搜索： a033581-编号：a033588
|
| |
|
|
A005897号
|
| 当n>0时，a（n）=6*n^2+2，a（0）=1。
（原名M4497）
|
|
+10
580
|
|
|
|
1, 8, 26, 56, 98, 152, 218, 296, 386, 488, 602, 728, 866, 1016, 1178, 1352, 1538, 1736, 1946, 2168, 2402, 2648, 2906, 3176, 3458, 3752, 4058, 4376, 4706, 5048, 5402, 5768, 6146, 6536, 6938, 7352, 7778, 8216, 8666, 9128, 9602, 10088, 10586
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,2
|
|
|
评论
|
三维立方体表面上的点数量，其中每个面都有一个由点组成的方形网格（沿着每条边有n+1个点，包括角点）。
b.c.c.晶格的配位顺序。
还有三维均匀瓷砖的协调顺序，瓷砖为等边三棱柱-N.J.A.斯隆2018年2月6日
[1，7，11，1，-1，1，-1，1，…]的二项式变换-加里·亚当森2007年10月22日
除了第一项外，形式为（r^2+2*s^2）*n^2+2=（r*n）^2+（s*n-1）^2+（s*n+1）^2的数字：在这种情况下是r=2，s=1。8岁之后，所有条款都在A000408号. -布鲁诺·贝塞利2012年2月7日
对于n>0，最后一个数字（即a（n）mod 10）的序列是（8，6，6，8，2）永远重复-M.F.哈斯勒2016年4月5日
|
|
|
参考文献
|
H.S.M.Coxeter，“多面体数”，R.S.Cohen等人，编辑，为Dirk Struik。Reidel，Dordrecht，1974年，第25-35页。
Inorg.和Organomet的Gmelin手册。化学。，1994年第8版，TYPIX搜索码（194）hP4
B.Grünbaum，《三维空间的均匀平铺》，《地理组合学》，4（1994），49-56。参见瓷砖#11。
R.W.Marks和R.B.Fuller，Buckminster Fuller的Dymaxion世界。Anchor，纽约，1973年，第46页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
|
|
|
链接
|
奥基夫先生，格的配位序列，Zeit。f.克里斯特。，210 (1995), 905-908.
奥基夫先生，格的配位序列，Zeit。f.克里斯特。，210 (1995), 905-908. [带注释的扫描副本]
B.K.Teo和N.J.A.Sloane，多边形和多面体簇中的幻数，无机。化学。24 (1985), 4545-4558.
|
|
|
配方奶粉
|
通用名称：（1+x）*（1+4*x+x^2）/（1-x）^3-西蒙·普劳夫
a（0）=1，a（n）=（n+1）^3-（n-1）^3Ilya Nikulshin（伊利亚尼克（AT）gmail.com），2009年8月11日
a（0）=1，a（1）=8，a（2）=26，a（3）=56；对于n>3，a（n）=3*a（n-1）-3*a（n-2）+a（n-3）-哈维·P·戴尔2011年10月25日
例如：2*（1+3*x+3*x^2）*exp（x）-1-G.C.格鲁贝尔，2017年12月1日
|
|
|
例子
|
对于n=1，我们得到立方体的8个角；对于n=2，每个面有9个点，总计8+12+6=26。
|
|
|
MAPLE公司
|
|
|
|
数学
|
联接[{1}，6Range[50]^2+2]（*或*）联接[{1'，LinearRecurrence[{3，-3，1}、{8，26，56}，50]](*哈维·P·戴尔2011年10月25日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（岩浆）[1]猫[1..50]]中[6*n^2+2:n//文森佐·利班迪，2011年10月26日
（PARI）x='x+O（'x^30）；Vec（塞拉普拉斯（2*（1+3*x+3*x^2）*exp（x）-1）\\G.C.格鲁贝尔2017年12月1日
（Haskell）a005897 n=如果n==0，则1其他6*n^2+2--莱因哈德·祖姆凯勒2014年4月27日
|
|
|
交叉参考
|
28块统一的3D瓷砖：驾驶室：A299266型,A299267型; crs：A299268型,A299269型; 催化裂化装置：A005901号,A005902号; 费用：A299259号,A299265型; flu-e：A299272号,A299273号; fst（飞行时间）：A299258型,A299264型; 哈尔：A299274型,A299275型; hcp:A007899号,A007202号; 十六进制：A005897号,A005898号; 卡格：A299256型,A299262型; lta：A008137号,299276英镑; pcu：A005899号,A001845号; pcu-i：A299277型,A299278号; 雷奥：A299279号,A299280型; reo-e：A299281型,A299282型; ρ：A008137号,A299276号; 草地：A005893号,A005894号; 速度：A299255型,A299261型; svh（奇异值）：A299283型,A299284号; svj：A299254型,A299260型; svk公司：A010001型,A063489号; 技术合作协议：A299285型,A299286型; 经颅多普勒超声心动图：A299287型,A299288型; tfs公司：A005899号,A001845号; tsi公司：A299289号,A299290型; ttw:A299257型,A299263型; ubt（ubt）：A299291型,A299292型; bnn编号：A007899号,A007202号。请参阅中的Proserpio链接A299266型以获取概述。
|
|
|
关键词
|
非n,容易的,美好的
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A000172号
|
| Franel数a（n）=和{k=0..n}二项式（n，k）^3。
（原名M1971 N0781）
|
|
+10
134
|
|
|
|
