搜索： a039817-编号：a03982017
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A008275号
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| 由第一类斯特林数行读取的三角形，s（n，k），n>=1，1<=k<=n。 |
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1, -1, 1, 2, -3, 1, -6, 11, -6, 1, 24, -50, 35, -10, 1, -120, 274, -225, 85, -15, 1, 720, -1764, 1624, -735, 175, -21, 1, -5040, 13068, -13132, 6769, -1960, 322, -28, 1, 40320, -109584, 118124, -67284, 22449, -4536, 546, -36, 1, -362880, 1026576, -1172700, 723680, -269325, 63273, -9450, 870, -45, 1
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评论
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无符号数也称为斯特林循环数：|s（n，k）|=正好有k个循环的n个对象的排列数。
无符号数字（从右到左读取）也给出了复杂度为k的1..n的置换数，其中置换的复杂度定义为周期长度减去周期数之和。换句话说，复杂度等于所有循环的（循环长度）-1之和。对于n=5，复杂度为0、1、2、3、4的排列数为1、10、35、50、24-N.J.A.斯隆2019年2月8日
无符号数字也是1..n从左到右最大k的排列数（参见Khovanova和Lewis，Smith）。
其中P（n）=n的整数分区数，T（i，n）=n的第i个分区的部分数，D（i，n）=n第i个划分的不同部分数，P（j，i，n=从i=1到i=p（n）的和，但只考虑T（i，n）=k部分的分区，Product_{j=1..T（i、n）}=从j=1到j=T（i），Product__{j=1..D（i，n）}=从j=1到j=D（i）的积，其中S1（n，k）=sum_[T（i p（j，i，n））*（1/Product_{j=1..D（i，n。例如，S1（6,3）=225，因为n=6具有以下k=3部分的分区：（114）、（123）、（222）。他们的肤色是：（114）：（6！/1*1*4）*（1/2！*1！）=90，（123）：。络合物之和为90+120+15=225=S1（6,3）-托马斯·维德2005年8月4日
|s（n，k）枚举了由k个递增的非平面（无序）树组成的无序n顶点森林。从第一列和f.Bergeron等参考文献的示例f中，尤其是表1最后一行（非平面“递归”）的证明，见A049029号. -沃尔夫迪特·朗2007年10月12日
|s（n，k）枚举了由k个一元树组成的无序递增n顶点k森林（从{0,1}导出r），其深度顶点（与根的距离）j>=0以j+1颜色表示（对于k根，j=0）-沃尔夫迪特·朗2007年10月12日，2008年2月22日
第一类Stirling数与下降阶乘和1924年Norlund通过求和{k=1..n+1}T（n+1，k）*x^（k-1）=（x-1）卷积或广义Bernoulli数B_n有关/（x-1-n）！=（x+B.（0））^n=B_n（x），用（B.（0-汤姆·科普兰2015年9月29日
如果x=e^z、D_x=D/dx、D_z=D/dz和p_n（x），则此条目的行多项式为x^n（D_x）^n=p_n（D_z-n）！=（xD_x）！/（xD_x-n）-汤姆·科普兰，2015年11月27日
从算子关系z+Psi（1）+sum_{n>0}（-1）^n（-1/n）二项式（D，n）=z+Psi（1+D），其中D=D/dz，Psi是digamma函数，Zeta（n+1）=sum_{k>n-1}（1/k）|S（k，n）|/k！对于n>0且Zeta为Riemann-Zeta函数-汤姆·科普兰2016年8月12日
让X_1，。。。，X_n是平均值为1的指数分布的i.i.d.随机变量。设Y=最大值{X_1，…，X_n}。那么（-1）^n*n/（Sum_{k=1..n+1}a（n+1，k）t^（k-1））是Y的矩母函数。Y的期望值是n次谐波数-杰弗里·克雷策2018年12月25日
在描述无限等位基因模型下大小为n的样本中等位基因类大小的多元概率分布的Ewens抽样理论中，|s（n，k）|给出了n个等位基因样本恰好具有k个不同类型的概率公式中的系数-诺亚·A·罗森博格2019年2月10日
尼尔森（1906）以苏格兰数学家詹姆斯·斯特林（1692-1770）的名字命名-阿米拉姆·埃尔达尔2021年6月11日和2023年10月2日
牛顿于1664或1665年写的手稿（Turnbull第169页）中发现了前几行多项式和递归公式，给出了有理幂二项式定理的几何表示-汤姆·科普兰2022年12月10日
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参考文献
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。1964年第55辑（以及各种重印本），第833页。
Arthur T.Benjamin和Jennifer Quinn，《真正重要的证明：组合证明的艺术》，M.A.A.2003，第93页及其后。
