搜索： a038622-编号：a038623
|
| |
|
|
A005774号
|
| 大小为n（k=1列A038622号); 数量（s（0），s（1）。。。，s（n）），使得s（i）是非负整数，并且对于i=1,2，。。。，n、 其中s（0）＝2；中数组T的第n+1行的和A026323号.
（原名M2804）
|
|
+20
11
|
|
|
|
0, 1, 3, 9, 26, 75, 216, 623, 1800, 5211, 15115, 43923, 127854, 372749, 1088283, 3181545, 9312312, 27287091, 80038449, 234988827, 690513030, 2030695569, 5976418602, 17601021837, 51869858544, 152951628725, 451271872701, 1332147482253
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,3
|
|
|
评论
|
从Petkovsek的算法来看，这种递推没有任何闭合形式的解。因此，a（n）不存在超几何闭形式赫伯特·S·威尔夫
从中心位置之前的两个位置开始的两个连续三项式系数之和。示例：a（4）=10+16和（1+x+x^2）^4=…+10*x^2+16*x^3+19*x^4+-大卫·卡伦2004年2月7日
a（n）=所有Motzkin（n+1）-路径中的总上升次数（连续上升的最大运行次数）。例如，9个Motzkin 4路径是FFFF、FFUD、FUDF、FUFD、UDFF、UDUD、UFD和UUDD，它们总共包含9个上升点，因此a（3）=9（U=上升点，D=下降点，F=平坦点）-大卫·卡伦2006年8月16日
|
|
|
参考文献
|
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
|
|
|
链接
|
克里斯蒂安·克拉蒂塔勒（Christian Kreattehaler）、丹尼尔·雅库比（Daniel Yaqubi）、，路径生成函数的一些行列式，II，arXiv:1802.05990[math.CO]，2018年；高级申请。数学。101 (2018), 232-265.
|
|
|
配方奶粉
|
对于Z中的所有n，具有递归（n+2）*（n-1）*a（n）=2*n*（n+1）*a-迈克尔·索莫斯2003年5月1日
例如：exp（x）*（贝塞尔I（1,2*x）+贝塞尔I-弗拉德塔·乔沃维奇2004年1月1日
总面积：（1-x-sqrt（1-2x-3x^2））；a（n）=和{k=0..n}C（k+1，n-k+1）*C（n，k）*k/（k+1）；a（n）=和{k=0..n}C（n，k）*C（k，floor（（k-1）/2））-保罗·巴里2005年5月12日
起始（1，3，9，26，…）=的二项式变换A026010型: (1, 2, 4, 7, 14, 25, 50, 91, ...). -加里·亚当森2007年10月22日
a（n）*（2+n）=（4+4*n）*a（n-1）-n*a（n-2）+（12-6*n）*a（n-3）-西蒙·普劳夫2012年2月9日
0=a（n）*（+36*a（n+1）+18*a（n+2）-96*a-迈克尔·索莫斯2014年8月6日
a（n）=GegenbauerC（n-2，-n，-1/2）+GegenbaurerC（n-1，-n和-1/2）-彼得·卢什尼2016年5月12日
|
|
|
例子
|
总尺寸：x+3*x^2+9*x^3+26*x^4+75*x^5+216*x^6+623*x^7+。。。
|
|
|
MAPLE公司
|
seq（加（二项式（i，k+1）*二项式Detlef Pauly（dettodet（AT）yahoo.de），2001年11月9日
seq（简化（GegenbauerC（n-2，-n，-1/2）+Gegenbaurer C（n-1，-n、-1/2）），n=0..27）#彼得·卢什尼2016年5月12日
|
|
|
数学
|
系数列表[系列[（1-x-Sqrt[1-2x-3x^2]）/（x（1-3x+Sqrt[1-2x-3x*2]））），{x，0，30}]，x](*哈维·P·戴尔2011年9月20日*）
递归表[{a[0]==0，a[1]==1，a[n]==（2n（n+1）a[n-1]+3n（n-1）a[n-2]）/（（n+2）（n-1”）}，a，{n，30}](*哈维·P·戴尔2012年11月9日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）s=[0,1]；{A005774号（n） =k=（2*（n+2）*（n+1）*s[2]+3*（n+1）*n*s[1]）/（（n+3）*n）；s[1]=s[2]；s[2]=k；k}（k}）
（PARI）{a（n）=如果（n<2，n>0，（2*（n+1）*n*a（n-1）+3*（n-1/*迈克尔·索莫斯2003年5月1日*/
（哈斯克尔）
a005774 0=0
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n,容易的,美好的
|
|
|
作者
|
|
|
|
扩展
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
1, 5, 20, 71, 238, 770, 2436, 7590, 23397, 71566, 217646, 659022, 1988805, 5986176, 17980968, 53922096, 161492571, 483149385, 1444245936, 4314214443, 12880107548, 38436170366, 114657076900, 341926185770, 1019435748435, 3038815305981, 9056974493700
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,2
|
|
|
评论
|
这个三角形数组的所有行都有一个通解：对于此行的第k行和第n项：a（0）=0；a（1）=1；a（n）=（2*k-1+n）*n*a（n。
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
a（0）=0；a（1）=1；（n+7）*n*a（n）=2*（n+4）*（n+3）*a（n-1）+3*（n/3）*（n+2）*a（n-2）。
a（n）=（（-3）^（1/2）/9）*（-2*（n+7）^-马克·范·霍伊2011年10月31日
a（n）=GegenbauerC（n，-n+1-4，-1/2）+GegenbaurerC（n-1，-n-3，-1/2-彼得·卢什尼2016年5月12日
|
|
|
MAPLE公司
|
a:=n->简化（GegenbauerC（n，-n+1-4，-1/2）+GegenbaurerC（n-1，-n-3，-1/2
seq（a（n），n=0..20）#彼得·卢什尼2016年5月12日
|
|
|
数学
|
表[GegenbauerC[n，-n-3，-1/2]+GegenbaurerC[n-1，-n-3、-1/2]，{n，0，40}](*哈维·P·戴尔2017年2月20日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）s=[0,1]；{A038622号（n，k）=如果（n==0，1，t=（2*（n+k）*；s[1]=s[2]；s[2]=t；t） }
（哈斯克尔）
a066822=翻转a038622号三。(+ 3) --莱因哈德·祖姆凯勒2013年2月26日
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
容易的,美好的,非n
|
|
|
作者
|
|
|
|
扩展
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,1
|
|
|
评论
|
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
T（n，0）=A035263号（n） ●●●●。Sum_{k，0<=k<=n}T（n，k）*（-1）^k=（-1）^n。
|
|
|
例子
|
三角形开始：
1;
0, 1;
1, 1, 1;
1, 1, 0, 1;
1, 0, 0, 1, 1;
0, 1, 1, 0, 0, 1;
1, 0, 0, 1, 1, 1, 1;
0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1;
1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1;
|
|
|
关键词
|
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
1, 2, 0, 5, 0, 0, 12, 1, 0, 0, 30, 4, 1, 0, 0, 74, 17, 4, 1, 0, 0, 185, 56, 21, 4, 1, 0, 0, 460, 185, 74, 26, 4, 1, 0, 0
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,2
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
|
|
|
例子
|
三角形开始：
1;
2, 0;
5, 0, 0;
12, 1, 0, 0;
30, 4, 1, 0, 0;
74, 17, 4, 1, 0, 0;
...
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A039599号
|
| 根据切比雪夫多项式U_n（x），由x的幂展开三角形的偶数列构成的三角形。 |
|
+10
133
|
|
|
|
1, 1, 1, 2, 3, 1, 5, 9, 5, 1, 14, 28, 20, 7, 1, 42, 90, 75, 35, 9, 1, 132, 297, 275, 154, 54, 11, 1, 429, 1001, 1001, 637, 273, 77, 13, 1, 1430, 3432, 3640, 2548, 1260, 440, 104, 15, 1, 4862, 11934, 13260, 9996, 5508, 2244, 663, 135, 17, 1
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0.4
|
|
|
评论
|
T（n，k）是从（0,0）到（n，n）的晶格路径数，步骤E=（1,0）和n=（0,1），它们接触但不穿过x-y=k线，且仅位于该线上方；例如：T（3,2）=5，因为我们有EENNNE，EENNEN，EENENN，ENEENN，NEEENN-菲利普·德尔汉姆2005年5月23日
半长n且k向下返回x轴的Grand Dyck路径数。（半长n的Grand Dyck路径是半平面x>=0中的路径，从（0,0）开始，到（2n，0）结束，由步骤u=（1,1）和d=（1，-1）组成）。示例：T（3,2）=5，因为我们有u（d）uud（d），uud（d）u（d），u（d）u（d）du，u（d）duu（d）和duu（d）u（d）（向下返回x轴显示在括号之间）-Emeric Deutsch公司2006年5月6日
三角形也可以由M^n*[1,0,0,0，0,0,1,0，0，0…]生成，其中M是无限三对角矩阵，所有1位于上对角线和次对角线中，[1,2,2,2,2,2，2，2…]位于主对角线-菲利普·德尔汉姆2007年2月26日
该三角形属于由以下定义的三角形族：T（0,0）=1，T（n，k）=0，如果k<0或如果k>n，T。其他三角形是通过为（x，y）选择不同的值而产生的：
从（0,0）到（2n，2k）的2n步行走次数，由步长u=（1,1）和d=（1，-1）组成，路径保持在非负象限中。例如：T（3,0）=5，因为我们有uuuddd、uududd、ududud、uduudd、uuddud；T（3,1）=9，因为我们有uuudd、uuuddu、uudud、ududuu、uuduud、uduudu、uudduu、uduuudu；T（3,2）=5，因为我们有uuuuu d，uuuudu，uuuduu，uuduuu，uduuuu；T（3,3）=1，因为我们有uuuuu-菲利普·德尔汉姆2007年4月16日、17日、18日
设a_m的和{n>=0}a（n）*x^n=（1+x）/（1-mx+x^2）=o.g.f.，则和{k=0..n}T（n，k）*a（k）=（m+2）^nA099493号,A033999号,A057078号,A057077号,A057079号,A005408号,A002878号,A001834号,A030221号,A002315号,A033890型,A057080号,A057081号,A054320型,A097783号,A077416号,A126866号,A028230元,A161591号，对于m分别为-3、-2、-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15-菲利普·德尔汉姆，2009年11月16日
Kn11、Kn12、Fi1和Fi2三角形和用三个序列连接上述三角形；请参阅交叉参考。有关这些三角和的定义，请参见A180662号. -约翰内斯·梅耶尔2011年4月20日
4^n=（第n行项）点（第一个n+1个奇数整数项）。例如：4^4=256=（14，28，20，7，1）点（1，3，5，7，9）=（14+84+100+49+9）=256-加里·亚当森，2011年6月13日
由前n行定义的系数为n个方程组的线性方程组求解具有n=2n+1条边的正多边形的对角线长度；常数c^0、c^1、c^2。。。位于右侧，其中c=2+2*cos（2*Pi/N）。示例：取与9边（非边）相关的前4行，N=2*4+1；其中c=2+2*cos（2*Pi/9）=3.5320888……方程为（1,0,0,0）=1；（1,1,0,0）=c；（2,3,1,0）=c^2；（5,9,5,1）=立方。解为1、2.53208…、2.87938…和1.87938。。。；边＝1的9边形（非边形）的四个不同对角线长度。（参见中的注释A089942号它使用类似的运算，但c=1+2*cos（2*Pi/9）。）-加里·亚当森2011年9月21日
在Andrew Lobb之后，也称为Lobb数，是加泰罗尼亚数的自然推广，由L（m，n）=（2m+1）*二项式（2n，m+n）/（m+n+1）给出，其中n>=m>=0。对于m=0，我们得到第n个加泰罗尼亚语数。请参阅添加的参考-贾扬达·巴苏2013年4月30日
T（n，k）=A053121号（2*n，2*k）。T（n，k）出现在代数数rho（n）的（2*n）次幂的公式中：=2*cos（Pi/n）=R（n，2），根据单位圆（长度单位1）内切的规则n-gon中的奇数诱导对角线/边长比R（n、2*k+1）=S（2*k，rho（n））。S（n，x）是切比雪夫S多项式（参见A049310型):
ρ（N）^（2*N）=和{k=0..N}T（N，k）*R（N，2*k+1），N>=0，在N>=1中相同。有关证据，请参阅2013年9月21日的评论A053121号注意，如果R（N，j）的j>delta（N），代数数rho（N）的次数（参见A055034级)，出现。
|
|
|
参考文献
|
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准局应用数学。1964年第55辑（以及各种重印本），第796页。
T.Myers和L.Shapiro，序列1、5、22、93、386的一些应用。。。Dyck小路和整齐的树木，众议员。，204 (2010), 93-104.
