搜索: a033042-编号:a033043
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A007088号
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| 二进制数(或二进制字、二进制向量或n的二进制展开式):以2为基数的数字。 (原名M4679)
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+10 747
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0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111, 10000, 10001, 10010, 10011, 10100, 10101, 10110, 10111, 11000, 11001, 11010, 11011, 11100, 11101, 11110, 11111, 100000, 100001, 100010, 100011, 100100, 100101, 100110, 100111
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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二进制数列表。(此评论旨在帮助人们搜索特定短语-N.J.A.斯隆2016年4月8日)
或者,数字是10的不同幂的和。
或者,数字的十进制表示形式中只有数字0和1。
十进制数不大于1的非负整数。
因此,以10为基数的非负整数n使得kn可以通过正规加法(即n+n+…+n,带有k n’s(但不一定是k+k+…+k,带有n k’s))或乘法计算,而不需要对0≤k≤9进行任何进位运算。(结束)
对于任何n>=0的整数,找到二进制表示,然后解释为给出(n)的十进制表示-迈克尔·索莫斯2015年11月15日
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参考文献
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Heinz Gumin,“Herrn von Leibniz‘Rechnung mit Null und Eins’”,西门子股份公司,3。Auflage 1979——包含莱布尼茨1679年和1703年论文的传真。
曼弗雷德·施罗德(Manfred R.Schroeder),“分形、混沌、幂律”,W.H.Freeman,1991年,第383页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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黄显奎(Xien-Kuei Hwang)、斯万特·简森(Svante Janson)和蔡宗希(Tsung-Hsi Tsai),分治递归二分分裂的恒等式和周期振荡,arXiv:2210.10968[cs.DS],2022年,第45页。
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配方奶粉
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a(n)=和{i=0..m}d(i)*10^i,其中和{i=0..m}d(i)*2^i是n的基2表示。
a(n)=(1/2)*总和{i>=0}(1-(-1)^楼层(n/2^i))*10^i-贝诺伊特·克洛伊特2001年11月20日
a(2n)=10*a(n),a(2n+1)=a(2n)+1。
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例子
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a(6)=110,因为(1/2)*((1-(-1)^6)*10^0+。
G.f.=x+10*x^2+11*x^3+100*x^4+101*x^5+110*x^6+111*x^7+1000*x^8+。。。
.
000小于2^n的数字可视为向量
001如果左边用零填充,则为固定长度n
010侧。这表示n倍笛卡尔积
集合{0,1}上的011。在左边的例子中,
100牛顿=3。(另请参见第二个Python程序。)
101此格式的二进制向量也可以视为
110用n个元素表示集合的子集。
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MAPLE公司
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数学
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表[FromDigits[IntegerDigits[n,2]],{n,0,39}]
表[Sum[(Floor[(Mod[f/2^n,2])])*(10^n),{n,0,Floor[Log[2,f]}],{f,1,100}](*Joséde Jesús卡马乔-麦地那2014年7月24日*)
从数字/@Tuples[{1,0},6]//排序(*哈维·P·戴尔2017年8月10日*)
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黄体脂酮素
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(PARI){a(n)=子集(Pol(二进制(n)),x,10)}/*迈克尔·索莫斯2002年6月7日*/
(PARI){a(n)=如果(n<=0,0,n%2+10*a(n\2))}/*迈克尔·索莫斯2002年6月7日*/
(哈斯克尔)
a007088 0=0
a007088 n=10*a007088n'+m,其中(n',m)=divMod n 2
(Python)
def a(n):返回int(bin(n)[2:])
打印([a(n)代表范围(40)中的n])#迈克尔·布拉尼基2021年1月10日
(Python)
来自itertools导入产品
n=4
对于产品中的p([0,1],repeat=n):print(''.join(str(x)for x in p))
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000042号,A007089号-A007095号,A000695号,A005836号,A033042号-A033052号,A159918号,A004290号,A169965号,A169966号,A169967号,A169964号,A204093型,A204094号,1995年4月2日,A097256号,A257773型,A257770型.
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关键词
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非n,基础,美好的,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A000695号
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| Moser-de-Bruijn序列:4的不同幂之和。 (原名M3259 N1315)
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+10 575
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0, 1, 4, 5, 16, 17, 20, 21, 64, 65, 68, 69, 80, 81, 84, 85, 256, 257, 260, 261, 272, 273, 276, 277, 320, 321, 324, 325, 336, 337, 340, 341, 1024, 1025, 1028, 1029, 1040, 1041, 1044, 1045, 1088, 1089, 1092, 1093, 1104, 1105, 1108, 1109, 1280, 1281, 1284, 1285