1, 2, 10, 56, 346, 2252, 15184, 104960, 739162, 5280932, 38165260, 278415920, 2046924400, 15148345760, 112738423360, 843126957056, 6332299624282, 47737325577620, 361077477684436, 2739270870994736, 20836827035351596, 158883473753259752, 1214171997616258240
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,2
|
|
|
评论
|
Cusick给出了用floor（r+3）/2）项导出r阶Franel数（这是三阶Franel数列）的递归的一般方法。
这是Beauville描述的曲线上一个特殊点的泰勒展开-马蒂杰斯·科斯特2004年4月28日
V.Strehl的恒等式表明a（n）=Sum_{k=0..n}C（n，k）^2*二项式（2*k，n）。孙志伟推测，对于每一个n=2,3，。。。多项式fn（x）=Sum{k=0..n}二项式（n，k）^2*binominal（2*k，n）*x^（n-k）在有理数域上是不可约的-孙志伟2013年3月21日
猜想：当n是素数时，a（n）==2（mod n^3）-加里·德特利夫斯2013年3月22日
a（p）==2（mod p^3）对于任何素数p，因为p|C（p，k）对于所有k=1，。。。，第1页-孙志伟2013年8月14日
a（n）是3人博弈中完全混合纳什均衡的最大数量，每个人有n+1个纯期权-雷蒙达斯·维杜纳斯2014年1月22日
a（n）是（（1+x）*（1+y）+（1+1/x）*-满山圣一2019年10月27日
有理函数1/（（1-x）*（1-y）*（1-z）-x*y*z）的对角线-满山圣一2020年7月11日
以瑞士数学家Jérôme Franel（1859-1939）的名字命名-阿米拉姆·埃尔达尔2021年6月15日
似乎a（n）等于（1+x+y-z）^n*（1+x-y+z）^n（1-x+y+z。A036917号. -彼得·巴拉2021年9月20日
|
|
|
参考文献
|
Matthijs Coster，《超过6个家族的van krommen》【关于6个家族曲线】，硕士论文（未出版），1983年8月26日。
Jéróme Franel，《关于Laisant的问题》，数学中介，1894年第1卷，第45-47页
H.W.Gould，《组合恒等式》，摩根城，1972年，（X.14），第56页。
Murray Klamkin主编，《应用数学问题：SIAM评论选集》，SIAM，1990年；见第148-149页。
约翰·里尔丹，《组合分析导论》，威利出版社，1958年，第193页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
|
|
|
链接
|
Boris Adamczewski、Jason P.Bell和Eric Delaygue，G函数与同余的代数独立性“，arXiv预印本arXiv:1603.04187[math.NT]，2016。
P.Barrucand，组合恒等式，问题75-4SIAM Rev.，第17卷（1975年），第168页。解决方案作者：D.R.Breach、D.McCarthy、D.Monk和P.E.O'Neil，SIAM Rev.，第18卷（1976年），第303页。
P.Barrucand，问题75-4，组合恒等式SIAM Rev.，17（1975），168。[问题陈述的注释扫描副本]
T.W.Cusick，二项式系数幂和的递推《组合理论》，A辑，第52卷，第1期（1989年），第77-83页。
托米斯拉夫·多什利奇和达科·维尔扬，一些组合序列的对数行为，离散数学。，第308卷，第11期（2008年），第2182-2212页。MR2404544（2009j:05019）-自N.J.A.斯隆2012年5月1日
Jeff D.Farmer和Steven C.Leth，二项式系数幂的渐近公式，数学。天然气。，第89卷，第516号（2005年），第385-391页。
达里杰·格林伯格，现代代数导论（UMN 2019年春季数学4281笔记），明尼苏达大学（2019）。
瓦茨拉夫·科特索维奇，非攻击性棋子2013年第6版，第282页。
Marci A.Perlstadt，二项式系数幂和的一些递推，《数论杂志》，Vo。27（1987），第304-309页。
胡安·普拉，问题H-505《高级问题和解决方案》，《斐波纳契季刊》，第33卷，第5期（1995年），第473页；求和公式！Paul S.Bruckman，《H-505问题的解决方案》，同上，第35卷，第1期（1997年），第93-95页。
沃尔克·斯特雷尔，递归和勒让德变换《联合王国的洛塔林根》，B29b（1992），22页。
孙志伟，Franel数的同余，arXiv预印本arXiv:1112.1034[math.NT]，2011。
孙志伟，涉及算术序列的猜想，arXiv:1208.2683v9[math.CO]2013；《数论：香格里拉的算术》（编辑：S.Kanemitsu、H.Li和J.Liu），Proc。第六届中日研讨会（2011年8月15日至17日，上海），世界科学。，新加坡，2013年，第244-258页。
|
|
|
配方奶粉
|
A002893号（n） =和{m=0..n}二项式（n，m）*a（m）[Barrucand]。
求和{k=0..n}C（n，k）^3=（-1）^n*积分{x=0..无穷}L_k（x）^3经验（-x）dx.-摘自Askey的书，第43页
带递归的D-有限（n+1）^2*a（n+1）=（7*n^2+7*n+2）*a（n）+8*n^2*a（n-1）[Franel]-Felix Goldberg（felixg（AT）tx.technion.ac.il），2001年1月31日
a（n）~2*3^（-1/2）*Pi^-1*n^-1*2^（3*n）乔·基恩（jgk（AT）jgk.org），2002年6月21日
O.g.f.：A（x）=和{n>=0}（3*n）/不^3*x^（2*n）/（1-2*x）^（3*n+1）-保罗·D·汉纳2010年10月30日
G.f.：浅层（[1/3，2/3]，[1]，27 x^2/（1-2x）^3）/（1-2x）-迈克尔·索莫斯2010年12月17日
G.f.：Sum_｛n>=0｝a（n）*x^n/n^3=[Sum_{n>=0}x^n/n！^3]^2-保罗·D·汉纳2011年1月19日
通用公式：A（x）=1/（1-2*x）*（1+6*（x^2）/（G（0）-6*x^2，
G（k）=3*（x^2）*（3*k+1）*（3+k+2）+（（1-2*x）^3）*（（k+1）^2）-3*（x*2）*；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2011年12月3日
