搜索: a038111-编号:a038111-
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1、2、11、27、61、809、13945、268027、565447、2358365、73551683、2734683311、112599773191、4860900544813、9968041656757、40762420985117、831518585555707、5085105491885327、341472595155548909、24295409051193284539、1777124696397561611347
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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通过将求和序列重写为1-Product_{n>=1}(1-1/素数(n)),可以证明乘积为零,求和序列收敛到1。这很有趣,因为对于大n,这些项接近1/(2*prime(n)),并且这些项的和可能会发散,因为和{n>=1}1/(2%prime(n))发散。
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链接
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配方奶粉
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数学
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表[1-积[1-(1/素数[k])),{i,1,j},{j,1,20}];(*这是一个单独的和表:和[积[1-(1/素数[k]),{k,n-1}]/素数[n],{n,1,3}],这是在A038111号(本例中有三个术语)。*)
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黄体脂酮素
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(PARI)r(n)=prod(k=1,n-1,(1-1/素数(k))/素数(n);
a(n)=分子(总和(k=1,n,r(k)))\\米歇尔·马库斯2019年6月8日
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交叉参考
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关键字
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非n,压裂
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作者
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状态
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经核准的
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1, 27, 729, 59049, 43046721, 31381059609, 68630377364883, 150094635296999121, 328256967394537077627, 717897987691852588770249, 4710128697246244834921603689, 92709463147897837085761925410587, 3649600726280146254718103955713167842
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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9、2
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评论
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偏移量为9,因为对于0<n<5,乘积是一个整数,对于4<n<9,十进制扩展以零结尾。
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链接
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例子
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例如,对于n=9,其中(2/1)*(6/1)x(15/1)*(105/4)*(385/8)*(1001/16)*(17017/192)*(323323/3072)*(7436429/55296)=2759417025618036452625/154618822656=1784656048245.307458522736043151881959703350694444444444…因此a(9)=1。
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数学
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Primorial[n_]:=次数@@Prime[范围[n]]
全部清除[iter]
全部清除[fracPer,vp];
(*p-adic顺序*)
vp[p_?PrimeQ,n_Integer]:=
长度@NestWhileList[#/p&,n/p,整数Q]-1;
(*小数小数扩展周期*)
fracPer[q_Integer]:=0;
fracPer[q_Rational]:=模块[{den,p2,p5},den=分母[q];
p2=vp[2,den];
p5=vp[5,den];
den=den/2^p2/5^p5;
如果[den==1,0,乘数阶[10,den]]];
iter[{periods_,frac_,n}]:={periods,fracPer[#]},#,n+1}&[
frac*Primarial[n]/EulerPhi[Primarial[1,n-1]]];
第一次压平@
嵌套[iter,{0,Primorial[0]/EulerPhi[Primorial[0]],0},50]
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交叉参考
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关键字
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非n,基础
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作者
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状态
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经核准的
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A005867号
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| a(0)=1;对于n>0,a(n)=(素数(n)-1)*a(n-1)。 (原M1880)
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+10 98
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1, 1, 2, 8, 48, 480, 5760, 92160, 1658880, 36495360, 1021870080, 30656102400, 1103619686400, 44144787456000, 1854081073152000, 85287729364992000, 4434961926979584000, 257227791764815872000, 15433667505888952320000
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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设p=素数(n),p#为素数(A002110号),则可以证明任何p#连续数都正好有一个(n-1)个数,其最小素因子为p。有关证明,请参阅“关于主模式的证明”链接。例如,如果我们让p=7并考虑包含210个数字的区间[101310],我们会发现8个数字119、133、161、203、217、259、287、301丹尼斯·马丁(Dennis.Martin(AT)dptechnology.com),2006年7月16日
等于(-1)^n*(1,1,1,2,8,48,…)点(-1,2,-3,5,-7,11,…)。
a(6)=480=(1,1,2,8,48)点(-1,2,-3,5,-7,11)=(-1,2-,-3,10,-56,528)。(结束)
可以证明至少有T个素数小于N,其中递归函数T是:T=N-N*Sum_{i=0..T(sqrt(N))}A005867号(i)/A002110号(i) ●●●●。例如,这可以表明,对于29^2>N>23^2,至少0.16*N个数是小于N的素数-本·保罗·瑟斯顿2010年8月23日
对于n>1,a(n)是[1,primorial(prime(n))]中的素数(n+1)-粗略数-亚历山大·埃雷拉2023年8月29日
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参考文献
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N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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拉里·迪林,黑钥匙筛1998年,纽约贝尔波特275号信箱,邮编:11713-0275。
