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（来自的问候整数序列在线百科全书!)
搜索： a033297-编号：a033299
显示找到的7个结果中的1-7个。 第页1
    排序：关联|参考文献|数|被改进的|创建     格式：长的|短的|数据
A032357号 加泰罗尼亚数的卷积和-1的幂。 +10
13
1, 0, 2, 3, 11, 31, 101, 328, 1102, 3760, 13036, 45750, 162262, 580638, 2093802, 7601043, 27756627, 101888163, 375750537, 1391512653, 5172607767, 19293659253, 72188904387, 270870709263, 1019033438061, 3842912963391, 14524440108761 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
评论
加泰罗尼亚数字交替和的绝对值-亚历山大·阿达姆楚克，2006年7月3日
两个连续项的和是a（n-1）+a（n）=1，2，5，14，42=A000108号（n） （加泰罗尼亚数字）。素数p除以a（（p-3）/2）得到p=11,19,29,31,41,59,61,71=A045468号（素数与{1,4}模5同余）。素数p除以a（2*p+1）得到p=5，11，19，29，31，41，59，61，71=A038872美元（素数与{0,1,4}模5同余）。还有奇数素数，其中5是平方模p-亚历山大·阿达姆楚克，2006年7月3日
汉克尔变换是F（2*n+1），其中F=A000045号. -保罗·巴里2008年7月22日
等于的INVERTi变换A000958号. -加里·亚当森2009年4月10日
的二项式逆变换A002212号. -菲利普·德尔汉姆2009年9月17日
单子数和可加分解数（2143，2413，3142）-避免无+键排列（上升1），偏移量为1。等价地，（2143，2413，3142）的数量-避免以1开头或以n结尾的排列（顶部条目）。例如，n=3时为132和213；n=4时为132414323214-亚历山大·伯斯坦2015年5月22日
链接
文森佐·利班迪，n=0..1000时的n，a（n）表
Shalosh B.Ekhad和Mingjia Yang，整数序列在线百科全书中某些代数形式幂级数系数线性递归的证明, 2017.
公式
G.f.：c（x）/（1+x），其中c（x）是加泰罗尼亚数字的G.fA000108号.
a（n）=和{k=0..n}（-1）^（n-k）*C（k），其中C（k=A000108号（k） ●●●●。
a（n）=（（-1）^（n+1）-二项式（2*（n+1，n+1））*Sum_{k=0..n+1}（-5）^k*二项式。
a（n）=C（2*n，n）/（n+1）-a（n-1）=A000108号（n） a（n-1），a（0）=1-拉博斯·埃利默2003年4月26日
猜想：（n+1）*a（n）+3*（-n+1）*a（n-1）+2*（-2*n+1）*a（n-2）=0-R.J.马塔尔2012年11月30日
由于g.f.满足（x-3*x^2-4*x^3）*g'（x）+（1-6*x^2）*g（x）=1，因此猜想成立-罗伯特·伊斯雷尔2015年5月22日
a（n）=（-1）^n/A001622号+A000108号（n+1）*hypergeom（[1，n+3/2]，[n+3]，-4）-弗拉基米尔·雷舍特尼科夫2016年10月2日
a（n）~2^（2*n+2）/（5*sqrt（Pi）*n^（3/2））-瓦茨拉夫·科特索维奇2016年10月3日
a（n）=(A000108号（n） *（2+（n+1）*超深层（[1，-n]，[1/2]，5/4））-（-1）^n）/2-弗拉基米尔·雷舍特尼科夫2016年10月3日
MAPLE公司
记录：=（n+1）*a（n）+3*（-n+1）*a（n-1）+2*（-2*n+1）*a（n-2）=0：
A： =gfun:-rectproc（{rec，A（0）=1，A（1）=0}，A（n），记住）：
seq（A（n），n=0..50）#罗伯特·伊斯雷尔2015年5月22日
数学
表[总和[（-1）^（k+n）*CatalanNumber[k]，{k，0，n}]，{n，0，60}](*亚历山大·阿达姆楚克2006年7月3日*）
圆形@桌子[（-1）^n/GoldenRatio+CatalanNumber[n+1]超几何2F1[1，n+3/2，n+3，-4]，{n，0，20}]（*这里Round相当于FullSimplify，但速度快得多-弗拉基米尔·雷舍特尼科夫2016年10月2日*）
表[（加泰罗尼亚数[n]（2+（n+1）超几何2F1[1，-n，1/2，5/4]）-（-1）^n）/2，{n，0，20}](*弗拉基米尔·雷舍特尼科夫2016年10月3日*）
黄体脂酮素
（鼠尾草）
定义A032357号（）：
f、 c，n=1，1，1
为True时：
产量f
n+=1
c=c*（4*n-6）//n
f=c-f
一个=A032357号()
打印（[范围（27）中_的下一个（a）]）#彼得·卢什尼2016年11月30日
交叉参考
参见。A000045号,A000108号,A000958号,A001622号,A002212号,A014137号,A014138号,A033297号,A038872美元,A045468号,A064739号.
