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（来自的问候整数序列在线百科全书!)
搜索： a047713-编号：a047712
显示找到的13个结果中的1-10个。 第页12
    排序：关联|参考文献|数|被改进的|创建     格式：长的|短的|数据
A055551号 基-2 Euler-Jacobi伪素数(A047713号)小于10^n。 +20
1
0, 0, 1, 12, 36, 114, 375, 1071, 2939, 7706, 20417, 53332, 139597, 364217, 957111, 2526795, 6725234, 18069359, 48961462 (列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
偏移
1,4个
评论
Pomerance等人给出了术语a（3）-a（10）。Pinch给出了术语a（4）-a（13），但a（13）=124882是错误的。他后来计算出了盖伊书中的正确值-阿米拉姆·埃尔达尔2019年11月8日
参考文献
理查德·盖伊（Richard K.Guy），《数论中未解决的问题》（Unsolved Problems in Number Theory），第3版，斯普林格出版社，2004年，第A12节，第44页。
链接
n=1..19时的n，a（n）表。
Jan Feitsma和William F.Galway，伪素数表及相关数据.
理查德·平奇（Richard G.E.Pinch），10^13以内的伪素数《算法数理论》，第四届国际研讨会，ANTS-IV，荷兰莱顿，2000年7月2-7日，《斯普林格学报》，柏林，海德堡，2000年，第459-473页，备用链路.
Carl Pomerance、John L.Selfridge和Samuel S.Wagstaff，伪素数为25*10^9《计算数学》，第35卷，第151期（1980年），第1003-1026页。
埃里克·魏斯坦的数学世界，Euler-Jacobi伪素数。
埃里克·魏斯坦的数学世界，伪素数。
例子
在10^3以下，只有一个Euler-Jacobi伪素数，即561。因此a（3）=1。
数学
ejpspQ[n_]：=复合Q[n]和PowerMod[2，（n-1）/2，n]=Mod[JacobiSymbol[2，n]，n]；s＝｛｝；c=0；p=10；n=1；执行[If[ejpspQ[n]，c++]；如果[n>p，AppendTo[s，c]；p*=10]，{n，1,1000001，2}]；秒(*阿米拉姆·埃尔达尔2019年11月8日*）
交叉参考
囊性纤维变性。A047713号,A055550型,A055552号.
关键词
非n,更多
作者
埃里克·韦斯特因
扩展
a（13）修正，a（14）-a（19）增加阿米拉姆·埃尔达尔2019年11月8日（根据Feitsma&Galway的表格计算）
状态
经核准的
392237美元 基-2 Euler-Jacobi伪素数(A047713号)小于2^n。 +20
1
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 5, 8, 10, 15, 20, 29, 42, 57, 81, 118, 179, 246, 348, 481, 654, 893, 1231, 1642, 2188, 3003, 4033, 5367, 7252, 9681, 12961, 17460, 23351, 31224, 41623, 55455, 74124, 99127, 132426, 176466, 235792, 314338, 420106, 562476, 751769, 1006184 (列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
偏移
1,11
链接
阿米拉姆·埃尔达尔，n=1..64的n，a（n）表
Jan Feitsma和William F.Galway，伪素数表及相关数据.
例子
在2^10=1024以下，只有一个Euler-Jacobi伪素数，即561。因此a（10）=1。
数学
ejpspQ[n_]：=复合Q[n]和PowerMod[2，（n-1）/2，n]=Mod[JacobiSymbol[2，n]，n]；s＝｛｝；c=0；p＝2；n=1；执行[If[ejpspQ[n]，c++]；如果[n>p，AppendTo[s，c]；p*=2]，{n，1，2^20+1，2}]；秒
交叉参考
囊性纤维变性。A047713号,A055551号,A108797号,A208276号.
