搜索： a033185-编号：a033155
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A005197号
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| a（n）=总和_t t*F（n，t），其中F（n、t）（参见A033185号)是具有n个（未标记）节点和t个根树的根森林数。
（原名M2663）
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+20
5
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1, 3, 7, 17, 39, 96, 232, 583, 1474, 3797, 9864, 25947, 68738, 183612, 493471, 1334143, 3624800, 9893860, 27113492, 74577187, 205806860, 569678759, 1581243203, 4400193551, 12273287277, 34307646762, 96093291818, 269654004899, 758014312091, 2134300171031
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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参考文献
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N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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E.M.Palmer和A.J.Schwenk，关于随机森林中的树数《组合理论》，B 27（1979），109-121。
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配方奶粉
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要得到a（n），取三角形的第n行A033185号，将连续项乘以1、2、3。。。和总和。例如a（4）=1*4+2*3+3*1+4*1=17。
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MAPLE公司
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带有（数字理论）：
t： =proc（n）选项记忆；局部d，j`如果`（n<=1，n，
（加（加（d*t（d），d=除数（j））*t（n-j），j=1..n-1））/（n-1）
结束时间：
b： =proc（n，i，p）选项记忆`if`（p>n，0，`if`（n=0，1，
`如果`（min（i，p）<1，0，加上（b（n-i*j，i-1，p-j）*
二项式（t（i）+j-1，j），j=0..分钟（n/i，p））
结束时间：
a： =a->加（k*b（n，n，k），k=1..n）：
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数学
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t[1]=1；t[n_]：=t[n]=模[{d，j}，和[Sum[d*t[d]，{d，除数[j]}]*t[n-j]，{j，1，n-1}]/（n-1）]；b[1,1,1]=1；b[n_，i_，p]：=b[n，i，p]=如果[p>n，0，如果[n==0，1，如果[Min[i，p]<1，0，总和[b[n-i*j，i-1，p-j]*二项式[t[i]+j-1，j]，{j，0，Min[n/i，p]}]]；a[n]：=和[k*b[n，n，k]，{k，1，n}]；表[a[n]//FullSimplify，｛n，1，30｝](*Jean-François Alcover公司2014年3月13日之后阿洛伊斯·海因茨*)
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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已批准
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A000081号
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| 具有n个节点（或具有固定点的连接函数）的未标记根树的数量。
（原名M1180 N0454）
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689
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0, 1, 1, 2, 4, 9, 20, 48, 115, 286, 719, 1842, 4766, 12486, 32973, 87811, 235381, 634847, 1721159, 4688676, 12826228, 35221832, 97055181, 268282855, 743724984, 2067174645, 5759636510, 16083734329, 45007066269, 126186554308, 354426847597, 997171512998
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0.4
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评论
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此外，排列n-1个非重叠圆的方法有很多：例如，有4种方法可以排列3个圆，用（（O））、（OO）、（O）O、OOO表示，也可以参见示例。（当然，这里的规则不同于常见的计数括号问题-比较A000108号，A001190型，A001699号参见斯隆链接的证明和沃格勒链接的图解（7）作为6个圆圈的排列。
取一个由n个x组成的字符串，以所有可能的合法方式插入n-1^和n-1对括号（参见。A003018号). 序列给出了不同功能的数量。单节点树为“x”。使节点f2成为f1的子节点表示f1^f2。由于（f1^f2）^f3只是f1^（f2*f3），我们可以将其视为f1同时提升到f2和f3，也就是说，f1将f2和f三作为子代。例如，对于n=4，不同的函数是（x^x）^x；（x^（x^x））^x；x^（（x^x）^x）；（x^（x^x））-W·埃德温·克拉克和俄罗斯考克斯2003年4月29日；已由更正凯斯·布里格斯2005年11月14日
此外，除了一个循环外，n阶无圈的连通多重图的数目-华盛顿·邦菲姆2010年9月4日
此外，具有n+1个节点的已种植树木的数量。
