搜索： a039692-编号：a039691
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0, 1, 9, 59, 450, 4114, 43512, 528492, 7235568, 110499696, 1862118720, 34342356960, 688092312960, 14886351037440, 345878769358080, 8590707803462400, 227153424885811200, 6371121297516595200
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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1,3
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评论
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例如：（对数（1-x-x^2））^2/2。
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链接
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配方奶粉
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a（n）=A039692美元（n，2）；a（n）=（n-1）*总和（L（j）*L（n-j）/（n-j，j=1..n-1），n>=2，L（n）=A000032号（n） （卢卡斯）。
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数学
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使用[{nn=20}，系数列表[Series[Log[1-x-x^2]^2/2，{x，0，nn}]，x]范围[0，nn]！](*哈维·P·戴尔2017年6月11日*）
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交叉参考
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关键词
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容易的,非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 3, 1, 15, 9, 1, 105, 87, 18, 1, 945, 975, 285, 30, 1, 10395, 12645, 4680, 705, 45, 1, 135135, 187425, 82845, 15960, 1470, 63, 1, 2027025, 3133935, 1595790, 370125, 43890, 2730, 84, 1, 34459425, 58437855, 33453945, 8998290
(列表;桌子;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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两个下三角Jabotinsky矩阵的乘积（参见A039692号对于Knuth 1992参考），也是这样一个Jabotinsky矩阵：J（n，m）=Sum{J=m.n}J1（n，J）*J2（J，m）。这些三角形矩阵第一列的f.s以相反的顺序组成：f（x）=f2（f1（x））。J1（n，m）的f1（x）=-（log（1-2*x））/2=|A039683号J2（n，m）|和f2（x）=exp（x）-1=A008277号因此，对于J（n，m）=a（n，米），（n，m）有f2（f1（x））=1/sqrt（1-2*x）-1=f（x）。这证明了下面给出的矩阵乘积。Jabotinsky矩阵J（n，m）的第m列具有例如f.（f（x）^m）/m！，m> =1。
a（n，m）给出了具有m根有序树且n个非根顶点以有机方式标记的森林数。有机标记意味着从标签为0的根到任何叶（阶数为1的非根顶点）的（唯一）路径上的顶点标签都在增加。证明：首先对于m=1，然后对于m>=2，使用下面给出的a（n，m）的递推关系-沃尔夫迪特·朗2007年8月7日
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链接
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J.Fernando Barbero G.、Jesüs Salas、Eduardo J.s.Villaseñor、，一类线性递归的二元生成函数。一、总体结构，arXiv:1307.2010[math.CO]，2013-2014。
P.Blasiak、K.A.Penson和A.I.Solomon，玻色子正规序问题与广义贝尔数，arXiv:quant-ph/02120722002年。
P.Blasiak、K.A.Penson和A.I.Solomon，一般玻色子正规序问题，arXiv:quant-ph/04020272004年。
Richell O.Celeste、Roberto B.Corcino和Ken Joffaniel M.Gonzales。求正态阶系数的两种方法.整数序列杂志，第20卷（2017），第17.3.5条。
A.Dzhumadildaev和D.Yeliussizov，有向图的路分解及其在Weyl代数中的应用，arXiv预印本arXiv:1408.6764v1[math.CO]，2014。[第1版包含许多对OEIS的引用，这些引用在第2版中被删除-N.J.A.斯隆2015年3月28日]
阿斯卡·朱马迪尔·达耶夫和达米尔·叶利乌西佐夫，走道、隔板和正常排序《组合数学电子杂志》，22（4）（2015），#P4.10。
D.E.Knuth，卷积多项式，arXiv:math/9207221[math.CA]；《数学杂志》2.1（1992），第4期，第67-78页。
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配方奶粉
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a（n，m）=和{j=m.n}|A039683号（n，j）|*S2（j，m）（矩阵乘积），其中S2（j，m）：=A008277号（j，m）（斯特林2三角形）。私人通信沃尔夫迪特·朗E.Neuwirth，2001年2月15日；另请参阅2001年Neuwirth参考。请参阅关于Jabotinsky矩阵乘积的评论。
a（n，m）=n*A035324号（n，m）/（m！*2^（n-m）），n>=m>=1；a（n+1，m）=（2*n+m）*a（n，m）+a（n、m-1）；a（n，m）：=0，n<m；a（n，0）：=0，a（1，1）=1。
第m列的示例：（（x*c（x/2）/sqrt（1-2*x））^m）/m！，其中c（x）=加泰罗尼亚数字的g.fA000108号.