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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虽然这是一个列表,但由于历史和数学原因,它已经偏移了0。
对k进行编号,使k的以2为底的位数之和=k的以4为底的数字之和-克拉克·金伯利
这个序列还有许多其他有趣和有用的属性。每个项k对应一对唯一的i,j,其中k=a(i)+2*a(j)(i)=A059905号(n) ,j=A059906号(n) )--请参阅A126684号。每个数字列表L=[L1,L2,L3,…]都可以通过“递归二进制交错”进行唯一编码,其中f(L)=a(L1)+2*a(f([L2,L,…])),f([])=0-马克·勒布伦,2001年2月7日
这可以用“重设基”符号b[n]q简明扼要地描述,这意味着“在n的展开中用q替换b”,从而将n从基b“重设基址”到基q。目前的顺序是2[n]4。许多有趣的运算(例如,10[n](1/10)=数字反转、移位)都可以用这种方式很好地表达。注意,q[n]b(大致)与b[n]q相反。推广“基”的概念以涵盖F[n]2这类所谓的“fibbinary”数也是很自然的(A003714号)并提供遵循其他算法的实体的标准现成图像,例如GF2[n]2(例如素数=A014580型,平方=当前序列等)-马克·勒布伦2005年3月24日
态射的不动点:0->01;1 -> 45; 2 -> 89; ...; n->(4n)(4n+1),从a(0)=0开始-菲利普·德尔汉姆2011年10月22日
如果n是偶数且存在的,那么n+1也是偶数-罗伯特·威尔逊v2014年10月24日
另外:将n的二进制数字与0交错。(相当于上面的“rebase”解释。)-M.F.哈斯勒2018年10月16日
以澳大利亚-加拿大数学家利奥·莫瑟(1921-1970)和荷兰数学家尼古拉斯·戈弗特·德布鲁因(1918-2012)的名字命名-阿米拉姆·埃尔达尔2021年6月19日
猜想:k>2的不同幂和可以构造为以下(k-1)元根树。对于每n棵树,a(n)表示节点总数。对于n=1,添加树的根。对于n>1,如果n是奇数,那么深度为n-2的一片叶子长出一个子叶。如果n是偶数,则深度>=(n-1-A000225号(A001511号(n/2))增加儿童的最大数量。链接中提供了一个示例-约翰·泰勒·拉斯科2022年10月9日
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参考文献
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N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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Jean-Paul Allouche和Jeffrey Shallit,k-正则序列的环,理论计算机科学。,第98卷(1992年),第163-197页。
Jean-Paul Allouche和Jeffrey Shallit,k-正则序列的环,理论计算机科学。,第98卷(1992年),第163-197页。
David Applegate、Omar E.Pol和N.J.A.Sloane,细胞自动机中的牙签序列和其他序列《国会数值》,第206卷(2010年),第157-191页。[定理6中有一个拼写错误:当n>=2时,(13)应读为u(n)=4.3^(wt(n-1)-1)。]
David Applegate、Marc LeBrun和N.J.A.Sloane,忧郁的算术,J.国际顺序。,第14卷(2011年),第11.9.8条。
Robert Baillie和Thomas Schmelzer,求和坎普纳的好奇(慢收敛)级数,Mathematica Notebook kempnerSums.nb,Wolfram Library Archive,2008年。
N.G.de Bruijn,整数集的一些直接分解,数学。公司。,第18卷,第88期(1964年),第537-546页。
S.J.Eigen、Y.Ito和V.S.Prasad,普遍的坏整数和2-adic《数论杂志》,第107卷,第2期(2004年),第322-334页。
黄显奎(Xien-Kuei Hwang)、斯万特·简森(Svante Janson)和蔡宗希(Tsung-Hsi Tsai),分治递归二分分裂的恒等式和周期振荡,arXiv:2210.10968[cs.DS],2022年,第44页。
利奥·莫瑟,生成级数的一个应用,数学。Mag.,第35卷,第1期(1962年),第37-38页。
利奥·莫瑟,生成级数的一个应用,数学。Mag.,第35卷,第1期(1962年),第37-38页。[带注释的扫描副本]
斯蒂芬·尼古拉斯·斯瓦特曼(Stephen Nicholas Swatman)、阿纳·卢西亚·瓦班斯库(Ana-Lucia Varbanescu)、安迪·皮门特尔(Andy D.Pimentel)、安德烈亚斯·萨尔茨伯格(Andreas Salzburger)和阿提拉·克拉兹纳霍尔凯,使用进化算法寻找多维阵列的Morton-Like布局,arXiv:2309.07002[cs.NE],2023年。
维基百科,莫顿代码(也称为Z阶曲线。参见Marc LeBrun关于二进制交织的评论。)
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配方奶粉
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一般公式:1/(1-x)*Sum_{k>=0}4^k*x^2^k/(1+x^2*k)-拉尔夫·斯蒂芬2003年4月27日
对k进行编号,使Product_{n>=0}1+x^(4^n)中x^k的系数>0-贝诺伊特·克洛伊特2003年7月29日
要得到a(n),请将n写成Sum b_j*2^j,然后a(n)=Sum b.j*2^(2j)。丢番图方程a(k)+2a(l)=n有唯一解:k=Sum b_(2j)*2^j,l=Sum b2(2j+1)*2|j-弗拉基米尔·舍维列夫2008年11月10日
如果a(k)*a(l)=a(m),则k*l=m(一般来说,倒数不是真的)-弗拉基米尔·舍维列夫2008年11月21日
设F(x)为生成函数,则F(x”)*F(x^2)=1/(1-x)-乔格·阿恩特2010年5月12日
a(n+1)=(a(n)+1/3)&-1/3,其中&是位AND,-1/3表示为无限并矢。。。010101(就像-1是……二的补码中的111111)和+1/3是。。。101011. -马克·勒布伦2010年9月30日
通用公式:x/(1-x^2)+4*x^2/((1-x)*(W(0)-4*x-4*x^2;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2014年1月4日
设f(x)=(总和{k=-oo..oo}楼层(x*2^k)/4^k)/2。那么f(x)是a(n)的实值扩张,a(n-维林·亚涅夫2016年11月28日
G.f.A(x)满足x/(1-x^2)=A(x-迈克尔·索莫斯2016年11月30日
总和{n>=1}1/a(n)=1.8861764344761072445472595120763532930680508099044818673061351780360211128…(使用Baillie和Schmelzer的kempnerSums.nb计算,请参阅链接)-阿米拉姆·埃尔达尔2022年2月12日
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例子
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总尺寸:x+4*x^2+5*x^3+16*x^4+17*x^5+20*x^6+21*x^7+64*x^8+。。。
如果n=27,则b_0=1,b_1=1,b2=0,b_3=1,b_4=1。因此a(27)=4^4+4^3+4+1=325;k=b0+b2*2+b4*2^2=5,l=b1+b3*2=3,这样a(5)=17,a(3)=5,27=17+2*5-弗拉基米尔·舍维列夫2008年11月10日
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MAPLE公司
