搜索: a034494-编号:a034494
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2, 8, 50, 344, 2402, 16808, 117650, 823544, 5764802, 40353608, 282475250, 1977326744, 13841287202, 96889010408, 678223072850, 4747561509944, 33232930569602, 232630513987208, 1628413597910450, 11398895185373144
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0.1个
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配方奶粉
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a(n)=7*a(n-1)-6。
a(n)=8*a(n-1)-7*a(n-2)。
G.f.:1/(1-x)+1/(1-7*x)。
例如:exp(x)+exp(7*x)。(结束)
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数学
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7^范围[0,30]+1
线性递归[{8,-7},{2,8},20](*哈维·P·戴尔2018年8月18日*)
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黄体脂酮素
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(Sage)[范围(0,20)内n的σ(7,n)]#零入侵拉霍斯2009年6月4日
(岩浆)[0..30]]中[7^n+1:n//G.C.格鲁贝尔2023年3月11日
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关键词
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容易的,非n
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作者
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A193649号
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| (n+1)st Fibonacci多项式的Q剩余,其中Q是t(i,j)=1给出的三角形数组(t(i),j)。(见注释。) |
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+10 19
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1, 1, 3, 5, 15, 33, 91, 221, 583, 1465, 3795, 9653, 24831, 63441, 162763, 416525, 1067575, 2733673, 7003971, 17938661, 45954543, 117709185, 301527355, 772364093, 1978473511
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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假设p=p(0)*x^n+p(1)*x~(n-1)++p(n-1)*x+p(n)是一个正次多项式,Q是多项式序列:Q(k,x)=t(k,0)*x^k+t(k、1)*x^(k-1)++t(k,k-1)*x+t(k、k),对于k=0,1,2,。。。p的Q-下降步长是由D(p)=p(0)*Q(n-1,x)+p(1)*Q(n-2,x)++p(n-1)*q(0,x)+p(n)。
由于度(D(p))<度(p),D的n次应用的结果是一个常数,我们称之为p的Q-剩余。如果p是一个常量,我们定义D(p)=p。
示例:设p(x)=2*x^3+3*x^2+4*x+5和q(k,x)=(x+1)^k。
D(p)=2(x+1)^2+3(x+1)+4(1)+5=2x^2+7x+14
D(D(p))=2(x+1)+7(1)+14=2x+23
D(D(D)(p))=2(1)+23=25;
p的Q残基为25。
我们可以将多项式序列Q视为由系数构成的三角形阵列:
t(0,0)
t(1,0)。。。。t(1,1)
t(2,0)。。。。t(2,1)。。。。t(2,2)
t(3,0)。。。。t(3,1)。。。。t(3,2)。。。。t(3,3)
并将p视为向量(p(0),p(1),。。。,p(n))。如果P是多项式序列[或具有(第n行)=(P(0),P(1),…,P(n))的三角形数组],则多项式的Q残数形成一个数字序列。
以下示例中,Q是t(i,j)=1表示0<=i<=j的三角形:
Q…..P…………..P的Q残留物
1(x+1)^n。。。。。。。。。。。。。。A007051号,(1+3^n)/2
1(x+2)^n。。。。。。。。。。。。。。A034478号,(1+5^n)/2
1….(x+3)^n。。。。。。。。。。。。。。A034494号,(1+7^n)/2
更多示例:
Q…………..P……….Q P的残留物
(k+1)。。。。。(k+1)。。。。。。。。。。。A001906号(均匀感应纤维数)
(在最后四个中,(k+1)表示三角形t(n,k)=k+1,0<=k<=n。)
稍稍改变符号,就会得到下面的Mathematica程序和下面的p的Q下降公式:首先,将t(n,k)写成Q(n,k)。定义r(k)=和{q(k-1,i)*r(k-1-i):i=0,1,…,k-1}然后D(p)的行n由v(n)=和(p(n,k)*r。
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链接
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配方奶粉
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推测:G.f.:-(1+x)*(2*x-1)/((x-1)*(4*x^2+x-1))-R.J.马塔尔2015年2月19日
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例子
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1
1...0
1...0...1
1...0...2...0
1...0...3...0...1
要获得a(4)=15,请向下四步:
D(x^4+3*x^2+1)=(x^3+x^2+x+1)+3(x+1)+1:(1,1,4,5)[系数]
DD(x^4+3*x^2+1)=D(1,1,4,5)=(1,2,11)
DDD(x^4+3*x^2+1)=D(1,2,11)=(1,14)
DDDD(x^4+3*x^2+1)=D(1,14)=15。
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数学
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q[n,k]:=1;
r[0]=1;r[k_]:=Sum[q[k-1,i]r[k-1-i],{i,0,k-1}];
f[n_,x_]:=斐波那契[n+1,x];
v[n]:=和[p[n,k]r[n-k],{k,0,n}]
表格形式[表格[q[i,k],{i,0,4},{k,0,i}]]
表[r[k],{k,0,8}](*2^k*)
表格形式[表格[p[n,k],{n,0,6},{k,0,n}]]
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关键词
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非n
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作者
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A198715号
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| T(n,k)=nXk 0..3数组的数量,其值为0..3,按行主顺序引入,且没有与任何水平或垂直相邻元素相等的元素。 |
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+10 17