G.f.（1/sqrt（1-2*x）-1）^k=Sum_{n>=k}（k！/n！）*a（n，k）*x^n。
a（n，k）=2^（n+k）*n！/（4^n*n*k！）*和{j=0..n-k}（j+k）*2^（j）*二项式（j+k-1，k-1）*二项式（2*n-j-k-1，n-1）。（结束）
例如：g（x，t）=exp（t*A（x））=1+t*x+（3*t+t^2）*x^2/2！+（15*t+9*t^2+t^3）*x^3/3！+。。。，其中A（x）=-1+1/sqrt（1-2*x）满足自治微分方程A'（x）=（1+A（x”）^3。
生成函数G（x，t）满足偏微分方程t*（dG/dt+G）=（1-2*x）*dG/dx，其遵循上述递推公式。
由Dobinski型公式R（n，x）=exp（-x）*Sum_{k>=1}k*（k+2）**（k+2*n-2）*x^k/k-彼得·巴拉2014年6月22日
T（n，k）=2^（k-n）*超几何（[k-n，k+1]，[k-2*n+1]，2）*伽马（2*n-k）/（伽马（k）*伽玛（n-k+1））-彼得·卢什尼2015年3月31日
T（n，k）=2^n*Sum_{j=1..k}（（-1）^（k-j）*二项式（k，j）*Pochhammer（j/2，n））/k-彼得·卢什尼2024年3月4日
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例子
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矩阵开始：
1;
3, 1;
15, 9, 1;
105、87、18、1；
945, 975, 285, 30, 1;
...
a（3,2）=9的组合意义：叶标记为1,2,3，根标记为0的三根有序树的九个递增路径序列是：{（0,3），[（0,1），（0,2）]}；{(0,3),[(0,2),(0,1)]}; {(0,3),(0,1,2)}; {(0,1),[(0,3),(0,2)]}; [(0,1),[(0,2),(0,3)]]; [(0,2),[(0,1),(0,3)]]; {（0,2），[（0,3），（0,1）]}；{(0,1),(0,2,3)}; {(0,2),(0,1,3)}.
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MAPLE公司
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T:=（n，k）->2^（k-n）*超几何（[k-n，k+1]，[k-2*n+1]，2）*GAMMA（2*n-k）/
（γ（k）*γ（n-k+1））；对于从1到9的n，做seq（简化（T（n，k）），k=1..n）od#彼得·卢什尼2015年3月31日
T:=（n，k）->局部j；2^n*加（（-1）^（k-j）*二项式（k，j）*pochhammer（j/2，n），j=1..k）/k！：对于从1到6的n，做序列（T（n，k），k=1..n）od#彼得·卢什尼2024年3月4日
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数学
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a[n，k_]：=2^（n+k）*n/（4^n*n*k！）*和[（j+k）*2^（j）*二项式[j+k-1，k-1]*二项法[2*n-j-k-1，n-1]，{j，0，n-k}]；扁平[表[a[n，k]，{n，1，9}，{k，1，n}][[1；；40]](*Jean-François Alcover公司2011年6月1日之后弗拉基米尔·克鲁奇宁*)
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黄体脂酮素
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（最大值）a（n，k）：=2^（n+k）*n/（4^n*n*k！）*总和（（j+k）*2^（j）*二项式（j+k-1，k-1）*二项式（2*n-j-k-1，n-1），j，0，n-k）/*弗拉基米尔·克鲁奇宁2011年3月30日*/
（哈斯克尔）
a035342 n k=a035342_tabl！！（n-1）！！（k-1）
a035342_行n=a035342 _ tabl！！（n-1）
a035342_tabl=映射fst$iterate（\（xs，i）->（zipWith（+）
（[0]++xs）$zipWith（*）[i..]（xs++[0]），i+2））（[1]，3）
#添加列1，0，0。。。在三角形的左边。
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交叉参考
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关键词
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A005442号
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| a（n）=n*斐波那契（n+1）。
（原名M3549）
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+10
21
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1, 1, 4, 18, 120, 960, 9360, 105840, 1370880, 19958400, 322963200, 5748019200, 111607372800, 2347586841600, 53178757632000, 1290674601216000, 33413695451136000, 919096314200064000, 26768324463648768000
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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使用{1，…，n}元素一次以形成列表序列的方法的数量，每个列表的长度为1或2Bob Proctor，2005年4月18日
成对数（p，S），其中p是{1,2，…，n}的置换，S是{1,2,…，n{的子集，因此如果S在S中，则p（S）不在S中。例如a（2）=4，因为我们有（p=（1）（2），S={}）；（p=（1,2），s={}）；（p=（1,2），s={1}）；（p=（1,2），s={2}）其中p以循环符号给出-杰弗里·克雷策2013年7月1日