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a: =proc(n)局部m,r,b;m、 r,b:=n,0,1;
当m>0时,做r:=r+b*irem(m,2,'m');b: =b*4 od;第页
结束时间:
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数学
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表[FromDigits[Riffle[IntegerDigits[n,2],0],2],{n,0,51}](*雅各布·西勒2010年6月30日*)
Union@Flatten@NestList[Join[4#,4#+1]&,{0},6](*罗伯特·威尔逊v2014年8月30日*)
选择[Range[0,1320],Total@IntegerDigits[#,2]==Total@integerDiges[#,4]&](*罗伯特·威尔逊v,2014年10月24日*)
并集[FromDigits[#,4]和/@Flatten[Table[Tuples[{0,1},n],{n,6}],1]](*哈维·P·戴尔2015年10月3日*)
a[n_]:=其中[n<1,0,EvenQ[n],a[n/2]4,True,a[n-1]+1];(*迈克尔·索莫斯2016年11月30日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)a(n)=n=二进制(n);总和(i=1,#n,n[i]*4^(#n-i))\\查尔斯·格里特豪斯四世2013年3月4日
(PARI){a(n)=如果(n<1,0,n%2,a(n-1)+1,a(n/2)*4)}/*迈克尔·索莫斯2016年11月30日*/
(哈斯克尔)
a000695 n=如果n==0,则0,否则4*a000695n'+b
其中(n',b)=divMod n 2
(Python)
定义a(n):
n=箱(n)[2:]
x=长度(n)
范围(x)中i的返回和(int(n[i])*4**(x-1-i))
(Python)
定义a():
x=0
为True时:
收益率x
y=~(x<<1)
(Python)
从itertools导入计数,islice
产量(a:=0)
对于计数(1)中的n:
产量(a:=a+((1<<((~n&n-1).bit_length()<<1)+1)//3)
(Python)
(岩浆)m:=60;R<x>:=PowerSeriesRing(整数(),m);[0]cat系数(R!((&+[4^k*x^(2^k)/(1+x^//G.C.格鲁贝尔,2018年12月6日
(鼠尾草)s=(总和(4^k*x^(2^k)/(1+x^;s.系数(x,稀疏=假)#G.C.格鲁贝尔,2018年12月6日
(茱莉亚)
函数a(n)
m、 r,b=n,0,1
当m>0时
m、 q=divrem(m,2)
r+=b*q
b*=4
结束
r端;[a(n)for n in 0:51]|>打印ln#彼得·卢什尼2021年1月3日
(C) uint32_t下一个(uint32_t a_n){返回(a_n+0xaaaaaaaab)&0x55555555;}/*福尔克·胡夫纳2022年1月24日*/
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交叉参考
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对于(a,b)的以下值生成函数Product_{k>=0}(1+a*x^(b^k)),请参见:(1,2)A000012号和A000027号, (1,3)A039966号和A005836号, (1,4)A151666号和A000695号, (1,5)A151667号和A033042号, (2,2)A001316号, (2,3)A151668号, (2,4)A151669号, (2,5)A151670号, (3,2)A048883号, (3,3)A117940型, (3,4)A151665号, (3,5)A151671号, (4,2)A102376号, (4,3)A151672号, (4,4)A151673号, (4,5)A151674号.
囊性纤维变性。A000225号,A000302号,A001511号,A007583号,A059884号,A059901号,A059904号,A059905号,A059906号,A007088号,A033042号-A033052号,A126684号,A145812号.
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关键词
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非n,美好的,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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0, 1, 3, 4, 9, 10, 12, 13, 27, 28, 30, 31, 36, 37, 39, 40, 81, 82, 84, 85, 90, 91, 93, 94, 108, 109, 111, 112, 117, 118, 120, 121, 243, 244, 246, 247, 252, 253, 255, 256, 270, 271, 273, 274, 279, 280, 282, 283, 324, 325, 327, 328, 333, 334, 336, 337, 351, 352
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,3
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评论
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3不除二项式(2s,s)当且仅当s是该序列的成员时,其中二项式=A000984号(s) 是中心二项式系数。
这是词典学上最早的非负数递增序列,不包含长度为3的算术级数Robert Craigen(craigenr(AT)cc.umanitoba.ca),2001年1月29日
此外,n-1的最终值以2为基数写入,然后以3为基数读取,最后将结果转换为以10为基数Philippe LALLOUET(philip.LALLOUET(AT)wanadoo.fr),2007年6月23日
态射的不动点:0->01;1 -> 34; 2 -> 67; ...; n->(3n)(3n+1),从a(1)=0开始-菲利普·德尔汉姆2011年10月22日
该序列似乎列出了满足条件和(二项式(n,k)^(2*j),k=0..n)mod 3<>0,对于任何j,偏移量为0。请参阅Maple代码-加里·德特利夫斯2011年11月28日
此外,根据Philippe Lallouet的上述评论,序列必须由规则生成:a(1)=0,如果m在序列中,那么3*m和3*m+1也是如此-L.埃德森·杰弗里2015年11月20日
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参考文献
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理查德·盖伊(Richard K.Guy),《数论中未解决的问题》(Unsolved Problems in Number Theory),第3版,斯普林格出版社,2004年,第E10节,第317-323页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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J.-P.Allouche和J.Shallit,k-正则序列的环,理论计算机科学。,98 (1992), 163-197.
J.-P.Allouche和J.Shallit,k-正则序列的环,理论计算机科学。,98 (1992), 163-197.
J.-P.Allouche、J.Shallit和G.Skordev,自生成集、缺失块的整数和替换,离散数学。292 (2005) 1-15.