2011年孙志伟找到了公式Sum{k=0..n}C（2*k，n）*C（2*k，k）*C（2*（n-k），n-k）=（2^n）*a（n），并用Zeilberger算法进行了证明-孙志伟2013年3月20日
0=a（n）*（a（n+1）*（-2048*a（n+2）-3392*a（n+3）+768*a（n+3）+288*a（n+4））+a（n+2）*)Z中所有n的+a（n+3）*（-11*a（n/3）+4*a（n+4））-迈克尔·索莫斯2014年7月16日
对于r是非负整数，求和{k=r..n}C（k，r）^3*C（n，k）^3=C（n、r）^3*a（n-r），其中n＜0取a（n）=0-彼得·巴拉2016年7月27日
a（n）=（n！）^3*[x^n]超几何（[]，[1，1]，x）^2-彼得·卢什尼2017年5月31日
a（n）=和{k=0..层（n/2）}（n+k）/（k！^3*（n-2*k）！）*2^（n-2*k）。
G.f.y=A（x）满足：0=x*（x+1）*（8*x-1）*y''+（24*x^2+14*x-1
a（n）=[x^n]（1-x^2）^n*P（n，（1+x）/（1-x）），其中P（n、x）表示第n个勒让德多项式。见古尔德，第56页-彼得·巴拉2022年3月24日
a（n）=（2^n/（4*Pi^2））*Integral_{x，y=0..2*Pi}（1+cos（x）+cos-阿米拉姆·埃尔达尔2022年7月16日
g.f.T（x）遵循周期性ODE：
0=2*（1+4*x）*T（x）+（-1+14*x+24*x^2）*T'（x）+x*（1+x）*（-1+8*x）*T''（x）。
周期ODE可从以下Weierstrass数据中得出：
g2=（4/243）*（1-8*x+240*x^2-464*x^3+16*x^4）；
g3=-（8/19683）*（1-12*x-480*x ^2+3080*x ^3-12072*x ^4+4128*x ^5+
64*x^6）；
它决定了一个有四个奇异纤维的椭圆表面。（结束）
|
|
|
例子
|
外径：A（x）=1+2*x+10*x^2+56*x^3+346*x^4+225*x^5+。。。
外径：A（x）=1/（1-2*x）+3*x^2/（1-2*x）^4+（6！/2！^3）*x^4/（1-2%x）^7+（9！/3！^3-保罗·D·汉纳2010年10月30日
设g.f.A（x）=Sum_{n>=0}A（n）*x^n/n^3，然后
A（x）=1+2*x+10*x^2^3+56*x^3/3^3+346*x^4/4^3 + ... 哪里
A（x）=[1+x+x^2/2！^3+x^3/3！^3+x ^4/4！^3+…]^2-保罗·D·汉纳
|
|
|
MAPLE公司
|
加法（二项式（n，k）^3，k=0..n）；
结束进程：
A000172号_列表：=proc（len）系列（hypergeom（[]，[1,1]，x）^2，x，len）；
序列（（n！）^3*系数（%，x，n），n=0..长度-1）结束：
|
|
|
数学
|
表[Sum[二项式[n，k]^3，{k，0，n}]，{n，0，30}](*哈维·P·戴尔2011年8月24日*）
表[HypergeometricPFQ[{-n，-n，/n}，{1，1}，-1]，{n，0，20}](*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2012年7月16日，符号和后*）
a[n_]：=和[二项式[2k，n]*二项式[2k，k]*二项式[2（n-k），n-k]，{k，0，n}]/2^n；表[a[n]，{n，0，20}](*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2013年3月20日之后孙志伟*)
a[n_]：=级数系数[Hypergeometric2F1[1/3，2/3，1，27x^2/（1-2x）^3]/（1-2 x），{x，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2014年7月16日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）{a（n）=polcoeff（和（m=0，n，（3*m）！/m！^3*x^（2*m）/（1-2*x+x*O（x^n））^（3*m+1）），n）}\\保罗·D·汉纳2010年10月30日
（PARI）{a（n）=n！^3*polcoeff（总和（m=0，n，x^m/m！^3+x*O（x^n））^2，n）}\\保罗·D·汉纳2011年1月19日
（哈斯克尔）
a000172=总和。地图a000578。a007318_低
（鼠尾草）
x、 y，n=1，2，1
为True时：
收益率x
n+=1
x、 y=y，（8*（n-1）^2*x+（7*n^2-7*n+2）*y）//n^2
[第（21）范围内i的下一个（a）]#彼得·卢什尼2013年10月12日
|
|
|
交叉参考
|
类Apéry-like数[或类Apáry-sequences，类Apery-like numbers，类Aperry-like sequences]包括A000172号,A000984号,A002893号,A002895号,A005258号,A005259号,A005260号,A006077号,A036917号,A063007号,A081085美元,A093388号,A125143号（除了标志），A143003型,A143007号,A143413号,A143414号,A143415号,A143583号,A183204号,A214262型,A219692型,A226535型,2016年2月22日,A227454号,A229111号（除了标志），A260667型,A260832型,A262177型,A264541号,A264542号,A279619型,A290575型,A290576型（术语“类Apery-like”没有明确定义。）
对于不划分序列项的素数A000172号,A005258号,A002893号,A081085号,A006077号,A093388号,A125143号,A229111号,A002895号,A290575型,A290576型,A005259号看见A260793型,A291275型-A291284号和A133370型分别是。
m=1..12的和{k=0..n}C（n，k）^m：A000079号,A000984号,A000172号,A005260号,A005261号,A069865号,A182421号,A182422号,A182446号,182447英镑,A342294型,A342295型.