陈述第一条注释的另一种方法是：a（n）是将[n]划分为最多2个块、对块进行排序以及对每个块中的元素进行排序的方法的数量。例如，a（5）=960，因为有3种情况：1）1、2、3、4、5：120个这样的有序块，1种方式对块中的元素进行排序，因此有120种方式；2） 12,3,4,5:240个这样的有序块，两种方法对块中的元素进行排序，因此有480种方法；3） 12,34,5:90这样的有序块，块内元素的4种排序方式，因此是360种排序方式-恩里克·纳瓦雷特2023年9月1日
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参考文献
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N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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P.R.J.Asveld，一类斐波那契序列，光纤。夸脱。，25 (1987), 81-83.
P.R.J.Asveld，另一类斐波那契序列，光纤。夸脱。，25 (1987), 361-364.
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配方奶粉
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例如：1/（1-x-x^2）。
递归的D-有限a（n）=n*a（n-1）+n*（n-1Detlef Pauly（dettodet（AT）yahoo.de），2003年9月22日
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数学
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表[Fibonacci[n+1]*n！，{n，0，20}]-零入侵拉霍斯2009年7月9日
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黄体脂酮素
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（岩浆）[因子（n）*Fibonacci（n+1）：[0.20]]中的n//G.C.格鲁贝尔2022年11月20日
（SageMath）[fibonacci（n+1）*范围（21）内n的阶乘（n）]#G.C.格鲁贝尔2022年11月20日
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交叉参考
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Fibonacci-Jabotinsky-triangle的行和A039692号.
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A075497号
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| 带缩放对角线的Stirling2三角形（2的幂）。 |
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+10
16
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1, 2, 1, 4, 6, 1, 8, 28, 12, 1, 16, 120, 100, 20, 1, 32, 496, 720, 260, 30, 1, 64, 2016, 4816, 2800, 560, 42, 1, 128, 8128, 30912, 27216, 8400, 1064, 56, 1, 256, 32640, 193600, 248640, 111216, 21168, 1848, 72, 1
(列表;桌子;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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这是Jabotinsky型的下三角无限矩阵。参见中给出的D.E.Knuth参考A039692号对于指数卷积阵列。
行多项式p（n，x）：=和{m=1..n}a（n，m）x^m，n>=1，例如f.J（x；z）=exp（（exp（2*z）-1）*x/2）-1。
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链接
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配方奶粉
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a（n，m）=（2^（n-m））*箍筋2（n，m）。
a（n，m）=（和{p=0..m-1}A075513号（m，p）*（（p+1）*2）^（n-m））/（m-1）！对于n>=m>=1，否则为0。
a（n，m）=2*m*a（n-1，m）+a（n-l，m-1），n>=m>=1，否则为0，其中a（n、0）：=0，a（1，1）=1。
第m列的G.f:（x^m）/Product_{k=1..m}（1-2*k*x），m>=1。
例如，对于第m列：（（（exp（2*x）-1）/2）^m）/m！，m>=1。
t中的行多项式由在x=0时计算的D^n（exp（x*t））给出，其中D是运算符（1+2*x）*D/dx。囊性纤维变性。A008277美元. -彼得·巴拉2011年11月25日
第n行多项式R（n，x）=x o x o。。。o x（n因子），其中o是Bala第3.1节中定义的幂级数的变形Hadamard积。
R（n+1，x）/x=（x+2）o（x+2中）o…o（x+2）（n个因子）。
R（n+1，x）=x*Sum_{k=0..n}二项式（n，k）*2^（n-k）*R（k，x）。
Dobinski型公式：R（n，x）=exp（-x/2）*Sum_{i>=0}（2*i）^n*（x/2）^i/i！；1/x*R（n+1，x）=exp（-x/2）*Sum_{i>=0}（2+2*i）^n*（x/2）^i/i！。（结束）
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例子
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[1];[2,1];[4,6,1]; ...; p（3，x）=x*（4+6*x+x^2）。