Genitrini（2016）也称为“Polya树”-N.J.A.斯隆2017年3月24日
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参考文献
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F.Bergeron、G.Labele和P.Leroux，组合物种和树状结构，坎布。1998年，第279页。
N.L.Biggs等人，《图论1736-1936》，牛津，1976年，第42、49页。
Miklos Bona，编辑，《枚举组合数学手册》，CRC出版社，2015年，第305998页。
A.Cayley，《关于树的分析形式及其在化学组合理论中的应用》，英国协会进展报告。科学。45（1875），257-305=数学。论文，第9卷，427-460（见第451页）。
J.L.Gross和J.Yellen编辑，《图论手册》，CRC出版社，2004年；第526页。
F.Harary，图论。Addison-Wesley，马萨诸塞州雷丁，1969年，第232页。
F.Harary和E.M.Palmer，《图形计数》，纽约学术出版社，1973年，第54和244页。
亚历山大·卡彭科（Alexander S.Karpenko），《ukasiewicz Logics and Prime Numbers》，Luniver Press，Beckington，2006年，第82页。
D.E.Knuth，《计算机编程的艺术》，第1卷：基本算法，3d Ed.1997，第386-388页。
D.E.Knuth，《计算机编程艺术》，第1卷，第3版，《基本算法》，第395页，例2。
D.E.Knuth，TAOCP，第4卷，第7.2.1.6节。
G.Polya和R.C.Read，群、图和化学化合物的组合计数，Springer-Verlag，1987年，第63页。
R.C.Read和R.J.Wilson，《图形地图集》，牛津，1998年。【Neven Juric的评论：第64页错误地给出了a（21）=35224832。】
J.Riordan，《组合分析导论》，威利出版社，1958年，第138页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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M.J.H.Al Kaabi、D.Manchon和F.Patras，自由李代数的单项基和预李结构，arXiv:1708.08312[math.RA]，2017年，见第5页。
A.凯利，关于树的分析形式阿默尔。数学杂志。，第4卷（1881年），第266-268页。
巴托梅·菲尔（Bartomeu Fiol）、杰罗·马丁内斯·蒙托亚（Jairo Martínez-Montoya）和阿兰·里奥斯·福克尔曼（Alan Rios Fukelman），N=2超热场理论的平面极限，arXiv:2003.02879[hep-th]，2020年。
P.Flajolet和R.Sedgewick，分析组合数学, 2009; 见第71页。
Bernhard Gittenberger、Emma Yu Jin和Michael Wallner，关于随机Pólya结构的形状，arXiv | 1707.02144[math.CO]，2017-2018；离散数学。，341 (2018), 896-911.
F.Goebel和R.P.Nederpelt，迭代幂的数值结果数阿默尔。数学。月刊，80（1971），1097-1103。
Ivan Gutman和Yeong-Nan Yeh，从Matula数推导树的性质《数学研究所出版物（贝尔格莱德）》（N.S.），第53卷（67），第17-22页（1993）。
R.K.Guy和J.L.Selfridge，梯形括号的筑巢和栖息习惯阿默尔。数学。月刊80（8）（1973），868-876。
F.Harary和R.W.Robinson，无枝树的数量，Jnl。Reine Angewandte Mathematik莱因·安格万特·马塞马提克278（1975），322-335。（带注释的扫描副本）
R.Harary和R.W.Robinson，同构因子分解VIII：可分树，Combinatorica 4（2）（1984）169-179，等式（4.3）
E.Kalinowski和W.Gluza，强耦合极限下Hubbard模型高阶项的估计，arXiv:1106.4938[cond-mat.str-el]，2011（物理评论B 85，0451052012年1月）。
P.Leroux和B.Miloudi，水獭的形式，《科学年鉴》。数学。魁北克，第16卷，第1期，第53-80页，1992年。（带注释的扫描副本）
E.M.Palmer和A.J.Schwenk，关于随机森林中的树数《组合理论》，B 27（1979），109-121。
N.Pippenger，等色树的计数，SIAM J.离散数学。，14 (2001), 93-115.
罗杰·福格勒，六个圆2015年（a（7）的图解为六个圆圈的排列数）。
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配方奶粉
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G.f.A（x）满足A（x[波利亚]
同时A（x）=和{n>=1}A（n）*x^n=x/Product_{n>=1}（1-x^n）^A（n）。
递归：a（n+1）=（1/n）*和{k=1..n}（和{d|k}d*a（d））*a（n-k+1）。
渐近c*d^n*n^（-3/2），其中c=A187770号=0.439924…和d=A051491号=2.955765…[波利亚；克努特，第7.2.1.6节]。
欧拉变换是偏移量为-1的序列本身-迈克尔·索莫斯2001年12月16日
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例子
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G.f.=x+x^2+2*x^3+4*x^4+9*x^5+20*x^6+48*x^7+115*x^8+。。。
具有6个节点的a（6）=20树具有以下级别序列（根级别=0）和括号单词：
01: [ 0 1 2 3 4 5 ] (((((())))))
02: [ 0 1 2 3 4 4 ] ((((()()))))
03: [ 0 1 2 3 4 3 ] ((((())())))
04: [ 0 1 2 3 4 2 ] ((((()))()))
05: [ 0 1 2 3 4 1 ] ((((())))())
06: [ 0 1 2 3 3 3 ] (((()()())))
07: [ 0 1 2 3 3 2 ] (((()())()))
08: [ 0 1 2 3 3 1 ] (((()()))())
09: [ 0 1 2 3 2 3 ] (((())(())))
10: [ 0 1 2 3 2 2 ] (((())()()))
11: [ 0 1 2 3 2 1 ] (((())())())
12: [ 0 1 2 3 1 2 ] (((()))(()))