|
|
|
关键词
|
非n,容易的,美好的
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
0, 3, 12, 27, 48, 75, 108, 147, 192, 243, 300, 363, 432, 507, 588, 675, 768, 867, 972, 1083, 1200, 1323, 1452, 1587, 1728, 1875, 2028, 2187, 2352, 2523, 2700, 2883, 3072, 3267, 3468, 3675, 3888, 4107, 4332, 4563, 4800, 5043, 5292, 5547, 5808, 6075, 6348
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,2
|
|
|
评论
|
写1、2、3、4，。。。在0附近呈六角螺旋形；则a（n）是从0开始沿0,3方向读取直线得到的序列，。。。。螺旋开始：
.
33--32--31--30
/ \
34 16--15--14 29
/ / \ \
35 17 5---4 13 28
/ / / \ \ \
36 18 6 0---3--12--27--48-->
/////////
37 19 7 1---2 11 26 47
\ \ \ / / /
38 20 8---9--10 25 46
\ \ / /
39 21--22--23--24 45
\ /
40--41--42--43--44
（结束）
此外，6n+3的分区数最多可分为3个部分-R.K.盖伊2003年10月23日
也就是将6n的分区数精确地分为3个部分-科林·巴克2015年3月23日
对n进行编号，使虚二次域Q[sqrt（-n）]具有六个单位-马克·勒布伦2006年4月12日
霍恩序列的分母（由G.L.Honaker，Jr.回忆）和该序列的分子颠倒了。序列是1/3，（1+3）/（5+7），（1+3+5）/（7+9+11），（1+3+5+7）/（9+11+13+15）。。。；减少到1/3、4/12、9/27、16/48。对于反转，减少量为3/1、12/4、27/9、48/16-伊诺克·哈加2007年10月5日
冠图G（n）的维纳指数（n>=3）。冠图G（n）是顶点集{x（1），x（2），…，x（n），y（1）、y（2）、…，y（n）}和边集{（x（i），y。例如：a（3）=27，因为G（3）是循环C（6）和6*1+6*2+3*3=27。G（n）的Hosoya-Wiener多项式是n（n-1）（t+t^2）+nt^3-Emeric Deutsch公司2013年8月29日
边长在交换环Z[3^（1/4）]中的等边三角形的整数区域A={A+b*3^，（1/4）+c*3^（1/2）+d*3^-（3/4），Z}中的A、b、c和d。
边长为k的等边三角形的面积由A=k^2*sqrt（3）/4给出。在环Z[3^（1/4）]中，如果k=q*3^。例如：27在序列中，因为三角形（6*3^（1/4），6*3*（1/4）和6*3*（1/4））的面积是27。（结束）
a（n）是短边n的30-60-90三角形面积的2*sqrt（3）倍，也是n×n正方形面积的3倍-韦斯利·伊万·赫特2016年4月6日
考虑平面的六边形平铺。提取边缘相邻的任意四个六边形。这可以通过三种方式实现。折叠四个六边形，使所有相对的面占据平行平面。对于生成对象的所有平行投影，至少有两个对应于原始六边形n边长的面积a（n）-托拉赫·拉什2022年8月17日
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
当n＞2时，a（n）＝3*a（n-1）-3*a（n-2）+a（n-3）。
总尺寸：3*x*（1+x）/（1-x）^3-R.J.马塔尔2008年9月9日
和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=Pi^2/36。（结束）
产品{n>=1}（1+1/a（n））=sqrt（3）*sinh（Pi/sqrt（三））/Pi。
产品{n>=1}（1-1/a（n））=sqrt（3）*sin（Pi/sqrt（三））/Pi。（结束）
|
|
|
例子
|
初始术语说明：
.o型
.o o（零）
.o o（零）
.o o o o
.o o o o o o o o
.o o o o o o o o
.o o o o oo o o o o o o
.o o o o o o o o oO o o oo o o
.o o o o o o o o oO o o oo o o
.o o o o o o o o oo o o o-o o o
.o o o o o o o o oo o o o-o o o
n=1 n=2 n=3 n=4
（结束）
|
|
|
MAPLE公司
|
|
|
|
数学
|
3范围[0，50]^2
线性递归[{3，-3，1}，{0，3，12}，50](*哈维·P·戴尔2013年2月16日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）a（n）=3*n^2
（Maxima）标记列表（3*n^2，n，0，30）/*马丁·埃特尔2012年11月12日*/
（哈斯克尔）
a033428=（*3）。(^ 2)
a033428_list=0:3:12:zipWith（+）a033428列表
（map（*3）$tail$zipWith（-）（tail a033428_list）a033428列表）
（岩浆）[0..50]]中的[3*n^2:n//文森佐·利班迪2015年5月18日
（Python）def a（n）：返回3*（n**2）#托拉赫·拉什2022年8月25日
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n,容易的
|
|
|
作者
|
|
|
|
扩展
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A003154号
|
| 居中十二正方数或居中十二方数：形式为6*k*（k-1）+1的数。
（原名M4893）
|
|
+10
79
|
|
|
|
1, 13, 37, 73, 121, 181, 253, 337, 433, 541, 661, 793, 937, 1093, 1261, 1441, 1633, 1837, 2053, 2281, 2521, 2773, 3037, 3313, 3601, 3901, 4213, 4537, 4873, 5221, 5581, 5953, 6337, 6733, 7141, 7561, 7993, 8437, 8893, 9361, 9841, 10333, 10837, 11353, 11881, 12421
