搜索： a033281-编号：a033288
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A033282号
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| 行读取的三角形：T（n，k）是凸n边形到k+1区域的对角剖分数。 |
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1, 1, 2, 1, 5, 5, 1, 9, 21, 14, 1, 14, 56, 84, 42, 1, 20, 120, 300, 330, 132, 1, 27, 225, 825, 1485, 1287, 429, 1, 35, 385, 1925, 5005, 7007, 5005, 1430, 1, 44, 616, 4004, 14014, 28028, 32032, 19448, 4862, 1, 54, 936, 7644, 34398, 91728, 148512, 143208, 75582, 16796
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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3,3
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评论
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T（n+3，k）也是Fomin和Zelevinsky的有限型A_n簇代数中簇变量的相容k集的数目。取这个三角形中的一行作为x中的多项式，并在y:=x+1中重写为多项式。y中多项式的系数给出了一行Narayana数的三角形A001263号例如，x^2+5*x+5=y^2+3*y+1-保罗·博丁顿2003年3月7日
标准杨氏表的形状数（k+1，k+1,1^（n-k-3）），其中1^（n-k-3）表示n-k-31的序列（见斯坦利参考）。
n维结合面体的k维“面”数量（见Simion，第168页）-米奇·哈里斯2007年1月16日
有关拉格朗日反演或级数反演以及结合面体或斯塔舍夫多面体（和其他组合对象）的几何关系，请参见A133437号. -汤姆·科普兰2008年9月29日
行生成多项式1/（n+1）*Jacobi_P（n，1,1,2*x+1）。这个三角形的第n行是A_n型结合面体的单形复数对偶的f向量[Fomin&Reading，p.60]。请参见A001263号有关A_n型结合面体的h向量的相应数组，请参见A063007美元和A080721号分别用于类型B和类型D的副综合体的f向量-彼得·巴拉2008年10月28日
用于优化和整数规划的Grobner基的二次多面体的f向量（参见De Loera等人和Thomas）-汤姆·科普兰2011年10月11日
摘自Devadoss和O'Rourke的书：线段上n个自由粒子的组态空间的Fulton-MacPherson紧化是n维Stasheff结合面体，其精化f向量在A133437号减少到A033282号. -汤姆·科普兰2011年11月29日
符号三角形t（n，k）=（-1）^k*t（n+2，k-1），n>=1，k=1..n似乎可以从分区数组中获得A111785号（以Abramowitz-Stegun顺序），将n的分区对应的条目与k部分的数量相加。例如，三角形t，行n=4:-1，（6+3）=9，-21，14-沃尔夫迪特·朗2017年3月17日
行似乎给出了整值多项式（x+1）*（x+2）^2*（x+3）^2**（x+n）^2*（x+n+1）/（n！*（n+1）！）以二项式（x+i，i）为基础-F.查波顿2022年10月7日
查波顿的上述观察是正确的：精确的展开式是（x+1）*（x+2）^2*（x+3）^2**（x+n）^2*（x+n+1）/（n！*（n+1）！）=和{k=0..n-1}（-1）^k*T（n+2，n-k-1）*二项式（x+2*n-k，2*n-k），可以使用WZ算法进行验证。例如，n=4表示（x+1）*（x+2）^2*（x+3）^2*（x+4）^ 2*（x+5）/（4！*5！）=14*二项式-彼得·巴拉2023年6月24日
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参考文献
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S.Devadoss和J.O'Rourke，《离散和计算几何》，普林斯顿大学出版社，2011年（见第241页）
罗纳德·格雷厄姆（Ronald L.Graham）、唐纳德·科努特（Donald E.Knuth）、奥伦·帕塔什尼克（Oren Patashnik），《混凝土数学》（Concrete Mathematics），第二版，艾迪生-韦斯利出版社，1994年。练习7.50，第379、573页。
T.K.Petersen，《欧拉数字》，Birkhauser，2015年，第5.8节。
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链接
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W.Butler、A.Kalotay和N.J.A.Sloane，通信，1974年
A.凯利，关于多边形的划分，程序。伦敦数学。Soc.，22（1891），237-262=数学论文集。卷。1-13，剑桥大学出版社，伦敦，1889-1897年，第13卷，第93页及其后。（见第239页。）