13: [ 0 1 2 3 1 1 ] (((()))()())
14: [ 0 1 2 2 2 2 ] ((()()()()))
15: [ 0 1 2 2 2 1 ] ((()()())())
16:[0 1 2 2 1 2]（（（）（））（（）））
17: [ 0 1 2 2 1 1 ] ((()())()())
18: [ 0 1 2 1 2 1 ] ((())(())())
19: [ 0 1 2 1 1 1 ] ((())()()())
20: [ 0 1 1 1 1 1 ] (()()()()())
（结束）
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MAPLE公司
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N:=30:a:=[1，1]；对于从3到n的n，dox*mul（（1-x^i）^（-a[i]），i=1..n-1）；系列（%，x，n+1）；b：=系数（%，x，n）；a:=[操作（a），b]；od:a；A000081号：=过程（n），如果n=0，则为1，否则为a[n]；fi；结束；G000081:=系列（添加（a[i]*x^i，i=1..N），x，N+2）；#也用于A000055号
规格：=[T，{T=生产（Z，集（T））}]；A000081号：=n->combstruct[count]（规范，大小=n）；[seq（combstruct[count]（规范，大小=n），n=0..40）]；
#用Maple计算结果的更有效方法。它使用两个过程：
a:=进程（n）局部k；a（n）：=添加（k*a（k）*s（n-1，k），k=1..n-1）/（n-1）结束过程：
a（0）：=0:a（1）：=1:s：=proc（n，k）局部j；s（n，k）：=加（a（n+1-j*k），j=1..iquo（n，k））；#Joe Riel（joer（AT）san.rr.com），2008年6月23日
#更有效的方法是使用Euler变换：
with（numtheory）：a:=proc（n）选项记住；局部d，j`如果`（n<=1，n，（add（add）（d*a（d），d=除数（j））*a（n-j），j=1..n-1））/（n-1））结束：
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数学
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s[n_，k_]：=s[n，k]=a[n+1-k]+如果[n<2k，0，s[n-k，k]]；a[1]=1；a[n]：=a[n]=和[a[i]s[n-1，i]i，{i，1，n-1}]/（n-1）；表[a[i]，{i，1，30}](*罗伯特·拉塞尔*)
a[n_]：=a[n]=如果[n<=1，n，和[a[n-j]除数和[j，#a[#]&]，{j，n-1}]/（n-1）]；表[a[n]，{n，0，30}](*简·曼加尔丹，2014年5月7日，之后阿洛伊斯·海因茨*)
（*首先做*）<<数值微分方程分析`；（*然后*）
a[n:0|1]：=n；a[n]：=a[n]=和[ma[m]a[n-k*m]，{m，n-1}，{k，（n-1）/m}]/（n-1；表[a[n]，{n，0，30}](*弗拉基米尔·雷舍特尼科夫2015年11月6日*）
条款=31；A[_]=0；Do[A[x_]=x*Exp[Sum[A[x^k]/k，{k，1，j}]]+O[x]^j//正常，{j，1，terms}]；系数列表[A[x]，x](*Jean-François Alcover公司2018年1月11日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=局部（a=x）；如果（n<1，0，对于（k=1，n-1，a/=（1-x^k+x*O（x^n））^polceoff（a，k））；polceof（a，n））}/*迈克尔·索莫斯2002年12月16日*/
（PARI）{a（n）=局部（a，A1，an，i）；如果（n<1，0，an=Vec（a=A1=1+O（x^n））；对于（m=2，n，i=m\2；an[m]=和（k=1，i，an[k]*an[m-k]）+极坐标（如果（m%2，a*=（A1-x^i）^-an[i]，a），m-1）；an[n]）}/*迈克尔·索莫斯2003年9月5日*/
（PARI）N=66；A=矢量（N+1，j，1）；
对于（n=1，n，A[n+1]=1/n*sum（k=1，n，sumdiv（k，d，d*A[d]）*A[n-k+1]）；
（岩浆）N:=30；P＜x＞：=PowerSeriesRing（理性（），N+1）；f:=func<A|x*&*[Exp（Evaluate（A，x^k）/k）:k in[1.N]]>；G:=x；对于[1..N]中的i，G：=f（G）；结束；G000081:=G；A000081号：=[0]cat Eltseq（G）；//Geoff Bailey（Geoff（AT）mathemath.usyd.edu.au），2009年11月30日
（最大值）
g（m）：=块（[si，v]，s:0，v:除数（m），对于v do中的si（s:s+r（m/si）/si），s）；
r（n）：=如果n=1，则1其他和（Co（n-1，k）/k！，k、 1，n-1）；
Co（n，k）：=如果k=1，则g（n）其他和（g（i+1）*Co（n-i-1，k-1），i，0，n-k）；
（哈斯克尔）
导入数据。列表（genericIndex）
a000081=通用索引a000081_llist
a000081_list=0:1:f 1[1，0]其中
f x ys=y:f（x+1）（y:ys）其中
y=总和（zipWith（*）（映射h[1..x]）ys）`div`x
h=总和。地图（\d->d*a000081 d）。a027750_低
（鼠尾草）
@缓存函数
定义a（n）：
如果n<2：返回n
返回加法（除数（j）中d的加法（d*a（d））*a（n-j）（1,.n-1）中j的加法）/（n-1）
（鼠尾草）[0]+[根树（n）.范围（1，31）中n的基数（）]#弗雷迪·巴雷拉2019年4月7日
（Python）
从functools导入lru_cache
从sympy导入除数
@lru_cache（最大大小=无）
def divisor_tuple（n）：#缓存的无序除数元组
返回元组（除数（n，生成器=True））
@lru_cache（最大大小=无）
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交叉参考
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关键词
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非n，容易的，核心，美好的，特征
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作者
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状态