David Applegate、Omar E.Pol和N.J.A.Sloane,细胞自动机中的牙签序列和其他序列《国会数值》,第206卷(2010年),第157-191页。[定理6中有一个拼写错误:当n>=2时,(13)应读为u(n)=4.3^(wt(n-1)-1)。]
Robert Baillie和Thomas Schmelzer,求和坎普纳的好奇(慢收敛)级数,Mathematica Notebook kempnerSums.nb,Wolfram Library Archive,2008年。
诺姆·本森·蒂尔森(Noam Benson-Tilsen)、塞缪尔·布罗克(Samuel Brock)、布兰登·福恩斯(Brandon Faunce)、莫尼什·库马尔(Monish Kumar)、诺亚·多科·斯坦因(Noah Dokko Stein)和约书亚·泽林斯基,正则无穷图的全差分标号,arXiv:2107.11706[math.CO],2021。
拉格汉德拉·巴特(Raghavendra Bhat)、克里斯蒂安·科贝利(Cristian Cobeli)和亚历山德鲁·扎哈里斯库(Alexandru Zaherescu),整数层上迭代绝对差的过滤光线,arXiv:2309.03922[math.NT],2023。见第16页。
Matvey Borodin、Hannah Han、Kaylee Ji、Tanya Khovanova、Alexander Peng、David Sun、Isabel Tu、Jason Yang、William Yang、Kevin Zhang和Kevin Chao,Base 3的变体超过2,arXiv:1901.09818[math.NT],2019年。
Ben Chen、Richard Chen、Joshua Guo、Tanya Khovanova、Shane Lee、Neil Malur、Nastia Polina、Poonam Sahoo、Anuj Sakarda、Nathan Sheffield和Arman Tipirneni,论基3/2及其序列,arXiv:1808.04304[math.NT],2018年。
Joseph L.Gerver和L.Thomas Ramsey,贪婪算法生成的无长算术级数的整数集,数学。公司。,第33卷,第148期(1979年),第1353-1359页。
黄显奎(Xien-Kuei Hwang)、斯万特·简森(Svante Janson)和蔡宗希(Tsung-Hsi Tsai),分治递归二分分裂的恒等式和周期振荡,arXiv:2210.10968[cs.DS],2022年,第45页。
Kathrin Kostorz、Robert W.Hölzel和Katharina Krischer,具有关联特性的弱耦合振荡网络的分布耦合复杂性《新物理学杂志》。,第15卷(2013),#083010;doi:10.1088/1367-2630/15/8/083010。
克拉克·金伯利,语言的仿射递归集和排序,离散数学。,第274卷,第1-3卷(2004年),第147-160页。
曼弗雷德。Madritsch和Stephan Wagner,整数分块的中心极限定理莫纳什。数学。,第161卷,第1期(2010年),第85-114页。
理查德·莫伊(Richard A.Moy)和大卫·罗尔尼克(David Rolnick),斯坦利序列中的新结构,离散数学。,第339卷,第2期(2016年),第689-698页;arXiv预印本,arXiv:1502.06013[math.CO],2015年。
David Rolnick和Praveen S.Venkataramana,关于Stanley序列的增长性,离散数学。,第338卷,第11期(2015年),第1928-1937页,见第1930页;arXiv预印本,arXiv:1408.4710[math.CO],2014年。
B.Vasic、K.Pedagani和M.Ivkovic,矩形整数格上的高周长低密度校验码《IEEE通讯汇刊》,第52卷,第8期(2004年),第1248-1252页。
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配方奶粉
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对n进行编号,使x^n在prod中的系数>0(k>=0,1+x^(3^k))-贝诺伊特·克洛伊特2003年7月29日
a(n+1)=和{k=0..m}b(k)*3^k,n=和(b(k”*2^k)。
a(2n+1)=3a(n+1),a(2n+2)=a(2n+1)+1,a(0)=0。
a(n+1)=3*a(楼层(n/2))+n-2*楼层(n/3)-拉尔夫·斯蒂芬2003年4月27日
通用公式:(x/(1-x))*Sum_{k>=0}3^k*x^2^k/(1+x^2*k)-拉尔夫·斯蒂芬2003年4月27日
如果偏移量更改为零,则:a(0)=0,a(n+1)=f(a(n)+1,f(a)+1),其中f(x,y)=如果x<3和x<>2,则y否则如果xmod 3=2,则f(y+1,y+1)否则f(floor(x/3),y)。(结束)
我们有liminf_{n->infinidy}a(n)/n^(log(3)/log(2))=1/2和limsup_{n->infinidy}a(n/n^)/log(2)=1-Gheorghe Coserea公司2015年9月13日
a(2^k+m)=a(m)+3^k,其中1<=m<=2^k和1<=k,a(1)=0,a(2)=1-保罗·魏森霍恩2020年3月22日
Sum_{n>=2}1/a(n)=2.682853110966175430853916904584699374821677091415714815171756609672281184705…(使用Baillie和Schmelzer的kempnerSums.nb计算,请参阅链接)-阿米拉姆·埃尔达尔2022年2月12日
a(n)≍n ^k,其中k=log 3/log 2=1.5849625007。(我认为常数从1/2到1不等。)-查尔斯·格里特豪斯四世2024年3月29日
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例子
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a(6)=12,因为6=0*2^0+1*2^1+1*2 ^2=2+4和12=0*3^0+1*3^1+1*3 ^2=3+9。
该序列被视为具有长度为1、1、2、4、8、16…的行的三角形:
0
1
3, 4
9, 10, 12, 13
27, 28, 30, 31, 36, 37, 39, 40
81, 82, 84, 85, 90, 91, 93, 94, 108, 109, 111, 112, 117, 118, 120, 121
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MAPLE公司
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t:=(j,n)->加(二项式(n,k)^j,k=0..n):
我从1岁到400岁
如果(t(4,i)mod 3<>0),则打印(i)fi
#备选Maple计划:
a: =proc(n)选项记住:局部k,m:
如果n=1,则0 elif n=2,则1 elif n>2,则k:=楼层(log[2](n-1)):m:=n-2^k:进程名称(m)+3^k:fi:结束进程:
seq(a(n),n=1..20)#保罗·魏森霍恩2020年3月22日
#第三个Maple项目:
a: =n->`如果`(n=1,0,irem(n-1,2,'q')+3*a(q+1)):
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数学
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表[FromDigits[IntegerDigits[k,2],3],{k,60}]
选择[Range[0,400],DigitCount[#,3,2]==0&](*哈维·P·戴尔2012年1月4日*)
从数字[#,3]和/@元组[{0,1},7](*哈维·P·戴尔2019年5月10日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)A=矢量(100);对于(n=2,#A,A[n]=if(n%2,3*A[n\2+1],A[n-1]+1));A类\\查尔斯·格里特豪斯四世,2012年7月24日
(PARI)是(n)=while(n,如果(n%3>1,返回(0));n=3);1 \\查尔斯·格里特豪斯四世2013年3月7日
(哈斯克尔)
a005836 n=a005836_list!!(n-1)
a005836_list=过滤器((==1)。a039966)[0..]
(Python)
return int(格式(n-1,'b'),3)#柴华武2015年1月4日
(茱莉亚)
函数a(n)
m、 r,b=n,0,1
当m>0时
m、 q=divrem(m,2)
r+=b*q
b*=3
结束
r端;[a(n)for n in 0:57]|>打印ln#彼得·卢什尼2021年1月3日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A002426号,A004793号,A005823号,A007088号,A007089号,A032924号,A033042号-A033052号,A054591号,A055246号,A062548号,A065361号,A074940号,A081601号,A081603号,A081611号,A083096号,A089118号,A121153号,A170943号,A185256个.