三角形（0、2、0、4、0、6、0、8…）DELTA（1、0、1、0，1、0…）开始于：
1
0, 1
0, 2, 1
0, 4, 6, 1
0, 8, 28, 12, 1
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MAPLE公司
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使用（组合）：
b： =proc（n，i）选项记忆；展开（`if`（n=0，1，
`如果`（i<1，0，加上（x^j*多项式（n，n-i*j，i$j）/j*添加(
二项式（i，2*k），k=0..i/2）^j*b（n-i*j，i-1），j=0..n/i））
结束时间：
T： =n->（p->seq（系数（p，x，i），i=1..n））（b（n$2））：
#或者，以示例部分中显示的形式给出三角形：
gf:=exp（x*exp（z）*sinh（z））：
X:=n->系列（gf，z，n+2）：
Z:=n->n*展开（简化（系数（X（n），z，n））：
A075497号_row:=n->op（多项式工具：-系数列表（Z（n），x））：
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数学
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表[（2^（n-m））箍筋S2[n，m]，{n，9}，{m，n}]//压扁(*迈克尔·德弗利格2015年12月31日*）
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黄体脂酮素
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（Sage）#使用[inverse_bell_transform from2006年2月]
multivact_2_2=λn:prod（对于k in（0..n-1），2*k+2）
逆细胞矩阵（多因子2，9）#彼得·卢什尼2015年12月31日
（PARI）
对于（n=1,11，对于（m=1，n，打印1（2^（n-m）*stirling（n，m，2），“，”）；）；打印（）；）\\因德拉尼尔·戈什2017年3月25日
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A051141号
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| 按行读取的三角形：a（n，m）=S1（n，m）*3^（n-m），其中S1是第一类有符号斯特林数A008275号（n>=1，1<=m<=n）。 |
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+10
14
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1、-3、1、18、-9、1、-162、99、-18、1、1944、-1350、315、-30、1、-29160、22194、-6075、765、-45、524880、428652、131544、-19845、1575、-63、1、-11022480、9526572、3191076、548289、52920、2898、-84、264539520、239660208
(列表;桌子;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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原名：第一类广义斯特林数三角形。
a（n，m）=R_n^m（a=0，b=3），以给定参考的符号表示。
a（n，m）是一个Jabotinsky矩阵，也就是说，一元行多项式e（n，x）：=和{m=1..n}a（n、m）*x^m=Product_{j=0..n-1}（x-3*j），n>=1和e（0，x）:=1是指数卷积多项式（参见A039692号用于定义和Knuth参考）。
这是带符号的Stirling1三角形，对角线d>=0（主对角线d=0）按3^d缩放。
指数Riordan数组[1/（1+3*x），log（1+3**）/3]。无符号三角形是[1/（1-3*x），log（1/（1-3**）^（1/3））]-保罗·巴里2009年4月29日
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链接
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Richell O.Celeste、Roberto B.Corcino和Ken Joffaniel M.Gonzales，求正态阶系数的两种方法《整数序列杂志》，第20卷（2017年），第17.3.5条。
D.S.Mitrinovic和M.S.Mitrinovic，斯特林名录贝尔格莱德大学。出版物。埃利克特罗恩。法克。序列号。材料Fiz。77 (1962), 1-77.
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配方奶粉
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当n>=m>=1时，a（n，m）=a（n-1，m-1）-3*（n-1）*a（n-1,m）；对于n<m，a（n，m）=0；当n>=1时，a（n，0）=0；a（0，0）=1。
例如，对于有符号三角形的第m列：（log（1+3*x）/3）^m/m！。
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例子
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三角形开始：
1;
-3, 1;
18，-9，1；
-162, 99, -18, 1;
1944, -1350, 315, -30, 1;
-29160, 22194, -6075, 765, -45, 1;
524880, -428652, 131544, -19845, 1575, -63, 1;
---
行多项式E（3，x）=18*x-9*x^2+x^3。
无符号数组[1/（1-3*x），log（1/（1-3*x）^（1/3））]具有乘积矩阵
3, 1;
9, 6, 1;
27, 27, 9, 1;
81, 108, 54, 12, 1;
243, 405, 270, 90, 15, 1;
729, 1458, 1215, 540, 135, 18, 1;
...
