搜索: a033581-编号:a033588
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A005897号
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| 当n>0时,a(n)=6*n^2+2,a(0)=1。 (原名M4497)
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+10 580
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1, 8, 26, 56, 98, 152, 218, 296, 386, 488, 602, 728, 866, 1016, 1178, 1352, 1538, 1736, 1946, 2168, 2402, 2648, 2906, 3176, 3458, 3752, 4058, 4376, 4706, 5048, 5402, 5768, 6146, 6536, 6938, 7352, 7778, 8216, 8666, 9128, 9602, 10088, 10586
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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三维立方体表面上的点数量,其中每个面都有一个由点组成的方形网格(沿着每条边有n+1个点,包括角点)。
b.c.c.晶格的配位顺序。
还有三维均匀瓷砖的协调顺序,瓷砖为等边三棱柱-N.J.A.斯隆2018年2月6日
[1,7,11,1,-1,1,-1,1,…]的二项式变换-加里·亚当森2007年10月22日
除了第一项外,形式为(r^2+2*s^2)*n^2+2=(r*n)^2+(s*n-1)^2+(s*n+1)^2的数字:在这种情况下是r=2,s=1。8岁之后,所有条款都在A000408号. -布鲁诺·贝塞利2012年2月7日
对于n>0,最后一个数字(即a(n)mod 10)的序列是(8,6,6,8,2)永远重复-M.F.哈斯勒2016年4月5日
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参考文献
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H.S.M.Coxeter,“多面体数”,R.S.Cohen等人,编辑,为Dirk Struik。Reidel,Dordrecht,1974年,第25-35页。
Inorg.和Organomet的Gmelin手册。化学。,1994年第8版,TYPIX搜索码(194)hP4
B.Grünbaum,《三维空间的均匀平铺》,《地理组合学》,4(1994),49-56。参见瓷砖#11。
R.W.Marks和R.B.Fuller,Buckminster Fuller的Dymaxion世界。Anchor,纽约,1973年,第46页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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奥基夫先生,格的配位序列,Zeit。f.克里斯特。,210 (1995), 905-908.
奥基夫先生,格的配位序列,Zeit。f.克里斯特。,210 (1995), 905-908. [带注释的扫描副本]
B.K.Teo和N.J.A.Sloane,多边形和多面体簇中的幻数,无机。化学。24 (1985), 4545-4558.
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配方奶粉
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通用名称:(1+x)*(1+4*x+x^2)/(1-x)^3-西蒙·普劳夫
a(0)=1,a(n)=(n+1)^3-(n-1)^3Ilya Nikulshin(伊利亚尼克(AT)gmail.com),2009年8月11日
a(0)=1,a(1)=8,a(2)=26,a(3)=56;对于n>3,a(n)=3*a(n-1)-3*a(n-2)+a(n-3)-哈维·P·戴尔2011年10月25日
例如:2*(1+3*x+3*x^2)*exp(x)-1-G.C.格鲁贝尔,2017年12月1日
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例子
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对于n=1,我们得到立方体的8个角;对于n=2,每个面有9个点,总计8+12+6=26。
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MAPLE公司
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数学
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联接[{1},6Range[50]^2+2](*或*)联接[{1',LinearRecurrence[{3,-3,1}、{8,26,56},50]](*哈维·P·戴尔2011年10月25日*)
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黄体脂酮素
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(岩浆)[1]猫[1..50]]中[6*n^2+2:n//文森佐·利班迪,2011年10月26日
(PARI)x='x+O('x^30);Vec(塞拉普拉斯(2*(1+3*x+3*x^2)*exp(x)-1)\\G.C.格鲁贝尔2017年12月1日
(Haskell)a005897 n=如果n==0,则1其他6*n^2+2--莱因哈德·祖姆凯勒2014年4月27日
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交叉参考
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28块统一的3D瓷砖:驾驶室:A299266型,A299267型; crs:A299268型,A299269型; 催化裂化装置:A005901号,A005902号; 费用:A299259号,A299265型; flu-e:A299272号,A299273号; fst(飞行时间):A299258型,A299264型; 哈尔:A299274型,A299275型; hcp:A007899号,A007202号; 十六进制:A005897号,A005898号; 卡格:A299256型,A299262型; lta:A008137号,299276英镑; pcu:A005899号,A001845号; pcu-i:A299277型,A299278号; 雷奥:A299279号,A299280型; reo-e:A299281型,A299282型; ρ:A008137号,A299276号; 草地:A005893号,A005894号; 速度:A299255型,A299261型; svh(奇异值):A299283型,A299284号; svj:A299254型,A299260型; svk公司:A010001型,A063489号; 技术合作协议:A299285型,A299286型; 经颅多普勒超声心动图:A299287型,A299288型; tfs公司:A005899号,A001845号; tsi公司:A299289号,A299290型; ttw:A299257型,A299263型; ubt(ubt):A299291型,A299292型; bnn编号:A007899号,A007202号。请参阅中的Proserpio链接A299266型以获取概述。
