搜索： a046073-编号：a046077
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1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 3, 5, 1, 3, 3, 9, 3, 5, 11, 1, 9, 3, 15, 5, 3, 9, 3, 21, 5, 11, 23, 21, 9, 3, 9, 29, 15, 9, 5, 33, 11, 35, 3, 9, 15, 39, 27, 41, 3, 21, 5, 11, 15, 23, 21, 15, 51, 53, 9, 9, 29, 55, 15, 9, 63, 21, 65, 5, 27, 33, 11, 69, 23, 35, 21, 75, 9, 15
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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1,6
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评论
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链接
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例子
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模互质平方数A081754美元（61.64）=131、132、133和134分别是65、5、27和33，因此a（61..64）=65、5，27和33。
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黄体脂酮素
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（PARI）A046073号（n） =我的（z=znstar（n））；z[1]/2^（#z[2]）
up_to_lim（n）=my（v=向量（n，k，A046073号（k） ）；选择（x->（x%2），v）
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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经核准的
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A060594号
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| x^2==1（mod n）的解的个数，即单位模n的平方根。 |
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+10
53
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1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 4, 4, 2, 2, 2, 4, 4, 2, 2, 8, 2, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 4, 2, 4, 4, 2, 2, 4, 8, 2, 4, 2, 4, 4, 2, 2, 8, 2, 2, 4, 4, 2, 2, 4, 8, 4, 2, 2, 8, 2, 2, 4, 4, 4, 4, 2, 4, 4, 4, 2, 8, 2, 2, 4, 4, 4, 4, 2, 8, 2, 2, 2, 8, 4, 2, 4, 8, 2, 4, 4, 4, 4, 2, 4, 8, 2, 2, 4, 4, 2, 4, 2
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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1,3
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评论
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Sum_｛k=1..n｝a（k）似乎渐近于C*n*log（n），其中C=0.6-贝诺伊特·克洛伊特2002年8月19日
模n和和{k=1..n}a（k）的实Dirichlet字符数渐近于（6/Pi^2）*n*log（n）-史蒂文·芬奇2006年2月16日
设P（n）是小于n的数与n的互素的乘积。根据Nagell定理59（这是高斯对Wilson定理的推广）：对于n>2，P==（-1）^（a（n）/2）（mod n）-T.D.诺伊2009年5月22日
对于n>1，（n-1）X（n-1”）方阵主对角线上的平方数，其元素是从1..n^2开始的数字，按行递增顺序列出-韦斯利·伊万·赫特，2021年5月19日
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参考文献
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Trygve Nagell，《数论导论》，AMS Chelsea出版社，1981年，第100页。[来自T.D.诺伊2009年5月22日]
盖拉尔·特南鲍姆（Gérald Tenenbaum），《无名分析与概率导论》（Introduction a la the orie analytique et probabiliste des nombres），《专业课程》（Cours spe cialisé），1995年，SMF汇编，第260页。
J.V.Uspensky和M.A.Heaslet，《初等数论》，纽约州麦格劳-希尔，1939年，第196-197页。
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链接
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史蒂文·芬奇和帕斯卡·塞巴，平方和立方模n，arXiv:math/0604465[math.NT]，2006-2016。
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配方奶粉
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如果n==0（mod 8），a（n）=2^(A005087号（n） +2）；如果n==4（mod 8），a（n）=2^(A005087号（n） +1）；否则a（n）=2^(A005087号（n） ）。-艾哈迈德·法尔斯（ahmedfares（AT）my-deja.com），2001年4月29日
与a（2）=1相乘；a（2^2）=2；对于e>2，a（2^e）=4；a（q^e）=2表示q是奇素数-埃里克·施密特2013年7月9日
a（n）=Sum_{k=1..n}层（sqrt（1+n*（k-1）））-层（sqrt（n*（k-1）））-韦斯利·伊万·赫特2021年5月19日
Dirichlet g.f.：（1-1/2^s+2/4^s）*zeta（s）^2/zeta（2*s）。