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数学
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a[n，m]/；n>=m>=1:=a[n，m]=a[n-1，m-1]-3（n-1）*a[n-1，m]；a[n，m]/；n<m=0；a[_，0]=0；a[1,1]=1；扁平[表[a[n，m]，{n，1，9}，{m，1，n}][[1；；38]](*Jean-François Alcover公司，2011年6月1日，配方后*）
表[StirlingS1[n，m]*3^（n-m），{n，1，10}，{m，1，n}]//压扁(*G.C.格鲁贝尔2017年10月24日*）
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黄体脂酮素
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三阶阶乘=λn:3^n*阶乘（n）
trifact=[（0..n）中k的三因子（k）]
返回bell_transform（n，三事实）
（PARI）对于（n=1,10，对于（m=1，n，print1（斯特林（n，m，1）*3^（n-m），“，”））\\G.C.格鲁贝尔，2017年10月24日
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交叉参考
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关键词
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作者
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经核准的
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A075498号
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| 带缩放对角线的Stirling2三角形（3的幂）。 |
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1, 3, 1, 9, 9, 1, 27, 63, 18, 1, 81, 405, 225, 30, 1, 243, 2511, 2430, 585, 45, 1, 729, 15309, 24381, 9450, 1260, 63, 1, 2187, 92583, 234738, 137781, 28350, 2394, 84, 1, 6561, 557685, 2205225, 1888110, 563031, 71442, 4158, 108, 1
(列表;桌子;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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这是Jabotinsky型的下三角无限矩阵。参见中给出的D.E.Knuth参考A039692号对于指数卷积阵列。
行多项式p（n，x）：=Sum_{m=1.n}a（n，m）x^m，n>=1，具有例如fJ（x；z）=exp（（exp（3*z）-1）*x/3）-1。
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链接
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配方奶粉
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a（n，m）=（3^（n-m））*stirling2（n，m）。
a（n，m）=（和{p=0..m-1}A075513号（m，p）*（（p+1）*3）^（n-m））/（m-1）！对于n>=m>=1，否则为0。
a（n，m）=3*m*a（n-1，m）+a（n-1，m-1），n>=m>=1，否则为0，a（n，0）：=0，a（1，1）=1。
第m列的G.f:（x^m）/Product_{k=1..m}（1-3*k*x），m>=1。
例如，对于第m列：（（（exp（3*x）-1）/3）^m）/m！，m>=1。
行多项式R（n，x）的Dobinski型公式：
R（n，x）=exp（-x/3）*Sum_{i>=0}（3*i）^n*（x/3）^i/i！；
R（n+1，x）=x*exp（-x/3）*Sum_{i>=0}（3+3*i）^n*（x/3）^i/i！。
R（n+1，x）=x*Sum_{k=0..n}二项式（n，k）*3^（n-k）*R（k，x）。（结束）
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例子
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[1]; [3,1]; [9,9,1]; ...; p（3，x）=x*（9+9*x+x^2）。
三角形（0，3，0，6，0，9，0，12，0，15，0，…）DELTA（1，0，1，0
1;
0, 1;
0, 3, 1;
0, 9, 9, 1;
0, 27, 63, 18, 1;
0, 81, 405, 225, 30, 1;
（结束）
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MAPLE公司
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#将（1，0，0，…）添加为列0。
BellMatrix（n->3^n，9）#彼得·卢什尼2016年1月26日
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数学
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压扁[表[3^（n-m）箍筋S2[n，m]，{n，11}，{m，n}]](*因德拉尼尔·戈什，2017年3月25日*）
行数=9；
t=表[3^n，{n，0，rows}]；
T[n_，k_]：=腹部[n，k，T]；
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黄体脂酮素
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（PARI）对于（n=1,11，对于（m=1，n，print1（3^（n-m）*stirling（n，m，2），“，”）；）；打印（）；）\\因德拉尼尔·戈什2017年3月25日
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交叉参考
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关键词
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作者
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经核准的
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A075499号
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| 带缩放对角线的Stirling2三角形（4的幂）。 |
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+10