|
|
|
链接
|
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年[替代扫描副本]。
乔纳森·比格利（Jonathan E.Beagley）和保罗·德鲁布（Paul Drube），Tableau反演的组合数学，电子。J.Combina.，22（2015），#P2.44。
安德鲁·洛布，推导第n个加泰罗尼亚数《数学公报》，第83卷，第496号（1999年3月），第109-110页。
Pedro J.Miana、Hideyuki Ohtsuka和Natalia Romero，加泰罗尼亚三角数的幂和，arXiv:1602.04347[math.NT]，2016（见2.8）。
阿萨纳西奥斯·帕普利斯，一种新的拉普拉斯变换反演方法，夸脱。申请。数学。，第14卷，第4期（1957年），405-414:124。[注意：有一个输入错误]
|
|
|
配方奶粉
|
T（n，k）=C（2*n-1，n-k）-C（2*n-1，n-k-2），n>=1，T（0,0）=1。
T（n，k）=（2*k+1）*二项式（2*n，n-k）/（n+k+1）。
G.f.：G（t，z）=1/（1-（1+t）*z*C），其中C=（1-sqrt（1-4*z））/（2*z）是加泰罗尼亚函数。（结束）
T（n，k）=C（2*n，n-k）*（2*k+1）/（n+k+1）。总和（k>=0；T（n，k）*T（m，k）=A000108号（n+m））；A000108号：加泰罗尼亚语的数字。
T（n，0）=A000108号（n） ；如果k>n，T（n，k）=0；对于k>0，T（n，k）=和{j=1..n}T（n-j，k-1）*A000108号（j） ●●●●。
对于k列的G.f:Sum_{n>=0}T（n，k）*x^n=x^k*C（x）^（2*k+1），其中C（xA000108号（n） *x^n是加泰罗尼亚数字的g.f，A000108号.
如果n<0或n<k，T（0，0）=1，T（n，k）=0；T（n，0）=T（n-1,0）+T（n-1，1）；对于k>=1，T（n，k）=T（n-1，k-1）+2*T（n-1，k）+T（n-l，k+1）。
三角形T（n，k）=（-1）^（n+k）*二项式（n+k，2*k）=*A085478号（n，k）。
和{k=0..n}（2*k+1）*T（n，k）=4^n。
和{k>=h}T（n，k）=二项式（2n，n-h）。
和{k=0..n}T（n，k）*（-1）^k=A000007号（n） ●●●●。
和{k=0..n}T（n，k）*（-2）^k=（-1）^n*A064310号（n） ●●●●。
求和{k=0..n}T（n，k）*sin（（2*k+1）*x）=sin（x）*（2*cos（x））^（2*n）。
T（n，n-k）=和{j>=0}（-1）^（n-j）*A094385号（n，j）*二项式（j，k）。
如果求和{k>=0}a（k）*x^k=（1+x）/（x^2-m*x+1），则求和{k=0..n}T（n，k）*a（k）=（m+2）^n。
和{k=0..n}T（n，k）*k^2=A000531号（n） ，对于n>=1。
（结束）
T（n，k）=和{j=0..k}二项式（k+j，2j）*（-1）^（k-j）*A000108号（n+j）-保罗·巴里2011年2月17日
求和{k=0..n}T（n，k）*（2*k+1）^2=（4*n+1）*二项式（2*n，n）-沃纳·舒尔特2015年7月22日
求和{k=0..n}T（n，k）*（2*k+1）^3=（6*n+1）*4^n-沃纳·舒尔特2015年7月22日
求和{k=0..n}（-1）^k*T（n，k）*（2*k+1）^（2*m）=0表示0<=m<n（另请参见A160562号)-沃纳·舒尔特2015年12月3日
T（n，k）=GegenbauerC（n-k，-n+1，-1）-GegenbauerC-（n-k-1，-n+1、-1）-彼得·卢什尼2016年5月13日
T（n，n-3）=n*（2*n-1）*（2*n-5）/3-R.J.马塔尔2019年1月30日
T（n，n-4）=n*（n-1）*（2*n-1）x（2*n-7）/6-R.J.马塔尔2019年1月30日
T（n，n-5）=n*（n-1）*（2*n-1）x（2*n-3）*（2*n-9）/30-R.J.马塔尔2019年1月30日
|
|
|
例子
|
三角形T（n，k）开始于：
否0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0: 1
1: 1 1
2：2 3 1
3: 5 9 5 1
4：14 28 20 7 1
5: 42 90 75 35 9 1
6: 132 297 275 154 54 11 1
7: 429 1001 1001 637 273 77 13 1
8: 1430 3432 3640 2548 1260 440 104 15 1
9:4862 11934 13260 9996 5508 2244 663 135 17 1
生产矩阵开始
1, 1,
1, 2, 1,
0, 1, 2, 1,
0，0，1，2，1，
0, 0, 0, 1, 2, 1,
0, 0, 0, 0, 1, 2, 1,
0,0,00,0,1,2,1（结束）
ρ（N）=2*cos（Pi/N）幂的示例：
n=2:rho（n）^4=2*R（n，1）+3*R（n,3）+1*R（n/5）=
2+3*S（2，rho（N））+1*S（4，rho。对于N=4（只有一条明显对角线的正方形），度数△（4）=2，因此R（4，3）和R（4,5）可以减少，即分别为R（4,1）=1和R（4]，5）=-R（4,1）=-1。因此，ρ（4）^4=（2*cos（Pi/4））^4=2+3-1=4。（结束）
|
|
|
MAPLE公司
|
T： =（n，k）->（2*k+1）*二项式（2*n，n-k）/（n+k+1）：对于从0到12的n，do seq（T（n，k），k=0..n）od；#以三角形形式生成序列#Emeric Deutsch公司2006年5月6日
T:=proc（n，k）选项记忆；如果k=n，则1 elif k>n，则0 elif k=0，则T（n-1，0）+T
seq（seq（T（n，k），k=0..n），n=0..9）od#彼得·卢什尼2023年2月14日
|
|
|
数学
|
表[Abs[Differences[Table[二项式[2n，n+i]，{i，0，n+1}]]，{n，0，7}]//展平(*杰弗里·克雷策2011年12月18日*）
连接[{1}，扁平[Table[二项式[2n-1，n-k]-二项式[2]，{n，10}，{k，0，n}]](*哈维·P·戴尔2011年12月18日*）
压扁[表[二项式[2*n，m+n]*（2*m+1）/（m+n+1），{n，0，9}，{m，0，n}]](*贾扬达·巴苏2013年4月30日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（Sage）#L.Seidel的算法（1877）
#打印三角形的前n行
D=[0]*（n+2）；D[1]=1
b=正确；h=1
对于范围（2*n-1）中的i：
如果b：
对于范围（h，0，-1）中的k：D[k]+=D[k-1]
h+=1
其他：
对于范围（1，h，1）中的k：D[k]+=D[k+1]
如果b：打印（[D[z]代表（1..h-1）中的z）
b=非b
（岩浆）/*作为三角形*/[[二项式（2*n，k+n）*（2*k+1）/（k+n+1）：k in[0..n]]：n in[0..15]]//文森佐·利班迪2015年10月16日
（PARI）a（n，k）=（2*n+1）/（n+k+1）*二项式（2*k，n+k）
三角行（n）=对于（x=0，n-1，对于（y=0，x，print1（a（y，x），“，”））；打印（“”）
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
|
|
|
作者
|
|
|
|
扩展
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 2, 0, 3, 0, 1, 0, 5, 0, 4, 0, 1, 5, 0, 9, 0, 5, 0, 1, 0, 14, 0, 14, 0, 6, 0, 1, 14, 0, 28, 0, 20, 0, 7, 0, 1, 0, 42, 0, 48, 0, 27, 0, 8, 0, 1, 42, 0, 90, 0, 75, 0, 35, 0, 9, 0, 1, 0, 132, 0, 165, 0, 110, 0, 44, 0, 10, 0, 1, 132, 0, 297, 0, 275, 0, 154, 0, 54, 0, 11, 0
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,8
|
|
|
评论
|
有墙行走：从（0,0）到（n，m）的n步行走次数的三角形，其中每一步都从（a，b）到（a+1，b+1）或（a+1、b-1），并且路径保持在非负象限内。