求和{k=1..n}a（k）~（6/Pi^2）*n*（log（n）+2*gamma-1-log（2）/2-2*zeta'（2）/zeta（2）），其中gamma是欧拉常数(A001620号). （完）
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例子
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四个数字1^2、3^2、5^2和7^2与模8的1同余，因此a（8）=4。
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MAPLE公司
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选项记忆；
局部a、b、c；
如果类型为（n，偶数），则
a： =padic:-ordp（n，2）；
b： =2^a；
c： =无；
最小值（b/2，4）*进程名（c）
其他的
2^个（数量理论：-系数集（n））
fi（菲涅耳）
结束进程：
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数学
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a[n_]：=开关[Mod[n，8]，2|6，2^（PrimeNu[n]-1），1|3|4|5|7，2^PrimeNu[n]，0，2^（PrimeNu[n]+1）]；数组[a，103](*Jean-François Alcover公司，2016年4月9日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=总和（i=1，n，如果（i^2-1）%n，0，1））
（PARI）a（n）=我的（o=估价（n，2））；2^（Ω（n>>o）+最大值（最小值（o-1，2），0））\\查尔斯·格里特豪斯四世2013年6月6日
（PARI）a（n）=如果（n<=2，1，2^#znstar（n）[3]）\\乔格·阿恩特2015年1月6日
（鼠尾草）打印（[len（整数（n）.square_roots_of_one（））表示范围（1100）内的n）]）#拉尔夫·斯蒂芬2014年3月30日
（Python）
从症状导入因子
def a007814（n）：返回1+bin（n-1）.count（'1'）-bin（n）.count（'1'）
定义a（n）：
如果n%2==0：
A=a007814（n）
b=2**A
c=无
最小返回值（b//2,4）*a（c）
else：返回2**len（素数（n））
打印（[a（n）代表范围（1101）中的n）]#因德拉尼尔·戈什2017年7月18日，枫叶项目结束后
（Python）
从症状导入因子
定义A060594号（n） ：return（1<<len（素数（n>>（s：=（~n&n-1）.bit_length（））））*（如果n为1，则为1，否则为1<<min（2，s-1））#柴华武2022年10月26日
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交叉参考
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关键词
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非n,多重
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作者
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状态
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经核准的
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A046072号
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| 将模n为n的整数乘法群分解为循环群C_{k_1}xC_{k_2}x。。。x C_{k_m}，其中k_i除以k_j得到i<j；则a（n）=m。 |
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+10
36
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1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 3, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 3, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 3, 2, 1, 1, 3, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 3, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 3, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 3, 1, 1, 2, 2, 1, 2
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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1,8
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评论
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乘法群模n可以写成一个（n）（但不是更少）循环群的直积-乔格·阿恩特2014年12月25日
这个序列给出了模n的乘法整数群的最小生成元数，该整数群同构于Galois群Gal（Q（zeta_n）/Q），其中zeta_n=exp（2*Pi*I/n）。参见Cox参考文献第235页定理9.1.11。另请参阅维基百科链接表-沃尔夫迪特·朗，2017年2月28日
在这个因式分解中，平凡群C_1={1}只允许作为n=0和1的因子（否则，当n>=3时，可以有任意多个前导C_1因子）-沃尔夫迪特·朗2017年3月7日
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参考文献
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大卫·考克斯（David A.Cox），《伽罗瓦理论》（Galois Theory），约翰·威利父子公司（John Wiley&Sons），新泽西州霍博肯（Hoboken），2004年，第235页。
Shanks，D.《数论中已解决和未解决的问题》，第4版，纽约：切尔西出版社，第92-93页，1993年。
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链接
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配方奶粉
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数学