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已批准
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A105599号
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| 按行读取的三角形：T（n，m）=具有n个节点和m个标记树的森林数。还有n个标记节点上具有n-m条边的森林数。 |
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+10
23
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1, 1, 1, 3, 3, 1, 16, 15, 6, 1, 125, 110, 45, 10, 1, 1296, 1080, 435, 105, 15, 1, 16807, 13377, 5250, 1295, 210, 21, 1, 262144, 200704, 76608, 18865, 3220, 378, 28, 1, 4782969, 3542940, 1316574, 320544, 55755, 7056, 630, 36, 1, 100000000, 72000000, 26100000, 6258000, 1092105, 143325, 14070, 990, 45, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,4
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评论
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置换面体（R^n中1，…，n上置换的凸包）具有Ehrhart多项式Sum_{k=0..n-1}T（n，n-k）T^k-马蒂厄·约苏阿特·维格斯2018年3月31日
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参考文献
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B.Bollobas，图论-入门课程（Springer-Verlag，纽约，1979年）
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链接
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配方奶粉
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T（n，m）=Sum_{k=1..n-m+1}二项式（n-1，k-1）*k^（k-2）*T（n-k，m-1），如果n>0，T（n、0）=0，则T（0,0）=1-弗拉德塔·乔沃维奇和华盛顿·邦菲姆
T（n，m）的值可以通过Bollobas第172页练习44中的公式进行计算。T（n，m）=n，1*K（1）+2*K（2）+…+的分区上的和n/Dn*K（n），正好有m个部分，其中n=n！*产品{i=1..n}i^（（i-2）*K（i））和D=产品{i=1..n}（K（i！*（i！）^K（i））。
例如：A（x，t）：=exp（t*f（x））=1+t*x+（t+t^2）*x^2/2！+（3*t+3*t^2+t^3）*x^3/3！+。。。，其中F（x）=和{n>=1}n^（n-2）*x^n/n！是标记树的e.f.（参见A000272号). 因此，行多项式R（n，t）是二项式多项式序列。
对A（x，t）w.r.t.x进行微分，得到A'（x，t）=t*A（x、t）*F'（x），从而得到行多项式r（n，t）=t*和{k=0..n-1}（k+1）^（k-1）*二项式（n-1，k）*r（n-k-1，t）的递推方程，其中r（0，t）=1和r（1，t。
（结束）
T（n，m）=（1/m！）*和{j=0..m}（-1/2）^j*二项式（m，j）*二项法（n-1，m+j-1）*n^（n-m-j）*（m+j）！。应付A.Renyi-马克斯·阿列克塞耶夫2014年10月8日
T（n，m）=（n！/m！）*和{k_1+…+k_m=n，k_i>=1}乘积{j=1..m}k_j^（k_j-2）/k_j！。参见Britikov参考-罗兰·文斯2020年4月18日
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例子
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T（3，2）=3，因为有3个这样的森林，有3个节点和2棵树。
三角形开始：
1;
1, 1;
3, 3, 1;
16, 15, 6, 1;
125, 110, 45, 10, 1;
1296, 1080, 435, 105, 15, 1;
16807, 13377, 5250, 1295, 210, 21, 1;
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MAPLE公司
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T： =proc（n，m）选项记忆；
如果n＜0，则为0
elif n=m，然后1
elif m<1或m>n然后为0
否则加上（二项式（n-1，j-1）*j^（j-2）*T（n-j，m-1），j=1..n-m+1）
fi（菲涅耳）
结束时间：
seq（seq（T（n，m），m=1..n），n=1..12）#阿洛伊斯·海因茨2008年9月10日
#将（1，0，0，…）添加为列0。
贝尔矩阵（n->（n+1）^（n-1），9）#彼得·卢什尼2016年1月27日
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数学
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f[list_]：=选择[list，#>0&]；压扁[Map[f，Transpose[Table[t=Sum[n^（n-2）x^n/n！，{n，1，20}]；放下[Range[0,8]！系数列表[级数[t^k/k！，{x，0，8}]，x]，1]，{k，1，8}]](*杰弗里·克雷策2011年11月22日*）
行=10；
t=表[（n+1）^（n-1），{n，0，行}]；
T[n_，k_]：=腹部[n，k，T]；
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黄体脂酮素
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（PARI）{T（n，m）=和（j=0，m，（-1/2）^j*二项式（m，j）*二项式（n-1，m+j-1）*n^（n-m-j）*（m+j）！）/m！}/*马克斯·阿列克塞耶夫2014年10月8日*/
（GAP）平面（列表（[1..11]，n->列表（[1.n]，m->（1/阶乘（m）*总和（[0..m]，j->（-1/2）^j*二项式（m，j）*二项法（n-1，m+j-1）*n^（n-m-j）*阶乘（m+j））））#穆尼鲁·A·阿西鲁，2018年4月1日