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链接
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Dragoslav S.Mitrinović和Ruíica S.Mitrinović，斯特林名录贝尔格莱德大学。出版物。埃利克特罗恩。法克。序列号。材料Fiz。，第77号（1962年），第1-77页【jstor稳定版】。
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詹姆斯·斯特林，微分法伦敦，1749年；见第10页。
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配方奶粉
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s（n，k）=s（n-1，k-1）-（n-1）*s（n-l，k），n，k>=1；s（n，0）=s（0，k）=0；s（0，0）=1。
无符号数a（n，k）=|s（n，k）|满足a（n、k）=a（n-1，k-1）+（n-1）*a（n-l，k），n，k>=1；a（n，0）=a（0，k）=0；a（0，0）=1。
例如：对于第m列（无符号）：（（-log（1-x））^m）/m！。
s（n，k）=T（n-1，k-1），n>1和k>1，其中T（n，k）是三角形[1，-1，-2，-2，-3，-3，-4，-4，-5，-6，-6，…]DELTA[1，0，1A084938号。无符号数字也为|s（n，k）|=T（n-1，k-1），对于n>0和k>0，其中T（n，k）=[1，1，2，2，3，3，4，4，5，…]DELTA[1，0，1，0，0，…]。
求和{i=0..n}（-1）^（n-i）*斯特林S1（n，i）*二项式（i，k）=（-1）*（n-k）*斯特林S1（n+1，k+1）.-卡洛·伍德（Carlo（AT）alinoe.com），2007年2月13日
G.f.：S（n）=产品{j=1..n}（x-j）（即（x-1）*（x-2）*（x-3）=x^3-6*x^2+11*x-6）-乔恩·佩里2005年11月14日
a（n，k）=s（n，k）=lim_{y->0}和{j=0..k}（-1）^j*二项式（k，j）*（（-j*y）/（-j*y-n）！）*y^（-k）/k！=求和{j=0..k}（-1）^（n-j）*二项式（k，j）*（（j*y-1+n）/（j*y-1）！）*y^（-k）/k-汤姆·科普兰2015年8月28日
设x_（0）：=1（空积），且对于n>=1：
x_（n）：=Product_{k=0..n-1}（x-k），称为阶乘项（Boole，1970）或阶乘多项式（Elaydi，2005:p.60），以及x_（-n）：=1/[Product_{k=0..n-1{（x+k）]。
然后，对于n>=1:x_（n）=Sum_{k=1..n}T（n，k）*x^k，1/[x_（-n）]=Sum_{k=1A008277号（n，k）*x（k），其中A008277号（n，k）是第二类斯特林数。
行和（有符号值或绝对值）是和{k=1..n}T（n，k）=0^（n-1），和{k=1..n}|T（n、k）|=T（n+1）=n！。（结束）
s（n，m）=（（-1）^（n-m）/n）*Sum_{i=0..m-1}C（2*n-m-i，m-i-1）*A008517号（n-m+1，n-m-i+1）-弗拉基米尔·克鲁奇宁2018年2月14日
正交关系：和{i=0..n}i^p*和{j=k.n}（-1）^（i+j）*二项式（j，i）*斯特林1（j，k）/j！=δ（p，k），i，k，p<=n，n>=1-列奥尼德·贝德拉图克2020年7月27日
求和{k=1..n}（-1）^k*k*T（n，k）=-T（n+1，2）。
求和{k=1..n}k*T（n，k）=（-1）^n*（n-2）！=当n>=2时，T（n-1，1）。（结束）
第n行多项式=n*求和{k=0..2*n}（-1）^（n+k）*二项式（x，k）*二项式（x-1，2*n-k）=n*求和{k=0..2*n+1}（-1）^（n+k+1）*二项式（x，k）*二项式（x-1，2*n+1-k）-彼得·巴拉2024年3月29日
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例子
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|s（3,2）|=3，对于三个无序2-森林，有三个顶点和两个增加（非平面）树：（1），（2,3）），（2），（1,3））（3），（1，2））。
三角形开始：
1
-1, 1
2, -3, 1
-6, 11, -6, 1
24, -50, 35, -10, 1
-120, 274, -225, 85, -15, 1
720、-1764、1624、-735、175、-21、1
-5040, 13068, -13132, 6769, -1960, 322, -28, 1
40320, -109584, 118124, -67284, 22449, -4536, 546, -36, 1
同一三角形的另一个版本，来自乔格·阿恩特，2009年10月5日：（开始）
s（n，k）：=恰好具有k个循环的n个元素的置换数（“斯特林循环数”）
n |总m=1 2 3 4 5 6 7 8 9
-+-----------------------------------------------------
1| 1 1
2| 2 1 1
3| 6 2 3 1
4| 24 6 11 6 1
5| 120 24 50 35 10 1