T（n，m）是长度n结束于高度m的Dyck路径的左因子数。例如：T（4,2）=3，因为我们有UDUU、UUDU和UUUD，其中U=（1,1）和D=（1，-1）。（这基本上是与前面的wall属性walk不同的公式。）-Emeric Deutsch公司2011年6月16日
“加泰罗尼亚三角形的形成方式与帕斯卡尔三角形相同，只是竖条的左边不能出现数字。”[Conway and Smith]
对于行多项式p（n，x）：=和{m=0..n}（a（n，m）*x^m）：c（z^2）/（1-x*z*c（z*2））。行总和（x=1）：A001405号（中心二项式）。
在夏皮罗等人的语言中，这种下三角（普通）卷积阵列被视为矩阵，属于Riordan群的Bell子群。给定Bell-matrix逆矩阵的m=0列的g.f.Ginv（x）（此处A049310型)由Ginv（x）=（f^{（-1）}（x））/x从其m=0列的g.f.（此处g（x）=1/（1+x^2））获得，其中f（x）：=x*g（x），f^{（-1）{是f的成分反函数（此处我们发现Ginv，0）=1，c（x^2”）。参见Shapiro等人的参考。
{1,2，…，n}的对合数，它们避开了模式132并且正好有k个不动点。例如：T（4,2）=3，因为我们有2134、4231和3214。{1,2，…，n}的对合数，它们避开了模式321并且正好有k个不动点。例如：T（4,2）=3，因为我们有1243、1324和2134。避开图案213并且正好具有k个不动点的{1,2，…，n}的对合的数目。例如：T（4,2）=3，因为我们有1243、1432和4231-Emeric Deutsch公司2006年10月12日
该三角形属于由以下定义的三角形族：T（0,0）=1，T（n，k）=0，如果k<0或如果k>n，T。其他三角形是通过为（x，y）选择不同的值而产生的：（0,0）->A053121号; (0,1) ->A089942号; (0,2) ->A126093号; (0,3) ->A126970号; (1,0) ->A061554号; (1,1) ->A064189号; (1,2) ->A039599号; (1,3) ->A110877号; (1,4) ->A124576号; (2,0) ->A126075号; （2,1）->A038622号; (2,2) ->A039598号; (2,3) ->A124733号; (2,4) ->A124575号; (3,0) ->126953英镑; （3,1）->A126954号; (3,2) ->A111418号; (3,3) ->A091965美元; (3,4) ->A124574号; (4,3) ->A126791号; (4,4) ->A052179号; (4,5) ->A126331号; (5,5) ->A125906号. -菲利普·德尔汉姆2007年9月25日
按不带零的列，第n行=A000108号与自身卷曲了n次；相当于A=（1+x+2x^2+5x^3+14x^4+…），则第n行=A^（n+1）的系数-加里·亚当森2009年5月13日
作为右上角三角形，行表示5平方（24）的幂：
5平方码（24）^1=0.101020514。。。
5平方码（24）^2=0.010205144。。。
5平方（24）^3=0.001030928。。。
（除以sqrt（96），这些幂表示A007318号，中间列为1/sqrt（96）。）（结束）
T（n，k）是具有k（1，0）个步长的长度为n的分散Dyck路径（即，长度为n且在正高度没有（1，0）个步长的Motzkin路径）的数目。例如：T（5,3）=4，因为表示U=（1,1），D=（1，-1），H=1,0），我们有HHUD、HHUDH、HUDHH和UDHHH-Emeric Deutsch公司2011年6月1日
设S（N，x）表示x中的第N个切比雪夫S多项式（参见A049310型，参见[W.Lang]）。那么x^n=sum_{k=0..n}T（n，k）*S（k，x）-L.埃德森·杰弗里2012年9月6日
这个三角形a（n，m）也出现在有理数ρ（n）=2*cos（Pi/n）=R（n，2）上代数数的幂ρ
rho（N）^N=总和（a（N，m）*R（N，m+1），m=0..N），N>=0，在N>=1中相同。R（N，j）=S（j-1，x=rho（N））（切比雪夫S(A049310型)). 请参阅以下对此的评论A039599号（甚至权力）和A039598号（奇数幂）。证据：见L.Edson Jeffery于2012年9月6日发表的评论，该评论源于T（n，k）（此处称为a（n，k））是Riordan三角形的倒数A049310型. -沃尔夫迪特·朗2013年9月21日
贝尔型Riordan三角形的所谓A序列（c（x^2），x*c（x^2））（见上面的注释）是A（x）=1+x^2。这证明了Henry Bottomley在公式部分中给出的关于a（n，m）=a（n-1，m-1）+a（n-1，m+1），n>=1和m>=1的输入的递归性。这个Riordan三角形的Z序列是Z（x）=x，它证明了递归a（n，0）=a（n-1,1），n>=1，a（0,0）=1。有关Riordan三角形的A序列和Z序列，请参阅下面的W.Lang链接A006232号. -沃尔夫迪特·朗2013年9月22日
三角形行描述了李代数sl（2）的标准（二维）表示的张量幂分解为不可约。因此，a（n，m）是标准表示的第n张量幂的第m（m+1）维）不可约表示的重数-马穆卡·吉卜拉泽2015年5月26日
Riordan行多项式p（n，x）属于Boas-Buck类（参见中的注释和参考A046521号)因此，它们满足Boas-Buck恒等式：（E_x-n*1）*p（n，x）=（E_x+1）*Sum_{j=0..n-1}（1/2）*（1-（-1）^j）*二项式（j+1，（j+1）/2）*p（n-1-j，x），对于n>=0，其中E_x=x*d/dx（Euler算子）。对于三角形a（n，m），这需要对公式部分中给出的列m序列进行递归-沃尔夫迪特·朗2017年8月11日
对于第n行，非零值表示由x轴上方和下方n+1个互不相交的拱形成的奇数分量（回路），约束条件如下：顶部有地板（（n+3）/2），起始拱位于位置1和下一个连续奇数位置。所有其他起始顶部拱门位置均匀。底部的拱门是彩虹状的拱门。如果分量=1，则拱结构为半弯曲解。
示例：对于第3{0，2，0，1}行，有3个拱配置：2个拱配置的组件=1；1有一个组件=3。c=组件，U=顶部拱从奇数位置开始，U=顶部拱在偶数位置开始；d=顶部拱结束：
.
top UuUdUddd c=3 top UdUuUddd c=1 top Ud UdUudd c=1
/\ /\
//\\ / \
// \\ / /\ \ /\
// \\ / / \ \ / \
///\ /\\\ /\ / / /\ \ \ /\ /\ / /\ \
\\\ \/ /// \ \ \ \/ / / / \ \ \ \/ / / /
\\\ /// \ \ \ / / / \ \ \ / / /
\\\///\\\///\\\////
\\// \ \ / / \ \ / /
\/ \ \/ / \ \/ /
\ / \ /
\/ \/
对于第4{2，0，3，0，1}行，有6个拱形配置：2有一个组件=1；3具有组件=3:1具有组件=1。（结束）
|
|
|
参考文献
|
J.H.Conway和D.A.Smith，《四元数和八元数》，A K Peters，Ltd.，马萨诸塞州纳提克，2003年。见第60页。MR1957212（2004a:17002）
A.Nkwanta，晶格路径和RNA二级结构，《非裔美国人数学》，编辑N.Dean，Amer。数学。Soc.，1997年，第137-147页。
|
|
|
链接
|
张向科、胡晓斌、雷洪平和叶延宁，加法公式的组合证明《组合数学电子杂志》，23（1）（2016），第1.8页。
E.Deutsch、A.Robertson和D.Saracino，精细限制对合《欧洲组合数学杂志》28（2007），481-498（见第486和498页）。
W.F.Klostermeyer、M.E.Mays、L.Soltes和G.Trapp，帕斯卡菱形《斐波纳契季刊》，35（1997），318-328。
Frank Ruskey和Mark Weston，具有对合等距的球面维恩图，《组合学电子期刊》，第18期（2011年），第191期。
L.W.Shapiro、S.Getu、Wen-Jin Woan和L.C.Woodson，Riordan集团，离散应用。数学。34 (1991) 229-239.
W.-J.Woan，加泰罗尼亚小径面积，离散数学。，226 (2001), 439-444.
|
|
|
配方奶粉
|
a（n，m）：如果n<m或n-m奇数，则=0，否则a（n、m）=（m+1）*二项式（n+1，（n-m）/2）/（n+1）；
a（n，m）=（4*（n-1）*a（n-2，m）+2*（m+1）*a。
第m列的G.f.：c（x^2）*（x*c（x*2））^m，其中c（x）=加泰罗尼亚数字的G.fA000108号.