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f[n_]：=哪个[OddQ[n]、PrimeNu[n]和EvenQ[n]&&！整数Q[n/4]，
PrimeNu[n]-1，整数Q[n/4]&&！整数Q[n/8]，PrimeNu[n]，
整数Q[n/8]，PrimeNu[n]+1]；连接[{1，1}，
表[f[n]，{n，3，102}]](*杰弗里·克雷策2014年12月24日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=如果（n<=2，1，#znstar（n）[3]）\\乔格·阿恩特2014年8月26日
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交叉参考
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关键词
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非n,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 4, 6, 4, 2, 4, 12, 6, 8, 8, 16, 6, 18, 8, 12, 2, 22, 8, 4, 12, 18, 12, 28, 8, 6, 16, 4, 16, 24, 12, 36, 18, 24, 16, 8, 12, 42, 4, 24, 22, 46, 16, 42, 4, 32, 24, 52, 18, 8, 24, 36, 28, 58, 16, 12, 6, 36, 32, 48, 4, 66, 32, 44, 24, 14, 24, 72, 36, 8, 36, 12, 24, 78, 32, 54, 8, 82, 24
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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1,3
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评论
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数字集j^5 mod n的大小，gcd（j，n）=1，1<=j<=n。
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链接
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萨默·塞拉吉，计算一般功率剩余，不是。麻木的。Th.Disc.公司。数学。28 (4) (2022) 730-743.
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配方奶粉
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猜想：对于e<=1，a（2^e）=1；当e>=1时，a（2^e）=2^（e-1）；a（5）=4；对于e>1，a（5^e）=4*5^（e-2）；对于p=={2,3,4}（mod 5），a（p^e）=（p-1）*p^（e-1）；a（p^e）=（p-1）*p^（e-1）/5，对于p==1（mod 5）-R.J.马塔尔2017年10月13日
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MAPLE公司
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局部r，j；
r:={}；
对于从1到n的j do
如果igcd（j，n）=1，则
r:=r联合{modp（j&^5，n）}；
结束条件：；
结束do：
nops（r）；
结束进程：
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数学
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a[n]：=模[{r，j}，r={}；对于[j=1，j<=n，j++，如果[GCD[j，n]==1，r=r~联合~{PowerMod[j，5，n]}]]；长度[r]]；
f[p_，e_]：=（p-1）*p^（e-1）/如果[Mod[p，5]==1，5，1]；f[2，e_]：=2^（e-1）；f[2,1]=1；f[5，e_]：=4*5^（e-2）；f[5，1]=4；a[1]=1；a[n_]：=倍@@f@@FactorInteger[n]；数组[a，100](*阿米拉姆·埃尔达尔2023年8月10日*）
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交叉参考
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关键词
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非n,多重
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, 2, 2, 4, 2, 2, 4, 2, 4, 10, 4, 4, 2, 8, 8, 16, 2, 6, 8, 4, 10, 22, 8, 20, 4, 6, 4, 28, 8, 10, 16, 20, 16, 8, 4, 12, 6, 8, 16, 40, 4, 14, 20, 8, 22, 46, 16, 14, 20, 32, 8, 52, 6, 40, 8, 12, 28, 58, 16, 20, 10, 4, 32, 16, 20, 22, 32, 44, 8, 70, 8, 24, 12, 40, 12, 20, 8, 26, 32, 18, 40
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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1,3
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评论
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链接
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史蒂文·芬奇和帕斯卡·塞巴，平方和立方模n，arXiv:math/0604465[math.NT]，2006-2016。
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配方奶粉
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与a（3）=2相乘，a（3^k）=2*3^（k-2）否则；
a（p^k）=（p-1）*p^（k-1）/3，如果素数p==1模6；对于所有其他素数p，a（p^k）=（p-1）*p^（k-1）-罗伯特·伊斯雷尔2015年1月4日
求和{k=1..n}a（k）~c*n^2/log（n）^（1/3），其中c=（17/（36*Gamma（2/3）））*Product_{p=3或pprime==2（mod 3）}（1+1/*p）*（1-1/p）^）-阿米拉姆·埃尔达尔2022年10月18日