阿尔方斯·德·波利尼亚克,六个命题的运算法则《数学新纪年:候选期刊》,《Série 1,Tome 8》(1849),第423-429页。见第425页。
丹尼斯·马丁,关于基本模式的证明[通过Internet Archive Wayback-machine]
John K.Sellers,素因子重复序列中双素数的分布,arXiv:2108.00288[math.GM],2021。见第11页的表1。
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配方奶粉
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a(n)=产品{k=1..n}(素数(k)-1)=产品A006093号(n) ●●●●。
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例子
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a(3):mod30素数余数集筛表示产生余数集:{1,7,11,13,17,19,23,29},8个元素。
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MAPLE公司
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mul(ithprime(j)-1,j=1..n);
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数学
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表[积[EulerPhi[Prime[j]],{j,1,n}],{n,1,20}]
递归表[{a[0]==1,a[n]==(素数[n]-1)a[n-1]},a,{n,20}](*哈维·P·戴尔2013年12月9日*)
EulerPhi@FoldList[Times,1,Prime@Range@18](*迈克尔·德弗利格2016年3月18日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)用于(n=0,22,print1(prod(k=1,n,prime(k)-1),“,”)
(哈斯克尔)
a005867 n=a005867_列表!!n个
a005867_list=扫描(*)1 a006093_list
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交叉参考
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关键字
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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偏移更改为0,名称更改,注释和示例部分由编辑T.D.诺伊2010年4月4日
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状态
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经核准的
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A083140型
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| 埃拉托斯特尼(Eratosthennes)的筛子排列成阵列,并由反对症者向上阅读;第n行具有最小素因子为素(n)的性质。 |
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+10 48
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2, 3, 4, 5, 9, 6, 7, 25, 15, 8, 11, 49, 35, 21, 10, 13, 121, 77, 55, 27, 12, 17, 169, 143, 91, 65, 33, 14, 19, 289, 221, 187, 119, 85, 39, 16, 23, 361, 323, 247, 209, 133, 95, 45, 18, 29, 529, 437, 391, 299, 253, 161, 115, 51, 20, 31, 841, 667, 551, 493, 377, 319, 203, 125, 57, 22
(列表;桌子;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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2,1
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评论
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自然数的排列>=2。
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链接
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例子
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数组开始:
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 .... (A005843号\ {0})
3 9 15 21 27 33 39 45 51 57 63 69 .... (A016945号)
5 25 35 55 65 85 95 115 125 145 155 175 .... (A084967号)
7 49 77 91 119 133 161 203 217 259 287 301 .... (A084968美元)
11 121 143 187 209 253 319 341 407 451 473 517 .... (A084969号)
13 169 221 247 299 377 403 481 533 559 611 689 .... (A084970号)
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数学
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a=Join[{表[2n,{n,1,12}]},表[Take[Prime[n]*Select[Range[100],GCD[Prime]#,积[Prime[1],{i,1,n-1}]]==1&],12],{n、2,12}];扁平[表[a[[i,n-i]],{n,2,12},{i,n-1,1,-1}]]
(*第二个节目:*)
行=12;清除[T];Do[For[m=p=Prime[n];k=1,k<=行,m+=p,如果[FactorInteger[m][[1,1]]==p,T[n,k++]=m]],{n,行}];表[T[n-k+1,k],{n,行},{k,n}]//展平(*Jean-François Alcover公司2016年3月8日*)
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交叉参考
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按各种条件分组成行的整数数组:
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关键字
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 1, 1, 4, 8, 16, 192, 3072, 55296, 110592, 442368, 13271040, 477757440, 19110297600, 802632499200, 1605264998400, 6421059993600, 12842119987200, 770527199232000, 50854795149312000, 3559835660451840000
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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1,4
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评论
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乘积{k=1..n-1}的分子(1-1/质数(k))-乔纳森·桑多2014年1月31日
a(n)/A038111号(n) =(1/素数(n))*Product_{k=1.n-1}(1-1/素数(k))~e^(-c)/(素数(n)*log(素数(n))),其中c=0.577…是欧拉常数-弗拉基米尔·舍维列夫2015年1月10日
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链接
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J.Sondow和Eric Weisstein,欧拉产品《数学世界》
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配方奶粉
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a(n)/A060753号(n) =Product_{k=1..n-1}(1-1/素数(k))~exp(-gamma)/log(n)作为n->无穷大(Mertens第三定理)-乔纳森·桑多2014年1月31日
a(n)=φ(e^(psi(p_n-1)))/e^(psi(p_n))的分子,其中psi(.)是第二个切比雪夫函数,而φ(.)则是欧拉的总方向函数-弗雷德·丹尼尔·克莱恩2014年7月17日