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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已批准
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0, 1, 1, 3, 6, 16, 37, 96, 239, 622, 1607, 4235, 11185, 29862, 80070, 216176, 586218, 1597578, 4370721, 12003882, 33077327, 91433267, 253454781, 704429853, 1962537755, 5479855546, 15332668869, 42983656210, 120716987723, 339596063606, 956840683968
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,4
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评论
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共有n个节点的无序根树对数。
等价地，n+1节点上根的阶数为2的根树的数目。
循环长度为2的n个节点的单循环图的数量（换言之，一个双边）-华盛顿·邦菲姆2020年12月2日
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链接
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配方奶粉
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G.f.:A（x）=（B（x）^2+B（x^2））/2其中B（xA000081号.
a（n）=和{k=1..（n-1）/2}（f（k）*f（n-k））+[n模2=0]*（f（n/2）^2+f（n%2））/2，其中f（n）=A000081号（n） ●●●●-华盛顿·邦菲姆2012年7月6日和2020年12月1日
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MAPLE公司
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with（numtheory）：b:=proc（n）选项记住；局部d，j`如果`（n<=1，n，（add（add）（d*b（d），d=除数（j））*b（n-j），j=1..n-1））end:a:=n->（add#阿洛伊斯·海因茨，2008年8月22日，2011年10月7日修订
#第二，可重用版本
当地dh，Nprime；
dh:=0；
对于Nprime从0到N do
结束do：
如果类型为（N，“偶数”），则
结束条件：；
dh/2；
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数学
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需要[“Combinatorica`”]；nn=30；s[n_，k_]：=s[n，k]=a[n+1-k]+如果[n<2k，0，s[n-k，k]]；a[1]=1；a[n]：=a[n]=和[a[i]s[n-1，i]i，{i，1，n-1}]/（n-1）；rt=表[a[i]，{i，1，nn}]；取[CoefficientList[CycleIndex[DihedralGroup[2]，s]/。表[s[j]->表[Sum[rt[[i]]x^（k*i），{i，1，nn}]，{k，1，nn}][[j]]，{j，1，nne}]，x]，{2，nn}](*杰弗里·克雷策，2012年10月12日，根据罗伯特·拉塞尔在里面A000081号*)
b[n]：=b[n]=如果[n<=1，n，（总和[Sum[d b[d]，{d，Divisors[j]}]b[n-j]，{j，1，n-1}]）/（n-1）]；
a[n_]：=（总和[b[i]b[n-i]，{i，0，n}]+如果[Mod[n，2]==0，b[n/2]，0]）/2；
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黄体脂酮素
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（PARI）seq（max_n）={my（V=f=向量（max_n），i=1，s）；f[1]=1；
对于（j=1，maxn-1，f[j+1]=1/j*和（k=1，j，sumdiv（k，d，d*f[d]）*f[j-k+1））；
对于（n=1，max_n，s=和（k=1，（n-1）/2，（f[k]*f[n-k]））；
如果（n%2==1，V[i]=s，V[i]=s+（f[n/2]^2+f[n/2）/2）；i++）；V}；
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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已批准
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A339428型
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| 行读取的三角形：T（n，k）是n个点上具有长度为k的循环的连接函数数。 |
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+10
15
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1, 1, 1, 2, 1, 1, 4, 3, 1, 1, 9, 6, 3, 1, 1, 20, 16, 9, 4, 1, 1, 48, 37, 23, 11, 4, 1, 1, 115, 96, 62, 35, 14, 5, 1, 1, 286, 239, 169, 97, 46, 18, 5, 1, 1, 719, 622, 451, 282, 145, 63, 21, 6, 1, 1, 1842, 1607, 1217, 792, 440, 206, 80, 25, 6, 1, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,4
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链接
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配方奶粉
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第k列的G.f:（1/k）*Sum_{d|k}φ（d）*r（x^d）^（k/d）其中r（x）是的G.fA000081号.