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MAPLE公司
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b： =程序（p，i）
如果p=3，那么如果i=1，那么2其他2*3^（i-2）fi
elif p mod 6=1，则（p-1）*p^（i-1）/3
其他（p-1）*p^（i-1）
fi（菲涅耳）
结束进程：
seq（mul（b（f[1]，f[2]），f=ifactors（n）[2]），n=1。。1000）#罗伯特·伊斯雷尔2015年1月4日
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数学
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映射[Length，Table[Select[Range[n]，CoprimQ[#，n]&&IntegerQ[PowerMod[#，1/3，n]&]，{n，1，82}]](*杰弗里·克雷策2015年1月7日*）
f[p_，e_]：=（p-1）*p^（e-1）/如果[Mod[p，6]==1，3，1]；f[3，e_]：=2*3^（e-2）；f[3，1]=2；a[1]=1；a[n_]：=倍@@f@@FactorInteger[n]；数组[a，100](*阿米拉姆·埃尔达尔2023年8月10日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=我的（f=系数（n））；prod（j=1，#f~，p=f[j，1]；k=f[j，2]；如果（p==3，如果（k==1，2，2*3^（k-2）），如果（p%6）==1（（p-1）*p^（k-1））/3，（p-1\\米歇尔·马库斯，2015年1月5日
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交叉参考
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关键词
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多重,非n
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作者
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Yuval Dekel（dekelyuval（AT）hotmail.com），2003年9月27日
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 3, 8, 24, 120, 840, 9240, 120120, 2042040, 38798760, 892371480, 25878772920, 802241960520, 29682952539240, 1217001054108840, 52331045326680120, 2459559130353965640, 130356633908760178920, 7691041400616850556280
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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0,2
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评论
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任何模量中1的平方根数都是2的幂。
同样的另一种表达方式是：这也是“m*k+1是正方形”的解数m的记录设置值，对于某些k，0<=k<=m。对于a（0）=m=1，有1个解；对于m=a（n），n>0，有2^n个解的第一次出现。与进行比较A006278号. -理查德·福伯格2016年3月18日
a（n）是秩（（Z/kZ）*）=n的最小k。有限生成群秩（G）的秩定义为G的最小生成集的大小。特别是，如果k<=2，秩（Z/kZ）*=0，并且A046072号（k） 否则。
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链接
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配方奶粉
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例子
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a（3）=24，因为24是最小模量，其2^3平方根为1，即1,5,7,11,13,17,19,23。
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数学
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{1，3}~联接~表[4乘积[Prime[k]，{k，n}]，{n，17}](*迈克尔·德弗利格2016年3月27日*）
nxt[{a_，p_}]：={a*下一个素数[p]，下一个素[p]}；联接[{1，3}，NestList[nxt，{8，2}，20][[All，1]]（*或*）联接[{1，3{，4*FoldList[Times，Prime[Range[21]]](*哈维·P·戴尔2016年12月18日*）
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黄体脂酮素
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交叉参考
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关键词
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容易的,非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 3, 1, 5, 1, 3, 3, 1, 1, 4, 3, 9, 1, 3, 5, 11, 1, 5, 3, 9, 3, 7, 1, 15, 2, 5, 4, 3, 3, 9, 9, 3, 1, 10, 3, 21, 5, 3, 11, 23, 1, 21, 5, 4, 3, 13, 9, 5, 3, 9, 7, 29, 1, 15, 15, 9, 4, 3, 5, 33, 4, 11, 3, 35, 3, 18, 9, 5, 9, 15, 3, 39, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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1,7
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评论
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在乘法群模n的字符表中，有φ（n）不同的字符。[例如，arXiv:1008.2547中的行数明确了这一点。]所有表示中字符的四次幂集都有一些基数，它定义了序列。