F.Chapoton，广义结合面体的计数性质《联合国图书馆》（Séminaire Lotharingien de Combinatoire），B51b（2004），第16页。
Manosij Ghosh Dastidar和Michael Wallner，涉及格路和整数合成的双射和同余，arXiv:2402.17849[math.CO]，2024。见第16页。
J.De Loera、J.Rambau和F.Leal，点集的三角剖分【摘自Tom Copeland 2011年10月11日】
S.Devadoss，实模空间的组合等价性，通知Amer。数学。Soc.51（2004），第6期，620-628。
S.Devadoss和R.Read，由多边形和树决定的细胞结构，arXiv/0008145[math.CO]，2000年。[摘自Tom Copeland 2017年11月21日]
S.Fomin和N.Reading，根系与广义副总科，IAS/Park-City 2004课堂讲稿，arXiv:math/0505518[math.CO]，2005-2008。[来自彼得·巴拉2008年10月28日]
S.Fomin和A.Zelevinsky，簇代数I：基础，arXiv:math/0104151[math.RT]，2001年。
S.Fomin和A.Zelevinsky，簇代数I：基础，J.Amer。数学。Soc.15（2002）第2期，497-529。
S.Fomin和A.Zelevensky，Y系统与广义协面体数学安。（2） 158（2003），第3期，977-1018。
Ivan Geffner、Marc Noy、，计算外平面映射，《组合数学电子杂志》24（2）（2017），#P2.3。
黄日军、费腾和伯峰，CHY公式中的置换，arXiv:1801.08965[hep-th]，2018年。
G.Kreweras等人，细分市场的繁荣1973年，巴黎大学统计研究所，Cahier 20，Cahiers Bureau Universityaire Recherche Opérationnelle。
G.Kreweras等人，细分市场的繁荣巴黎大学统计研究所，巴黎大学统计局，第20号（1973年）。（带注释的扫描副本）
G.Kreweras等人，与托托相容的地方，数学。科学。Humaines第53号（1976年），5-30。
G.Kreweras等人，与托托相容的地方，数学。科学。Humaines第53号（1976），5-30。（带注释的扫描副本）
T.Manneville和V.Pilaud，图形嵌套复合体的兼容性风扇，arXiv:1501.07152[math.CO]，2015年。
文森特·皮劳（Vincent Pilaud）和V.Pons，Permutrees树木，arXiv:1606.09643[math.CO]，2016-2017年。
R.西蒙，凸多面体与枚举，申请中的高级。数学。18（1997）第149-180页。
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配方奶粉
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G.f.G=G（t，z）满足（1+t）*G^2-z*（1-z-2*t*z）*G+t*z^4=0。
T（n，k）=二项式（n-3，k）*二项式（n+k-1，k）/（k+1），对于n>=3，0<=k<=n-3。
两个g.f.s（f1和f2）用于A033282号它们的倒数（x1和x2）可以从Drake和Barry参考中导出。
1.a:f1（x，t）=y={1-（2t+1）x-sqrt[1-（2t+1）2x+x^2]}/[2x（t+1）]=t x+（t+2 t^2）x^2+（t+5 t^2+5 t^3）x^3+。。。
b： x1=y/[t+（2t+1）y+（t+1）y^2]=y{1/[t/（t+1。。。
2.a:f2（x，t）=y={1-x-sqrt[（1-x）^2-4xt]}/[2（t+1）]=（t/（t+1））x+tx^2+（t+2t^2）x^3+（t+5t^2+5t^3）x^4+。。。
b： x2=y（t+1）[1-y（t＋1）]/[t＋y（t＋1）]=（t＋l）（y/t）-（t＋i）^3（y/t）^2+（t＋I）^4（y/t）^3+。。。
c： y/x2（y，t）=[t/（t+1）+y]/[1-y（t+1。。。
f1[xt，1/t]（t+1）为A060693号，逆y/[1+t+（2+t）y+y^2]。
f1[x（t-1），1/（t-1A001263号，逆y/[t+（1+t）y+y^2]。
通用公式：1/（1-x*y-（x+x*y）/-保罗·巴里2009年2月6日
设h（t）=（1-t）^2/（1+（u-1）*（1-t）^2）=1/（u+2*t+3*t^2+4*t^3+…），则A033282号由u^（2n-1）*（1/n！）*（（h（t）*d/dt）^n）t给出，在t=0时评估，初始n=2。h（t）的幂级数展开与181289英镑（参见。A086810型). -汤姆·科普兰2011年9月6日
在不同的偏移量下，行多项式等于1/（1+x）*Integral_{0..x}R（n，t）dt，其中R（n、t）=和{k=0..n}二项式（n，k）*二项式A063007号. -彼得·巴拉2016年6月23日
第n行多项式=（LegendreP（n-1,2*x+1）-LegendreP（n-3,2*x/1））/（（4*n-6）*x*（x+1）），n>=3-彼得·巴拉2017年2月22日
n*T（n+1，k）=（4n-6）*T（n，k-1）+（2n-3）*T-方立兴2019年5月7日
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例子