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1, 1, 1, 2, 4, 2, 5, 25, 25, 5, 14, 172, 401, 172, 14, 41, 1201, 6548, 6548, 1201, 41, 122, 8404, 107042, 250031, 107042, 8404, 122, 365, 58825, 1749965, 9548295, 9548295, 1749965, 58825, 365, 1094, 411772, 28609241, 364637102, 851787199, 364637102
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,4
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网格图P_n X P_k的着色数,最多使用4种颜色,最多不超过颜色的排列-安德鲁·霍罗伊德2017年6月26日
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例子
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表格开始
....1........1............2...............5..................14
....1........4...........25.............172................1201
....2.......25..........401............6548..............107042
....5......172.........6548..........250031.............9548295
…14……1201…………107042……9548295……851787199
...41.....8404......1749965.......364637102.........75987485516
..122....58825.....28609241.....13925032958.......6778819400772
..365…411772…467717288…531779578441…604736581320925
.1094..2882401...7646461682..20307996787865...53948385378521909
.3281.20176804.125007943505.775536991678112.4812720805166620356
...
对于n=6 k=4,所有值都在0到3之间的一些解
..0..1..0..1....0..1..0..1....0..1..0..1....0..1..0..1....0..1..0..1
..1..0..1..0....1..0..1..0....1..0..1..0....1..0..1..0....1..0..1..0
..0..1..2..1....0..1..0..1....0..1..0..1....0..1..0..2....0..1..0..1
..1..2..0..3....2..0..3..0....2..0..1..0....1..2..1..3....1..2..3..0
..2...0...2...0...1..3.0...2...3...2...0...2...3...0...2...3...1...2...3...1...2...3
..3..2..0..1....3..2..1..0....0..3..2..1....3..1..3..0....1..3..1..0
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交叉参考
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关键词
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作者
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已批准
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1, 3, 18, 108, 648, 3888, 23328, 139968, 839808, 5038848, 30233088, 181398528, 1088391168, 6530347008, 39182082048, 235092492288, 1410554953728, 8463329722368, 50779978334208, 304679870005248, 1828079220031488, 10968475320188928, 65810851921133568
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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的二项式变换A081340号.(1,0,9,0,81,0729,0,…)的第三个二项式变换。
n部分中偶数自然数的成分数<=5-阿迪·达尼2011年5月29日
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配方奶粉
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a(0)=1,a(n)=6^n/2,n>0。
G.f.:(1-3*x)/(1-6*x)。
例如:exp(3*x)*cosh(3*x)。
a(n)=((3+sqrt(9))^n+(3-sqrtAl Hakanson(hawkuu(AT)gmail.com),2008年12月8日
a(n)=((8*n-4)*a(n-1)-12*(n-2)*a。
例如,(exp(6*x)+1)/2=1+3*x/(g(0)-6*x),其中g(k)=6*x+1+k-6*x*(k+1)/g(k+1。(结束)
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例子
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a(2)=18:有18个偶数自然数组成的两部分<=5:
对于0:(0,0);
对于2:(0,2),(2,0),(1,1);
对于4:(0,4),(4,0),(1,3),(3,1),(2,2);
对于6:(1,5)、(5,1)、(2,4)、(4,2)、(3,3);
对于8:(3,5),(5,3),(4,4);
对于10:(5,5)。(结束)
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MAPLE公司
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a: =proc(n)选项记忆`如果`(n=0,
加(3^j*a(n-j),j=1..n))
结束时间:
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数学
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表[天花板[1/2(6^n)],{n,0,25}]
联接[{1},嵌套列表[6#&,3,30]](*哈维·P·戴尔2019年5月25日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)x='x+O('x^66);/*那么多术语*/
Vec((1-3*x)/(1-6*x))/*显示条款*//*乔格·阿恩特2011年5月29日*/
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交叉参考
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关键词
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容易的,非n
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作者
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扩展
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已批准
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A214112型
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| T(n,k)=nx(k+1)数组圆形在k+1方向上的0..3着色数,新值0..3按行主顺序引入 |