关键字
容易的,非n
作者
沃尔夫迪特·朗
扩展
更多术语来自克里斯蒂安·鲍尔1998年4月15日
更多术语来自亚历山大·阿达姆楚克，2006年7月3日
状态
经核准的
A167477号 （1-3x+5x^2-x^3）/（1-3x+x^2）^2的展开。 +10
2
1, 3, 12, 44, 149, 479, 1487, 4503, 13386, 39226, 113641, 326173, 928957, 2628459, 7395624, 20708264, 57739517, 160391483, 444068171, 1225831551, 3374848806, 9268963318, 25401364177, 69472849849, 189661024249, 516904018899 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0.2个
评论
汉克尔变换A033297美元（当它开始1、1、4、…）。
链接
G.C.格鲁贝尔，n=0..1000时的n，a（n）表
常系数线性递归的索引项，签名（6，-11,6，-1）。
公式
a（n）=4*A001871号（n-1）-A001871号（n）+A001519号（n+2）-R.J.马塔尔2011年6月28日
数学
线性递归[{6，-11，6，-1}，{1，3，12，44}，100](*G.C.格鲁贝尔2016年6月13日*）
关键字
容易的,非n
作者
保罗·巴里2009年11月4日
状态
经核准的
A168377号 Riordan数组（1/（1+x），x*c（x）），其中c（xA000108号. +10
2
1, -1, 1, 1, 0, 1, -1, 2, 1, 1, 1, 3, 4, 2, 1, -1, 11, 10, 7, 3, 1, 1, 31, 32, 21, 11, 4, 1, -1, 101, 100, 69, 37, 16, 5, 1, 1, 328, 329, 228, 128, 59, 22, 6, 1, -1, 1102, 1101, 773, 444, 216, 88, 29, 7, 1, 1, 3760, 3761, 2659, 1558, 785, 341, 125, 37, 8, 1 (列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
0,8
链接
n，a（n）的表，n=0..65。
Emeric Deutsch、Luca Ferrari和Simone Rinaldi，生产矩阵和Riordan阵列，arXiv:math/0702638[math.CO]，2007年。
Emeric Deutsch、Luca Ferrari和Simone Rinaldi，生产矩阵和Riordan阵列《组合数学年鉴》，13（2009），65-85。
L.W.Shapiro、S.Getu、W.-J.Woan和L.C.Woodson，Riordan集团《离散应用数学》，34（1-3）（1991），229-239。
维基百科，Riordan阵列.
公式
T（n，0）=（-1）^n和T（n、n）=1。
和{0<=k<=n}T（n，k）=A032357号（n） ●●●●。
发件人Petros Hadjicostas公司，2020年8月8日：（开始）
初始条件T（n，0）=（-1）^n（n>=0）和T（n、1）=A032357号（n-1）（n>=1）。
T（n，2）=A033297号（n） ●●●●。
当n>=1时，T（n，n-1）=n-2。
|T（n，k）|=|A096470型（n，n-k）|表示0<=k<=n。
二元o.g.f:1/（（1+x）*（1-x*y*c（x））），其中c（xA000108号.