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三角形T（n，k）开始于：
否0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
3: 1
4: 1 2
5: 1 5 5
6: 1 9 21 14
7: 1 14 56 84 42
8: 1 20 120 300 330 132
9: 1 27 225 825 1485 1287 429
10: 1 35 385 1925 5005 7007 5005 1430
11: 1 44 616 4004 14014 28028 32032 19448 4862
12: 1 54 936 7644 34398 91728 148512 143208 75582 16796
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MAPLE公司
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T： =（n，k）->二项（n-3，k）*二项（n+k-1，k）/（k+1）：seq（seq（T（n，k），k=0..n-3），n=3..12）#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年11月24日
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数学
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t[n_，k_]=二项式[n-3，k]*二项式[n+k-1，k]/（k+1）；
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黄体脂酮素
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（PARI）Q=（1+z-（1-（4*w+2+O（w^20）））*z+z^2+O（z^20）（1/2））/（2*（1+w）*z）；对于（n=3,12，对于（m=1,n-2，打印1（polcoef（polceof（Q，n-2，z），m，w），“，”））\\雨果·普福尔特纳2018年11月19日
（PARI）对于（n=3，12，对于（k=0，n-3，print1（二项式（n-3，k）*二项式式（n+k-1，k）/（k+1），“，”））\\G.C.格鲁贝尔2018年11月19日
（岩浆）[[二项式（n-3，k）*二项式（n+k-1，k）/（k+1）：k in[0..（n-3）]]：n in[3..12]]//G.C.格鲁贝尔2018年11月19日
（Sage）[[二项式（n-3，k）*二项式[（n+k-1，k）/（k+1）for k in（0..（n-3））]for n in（3..12）]#G.C.格鲁贝尔2018年11月19日
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交叉参考
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对比对角线：A000012号,A000096号,A033275号,A033276号,A033277美元,A033278号,A033279号;A000108美元,A002054号,A002055号,A002056号,A007160号,A033280号,A033281号; 行总和：A001003号（施罗德数，第一项省略）。请参见A086810型用于其他版本。
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关键词
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作者
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扩展
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f1和f2的扩展缺少因子2，由汤姆·科普兰，2009年4月12日
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状态
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已批准
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1, 0, 1, 0, 1, 2, 0, 1, 5, 5, 0, 1, 9, 21, 14, 0, 1, 14, 56, 84, 42, 0, 1, 20, 120, 300, 330, 132, 0, 1, 27, 225, 825, 1485, 1287, 429, 0, 1, 35, 385, 1925, 5005, 7007, 5005, 1430, 0, 1, 44, 616, 4004, 14014, 28028, 32032, 19448, 4862, 0, 1, 54, 936, 7644, 34398, 91728
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,6
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评论
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使用多项式
P（0，t）=0
P（1，t）=1
P（2，t）=t
P（3，t）=t+2 t^2