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链接
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配方奶粉
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e≤3时与a（2^e）=1相乘；当e>=4时，a（2^e）=2^（e-4）；a（p^e）=p^（e-1）*（p-1）/4，对于e>=1且p==1（mod 4）；a（p^e）=p^（e-1）*（p-1）/2，对于e>=1和p==3（mod 4）。（来源于A073103号.) -R.J.马塔尔2017年10月13日
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例子
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对于n≤6，所有表示中的所有字符集都由+1、-1、+i或-i的子集组成。它们的四次幂都是+1，是一个单一值，因此a（n）=1。
对于n=7，字符集是1、-1、+-1/2+-sqrt（3）*i/2，因此它们的四次幂是1或-1/2+-sqrt（三）*i/2，这是三个不同的值，因此a（7）=3。
对于n=11，字符的四次幂可以是1、exp（+-2*i*Pi/5）或exp（+4*i*Pi/5），这是5个不同的值。
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MAPLE公司
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结束进程：
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数学
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a[n_]：=EulerPhi[n]/计数[范围[0，n-1]^4-1，k_/；可分割[k，n]]；
f[p_，e_]：=（p-1）*p^（e-1）/如果[Mod[p，4]==1，4，2]；f[2，e_]：=如果[e<=3，1，2^（e-4）]；a[1]=1；a[n_]：=倍@@f@@FactorInteger[n]；数组[a，100](*阿米拉姆·埃尔达尔2023年8月10日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=我的（f=系数（n））；prod（i=1，#f~，if（f[i，1]==2，2^max（0，f[i、2]-4），f[i,1]^（f[1，2]-1）*（f[i，1]-1）/if（f[l，1]%4==1，4，2））\\查尔斯·格里特豪斯四世2015年3月2日
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交叉参考
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关键词
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容易的,非n,多重
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 5, 1, 2, 1, 2, 2, 8, 1, 3, 2, 1, 5, 11, 1, 10, 2, 3, 1, 14, 2, 5, 4, 5, 8, 2, 1, 6, 3, 2, 2, 20, 1, 7, 5, 2, 11, 23, 2, 7, 10, 8, 2, 26, 3, 10, 1, 3, 14, 29, 2, 10, 5, 1, 8, 4, 5, 11, 8, 11, 2, 35, 1, 12, 6, 10, 3, 5, 2, 13, 4, 9, 20
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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1,5
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评论
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数字集j^6 mod n的大小，gcd（j，n）=1，1<=j<=n。
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链接
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配方奶粉
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猜想：对于e<=3，a（2^e）=1；当e>=3时，a（2^e）=2^（e-3）；对于e<=2，a（3^e）=1；对于e>=2，a（3^e）=3^（e-2）；对于p==5（mod 6），a（p^e）=（p-1）*p^（e-1）/2；a（p^e）=（p-1）*p^（e-1）/6，对于p==1（mod 6）-R.J.马塔尔2017年10月13日
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MAPLE公司
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局部r，j；
r:={}；
对于从1到n的j do
如果igcd（j，n）=1，则
r:=r联合{modp（j&^6，n）}；
结束条件：；
结束do：
nops（r）；
结束进程：
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数学
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a[n_]：=EulerPhi[n]/Count[范围[0，n-1]^6-1，k_/；可分[k，n]]；
f[p_，e_]：=（p-1）*p^（e-1）/如果[模式[p，6]==1，6，2]；f[2，e_]：=如果[e<=3，1，2^（e-3）]；f[3，e_]：=如果[e<=2，1，3^（e-2）]；a[1]=1；a[n_]：=倍@@f@@FactorInteger[n]；数组[a，100](*阿米拉姆·埃尔达尔，2023年8月10日*）
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交叉参考
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关键词
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非n,多重
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 4, 6, 4, 10, 4, 12, 6, 8, 8, 16, 6, 18, 8, 12, 10, 22, 8, 20, 12, 18, 12, 4, 8, 30, 16, 20, 16, 24, 12, 36, 18, 24, 16, 40, 12, 6, 20, 24, 22, 46, 16, 6, 20, 32, 24, 52, 18, 40, 24, 36, 4, 58, 16, 60, 30, 36, 32, 48, 20, 66, 32, 44, 24, 10, 24, 72, 36, 40, 36