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+10 12
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1, 1, 4, 4, 11, 25, 10, 111, 121, 172, 31, 670, 3502, 1331, 1201, 91, 4994, 44900, 110985, 14641, 8404, 274, 34041, 825105, 3008980, 3517864, 161051, 58825, 820, 241021, 12777541, 136579852, 201647240, 111505491, 1771561, 411772, 2461, 1678940
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,3
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评论
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表格开始
....1.....1.......4........10..........31............91.............274
....4....11.....111.......670........4994.........34041..........241021
...25...121....3502.....44900......825105......12777541.......214404272
..172..1331..110985...3008980...136579852....4797577911....191154162535
.1201.14641.3517864.201647240.22615881851.1801391900581.170522196557894
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链接
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配方奶粉
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k列的经验值:
k=1:a(n)=8*a(n-1)-7*a(n-2)
k=2:a(n)=11*a(n-1)
k=3:a(n)=35*a(n-1)-107*a(n-2)+73*a(n-3)
k=4:a(n)=68*a(n-1)-66*a(n-2)
k=5:a(n)=200*a(n-1)-5769*a
k=6:a(n)=416*a(n-1)-1554*a(n-2)+89758*a(n-3)+90848*a(n-4)-438718*a(n-5)+62801*a(n-6)
k=7:(顺序15)
第n行的经验值:
n=1:a(k)=3*a(k-1)+a(k-2)-3*a(k-3)
n=2:a(k)=4*a(k-1)+22*a(k-2)-4*a(kt-3)-21*a(k-4)
n=3:a(k)=11*a(k-1)+123*a(k-2)-509*a(k3)-1615*a(kt4)+7137*a(km5)-19*a(k.6)-20571*a(kb7)+13176*a(k-8)+13932*a(钾-9)-11664*a(K10)
n=4:(顺序26)
n=5:(顺序71)
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例子
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n=4k=1的一些解
..0..1....0..1....0..1....0..1....0..1....0..1....0..1....0..1....0..1....0..1
..1..0....1..2....2..3....1..0....1..0....1..0....1..2....1..0....1..0....1..2
..0..1....0..1....3..1....0..1....2..3....2..1....3..0....0..2....2..3....3..1
..1..2....1..0....1..0....1..0....3..2....3..0....0..1....1..3....3..1....0..2
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交叉参考
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关键词
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作者
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1, 5, 34, 260, 2056, 16400, 131104, 1048640, 8388736, 67109120, 536871424, 4294968320, 34359740416, 274877911040, 2199023263744, 17592186060800, 140737488388096, 1125899906908160, 9007199254872064, 72057594038190080, 576460752303947776, 4611686018428436480
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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{1,0,9,0,81,0,729,0,…}的第五个二项式变换。
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链接
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配方奶粉
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a(n)=(8^n+2^n)/2。
a(n)=10*a(n-1)-16*a(n-2),a(0)=1,a(1)=5。
通用名称:(1-5*x)/(1-2*x)*(1-8*x))。
例如:exp(5*x)*cosh(3*x)。
a(n)=((5+平方码(9))^n+(5-sqrt(9)^n)/2.-Al Hakanson(hawkuu(AT)gmail.com),2008年12月8日
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MAPLE公司
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seq((8^n+2^n)/2,n=0..30)#G.C.格鲁贝尔2020年1月8日
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数学
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黄体脂酮素
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(岩浆)[(8^n+2^n)/2:n in[0..30]]//文森佐·利班迪,2011年6月13日
(鼠尾草)[(8^n+2^n)/2代表n in(0..30)]#G.C.格鲁贝尔2020年1月8日
(GAP)列表([0..30],n->(8^n+2^n)/2)#G.C.格鲁贝尔2020年1月8日
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交叉参考
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关键词
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容易的,非n
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作者
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状态
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已批准
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A003665号
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| a(n)=2^(n-1)*(2^n+(-1)^n)。 |