6| 720 120 274 225 85 15 1
7| 5040 720 1764 1624 735 175 21 1
8| 40320 5040 13068 13132 6769 1960 322 28 1
9| 362880 40320 109584 118124 67284 22449 4536 546 36 1
（结束）
|s（4,2）|=11是由（1），（23）（24）），（2），（13）（14），（3），（12）（14；((1),(2,3,4)),((2),(1,2,3)), ((3), (1,2,4)), ((4),(1,2,3)); ((1,2),(3,4)), ((1,3),(2,4)), ((1,4),(2,3)). -沃尔夫迪特·朗2008年2月22日
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MAPLE公司
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其中（combint）：seq（seq（stirling1（n，k），k=1..n），n=1..10）#零入侵拉霍斯2007年6月3日
对于从0到9的i，执行seq（stirling1（i，j），j=1。。i） od#零入侵拉霍斯2007年11月29日
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数学
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黄体脂酮素
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（PARI）T（n，k）=如果（n<1，0，n！*polcoeff（二项式（x，n），k））
（PARI）T（n，k）=如果（n<1，0，n！*polceoff（polceof（（1+x+x*O（x^n））^y，n），k））
（PARI）vecstirling（n）=Vec（factorback（vector（n-1，i，1-i*'x）））/*（将所有s（n，k）作为向量返回的函数）*/\\Bill Allombert（Bill.Allombert-（AT）math.u-bordeaux1.fr），2009年3月16日
（最大值）create_list（stirling1（n+1，k+1），n，0，30，k，0，n）/*伊曼纽尔·穆纳里尼2012年6月1日*/
（哈斯克尔）
a008275 n k=a008275_tabl！！（n-1）！！（k-1）
a008275_row n=a008275-tabl！！（n-1）
a008275_tabl=映射尾部$tail a048994_tabl
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交叉参考
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关键字
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作者
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状态
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经核准的
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A048994号
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| 第一类斯特林数三角，s（n，k），n>=0，0<=k<=n。 |
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+10
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1, 0, 1, 0, -1, 1, 0, 2, -3, 1, 0, -6, 11, -6, 1, 0, 24, -50, 35, -10, 1, 0, -120, 274, -225, 85, -15, 1, 0, 720, -1764, 1624, -735, 175, -21, 1, 0, -5040, 13068, -13132, 6769, -1960, 322, -28, 1, 0, 40320, -109584, 118124, -67284, 22449, -4536, 546, -36, 1, 0, -362880, 1026576, -1172700, 723680, -269325, 63273, -9450, 870, -45, 1
(列表；桌子；图表；参考文献；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,8
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评论
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无符号数也称为斯特林循环数：|s（n，k）|=正好有k个循环的n个对象的排列数。
此外，三角形给出了C（x，n）=（a（k）*x^k）/n！展开式中x^k的系数T（n，k）-莫赫塔尔·穆罕默德2012年12月4日
这是Jabotinsky类型的Sheffer三角形（1，log（1+x））。请参见下面三角形的示例f。
这是Stirling2 Sheffer三角形的反向Sheffer-三角形A008275号.