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
1,2
|
|
|
评论
|
[1,12,12,0,0,0，…]的二项式变换。Narayana变换(A001263号)第页，共页[1，12，0，0，…]-加里·亚当森2007年12月29日
|
|
|
参考文献
|
M.Gardner，《时间旅行和其他数学困惑》。弗里曼，纽约，1988年，第20页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
通用格式：x*（1+10*x+x^2）/（1-x）^3。西蒙·普劳夫在他1992年的论文中
a（n）=1+和{j=0..n}（12*j）。例如，a（2）=37，因为1+12*0+12*1+12*2=37_Xavier Acloque，2003年10月6日
a（n）=B_2（x）中的分子=（1/2）x^2-（1/2）x+1/12=二次伯努利多项式-加里·亚当森2005年5月30日
a（n）=12*（n-1）+a（n-1”），当n>1时，a（1）=1-文森佐·利班迪2010年8月8日
和{n>=1}a（n）/n！=7*e-1。
和{n>=1}（-1）^n*a（n）/n！=7/e-1。（结束）
|
|
|
例子
|
1.星号初始项的经典图示：
.
.o型
. o o
.o o o o oo o o o o o o
.o o o o oo o o o-o o o
.o o o o oo o o o o o o
.o o o o oo o o o-o o o
.o o o o oo o o o o o o
.o o（零）
.o型
.
.1 13 37
.
2.围绕中心元素使用n-1个同心六边形的初始术语的替代说明：
.
.o o o o o o o o
.o o（零）
.o o o o oo o o o o o o
.o o o o o o o o
.o o o o oo o o o o o o
.o o o o o o o o
.o o o o oo o o o o o o
.o o（零）
.o o o o o o o o
（结束）
|
|
|
MAPLE公司
|
|
|
|
数学
|
线性递归[{3，-3，1}，{1，13，37}，50](*哈维·P·戴尔2016年7月18日*）
12*二项式[范围[50]，2]+1(*G.C.格鲁贝尔2019年7月23日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（J） （[：>：6*]*<：）i.1000 NB。斯蒂芬·马克迪西2018年5月6日
（岩浆）[12*二项式（n，2）+1:n in[1..50]]//G.C.格鲁贝尔2019年7月23日
（GAP）列表（[1..50]，n->12*二项式（n，2）+1）#G.C.格鲁贝尔2019年7月23日
（Python）
打印（[6*n*（n-1）+1代表范围（1,47）内的n）]#迈克尔·布拉尼基2021年1月13日
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n,容易的,美好的
|
|
|
作者
|
|
|
|
扩展
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A001542号
|
| 当n>1时，a（n）=6*a（n-1）-a（n-2），a（0）=0，a（1）=2。
（原名M2030 N0802）
|
|
+10
68
|
|
|
|
0, 2, 12, 70, 408, 2378, 13860, 80782, 470832, 2744210, 15994428, 93222358, 543339720, 3166815962, 18457556052, 107578520350, 627013566048, 3654502875938, 21300003689580, 124145519261542, 723573111879672
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,2
|
|
|
评论
|
考虑等式core（x）=core（2x+1），其中core（x）是最小的数，因此x*core（×）是一个平方：解由a（n）^2给出，n>0-贝诺伊特·克洛伊特2002年4月6日
项>0给出的数字k是不等式|round（sqrt（2）*k）/k-sqrt-贝诺伊特·克洛伊特2006年2月6日
猜想：数字n使得所有自然a^2+b^2=c^2（勾股三元组）的c/m<n，a<b<c和a+b+c=m。相应地使c/m最小的数字是A002939号. -洛林·李，2020年1月31日
|
|
|
参考文献
|
杰伊·卡普拉夫（Jay Kappraff），《超越测量，穿越自然、神话和数字的引导之旅》（Beyond Measure，A Guided Tour Through Nature，Myth and Number），《世界科学》（World Scientific），2002年；第480-481页。
托马斯·科西（Thomas Koshy），斐波那契（Fibonacci）和卢卡斯（Lucas）数字及其应用，2001年，威利（Wiley），第77-79页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
P.-F.Teilhet，查询2376，《数学国际》，11（1904），138-139-N.J.A.斯隆2022年3月8日
|
|
|
链接
|
克里斯蒂安·埃比和格兰特·凯恩斯，格等价平行图，arXiv:2006.07566[math.NT]，2020年。
哈塞内·贝尔巴希尔、索梅亚·梅尔瓦·特布图、拉兹洛·内梅特，椭圆链及其相关序列，J.国际顺序。，第23卷（2020年），第20.8.5条。
H.布罗卡，皮埃尔问题笔记《新函授数学》，4（1878），161-169。
A.J.C.坎宁安，二项式因子分解，卷。1923-1929年，伦敦霍奇森1-9。参见第1卷，第xxxv页。
J.M.Katri和D.R.Byrkit，问题E1976阿默尔。数学。月刊，75（1968），683-684。
B.Polster和M.Ross，广场游行，arXiv预印arXiv:153.04658[math.HO]，2015。
Soumeya M.Tebtoub、Hacène Belbachir和LászlóNémeth，双曲线内的整数序列和椭圆链，《第一届代数、图和有序集国际会议论文集》（ALGOS 2020），hal-02918958[math.cs]，17-18。