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+10 10
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1, 1, 10, 28, 136, 496, 2080, 8128, 32896, 130816, 524800, 2096128, 8390656, 33550336, 134225920, 536854528, 2147516416, 8589869056, 34359869440, 137438691328, 549756338176, 2199022206976, 8796095119360, 35184367894528, 140737496743936, 562949936644096, 2251799847239680
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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cosh(3*x)展开的二项式变换,充气版本A001019号, 1,0,9,0,81,0,729,... -保罗·巴里2003年4月5日
或者:从分数1/1开始,取根据规则构建的分数的分子:将顶部和底部相加得到新的底部,将顶部和底部的9倍相加得到新的顶部。用于生成此序列的分数序列的极限是sqrt(9)-西诺·希利亚德2005年9月25日
这个序列还给出了{1,2,…,n}的子集(A,B)的有序对的数量,使得|A u B|是偶数。(这里“u”代表集合理论联合。)特殊情况n=13可以在CRUX问题3257中找到Walther Janous(walter.Janous(AT)tirol.com),2008年3月1日
对于n>0,a(n)是2X2矩阵[1,3;3,1]的n次幂的项(1,1)-加里·亚当森2010年8月6日
a(n)是当有1类1和9类其他自然数时n的组成数-米兰Janjic2010年8月13日
a(n)=((1+3)^n+(1-3)^n)/2。一般来说,如果b(0),b(1),。。。是序列的第k个二项式变换((3^n+(-3)^n)/2),则b(n)=((k+3)^n+。更一般地,如果b(0),b(1),。。。是序列的第k个二项式变换((m^n+(-m)^n)/2),则b(n)=((k+m)^n+。请参见A034494号,A081340号-A081342号,A034659号. -查理·马里恩2011年6月25日
从偏移量1开始,序列是(1,9,9,…)的INVERT变换-加里·亚当森2016年8月6日
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参考文献
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约翰·德比希尔(John Derbyshire),《Prime Obsession》,约瑟夫·亨利出版社,2004年4月,第16页。
M.Gardner,《狮身人面像之谜》,M.A.A.,1987年,第145页。
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链接
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R.K.盖伊,s-加法序列,预印本,1994年。(带注释的扫描副本)
比尔·桑兹,问题3257,克鲁克斯数学。33(2007),第5期,第298页。
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配方奶粉
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a(n)=2*a(n-1)+8*a(n-2),a(0)=a(1)=1。
a(n)=(4^n+(-2)^n)/2。
通用名称:(1-x)/((1+2*x)*(1-4*x))。(结束)
a(n)=和{k=0..floor(n/2)}二项式(n,2*k)*9^k。
例如,exp(x)*cosh(3*x)。(结束)
给定a(0)=1,b(0)=1,则i=1,2。。。,a(i)/b(i)=(a(i-1)+9*b(i-1-西诺·希利亚德2005年9月25日
a(n)=((1+平方(9))^n+(1-sqrt(9)^n)/2.-Al Hakanson(hawkuu(AT)gmail.com),2008年12月8日
如果p[1]=1,p[i]=9,(i>1),并且如果A是n阶Hessenberg矩阵,定义为:A[i,j]=p[j-i+1],(i<=j),A[i、j]=-1,(i=j+1),以及A[i和j]=0,否则。然后,对于n>=1,a(n)=det(a)-米兰Janjic2010年4月29日
G.f.:G(0)/2,其中G(k)=1+1/(1-x*(9*k-1)/(x*(9*k+8)-1/G(k+1));(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月28日
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MAPLE公司
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数学
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系数列表[级数[(1+8x)/(1-2x-8x^2),{x,0,30}],x](*或*)
线性递归[{2,8},{1,1},30](*罗伯特·威尔逊v2013年9月18日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)a(n)=2^(n-1)*(2^n+(-1)^n);
(岩浆)[2^(n-1)*(2^n+(-1)^n):n in[0..30]]//文森佐·利班迪2011年8月19日
(Sage)[2^(n-1)*(2^n+(-1)^n)表示n英寸(0..30)]#G.C.格鲁贝尔2019年8月2日
(GAP)列表([0..30],n->2^(n-1)*(2^n+(-1)^n))#G.C.格鲁贝尔2019年8月2日
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关键词
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非n,容易的
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作者
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已批准
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A206396型
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| T(n,k)=在两个城市街区距离内,没有元素等于另一个元素的nXk 0..5数组的数量,以及按行主顺序引入的新值0..5 |
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+10 7
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1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 4, 4, 2, 5, 25, 26, 25, 5, 15, 172, 206, 206, 172, 15, 51, 1201, 1592, 1931, 1592, 1201, 51, 187, 8404, 12428, 16784, 16784, 12428, 8404, 187, 715, 58825, 96632, 151630, 170796, 151630, 96632, 58825, 715, 2795, 411772, 752552, 1343560
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,7
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评论
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表格开始
...1.....1......1........2.........5.........15..........51..........187
...1.....1......4.......25.......172.......1201........8404........58825
...1.....4.....26......206......1592......12428.......96632.......752552