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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A000172号
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| Franel数a(n)=和{k=0..n}二项式(n,k)^3。 (原名M1971 N0781)
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+10 134
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1, 2, 10, 56, 346, 2252, 15184, 104960, 739162, 5280932, 38165260, 278415920, 2046924400, 15148345760, 112738423360, 843126957056, 6332299624282, 47737325577620, 361077477684436, 2739270870994736, 20836827035351596, 158883473753259752, 1214171997616258240
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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Cusick给出了用floor(r+3)/2)项导出r阶Franel数(这是三阶Franel数列)的递归的一般方法。
这是Beauville描述的曲线上一个特殊点的泰勒展开-马蒂杰斯·科斯特2004年4月28日
V.Strehl的恒等式表明a(n)=Sum_{k=0..n}C(n,k)^2*二项式(2*k,n)。孙志伟推测,对于每一个n=2,3,。。。多项式fn(x)=Sum{k=0..n}二项式(n,k)^2*binominal(2*k,n)*x^(n-k)在有理数域上是不可约的-孙志伟2013年3月21日
猜想:当n是素数时,a(n)==2(mod n^3)-加里·德特利夫斯2013年3月22日
a(p)==2(mod p^3)对于任何素数p,因为p|C(p,k)对于所有k=1,。。。,第1页-孙志伟2013年8月14日
a(n)是3人博弈中完全混合纳什均衡的最大数量,每个人有n+1个纯期权-雷蒙达斯·维杜纳斯2014年1月22日
a(n)是((1+x)*(1+y)+(1+1/x)*-满山圣一2019年10月27日
有理函数1/((1-x)*(1-y)*(1-z)-x*y*z)的对角线-满山圣一2020年7月11日
以瑞士数学家Jérôme Franel(1859-1939)的名字命名-阿米拉姆·埃尔达尔2021年6月15日
似乎a(n)等于(1+x+y-z)^n*(1+x-y+z)^n(1-x+y+z。A036917号. -彼得·巴拉2021年9月20日
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参考文献
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Matthijs Coster,《超过6个家族的van krommen》【关于6个家族曲线】,硕士论文(未出版),1983年8月26日。
Jéróme Franel,《关于Laisant的问题》,数学中介,1894年第1卷,第45-47页
H.W.Gould,《组合恒等式》,摩根城,1972年,(X.14),第56页。
Murray Klamkin主编,《应用数学问题:SIAM评论选集》,SIAM,1990年;见第148-149页。
约翰·里尔丹,《组合分析导论》,威利出版社,1958年,第193页。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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Boris Adamczewski、Jason P.Bell和Eric Delaygue,G函数与同余的代数独立性“,arXiv预印本arXiv:1603.04187[math.NT],2016。
P.Barrucand,组合恒等式,问题75-4SIAM Rev.,第17卷(1975年),第168页。解决方案作者:D.R.Breach、D.McCarthy、D.Monk和P.E.O'Neil,SIAM Rev.,第18卷(1976年),第303页。
P.Barrucand,问题75-4,组合恒等式SIAM Rev.,17(1975),168。[问题陈述的注释扫描副本]
T.W.Cusick,二项式系数幂和的递推《组合理论》,A辑,第52卷,第1期(1989年),第77-83页。
托米斯拉夫·多什利奇和达科·维尔扬,一些组合序列的对数行为,离散数学。,第308卷,第11期(2008年),第2182-2212页。MR2404544(2009j:05019)-自N.J.A.斯隆2012年5月1日
Jeff D.Farmer和Steven C.Leth,二项式系数幂的渐近公式,数学。天然气。,第89卷,第516号(2005年),第385-391页。
达里杰·格林伯格,现代代数导论(UMN 2019年春季数学4281笔记),明尼苏达大学(2019)。
瓦茨拉夫·科特索维奇,非攻击性棋子2013年第6版,第282页。
Marci A.Perlstadt,二项式系数幂和的一些递推,《数论杂志》,Vo。27(1987),第304-309页。
胡安·普拉,问题H-505《高级问题和解决方案》,《斐波纳契季刊》,第33卷,第5期(1995年),第473页;求和公式!Paul S.Bruckman,《H-505问题的解决方案》,同上,第35卷,第1期(1997年),第93-95页。
沃尔克·斯特雷尔,递归和勒让德变换《联合王国的洛塔林根》,B29b(1992),22页。
孙志伟,Franel数的同余,arXiv预印本arXiv:1112.1034[math.NT],2011。
孙志伟,涉及算术序列的猜想,arXiv:1208.2683v9[math.CO]2013;《数论:香格里拉的算术》(编辑:S.Kanemitsu、H.Li和J.Liu),Proc。第六届中日研讨会(2011年8月15日至17日,上海),世界科学。,新加坡,2013年,第244-258页。
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配方奶粉
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A002893号(n) =和{m=0..n}二项式(n,m)*a(m)[Barrucand]。
求和{k=0..n}C(n,k)^3=(-1)^n*积分{x=0..无穷}L_k(x)^3经验(-x)dx.-摘自Askey的书,第43页
带递归的D-有限(n+1)^2*a(n+1)=(7*n^2+7*n+2)*a(n)+8*n^2*a(n-1)[Franel]-Felix Goldberg(felixg(AT)tx.technion.ac.il),2001年1月31日
a(n)~2*3^(-1/2)*Pi^-1*n^-1*2^(3*n)乔·基恩(jgk(AT)jgk.org),2002年6月21日
O.g.f.:A(x)=和{n>=0}(3*n)/不^3*x^(2*n)/(1-2*x)^(3*n+1)-保罗·D·汉纳2010年10月30日
G.f.:浅层([1/3,2/3],[1],27 x^2/(1-2x)^3)/(1-2x)-迈克尔·索莫斯2010年12月17日
G.f.:Sum_{n>=0}a(n)*x^n/n^3=[Sum_{n>=0}x^n/n!^3]^2-保罗·D·汉纳2011年1月19日