对于(a,b)的以下值生成函数Product_{k>=0}(1+a*x^(b^k)),请参见:(1,2)A000012号和A000027号, (1,3)A039966号和A005836号, (1,4)A151666号和A000695号, (1,5)A151667号和A033042号, (2,2)A001316号, (2,3)A151668号, (2,4)A151669号, (2,5)A151670号, (3,2)A048883号, (3,3)A117940型, (3,4)A151665号, (3,5)A151671号, (4,2)A102376号, (4,3)A151672号, (4,4)A151673号, (4,5)A151674号.
避免指定长度算术累进的递增序列汇总(每对中的第二个序列通过第一个序列加1得到):
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关键词
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非n,美好的,容易的,基础,标签
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作者
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扩展
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OEIS副主编编辑,2009年4月7日
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状态
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经核准的
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A001316号
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| 古尔德序列:a(n)=Sum_{k=0..n}(二项式(n,k)mod 2);帕斯卡三角形第n行的奇数条目数(A007318号); a(n)=2^A000120号(n) ●●●●。 (原名M0297 N0109)
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+10 195
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1, 2, 2, 4, 2, 4, 4, 8, 2, 4, 4, 8, 4, 8, 8, 16, 2, 4, 4, 8, 4, 8, 8, 16, 4, 8, 8, 16, 8, 16, 16, 32, 2, 4, 4, 8, 4, 8, 8, 16, 4, 8, 8, 16, 8, 16, 16, 32, 4, 8, 8, 16, 8, 16, 16, 32, 8, 16, 16, 32, 16, 32, 32, 64, 2, 4, 4, 8, 4, 8, 8, 16, 4, 8, 8, 16, 8, 16, 16, 32, 4, 8, 8, 16, 8, 16, 16, 32
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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也称为连衣裙序列。
这个序列可能更好地称为格雷舍序列,因为詹姆斯·格雷舍表明奇二项式系数以2计算^A000120号(n) 1899年-埃里克·罗兰2017年3月17日[然而,“古尔德序列”这个名字在文献中根深蒂固-N.J.A.斯隆[以美国数学家亨利·沃兹沃斯·古尔德(生于1928年)的名字命名-阿米拉姆·埃尔达尔,2021年6月19日]
所有条款均为2的权力。2^k的第一次出现是在n=2^k-1;例如,16的第一次出现是在n=15-罗伯特·威尔逊v2000年12月6日
中第n行三角形中的1数A070886号. -汉斯·哈弗曼2002年5月26日。等效地,一维细胞自动机第n代中的活细胞数,规则90,从单个活细胞开始-本·布兰曼2009年2月28日。第18条同上-N.J.A.斯隆2014年8月9日。这也是OddRule 003定义的奇规则元胞自动机(参见Ekhad-Sloane-Zeilberger“方形网格上的奇规则细胞自动机”链接)-N.J.A.斯隆2015年2月25日
还有数k,0<=k<=n,使得(k OR n)=n(逐位逻辑OR):a(n)=#{k:T(n,k)=n,0<=k<=n},其中T被定义为A080098型. -莱因哈德·祖姆凯勒2003年1月28日
要构造序列,请从1开始并使用规则:如果k>=0和a(0),a(1),。。。,a(2^k-1)是第一个2^k项,然后下一个2^k项是2*a(0),2*1,。。。,2*a(2^k-1)-贝诺伊特·克洛伊特2003年1月30日
此外,分子(2^k)/k!)Mohammed Bouayoun(Mohammed.Bouayoun(AT)sanef.com),2004年3月3日
帕斯卡三角形中的奇数项形成了Sierpiánski垫圈(分形)-阿玛纳斯·穆尔西2004年11月20日
态射“1”->“1,2”,“2”->“2,4”,“4”->“4,8”,…,的不动点。。。,“2^k”->“2^k,2^(k+1)”。。。从a(0)=1开始;1 -> 12 -> 1224 -> = 12242448 -> 122424482448488(16) -> ... . -菲利普·德尔汉姆2005年6月18日
a(n)=规则为90的一维细胞自动机第n阶段的1个数Andras Erszegi(Erszegi.Andras(AT)chello.hu),2006年4月1日
对于正n,a(n)等于完全由(1/2)组成的n×n矩阵的永久性分母-约翰·M·坎贝尔2011年5月26日
这是S(n)={1,2,4,8,16,…}(参见。A000079号). 序列{S(n),n>=0}的游程变换定义为由T(n)=Product_i S(i)给出的序列{T(n。所以T(19)=S(1)*S(2)。T(0)=1(空乘积)-N.J.A.斯隆2014年9月5日
序列的生产矩阵是lim_{k->infinity}M^k,即M的左移向量:
1, 0, 0, 0, 0, ...
2, 0, 0, 0, 0, ...
0,1,0,0,0。。。
0, 2, 0, 0, 0, ...
0, 0, 1, 0, 0, ...
0, 0, 2, 0, 0, ...
0, 0, 0, 1, 0, ...
...