柱重复出现的Boas-Buck序列具有o.g.f.B（x）=Sum_{n>=0}B（n）*x^n=1/（（1+x）*log（1+x））-1/x.B（n）=（-1）^（n+1）*A002208号（n+1）/A002209号（n+1），b={-1/2，5/12，-3/8，251/720，-95/288，19087/60480，…}。关于Riordan和Sheffer三角形的Boas-Buck重现性，请参见2017年8月10日的备注A046521美元，改编为谢弗案，也供参考。请参阅下面的循环和示例-沃尔夫迪特·朗2018年11月14日
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参考文献
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。1964年第55辑（以及各种重印本），第833页。
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J.Riordan，《组合分析导论》，第48页。
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链接
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。第55辑，第十次印刷，1972年[备选扫描件]。
阿斯卡·朱马迪尔·达耶夫和达米尔·叶利乌西佐夫，行走、分区和正常排序《组合数学电子杂志》，22（4）（2015），#P4.10。
Ken Ono、Larry Rolen和Florian Sprung，模块形式周期的齐塔多项式第6页，arXiv:1602.00752[math.NT]，2016年。
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配方奶粉
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s（n，k）=A008275号（n，k）对于n>=1，k=1..n；列k=0是{1，重复（0）}。
s（n，k）=s（n-1，k-1）-（n-1）*s（n-l，k），n，k>=1；s（n，0）=s（0，k）=0；s（0，0）=1。
无符号数a（n，k）=|s（n，k）|满足a（n、k）=a（n-1，k-1）+（n-1）*a（n-l，k），n，k>=1；a（n，0）=a（0，k）=0；a（0，0）=1。
三角形（有符号）=[0，-1，-1，-2，-2，-3，-3，-4，-4，…]DELTA[1，0，1，0，0，1,0，…]；三角形（无符号）=[0，1，1，2，2，3，3，4，4，…]Δ[1，0，1，0，1，0，0，…]；其中DELTA是Deléham的运算符，定义于A084938号.
T（n，k）=n*[x^k]（[t^n]exp（x*log（1+t））-彼得·卢什尼，2010年12月30日，更新日期：2020年6月7日
Sheffer a序列的递归（见上面的注释）：s（n，k）=（n/k）*Sum_{j=0..n-k}二项式（k-1+j，j）*Bernoulli（j）*s（n-1，k-1+j），对于n>=1和k>=1，s（n，0）=0，如果n>=1，s（0,0）=1。
列k的Boas-Buck型递归：s（n，k）=（n！*k/（n-k））*Sum_{j=k.n.n-1}b（n-1-j）*s（j，k）/j！，对于n>=1和k=0..n-1，输入s（n，n）=1。关于序列b，请参阅上面的Boas-Buck注释。（结束）
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例子
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三角形开始：
n\k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9。。。
0 1
1 0 1
2 0 -1 1
3 0 2 -3 1
4 0 -6 11 -6 1
5 0 24 -50 35 -10 1
6 0 -120 274 -225 85 -15 1
7 0 720 -1764 1624 -735 175 -21 1
8 0 -5040 13068 -13132 6769 -1960 322 -28 1
9 0 40320 -109584 118124 -67284 22449 -4536 546 -36 1
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递归：s（5,2）=s（4,1）-4*s（4,2）=-6-4*11=-50。
a序列和z序列的递归：s（6，3）=2*（1*1*（-50）+3*（-1/2）*35+6*（1/6）*（-10）+10*0*1）=-225。
列k=3，其中b={-1/2，5/12，-3/8，…}的Boas-Buck递推：
s（6,3）=6*((-3/8)*1/3! + (5/12)*(-6)/4! + (-1/2)*35/5!) = -225.（完）
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MAPLE公司
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seq（打印（seq（系数（展开（k！*二项式（x，k）），x，i），i=0..k），k=0..9）#彼得·卢什尼2009年7月13日
A048994号_行：=进程（n）局部k；seq（系数（展开（pochhammer（x-n+1，n）），x，k），k=0..n）结束：#彼得·卢什尼2010年12月30日
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数学
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表[StirlingS1[n，m]，{n，0，9}，{m，0，n}](*彼得·卢什尼2010年12月30日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n，k）=如果（k<0|k>n，0，如果（n==0，1，（n-1）*a（n-1，k）+a（n-l，k-1））
（PARI）trg（nn）=对于（n=0，nn-1，对于（k=0，n，print1（stirling（n，k，1），“，”）；）；打印（）；）\\米歇尔·马库斯2015年1月19日