关键词
非n
作者
阿米拉姆·埃尔达尔2019年11月8日
状态
经核准的
A244626型 复合数k等于5（mod 8），因此2^（（k-1）/2）mod k=k-1。 +10
14
3277, 29341, 49141, 80581, 88357, 104653, 196093, 314821, 458989, 489997, 800605, 838861, 873181, 1004653, 1251949, 1373653, 1509709, 1678541, 1811573, 1987021, 2269093, 2284453, 2387797, 2746477, 2909197, 3400013, 3429037, 3539101, 3605429, 4360621, 4502485, 5590621, 5599765 (列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
偏移
1,1
评论
该序列包含n个mod 8=5个伪素数，符合以下修改的费马素性准则：
猜想1：如果p是{3,5}（mod 8）的奇素数同余，则2^（（p-1）/2）mod p=p-1。
这个猜想已经过10^8的检验。
与2^（n-1）mod n=1检验相比，该准则产生的伪素数少得多，因此成功的概率更高。两次测试的伪素数达到10^k为：
10^5 5 26 19.23%
10^6 13 78 16.66%
10^7 40 228 17.54%
有40个术语<10^7。如果添加了附加约束3^（n-1）mod n=1和5^（n-1）mod n=1，则只剩下4个项：（29341，314821，873181，9863461）。
该序列似乎是A175865号,A001262号,A047713号,A020230号.
对于k=5..15:5、13、40、132、369、975、2534、6592、17403、45801、122473，小于10^k的术语数量。2^（n-1）mod n的对应数字=1:26，78，228，637，1718，4505，11645，29902，76587，197455，513601-延斯·克鲁斯·安徒生，2014年7月13日
也可以将数字2n+1与n复合，这样2n+1 |2^n+1就是偶数-希尔科·科宁2022年1月27日
猜想1是真的。当p=2k+1时，2^k mod（2k+1）==2k。所以2k+1 |2k-2^k。素数2k+1==+-3（mod 8）是素数，因此2k+1 | 2^k+1（注释A007520号). 图（2k-2^k）/（2k+1）的x轴上的反射和y轴上的+1平移给出了图（2^k+1）/（2k+1）。因此，2k+1|2k-2^k和2k+1 |2^k+1的k值是相同的-希尔科·科宁2022年2月4日
链接
延斯·克鲁斯·安徒生，n=1..10000时的n，a（n）表
MAPLE公司
对于从5到10^7乘8的n，如果2^（（n-1）/2）mod n=n-1且不是isprime（n），则打印（n）fiod；
交叉参考
囊性纤维变性。A001567号,A003629号,A070179号.
关键词
非n
作者
加里·德特利夫斯2014年7月2日
扩展
a（18）修正人延斯·克鲁斯·安徒生2014年7月13日
状态
经核准的
A033181号 绝对欧拉伪素数：奇数复合数n，使得a（（n-1）/2）==+-1（mod n）对于n的每一个互素。 +10
10
1729, 2465, 15841, 41041, 46657, 75361, 162401, 172081, 399001, 449065, 488881, 530881, 656601, 670033, 838201, 997633, 1050985, 1615681, 1773289, 1857241, 2113921, 2433601, 2455921, 2704801, 3057601, 3224065, 3581761, 3664585, 3828001, 4463641, 4903921 (列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
偏移
1,1
评论
这些数字n的性质是，对于每个素数p，p-1除以（n-1）/2。例如，2465=5*17*29；1232/4 = 308; 1232/16 = 77; 1232/28 = 44. -卡斯滕·迈耶2005年11月8日
所有这些数字都是卡迈克尔数字(A002997号). -丹尼尔·利根2015年9月12日