|
|
|
配方奶粉
|
a（n）=（（3+2*m2））^n-（3-2*m2）^n）/（2*m2。
总尺寸：2*x/（1-6*x+x^2）。
a（n）=（C^（2n）-C^（-2n））/sqrt（8），其中C=sqrt（2）+1-加里·亚当森2003年5月11日
对于序列的所有项x，2*x^2+1是一个正方形。极限{n->infinity}a（n）/a（n-1）=3+2*sqrt（2）-格雷戈里·理查德森2002年10月10日
a（n）=sinh（2*n*arcsinh（1））/sqrt（2）-赫伯特·科西姆巴2008年4月24日
和{n>=1}1/（a（n）+1/a（n））=1/2-彼得·巴拉2015年3月25日
例如：exp（3*x）*sinh（2*sqrt（2）*x）/sqrt（2中）-伊利亚·古特科夫斯基2016年12月7日
对于Z中的所有n，a（n）=-a（-n）-迈克尔·索莫斯2017年1月20日
|
|
|
例子
|
G.f.=2*x+12*x^2+70*x^3+408*x^4+2378*x^5+13860*x^6+。。。
|
|
|
MAPLE公司
|
seq（组合：fibonacci（2*n，2），n=0..20）#彼得·卢什尼，2018年6月28日
|
|
|
数学
|
线性递归[{6，-1}，{0，2}，30](*哈维·P·戴尔2011年6月11日*）
斐波那契[2*范围[0，20]，2](*G.C.格鲁贝尔2019年12月23日*）
表[2切比雪夫U[-1+n，3]，｛n，0，20｝](*赫伯特·科西姆巴2022年6月5日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（哈斯克尔）
a001542 n=a001542_list！！n个
a001542列表=
0:2:zipWith（-）（map（6*）$tail a001542_list）a001541_list
（最大值）
a[0]：0$
a[1]：2$
a[n]：=6*a[n-1]-a[n-2]$
（PARI）{a（n）=imag（（3+2*quadgen（8））^n）}/*迈克尔·索莫斯2017年1月20日*/
（PARI）矢量（21，n，2*polchebyshev（n-1，2，33））\\G.C.格鲁贝尔2019年12月23日
（Python）
l=[0，2]
对于范围（2，51）中的n：l+=[6*l[n-1]-l[n-2]，]
（岩浆）I:=[0,2]；[n le 2选择I[n]else 6Self（n-1）-Self（n-2）：[1..20]]中的n//G.C.格鲁贝尔2019年12月23日
（Sage）[2*chebyshev_U（n-1，3）用于（0..20）中的n#G.C.格鲁贝尔2019年12月23日
（间隙）a:=[0,2]；；对于[3..20]中的n，做a[n]：=6*a[n-1]-a[n-2]；od；a#G.C.格鲁贝尔2019年12月23日
|
|
|
交叉参考
|
囊性纤维变性。A001108号,A001353号,A001541号,A001835号,A003499美元,A007805号,A007913号,A115598型,A125650型,A125651型,A125652号.
|
|
|
关键词
|
非n,容易的,美好的
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A000914号
|
| 第一类斯特林数：s（n+2，n）。
（原名M1998 N0789）
|
|
+10
52
|
|
|
|
0, 2, 11, 35, 85, 175, 322, 546, 870, 1320, 1925, 2717, 3731, 5005, 6580, 8500, 10812, 13566, 16815, 20615, 25025, 30107, 35926, 42550, 50050, 58500, 67977, 78561, 90335, 103385, 117800, 133672, 151096, 170170, 190995, 213675, 238317, 265031
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,2
|
|
|
评论
|
{1..n+1}中无序数对的乘积之和。
该序列保持由MAX（i，j）形成的n x n矩阵A的特征多项式的x^（n-2）系数，其中i是行索引，j是元素A[i][j]的列索引，1<=i，j<=n。这里n>=2-保罗·马克斯·佩顿2005年9月6日
序列包含A006002号，表示由连接到（t（2），t（3）），然后（t（3，t（4））。。。（t（n-1），t（n））和x轴-J.M.贝戈2012年5月5日
从[n+2]到[n+2]f（x）=x的函数数f，正好是n个元素x的[n+2]，f（x）>x，正好是两个元素x（n+2]）。为了证明这一点，让图像较大的[n+2]的两个元素分别标记为i和j。注意i和j必须小于n+2。然后有f（i）的（n+2-i）选项和f（j）的（n+2-j）选项。对所有集合{i，j}的选择数乘积求和，在注释部分的第一行给出“来自{1..n+1}的无序数对乘积之和”。请参阅下面示例部分中的示例-丹尼斯·沃尔什2017年9月6日
|
|
|
参考文献
|
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。1964年第55辑（以及各种重印本），第833页。
乔治·安德鲁斯（George E.Andrews），《数论》，多佛出版社，纽约，1971年，第4页。
Louis Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第227页，#16。
F.N.David、M.G.Kendall和D.E.Barton，《对称函数和联合表》，剑桥，1966年，第226页。
H.S.Hall和S.R.Knight，《高等代数》，第四版，麦克米伦出版社，1891年，第518页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
|
|
|
链接
|
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年[替代扫描副本]。
罗伯特·莫里茨，关于n个连续整数乘积的和，华盛顿大学数学出版物。，第1卷，第3期（1926年），第44-49页。[带注释的扫描副本]
|
|
|
配方奶粉
|
a（n）=二项式（n+2,3）*（3*n+5）/4=（n+1）*n*（n+2）*（3*n+5）/24。