P（4，t）=t+5 t^2+5 t^3
P（5，t）=t+9 t^2+21 t^3+14 t^4
o.g.f.A（x，t）={1+x-sqrt[（1-x）^2-4xt]}/[2（1+t）]（见Drake等人）。
B（x，t）=x-tx^2/（1-x）=x-t（x^2+x^3+x^4+…）是比较。在x中求逆。
设h（x，t）=1/（dB/dx）=（1-x）^2/（1+（1+t）*x*（x-2））=1/A181289号然后P（n，t）由（1/n！）（h（x，t）*d/dx）^n x给出，在x=0，A=exp（x*h（y，t）*d/dy）y，eval处计算。当y=0，dA/dx=h（A（x，t），t）时。这些结果是以下情况的特例A133437号其中u（x，t）=B（x，t），即u_1=1和（u_n）=-t，对于n>1。请参见A001003号对于t=1。（结束）
设U（x，t）=[A（x，t-）-x]/t，然后U（x、0）=-dB（x、t）/dt，U满足dU/dt=UdU/dx，即无粘Burgers方程（维基百科），也称为Hopf方程（见Buchstaber等人）。由于U（x，0）=[x-B（x，t）]/t，因此U（x、t）=U（A（x，t），0）=U（x+tU，0）-汤姆·科普兰2012年3月12日
T（r，s）是具有s段的[0，r]覆盖层次结构的数量（参见Kreweras）-米歇尔·马库斯2014年11月22日
T（n，k）是小Schröder n路径（使用步骤U=（1,1），F=（2,0），D=（1，-1），x轴上没有F步骤，从（0,0）到（2n，0）的晶格路径）的数量，该路径正好有k个U步骤。
T（n，k）是正好有n+1个叶子和k个内部节点的Schröder树（平面根树，其中每个内部节点至少有两个子节点）的数量。（结束）
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链接
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G.Chatel、V.Pilaud、，寒武纪Hopf代数，arXiv:1411.3704[math.CO]，2014-2015年。
G.Kreweras等人，细分市场的繁荣《巴黎大学统计研究所》，巴黎大学，1973年，第21-22页。
G.Kreweras等人，细分市场的繁荣巴黎大学统计研究所，巴黎大学统计局，第20号（1973年）。（带注释的扫描副本）
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配方奶粉
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按行读取三角形T（n，k）；由[0,1,0,1,0,1，0,1，…]DELTA[1,1,1,1,1，1,1，…]给出，其中DELTA是在A084938号.
对于k>0，T（n，k）=二项（n-1，k-1）*二项（n+k，k）/（n+1）；如果n>0，T（0，0）=1和T（n，0）=0。[更正人马尔科·里德尔2023年5月4日]
Umbrally，P（n，t）=Lah[n-1，-t*a.]/n！=（1/n）*Sum_{k=1..n-1}二项式（n-2，k-1）a_k t^k/k！，其中（a.）^k=a_k=（n-1+k）/（n-1）！，上升阶乘，Lah（n，t）=n*拉盖尔（n，-1，t）是拉赫多项式A008297号与一阶拉盖尔多项式有关-汤姆·科普兰2014年10月4日
T（n，k）=二项（n，k）*二项（n+k，k-1）/n，对于k>=0；T（0，0）=1（见Kreweras，第21页）-米歇尔·马库斯2014年11月22日
P（n，t）=Lah[n-1，-：Dt:]/n！t^（n-1）与（：Dt:）^k=（d/Dt）^k t^k=k！拉盖尔（k，0，-：tD:），其中（：tD：）^j=t^j D^jA021009型. -汤姆·科普兰2016年8月22日
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例子
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三角形开始：
1;
0, 1;
0, 1, 2;
0, 1, 5, 5;
0, 1, 9, 21, 14;
...
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数学
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表[If[n==0，1，Binominal[n，k]Binominal[n+k，k-1]/n]，{n，0，10}，{k，0，n}]//展平(*迈克尔·德弗利格2016年8月22日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）t（n，k）=如果（n==0，1，二项式（n，k）*二项式（n+k，k-1）/n）；
tabl（nn）={表示（n=0，nn，表示（k=0，n，打印1（t（n，k），“，”）；）；}\\米歇尔·马库斯2014年11月22日
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交叉参考
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对角线：A000007号,A000012号,A000096号,A033275号,A033276号,A033277号,A033278号,A033279号,A000108美元,A002054号,A002055号,A002056号,A007160号,A033280号,A033281号.