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例子
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三角形开始：
1;
1, 1;
2, 1, 1;
4, 3, 1, 1;
9, 6, 3, 1, 1;
20, 16, 9, 4, 1, 1;
48, 37, 23, 11, 4, 1, 1;
115, 96, 62, 35, 14, 5, 1, 1;
286, 239, 169, 97, 46, 18, 5, 1, 1;
719, 622, 451, 282, 145, 63, 21, 6, 1, 1;
...
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黄体脂酮素
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树Gf（N）={my（A=向量（N，j，1））；对于（N=1，N-1，A[N+1]=1/N*和（k=1，N，sumdiv（k，d，d*A[d]）*A[N-k+1]）；x*Ser（A）}
列序列（n，k）={my（r=TreeGf（max（0，n+1-k））；向量（sumdiv（k，d，eulerphi（d）*subst（r+O（x*x^（n\d）），x，x^d）^（k/d））/k，-n）}
M（n，M=n）=Mat（向量（M，k，列序列（n，k）~））
{my（T=M（12））；对于（n=1，#T~，打印（T[n，1..n]））}
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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已批准
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A339067型
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| 行读取的三角形：T（n，k）是具有n个节点和k个根树的线性森林的数量。 |
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+10
11
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1, 1, 1, 2, 2, 1, 4, 5, 3, 1, 9, 12, 9, 4, 1, 20, 30, 25, 14, 5, 1, 48, 74, 69, 44, 20, 6, 1, 115, 188, 186, 133, 70, 27, 7, 1, 286, 478, 503, 388, 230, 104, 35, 8, 1, 719, 1235, 1353, 1116, 721, 369, 147, 44, 9, 1, 1842, 3214, 3651, 3168, 2200, 1236, 560, 200, 54, 10, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,4
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评论
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T（n，k）是n个节点以两个互不可交换的节点为根，彼此之间距离为k-1的树的数量。
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链接
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配方奶粉
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例子
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三角形开始：
1;
1, 1;
2, 2, 1;
4, 5, 3, 1;
9, 12, 9, 4, 1;
20, 30, 25, 14, 5, 1;
48、74、69、44、20、6、1；
115, 188, 186, 133, 70, 27, 7, 1;
286, 478, 503, 388, 230, 104, 35, 8, 1;
719, 1235, 1353, 1116, 721, 369, 147, 44, 9, 1;
...
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MAPLE公司
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b： =proc（n）选项记忆`如果`（n<2，n，（加上（d*b（d），
d=数值[除数]（j））*b（n-j），j=1..n-1））/（n-1））
结束时间：
T： =proc（n，k）选项记忆`如果`（k=1，b（n），（t->
加（T（j，T）*T（n-j，k-T），j=1..n-1））（iquo（k，2））
结束时间：
seq（seq（T（n，k），k=1..n），n=1..12）#阿洛伊斯·海因茨2020年12月4日
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数学
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b[n]：=b[n]=如果[n<2，n，（总和[d*b[d]，{d，除数[j]}]*b[n-j]，{j，1，n-1}]）/（n-1）]；
T[n_，k_]：=T[n，k]=如果[k==1，b[n]，其中[{T=商[k，2]}，和[T[j，T]*T[n-j，k-T]，{j，1，n-1}]]；
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黄体脂酮素
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树Gf（N）={my（A=向量（N，j，1））；对于（N=1，N-1，A[N+1]=1/N*和（k=1，N，sumdiv（k，d，d*A[d]）*A[N-k+1]）；x*Ser（A）}
列序列（n，k）={my（t=TreeGf（max（0，n+1-k））；向量（t^k，-n）}
M（n，M=n）=Mat（向量（M，k，列序列（n，k）~））
{my（T=M（12））；对于（n=1，#T~，打印（T[n，1..n]））}
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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已批准
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A000226号
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| 一个周期长度为3的n节点未标记连通图的数目。
（原名M2668 N1066）
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+10
9
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1, 1, 3, 7, 18, 44, 117, 299, 793, 2095, 5607, 15047, 40708, 110499, 301541, 825784, 2270211, 6260800, 17319689, 48042494, 133606943, 372430476, 1040426154, 2912415527, 8167992598, 22947778342, 64577555147, 182009003773, 513729375064, 1452007713130
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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3,3
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评论
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共有n个节点的3棵有根树的森林数。
循环长度为3且总共有n个节点的单圈图的数量。
（结束）
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参考文献
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J.Riordan，《组合分析导论》，威利出版社，1958年，第150页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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配方奶粉
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a（n）=和{j1+2j2+···=n}（乘积{i=1..n}二项式(A000081号（i） +j_i-1，j_i））[（4.27）of[F.Ruskey]，n替换为n+1]-华盛顿·邦菲姆2020年12月22日
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MAPLE公司