通用公式:A(x)=1/(1-2*x)*(1+6*(x^2)/(G(0)-6*x^2,
G(k)=3*(x^2)*(3*k+1)*(3+k+2)+((1-2*x)^3)*((k+1)^2)-3*(x*2)*;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2011年12月3日
2011年孙志伟找到了公式Sum{k=0..n}C(2*k,n)*C(2*k,k)*C(2*(n-k),n-k)=(2^n)*a(n),并用Zeilberger算法进行了证明-孙志伟2013年3月20日
0=a(n)*(a(n+1)*(-2048*a(n+2)-3392*a(n+3)+768*a(n+3)+288*a(n+4))+a(n+2)*)Z中所有n的+a(n+3)*(-11*a(n/3)+4*a(n+4))-迈克尔·索莫斯2014年7月16日
对于r是非负整数,求和{k=r..n}C(k,r)^3*C(n,k)^3=C(n、r)^3*a(n-r),其中n<0取a(n)=0-彼得·巴拉2016年7月27日
a(n)=(n!)^3*[x^n]超几何([],[1,1],x)^2-彼得·卢什尼2017年5月31日
a(n)=和{k=0..层(n/2)}(n+k)/(k!^3*(n-2*k)!)*2^(n-2*k)。
G.f.y=A(x)满足:0=x*(x+1)*(8*x-1)*y''+(24*x^2+14*x-1
a(n)=[x^n](1-x^2)^n*P(n,(1+x)/(1-x)),其中P(n、x)表示第n个勒让德多项式。见古尔德,第56页-彼得·巴拉2022年3月24日
a(n)=(2^n/(4*Pi^2))*Integral_{x,y=0..2*Pi}(1+cos(x)+cos-阿米拉姆·埃尔达尔2022年7月16日
g.f.T(x)遵循周期性ODE:
0=2*(1+4*x)*T(x)+(-1+14*x+24*x^2)*T'(x)+x*(1+x)*(-1+8*x)*T''(x)。
周期ODE可从以下Weierstrass数据中得出:
g2=(4/243)*(1-8*x+240*x^2-464*x^3+16*x^4);
g3=-(8/19683)*(1-12*x-480*x ^2+3080*x ^3-12072*x ^4+4128*x ^5+
64*x^6);
它决定了一个有四个奇异纤维的椭圆表面。(结束)
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例子
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外径:A(x)=1+2*x+10*x^2+56*x^3+346*x^4+225*x^5+。。。
外径:A(x)=1/(1-2*x)+3*x^2/(1-2*x)^4+(6!/2!^3)*x^4/(1-2%x)^7+(9!/3!^3-保罗·D·汉纳2010年10月30日
设g.f.A(x)=Sum_{n>=0}A(n)*x^n/n^3,然后
A(x)=1+2*x+10*x^2^3+56*x^3/3^3+346*x^4/4^3 + ... 哪里
A(x)=[1+x+x^2/2!^3+x^3/3!^3+x ^4/4!^3+…]^2-保罗·D·汉纳
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MAPLE公司
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加法(二项式(n,k)^3,k=0..n);
结束进程:
A000172号_列表:=proc(len)系列(hypergeom([],[1,1],x)^2,x,len);
序列((n!)^3*系数(%,x,n),n=0..长度-1)结束:
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数学
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表[Sum[二项式[n,k]^3,{k,0,n}],{n,0,30}](*哈维·P·戴尔2011年8月24日*)
表[HypergeometricPFQ[{-n,-n,/n},{1,1},-1],{n,0,20}](*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2012年7月16日,符号和后*)
a[n_]:=和[二项式[2k,n]*二项式[2k,k]*二项式[2(n-k),n-k],{k,0,n}]/2^n;表[a[n],{n,0,20}](*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2013年3月20日之后孙志伟*)
a[n_]:=级数系数[Hypergeometric2F1[1/3,2/3,1,27x^2/(1-2x)^3]/(1-2 x),{x,0,n}];(*迈克尔·索莫斯2014年7月16日*)
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黄体脂酮素
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(PARI){a(n)=polcoeff(和(m=0,n,(3*m)!/m!^3*x^(2*m)/(1-2*x+x*O(x^n))^(3*m+1)),n)}\\保罗·D·汉纳2010年10月30日
(PARI){a(n)=n!^3*polcoeff(总和(m=0,n,x^m/m!^3+x*O(x^n))^2,n)}\\保罗·D·汉纳2011年1月19日
(哈斯克尔)
a000172=总和。地图a000578。a007318_低
(鼠尾草)
x、 y,n=1,2,1
为True时:
收益率x
n+=1
x、 y=y,(8*(n-1)^2*x+(7*n^2-7*n+2)*y)//n^2
[第(21)范围内i的下一个(a)]#彼得·卢什尼2013年10月12日
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交叉参考
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类Apéry-like数[或类Apáry-sequences,类Apery-like numbers,类Aperry-like sequences]包括A000172号,A000984号,A002893号,A002895号,A005258号,A005259号,A005260号,A006077号,A036917号,A063007号,A081085美元,A093388号,A125143号(除了标志),A143003型,A143007号,A143413号,A143414号,A143415号,A143583号,A183204号,A214262型,A219692型,A226535型,2016年2月22日,A227454号,A229111号(除了标志),A260667型,A260832型,A262177型,A264541号,A264542号,A279619型,A290575型,A290576型(术语“类Apery-like”没有明确定义。)
对于不划分序列项的素数A000172号,A005258号,A002893号,A081085号,A006077号,A093388号,A125143号,A229111号,A002895号,A290575型,A290576型,A005259号看见A260793型,A291275型-A291284号和A133370型分别是。
m=1..12的和{k=0..n}C(n,k)^m:A000079号,A000984号,A000172号,A005260号,A005261号,A069865号,A182421号,A182422号,A182446号,182447英镑,A342294型,A342295型.
