676飞机.
-严格上级：A048098型,A064052号,A140271号,A238535型,人民币341594元,A341595型,A341642飞机,A341643,A341644型,A341645型,A341646飞机.
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关键字
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容易的,非n,标签
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 8, 12, 16, 18, 24, 27, 30, 32, 36, 40, 45, 48, 50, 54, 56, 60, 63, 64, 70, 72, 75, 80, 81, 84, 90, 96, 98, 100, 105, 108, 112, 120, 125, 126, 128, 132, 135, 140, 144, 147, 150, 154, 160, 162, 165, 168, 175, 176, 180, 182, 189, 192, 195, 196
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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有时（魏斯坦）称之为“普通数字”，而不是格林和克努特定义的“不寻常数字”(A063538号)最终证明，这并不罕见（Greene和Knuth，1990年，Finch，2001年）-乔纳森·沃斯邮报2010年9月11日
如果我们将除数d|n定义为优除数，如果d>=n/d，那么优除数的计算公式为A038548号并由列出A161908号。这个序列列出了没有上素除数的数字，这是唯一的(A341676飞机)当它存在时。例如，每个n的上素除数集合开始于：{}，{2}，}3}，[2]，{5}，[3]，{7}。空集的位置给出了序列-古斯·怀斯曼2021年2月24日
作为乔纳森·沃斯邮报的评论表明，sqrt（n-1）-光滑数的密度比其“不寻常”补码的密度要低。这是一幅关于一个数的素因子的“典型”相对大小的大图的一部分：例如，请参见A281889型. -彼得·蒙恩2021年3月3日
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参考文献
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Greene，D.H.和Knuth，D.E.，《算法分析的数学》，第三版，马萨诸塞州波士顿：Birkhäuser，第95-98页，1990年。
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链接
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M.Beeler、R.W.Gosper和R.Schroeppel，哈克姆，项目29
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公式
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对于小n（例如n<10000），a（n）显然可以近似为3.7642*n。
渐近地，sqrt（n）-光滑数<x的数量已知为（1-log（2））*x+O（x/log（x）），参见Ramaswami（1949）。
n=（1-log（2））*a（n）-0.59436*a（n）/log（a（n。（结束）
然而，众所周知，这种拟合只会在a（10^11）以内的范围内提高精度。对于更大的n，相对误差图所建议的精度改进并没有发生。对于较大的n，错误项O（x/log（x））的行为未知-雨果·普福尔特纳2023年11月12日
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例子
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a（100）=360；a（1000）=3744；a（10000）=37665；a（100000）=375084；
a（10^6）=3697669；a（10^7）=36519633；a（10^8）=360856296；
a（10^9）=3571942311；a（10^10）=35410325861；a（10^11）=351498917129-乔瓦尼·雷斯塔，2020年4月12日
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MAPLE公司
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N： =1000:#获得所有项<=N
素数：=选择（isprime，[2，seq（2*i+1，i=1..floor（（N-1）/2））]）：
S： ={$1..N}减去{seq（seq（m*p，m=1..min（p，N/p）），p=素数）}：
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数学
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前缀[Select[Range[192]，FactorInteger[#][[-1，1]]<Sqrt[#]&]，1](*伊凡·内雷廷2015年9月2日*）
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黄体脂酮素
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（Magma）[1]cat[m:m in[2..200]| Max（PrimeFactors（m））lt Sqrt（m）]//马吕斯·A·伯蒂2019年5月8日
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A116882号
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| 如果（k的最高奇数除数）^2<=k，则包含一个数k。 |
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+10
39
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1, 2, 4, 8, 12, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 80, 96, 112, 128, 144, 160, 176, 192, 208, 224, 240, 256, 288, 320, 352, 384, 416, 448, 480, 512, 544, 576, 608, 640, 672, 704, 736, 768, 800, 832, 864, 896, 928, 960, 992, 1024, 1088, 1152, 1216, 1280, 1344, 1408