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b： =proc（n）选项记忆；如果n<=1，则n另外加上（k*b（k）*s（n-1，k），k=1..n-1）/（n-1）fi结束：s：=进程（n，k）选项记住；加法（b（n+1-j*k），j=1..iquo（n，k））结束：b:=proc（n）选项记忆；不适用（加（b（k）*x^k，k=1..n），x）端：a:=n->系数（系列（（b（n-2）（x）^3+3*b（n-2）（x）*b（n-2）（x^2）+2*b（n-2）（x^3））/6，x=0，n+1），x，n）：seq（a（n），n=3..40）#阿洛伊斯·海因茨2008年8月21日
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数学
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条款=30；r[_]=0；Do[r[x_]=x*Exp[Sum[r[x^k]/k，{k，1，j}]]+O[x]^j//正常，{j，1，项+3}]；A[x_]=（r[x]^3+3*r[x]*r[x^2]+2*r[x ^3]）/6+O[x]^（项+3）；下降[系数列表[A[x]，x]，3](*Jean-François Alcover公司，2011年11月23日，2018年1月11日更新*）
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黄体脂酮素
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（PARI）seq（max_n）={my（a=f=向量（max_n），s，D）；f[1]=1；
对于（j=1，maxn-1，f[j+1]=1/j*和（k=1，j，sumdiv（k，d，d*f[d]）*f[j-k+1））；
对于（n=3，max_n，s=0；对于部分（P=n，D=Set（P））；如果（#D==3，s+=f[P[1]]*f[P[2]]*f[P[3]；next（））；
如果（#D==1，s+=二项式（f[P[1]]+2，3）；next（））；
如果（P[1]==P[2]，s+=二项式（f[P[1]]+1，2）*f[P[3]，
s+=二项式（f[P[2]]+1，2）*f[P[1]]），[1，n]，[3，3]）；a[n]=s）；[3..max_n]}\\华盛顿·邦菲姆2020年12月22日
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交叉参考
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关键词
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非n，美好的
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作者
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扩展
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状态
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已批准
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1, 0, 2, 9, 76, 805, 10626, 167839, 3091768, 65127465, 1544951350, 40770052411, 1184951084340, 37616775522781, 1295202587597842, 48080003446006575, 1914305438178286576, 81379323738092982097, 3679128029385789284718, 176267238847686913800547
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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链接
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配方奶粉
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a（n）=n:1K1+2K2+…+所有分区的n/D之和nKn，最小部分大于1，其中N=N*产品{i=1..n}i^（（i-1）Ki）和D=产品{i=1..n}（Ki！（i！）^Ki）。
例如：-exp（-x）*LambertW（-x）/x.a（n）=和{k=0..n}（-1）^（n-k）*二项式（n，k）*（k+1）^-弗拉德塔·乔沃维奇2005年4月22日
a（0）=1，a（n）=和{j=1..n-1}二项式（n-1，j）（j+1）^j a（n-1-j），如果n>0-阿洛伊斯·海因茨2008年9月15日
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例子
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a（5）=805，因为有625棵这样的树，5个顶点只能以一种方式划分为两棵树：3个到一棵树，2个到另一棵树。不可能在3棵或更多树中分割5个顶点，而只给树一个顶点。3个顶点上3^2棵不同的树中的每一棵都可以用二项式（5,3）的方式标记，对于9*二项式的（5,3=90个可能性中的每棵，都有2个不同的二阶树，因此我们得到了两棵树的180个森林。
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MAPLE公司
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a： =proc（n）选项记忆；如果n=0，则1加上（二项式（n-1，j）*（j+1）^j*a（n-1-j），j=1..n-1）fi结束：seq（a（n），n=0..25）#阿洛伊斯·海因茨2008年9月15日
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|
数学
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nn=20；t=总和[n^（n-1）x^n/n！，{n，1，nn}]；下降[Range[0，nn]！系数列表[Series[Exp[t-x]，{x，0，nn}]，x]，1](*杰弗里·克雷策，2012年11月10日*）
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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已批准
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A106234号
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| 具有一个或多个孤立顶点的不同森林数量的三角形。那些有根的树的森林，有N级和m级树。 |
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+10
5
|
|
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|
1，0，1，0，1，1，0，2，1，1，0，4，3，1，1，0，9，6，3，1，0，20，16，7，3，1，1，0，48，37，18，7，3，1，1，0，115，96，44，19，7，3，1，1，1，0，286，239，117，46，19，7，3，1，0，719，622，299，124，47，19，7，3，1，0，1842，1607，793，320，126，47、19、7、3、1、1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,8
|
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评论
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具有独立节点的唯一树具有一阶。对于N>1和m>1，N在m部分中至少有一个分区，其中一部分等于1，因此当m>1时a（N）>0，当m=1和N>1时，a（N）=0。
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链接
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配方奶粉
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a（n）=n:1K1+2K2+…+分区的和乘积{i=1..N}二项式的NKN，精确到m个部分，一个或多个部分等于1(A000081号（i） +Ki-1，Ki）。
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例子
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a（13）=3，因为5个顶点可以用两种方式划分为3棵树：（1）一棵树有3个节点，其他树各有1个节点。（2） 两棵树各得到2个节点，另一棵得到1个节点。案例（1）对应自A000081号(3) = 2. 案例（2）对应自A000081号(2) = 1.