例如：exp（x）*x*（48+84*x+32*x^2+3*x^3）/24。
通用名称：（2*x+x^2）/（1-x）^5-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中。
a（n）=和{i=1..n}i*（i+1）^2/2-乔恩·佩里2003年7月31日
-（3*n+2）*（n-1）*a（n）+（n+2-R.J.马塔尔2015年4月30日
当n>=1时，a（n）=a（n-1）+（n+1）*二项式（n+1,2）-丹尼斯·沃尔什2015年9月21日
求和{n>=1}1/a（n）=162*log（3）/5-18*sqrt（3）*Pi/5-384/25。
和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=36*sqrt（3）*Pi/5-96*log（2）/5-636/25。（结束）
|
|
|
例子
|
示例包括E（K_1,2,3）=s（2+2,2）=11和E（K_1,2,3,4,5）=s（4+2,4）=85，其中E是计算图形边数的函数。
对于n=2，a（2）=11个函数f:[4]->[4]正好有两个f（x）=x和两个f●●●●-丹尼斯·沃尔什，2017年9月6日
|
|
|
MAPLE公司
|
A000914号：=n->1/24*（n+1）*n*（n+2）*（3*n+5）；
组合[stirling1]（n+2，n）；
|
|
|
数学
|
表[StirlingS1[n+2，n]，{n，0，40}](*哈维·P·戴尔2011年8月24日*）
a[n]：=n（n+1）（n+2）（3n+5）/24；(*迈克尔·索莫斯2017年9月4日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）a（n）=总和（i=1，n+1，总和（j=1，n+1，i*j*（i<j））
（PARI）a（n）=总和（i=1，n+1，总和（j=1，i-1，i*j））\\查尔斯·格里特豪斯四世2015年4月7日
（鼠尾草）[stirling_number1（n+2，n）代表范围（41）内的n]#零入侵拉霍斯2009年3月14日
（哈斯克尔）
a000914 n=a000914_列表！！n个
a000914_list=扫描1（+）a006002_list
（岩浆）[StirlingFirst（n+2，n）：n in[0..40]]//文森佐·利班迪2019年5月28日
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n,容易的,美好的
|
|
|
作者
|
|
|
|
扩展
|
更多来自Klaus Strassburger（strass（AT）ddfi.uni-duesseldorf.de）的条款，2000年1月17日
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
0, 1, 6, 13, 24, 37, 54, 73, 96, 121, 150, 181, 216, 253, 294, 337, 384, 433, 486, 541, 600, 661, 726, 793, 864, 937, 1014, 1093, 1176, 1261, 1350, 1441, 1536, 1633, 1734, 1837, 1944, 2053, 2166, 2281, 2400, 2521, 2646, 2773, 2904, 3037, 3174, 3313, 3456, 3601, 3750
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,3
|
|
|
评论
|
六边形网络上的细胞自动机。序列给出了第n阶段后结构中“ON”单元的数量。A007310号给出了第一个区别。有关没有单词的定义，请参阅示例部分中的初始术语说明。请注意，电池会变得间歇。A083577号给出了这个序列的素数。
无限方阵T（n，k）的行和，其中k列列出2*k-1个零，后跟数字A008458号（参见示例）。（结束）
从0开始，在0，1，…方向读取行，找到序列。。。和从0开始的同一条直线，在0，6，…，方向上。。。，在顶点为广义五边形数的正方形螺旋中A001318年.主轴垂直于A045943号在同一个螺旋中-奥马尔·波尔2011年9月8日
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
通用公式：（x+4*x^2+x^3）/（1-2*x+2*x^3-x^4）=x*（1+4*x+x^2）/（1+x）*（1-x）^3）。
a（n）=+2*a（n-1）-2*a（n-3）+1*a（n-4）。（结束）
a（n）=（6*n^2+（-1）^n-1）/4-布鲁诺·贝塞利2011年8月22日
a（-n）=a（n）。
当n>1时，a（n）=a（n-2）+6*（n-1）。
例如：（3*x*（x+1）*cosh（x）+（3*x^2+3*x-1）*sinh（x））/2-斯特凡诺·斯佩齐亚，2022年8月19日
和{n>=1}1/a（n）=Pi^2/36+tan（Pi/（2*sqrt（3）））*Pi/-阿米拉姆·埃尔达尔2023年1月16日
|
|
|
例子
|
0、1、6、12、18、24、30、36、42、48、54。。。
0, 0, 0, 1, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, ...
0, 0, 0, 0, 0, 1, 6, 12, 18, 24, 30, ...
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 6, 12, 18, ...
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 6, ...
等等。
===========================================
列的总和给出了以下序列：
0, 1, 6, 13, 24, 37, 54, 73, 96, 121, 150, ...
...
同心六边形的初始术语说明：
.
.o o o o o o o o
.o o o o o o o o
.o o o o oo o o o-o o o
.o o o o o o o o oO o o oo o o
.o o o o o o o o oo o o o-o o o
.o o o o o o o o o o o o o o o o o o o
.o o o o oo o o o-o o o
.o o o o o o o o
.o o o o o o o o
.