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1, 4, 1, 16, 12, 1, 64, 112, 24, 1, 256, 960, 400, 40, 1, 1024, 7936, 5760, 1040, 60, 1, 4096, 64512, 77056, 22400, 2240, 84, 1, 16384, 520192, 989184, 435456, 67200, 4256, 112, 1, 65536, 4177920, 12390400, 7956480, 1779456, 169344, 7392, 144, 1
(列表;桌子;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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这是Jabotinsky型的下三角无限矩阵。参见中给出的Knuth参考A039692号对于指数卷积阵列。
行多项式p（n，x）：=和{m=1..n}a（n，m）x^m，n>=1，例如f.J（x；z）=exp（（exp（4*z）-1）*x/4）-1
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链接
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配方奶粉
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a（n，m）=（4^（n-m））*stirling2（n，m）。
a（n，m）=（和{p=0..m-1}2005年5月13日（m，p）*（（p+1）*4）^（n-m））/（m-1）！对于n>=m>=1，否则为0。
a（n，m）=4m*a（n-1，m）+a（n-l，m-1），n>=m>=1，否则为0，其中a（n、0）：=0，a（1，1）=1。
第m列的G.f:（x^m）/Product_{k=1..m}（1-4k*x），m>=1。
例如，对于第m列：（（（exp（4x）-1）/4）^m）/m！，m>=1。
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例子
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[1]; [4,1]; [16,12,1]; ...; p（3，x）=x（16+12*x+x^2）。
三角形起点
* 1
* 4 1
* 16 12 1
* 64 112 24 1
*256 960 400 40 1
* 1024 7936 5760 1040 60 1
* 4096 64512 77056 22400 2240 84 1
* 16384 520192 989184 435456 67200 4256 112 1
（结束）
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数学
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表[（4^（n-m））箍筋S2[n，m]，{n，9}，{m，n}]//压扁(*迈克尔·德弗利格2015年12月31日*）
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黄体脂酮素
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（Sage）#使用[inverse_bell_transform from2006年2月]
#添加列1、0、0。。。在三角形的左边。
multit_4_4=λn：prod（4*k+4，对于k in（0..n-1））
inverse_bell_matrix（多个_4_4，9）#彼得·卢什尼2015年12月31日
（PARI）
对于（n=1,11，对于（m=1，n，打印1（4^（n-m）*stirling（n，m，2），“，”）；）；打印（）；）\\因德拉尼尔·戈什2017年3月25日
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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1, 3, 1, 12, 9, 1, 60, 75, 18, 1, 360, 660, 255, 30, 1, 2520, 6300, 3465, 645, 45, 1, 20160, 65520, 47880, 12495, 1365, 63, 1, 181440, 740880, 687960, 235305, 35700, 2562, 84, 1, 1814400, 9072000, 10372320, 4452840, 877905, 86940, 4410, 108, 1
(列表;桌子;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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有符号下三角矩阵（-1）^（n-m）*a（n，m）与矩阵相反A035342号（n，m）：=S2（3；n，m。一元行多项式E（n，x）:=和（a（n，m）*x^m，m=1..n），E（0，x）：=1是指数卷积多项式（参见A039692号用于定义和Knuth参考）。
a（n，m）列举了由m个一元树组成的无序递增n顶点m-森林（r从{0,1}出），其深度（距根的距离）j>=1的顶点为j+2颜色。k根（j=0）都有一种（或没有）颜色-沃尔夫迪特·朗2007年10月12日
a（4,2）=75=4*（3*4）+3*（3x3）来自与n=4的两个m=2部分分区（1,3）和（2^2）相关联的一元增加树的两种无序2-森林。第一种类型有4个递增标签，每个标签都有（1）*（1*3*4）=12个彩色版本，例如（1c1），（2c1,3c3,4c2）），其中lcp表示顶点标签l和颜色p。这里，标记为3的顶点深度为j=1，因此可以选择3种颜色，c1、c2和c3，标记为4且j=2的顶点可以有4种颜色，例如c1，c2，c3和c4。因此，有4*（1）*（1*3*4）=48个这种（1,3）类型的森林。类似地，（2,2）类型产生3*（（1*3）*（1*2））=27个这样的森林，例如（1c1,3c2）（2c1,4c1））或（1c1.3c2）-沃尔夫迪特·朗2007年10月12日
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链接
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配方奶粉
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a（n，m）=n*A030523型（n，m）/（m！*2^（n-m））；a（n，m）=（2*m+n-1）*a（n-1，m）+a（n-1,m-1），n>=m>=1；a（n，m）=0，n<m；a（n，0）：=0；a（1，1）=1。例如，对于第m列：（（x*（2-x）/（2*（1-x）^2））^m）/m！。
a（n，m）=总和（|S1（n，j）|*A075497号（j，m），j=m.n）（矩阵乘积），S1（n，j）：=A008275号（n，j）（带符号的Stirling1三角形）。私人通信沃尔夫迪特·朗作者：E.Neuwirth，2001年2月15日；另请参阅2001年Neuwirth参考。
a（n，k）=（n！*总和（j=1..k，（-1）^（k-j）*二项式（k，j）*二项式（n+2*j-1,2*j-1））/（2^k*k！）-弗拉基米尔·克鲁奇宁2011年4月1日
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例子
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三角形开始：
[1],
[3, 1],
[12, 9, 1],
[60, 75, 18, 1],
[360, 660, 255, 30, 1],
[2520, 6300, 3465, 645, 45, 1],
...