结果相当于2003年4月6日的g.f.:乘积_{k>=0}(1+2*z^(2^k))。(结束)
长度为n的二元回文数,其中第一层(n/2)符号本身是回文(Ji和Wilf 2008)-杰弗里·沙利特2017年6月15日
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参考文献
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Arthur T.Benjamin和Jennifer J.Quinn,《真正重要的证据:组合证明的艺术》,M.A.A.,2003年,第75页及其后。
史蒂文·芬奇,《数学常数》,剑桥,2003年,第145-151页。
James W.L.Glaisher,关于素数模的二项式系数的残差,《纯粹与应用数学季刊》,第30卷(1899年),第150-156页。
H.W.Gould,指数二项式系数系列。技术代表4,数学。1961年9月,西弗吉尼亚州摩根敦市西佛吉尼亚大学系。
Olivier Martin、Andrew M.Odlyzko和Stephen Wolfram,细胞自动机的代数性质,通信数学。《物理学》,第93卷(1984年),第219-258页。转载于《细胞自动机的理论与应用》,S Wolfram,Ed.,World Scientific,1986年,第51-90页,以及《细胞自然主义与复杂性:Stephen Wolfram的论文集》,Addison-Wesley,1994年,第71-113页
曼弗雷德·施罗德(Manfred R.Schroeder),《分形、混沌、幂律》,W.H.Freeman,纽约,1991年,第383页。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
Andrew Wuensche,《探索离散动力学》,Luniver出版社,2011年。见图2.3。
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链接
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Jean-Paul Allouche和Jeffrey Shallit,k-正则序列的环,理论计算机科学。,第98卷(1992年),第163-197页。
Neil J.Calkin、Eunice Y.S.Chan、Robert M.Corless、David J.Jeffrey和Piers W.Lawrence,分形特征向量,arXiv:2104.01116[math.DS],2021。
Shalosh B.Ekhad、N.J.A.Sloane和Doron Zeilberger,方形网格上的奇数规则元胞自动机,arXiv:153.04249[math.CO],2015年。
Kathy Q.Ji和Herbert S.Wilf,极端回文阿默尔。数学。《月刊》,第115卷,第5期(2008年),第447-451页。
托马斯·皮桑斯基和托马斯·塔克,映射重复截断中的增长,Atti Sem.Mat.Fis.公司。摩德纳大学,第49卷(2001年),补充,第167-176页。
卢卡斯·斯皮格霍夫(Lukas Spiegelhofer)和迈克尔·沃勒(Michael Wallner),二项式系数的二次幂整除,arXiv:1710.10884[math.NT],2017年。
斯蒂芬·沃尔夫拉姆,细胞自动机的统计力学,修订版。物理。,第55卷(1983年),第601-644页。
斯蒂芬·沃尔夫拉姆,二项式系数的几何阿默尔。数学。《月刊》,第91卷,第9期(1984年11月),第566-571页。
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配方奶粉
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a(0)=1;对于n>0,写出n=2^i+j,其中0<=j<2^i;则a(n)=2*a(j)。
G.f.:产品{k>=0}(1+2*z^(2^k))-拉尔夫·斯蒂芬2003年4月6日
a(n)=和{i=0..2*n}(二项式(2*n,i)模2)*(-1)^i-贝诺伊特·克洛伊特2003年11月16日
a(n)=2^n-2*和{k=0..n}层(二项式(n,k)/2)-保罗·巴里2004年12月24日
a(n)=乘积_{k=0.log_2(n)}2^b(n,k),b(n,k)=n的二元展开中2^k的系数-保罗·D·汉纳
a(n)=n/2+1/2+(1/2)*和{k=0..n}(-(-1)^二项式(n,k))-斯蒂芬·克劳利2007年3月21日
等于[1,2,0,0,0,1,0,0]充气的无限卷积(A000079号-1)倍,即[1,2,0,0,0,1,0,0,0,00,0]*[1,0,2,0,1,0,0,0]*[1,0,0.0,0,2,0,0-0,0]-Mats Granvik公司,加里·亚当森2009年10月2日
a(n)=f(n,1),其中f(x,y)=如果x=0,则y否则为f(地板(x/2),y*(1+xmod 2))-莱因哈德·祖姆凯勒2009年11月21日
a((2*n+1)*2^p-1)=(2^p)*a(n),p>=0-约翰内斯·W·梅耶尔,2011年6月5日
a(n)=lcm(n!,2^n)/n-丹尼尔·苏图2017年4月28日
a(0)=1,a(2*n)=a(n),a(2*n+1)=2*a(n)-丹尼尔·帕里斯2024年2月15日
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例子
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具有三角形的自然结构:
.1,
.2,
.2,4,
.2,4,4,8,
.2,4,4,8,4,8,8,16,
.2,4,4,8,4,8,8,16,4,8,8,16,8,16,16,32,
.2,4,4,8,4,8,8,16,4,8,8,16,8,16,16,32,4,8,8,16,8,16,16,32,8,16,16,32,16,32,32,64,
....
此外,三角形开始于:
.1;
.2、2;
.4,2,4,4;
.8,2,4,4,8,4,8,8;
16,2,4,4,8,4,8,8,16,4,8,8,16,8,16,16;
32,2,4,4,8,4,8,8,16,4,8,8,16,8,16,16,32,4,8,8,16,8,16,16,32,8,16,16,32,16,32,32;
64,2,4,4,8,4,8,8,16,4,8,16,8,16,16,32,4,8,16,8,16,16,32,8,16,16,32,16,32,16,32,。。。
(结束)
G.f.=1+2*x+2*x^2+4*x^3+2*x^4+4*x*x^5+4*x|6+8*x^7+2*x|8+。。。
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MAPLE公司
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A001316号:=proc(n)局部k;加法(二项式(n,k)mod 2,k=0..n);结束;
S: =[1];S: =[op(S),op(2*S)];#无限重复!
a:=n->2^加(i,i=转换(n,基数,2))#彼得·卢什尼2009年3月11日
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数学
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表[Sum[Mod[二项式[n,k],2],{k,0,n}],{n,0,100}]
嵌套[Join[#,2#]&,{1},7](*罗伯特·威尔逊v2006年1月24日,2014年7月27日修订*)
Map[Function[Apply[Plus,Flatten[#1]]],CellularAutomaton[90,{{1},0},100]](*生成ON单元的计数。N.J.A.斯隆2009年8月10日*)
ArrayPlot[CellularAutomaton[90,{{1},0},20]](*前20代插图-N.J.A.斯隆2014年8月14日*)
表[2^(实际数字[n-1,2][[1]]//总计),{n,1,100}](*加布里埃尔·C·贝纳米2009年12月8日*)
系数列表[Series[Exp[2*x],{x,0,100}],x]//分子(*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2013年10月25日*)
计数[#,_?OddQ]&/@表[二项式[n,k],{n,0,90},{k,0,n}](*哈维·P·戴尔2015年9月22日*)
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黄体脂酮素
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(PARI){a(n)=如果(n<0,0,分子(2^n/n!))};
(哈斯克尔)
导入数据。列表(转置)
a001316_list=1:zs,其中
zs=2:(concat$transpose[zs,map(*2)zs])
(鼠尾草、蟒蛇)
从functools导入缓存
@高速缓存
如果n<=1:返回n+1
(Python)
return 2*bin(n)[2:].count(“1”)返回2*bin(n)[2:].count(“1”)#因德拉尼尔·戈什2017年2月6日
(方案)(定义(A001316号n) (let loop((n n)(z 1))(cond((零?n)z)((偶数?n)(loop(/n 2)z)))(else(loop)(/(-n 1)2)(*z 2))));;安蒂·卡图恩2017年5月29日
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交叉参考
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对于(a,b)的以下值生成函数Product_{k>=0}(1+a*x^(b^k)),请参见:(1,2)A000012号和A000027号, (1,3)A039966号和A005836号, (1,4)A151666号和A000695号, (1,5)A151667号和A033042号, (2,2)A001316号, (2,3)A151668号, (2,4)A151669号, (2,5)A151670号, (3,2)A048883号, (3,3)A117940型, (3,4)A151665号, (3,5)A151671号, (4,2)A102376号, (4,3)A151672号, (4,4)A151673号, (4,5)A151674号.