如果n＞0且m＞＝0，a（n，m）＝a（n-1，m-1）+a（n-1，m+1），如果m＞0，a（0，0）＝1，如果m＞0，a（0，m）＝0，如果m＜0，a（n，m）＝0-亨利·博托姆利2001年1月25日
如果m+n是奇数，则求和{k>=0}T（m，k）*T（n，k）=0；和{k>=0}T（m，k）*T（n，k）=A000108号（（m+n）/2）如果m+n是偶数-菲利普·德尔汉姆2005年5月26日
T（n，k）=和{i=0..n，（-1）^（n-i）*C（n，i）*和{j=0..i，C（i，j）*（C（i-j，j+k）-C（i-j、j+k+2））}}；k列具有例如，f.BesselI（k，2x）-BesselI（k+2,2x）-保罗·巴里2006年2月16日
和{k=0..n}T（n，k）*（k+1）=2^n-菲利普·德尔汉姆2007年3月22日
行多项式C（n，x）的递归性：=和{m=0..n}a（n，m）*x^m=x*Sum_{k=0..n}Chat（k）*C（n-1-k，x），n>=0，其中C（-1，1/x）=1/x和Chat（k）=A000108号（k/2）如果n是偶数，否则为0。从行多项式的o.g.f:g（z；x）：=Sum_{n>=0}C（n，x）*z^n=C（z^2）*（1+x*z*g（z，x））开始A000108号. -艾哈迈德·扎希德KÜÇÜK和沃尔夫迪特·朗2015年8月23日
m列序列的Boas-Buck递推（见上文注释）为：a（n，m）=（（m+1）/（n-m））*Sum_{j=0..n-1-m}（1/2）*（1-（-1）^j）*二项式（j+1，（j+1）/2）*a（n-1-j，k），对于n>m>=0，输入a（m，m）=1-沃尔夫迪特·朗2017年8月11日
|
|
|
例子
|
三角形a（n，m）开始于：
n\m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。。。
0: 1
1: 0 1
2: 1 0 1
3: 0 2 0 1
4: 2 0 3 0 1
5: 0 5 0 4 0 1
6: 5 0 9 0 5 0 1
7:0 14 0 14 0 6 0 1
8: 14 0 28 0 20 0 7 0 1
9: 0 42 0 48 0 27 0 8 0 1
10: 42 0 90 0 75 0 35 0 9 0 1
例如，第四行对应于多项式p（3，x）=2*x+x^3。
生产矩阵为
0, 1,
1, 0, 1,
0, 1, 0, 1,
0, 0, 1, 0, 1,
0, 0, 0, 1, 0, 1,
0, 0, 0, 0, 1, 0, 1,
0，0，0，0，0，1，0，1，
0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1,
0,0,00,0,1,0,0，0,1,0，1（结束）
列k=2，n=6的Boas-Buck递推：a（6，2）=（3/4）*（0+2*a（4，2）+0+6*a（2，2））=（3/4）*（2*3+6）=9-沃尔夫迪特·朗2017年8月11日
|
|
|
MAPLE公司
|
T： =proc（n，k）：如果n+k mod 2=0，则（k+1）*二项式（n+1，（n-k）/2）/（n+1）else 0 fi end：对于从0到13的n，do seq（T（n，k），k=0..n）od；#生成三角形序列；Emeric Deutsch公司2006年10月12日
F： =proc（l，p）如果（（l-p）mod 2）=1，则为0，否则为（p+1）*l/（（（l-p）/2）！*（（l+p）/2+1）！）；fi；结束；
r： =n->[序列（F（n，p），p=0..n）]；[序列（r（n），n=0..15）]#N.J.A.斯隆2011年1月29日
A053121号：=proc（n，k）选项记忆`如果`（k＞n或k＜0，0，`如果`（n＝k，1，
进程名（n-1，k-1）+进程名（n-1，k+1））结束进程：
|
|
|
数学
|
a[n，m]/；n<m||奇数Q[n-m]=0；a[n_，m_]=（m+1）二项式[n+1，（n-m）/2]/（n+1）；扁平[表[a[n，m]，{n，0，12}，{m，0，n}][[1；；90]](*Jean-François Alcover公司2011年5月18日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（哈斯克尔）
a053121 n k=a053121_tab！！不！！k个
a053121_row n=a053121.tabl！！n个
a053121_tabl=迭代
（\row->zipWith（+）（[0]++行）（尾行++[0，0]））[1]
（鼠尾草）
M=矩阵（ZZ，dim，dim）
对于n in（0..dim-1）：M[n，n]=1
对于n in（1..dim-1）：
对于（0..n-1）中的k：
M[n，k]=M[n-1，k-1]+M[n-1，k+1]
返回M
（PARI）T（n，m）=如果（n<m||（n-m）%2，返回（0））；（m+1）*二项式（n+1，（n-m）/2）/（n+1）
对于（n=0，9，对于（m=0，n，打印1（T（n，m）“，”））\\查尔斯·格里特豪斯四世2016年3月9日
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
|
|
|
作者
|
|
|
|
扩展
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A005773号
|
| 大小为n的定向动物数量（或标准位置的定向n-氨基）。
（原名M1443）
|
|
+10
98
|
|
|
|
1, 1, 2, 5, 13, 35, 96, 267, 750, 2123, 6046, 17303, 49721, 143365, 414584, 1201917, 3492117, 10165779, 29643870, 86574831, 253188111, 741365049, 2173243128, 6377181825, 18730782252, 55062586341, 161995031226, 476941691177, 1405155255055, 4142457992363
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,3
|
|
|
评论
|
删除第一项a（0）后，这个序列似乎是由U的对角线和第一超对角线分别为{1,1,1,1，…}和{2,3,4,5，…，n+1，…}.这两个条件决定的，其中a=LU是[{a（1），a（2），…},{a（2-约翰·莱曼2000年7月21日
还有以3为基数的n位数字（不以0开头）与数字和n的数量。有关以10为基数的类似序列，请参见A071976号，参见示例-约翰·莱曼2002年6月22日
此外，n X n网格中从（0,0）到线X=n-1的路径数，仅使用步骤U=（1,1），H=（1,0）和D=（1，-1）（即，Motzkin路径长度n-1的左因子，长度2n-2或2n-1的回文Motzkin路径）。例如：a（3）=5，即HH、UD、HU、UH和UU。此外，具有n条边且非根节点的超度数最多为2的有序树的数目-Emeric Deutsch公司2002年8月1日
在偶数能级上没有峰的半长2n-1的对称Dyck路径的数目。例如：a（3）=5，因为我们有UDUDUD、UDUUUDDDD、UUUU DDDD、UUUDUDD和UUUDDUUDD，其中U=（1,1）和D=（1，-1）。还有半长2n的对称Dyck路径数，在偶数级没有峰值。例如：a（3）=5，因为我们有UDUDUDUD、UDUUUDDUD、UUUDUDDD、UUUU DUDDD和UUUDDDUUDDDD-Emeric Deutsch公司2003年11月21日
a（n）是（n-1）-st中心三项式系数及其前身的和。示例：a（4）=6+7和（1+x+x^2）^3=…+6*x^2+7*x^3+-大卫·卡伦2004年2月7日
a（n）是启动U（n>=1）的n个上行（U）和n个下行（D）的UDU-free路径数。示例：a（2）=2计数UUDD，UDDU-大卫·卡伦2004年8月18日
a（n）也是半长n的Grand-Dyck路径的数量，以向上步长开始，避免模式DUD-大卫·贝文2019年11月19日
a（n+1）=[1，2，5，13，35，96，…]的Hankel变换给出A000012号= [1,1,1,1,1,1,...]. -菲利普·德尔汉姆2007年10月24日
a（n）是[n]上避免模式1-23-4和1-3-2的排列数，其中模式中省略破折号意味着排列项必须相邻。例如：a（4）=13计算所有14（加泰罗尼亚数字）（1-3-2）-避免[4]上的排列，1234除外-大卫·卡伦2008年7月22日
a（n）也是长度为2n-2的对合数，它们在逆补映射下是不变的，并且没有长度为4的递减子序列-埃里克·S·埃格2008年10月21日
a（n）是半长度为n且没有DUUU的Dyck单词数。例如，a（4）=14-1=13，因为只有一个Dyck 4字包含DUUU，即UDUUUDDD-埃里克·罗兰2009年4月21日
设w（i，j，n）表示n^2中满足多元递归的游动
w（i，j，n）=w（i-1，j，n-1）+w（i，j-1，n-1）+w（i+1，j-1，n-1），边界条件w（0,0,0）=1，如果i或j或n＜0，w（i，j，n）=0。设alpha（n）为长度为n的这类游程的个数，alpha〔n〕=Sum_{i=0..n，j=0..n}w（i，j，n）。那么a（n+1）=α（n）-彼得·卢什尼2011年5月21日
长度n字符串的数量[d（0），d（1），d（2），…，d（n-1）]，其中0<=d（k）<=k，abs（d（k）-d（k-1））<=1（平滑阶乘数，参见示例）-乔格·阿恩特2012年11月10日
a（n）是不包含一对连续整数的{1，…，n}的n个多集的数目（例如，对于n=3，为111，113，133，222，333）-大卫·贝文2013年6月10日
a（n）也是n的n个多集的数目，其中除n外没有整数出现一次（例如，n＝3时为111、113、222、223、333）-大卫·贝文2019年11月19日
李代数so（2n+1）或李代数sp（2n）的仿射Weyl群中的极小极大元数。参见Panyushev 2005。囊性纤维变性。A245455型. -彼得·巴拉2014年7月22日
移位的有符号数组属于与加泰罗尼亚语相关联的插值数组族A000108号（t=1），以及Riordan或Motzkin总和A005043号（t=0），其中插值（这里t=-2）o.g.f.g（x，t）=（1-sqrt（1-4x/（1+（1-t）x））/2和逆o.g.f.Ginv（x，t）=x（1-x）/（1+（t-1）x（1-x））(A057682号). 请参见A091867号有关此家庭的更多信息-汤姆·科普兰2014年11月9日
或者，这个序列对应于n步{-1,0,1}从原点开始，在任意高度结束，并严格保持在x轴上方的正行走次数-大卫·阮2016年12月1日
设N是一个具有N个素因子的无平方数：p_1<p_2<…<p_n。设D是其除数集，E是由（D_1，D_2）构成的D X D的子集，如果我们知道哪个p_i在D_1中，哪个p_i在D_2中，则不需要知道p_i的数值就可以证明D_1<=D_2。似乎a（n+1）是E中（D_2，D_1）的个数，因此D_1和D_2是互质-卢克·卢梭2017年8月21日
具有n个非根节点的有序根树的数量，以及所有非根节点具有1或2次超度数的数量-安德鲁·霍罗伊德2017年12月4日
a（n）是n的组成数（有序分区），其中A001006号（k-1）类第k部分（见Andrew Howroyd的公式，2017年12月4日）-乔格·阿恩特2024年1月26日
|
|
|
参考文献
|
J.E.Goodman和J.O’Rourke，编辑，《离散和计算几何手册》，CRC出版社，1997年，第237页。
T.Mansour，集分割组合数学，离散数学及其应用，CRC出版社，2013年，第377页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
R.P.Stanley，《枚举组合数学》，剑桥，第2卷，1999年；参见问题6.46a。
R.P.Stanley，《加泰罗尼亚数字》，剑桥，2015年，第132页。
|
|
|
链接
|
A.Asinowski和G.Rote，具有许多非交叉匹配的点集，arXiv预印本arXiv:1502.04925[cs.CG]，2015。
安德烈·阿西诺夫斯基（Andrei Asinowski）、阿克塞尔·巴彻（Axel Bacher）、西里尔·班德利尔（Cyril Banderier）和伯恩哈德·吉滕贝格（Bernhard Gittenberger），具有禁止模式的格路径的分析组合、向量核方法和下推自动机的生成函数，巴黎北部信息实验室（LIPN 2019）。
安德烈·阿辛诺夫斯基（Andrei Asinowski）、西里尔·班德利尔（Cyril Banderier）和瓦莱丽·罗特纳（Valerie Roitner），具有多个禁止模式的格路径的生成函数, (2019).