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数学
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a[n，m]/；n>=m>=1:=a[n，m]=（2m+n-1）*a[n-1，m]+a[n-1，m-1]；a[n，m]/；n<m=0；a[_，0]=0；a[1,1]=1；扁平[表[a[n，m]，{n，1，9}，{m，1，n}]](*Jean-François Alcover公司2011年7月22日*）
a[0]=0；a[n]：=（n+1）/2;
T[n_，k_]：=T[n，k]=如果[k==0，如果[n==0、1、a[0]^n]，求和[二项式[n-1，j-1]a[j]T[n-j，k-1]，{j，0，n-k+1}]]；
行数=9；
a[n_，m_]：=BellY[n，m，Table[（k+2）！/2，{k，0，rows}]]；
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黄体脂酮素
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（极大值）a（n，k）：=（n！*总和（（-1）^（k-j）*二项式（k，j）*二项式（n+2*j-1，2*j-1），j，1，k））/（2^k*k！）/*弗拉基米尔·克鲁奇宁2011年4月1日*/
#添加列1，0，0。。。在三角形的左边。
bell_matrix（λn：阶乘（n+2）//2，9）#彼得·卢什尼2016年1月19日
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交叉参考
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关键词
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状态
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经核准的
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1, -4, 1, 32, -12, 1, -384, 176, -24, 1, 6144, -3200, 560, -40, 1, -122880, 70144, -14400, 1360, -60, 1, 2949120, -1806336, 415744, -47040, 2800, -84, 1, -82575360, 53526528, -13447168, 1732864, -125440, 5152, -112, 1, 2642411520, -1795424256, 483835904
(列表;桌子;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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a（n，m）=R_n^m（a=0，b=4），在1961年和1962年给出的参考文献中。
a（n，m）是一个Jabotinsky矩阵，也就是说，一元行多项式e（n，x）：=和{m=1..n}a（n、m）*x^m=Product_{j=0..n-1}（x-4*j），n>=1，e（0，x）:=1是指数卷积多项式（参见A039692号用于定义和Knuth参考）。
这是带符号的斯特林1三角形，对角线d>=0（主对角线d=0）按4^d缩放。
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链接
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Richell O.Celeste、Roberto B.Corcino和Ken Joffaniel M.Gonzales，求正态阶系数的两种方法《整数序列杂志》，第20卷（2017年），第17.3.5条。
D.S.Mitrinovic和M.S.Mitrinovic，斯特林名录贝尔格莱德大学。出版物。埃利克特罗恩。法克。序列号。材料Fiz。，第77号（1962年），1-77。
D.S.Mitrinovic和R.S.Mitrinovic，斯特林名录贝尔格莱德大学。出版物。埃利克特罗恩。法克。序列号。材料Fiz。，第77号（1962年），1-77[jstor稳定版]。
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配方奶粉
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当n>=m>=1时，a（n，m）=a（n-1，m-1）-4*（n-1）*a（n-1,m）；a（n，m）：对于n<m，=0；a（n，0）：当n>=1时=0；a（0，0）=1。
有符号三角形第m列的E.g.f.：（log（1+4*x）/4）^m/m！。
a（n，m）=S1（n，m）*4^（n-m），其中S1（n，m）：=A008275号（n，m）（带符号的Stirling1三角形）。
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例子
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三角形a（n，m）（行n>=1，列m=1..n）开始于：
1;
-4, 1;
32, -12, 1;
-384, 176, -24, 1;
6144, -3200, 560, -40, 1,
-122880、70144、-1400、1360、-60、1；
...