（最大值）create_list（stirling1（n，k），n，0，12，k，0，n）/*伊曼纽尔·穆纳里尼2011年3月11日*/
（哈斯克尔）
a048994 n k=a048994_tabl！！不！！k个
a048994_row n=a048994 _ tabl！！n个
a048994_tabl=映射fst$迭代（\（行，i）->
（zipWith（-）（[0]++行）$map（*i）（行++[0]），i+1））（[1]，0）
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交叉参考
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关键字
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作者
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扩展
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经核准的
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1, -2, 1, 7, -6, 1, -35, 40, -12, 1, 228, -315, 130, -20, 1, -1834, 2908, -1485, 320, -30, 1, 17582, -30989, 18508, -5005, 665, -42, 1, -195866, 375611, -253400, 81088, -13650, 1232, -56, 1, 2487832, -5112570, 3805723, -1389612, 279048, -32130, 2100, -72, 1
(列表；桌子；图表；参考文献；听；历史；文本；内部格式)
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1,2
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评论
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指数Riordan数组[1/（（1+x）*（1+log（1+x））），log（1'log（l+x））]。无符号数组的行和给定A007840号（除了最初的期限）-彼得·巴拉，2014年7月22日
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链接
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配方奶粉
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第k列的示例：（（log（1+log（l+x）））^k）/k！。
例如：1/（1+t）*（1+log（1+t））^（x-1）=1+（-2+x）*t+（7-6*x+x^2）*t^2！+-彼得·巴拉，2014年7月22日
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例子
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三角形开始：
1;
-2, 1;
7, -6, 1;
-35, 40, -12, 1;
228, -315, 130, -20, 1;
-1834, 2908, -1485, 320, -30, 1;
...
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MAPLE公司
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#将（1，0，0，…）添加为列0。
BellMatrix（n->（-1）^n*add（k！*abs（Stirling1（n+1，k+1）），k=0..n），10）#彼得·卢什尼2016年1月28日
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数学
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最大值=9；t=表[StirlingS1[n，k]，{n，1，max}，{k，1，最大}]；t2=t.t；表[t2[[n，k]]，{n，1，max}，{k，1，n}]//展平(*Jean-François Alcover公司2013年2月1日*）
行=9；
t=表[（-1）^n*总和[k！*Abs[StirlingS1[n+1，k+1]]，{k，0，n}]，{n，0，rows}]；
T[n_，k_]：=腹部[n，k，T]；
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黄体脂酮素
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交叉参考
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作者
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经核准的
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1, 5, 40, 440, 6170, 105315, 2120610, 49242470, 1296133195, 38152216495, 1242274374380, 44345089721923, 1722416374173854, 72330102999829054, 3265871028909088036, 157797437377747327987, 8124524883679977475839, 444098724261935142753430
(列表；图表；参考文献；听；历史；文本；内部格式)
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1,2
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参考文献
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J.Ginsburg，迭代指数，脚本数学。，11 (1945), 340-353.