C.Banderier、C.Kreattehaler、A.Krinik、D.Kruchinin、V.Kruchini、D.Nguyen和M.Wallner，格路径枚举的显式公式：basketball和核方法，arXiv:1609.06473[math.CO]，2016年。
埃琳娜·巴库奇、安东尼奥·贝尔尼尼和伦佐·平扎尼，正晶格路径的穷举生成《2018年语义传感器网络研讨会》，《CEUR研讨会论文集》（2018）第2113卷。
Jean-Luc Baril、Sergey Kirgizov和Armen Petrossian，森林和模式避免排列模纯下降《2017年排列模式》，冰岛雷克雅未克大学，2017年6月26日至30日。
阿林·博斯坦和曼努埃尔·考尔斯，限制格点行走的自动分类，arXiv:0811.2899[math.CO]，2009年。
Alin Bostan、Andrew Elvey Price、Anthony John Guttmann和Jean-Marie Maillard，用于模式避免排列的Stieltjes矩序列，arXiv:2001.00393[数学.CO]，2020年。
张向科、胡晓斌、雷洪斌和叶延宁，加法公式的组合证明《组合数学电子杂志》，23（1）（2016），第1.8页。
Ji Young Choi，推广二项式系数的数字和，J.国际顺序。，第22卷（2019年），第19.8.3条。
Isaac DeJager、Madeleine Naquin和Frank Seidl，高阶有色Motzkin路2019年维拉姆。
I.Dolinka、J.East、A.Evangelou、D.FitzGerald和N.Ham，Motzkin和Jones单体的幂等统计，arXiv:1507.04838[math.CO]，2015年。
托米斯拉夫·多什利奇和达科·维尔扬，一些组合序列的对数行为，离散数学。308（2008），第11期，2182-2212。MR2404544（2009j:05019）-自N.J.A.斯隆2012年5月1日
P.Flajolet和R.Sedgewick，分析组合数学, 2009; 参见第81页。
Juan B.Gil和Luiz E.Lopez，对称弧图的枚举，arXiv:2203.10589[math.CO]，2022。
彼得·格雷戈（Petr Gregor）、托尔斯滕·穆策（Torsten Mütze）和纳姆拉塔（Namrata），通过置换语言的组合生成。六、 二叉树，arXiv:2306.08420[cs.DM]，2023年。
彼得·格雷戈（Petr Gregor）、托尔斯滕·穆策（Torsten Mütze）和纳姆拉塔（Namrata），避免二叉树的模式——生成、计数和双投影，莱布尼茨国际会议。信息学（LIPIcs），第34届国际交响乐团。阿尔戈。公司。（ISAAC 2023）。见第33.13页。
T.Halverson和M.Reeks，图代数的Gelfand模型，arXiv预印本arXiv:1302.6150[math.RT]，2013。
Nickolas Hein和Jia Huang，模块化加泰罗尼亚数字，arXiv:1508.01688[math.CO]，2015-2016年。见第2页的表1.1。
V.Jelinek、T.Mansour和M.Shattuck，关于避免集合划分的多模式，高级申请。数学。50（2）（2013）292-326，定理4.2。
T.Mansour、M.Shattuck和D.G.L.Wang，计算扁平排列中的子单词，arXiv:1307.3637[math.CO]，2013年。
Toufik Mansour、Mark Shattuck和Stephen Wagner，计算扁平排列中的子单词，离散数学。，338（2015），第1989-2005页。
D.I.Panyushev，海森堡型理想与仿射Weyl群的极小极大元，arXiv:math/0311347[math.RT]，李群和不变量理论，Amer。数学。《Soc.Translations》，第2辑，第213卷，（2005年），编辑E.Vinberg。
E.Rowland和R.Yassawi，有理函数对角线的自动同余，arXiv:1310.8635[math.NT]，2013年。
A.Sapounakis、I.Tasoulas和P.Tsikouras，计算Dyck路径中的字符串，离散数学。，307 (2007), 2909-2924.
D.Yaqubi、M.Farrokhi D.G.和H.Gahsemian Zoeram，表内的格路径。我，arXiv:1612.08697[math.CO]，2016-2017年。
|
|
|
配方奶粉
|
另外，a（0）=1，a（n）=和{k=0..n-1}M（k）*a（n-k-1），其中M（n）是Motzkin数(A001006号).
D-有限，递归n*a（n）=2*n*a-迈克尔·索莫斯2002年2月2日
G.f.：1/2+（1/2）*（1+x）/（1-3*x））^（1/2）。与Motzkin数相关A001006号乘以a（n+1）=3*a（n）-A001006号（n-1）[见雅库比引理2.6]。
a（n+1）=和{k=0..n}（-1）^（n+k）*C（n，k）*C（2*k+1，k+1）。
a（n）=0^n+Sum_{k=0..n-1}（-1）^（n+k-1）*C（n-1，k）*C（2*k+1，k+1）。（结束）
a（n+1）=和{k=0..n}（-1）^k*3^（n-k）*二项式（n，k）*A000108号（k） -保罗·巴里2005年1月27日
G.f.：1/（1-x/（1-x-x^2/（1-x-x^2/（1-x-x^2/（1-x-x^2/（1-x-x^2/（1-…（续分数））-保罗·巴里2009年1月19日
G.f:1+x/（1-2*x-x^2/（1-x-x^2/（1-x-x2/（1-x-x^2）/（1-……（连分数））-保罗·巴里2009年1月19日
a（n）=和{l_1=0..n+1}和{l_2=0..n}。。。和{l_i=0..n-i}。。。求和{l_n=0..1}δ（l_1，l_2，…，l_i，…，l_n-托马斯·维德2009年2月25日
偏移量Motzkin数的INVERT变换(A001006号)：（a（n））_{n>=1}=（1,1,2,4,9,21，…）-大卫·卡伦2009年8月27日
a（n）=求和{k=1..n}（k/n*求和{j=0..n}二项（n，j）*二项（j，2*j-n-k））-弗拉基米尔·克鲁奇宁，2010年9月6日
a（0）=1；a（n+1）=和{t=0..n}n/（（n-t）*天花板（t/2）*地板（t/2）-安德鲁·海斯2011年2月2日
a（n）=M^n*V的最左边列项，其中M=一个无限四次方阵，所有1都在主对角线、上对角线和次对角线中，[1,0,0,0，…]在对角线的起始位置（2,0）；并将其置零。V=矢量[1,0,0,0，…]-加里·亚当森2011年6月16日
a（n）=M^n的左上项，a（n+1）=M^n顶行项之和；M=主对角线为（1,1,0,0,0，…）的无限平方生产矩阵，如下所示：
1, 1, 0, 0, 0, 0, ...
1, 1, 1, 0, 0, 0, ...
1, 1, 0, 1, 0, 0, ...
1, 1, 1, 0, 1, 0, ...
1, 1, 1, 1, 0, 1, ...
1，1，1，1，1，0。。。（结束）
极限{n->oo}a（n+1）/a（n）=3.0=lim_{n->oo}（1+2*cos（Pi/n））-加里·亚当森2012年2月10日
删除第一个术语：例如：a（n）=n！*[x^n]exp（x）*（贝塞尔I（0，2*x）+贝塞尔I-彼得·卢什尼2012年8月25日
G.f.:G（0）/2+1/2，其中G（k）=1+2*x*（4*k+1）/（（2*k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年6月24日
对于n>0，a（n）=（-1）^（n+1）*超几何（[3/2，1-n]，[2]，4）-弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2016年4月25日
a（n）=GegenbauerC（n-2，-n+1，-1/2）+GegenbaurerC（n-1，-n+1、-1/2），对于n>=1-彼得·卢什尼2016年5月12日
当n>=0时，0=a（n）*（+9*a（n+1）+18*a（n+2）-9*a（n+3））+a（n+1）*（-6*a（nC+1）+7*a-迈克尔·索莫斯2016年12月1日
a（n）=（-1）^（n+1）*2*JacobiP（n-1，3，-n-1/2，-7）/（n^2+n）-彼得·卢什尼2021年5月25日
|
|
|
例子
|
G.f.=1+x+2*x^2+5*x^3+13*x^4+35*x^5+96*x^6+267*x^7+。。。
a（3）=5，a（4）=13；因为M^3的顶行=（5，5，2，1，…）
有一（4）=13只大小为4的定向动物：
O（运行）
O O O O 0 O O O
哦哦哦哦
哦哦哦哦
（结束）
有一个长度为4的（4）=13平滑阶乘数（点表示零）：
[ 1] [ . . . . ]
[2][…1]
[3][..1.]
[ 4] [ . . 1 1 ]
[ 5] [ . . 1 2 ]
[ 6] [ . 1 . . ]
[ 7] [ . 1 . 1 ]
[ 8] [ . 1 1 . ]
[ 9] [ . 1 1 1 ]
[10] [ . 1 1 2 ]
[11] [ . 1 2 1 ]
[12] [ . 1 2 2 ]
[13] [ . 1 2 3 ]
（结束）
有一个（4）=13的基数3个4位数（不以0开头），数字和为4：
[ 1] [ 2 2 . . ]
[2][2 1 1.]