二元o.g.f.：（1-y+x*y*c（x））/（（1+x）*（1-y+x*y^2））。
|T（n，k）|的二元o.g.f.：（T（n、k）的o.g.f）+2*x/（1-x^2）。（结束）
例子
三角形T（n，k）（行n>=0，列k=0..n）开始于：
1;
-1, 1;
1, 0, 1;
-1, 2, 1, 1;
1, 3, 4, 2, 1;
-1, 11, 10, 7, 3, 1;
1、31、32、21、11、4、1；
-1, 101, 100, 69, 37, 16, 5, 1;
...
发件人菲利普·德尔汉姆2014年9月14日：（开始）
生产矩阵开始：
-1, 1
0、1、1
0, 1, 1, 1
0, 1, 1, 1, 1
0, 1, 1, 1, 1, 1
0, 1, 1, 1, 1, 1, 1
0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1
0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1
…（结束）
黄体脂酮素
（PARI）A000108号（n） =二项式（2*n，n）/（n+1）；
A032357号（n） =总和（k=0，n，（-1）^（n-k）*A000108号（k） ）；
T（n，k）=如果（k==0），（-1）^n，如果（n<0）||（k<0），0，如果（k==1，A032357号（n-1），如果（n>k-1，T（n，k-1）-T（n-1，k-2），0））；
对于（n=0，10，对于（k=0，n，print1（T（n，k），“，”））；打印）\\Petros Hadjicostas公司2020年8月8日
交叉参考
参见。A000012号,A000108号,A000124号,A023443号,A032357号,A033297号,A033999号,A091491号,A096470型,A106566号,A127540号.
关键字
签名,表
作者
菲利普·德尔汉姆2009年11月24日
状态
经核准的
A096470型 三角形T（n，k），按行读取，通过将第零列和主对角线（（n，n）项）中的所有项设置为1，并通过递归T（n、k）=T（n-1，k）-T（n，k-1）定义其余项而形成。 +10
1
1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, -1, 2, 1, 1, -2, 4, -3, 1, 1, -3, 7, -10, 11, 1, 1, -4, 11, -21, 32, -31, 1, 1, -5, 16, -37, 69, -100, 101, 1, 1, -6, 22, -59, 128, -228, 329, -328, 1, 1, -7, 29, -88, 216, -444, 773, -1101, 1102, 1, 1, -8, 37, -125, 341, -785, 1558, -2659, 3761, -3760, 1, 1, -9, 46, -171, 512, -1297, 2855, -5514, 9275, -13035, 13036, 1 (列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,9
评论
如果A（x，y）是三角形数组T（n，k）的二元o.g.f.，B（x，y）是其镜像T（n、n-k）的两元o.gf.，则B-Petros Hadjicostas公司2020年8月8日
链接
n，a（n）的表，n=0..77。
公式
T（n，k）=T（n-1，k）-T（n，k-1。
第二列为T（n，2）=A000124号（n-2）对于n>=2（霍格本中心多边形数）。
“第一个子对角线”（无符号）是|T（n，n-1）|=A032357号（n-1）对于n>=1（加泰罗尼亚数的卷积和-1的幂）。
“第二子对角线”（无符号）是|T（n，n-2）|=A033297美元（n） =n>=2的和{i=0..n-2}（-1）^i*C（n-1-i），其中C（n）是加泰罗尼亚数字(A000108号).
发件人Petros Hadjicostas公司，2020年8月8日：（开始）
|T（n，k）|=|A168377号（n，n-k）|表示0<=k<=n。
二元o.g.f:（1+y+x*y*c（-x*y））/（（1-x*y，*（1-x+y）），其中c（x）=2/（1+sqrt（1-4*x））=o.g.fA000108号.