这些是奇数复合数n，使得对于模n为二次剩余且互素为n的每个基b，b^（（n-1）/2）==1（mod n）。对于模n是二次非剩余且互素为n的每一个基b，没有奇数复合数n，使得b^。定理：如果绝对Euler伪素数n是Proth数，则b^（（n-1）/2）==1表示每个b与n互素；根据普罗斯定理。这些数字是17298355841、40280065、53282340865。。。；例如，1729=27*2^6+1，其中27<2^6。然而，似乎所有绝对Euler伪素数n对n的每个b互素都满足更强的同余b^（（n-1）/2）==1（mod n），如修改的Korselt准则所证明的（见第一条注释）。应该注意，这些是奇数n，因此Carmichael的lambda（n）除以（n-1）/2。此外，这些奇数n>1与Sum_｛k=1..n-1}k^｛（n-1）/2}互素-阿米拉姆·埃尔达尔和托马斯·奥多夫斯基2019年4月29日
Carmichael数k，使得每个素数p|k的（p-1）|（k-1）/2。这些是奇数复合数k，其中k是Euler-Jacobi伪素数，即k的基数为k与k的互素数1<=b<k的一半（最大可能分数）。A329726型（k-1）/2）/φ（k）=1/2-阿米拉姆·埃尔达尔2019年11月20日
链接
Daniel Lignon和Dana Jacobsen，n=1..10000时的n，a（n）表（Daniel Lignon的前124个术语）
洛伦佐·迪比亚吉奥，半个基的Euler伪素数《整数》，第12卷，第6期（2012年），第1231-1237页，arXiv预印本，arXiv:1109.3596[数学.NT]（2011）。
数学帮助论坛，有多少绝对欧拉伪素数小于100万2009年9月。
路易斯·莫尼尔，两种有效素性测试算法的评价与比较《理论计算机科学》，第11卷（1980年），第97-108页。
伪素数相关序列的索引项
配方奶粉
a（n）==1（mod 4）-托马斯·奥多夫斯基2019年5月2日
MAPLE公司
过滤器：=进程（n）
局部q；
如果isprime（n），则返回false fi；
如果2&^（n-1）mod n<>1，则返回false fi；
如果不是numtheory：-issqrfree（n），则返回false fi；
对于numtheory:-factorset（n）do中的q
如果（n-1）/2 mod（q-1）<>0，则返回假fi
日期：
真；
结束进程：
选择（过滤器，[seq（i，i=3..10^7，2）]）#罗伯特·伊斯雷尔2015年11月24日
数学
absEulerpspQ[n_Integer？PrimeQ]：=假；
absEulerpspQ[n_Integer？EvenQ]：=假；
absEulerpspQ[n_Integer？OddQ]：=模块[{a=2}，
而[a<n&&（GCD[a，n]！=1||！不相等[PowerMod[a，（n-1）/2，n]，1，n-1]），a++]；
（a==n）]；
选择[范围[1，1000000，2]，absEulerpspQ](*丹尼尔·利根2015年9月9日*）
aQ[n_]：=模块[{f=FactorInteger[n]，p}，p=f[[；；，1]]；长度[p]>1&&Max[f[[；；，2]]]==1&&AllTrue[p，可除[（n-1）/2，#-1]&]]；选择[范围[3，2*10^5]，aQ](*阿米拉姆·埃尔达尔2019年11月20日*）
黄体脂酮素
（Perl）使用理论“：all”；我的$；foroddcomposites{假设is_carmichael（$_）&&vecall{（（$n-1）>>1）%（$_-1）==0}因子（$n=$_）；}1e6#达纳·雅各布森2015年12月27日
交叉参考
囊性纤维变性。A002997号,A006970号,A047713号,A080075型,A329726型.
关键词
非n
作者
N.J.A.斯隆1999年12月11日
扩展
名称中添加了“绝对欧拉伪素数”丹尼尔·利根2015年9月9日
定义编辑人托马斯·奥多夫斯基2019年4月29日
状态
经核准的
A270698型 复合数k==1（mod 4），即（1+i）^k==1+i（mod k），其中i=sqrt（-1）。 +10
6
561、1105、1729、1905、2465、3277、4033、4681、6601、8321、8481、10585、12801、15841、16705、18705、25761、29341、30121、33153、34945、41041、46657、49141、52633、62745、65281、74665、75361、80581、85489、87249、88357、104653、113201、115921、126217、129921 (列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
偏移
1,1
评论
发件人宋嘉宁2018年9月5日：（开始）
中的数字A047713号与1模4一致。大多数术语与1 mod 8一致。有关与5 mod 8一致的术语，请参见A244626型.