[ 3] [ 1 2 1 . ]
[ 4] [ 2 . 2 . ]
[ 5] [ 1 1 2 . ]
[ 6] [ 2 1 . 1 ]
[ 7] [ 1 2 . 1 ]
[ 8] [ 2 . 1 1 ]
[ 9] [ 1 1 1 1 ]
[10] [ 1 . 2 1 ]
[11] [ 2 . . 2 ]
[12] [ 1 1 . 2 ]
[13] [ 1 . 1 2 ]
（结束）
|
|
|
MAPLE公司
|
seq（总和（二项式（i-1，k）*二项式Detlef Pauly（dettodet（AT）yahoo.de），2001年11月9日
局部i，j，A，istart，iend，KartProd，Liste，Term，delta；
A： =0；
对于i从0到n do
Liste[i]：=NULL；
istart[i]：=0；
iend[i]：=n-i+1：
从istart[i]到iend[i]do的j
Liste[i]：=列表[i]，j；
结束do；
听[i]：=听[i]]：
结束do；
卡特普洛德：=cartprod（[seq（Liste[i]，i=1..n）]）；
而不是卡特普洛德[完成]做
术语：=KartProd[下一个值]（）；
增量：=1；
对于i从1到n-1 do
如果（op（i，项）-op（i+1，项））^2>=2，则
增量：=0；
断裂；
结束条件：；
结束do；
A： =A+δ；
结束do；
#n->[a（0），a（1），..，a（n）]
W:=proc（i，j，n）选项记忆；
如果最小（i，j，n）<0或最大（i，j）>n，则0
elif n=0，则如果i=0且j=0，则1为0 fi
否则W（i-1，j，n-1）+W（i，j-1，n-1
[1，seq（加法（W（i，j，m），i=0..m），j=0...m），m=0..n-1）]结束：
选项记忆；
如果n<=1，则
1 ;
其他的
2*n*进程名（n-1）+3*（n-2）*procname（n-2；
%/n；
结束条件：；
结束进程：
|
|
|
数学
|
系数列表[系列[（2x）/（3x-1+Sqrt[1-2x-3x^2]），{x，0，40}]，x](*哈维·P·戴尔2011年4月3日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）a（n）=如果（n<2，n>=0，（2*n*a（n-1）+3*（n-2）*a（n-2））/n）
（PARI）对于（n=0，27，print1）（如果（n==0，1，sum（k=0，n-1，（-1）^（n-1+k）*二项式（n-1，k）*二项式（2*k+1，k+1）），“，”）\\因德拉尼尔·戈什2017年3月14日
（PARI）Vec（1/（1-序列反转（x*（1-x）/（1-x^3）+O（x*x^25）））\\安德鲁·霍罗伊德2017年12月4日
（哈斯克尔）
a005773 n=a005773_列表！！n个
a005773_list=1:f a001006_list[]其中
f（x:xs）ys=y:f xs（y:ys）其中
y=x+总和（zipWith（*）a001006_list ys）
（鼠尾草）
定义da（）：
a、 b，c，d，n=0，1，1，-1，1
产量1
产量1
为True时：
产量b+（-1）^n*d
n+=1
a、 b=b，（3*（n-1）*n*a+（2*n-1）*n*b）//（（n+1）*（n-1））
c、 d=d，（3*（n-1）*c-（2*n-1）*d）//n
（鼠尾草）（2*x/（3*x-1+sqrt（1-2*x-3*x^2））.系列（x，30）.系数（x，稀疏=假）#G.C.格鲁贝尔2019年4月5日
（Magma）R<x>：=PowerSeriesRing（基本原理（），30）；系数（R！（2*x/（3*x-1+Sqrt（1-2*x-3*x^2）））//G.C.格鲁贝尔2019年4月5日
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n,容易的,美好的
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A039598号
|
| 根据切比雪夫多项式U_n（x），由x的幂展开三角形的奇数列构成的三角形。有时被称为加泰罗尼亚三角。 |
|
+10
68
|
|
|
|
1, 2, 1, 5, 4, 1, 14, 14, 6, 1, 42, 48, 27, 8, 1, 132, 165, 110, 44, 10, 1, 429, 572, 429, 208, 65, 12, 1, 1430, 2002, 1638, 910, 350, 90, 14, 1, 4862, 7072, 6188, 3808, 1700, 544, 119, 16, 1, 16796, 25194, 23256, 15504, 7752, 2907, 798, 152, 18, 1
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,2
|
|
|
评论
|
Riordan阵列（（1-2x-sqrt（1-4x））/（2x^2），（1-2x-sqrt（1-4x））/（2x））。反向数组为A053122号. -保罗·巴里，2005年3月17日
T（n，k）是n个台阶的行走次数，每个台阶沿n、S、W或E方向，从原点开始，保持在上半平面，并在高度k处结束（参见R.K.盖伊参考文献，第5页）。例如：T（3,2）=6，因为我们有ENN、WNN、NEN、NWN、NNE和NNW-Emeric Deutsch公司2005年4月15日
三角形T（n，k），0<=k<=n，由T（0,0）=1给出的行读取，如果k<0或如果k>n，T（n、0）=2*T（n-1,0）+T-菲利普·德尔汉姆2007年3月30日
从（0,0）到（2n+1,2k+1）的（2n+1）-步数，包括步数u=（1,1）和d=（1，-1），其中路径位于非负象限。示例：T（2,0）=5，因为我们有uuudd、uudud、uuddu、uduud、ududu；T（2,1）=4，因为我们有uuud，uuudu，uuduu，uduuu；T（2,2）=1，因为我们有uuuuu-菲利普·德尔汉姆，2007年4月16日，2007年4月18日
按行读取的三角形：T（n，k）=从（0,0）到（n，k）的晶格路径数，这些路径不低于y=0线，由步骤U=（1,1），D=（1，-1）和两种类型的步骤H=（1,0）组成；示例：T（3,1）=14，因为我们有UDU、UUD、4个HHU路径、4个HUH路径和4个UHH路径-菲利普·德尔汉姆2007年9月25日
如果k<0或如果k>n，T（n，0）=x*T（n-1,0）+T（n-1.1），T（n，k）=T（n-1，k-1）+y*T（n-1，k）+T。其他三角形是通过为（x，y）选择不同的值而产生的：（0,0）->A053121号; (0,1) ->A089942号; (0,2) ->A126093号; (0,3) ->A126970号; (1,0) ->A061554号; (1,1) ->A064189号; (1,2) ->A039599号; (1,3) ->A110877号; (1,4) ->A124576号; (2,0) ->A126075号; （2,1）->A038622号; (2,2) ->A039598号; (2,3) ->A124733号; (2,4) ->A124575号; (3,0) ->126953英镑; （3,1）->A126954号; (3,2) ->A111418号; (3,3) ->A091965美元; (3,4) ->A124574号; (4,3) ->A126791号; (4,4) ->A052179号; (4,5) ->A126331号; (5,5) ->A125906号. -菲利普·德尔汉姆2007年9月25日
带偏移量[1,1]，这是（普通）卷积三角形a（n，m），m列的o.g.f.由（c（x）-1）^m给出，其中c（xA000108号参见Riordan评论保罗·巴里.
T（n，k）也是具有k个不动点的（n链的）保序完全变换的数目-阿卜杜拉希·奥马尔2008年10月2日
T（n，k）/2^（2n+1）=n=2n+3.-阶最大平坦低通数字微分器的系数Pavel Holoborodko（Pavel（AT）Holoborodko.com），2008年12月19日
有符号三角形S（n，k）：=（-1）^（n-k）*T（n，k）提供了f（n，l）：=l（2*l）*5^n*f（2*l）^（2*n+1）（f=Fibonacci数A000045号，L=卢卡斯数A000032号)和F（4*l*（k+1）），k=0。。。，n、 对于每个l>=0:f（n，l）=Sum{k=0..n}S（n，k）*f（4*l*（k+1）），n>=0，l>=0。证明：l.h.s.的o.g.f.，g（l；x）：=Sum_{n>=0}f（n，l）*x^n=f（4*l）/（1-5*f（2*l）^2*x）与r.h.s的o.f.相匹配：在交换n-和k-求和之后，s=（C（x）/x，C（x保罗·巴里)，C（x）：=1-C（-x），o.g.f.C（x）为A000108号（加泰罗尼亚数字），用于在索引移位后获得第一个和{k>=0}F（4*l*（k））*GS（k；x），三角形S的k列的o.g.F是GS（k；x）：=和{n>=k}S（n，k）*x^n=C（x）^（k+1）/x。结果是GF（l；C（x*F（4*l）/（1-l（4*1）*x+x^2）（参见A049670号、和A028412号). 如果使用，则恒等式L（4*n）-5*F（2*n）^2=2（在科西的书中[参考A065563号]这是第15号，第88页，归于卢卡斯，1876年），证明从上面恢复了l.h.s.的o.g.f.，归结为加泰罗尼亚o.g.f上的一个微不足道的恒等式，即1/c^2（-x）=1+2*x-（x*c（-x））^2-沃尔夫迪特·朗2012年8月27日
行多项式R（x）的O.g.f:=和{k=0..n}a（n，k）*x^k：
这个Riordan三角形的A序列是[1,2,1]，Z序列是[2,1]。请参阅下面的W.Lang链接A006232号包含详细信息和参考-沃尔夫迪特·朗2012年11月13日
T（n，k）=A053121号（2*n+1，2*k+1）。T（n，k）出现在代数数rho（n）的（2*n+1）次幂的公式中：=2*cos（Pi/n）=R（n，2），表示单位圆（长度单位为1）中正规n-gon中均匀诱导的对角线/边长比R（n、2*（k+1））=S（2*k+1，ρ（n））。S（n，x）是切比雪夫S多项式（参见A049310型)：rho（N）^（2*N+1）=和{k=0..N}T（N，k）*R（N，2*（k+1）），N>=0，在N>=1中相同。有关证据，请参阅2013年9月21日的评论A053121号注意，如果R（N，j）的j>delta（N），代数数rho（N）的次数（参见A055034级)，出现。关于rho（n）的偶次幂，请参见A039599号.（结束）
示例部分中的三对角Toeplitz生产矩阵P对应于简单李代数A_n的无符号Cartan矩阵，因为n趋于无穷大（参见Damianou ref.inA053122号)-汤姆·科普兰，2015年12月11日（2015年12月月28日修订）
T（n，k）是从原点开始，在n或E方向上，由n个台阶组成的非交叉步行对的数量，这两条路径的端点之间的水平距离为k。参见Shapiro 1976-彼得·巴拉2017年4月12日
|
|
|
参考文献
|
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准局应用数学。1964年第55辑（以及各种重印本），第796页。
B.A.Bondarenko，《广义帕斯卡三角和金字塔（俄语）》，FAN，塔什干，1990年，ISBN 5-648-00738-8。
|
|
|
链接
|
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年[替代扫描副本]。
何塞·阿加皮托（JoséAgapito）、恩格拉·梅斯特雷（ngela Mestre）、玛丽亚·托雷斯（Maria M.Torres）和帕斯奎尔·佩特鲁洛（Pasquale Petrullo），关于单参数加泰罗尼亚阵列《整数序列杂志》，第18卷（2015年），第15.5.1条。
M.Aigner，通过选票编号枚举，离散数学。，308 (2008), 2544-2563.
Jean-Luc Baril、JoséL.Ramírez和Lina M.Simbaqueba，计算斜交Dyck路径的前缀，J.国际顺序。，第24卷（2021年），第21.8.2条。
Eduardo H.M.Brietzke，安德鲁斯一个恒等式的推广，斐波纳契夸脱。44（2006），第2期，166-171。
马克·张伯兰，因子矩阵可以生成组合恒等式，《线性代数及其应用》，第438卷，第4期，2013年2月15日，第1667-1677页。
Xi Chen、H.Liang和Y.Wang，递归矩阵的全正性，arXiv:1601.05645[math.CO]，2016年。
Xi Chen、H.Liang和Y.Wang，递归矩阵的全正性《线性代数及其应用》，第471卷，2015年4月15日，第383-393页。
S.J.Cyvin、J.Brunvoll、E.Brendsdal、B.N.Cyven和E.K.Lloyd，多烯烃类的计数：一个完整的数学解决方案，化学杂志。Inf.计算。科学。，35 (1995) 743-751. [带注释的扫描副本]
彼得·希金斯，序保映射半群的组合结果，数学。程序。外倾角。Phil.Soc.113（1993），281-296。
Pedro J.Miana、Hideyuki Ohtsuka和Natalia Romero，加泰罗尼亚三角数的幂和，arXiv:1602.04347[math.NT]，2016（见2.4）。
L.W.Shapiro、W.-J.Woan和S.Getu，跑步、滑梯和精彩瞬间，SIAM J.Alg。离散方法，4（1983），459-466。
L.W.夏皮罗，加泰罗尼亚三角，离散数学。，14, 83-90, 1976.