|T（n，k）|的二元o.g.f:（1-y-x*y*c（x*y））/（（1+x*y，*（1-x-y））+2*x*y/（1-x^2*y^2）。
镜像T（n，n-k）的二元o.g.f:（1+y+x*y*c（-x））/（（1-x）*（1+y-x*y^2））。
|T（n，n-k）|的双变量o.g.f.：（1-y+x*y*c（x））/（（1+x）*（1-y+x*y^2））+2*x/（1-x^2）。（结束）
例子
发件人Petros Hadjicostas公司，2020年8月8日：（开始）
三角形T（n，k）（行n>=0，列k=0..n）开始于：
1;
1, 1;
1, 0, 1;
1, -1, 2, 1;
1, -2, 4, -3, 1;
1, -3, 7, -10, 11, 1;
1, -4, 11, -21, 32, -31, 1;
1、-5、16、-37、69、-100、101、1；
1, -6, 22, -59, 128, -228, 329, -328, 1;
…（结束）
黄体脂酮素
（PARI）T（n，k）=如果（k==0）||（n==k），1，如果（n<0）||；
对于（n=0，10，对于（k=0，n，print1（T（n，k），“，”））；打印）\\Petros Hadjicostas公司2020年8月8日
交叉参考
参见。A000108号,A000124号,A032357号,A033297号,A168377号.
关键字
签名,表
作者
杰拉尔德·麦卡维2004年8月12日
扩展
偏移更改为0Petros Hadjicostas公司2020年8月8日
状态
经核准的
A143949号 行读取的三角形：T（n，k）是包含k个奇数长度下降到地面的n-Dyck路径数（0<=k<=n）。 +10
1
1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 3, 0, 1, 4, 4, 5, 0, 1, 10, 17, 7, 7, 0, 1, 32, 46, 34, 10, 9, 0, 1, 100, 155, 94, 55, 13, 11, 0, 1, 329, 502, 335, 154, 80, 16, 13, 0, 1, 1101, 1701, 1110, 580, 226, 109, 19, 15, 0, 1, 3761, 5820, 3865, 1960, 898, 310, 142, 22, 17, 0, 1, 13035, 20251 (列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,8
评论
行总和是加泰罗尼亚数字(A000108号).
T（0，n）=A033297号（n） ●●●●。
总和（k*T（n，k），k=0..n）=A000957号（n+2）（精细数字）。
均匀长度下降至地面的情况考虑在A111301型.
链接
n，a（n）的表，n=0..67。
公式
G.f.：G（s，z）=1/[1-z（t+zC）/（1-z^2*C^2）]，其中C=[1-sqrt（1-4z）]/（2z）是加泰罗尼亚函数。
三变量g.f.H（t，s，z），其中t（s）表示奇数长度（偶数长度）下降到地面，z表示半长，是H=1/[1-z（t+szC）/（1-z^2*C^2）]，其中C=[1-sqrt（1-4z）]/（2z）是加泰罗尼亚函数。
例子
T（4,2）=5，因为我们有U（D）U（D。
三角形起点：
1;
0,1;
1,0,1;
1,3,0,1;
4,4,5,0,1;
10,17,7,7,0,1;
MAPLE公司
C： =（（1-sqrt（1-4*z））*1/2）/z:G:=1/（1-z*（t+z*C）/（1-z^2*C^2））：Gser:=简化（级数（G，z=0，14））：对于从0到11的n do P[n]：=排序（展开（系数（Gser，z，n以三角形形式生成序列
交叉参考
参见。A000108号,A033297号,A000957号,A111301型.
关键字
非n,表
作者
Emeric Deutsch公司2008年10月5日
状态
经核准的
A237596型 卷积三角形A000958号（n+1）。 +10
1
1, 1, 1, 3, 2, 1, 8, 7, 3, 1, 24, 22, 12, 4, 1, 75, 73, 43, 18, 5, 1, 243, 246, 156, 72, 25, 6, 1, 808, 844, 564, 283, 110, 33, 7, 1, 2742, 2936, 2046, 1092, 465, 158, 42, 8, 1, 9458, 10334, 7449, 4178, 1906, 714, 217, 52, 9, 1, 33062, 36736, 27231, 15904, 7670, 3096, 1043, 288, 63, 10, 1 (列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,4
评论
Riordan数组（f（x）/x，f（xA000958号.
反转236918英镑.