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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0, 3, 12, 27, 48, 75, 108, 147, 192, 243, 300, 363, 432, 507, 588, 675, 768, 867, 972, 1083, 1200, 1323, 1452, 1587, 1728, 1875, 2028, 2187, 2352, 2523, 2700, 2883, 3072, 3267, 3468, 3675, 3888, 4107, 4332, 4563, 4800, 5043, 5292, 5547, 5808, 6075, 6348
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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写1、2、3、4,。。。在0附近呈六角螺旋形;则a(n)是从0开始沿0,3方向读取直线得到的序列,。。。。螺旋开始:
.
33--32--31--30
/ \
34 16--15--14 29
/ / \ \
35 17 5---4 13 28
/ / / \ \ \
36 18 6 0---3--12--27--48-->
/////////
37 19 7 1---2 11 26 47
\ \ \ / / /
38 20 8---9--10 25 46
\ \ / /
39 21--22--23--24 45
\ /
40--41--42--43--44
(结束)
此外,6n+3的分区数最多可分为3个部分-R.K.盖伊2003年10月23日
也就是将6n的分区数精确地分为3个部分-科林·巴克2015年3月23日
对n进行编号,使虚二次域Q[sqrt(-n)]具有六个单位-马克·勒布伦2006年4月12日
霍恩序列的分母(由G.L.Honaker,Jr.回忆)和该序列的分子颠倒了。序列是1/3,(1+3)/(5+7),(1+3+5)/(7+9+11),(1+3+5+7)/(9+11+13+15)。。。;减少到1/3、4/12、9/27、16/48。对于反转,减少量为3/1、12/4、27/9、48/16-伊诺克·哈加2007年10月5日
冠图G(n)的维纳指数(n>=3)。冠图G(n)是顶点集{x(1),x(2),…,x(n),y(1)、y(2)、…,y(n)}和边集{(x(i),y。例如:a(3)=27,因为G(3)是循环C(6)和6*1+6*2+3*3=27。G(n)的Hosoya-Wiener多项式是n(n-1)(t+t^2)+nt^3-Emeric Deutsch公司2013年8月29日
边长在交换环Z[3^(1/4)]中的等边三角形的整数区域A={A+b*3^,(1/4)+c*3^(1/2)+d*3^-(3/4),Z}中的A、b、c和d。
边长为k的等边三角形的面积由A=k^2*sqrt(3)/4给出。在环Z[3^(1/4)]中,如果k=q*3^。例如:27在序列中,因为三角形(6*3^(1/4),6*3*(1/4)和6*3*(1/4))的面积是27。(结束)
a(n)是短边n的30-60-90三角形面积的2*sqrt(3)倍,也是n×n正方形面积的3倍-韦斯利·伊万·赫特2016年4月6日
考虑平面的六边形平铺。提取边缘相邻的任意四个六边形。这可以通过三种方式实现。折叠四个六边形,使所有相对的面占据平行平面。对于生成对象的所有平行投影,至少有两个对应于原始六边形n边长的面积a(n)-托拉赫·拉什2022年8月17日
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链接
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配方奶粉
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当n>2时,a(n)=3*a(n-1)-3*a(n-2)+a(n-3)。
总尺寸:3*x*(1+x)/(1-x)^3-R.J.马塔尔2008年9月9日
和{n>=1}(-1)^(n+1)/a(n)=Pi^2/36。(结束)
产品{n>=1}(1+1/a(n))=sqrt(3)*sinh(Pi/sqrt(三))/Pi。
产品{n>=1}(1-1/a(n))=sqrt(3)*sin(Pi/sqrt(三))/Pi。(结束)
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例子
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初始术语说明:
.o型
.o o(零)
.o o(零)
.o o o o
.o o o o o o o o
.o o o o o o o o
.o o o o oo o o o o o o
.o o o o o o o o oO o o oo o o
.o o o o o o o o oO o o oo o o
.o o o o o o o o oo o o o-o o o
.o o o o o o o o oo o o o-o o o
n=1 n=2 n=3 n=4
(结束)
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MAPLE公司
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数学
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3范围[0,50]^2
线性递归[{3,-3,1},{0,3,12},50](*哈维·P·戴尔2013年2月16日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)a(n)=3*n^2
(Maxima)标记列表(3*n^2,n,0,30)/*马丁·埃特尔2012年11月12日*/
(哈斯克尔)
a033428=(*3)。(^ 2)
a033428_list=0:3:12:zipWith(+)a033428列表
(map(*3)$tail$zipWith(-)(tail a033428_list)a033428列表)
(岩浆)[0..50]]中的[3*n^2:n//文森佐·利班迪2015年5月18日
(Python)def a(n):返回3*(n**2)#托拉赫·拉什2022年8月25日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A003154号
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| 居中十二正方数或居中十二方数:形式为6*k*(k-1)+1的数。 (原名M4893)
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+10 79
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1, 13, 37, 73, 121, 181, 253, 337, 433, 541, 661, 793, 937, 1093, 1261, 1441, 1633, 1837, 2053, 2281, 2521, 2773, 3037, 3313, 3601, 3901, 4213, 4537, 4873, 5221, 5581, 5953, 6337, 6733, 7141, 7561, 7993, 8437, 8893, 9361, 9841, 10333, 10837, 11353, 11881, 12421
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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[1,12,12,0,0,0,…]的二项式变换。Narayana变换(A001263号)第页,共页[1,12,0,0,…]-加里·亚当森2007年12月29日