...2....25....206.....1931.....16784.....151630.....1343560.....12046648
...5...172...1592....16784....170796....1787258....18574298....193499878
..15..1201..12428...151630...1787258...21983256...268956972...3301485294
..51..8404..96632..1343560..18574298..268956972..3889732730..56960076094
.187.58825.752552.12046648.193499878.3301485294.56960076094.998388746378
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链接
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例子
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n=4k=3的一些解
..0..1..2....0..1..2....0..1..2....0..1..2....0..1..2....0..1..2....0..1..2
..2..3..0....2..3..4....2..3..4....3..4..5....3..4..5....2..3..0....2..3..4
..1..4..5....1..0..5....4..5..1....5..0..1....1..0..3....4..5..1....1..5..0
..0..2..1....3..2..1....1..2..0....4..3..2....2..5..1....0..2..3....0..2..3
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关键词
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作者
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已批准
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0, 3, 24, 171, 1200, 8403, 58824, 411771, 2882400, 20176803, 141237624, 988663371, 6920643600, 48444505203, 339111536424, 2373780754971, 16616465284800, 116315256993603, 814206798955224, 5699447592686571, 39896133148806000
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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奇数自然数组成n部分的组成数<7-阿迪·达尼2011年6月11日
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链接
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配方奶粉
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a(n)=8*a(n-1)-7*a(n-2),n>=2。
a(n)=M^n*[1,0]中的右项,其中M是2X2矩阵[4,3;3,4]。
通用:3*x/((1-x)*(1-7*x))。
例如:(1/2)*(exp(7*x)-exp(x))。(结束)
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例子
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a(2)=24:奇数的24个组合分为2部分<7:
1: (0,1), (1,0);
3: (0,3), (3,0), (1,2), (2,1);
5: (0,5), (5,0), (1,4), (4,1), (2,3), (3,2);
7: (1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3);
9: (3,6), (6,3), (4,5), (5,4);
11: (5,6),(6,5). (结束)
a(4)=1200=8*a(3)-7*a(2)=8*171-7*24。
a(4)=1200=M^n*[1,0]中的右项=[A034494号(4) ,a(4)]=[1201,1200]。
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数学
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表[1/2*(7^n-1),{n,0,25}]
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黄体脂酮素
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(岩浆)[(7^n-1)/2:n in[0..25]]//文森佐·利班迪2011年6月11日
(SageMath)[(7^n-1)/2表示范围(31)内的n]#G.C.格鲁贝尔2022年11月11日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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已批准
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1, 1, 1, 4, 5, 1, 25, 33, 9, 1, 172, 238, 78, 13, 1, 1201, 1745, 667, 139, 17, 1, 8404, 12807, 5583, 1376, 216, 21, 1, 58825, 93841, 45822, 12950, 2429, 309, 25, 1, 411772, 686288, 370108, 117458, 25366, 3890, 418, 29, 1, 2882401, 5009889, 2951034, 1035834, 251583, 44607, 5823, 543, 33, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,4
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评论
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三角形[1,3,1,0,0,0,…]三角形[1,0,0.0,…]与Deléham DELTA相同A084938号.
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链接
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配方奶粉
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Riordan阵列((1-7x+3x^2)/(1-8x+7x^2。
通用公式:(1-7*x+3*x^2)/(1-8*x+7*x^2-x*y+4*x^2*y)-菲利普·德尔汉姆2013年10月29日
T(n,k)=8*T(n-1,k)+T(n-l,k-1)-7*T(n2,k)-4*T(n-2,k-1-菲利普·德尔汉姆2013年10月29日
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例子
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三角形开始
1;
1, 1;
4, 5, 1;
25, 33, 9, 1;
172, 238, 78, 13, 1;
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数学
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nmax=9;压扁[系数列表[系列[系数列表][系列[(1-7*x+3*x^2)/(1-8*x+7*x^2-x*y+4*x^2*y),{x,0,nmax}],x],{y,0,nm最大}],y]](*因德拉尼尔·戈什2017年3月10日*)
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