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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1,3
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评论
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数字集j^7 mod n的大小，gcd（j，n）=1，1<=j<=n。
A000010号（n） /a（n）是另一个乘法整数序列（模n的乘法群与模n的七次乘法群同构的核的大小）。
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链接
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配方奶粉
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猜想：对于e<=1，a（2^e）=1；当e>=1时，a（2^e）=2^（e-1）；当e=1时，a（7^e）=6；对于e>=2，a（7^e）=6*7^（e-2）；对于p={2,3,4,5,6}（mod 7），a（p^e）=（p-1）*p^（e-1）；a（p^e）=（p-1）*p^（e-1）/7，对于p==1（mod 7）-R.J.马塔尔2017年10月13日
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MAPLE公司
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局部r，j；
r:={}；
对于从1到n的j do
如果igcd（j，n）=1，则
r:=r联合{modp（j&^7，n）}；
结束条件：；
结束do：
nops（r）；
结束进程：
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数学
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a[n_]：=EulerPhi[n]/计数[范围[0，n-1]^7-1，k_/；可分[k，n]]；
f[p_，e_]：=（p-1）*p^（e-1）/如果[模式[p，7]==1，7，1]；f[2，e_]：=2^（e-1）；f[7，1]=6；f[7，e_]：=6*7^（e-2）；a[1]=1；a[n_]：=倍@@f@@FactorInteger[n]；数组[a，100](*阿米拉姆·埃尔达尔2023年8月10日*）
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交叉参考
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关键词
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非n,多重
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 3, 1, 5, 1, 3, 3, 1, 1, 2, 3, 9, 1, 3, 5, 11, 1, 5, 3, 9, 3, 7, 1, 15, 1, 5, 2, 3, 3, 9, 9, 3, 1, 5, 3, 21, 5, 3, 11, 23, 1, 21, 5, 2, 3, 13, 9, 5, 3, 9, 7, 29, 1, 15, 15, 9, 2, 3, 5, 33, 2, 11, 3, 35, 3, 9, 9, 5, 9, 15, 3, 39, 1, 27, 5, 41, 3, 2
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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1,7
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评论
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数字集j^8 mod n的大小，gcd（j，n）=1，1<=j<=n。
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链接
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配方奶粉
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与a（2^e）=1相乘表示e<=4，a（2*e）=2^（e-5）表示e>=5；a（p^e）=（p-1）*p^（e-1）/8，对于p==1（mod 8）；a（p^e）=（p-1）*p^（e-1）/4，对于p==5（mod 8）；对于p=={3,7}（mod 8），a（p^e）=（p-1）*p^（e-1）/2-R.J.马塔尔，2017年10月15日[由更正乔治·菲舍尔，2022年7月21日]
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MAPLE公司
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局部r，j；
r:={}；
对于从1到n的j do
如果igcd（j，n）=1，则
r:=r联合{modp（j&^8，n）}；
结束条件：；
结束do：
nops（r）；
结束进程：
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数学
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a[n_]：=EulerPhi[n]/计数[范围[0，n-1]^8-1，k_/；可分[k，n]]；
f[p_，e_]：=（p-1）*p^（e-1）/开关[模式[p，8]，1，8，5，4，_，2]；f[2，e_]：=如果[e<=4，1，2^（e-5）]；a[1]=1；a[n_]：=倍@@f@@FactorInteger[n]；数组[a，100](*阿米拉姆·埃尔达尔2023年8月10日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）
g（p，e）=如果（p==2,2^min（e-1,4），如果（p%4==3,2，if（p%8==5,4,8））；
A247257号（n） =我的（f=系数（n））；触头（i=1，#f~，g（f[i，1]，f[i、2]））；
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交叉参考
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关键词
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非n,多重
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作者
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