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参考文献
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M.Gardner,《时间旅行和其他数学困惑》。弗里曼,纽约,1988年,第20页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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配方奶粉
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通用格式:x*(1+10*x+x^2)/(1-x)^3。西蒙·普劳夫在他1992年的论文中
a(n)=1+和{j=0..n}(12*j)。例如,a(2)=37,因为1+12*0+12*1+12*2=37_Xavier Acloque,2003年10月6日
a(n)=B_2(x)中的分子=(1/2)x^2-(1/2)x+1/12=二次伯努利多项式-加里·亚当森2005年5月30日
a(n)=12*(n-1)+a(n-1”),当n>1时,a(1)=1-文森佐·利班迪2010年8月8日
和{n>=1}a(n)/n!=7*e-1。
和{n>=1}(-1)^n*a(n)/n!=7/e-1。(结束)
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例子
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1.星号初始项的经典图示:
.
.o型
. o o
.o o o o oo o o o o o o
.o o o o oo o o o-o o o
.o o o o oo o o o o o o
.o o o o oo o o o-o o o
.o o o o oo o o o o o o
.o o(零)
.o型
.
.1 13 37
.
2.围绕中心元素使用n-1个同心六边形的初始术语的替代说明:
.
.o o o o o o o o
.o o(零)
.o o o o oo o o o o o o
.o o o o o o o o
.o o o o oo o o o o o o
.o o o o o o o o
.o o o o oo o o o o o o
.o o(零)
.o o o o o o o o
(结束)
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MAPLE公司
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数学
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线性递归[{3,-3,1},{1,13,37},50](*哈维·P·戴尔2016年7月18日*)
12*二项式[范围[50],2]+1(*G.C.格鲁贝尔2019年7月23日*)
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黄体脂酮素
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(J) ([:>:6*]*<:)i.1000 NB。斯蒂芬·马克迪西2018年5月6日
(岩浆)[12*二项式(n,2)+1:n in[1..50]]//G.C.格鲁贝尔2019年7月23日
(GAP)列表([1..50],n->12*二项式(n,2)+1)#G.C.格鲁贝尔2019年7月23日
(Python)
打印([6*n*(n-1)+1代表范围(1,47)内的n)]#迈克尔·布拉尼基2021年1月13日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A001542号
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| 当n>1时,a(n)=6*a(n-1)-a(n-2),a(0)=0,a(1)=2。 (原名M2030 N0802)
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+10 68
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0, 2, 12, 70, 408, 2378, 13860, 80782, 470832, 2744210, 15994428, 93222358, 543339720, 3166815962, 18457556052, 107578520350, 627013566048, 3654502875938, 21300003689580, 124145519261542, 723573111879672
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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考虑等式core(x)=core(2x+1),其中core(x)是最小的数,因此x*core(×)是一个平方:解由a(n)^2给出,n>0-贝诺伊特·克洛伊特2002年4月6日
项>0给出的数字k是不等式|round(sqrt(2)*k)/k-sqrt-贝诺伊特·克洛伊特2006年2月6日
猜想:数字n使得所有自然a^2+b^2=c^2(勾股三元组)的c/m<n,a<b<c和a+b+c=m。相应地使c/m最小的数字是A002939号. -洛林·李,2020年1月31日
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参考文献
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杰伊·卡普拉夫(Jay Kappraff),《超越测量,穿越自然、神话和数字的引导之旅》(Beyond Measure,A Guided Tour Through Nature,Myth and Number),《世界科学》(World Scientific),2002年;第480-481页。
托马斯·科西(Thomas Koshy),斐波那契(Fibonacci)和卢卡斯(Lucas)数字及其应用,2001年,威利(Wiley),第77-79页。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
P.-F.Teilhet,查询2376,《数学国际》,11(1904),138-139-N.J.A.斯隆2022年3月8日
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链接
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克里斯蒂安·埃比和格兰特·凯恩斯,格等价平行图,arXiv:2006.07566[math.NT],2020年。
哈塞内·贝尔巴希尔、索梅亚·梅尔瓦·特布图、拉兹洛·内梅特,椭圆链及其相关序列,J.国际顺序。,第23卷(2020年),第20.8.5条。
H.布罗卡,皮埃尔问题笔记《新函授数学》,4(1878),161-169。
A.J.C.坎宁安,二项式因子分解,卷。1923-1929年,伦敦霍奇森1-9。参见第1卷,第xxxv页。
J.M.Katri和D.R.Byrkit,问题E1976阿默尔。数学。月刊,75(1968),683-684。
B.Polster和M.Ross,广场游行,arXiv预印arXiv:153.04658[math.HO],2015。