. 1 6 13 24 37
.
（结束）
|
|
|
数学
|
f[n_，m_]：=总和[下限[n^2/k]，{k，1，m}]；t=表格[f[n，2]，{n，1，90}](*克拉克·金伯利2012年4月20日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（岩浆）[底板（3*n^2/2）：n in[0..50]]//文森佐·利班迪2011年8月21日
（哈斯克尔）
a032528 n=a032528_列表！！n个
a032528_list=扫描（+）0 a007310_list
|
|
|
交叉参考
|
囊性纤维变性。A003154号,A007310号,A008458号,A033581号,A083577号,A000326号,A001318年,A005449号,A045943号,A032527号,A195041号第6列，共列A195040型.
|
|
|
关键词
|
非n,容易的
|
|
|
作者
|
|
|
|
扩展
|
新名称和更多术语a（41）-a（50）来自奥马尔·波尔2011年8月20日
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
0, 10, 40, 90, 160, 250, 360, 490, 640, 810, 1000, 1210, 1440, 1690, 1960, 2250, 2560, 2890, 3240, 3610, 4000, 4410, 4840, 5290, 5760, 6250, 6760, 7290, 7840, 8410, 9000, 9610, 10240, 10890, 11560, 12250, 12960, 13690, 14440, 15210, 16000, 16810
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,2
|
|
|
评论
|
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
当n>0时，a（n）=20*n+a（n-1）-10，a（0）=0-文森佐·利班迪2010年8月5日
和{n>=1}1/a（n）=Pi^2/60。
和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=Pi^2/120。
产品{n>=1}（1+1/a（n））=sqrt（10）*sinh（Pi/sqrt（1））/Pi。
产品{n>=1}（1-1/a（n））=sqrt（10）*sin（Pi/sqrt（1））/Pi。（结束）
外径：10*x*（1+x）/（1-x）^3。
例如：10*exp（x）*x*（1+x）。（结束）
|
|
|
MAPLE公司
|
|
|
|
数学
|
|
|
|
黄体脂酮素
|
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n,容易的
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
0, 2, 16, 54, 128, 250, 432, 686, 1024, 1458, 2000, 2662, 3456, 4394, 5488, 6750, 8192, 9826, 11664, 13718, 16000, 18522, 21296, 24334, 27648, 31250, 35152, 39366, 43904, 48778, 54000, 59582, 65536, 71874, 78608, 85750, 93312, 101306, 109744, 118638, 128000, 137842
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,2
|
|
|
评论
|
也是3X3矩阵的最大行列式，其条目来自{0..n}-贾德·麦克拉尼2001年8月12日
4*a（n）是一个完美的立方体。
|
|
|
链接
|
阿米莉亚·卡罗琳娜·斯巴维尼亚（Amelia Carolina Sparavigna），卡达诺公式和一些数字都灵理工大学（意大利，2021年）。
|
|
|
配方奶粉
|
总尺寸：2*x*（1+4*x+x^2）/（1-x）^4-R.J.马塔尔2011年2月4日
a（n）=4*a（n-1）-6*a（n-2）+4*a（n3）-a（n-4）-韦斯利·伊万·赫特2014年8月25日
例如：2*x*（1+3*x+x^2）*exp（x）-G.C.格鲁贝尔，2017年7月15日
和{n>=1}1/a（n）=zeta（3）/2。
和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=3*zeta（3）/8。（结束）
|
|
|
MAPLE公司
|
|
|
|
数学
|
|
|
|
黄体脂酮素
|
（岩浆）[2*n^3:n英寸[0..30]]//文森佐·利班迪，2011年6月26日
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n,容易的
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
0, 4, 20, 48, 88, 140, 204, 280, 368, 468, 580, 704, 840, 988, 1148, 1320, 1504, 1700, 1908, 2128, 2360, 2604, 2860, 3128, 3408, 3700, 4004, 4320, 4648, 4988, 5340, 5704, 6080, 6468, 6868, 7280, 7704, 8140, 8588, 9048, 9520, 10004, 10500, 11008, 11528, 12060
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,2
|
|
|
评论
|
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
a（n）=a（n-1）+12*n-8，对于n>0，a（0）=0-文森佐·利班迪2010年8月5日
G.f.:x*（4+8*x）/（1-3*x+3*x^2-x^3）-科林·巴克2012年1月6日
例如：2*x*（2+3*x）*exp（x）。
求和{i>0}1/a（i）=（9*log（3）-sqrt（3）*Pi）/12=0.3705093754425278…（结束）
和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=Pi/（2*sqrt（3））-log（2）-阿米拉姆·埃尔达尔2022年2月20日
|
|
|
MAPLE公司
|
seq（4*二项式（3*n，2）/3，n=0..45）#G.C.格鲁贝尔2019年10月9日
|
|
|
数学
|
4多边形编号[5，范围[0，45]](*迈克尔·德弗利格，2016年8月2日，第10.4版*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（岩浆）[4*二项式（3*n，2）/3:n in[0..45]]//G.C.格鲁贝尔2019年10月9日
（Sage）[4*二项式（3*n，2）/3表示n in（0..45）]#G.C.格鲁贝尔2019年10月9日
（GAP）列表（[0..45]，n->4*二项式（3*n，2）/3）#G.C.格鲁贝尔2019年10月9日
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n,容易的
|
|
|
作者
|
|
|
|
扩展
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
搜索在0.052秒内完成
|