囊性纤维变性。A051638号,A048967号,A007318号,A094959号,A048896号,A117973号,A008977号,A139541号,A048883号,A102376号,A038573号,A159913号,A000079号,A166548号,A006047号,A089898号,A105321号,A061142号.
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关键词
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非n,容易的,美好的,改变
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 3, 3, 9, 3, 9, 9, 27, 3, 9, 9, 27, 9, 27, 27, 81, 3, 9, 9, 27, 9, 27, 27, 81, 9, 27, 27, 81, 27, 81, 81, 243, 3, 9, 9, 27, 9, 27, 27, 81, 9, 27, 27, 81, 27, 81, 81, 243, 9, 27, 27, 81, 27, 81, 81, 243, 27, 81, 81, 243, 81, 243, 243, 729, 3, 9, 9, 27, 9, 27, 27, 81, 9, 27, 27, 81, 27, 81
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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或者,a(n)=根据规则进化的二维细胞自动机第n阶段的1个(“活”细胞)数量:如果NE+NW+s=1,则为1,否则为0。
这是OddRule 013定义的奇规则元胞自动机(请参阅Ekhad-Sloane-Zeilberger“方形网格上的奇规则细胞自动机”链接)-N.J.A.斯隆2015年2月25日
或者,以S=[1]开头;将S替换为[S,3*S];无限重复。
态射1->13,3->39,9->9(27)的不动点,…=3^k->3^k 3^(k+1)。。。从a(0)=1开始;1 -> 13 -> 1339 -> = 1339399(27) -> 1339399(27)399(27)9(27)(27)(81) -> ..., . -罗伯特·威尔逊v2006年1月24日
该序列属于表型Punnett平方数学。从X=1开始。每个杂交组合涉及方程式X:3X。因此,第一(单)杂交组合的比率为X=1:3X=3(1)或3;或3:1。当你移动到下一个杂交水平时,用X替换之前的交叉比率。X现在代表2个数字-1:3。因此,第二个(di)杂交组合中的比例为X=(1:3):3X=[3(1):3(3)]或(3:9)。把它放在一起,得到1:3:3:9。每次你提升杂交水平时,用X替换之前的比率,并使用相同的方程式-X:3X得到它的比率John Michael Feuk,2011年12月10日
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链接
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David Applegate、Omar E.Pol和N.J.A.Sloane,细胞自动机中的牙签序列和其他序列《国会数值》,第206卷(2010年),第157-191页。[定理6中有一个拼写错误:当n>=2时,(13)应读为u(n)=4.3^(wt(n-1)-1)。]
Shalosh B.Ekhad、N.J.A.Sloane和Doron Zeilberger,方形网格上的奇数规则元胞自动机,arXiv:153.04249[math.CO],2015年。
Tanya Khovanova,没有巧合,arXiv预印本1410.2193[math.CO],2014。
T.Pisanski和T.W.Tucker,映射重复截断中的增长,收件人:。半实物财务。摩德纳大学,第49卷(2001),167-176。(预印本)
N.J.A.Sloane,《关于细胞自动机中On细胞的数量》,罗格斯大学Doron Zeilberger实验数学研讨会演讲视频,2015年2月5日:第1部分,第2部分
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配方奶粉
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a(n)=Product_{k=0..log_2(n)}3^b(n,k),其中b(n、k)=n的二进制展开式中2^k的系数(偏移量0)-保罗·D·汉纳
如果n是偶数,则a(n)=3*a(n/2),否则a(n)=a((n+1)/2)。
G.f.:产品_{k>=0}(1+3*x^(2^k))。推广k^A000120号具有生成函数(1+kx)*(1+k x ^2)*(1+k x ^4)*。。。
a(n+1)=和{i=0..n}(二项式(n,i)mod 2)*和{j=0..i}(二项式(i,j)mod 2中)-贝诺伊特·克洛伊特2003年11月16日
G.f.A.(x)满足:A(x)=(1+3*x)*A(x^2)-伊利亚·古特科夫斯基2019年7月9日
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例子
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三角形开始:
1;
三;
3,9;
3,9,9,27;
3,9,9,27,9,27,27,81;
3,9,9,27,9,27,27,81,9,27,27,81,27,81,81,243;
3,9,9,27,9,27,27,81,9,27,27,81,27,81,81,243,9,27,27,81,27,81,81,243,27,...
或者
1;
3,3;
9,3,9,9;
27,3,9,9,27,9,27,27;
81,3,9,9,27,9,27,27,81,9,27,27,81,27,81,81;
243,3,9,9,27,9,27,27,81,9,27,27,81,27,81,81,243,9,27,27,81,27,81,81,243,27...
(结束)
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数学
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嵌套[Join[#,3#]&,{1},6](*罗伯特·威尔逊v2006年1月24日,2014年7月27日修订*)
a[n_]:=3^数字计数[n,2,1];数组[a,80,0](*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2017年11月15日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)a(n)=n=二进制(n);3^总和(i=1,#n,n[i])
(哈斯克尔)
a048883=a000244。a000120号--莱因哈德·祖姆凯勒2011年11月14日
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交叉参考
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对于(a,b)的以下值生成函数Product_{k>=0}(1+a*x^(b^k)),请参见:(1,2)A000012号和A000027号, (1,3)A039966号和A005836号, (1,4)A151666号和A000695号, (1,5)A151667号和A033042号, (2,2)A001316号, (2,3)A151668号, (2,4)A151669号, (2,5)A151670号, (3,2)A048883号, (3,3)A117940型, (3,4)A151665号, (3,5)A151671号, (4,2)A102376号, (4,3)A151672号, (4,4)A151673号, (4,5)A151674号.