第三行o.g.f.：E（3，x）=32*x-12*x^2+x^3。
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数学
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表[StirlingS1[n，m]4^（n-m），{n，9}，{m，n}]//压扁(*迈克尔·德弗利格2015年12月31日*）
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黄体脂酮素
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#无符号值和附加的第一列（1，0，0，…）。
multit_4_4=λn：prod（4*k+4，对于k in（0..n-1））
mfact=[（0..n）中k的多因子44（k）]
返回bell_transform（n，mfact）
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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1, 4, 1, 20, 12, 1, 120, 128, 24, 1, 840, 1400, 440, 40, 1, 6720, 16240, 7560, 1120, 60, 1, 60480, 201600, 129640, 27720, 2380, 84, 1, 604800, 2681280, 2275840, 656320, 80080, 4480, 112, 1, 6652800, 38142720, 41370560, 15402240, 2498160, 196560
(列表;桌子;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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有符号下三角矩阵（-1）^（n-m）*a（n，m）与矩阵相反A035469号（n，m）：=S2（4；n，m。一元行多项式E（n，x）:=和（a（n，m）*x^m，m=1..n），E（0，x）：=1是指数卷积多项式（参见A039692号用于定义和Knuth参考）。
a（n，m）列举了由m个一元树组成的无序递增n顶点m-森林（r从{0,1}出），其深度（距根的距离）j>=1的顶点为j+3色。k根（j=0）都有一种（或没有）颜色-沃尔夫迪特·朗2007年10月12日
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链接
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配方奶粉
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a（n，m）=n*A030524型（n，m）/（m！*3^（n-m））；a（n，m）=（3*m+n-1）*a（n-1，m）+a（n-1,m-1），n>=m>=1；a（n，m）=0，n<m；a（n，0）：=0；a（1,1）=1。例如，对于第m列：（（x*（3-3*x+x^2）/（3*（1-x）^3））^m）/m！。
a（n，k）=（n！*和（j=1..k，（-1）^（k-j）*二项式（k，j）*二项式（n+3*j-1,3*j-1））/（3^k*k！）。[弗拉基米尔·克鲁奇宁2011年4月1日]
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例子
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三角形开始：
{1};
{4,1};
{20,12,1};
{120,128,24,1};
{840,1400,440,40,1};
...
例如，行多项式E（3，x）=20*x+12*x^2+x^3。
a（4,2）=128=4*（4*5）+3*（4x4）来自与n=4的两个m=2部分分区（1,3）和（2^2）相关联的一元增加树的两种无序2-森林。第一种类型有4个递增的标签，每个标签都有（1）*（1*4*5）=20个彩色版本，例如（1c1），（2c1,3c4,4c3）），顶点标签l和颜色p有lcp。这里，标记为3的顶点具有深度j=1，因此可以选择4种颜色c1.c4，并且标记为4且j=2的顶点可以有5种颜色，例如c1.c5。因此，有4*（（1）*（1*4*5））=80个这种（1,3）类型的森林。类似地，（2,2）类型产生3*（（1*4）*（1*3））=48个这样的森林，例如（1c1,3c2）（2c1,4c4））或（1c1.3c3）（2c1,4c2））等-沃尔夫迪特·朗2007年10月12日
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MAPLE公司
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#将（1，0，0，…）添加为列0。
BellMatrix（n->（n+3）/6, 10); #彼得·卢什尼2016年1月28日
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数学
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BellMatrix[f_Function，len_]：=使用[{t=数组[f，len，0]}，表[BellY[n，k，t]，{n，0，len-1}，{k，0，ren-1}]]；
行=10；
M=BellMatrix[（#+3）！/6&，行]；
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黄体脂酮素
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（极大值）a（n，k）：=（n！*总和（（-1）^（k-j）*二项式（k，j）*二项式（n+3*j-1，3*j-1），j，1，k））/（3^k*k！）\\弗拉基米尔·克鲁奇宁2011年4月1日
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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