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关键词
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作者
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扩展
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状态
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已批准
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A126216号
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| 按行读取的三角形：T（n，k）是半长度n的Schroeder路径的数量，该路径恰好包含k个峰值，但在一级没有峰值（n>=1；0<=k<=n-1）。 |
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17
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1、2、1、5、5、1、14、21、9、1、42、84、56、14、1、132、330、300、120、20、1、429、1287、1485、825、225、27、1、1430、5005、7007、5005、1925、385、35、1、4862、19448、32032、28028、14014、4004、616、44、1、16796、75582、143208、148512、91728、34398、7644、936、54、1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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半长n的Schroeder路径是第一象限中从原点到点（2n，0）的晶格路径，由步骤U=（1,1），D=（1，-1）和H=（2,0）组成。
另外，半长n的Schroeder路径数在0级（n>=1；0<=k<=n-1）正好包含k个双峰，但没有（2,0）步。还有半长n的双色双上升Dyck路径（双上升有两种颜色；也称为标记Dyck路径）的数量，并且具有给定颜色的k个双上升（n>=1；0<=k<=n-1）。此外，[2n]上12312和121323个无效匹配的数量正好有k个交叉点。
本质上是由[1,1,1,1,1,1,1,1,1，…]DELTA[0,1,0,1,0,0,1,1,1，…]给出的三角形，其中DELTA是在A084938号. -菲利普·德莱厄姆2007年10月20日
有关拉格朗日反演或级数反演以及结合面体或斯塔舍夫多边形（以及其他组合对象）的几何关系，请参见A133437号. -汤姆·科普兰2008年9月29日
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链接
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W.Y.C.Chen、T.Mansour和S.H.F.Yan，避免部分模式的匹配《组合数学电子杂志》，2006年第13期，#112，定理3.3。
Rosena R.X.Du、Xiaojie Fan、Yue Zhao、，形状2 X n的行递增表上的枚举，arXiv:1803.01590[math.CO]，2018年。
Jean-Christophe Novelli和Jean-Yves Thibon，双代数与拉格朗日反演，arXiv预印本arXiv:1209.5959[math.CO]，2012。
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配方奶粉
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T（n，k）=C（n，k）*C（2*n-k，n+1）/n（0<=k<=n-1）。
G.f.：G（t，z）=（1-2*z-t*z-sqrt（1-4*z-2*t*z+t^2*z^2））/（2*（1+t）*z）。
通用公式：1/（1-x-（x+xy）/（1-xy/（1-（x+xy）/（1-xy/（1-x+xy）/（-1-xy/（-1-….（连分数））-保罗·巴里2009年2月6日
使用多项式
P（0，t）=0
P（1，t）=1
P（2，t）=1
P（3，t）=2+t
P（4，t）=5+5 t+t^2
P（5，t）=14+21t+9t^2+t^3
o.g.f.A（x，t）=（1+x*t-sqrt（（1-x*t）^2-4x））/（2（1+t）），以及
B（x，t）=x-x ^2/（1-t*x）=x-x ^2-（（t*x）^3+（t*x）^4+…）/t^2是x中的成分反转汤姆·科普兰，2019年12月10日]
设h（x，t）=1/（dB/dx）=（1-tx）^2/（1-（t+1）（2x-tx^2））=1/（1-2x-3tx^2+4t^2x^3+…）。然后P（n，t）=（1/n！）（h（x，t）*d/dx）^n x，在x=0时求值，A=exp（x*h（u，t）*d/du）u，在u=0时求值，dA/dx=h（A（x，t），t）。（结束）
上面我2011年公式条目中的多项式计算为加泰罗尼亚数字的充气交替符号序列A000108美元t=-2。前几个是P（2，-2）=1，P（3，-2）=0，P（4，t）=-1，P（5，-2）=0，P。
在第32-34页的Mizera中，将w=θ和u=φ之间的关系推广为w=i*B（-i*u，t）=u+i*u^2/（1+i*t*u），其中i是虚数，u=i*A（-i*w，t）=i*（1-i*w*t-sqrt（（1+i*w*t）^2+i*4*w））/（2（1+t））。然后，Mizera中V'（w）的表达式推广到V'（w）=-i*（w-u），并在t=-2处求值时，减少到V’（w）=（1-sqrt（1-4w^2））/2，这是一个o.g.fA126120号参见A086810型.（结束）
求和{k=0..n-1}（-1）^k*T（n，k）*二项式（x+2*n-k，2*n-k）=（（x+1）*（乘积{k=2..n}（x+k）^2）*（x+n+1））/（n！*（n+1）！）对于n>=1。囊性纤维变性。A243660型和A243661型. -彼得·巴拉2022年10月8日
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例子
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T（3,1）=5，因为我们有HUUDD、UUDDH、UUUDDD、UHUDD和UUDHD。
三角形开始：
否0 1 2 3 4 5 6 7 8
1 1;
2 2，1；
3、5、5；1;
4 14, 21, 9, 1;
5 42, 84, 56, 14, 1;
6 132、330、300、120、20、1；
7 429, 1287, 1485, 825, 225, 27, 1;
8 1430, 5005, 7007, 5005, 1925, 385, 35, 1;
9 4862, 19448, 32032, 28028, 14014, 4004, 616, 44, 1;
10 ...