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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当（且仅当）2除以k的最大幂大于等于k的最大奇数除数时，也包括k。除1之外，序列的所有项都是偶数。
等价地，形式为k*2^m的正整数，其中奇数k<=2^m-托马斯·奥多夫斯基2014年10月19日
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链接
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黄显奎（Xien-Kuei Hwang）、斯万特·简森（Svante Janson）和蔡宗希（Tsung-Hsi Tsai），一分为二的分治递归的恒等式和周期振荡，arXiv:2210.10968[cs.DS]，2022年，第38页。
米兰·扬基奇和鲍里斯·佩特科维奇，计数函数，arXiv 1301.4550[math.CO]，2013年。
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公式
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例子
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40=8*5，其中8是2除以40的最高幂，5是最高奇数除以40。8是>=5（所以5^2<=40），所以40在序列中。
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数学
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f[n_]：=选择[Divisors[n]，OddQ[#]&][[-1]]；插入[Select[Range[2，1500]，2^ FactorInteger[#][[1]][[2]]>f[#]&]，1，1](*斯特凡·斯坦纳伯格2006年4月10日*）
q[n_]：=2^（2*整数指数[n，2]）>=n；选择[范围[1500]，q](*阿米拉姆·埃尔达尔，2023年1月24日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）isok（n）=vecmax（选择（x->（（x%2）==1），除数（n））^2<=n\\米歇尔·马库斯2016年9月6日
（PARI）isok（n）=2^（估值（n，2）*2）>=n\\杰佩·斯蒂格·尼尔森2019年2月19日
（Python）
从itertools导入计数，islice
返回滤波器（λn：（n&-n）**2>=n，计数（最大值（起始值，1）））
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交叉参考
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参见。A000005号,A000203号,A001248号,A006530号,A020639号,A026804号,A027193号,A340101型,A340854型（0 ofA340832型),A001008号,A002805号.
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关键字
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A161908号
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| 按行读取的数组，其中第n行列出了n的大于等于sqrt（n）的除数。 |
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+10
38
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1, 2, 3, 2, 4, 5, 3, 6, 7, 4, 8, 3, 9, 5, 10, 11, 4, 6, 12, 13, 7, 14, 5, 15, 4, 8, 16, 17, 6, 9, 18, 19, 5, 10, 20, 7, 21, 11, 22, 23, 6, 8, 12, 24, 5, 25, 13, 26, 9, 27, 7, 14, 28, 29, 6, 10, 15, 30, 31, 8, 16, 32, 11, 33, 17, 34, 7, 35, 6, 9, 12, 18, 36, 37, 19, 38, 13, 39, 8, 10, 20, 40, 41, 7, 14, 21, 42, 43, 11, 22, 44, 9, 15, 45, 23, 46, 47, 8, 12, 16
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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链接
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例子
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数组开始：
1;
2;
三；
2,4;
5;
3,6;
7；
4，8；
3,9;
5,10;
11;
4,6,12;
13;
7,14;
5,15;
4,8,16;
|
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数学
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表[Select[Divisors[n]，#>=Sqrt[n]&]，{n，100}]//展平(*哈维·P·戴尔2021年1月1日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a161908 n k=a161908_tabf！！（n-1）！！（k-1）
a161908_row n=a161908-tabf！！（n-1）
a161908_tabf=压缩
（\x ds->反转$map（div x）ds）[1..]a161906_tabf
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交叉参考
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-严格上级：A048098型,A064052号,A140271号,A238535型,人民币341594元,A341595型,A341642飞机,A341643型,A341644型,A341645型,A341646飞机.