Soumeya M.Tebtoub、Hacène Belbachir和LászlóNémeth,双曲线内的整数序列和椭圆链,《第一届代数、图和有序集国际会议论文集》(ALGOS 2020),hal-02918958[math.cs],17-18。
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配方奶粉
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a(n)=((3+2*m2))^n-(3-2*m2)^n)/(2*m2。
总尺寸:2*x/(1-6*x+x^2)。
a(n)=(C^(2n)-C^(-2n))/sqrt(8),其中C=sqrt(2)+1-加里·亚当森2003年5月11日
对于序列的所有项x,2*x^2+1是一个正方形。极限{n->infinity}a(n)/a(n-1)=3+2*sqrt(2)-格雷戈里·理查德森2002年10月10日
a(n)=sinh(2*n*arcsinh(1))/sqrt(2)-赫伯特·科西姆巴2008年4月24日
和{n>=1}1/(a(n)+1/a(n))=1/2-彼得·巴拉2015年3月25日
例如:exp(3*x)*sinh(2*sqrt(2)*x)/sqrt(2中)-伊利亚·古特科夫斯基2016年12月7日
对于Z中的所有n,a(n)=-a(-n)-迈克尔·索莫斯2017年1月20日
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例子
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G.f.=2*x+12*x^2+70*x^3+408*x^4+2378*x^5+13860*x^6+。。。
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MAPLE公司
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seq(组合:fibonacci(2*n,2),n=0..20)#彼得·卢什尼,2018年6月28日
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数学
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线性递归[{6,-1},{0,2},30](*哈维·P·戴尔2011年6月11日*)
斐波那契[2*范围[0,20],2](*G.C.格鲁贝尔2019年12月23日*)
表[2切比雪夫U[-1+n,3],{n,0,20}](*赫伯特·科西姆巴2022年6月5日*)
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黄体脂酮素
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(哈斯克尔)
a001542 n=a001542_list!!n个
a001542列表=
0:2:zipWith(-)(map(6*)$tail a001542_list)a001541_list
(最大值)
a[0]:0$
a[1]:2$
a[n]:=6*a[n-1]-a[n-2]$
(PARI){a(n)=imag((3+2*quadgen(8))^n)}/*迈克尔·索莫斯2017年1月20日*/
(PARI)矢量(21,n,2*polchebyshev(n-1,2,33))\\G.C.格鲁贝尔2019年12月23日
(Python)
l=[0,2]
对于范围(2,51)中的n:l+=[6*l[n-1]-l[n-2],]
(岩浆)I:=[0,2];[n le 2选择I[n]else 6Self(n-1)-Self(n-2):[1..20]]中的n//G.C.格鲁贝尔2019年12月23日
(Sage)[2*chebyshev_U(n-1,3)用于(0..20)中的n#G.C.格鲁贝尔2019年12月23日
(间隙)a:=[0,2];;对于[3..20]中的n,做a[n]:=6*a[n-1]-a[n-2];od;a#G.C.格鲁贝尔2019年12月23日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A001108号,A001353号,A001541号,A001835号,A003499美元,A007805号,A007913号,A115598型,A125650型,A125651型,A125652号.
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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A000914号
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| 第一类斯特林数:s(n+2,n)。 (原名M1998 N0789)
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+10 52
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0, 2, 11, 35, 85, 175, 322, 546, 870, 1320, 1925, 2717, 3731, 5005, 6580, 8500, 10812, 13566, 16815, 20615, 25025, 30107, 35926, 42550, 50050, 58500, 67977, 78561, 90335, 103385, 117800, 133672, 151096, 170170, 190995, 213675, 238317, 265031
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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{1..n+1}中无序数对的乘积之和。
该序列保持由MAX(i,j)形成的n x n矩阵A的特征多项式的x^(n-2)系数,其中i是行索引,j是元素A[i][j]的列索引,1<=i,j<=n。这里n>=2-保罗·马克斯·佩顿2005年9月6日
序列包含A006002号,表示由连接到(t(2),t(3)),然后(t(3,t(4))。。。(t(n-1),t(n))和x轴-J.M.贝戈2012年5月5日
从[n+2]到[n+2]f(x)=x的函数数f,正好是n个元素x的[n+2],f(x)>x,正好是两个元素x(n+2])。为了证明这一点,让图像较大的[n+2]的两个元素分别标记为i和j。注意i和j必须小于n+2。然后有f(i)的(n+2-i)选项和f(j)的(n+2-j)选项。对所有集合{i,j}的选择数乘积求和,在注释部分的第一行给出“来自{1..n+1}的无序数对乘积之和”。请参阅下面示例部分中的示例-丹尼斯·沃尔什2017年9月6日
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参考文献
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑,《数学函数手册》,国家标准应用数学局。1964年第55辑(以及各种重印本),第833页。
乔治·安德鲁斯(George E.Andrews),《数论》,多佛出版社,纽约,1971年,第4页。
Louis Comtet,《高级组合数学》,Reidel,1974年,第227页,#16。
F.N.David、M.G.Kendall和D.E.Barton,《对称函数和联合表》,剑桥,1966年,第226页。
H.S.Hall和S.R.Knight,《高等代数》,第四版,麦克米伦出版社,1891年,第518页。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。,数学函数手册,国家标准局,应用数学。系列55,第十次印刷,1972年[替代扫描副本]。