此外，复合k==1（mod 4），这样（-4）^（（k-1）/4）==1。注意，所有素数==1（mod 4）都满足这一点，请参见A318898型.（结束）
链接
阿米拉姆·埃尔达尔，n=1..10000时的n，a（n）表（宋嘉宁的术语1..889使用来自A047713号)
数学
选择[1+4*范围[100000]，PrimeQ[#]==False&&PowerMod[1+I，#，#]==1+I&]
黄体脂酮素
如果（Mod（2，n）^（（n-1）/2）==kronecker（2，n）&&！i素数（n），打印1（n，“，”））\\宋嘉宁2018年9月6日
交叉参考
的后续A001567号和A047713号.
A244626型是一个适当的子序列。
囊性纤维变性。A006971号,270697加元,A318898型.
关键词
非n
作者
何塞·马里亚·格劳·里巴斯2016年3月21日
状态
经核准的
270697加元 复合数k==3（mod 4），这样（1+i）^k==1-i（mod k），其中i=sqrt（-1）。 +10
5
2047, 42799, 90751, 256999, 271951, 476971, 514447, 741751, 877099, 916327, 1302451, 1325843, 1397419, 1441091, 1507963, 1530787, 1907851, 2004403, 2205967, 2304167, 2748023, 2811271, 2953711, 2976487, 3090091, 3116107, 4469471, 4863127, 5016191 (列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
偏移
1,1
评论
复合k==3（mod 4），因此2*（-4）^（（k-3）/4）==-1（mod k）-罗伯特·伊斯雷尔2016年3月21日
2*（-4）^（（p-3）/4）==-1（mod p）由所有素数p==3（mod 4）满足，参见A318908型. -宋嘉宁2018年9月5日
中的数字A047713号与3模4一致。大多数术语与7 mod 8一致。有关与3 mod 8一致的术语，请参见A244628号. -宋嘉宁2018年9月5日
问题：这是A001262号? 我已经验证它包含了2^64之前的所有术语-约瑟夫·舒尼亚2019年7月2日
链接
阿米拉姆·埃尔达尔，n=1..10000时的n，a（n）表（宋嘉宁的术语1..111使用来自A047713号)
MAPLE公司
选择（t->非素数（t）和1+2*（-4）&^（（t-3）/4）mod t=0，[seq（i，i=7..10^7，4）]）#罗伯特·伊斯雷尔2016年3月21日
数学
选择[3+4*范围[10000000]，PrimeQ[#]==False&&PowerMod[1+I，#，#]==Mod[1-I，#]&]
黄体脂酮素
如果（Mod（2，n）^（（n-1）/2）==kronecker（2，n）&&！i素数（n），打印1（n，“，”））
交叉参考
的后续A001567号和A047713号.
A244628号是一个适当的子序列。
囊性纤维变性。A001262号,A006971号,A270698型,A318908型.
关键词
非n
作者
何塞·马里亚·格劳·里巴斯2016年3月21日
状态
经核准的
A006971号 复合数k，使k==+-1（mod 8）和2^（（k-1）/2）==1（mod k）。
（原名M5461） 		+10
4
561, 1105, 1729, 1905, 2047, 2465, 4033, 4681, 6601, 8321, 8481, 10585, 12801, 15841, 16705, 18705, 25761, 30121, 33153, 34945, 41041, 42799, 46657, 52633, 62745, 65281, 74665, 75361, 85489, 87249, 90751, 113201, 115921, 126217, 129921, 130561, 149281, 158369 (列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
偏移
1,1
评论
曾用名为“条款A047713号与+-1 mod 8“一致。
的补语(A244626型联盟A244628号)关于A047713号. -宋嘉宁2018年9月18日
参考文献
理查德·盖伊（Richard K.Guy），《数论中未解决的问题》（Unsolved Problems in Number Theory），第3版，斯普林格出版社，2004年，第A12节，第44-50页。
Hans Riesel，素数和因子分解的计算机方法，《数学进展》，第57卷，Birkhäuser出版社，波士顿，1985年。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
链接
阿米拉姆·埃尔达尔，n=1..10000时的n，a（n）表（宋嘉宁的术语1..828使用来自A047713号)
数学
选择[Range[10^5]，MemberQ[{1，7}，Mod[#，8]]&&CompositeQ[#]&PowerMod[2，（#-1）/2，#]==1&](*阿米拉姆·埃尔达尔2023年11月6日*）
交叉参考
的后续A001567号和A047713号.