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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杰库希尔·金斯伯格，迭代指数，脚本数学。，11 (1945), 340-353. [带注释的扫描副本]
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配方奶粉
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例如：-log（1+log（1+log（1+log）））。
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数学
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黄体脂酮素
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（PARI）T（n，k）=如果（k==1，（n-1）！，总和（j=1，n，abs（斯特林（n，j，1））*T（j，k-1））；
（PARI）我的（N=20，x='x+O（'x^N））；Vec（serlaplace（-log（1+log（1+log（1+log（1+log（1+log（1-x）））））））\\Seiichi Manyama先生2022年2月11日
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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经核准的
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1, -3, 1, 15, -9, 1, -105, 87, -18, 1, 947, -975, 285, -30, 1, -10472, 12657, -4680, 705, -45, 1, 137337, -188090, 82887, -15960, 1470, -63, 1, -2085605, 3159699, -1598954, 370237, -43890, 2730, -84, 1, 36017472, -59326371, 33613353, -9009294, 1292067, -103950, 4662, -108, 1
(列表；桌子；图表；参考文献；听；历史；文本；内部格式)
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1,2
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链接
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配方奶粉
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第k列的示例：（（log（1+log（l+log）（1+x）））^k）/k！。
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例子
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三角形开始：
1;
-3, 1;
15, -9, 1;
-105, 87, -18, 1;
947, -975, 285, -30, 1;
-10472, 12657, -4680, 705, -45, 1;
...
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MAPLE公司
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T： =矩阵（10，10，（i，j）->`如果`（i>=j，组合：-strling1（i，j），0））：
M： =T^3:
seq（seq（M[i，j]，j=1..i），i=1..10）#罗伯特·伊斯雷尔2022年9月12日
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数学
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压扁[表[SeriesCoefficient[（Log[1+Log[1+Log[1+x]]]）^k，{x，0，n}]n/k！，{n，9}，{k，n}]](*斯特凡诺·斯佩齐亚2022年9月12日*）
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交叉参考
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作者
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经核准的
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1, -4, 1, 26, -12, 1, -234, 152, -24, 1, 2696, -2210, 500, -40, 1, -37919, 36976, -10710, 1240, -60, 1, 630521, -704837, 245896, -36750, 2590, -84, 1, -12111114, 15132932, -6120324, 1109696, -101500, 4816, -112, 1, 264051201, -362099010, 165387680, -34990620, 3901296, -241164, 8232, -144, 1
(列表；桌子；图表；参考文献；听；历史；文本；内部格式)
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1,2
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链接
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配方奶粉
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第k列的示例：（（log（1+log（1+log（1A+x）））^k）/k！。
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例子
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三角形开始：
1;
-4, 1;
26, -12, 1;
-234, 152, -24, 1;
2696, -2210, 500, -40, 1;
-37919, 36976, -10710, 1240, -60, 1;
...
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MAPLE公司
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T： =矩阵（10，10，（i，j）->`如果`（i>=j，组合：-strling1（i，j），0））：
M： =时间^4：
seq（seq（M[i，j]，j=1..i），i=1..10）#罗伯特·伊斯雷尔2022年9月12日
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数学
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压扁[表[系列系数[（Log[1+Log[1+Log[1+Log[1+x]]]）^k，{x，0，n}]n/k！，{n，9}，{k，n}]](*斯特凡诺·斯佩齐亚2022年9月12日*）
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交叉参考
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经核准的
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A351527型
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| 例如，（对数（1+log（1+log（1+log（1+log）））^2/2的扩展。 |
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+10
2
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1, -15, 235, -4200, 86020, -2001055, 52305780, -1520815230, 48747603100, -1709228504170, 65115320810260, -2679459929923699, 118482699493123571, -5604477255138004835, 282449438671531808676, -15111729578894643263239
(列表；图表；参考文献；听；历史；文本；内部格式)
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2,2个
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配方奶粉
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黄体脂酮素
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（PARI）我的（N=20，x='x+O（'x^N））；Vec（塞拉普拉斯（对数（1+log（1+log（1+log（1+x））））^2/2））
（PARI）T（n，k）=如果（k==0，n==1，总和（j=0，n，abs（stirling（n，j，1））*T（j，k-1））；
a（n）=（-1）^n*和（k=1，n-1，二项式（n-1，k）*T（k，5）*T；
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