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例子
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a(10)=110592=(1*2*4*6*10*12*16*18*22)/(2*3*5*11)。
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MAPLE公司
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N: =100:#对于a(1)到a(N)
Q: =1:p:=1:
对于从1到n的n do
p: =下一素数(p);
A[n]:=数字(Q);
Q: =Q*(1-1/p);
结束时间:
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数学
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分子@表格[积[1-1/素数[k],{k,n-1}]/素数[n],{n,64}]
分子@表格[积[1-1/素数[k],{k,n-1}],{n,64}]
分子@
表[EulerPhi[Exp[Sum[MangoldtLambda[m],{m,1,素数[n]-1}]]/
Exp[Sum[MangoldtLambda[m],{m,1,素数[n]}],{n,21}]
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黄体脂酮素
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(PARI)a(n)=分子(prod(k=1,n-1,(1-1/质数(k)))\\米歇尔·马库斯2019年8月5日
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交叉参考
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关键字
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非n,压裂
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作者
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状态
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经核准的
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5, 25, 35, 55, 65, 85, 95, 115, 125, 145, 155, 175, 185, 205, 215, 235, 245, 265, 275, 295, 305, 325, 335, 355, 365, 385, 395, 415, 425, 445, 455, 475, 485, 505, 515, 535, 545, 565, 575, 595, 605, 625, 635, 655, 665, 685, 695, 715, 725, 745, 755, 775, 785
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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1,1
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评论
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链接
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配方奶粉
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形式5k的数字,其中gcd(5k,6)=1。
a(n)=5*(-3+(-1)^n+6*n)/2。
a(n)=a(n-1)+a(n-2)-a(n-3)。
总尺寸:5*x*(x^2+4*x+1)/((x-1)^2*(x+1))。(结束)
对于n>2,a(n)=a(n-2)+30-扎克·塞多夫2015年4月29日
和{n>=1}(-1)^(n+1)/a(n)=Pi/(10*sqrt(3))-阿米拉姆·埃尔达尔2022年11月3日
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数学
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5选择[Range[160],GCD[#,2*3]==1&]
选择[Range[5,785,10],Mod[#,3]>0&](*扎克·塞多夫2015年4月29日*)
a[1]=5;a[n]:=a[n]=a[n-1]+10*(2-模式[n,2]);表[a[n],{n,50}](*扎克·塞多夫2015年4月29日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)列表(lim)=5*选择(k->gcd(n,6)==1,[1..lim\5])\\查尔斯·格里特豪斯四世2014年11月19日
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交叉参考
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关键字
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A060753号
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| 1*2*4*6*的分母*(素数(n-1)-1)/(2*3*5*7*…*素数(n-1))。 |
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+10 23
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1, 2, 3, 15, 35, 77, 1001, 17017, 323323, 676039, 2800733, 86822723, 3212440751, 131710070791, 5663533044013, 11573306655157, 47183480978717, 95993978542907, 5855632691117327, 392327390304860909
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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a(n)/A038110型(n) 是素数(n-1)-光滑数的倒数之和,对于n>1。
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参考文献
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G.H.Hardy和E.M.Wright,《数字理论导论》,第5版,牛津大学出版社,1979年,第429页。
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链接
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理查德·拉茨,测量整数的丰度《数学杂志》,第59卷,第2期(1986年),第84-92页。
Jonathan Sondow和Eric Weisstein,欧拉产品《数学世界》。
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配方奶粉
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例子
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A038110型(50)/a(50)=0.1020…,exp(-gamma)/log(229)=0.1033。。。
1*2*4/(2*3*5)=4/15具有分母a(4)=15-乔纳森·桑多2014年1月31日
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数学
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表[分母@乘积[EulerPhi@Prime[i]/Prime@i,{i,n}],{n,0,19}](*迈克尔·德弗利格,2015年1月10日*)
{1} ~Join~Denominator@FoldList[Times,Table[EulerPhi@Prime[n]/Prime@n,{n,19}]](*迈克尔·德弗利格2016年7月26日*)
b[0]:=0;b[n]:=b[n-1]+(1-b[n-1')/素数[n]
联接[{1},分母[With[{nn=20},FoldList[Times,Prime[Range[nn]]-1]/FoldList[Time,Prime[Range[nn]]]]](*哈维·P·戴尔2022年4月17日*)
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黄体脂酮素
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(岩浆)[1]cat[分母((&*[NthPrime(k-1)-1:k in[2..n]])/(&*[NthPrim(k-1//马吕斯·A·伯蒂2019年9月19日
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交叉参考
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关键字
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非n,压裂