罗伯特·莫里茨,关于n个连续整数乘积的和,华盛顿大学数学出版物。,第1卷,第3期(1926年),第44-49页。[带注释的扫描副本]
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配方奶粉
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a(n)=二项式(n+2,3)*(3*n+5)/4=(n+1)*n*(n+2)*(3*n+5)/24。
例如:exp(x)*x*(48+84*x+32*x^2+3*x^3)/24。
通用名称:(2*x+x^2)/(1-x)^5-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中。
a(n)=和{i=1..n}i*(i+1)^2/2-乔恩·佩里2003年7月31日
-(3*n+2)*(n-1)*a(n)+(n+2-R.J.马塔尔2015年4月30日
当n>=1时,a(n)=a(n-1)+(n+1)*二项式(n+1,2)-丹尼斯·沃尔什2015年9月21日
求和{n>=1}1/a(n)=162*log(3)/5-18*sqrt(3)*Pi/5-384/25。
和{n>=1}(-1)^(n+1)/a(n)=36*sqrt(3)*Pi/5-96*log(2)/5-636/25。(结束)
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例子
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示例包括E(K_1,2,3)=s(2+2,2)=11和E(K_1,2,3,4,5)=s(4+2,4)=85,其中E是计算图形边数的函数。
对于n=2,a(2)=11个函数f:[4]->[4]正好有两个f(x)=x和两个f●●●●-丹尼斯·沃尔什,2017年9月6日
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MAPLE公司
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A000914号:=n->1/24*(n+1)*n*(n+2)*(3*n+5);
组合[stirling1](n+2,n);
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数学
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表[StirlingS1[n+2,n],{n,0,40}](*哈维·P·戴尔2011年8月24日*)
a[n]:=n(n+1)(n+2)(3n+5)/24;(*迈克尔·索莫斯2017年9月4日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)a(n)=总和(i=1,n+1,总和(j=1,n+1,i*j*(i<j))
(PARI)a(n)=总和(i=1,n+1,总和(j=1,i-1,i*j))\\查尔斯·格里特豪斯四世2015年4月7日
(鼠尾草)[stirling_number1(n+2,n)代表范围(41)内的n]#零入侵拉霍斯2009年3月14日
(哈斯克尔)
a000914 n=a000914_列表!!n个
a000914_list=扫描1(+)a006002_list
(岩浆)[StirlingFirst(n+2,n):n in[0..40]]//文森佐·利班迪2019年5月28日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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更多来自Klaus Strassburger(strass(AT)ddfi.uni-duesseldorf.de)的条款,2000年1月17日
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状态
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经核准的
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0, 1, 6, 13, 24, 37, 54, 73, 96, 121, 150, 181, 216, 253, 294, 337, 384, 433, 486, 541, 600, 661, 726, 793, 864, 937, 1014, 1093, 1176, 1261, 1350, 1441, 1536, 1633, 1734, 1837, 1944, 2053, 2166, 2281, 2400, 2521, 2646, 2773, 2904, 3037, 3174, 3313, 3456, 3601, 3750
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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六边形网络上的细胞自动机。序列给出了第n阶段后结构中“ON”单元的数量。A007310号给出了第一个区别。有关没有单词的定义,请参阅示例部分中的初始术语说明。请注意,电池会变得间歇。A083577号给出了这个序列的素数。
无限方阵T(n,k)的行和,其中k列列出2*k-1个零,后跟数字A008458号(参见示例)。(结束)
从0开始,在0,1,…方向读取行,找到序列。。。和从0开始的同一条直线,在0,6,…,方向上。。。,在顶点为广义五边形数的正方形螺旋中A001318年.主轴垂直于A045943号在同一个螺旋中-奥马尔·波尔2011年9月8日
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链接
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配方奶粉
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通用公式:(x+4*x^2+x^3)/(1-2*x+2*x^3-x^4)=x*(1+4*x+x^2)/(1+x)*(1-x)^3)。
a(n)=+2*a(n-1)-2*a(n-3)+1*a(n-4)。(结束)
a(n)=(6*n^2+(-1)^n-1)/4-布鲁诺·贝塞利2011年8月22日
a(-n)=a(n)。
当n>1时,a(n)=a(n-2)+6*(n-1)。
例如:(3*x*(x+1)*cosh(x)+(3*x^2+3*x-1)*sinh(x))/2-斯特凡诺·斯佩齐亚,2022年8月19日
和{n>=1}1/a(n)=Pi^2/36+tan(Pi/(2*sqrt(3)))*Pi/-阿米拉姆·埃尔达尔2023年1月16日
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例子
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0、1、6、12、18、24、30、36、42、48、54。。。
0, 0, 0, 1, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, ...
0, 0, 0, 0, 0, 1, 6, 12, 18, 24, 30, ...
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 6, 12, 18, ...
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 6, ...
等等。
===========================================
列的总和给出了以下序列:
0, 1, 6, 13, 24, 37, 54, 73, 96, 121, 150, ...
...
同心六边形的初始术语说明:
.