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关键字
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容易的,非n,标签
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 2, 0, 1, 1, 1, 0, 2, 0, 1, 1, 1, 0, 2, 1, 1, 1, 1, 0, 3, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 0, 1, 1, 2, 0, 2, 0, 1, 2, 1, 0, 2, 1, 2, 1, 1, 0, 2, 1, 2, 1, 1, 0, 3, 0, 1, 2, 1, 1, 2, 0, 1, 1, 3, 0, 2, 0, 1, 2, 1, 1, 2, 0, 2, 1, 1, 0, 3, 1, 1, 1, 1, 0, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 0, 2, 1, 2, 0, 2, 0, 1, 3
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,12个
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评论
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对于所有素数p:a（p）=0（未标记），对于k>1a（p^k）=1。
a（1）=0，对于n>0，a（n）是应用Eratosthenes筛时的标记数，其中质数p的阶段从p^2开始。
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链接
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公式
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通用公式：和{k>=1}x^（素数（k）^2）/（1-x^素数（k））-伊利亚·古特科夫斯基2020年4月4日
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例子
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a（33）=a（3*11）=1，因为3^2=9<33和11^2=121>33。
选定n的a（n）次素因子（列）：
n=38 24 3660 390 3570 87780
---------------------------------
{} 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3
5 5 5 5
13 7 7
11月17日
19
（结束）
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MAPLE公司
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使用（数字理论）：a:=proc（n）局部c，F，F，i:c:=0:F:=因子集（n）：F:=nops（F）：对于i从1到F do，如果F[i]^2<=n，则c:=c+1否则c:=fiod:c；结束：seq（a（n），n=1..105）#Emeric Deutsch公司
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数学
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联接[{0}，表[Count[Transpose[FactorInteger[n]][[1]，_？（#<=Sqrt[n]&）]，{n，2，110}]](*哈维·P·戴尔2015年3月26日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{对于（n=11000，f=factor（n）~；a=0；对于（i=1，length（f），if（f[1，i]^2<=n，a++，break））；写入（“b063962.txt”，n，“”，a））}\\哈里·史密斯2009年9月4日
（哈斯克尔）
a063962 n=长度[p|p<-a027748_row n，p^2<=n]
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 2, 3, 4, 5, 3, 7, 4, 9, 5, 11, 4, 13, 7, 5, 8, 17, 6, 19, 5, 7, 11, 23, 6, 25, 13, 9, 7, 29, 6, 31, 8, 11, 17, 7, 9, 37, 19, 13, 8, 41, 7, 43, 11, 9, 23, 47, 8, 49, 10, 17, 13, 53, 9, 11, 8, 19, 29, 59, 10, 61, 31, 9, 16, 13, 11, 67, 17, 23, 10, 71, 9, 73, 37, 15, 19, 11, 13, 79, 10, 27
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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链接
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例子
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a（n）是以下几组严格上除数中的最小元素：
1: {1} 16: {8,16} 31: {31}
2: {2} 17: {17} 32: {8,16,32}
3: {3} 18: {6,9,18} 33: {11,33}
4: {4} 19: {19} 34: {17,34}
5:｛5｝20:｛5，10，20｝35:｛7，35｝
6: {3,6} 21: {7,21} 36: {9,12,18,36}
7: {7} 22: {11,22} 37: {37}
8: {4,8} 23: {23} 38: {19,38}
9: {9} 24: {6,8,12,24} 39: {13,39}
10: {5,10} 25: {25} 40: {8,10,20,40}
11: {11} 26: {13,26} 41: {41}
12: {4,6,12} 27: {9,27} 42: {7,14,21,42}
13: {13} 28: {7,14,28} 43: {43}
14: {7,14} 29: {29} 44: {11,22,44}
15: {5,15} 30: {6,10,15,30} 45: {9,15,45}
（结束）
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MAPLE公司
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带有（数字理论）：
a： =n->min（select（d->is（d=n或d>sqrt（n）），除数（n））：
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数学
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表[选择[Divisors[n]，#>Sqrt[n]&][[1]，{n，2，70}](*斯特凡·斯坦纳伯格2008年5月18日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）A140271号（n） ={局部（d，a）；d=除数（n）；a=n；对于（i=1，长度（d），如果（d[i]>sqrt（n），a=min（d[i，a））；a}\\迈克尔·波特2010年4月6日
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交叉参考
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-上级：A051283号,A059172号,A063538号,A063539号,A070038号,A072500型,A116882号,A116883号,A341591飞机,A341592飞机,A341593飞机,A341675型,A341676飞机.
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关键字
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非n
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作者
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扩展
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a（70）-a（80）来自雷·钱德勒2009年6月25日
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状态
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经核准的
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