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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7, 49, 77, 91, 119, 133, 161, 203, 217, 259, 287, 301, 329, 343, 371, 413, 427, 469, 497, 511, 539, 553, 581, 623, 637, 679, 707, 721, 749, 763, 791, 833, 847, 889, 917, 931, 959, 973, 1001, 1043, 1057, 1099, 1127, 1141, 1169, 1183, 1211, 1253, 1267, 1309
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,1
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评论
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编号7*k,使gcd(k,30)=1。
模210等于7、49、77、91、119、133、161、203的数-宋嘉宁2022年11月18日
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链接
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配方奶粉
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总尺寸:7*x*(x^8+6*x^7+4*x^6+2*x^5+4*x|4+2*x|3+4*x^2+6*x+1)/((x-1)^2*(x+1)*(x|2+1)*-科林·巴克2013年2月24日
a(n+8)=a(n)+210-宋嘉宁2022年11月18日
求和{n>=1}(-1)^(n+1)/a(n)=sqrt(23+平方(5)-sqrt(6*(5+平方(6)))*Pi/105-阿米拉姆·埃尔达尔2023年7月15日
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例子
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77在序列中,因为gcd(77,30)=1。
84不在序列中,因为gcd(84,3)=6。
91在序列中,因为gcd(91,30)=1。
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MAPLE公司
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q: =k->igcd(k,30)=1:
选择(q,[7*i$i=1..300])[]#阿洛伊斯·海因茨,2020年2月25日
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数学
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7选择[Range[190],GCD[#,2*3*5]==1&]
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黄体脂酮素
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交叉参考
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关键字
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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13, 169, 221, 247, 299, 377, 403, 481, 533, 559, 611, 689, 767, 793, 871, 923, 949, 1027, 1079, 1157, 1261, 1313, 1339, 1391, 1417, 1469, 1651, 1703, 1781, 1807, 1937, 1963, 2041, 2119, 2171, 2197, 2249, 2327, 2353, 2483, 2509, 2561, 2587, 2743, 2873
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,1
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链接
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配方奶粉
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a(n)=a(n-480)+30030=a(n-1)+a(n-48)-a(n-481)-查尔斯·格里特豪斯四世,2014年11月19日
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例子
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a(2)=13*13,a(3)=13x17。
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数学
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选择[13Range@225,GCD[#,2310]==1&](*罗伯特·威尔逊v2014年12月18日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)是(n)=n%13==0&&gcd(n,2310)==1\\查尔斯·格里特豪斯四世2014年11月19日
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交叉参考
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关键字
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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11, 121, 143, 187, 209, 253, 319, 341, 407, 451, 473, 517, 583, 649, 671, 737, 781, 803, 869, 913, 979, 1067, 1111, 1133, 1177, 1199, 1243, 1331, 1397, 1441, 1507, 1529, 1573, 1639, 1661, 1727, 1793, 1837, 1859, 1903, 1969, 1991, 2057, 2101, 2123, 2167, 2189, 2299, 2321
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,1
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评论
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整数k,使gcd(11*k,210)=1。
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链接
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配方奶粉
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总尺寸:11*x*(x^48+10*x^47+2*x^46+4*x^45+2*x ^44+4*x ^43+6*x^42+2*x^41+6*x ^40+4*x ^39+2*x ^38+4*x^37+6*x^36+6*x ^35+2**x^34+6**x^33+4*x1^32+2*x2x^31+6*x1^30+4*x29+6*x^28+8*x^27+4**x ^26+2*x^25+4*x^24+2*x^23+4*x^22+8*x^21+6*x^20+4*x ^19+6*x ^18+2*x ^17+4*x ^16+6*x ^15+2*x*^14+6*x^13+6**x^12+4*x^11+2*x^10+4*x2 9+6*x^8+2*x^7+6*x ^6+4*x^5+2*x^4+4*x^3+2*x^2+10*x+1)/(x^49-x^48-x+1)-科林·巴克2013年2月22日
a(n)=a(n-48)+2310=a(n-1)+a(n-48)-a(n-49)-查尔斯·格里特豪斯四世2014年11月19日
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例子
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a(2)=11*11,a(3)=11x13。
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数学
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11选择[Range[210],GCD[#,2*3*5*7]==1&]
选择[11*范围[0,200],GCD[#,210]==1&](*哈维·P·戴尔2013年12月23日*)
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黄体脂酮素
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交叉参考
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关键字
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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