行总和为A109262号（n+1）。
对角线总和为A033297号（n+2）。
链接
G.C.格鲁贝尔，三角形的行数n=0..50，展平
塞尔吉奥·法尔孔，K-Fibonacci序列的加泰罗尼亚变换，公社。韩国数学。Soc.28（2013），第4期，第827-832页。
公式
G.f.：对于k-1列：（（1-sqrt（（1-4*x））^k/（1+sqrt）（1-4**）+2*x）^k）/x。
和{k=0..n}T（n，k）=A109262号（n+1）。
发件人G.C.格鲁贝尔，2022年6月14日：（开始）
T（n，k）=[x^k]（p（n+1，x））的系数，其中p（n，x）=和{j=0..n}（j/（2*n-j））*二项式（2*nj，n-j）*斐波那契（j，x），p（0，x）=1，斐波那奇（n，x）是斐波那契多项式。
T（n，k）=A236918型（n，n-k）。（结束）
例子
三角形开始：
1;
1, 1;
3, 2, 1;
8, 7, 3, 1;
24, 22, 12, 4, 1;
75, 73, 43, 18, 5, 1;
243, 246, 156, 72, 25, 6, 1;
808, 844, 564, 283, 110, 33, 7, 1;
...
MAPLE公司
#使用来自的函数PMatrixA357368飞机。添加列1，0，0。。。在左边。
P矩阵（10，n->A000958号（n） ）#彼得·卢什尼2022年10月19日
数学
P[n_，x_]：=P[n，x]=如果[n==0，1，和[（j/（2*n-j）））*二项式[2*n-j，n-j]*斐波那契[j，x]，{j，0，n}]]；
T[n_，k_]：=系数[P[n+1，x]，x，k]；
表[T[n，k]，{n，0，13}，{k，0，n}]//展平(*G.C.格鲁贝尔2022年6月14日*）
黄体脂酮素
（SageMath）
定义f（n，x）：返回和（（0..（n-1）//2）中j的二项式（n-j-1，j）*x^（n-2*j-1））
定义p（n，x）：
如果（n==0）：返回1
else：（0..n）中j的返回和（（j/（2*n-j））*二项式（2*n-j，n-j）*f（j，x）
定义A237596型（n，k）：返回（p（n+1，x））.序列（x，n+1）.列表（）[k]
压扁([[A237596型（n，k）对于k in（0..n）]对于n in（0..12）]）#G.C.格鲁贝尔2022年6月14日
交叉参考
列给出A000958号,114495英镑.
参见。A033297号（对角线总和），A109262号（行总和），A236918型（行反转）。
关键字
非n,表
作者
菲利普·德尔汉姆2014年2月9日
状态
经核准的
A278072型 Riordan阵列（1/（1+x），（1-sqrt（1-4*x））/（2*x）。 +10
0
1, -1, 1, 1, 1, 1, -1, 4, 3, 1, 1, 10, 11, 5, 1, -1, 32, 37, 22, 7, 1, 1, 100, 128, 88, 37, 9, 1, -1, 329, 444, 341, 171, 56, 11, 1, 1, 1101, 1558, 1297, 739, 294, 79, 13, 1, -1, 3761, 5514, 4891, 3069, 1406, 465, 106, 15, 1, 1, 13035, 19680, 18365, 12435, 6346, 2442, 692, 137, 17, 1 (列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
0,8
链接
n，a（n）的表，n=0..65。
例子
[ 1]
[ -1, 1]
[ 1, 1, 1]
[ -1, 4, 3, 1]
[ 1, 10, 11, 5, 1]
[ -1, 32, 37, 22, 7, 1]
[ 1, 100, 128, 88, 37, 9, 1]
[ -1, 329, 444, 341, 171, 56, 11, 1]
数学
（*RiordanArray函数定义于A256893型. *)
RiordanArray[1/（1+#）&，（1-Sqrt[1-4#]）/（2#）&(*Jean-François Alcover公司2019年7月16日*）
黄体脂酮素
（Sage）#使用来自的[riordan_arrayA256893型]
riordan数组（1/（1+x），（1-sqrt（1-4*x））/（2*x），8）
交叉参考
参见。A033297号,A084849号.
关键字
签名,表
作者
彼得·卢什尼2016年11月22日
状态
经核准的
第页1

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