囊性纤维变性。A244626型,A244628号,270697加元,A270698型.
关键词
非n
作者
理查德·平奇
扩展
该序列在Sloane-Poluffe（1995）中显示为M5461，但后来被错误地宣布为A047713号。多亏了宋嘉宁以提供正确的定义-N.J.A.斯隆2018年9月17日
正式定义依据宋嘉宁2018年9月18日
状态
经核准的
A048950型 基3 Euler-Jacobi伪素数。 +10
4
121, 703, 1729, 1891, 2821, 3281, 7381, 8401, 8911, 10585, 12403, 15457, 15841, 16531, 18721, 19345, 23521, 24661, 28009, 29341, 31621, 41041, 44287, 46657, 47197, 49141, 50881, 52633, 55969, 63139, 63973, 74593, 75361, 79003, 82513 (列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
偏移
1,1
评论
gcd（n，3）=1和3^（（n-1）/2）==（3，n）（mod n）的奇复合数n，其中（.，.）是雅可比符号-R.J.马塔尔2012年7月15日
基本的5个欧拉-雅可比伪素数是781、1541、1729、5461、5611、6601、7499-R.J.马塔尔2012年7月15日
链接
阿米拉姆·埃尔达尔，n=1..10000时的n，a（n）表
A.Rotkiewicz，关于算术级数中参数L，Q的Euler-Lehmer伪素数和强Lehmer假素数，数学。《比较》39（159）（1982）239-247。
埃里克·魏斯坦的数学世界，Euler-Jacobi伪素数.
伪素数相关序列的索引项
数学
选择[Range[1，10^5，2]，GCD[#，3]==1&&CompositeQ[#]&PowerMod[3，（#-1）/2，#]==Mod[JacobiSymbol[3，#]，#]&](*阿米拉姆·埃尔达尔2019年6月28日*）
黄体脂酮素
（PARI）是（n）=n%2==1&gcd（n，3）==1&Mod（3，n）^（（n-1）/2）==kronecker（3，n）
对于复合（c=183000，如果（是（c），打印1（c，“，”））\\费利克斯·弗罗利奇（Felix Fröhlich），2019年7月15日
交叉参考
囊性纤维变性。A047713号（基数2），A005935号.
关键词
非n
作者
埃里克·韦斯特因
状态
经核准的
A307767型 “非剩余”伪素数：奇复合数n，其中b（n）^（（n-1）/2）==-1（mod n）=A020649号（n） ●●●●。 +10
三
3277, 3281, 29341, 49141, 80581, 88357, 104653, 121463, 196093, 314821, 320167, 458989, 476971, 489997, 491209, 721801, 800605, 838861, 873181, 877099, 973241, 1004653, 1251949, 1268551, 1302451, 1325843, 1373653, 1397419, 1441091, 1507963, 1509709, 1530787, 1590751, 1678541, 1809697 (列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
偏移
1,1
评论
众所周知，对于奇素数p，b（p）是最小的二次非剩余b模p当且仅当b（p）是最小基b，使得b^（（p-1）/2）==-1（mod p）。注意b（n）总是质数。
猜想：如果2^（（n-1）/2）==-1（mod n），则b（n）=2，其中b（n。奇数素数n也是如此；它适用于奇数复合材料n吗？如果是这样，那么2^（（n-1）/2）==-1（mod n）的所有复合数n都在这个序列中。
对于定义的伪素数n（类似于奇素数p），
b（n）是b ^（（n-1）/2）==-1（mod n）的最小基数b，尽管其定义不要求这样做。
注：a“非剩余”伪素数n是基b（n）的强伪素数；雅可比符号（b（n）/n）=-1，其中b（n是最小的非剩余模n；这样的伪素数n不是Proth数，所以n=k*2^m+1的奇数k>2^m。
问题：这样的数字有无限多吗？
链接
n=1..35时的n，a（n）表。
例子
2^（（3277-1）/2）==-1（3277模），3^（3281-1）/2。。。
数学
residueQ[n_，m_]：=模块[{ans=0}，Do[If[Mod[k^2，m]==n，ans=True；中断[]]，{k，0，楼层[m/2]}；ans]；A020649号[n_]：=模[｛m=0｝，While[残差Q[m，n]，m++]；m] ；aQ[n_]：=复合Q[n]和PowerMod[A020649号[n] ，（n-1）/2），n]==n-1；选择[Range[3，110000，2]，aQ](*阿米拉姆·埃尔达尔，2019年4月27日*）
交叉参考
囊性纤维变性。A001262号,A006970号,A020649号,A047713号,A053760型,A244626型,A307798型（“剩余”伪素数），A307809型.