三角形[1,1,1,1,1,1,1，…]三角形[0,1,0,1,0,0,1,1,1，…]开始于：
1;
1, 0;
2, 1, 0;
5, 5, 1, 0;
14, 21, 9, 1, 0;
42, 84, 56, 14, 1, 0;
...
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MAPLE公司
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T： =（n，k）->二项式（n，k）*二项式以三角形形式生成序列
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数学
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表[二项式[n，k]二项式[2n-k，n+1]/n，{n，10}，{k，0，n-1}]//展平(*迈克尔·德弗利格，2016年1月9日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）表（nn）={mP=矩阵（nn，nn，n，k，二项式（n-1，k-1）\\米歇尔·马库斯2015年4月16日
（PARI）
t（n，k）=二项（n，k）*二项（2*n-k，n+1）/n；
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交叉参考
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关键词
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已批准
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A133336号
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| 三角形T（n，k），0<=k<=n，按行读取，由[1,1,1,1,1，…]DELTA[0,1,0,1,0,0,1,1,0，…]给出，其中DELTA是在A084938号. |
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+10
7
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1, 1, 0, 2, 1, 0, 5, 5, 1, 0, 14, 21, 9, 1, 0, 42, 84, 56, 14, 1, 0, 132, 330, 300, 120, 20, 1, 0, 429, 1287, 1485, 825, 225, 27, 1, 0, 1430, 5005, 7007, 5005, 1925, 385, 35, 1, 0, 4862, 19448, 32032, 28028, 14014, 4004, 616, 44, 1, 0, 16796, 75582, 143208, 148512, 91728, 34398, 7644, 936, 54, 1, 0
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,4
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评论
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链接
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W.Y.C.Chen、T.Mansour和S.H.F.Yan，避免局部图案的搭配《组合数学电子杂志》，2006年第13期，#112，定理3.3。
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配方奶粉
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总和_｛k=0..n｝T（n，k）*x^k=A000108美元（n） ，A001003号（n） ，A007564号（n） ，A059231号（n） ，A078009号（n） ，A078018号（n） ，A081178号（n） ，A082147号（n） ，A082181号（n） ，A082148号（n） ，A082173号（n） x=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10。
T（n，k）=二项式（n-1，k）*二项式（2n-k，n）/（n+1），k<=n-菲利普·德莱厄姆2009年11月2日
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例子
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三角形开始：
1;
1，0；
2, 1, 0;
5, 5, 1, 0;
14、21、9、1、0；
42, 84, 56, 14, 1, 0;
132, 330, 300, 120, 20, 1, 0;
429, 1287, 1485, 825, 225, 27, 1, 0;
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数学
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表[二项式[n-1，k]*二项式[2*n-k，n]/（n+1），{n，0，10}，{k，0，n}]//展平(*G.C.格鲁贝尔2018年2月5日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）对于（n=0，10，对于（k=0，n，print1（二项式（n-1，k）*二项式，（2*n-k，n）/（n+1），“，”））\\G.C.格鲁贝尔2018年2月5日
（岩浆）[[二项式（n-1，k）*二项式（2*n-k，n）/（n+1）：k in[0..n]]：n in[0..10]]//G.C.格鲁贝尔2018年2月5日
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