L.W.夏皮罗，加泰罗尼亚三角，离散数学。14（1976年），第1期，第83-90页。[带注释的扫描副本]
Charles Zhao-Chen Wang和Yi Wang，加泰罗尼亚三角的总正性，离散数学。338（2015），第4期，566--568。MR3300743。
|
|
|
配方奶粉
|
第n行：C（2n，n-k）-C（2n、n-k-2）。
a（n，k）=C（2n+1，n-k）*2*（k+1）/（n+k+2）=A050166号（n，n-k）=a（n-1，k-1）+2*a（n-1，k）+a（n-l，k+1）[如果n<0或n<k，a（0，0）=1，a（n，k）=0]-亨利·博托姆利2001年9月24日
T（n，0）=A000108号（n+1），如果n<k，T（n，k）=0；对于k>0，T（n，k）=和{j=1..n}T（n-j，k-1）*A000108号（j） ●●●●。
对于k列的G.f:Sum_{n>=0}T（n，k）*x^n=x^k*C（x）^（2*k+2），其中C（xA000108号（n） *x^n是加泰罗尼亚数字的g.f，A000108号.
和{k>=0}T（m，k）*T（n，k）=A000108号（m+n+1）。（结束）
三角形也可以由M^n*[1,0,0,0，…]生成，其中M=一个无限三对角矩阵，在上对角线和次对角线中有1，在主对角线上有[2,2,2，…]-加里·亚当森2006年12月17日
G.f.：G（t，x）=C^2/（1-txC^2），其中C=（1-sqrt（1-4x））/（2x）是加泰罗尼亚函数。从这里G（-1，x）=C，即交替行和是加泰罗尼亚数字(A000108号)-Emeric Deutsch公司2007年1月20日
和{k=0..n}T（n，k）*（k+1）=4^n-菲利普·德尔汉姆2007年3月30日
G.f.：1/（1-xy-2x-x^2/（1-2x-x^2）/（1-2x-x^2。
让U表示主对角线上或下有1的下单位三角形数组，其他地方有0。对于k=0,1,2，。。。将U（k）定义为下单元三角形块数组
/确定0（_k）\
\0 U/将k X k单位矩阵I_k作为左上块；特别是，U（0）=U。那么这个数组等于双无限乘积（…*U（2）*U（1）*U。（结束）
O.g.f.g（x，t）=（1/x）*（x/f（x，t））的级数反转，其中f（x，t）=（1+（1+t）*x）^2/（1+t*x）。
1+x*d/dx（G（x，t））/G（x，t）=1+（2+t）*x+（6+4*t+t^2）*x^2+。。。是o.g.fA094527号.（结束）
猜想：和{k=0..n}T（n，k）/（k+1）^2=H（n+1）*A000108号（n） *（2*n+1）/（n+1），其中H（n+1”）=Sum_{k=0..n}1/（k+1）-沃纳·舒尔特2015年7月23日
求和{k=0..n}T（n，k）*（k+1）^2=（2*n+1）*二项式（2*n，n）。(A002457号)
求和{k=0..n}T（n，k）*（k+1）^3=4^n*（3*n+2）/2。
求和{k=0..n}T（n，k）*（k+1）^4=（2*n+1）^2*二项式（2*n，n）。
求和{k=0..n}T（n，k）*（k+1）^5=4^n*（15*n^2+15*n+4）/4。（结束）
用L表示这个下三角阵列；则L*转置（L）是Hankel矩阵（1/（i+j）*二项式（2*i+2*j-2，i+j-1））_i，j>=1的Cholesky因式分解=A172417号读取为方形数组。见张伯兰，第1669页-彼得·巴拉2023年10月15日
|
|
|
例子
|
三角形T（n，k）开始：
否0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0: 1
1: 2 1
2: 5 4 1
3: 14 14 6 1
4: 42 48 27 8 1
5: 132 165 110 44 10 1
6: 429 572 429 208 65 12 1
7:1430 2002 1638 910 350 90 14 1
8: 4862 7072 6188 3808 1700 544 119 16 1
9: 16796 25194 23256 15504 7752 2907 798 152 18 1
10: 58786 90440 87210 62016 33915 14364 4655 1120 189 20 1
生产矩阵开始：
2, 1
1, 2, 1
0, 1, 2, 1
0, 0, 1, 2, 1
0, 0, 0, 1, 2, 1
0, 0, 0, 0, 1, 2, 1
0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 1
0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 1
重现性：T（5,1）=165=1*42+2*48+1*27。Riordan A序列为[1,2,1]。
Riordan Z序列[2,1]的递归：T（5,0）=132=2*42+1*48。（结束）
ρ（N）=2*cos（Pi/N）幂的示例：
n=2:rho（n）^5=5*R（n，2）+4*R。对于N=5（只有一条明显对角线的五边形），度数δ（5）=2，因此R（5，4）和R（5、6）可以减少，即分别为R（5,1）=1和R（5,6）=-R（5,1）=-1。因此，rho（5）^5=5*R（N，2）+4*1+1*（-1）=3+5*R。（结束）
|
|
|
MAPLE公司
|
T： =（n，k）->二项式（2*n，n-k）-二项式#N.J.A.斯隆2013年8月26日
PMatrix（10，n->二项式（2*n，n）/（n+1））#彼得·卢什尼2022年10月7日
|
|
|
数学
|
|
|
|
黄体脂酮素
|
（Sage）#L.Seidel的算法（1877）
#打印三角形的前n行。
D=[0]*（n+2）；D[1]=1
b=正确；h=1
对于范围（2*n）内的i：
如果b：
对于范围（h，0，-1）中的k：D[k]+=D[k-1]
h+=1
其他：
对于范围（1，h，1）中的k：D[k]+=D[k+1]
b=非b
如果b：打印（[D[z]代表（1..h-1）中的z）
（岩浆）/*作为三角形：*/[[二项式（2*n，n-k）-二项式：k in[0..n]]：n in[0..15]]//文森佐·利班迪2015年7月22日
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
|
|
|
作者
|
|
|
|
扩展
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A064189号
|
| 三角形T（n，k），0<=k<=n，按行读取，定义为：T（0,0）=1，如果n<k，T（n，k）=0，T（n，k）=T（n-1，k-1）+T（n-1，k）+T（n-1，k+1）。 |
|
+10
56
|
|
|
|
1, 1, 1, 2, 2, 1, 4, 5, 3, 1, 9, 12, 9, 4, 1, 21, 30, 25, 14, 5, 1, 51, 76, 69, 44, 20, 6, 1, 127, 196, 189, 133, 70, 27, 7, 1, 323, 512, 518, 392, 230, 104, 35, 8, 1, 835, 1353, 1422, 1140, 726, 369, 147, 44, 9, 1, 2188, 3610, 3915, 3288, 2235, 1242, 560, 200, 54, 10, 1
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0.4
|
|
|
评论
|
按相反顺序读取莫茨金三角形。
Riordan数组（1-x-sqrt（1-2x-3x^2））/（2x^2”，（1-x-sqlt（1-2x-3x^ 2））或（2x））。逆是数组（1/（1+x+x^2），x/（1+x+x^ 2））(A104562号)-保罗·巴里2005年3月15日
三角形T（n，k），0<=k<=n，由以下给定的行读取：T（0,0）=1，如果k<0或如果k>n，T（n、0）=T（n-1,0）+T-菲利普·德尔汉姆2007年3月27日
该三角形属于由以下定义的三角形族：T（0,0）=1，T（n，k）=0，如果k<0或如果k>n，T。为（x，y）选择不同的值会产生其他三角形：（0,0）->A053121号; (0,1) ->A089942号; (0,2) ->A126093号; (0,3) ->A126970号; (1,0)->A061554号; (1,1) ->A064189号; (1,2) ->A039599号; (1,3) ->A110877号; (1,4) ->A124576号; (2,0) ->A126075号; （2,1）->A038622号; (2,2) ->A039598号; (2,3) ->A124733号; (2,4) ->A124575号; (3,0) ->126953英镑; （3,1）->A126954号; (3,2) ->A111418号; (3,3) ->A091965美元; (3,4) ->A124574号; (4,3) ->A126791号; (4,4) ->A052179号; (4,5) ->A126331号; (5,5) ->A125906号. -菲利普·德尔汉姆，2007年9月25日
考虑一个带有标记为（n，k）的正方形、秩或行n>=0、文件或列k>=0的半无限棋盘；长度n从（0,0）到（n，k），0<=k<=n的主通道数为T（n，k）。上述循环关系与国王的运动有关。这基本上是哈里·格隆迪亚斯（Harrie Grondijs）对莫茨金三角的评论A026300型. -约翰内斯·梅耶尔2010年10月10日
|
|
|
参考文献
|
E.Barcucci、R.Pinzani和R.Sprugnoli，Motzkin家族，P.U.M.A.系列。A、 第2卷，1991年，第3-4期，第249-279页。
|
|
|
链接
|
I.Dolinka、J.East、A.Evangelou、D.FitzGerald和N.Ham，Motzkin和Jones单体的幂等统计，arXiv预印本arXiv:1507.04838[math.CO]，2015。
R.Donaghey和L.W.Shapiro，莫茨金数《组合理论》，A辑，23（1977），291-301。
伊万娜·乌尔德耶夫、伊戈尔·多林卡和詹姆斯·伊斯特，图范畴中的三明治半群，arXiv:1910.10286[math.GR]，2019年。
汤姆·哈尔弗森和西奥多·雅各布森，集部分表与图代数的表示，arXiv:1808.08118[math.RT]，2018年。
|
|
|
配方奶粉
|
Sum_｛k=0..n｝T（n，k）*（k+1）=3^n。
求和{k=0..n}T（n，k）*T（n、n-k）=T（2*n，n）-T（2*m，n+2）
k列具有例如f.exp（x）*（贝塞尔I（k，2*x）-BesselI（k+2.2*x））-保罗·巴里2006年2月16日
T（n，k）=和{j=0..n}C（n，j）*（C（n-j，j+k）-C（n-j、j+k+2））-保罗·巴里2006年2月16日
第n行由M^n*V生成，其中M=无限三对角矩阵，所有1都在上、主、次对角中；V=无限向量[1,0,0,0，…]。例如，第3行=（4，5，3，1），因为M^3*V=[4，5,3，1，0，0，…]-加里·亚当森2006年11月4日
T（n，k）=（k/n）*Sum_{j=0..n}二项式（n，j）*Binominal（j，2*j-n-k）-弗拉基米尔·克鲁奇宁2011年2月12日
和{k=0..n}T（n，k）*（-1）^k*（k+1）=（-1）-沃纳·舒尔特，2015年7月8日
求和{k=0..n}T（n，k）*（k+1）^3=（2*n+1）*3^n-沃纳·舒尔特，2015年7月8日
总面积：2/（1-x+平方（1-2*x-3*x^2）-2*x*y）=Sum_{n>=k>=0}T（n，k）*x^n*y^k-迈克尔·索莫斯2016年6月6日
T（n，k）=二项式（n，k）*超几何（[（k-n）/2，（k-n+1）/2]，[k+2]，4）-彼得·卢什尼2021年5月19日
关于点x=0展开的函数（1-x^2）*（1+x+x2）^n的n次泰勒多项式的系数以相反的顺序给出了第n行中的项-彼得·巴拉2022年9月6日
|
|
|
例子
|
三角形开始：
[0]1；
[1] 1, 1;
[2] 2, 2, 1;
[3] 4, 5, 3, 1;
[4] 9, 12, 9, 4, 1;
[5] 21, 30, 25, 14, 5, 1;
[6] 51, 76, 69, 44, 20, 6, 1;
[7] 127, 196, 189, 133, 70, 27, 7, 1;
[8] 323, 512, 518, 392, 230, 104, 35, 8, 1;
[9] 835, 1353, 1422, 1140, 726, 369, 147, 44, 9, 1.