关键词
非n
作者
托马斯·奥多夫斯基2019年4月27日
扩展
更多术语来自阿米拉姆·埃尔达尔2019年4月27日
状态
经核准的
A329726型 Solovay-Strassen素性检验2*n+1的见证人数。 +10
三
2, 4, 6, 2, 10, 12, 2, 16, 18, 2, 22, 4, 2, 28, 30, 2, 2, 36, 2, 40, 42, 4, 46, 6, 2, 52, 2, 2, 58, 60, 2, 8, 66, 2, 70, 72, 2, 2, 78, 2, 82, 8, 2, 88, 18, 2, 2, 96, 2, 100, 102, 8, 106, 108, 2, 112, 2, 4, 2, 10, 2, 4, 126, 2, 130, 18, 2, 136, 138, 2, 2, 8, 2 (列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
偏移
1,1
评论
基数b，1<=b<=2*n，使得GCD（b，2*n+1）=1和b^n==（b/2*n+1）（mod 2*n/1），其中（b/2*n+1）是雅可比符号。
如果2*n+1是复合的，那么它是碱基b的个数，1<=b<=2*n，其中2*n/1是Euler-Jacobi伪素数。
不同于A071294号从n=22开始。
参考文献
保罗·里本博伊姆（Paulo Ribenboim），《大素数小书》（The Little Book of Bigger Primes），第二版，施普林格-弗拉格出版社，纽约，2004年，第96页。
链接
阿米拉姆·埃尔达尔，n=1..10000时的n，a（n）表
路易斯·莫尼尔，两种有效素性测试算法的评价与比较《理论计算机科学》，第11卷（1980年），第97-108页。
埃里克·魏斯坦的数学世界，Euler-Jacobi伪素数.
维基百科，Euler-Jacobi伪素数.
维基百科，Solovay-Strassen素性检验.
配方奶粉
a（n）=δ（n）*Product_{p|n}gcd（（n-1）/2，p-1），其中δ（n。
a（p）=素数p的p-1。
例子
a（1）=2，因为有2个基b，其中2*1+1=3是Euler-Jacobi伪素数：b=1，因为GCD（1,3）=1和1^1==（1/3）==1（mod 3），b=2，原因是GCD（2,3）=1和2^1==（2/3）==-1（mod 2）。
数学
v[n_]：=最小值[IntegerExponent[#，2]和/@（FactorInteger[n][[；；，1]]-1）]；
pQ[n，p_]：=奇数Q[整数指数[n，p]]&&整数指数[p-1，2]<整数指数[n-1，2]；
psQ[n_]：=AnyTrue[FactorInteger[n][[；；，1]]，pQ[n，#]&]；
δ[n_]：=如果[IntegerExponent[n-1，2]==v[n]，2，如果[psQ[n]、1/2、1]]；
a[n_]：=δ[n]*模[{p=FactorInteger[n][[；；，1]]}，乘积[GCD[（n-1）/2，p[[k]]-1]，{k，1，长度[p]}]；
表[a[n]，{n，3147，2}]
交叉参考
囊性纤维变性。A006093号,A007324号,A007814号,A047713号,A063994号,A071294号.
关键词
非n
作者
阿米拉姆·埃尔达尔2019年11月20日
状态
经核准的
第页12

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