.o o o o o o o o
.o o o o o o o o
.o o o o oo o o o-o o o
.o o o o o o o o oO o o oo o o
.o o o o o o o o oo o o o-o o o
.o o o o o o o o o o o o o o o o o o o
.o o o o oo o o o-o o o
.o o o o o o o o
.o o o o o o o o
.
. 1 6 13 24 37
.
(结束)
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数学
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f[n_,m_]:=总和[下限[n^2/k],{k,1,m}];t=表格[f[n,2],{n,1,90}](*克拉克·金伯利2012年4月20日*)
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黄体脂酮素
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(岩浆)[底板(3*n^2/2):n in[0..50]]//文森佐·利班迪2011年8月21日
(哈斯克尔)
a032528 n=a032528_列表!!n个
a032528_list=扫描(+)0 a007310_list
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交叉参考
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囊性纤维变性。A003154号,A007310号,A008458号,A033581号,A083577号,A000326号,A001318年,A005449号,A045943号,A032527号,A195041号第6列,共列A195040型.
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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新名称和更多术语a(41)-a(50)来自奥马尔·波尔2011年8月20日
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状态
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经核准的
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0, 10, 40, 90, 160, 250, 360, 490, 640, 810, 1000, 1210, 1440, 1690, 1960, 2250, 2560, 2890, 3240, 3610, 4000, 4410, 4840, 5290, 5760, 6250, 6760, 7290, 7840, 8410, 9000, 9610, 10240, 10890, 11560, 12250, 12960, 13690, 14440, 15210, 16000, 16810
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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链接
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配方奶粉
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当n>0时,a(n)=20*n+a(n-1)-10,a(0)=0-文森佐·利班迪2010年8月5日
和{n>=1}1/a(n)=Pi^2/60。
和{n>=1}(-1)^(n+1)/a(n)=Pi^2/120。
产品{n>=1}(1+1/a(n))=sqrt(10)*sinh(Pi/sqrt(1))/Pi。
产品{n>=1}(1-1/a(n))=sqrt(10)*sin(Pi/sqrt(1))/Pi。(结束)
外径:10*x*(1+x)/(1-x)^3。
例如:10*exp(x)*x*(1+x)。(结束)
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MAPLE公司
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数学
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黄体脂酮素
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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经核准的
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0, 2, 16, 54, 128, 250, 432, 686, 1024, 1458, 2000, 2662, 3456, 4394, 5488, 6750, 8192, 9826, 11664, 13718, 16000, 18522, 21296, 24334, 27648, 31250, 35152, 39366, 43904, 48778, 54000, 59582, 65536, 71874, 78608, 85750, 93312, 101306, 109744, 118638, 128000, 137842
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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也是3X3矩阵的最大行列式,其条目来自{0..n}-贾德·麦克拉尼2001年8月12日
4*a(n)是一个完美的立方体。
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链接
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阿米莉亚·卡罗琳娜·斯巴维尼亚(Amelia Carolina Sparavigna),卡达诺公式和一些数字都灵理工大学(意大利,2021年)。
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配方奶粉
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总尺寸:2*x*(1+4*x+x^2)/(1-x)^4-R.J.马塔尔2011年2月4日
a(n)=4*a(n-1)-6*a(n-2)+4*a(n3)-a(n-4)-韦斯利·伊万·赫特2014年8月25日
例如:2*x*(1+3*x+x^2)*exp(x)-G.C.格鲁贝尔,2017年7月15日
和{n>=1}1/a(n)=zeta(3)/2。
和{n>=1}(-1)^(n+1)/a(n)=3*zeta(3)/8。(结束)
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MAPLE公司
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数学
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黄体脂酮素
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(岩浆)[2*n^3:n英寸[0..30]]//文森佐·利班迪,2011年6月26日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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经核准的
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0, 4, 20, 48, 88, 140, 204, 280, 368, 468, 580, 704, 840, 988, 1148, 1320, 1504, 1700, 1908, 2128, 2360, 2604, 2860, 3128, 3408, 3700, 4004, 4320, 4648, 4988, 5340, 5704, 6080, 6468, 6868, 7280, 7704, 8140, 8588, 9048, 9520, 10004, 10500, 11008, 11528, 12060
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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链接
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配方奶粉
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a(n)=a(n-1)+12*n-8,对于n>0,a(0)=0-文森佐·利班迪2010年8月5日
G.f.:x*(4+8*x)/(1-3*x+3*x^2-x^3)-科林·巴克2012年1月6日
例如:2*x*(2+3*x)*exp(x)。
求和{i>0}1/a(i)=(9*log(3)-sqrt(3)*Pi)/12=0.3705093754425278…(结束)
和{n>=1}(-1)^(n+1)/a(n)=Pi/(2*sqrt(3))-log(2)-阿米拉姆·埃尔达尔2022年2月20日
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MAPLE公司
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seq(4*二项式(3*n,2)/3,n=0..45)#G.C.格鲁贝尔2019年10月9日
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数学
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4多边形编号[5,范围[0,45]](*迈克尔·德弗利格,2016年8月2日,第10.4版*)
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黄体脂酮素
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(岩浆)[4*二项式(3*n,2)/3:n in[0..45]]//G.C.格鲁贝尔2019年10月9日
(Sage)[4*二项式(3*n,2)/3表示n in(0..45)]#G.C.格鲁贝尔2019年10月9日
(GAP)列表([0..45],n->4*二项式(3*n,2)/3)#G.C.格鲁贝尔2019年10月9日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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