.
生产矩阵开始：
1, 1
1, 1, 1
0, 1, 1, 1
0，0，1，1，1
0, 0, 0, 1, 1, 1
0,0,0,1,1（结束）
|
|
|
MAPLE公司
|
别名（C=二项式）：A064189号：=（n，k）->加（C（n，j）*（C（n-j，j+k）-C（n-j、j+k+2）），j=0..n）：seq（seq(A064189号（n，k），k=0..n），n=0..10）#彼得·卢什尼2019年12月31日
PMatrix（10，n->简化（hypergeom（[1-n/2，-n/2+1/2]，[2]，4））#彼得·卢什尼2022年10月8日
|
|
|
数学
|
T[0,0，x_，y_]：=1；T[n，0，x_，y]：=x*T[n-1，0，x，y]+T[n-1，1，x，y]；T[n_，k_，x_，y]：=T[n，k，x，y]=如果[k<0||k>n，0，T[n-1，k-1，x，y]+y*T[n-1，k，x，y]+T[n-l，k+1，x，y]]；表[T[n，k，1，1]，{n，0，10}，{k，0，n}]//扁平(*G.C.格鲁贝尔2017年4月21日*）
T[n_，k_]：=二项式[n，k]超几何2F1[（k-n）/2，（k-n+1）/2，k+2，4]；
表[T[n，k]，{n，0，10}，{k，0，n}]//展平(*彼得·卢什尼2021年5月19日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（鼠尾草）
M=矩阵（ZZ，dim，dim）
对于范围内的n（dim）：M[n，n]=1
对于n in（1..dim-1）：
对于（0..n-1）中的k：
M[n，k]=M[n-1，k-1]+M[n-1，k]+M[n-1，k+1]
返回M
（PARI）{T（n，k）=如果（k<0||k>n，0，polceoff（polceof（2/（1-x+sqrt（1-2*x-3*x^2）-2*x*y）+x*O（x^n），n），k））}/*迈克尔·索莫斯2016年6月6日*/
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
|
|
|
作者
|
|
|
|
扩展
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A061554号
|
| 反对偶读取的方表：a（n，k）=二项式（n+k，floor（k/2））。 |
|
+10
45
|
|
|
|
1, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 6, 4, 4, 1, 1, 10, 10, 5, 5, 1, 1, 20, 15, 15, 6, 6, 1, 1, 35, 35, 21, 21, 7, 7, 1, 1, 70, 56, 56, 28, 28, 8, 8, 1, 1, 126, 126, 84, 84, 36, 36, 9, 9, 1, 1, 252, 210, 210, 120, 120, 45, 45, 10, 10, 1, 1, 462, 462, 330, 330, 165, 165, 55, 55, 11, 11, 1, 1
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0.4
|
|
|
评论
|
等价地，作为行读取的三角形，这是T（n，k）=二项式（n，floor（n-k）/2）；然后，k列具有例如，f.贝塞尔_I（k，2x）+贝塞尔-I（k+1,2x）-保罗·巴里，2006年2月28日
Riordan阵列（1/（1-x-x^2*c（x^2）），x*c（x2））；其中c（x）=加泰罗尼亚数字的g.fA000108号. -菲利普·德尔汉姆2007年3月17日
三角形T（n，k），0<=k<=n，由以下给定的行读取：T（0,0）=1，如果k<0或如果k>n，T（n、0）=T（n-1,0）+T-菲利普·德尔汉姆2007年3月27日
该三角形属于由以下定义的三角形族：T（0,0）=1，T（n，k）=0，如果k<0或如果k>n，T。其他三角形是通过为（x，y）选择不同的值而产生的：（0,0）->A053121号; (0,1) ->A089942号; (0,2) ->A126093号; (0,3) ->A126970号; (1,0)->A061554号; (1,1) ->A064189号; (1,2) ->A039599号; (1,3) ->A110877号; ((1,4) ->A124576号; (2,0) ->A126075号; （2,1）->A038622号; (2,2) ->A039598号; (2,3) ->A124733号; (2,4) ->A124575号; (3,0) ->126953英镑; （3,1）->A126954号; (3,2) ->A111418号; (3,3) ->A091965美元; (3,4) ->A124574号; (4,3) ->A126791号; (4,4) ->A052179号; (4,5) ->A126331号; (5,5) ->A125906号. -菲利普·德尔汉姆2007年9月25日
T（n，k）是从（0，k）到某些（n，m）的路径数，这些路径从不低于y=0，至少接触一次y=0并且仅由步骤（1,1）和（1，-1）组成。这可以用Deléham提供的重现性来证明-杰拉尔德·麦卡维2008年10月15日
作为“三角形族”的子集（Deleham 2007年9月25日的评论），以A061554号，M=（-1,0）=（1；-1，1；2，-1，1-A089942号; (1,2) -A039599号; (2,3) -A124733号; (3,4) -A124574号; (4,5) -A126331号; ... 这样，由（n，n+1）生成的三角形的二项式变换=由（n+1，n+2）生成的三角。类似地，另一个子集以A053121号-（0,0），采用连续二项式变换得到（1,1）-A064189号; (2,2) -A039598号; （3,3）-A091965美元, ... 通过行，（n，n）生成的三角形可以通过从右侧开始的（n-1，n）三角形的两两求和获得。例如，（1,2）的第2行-A039599号= (2, 3, 1); 从右边取两两和，我们得到（5,4,1）=（2,2）的第2行-A039598号. -加里·亚当森2011年8月4日
由行（n）和交替符号（+-+…）组成的三角形从顶部作为一组联立方程求解奇数n（n=2n+1）正多边形的对角线长度。每种情况下的常数都是c=2*cos（2*Pi/N）的幂。举例来说，前3行与七边形有关，联立方程为（1,0,0）=1；（-1,1,0）=c=1.24697。。。；且（2，-1,1）=c^2。答案是1、2.24697…和1.801。。。；具有边＝1的七边形的3个不同的对角线长度-加里·亚当森2011年9月7日
|
|
|
链接
|
里德·阿克顿（Reed Acton）、T.凯尔·彼得森（T.Kyle Petersen）、布莱克·希尔曼（Blake Shirman）和布里吉特·艾琳·坦纳（Bridget Eileen Tenner），洞察力大师，arXiv:2401.11680[math.CO]，2024。见第15页。
|
|
|
配方奶粉
|
作为三角形：T（n，k）=二项式（n，m），其中m=楼层（（n+1）/2-（-1）^（n-k）*（k+1）/2）。
a（0，k）=二项式（k，floor（k/2））=A001405号（k） ；对于n>0 T（n，k）=T（n+1，k-2）+T（n-1，k）。
第n行=M^n*V，其中M=无限三对角矩阵，所有1位于上对角线和次对角线中，（1,0,0,0，…）位于主对角线。V=无限向量[1,0,0,0，…]。例如：（3,3,1,0,0,0，…）=M^3*V-加里·亚当森2006年11月4日
|
|
|
例子
|
阵列开始：
1, 1, 2, 3, 6, 10, 20, 35, 70, 126, ...
1, 1, 3, 4, 10, 15, 35, 56, 126, 210, ...
1, 1, 4, 5, 15, 21, 56, 84, 210, 330, ...
1、1、5、6、21、28、84、120、330、495。。。
1, 1, 6, 7, 28, 36, 120, 165, 495, 715, ...
1, 1, 7, 8, 36, 45, 165, 220, 715, 1001, ...
1, 1, 8, 9, 45, 55, 220, 286, 1001, 1365, ...
1, 1, 9, 10, 55, 66, 286, 364, 1365, 1820, ...
1, 1, 10, 11, 66, 78, 364, 455, 1820, 2380, ...
1, 1, 11, 12, 78, 91, 455, 560, 2380, 3060, ...
三角形（反对角线）版本开始：
1;
1, 1;
2, 1, 1;
3, 3, 1, 1;
6, 4, 4, 1, 1;
10, 10, 5, 5, 1, 1;
20, 15, 15, 6, 6, 1, 1;
35、35、21、21、7、7、1、1；
70, 56, 56, 28, 28, 8, 8, 1, 1;
126, 126, 84, 84, 36, 36, 9, 9, 1, 1;
252, 210, 210, 120, 120, 45, 45, 10, 10, 1, 1;
462, 462, 330, 330, 165, 165, 55, 55, 11, 11, 1, 1; ...
矩阵反转开始：
1;
-1, 1;
-1, -1, 1;
1, -2, -1, 1;
1, 2, -3, -1, 1;
-1, 3, 3, -4, -1, 1;
-1, -3, 6, 4, -5, -1, 1;
1, -4, -6, 10, 5, -6, -1, 1;
1、4、-10、-10、15、6、-7、-1、1。。。
生产矩阵为
1, 1,
1, 0, 1,
0, 1, 0, 1,
0, 0, 1, 0, 1,
0, 0, 0, 1, 0, 1,
0, 0, 0, 0, 1, 0, 1,
0,0,00,0,1,0,1（结束）
|
|
|
MAPLE公司
|
T:=proc（n，k）选项记忆；
如果n=k，则1 elif k<0或n<0或k>n，则0
elif k=0，然后T（n-1，0）+T
对于从0到9的n，做seq（T（n，k），k=0..n）od#彼得·卢什尼2021年5月25日
|
|
|
数学
|
t[n_，k_]=二项式[n，Floor[（n+1）/2-（-1）^（n-k）*（k+1）/2]]；扁平[表[t[n，k]，{n，0，11}，{k，0，n}]](*Jean-François Alcover公司2011年5月31日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）T（n，k）=二项式（n，（n+1）\2-（-1）^（n-k）*（（k+1）\2））
|
|
|
交叉参考
|
行是A001405号,A037952美元,A037955号,A037951号,A037956号,A037953号,A037957号等。列是截断的成对A000012号,A000027号,A000217号,A000292号,A000332号,A000389号,A000579号等。主对角线是A051036号.
|
|
|
关键词
|
|
|
|
作者
|
|
|
|
扩展
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
搜索在0.042秒内完成
|