三角形T（n，k）开始于：
1;
0, 1;
0, 1, 1;
0, 2, 1, 1;
0, 4, 3, 1, 1;
0、9、6、3、1、1；
0, 20, 16, 7, 3, 1, 1;
0, 48, 37, 18, 7, 3, 1, 1;
0, 115, 96, 44, 19, 7, 3, 1, 1;
0, 286, 239, 117, 46, 19, 7, 3, 1, 1;
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|
MAPLE公司
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带有（数字理论）：
g： =proc（n）选项记忆`如果`（n<=1，n，（添加（添加(
d*g（d），d=除数（j））*g（n-j），j=1..n-1））/（n-1）
结束时间：
b： =proc（n，i）选项记忆`如果`（n=0，0，`如果`（i=1，
x^n，展开（添加（x^j*b（n-i*j，i-1）*
二项式（g（i）+j-1，j），j=0..n/i））
结束时间：
T： =n->（p->seq（系数（p，x，i），i=1..n））（b（n$2））：
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|
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数学
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g[n]：=g[n]=如果[n<=1，n，（总和[Sum[d*g[d]，{d，Divisors[j]}]*g[n-j]，{j，1，n-1}]）/（n-1）]；b[n_，i_]：=b[n，i]=如果[n==0，0，如果[i==1，x^n，展开[Sum[x^j*b[n-i*j，i-1]*二项式[g[i]+j-1，j]，{j，0，n/i}]]；T[n_]：=函数[｛p｝，表[系数[p，x，i]，｛i，1，n｝]][b[n，n]]；表[T[n]，{n，1，14}]//扁平(*Jean-François Alcover公司2015年3月9日之后阿洛伊斯·海因茨*)
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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已批准
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1、4、15、50、162、506、1558、4727、14227、42521、126506、374969、1108476、3269902、9630631、28328999、83251569、244471484、717486860、2104777227、6172357873、18096097750、53044095421、15546436080、455601800970、1335107222743、3912330438784、11464463809180、33595343643160
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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2,2
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链接
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MAPLE公司
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如果N<2，则
0;
其他的
结束条件：；
结束进程：
选项记忆；
局部Npr，ct；
如果f=N，则
返回0；
elif f f=N-1，则
返回1；
elif=1，则
其他的
ct：=0；
对于Npr从1到N-1 do
结束do：
计算机断层扫描；
结束条件：；
结束进程：
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数学
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a81[n_]：=a81[n]=如果[n<=1，n，和[a81[n-j]*除数和[j，#1*a81[#1]&]，{j，n-1}]/（n-1）]；
A027852号[n]：=模[{dh=0，np}，对于[np=0，np<=n，np++，dh=a81[np]*a81[n-np]+dh]；如果[EvenQ[n]，dh=a81[n/2]+dh]；dh/2]；
t[n_]：=t[n]=模[{d，j}，如果[n==1，1，和[Sum[d*t[d]，{d，除数[j]}]*t[n-j]，{j，1，n-1}]/（n-1）]]；
b[1,1,1]=1；
b[n_，i_，p]：=b[n，i，p]=如果[p>n，0，如果[n==0，1，如果[Min[i，p]<1，0，总和[b[n-i*j，i-1，p-j]*二项式[t[i]+j-1，j]，{j，0，Min[n/i，p]}]]；A033185号[n，k_]：=b[n，n，k]；
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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