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关键词
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作者
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扩展
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偏移更改为0,2009年6月11日
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状态
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经核准的
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1, 4, 4, 16, 4, 16, 16, 64, 4, 16, 16, 64, 16, 64, 64, 256, 4, 16, 16, 64, 16, 64, 64, 256, 16, 64, 64, 256, 64, 256, 256, 1024, 4, 16, 16, 64, 16, 64, 64, 256, 16, 64, 64, 256, 64, 256, 256, 1024, 16, 64, 64, 256, 64, 256, 256, 1024, 64, 256, 256, 1024, 256, 1024, 1024
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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考虑一个简单的细胞自动机,一个由二元细胞c(i,j)组成的网格,其中网格的下一个状态是通过对每个细胞应用以下规则来计算的:c(i、j)=(c(i+1,j-1)+c(i+1,j+1)+c,那么网格的后续状态的合计值将是该序列中的项Andras Erszegi(Erszegi.Andras(AT)chello.hu),2006年3月31日。请参阅初始状态的链接-N.J.A.斯隆2015年2月12日
这是OddRule 033定义的奇规则元胞自动机(参见Ekhad-Sloane-Zeilberger“方形网格上的奇规则细胞自动机”链接)-N.J.A.斯隆2015年2月25日
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链接
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David Applegate、Omar E.Pol和N.J.A.Sloane,细胞自动机中的牙签序列和其他序列《国会数值》,第206卷(2010年),第157-191页。[定理6中有一个拼写错误:当n>=2时,(13)应读为u(n)=4.3^(wt(n-1)-1)。]
Shalosh B.Ekhad、N.J.A.Sloane和Doron Zeilberger,方形网格上的奇数规则元胞自动机,arXiv:153.04249[math.CO],2015年。
N.J.A.Sloane,《关于细胞自动机中On细胞的数量》,罗格斯大学Doron Zeilberger实验数学研讨会演讲视频,2015年2月5日:第1部分,第2部分
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配方奶粉
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G.f.:产品{k>=0}1+4x^(2^k)。
a(n)=乘积_{k=0.log_2(n)}4^b(n,k),b(n,k)=n的二元展开中的系数2^k。
a(n)=和{k=0..n}(C(n,k)模2)*3^A000120号(n-k)。(结束)
a(n)=和{k=0..n}(C(n,k)模2)*和{j=0..k}(C(k,j)模2-保罗·巴里,2005年4月1日
G.f.A(x)满足0=f(A(x),A(x^2),A(x^4)),其中f(u,v,w)=w*(u^2-2*u*v+5*v^2)-4*v^3-迈克尔·索莫斯,2008年5月29日
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例子
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1+4*x+4*x^2+16*x^3+4*x^4+16*x^5+16**x^6+64*x^7+4*x*^8+。。。
三角形开始:
1;
4;
4,16;
4,16,16,64;
4,16,16,64,16,64,64,256;
4,16,16,64,16,64,64,256,16,64,64,256,64,256,256,1024;
4,16,16,64,16,64,64,256,16,64,64,256,64,256,256,1024,16,64,64,256,64,256,...
(结束)
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MAPLE公司
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seq(4^转换(转换(n,base,2),`+`),n=0..100)#罗伯特·伊斯雷尔2017年4月30日
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数学
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表[4^DigitCount[n,2,1],{n,0,100}](*因德拉尼尔·戈什2017年4月30日*)
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黄体脂酮素
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(PARI){a(n)=如果(n<0,0,4^子集(Pol(二进制(n),x,1))}/*迈克尔·索莫斯2008年5月29日*/
(哈斯克尔)
(Python)
定义a(n):返回4**bin(n)[2:].count(“1”)#因德拉尼尔·戈什2017年4月30日
(Python 3.10+)
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交叉参考
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对于(a,b)的以下值生成函数Prod_{k>=0}(1+a*x^(b^k)),请参见:(1,2)A000012号和A000027号, (1,3)A039966号和A005836号, (1,4)A151666号和A000695号, (1,5)A151667号和A033042号, (2,2)A001316号, (2,3)A151668号, (2,4)A151669号, (2,5)A151670号, (3,2)A048883号, (3,3)A117940型, (3,4)A151665号, (3,5)A151671号, (4,2)A102376号, (4,3)A151672号, (4,4)A151673号, (4,5)A151674号.
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关键词
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容易的,非n,标签
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作者
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状态
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经核准的
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A039966号
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| a(0)=1;此后a(3n+2)=0,a(3n)=a(3n+1)=a。 |
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+10 32
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1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,1
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评论
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将n划分为3的不同幂的分区数。
同构下1的轨迹:1->110,0->000。因此1->110->110110000->1101100001110000000000->-菲利普·德尔汉姆2005年7月9日
还有一个d-完全序列的例子。
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链接
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David Applegate、Omar E.Pol和N.J.A.Sloane,细胞自动机中的牙签序列和其他序列《国会数值》,第206卷(2010年),第157-191页。[定理6中有一个拼写错误:当n>=2时,(13)应读为u(n)=4.3^(wt(n-1)-1)。]
D.Kohel、S.Ling和C.Xing,显式序列扩展《序列及其应用》,C.Ding、T.Helleseth和H.Niederreiter编辑,《1998年SETA会议录》(新加坡,1998年),308-3171999年。
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配方奶粉
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a(0)=1,a(1)=0,a(n)=b(n-2),其中b是由b(0)=1,b(3n+2)=0,b-拉尔夫·斯蒂芬
序列b(n)的欧拉变换,其中b(3^k)=1,b(2*3^k,)=-1,否则为零-迈克尔·索莫斯2005年7月15日
G.f.A.(x)满足A(x)=(1+x)*A(x^3)-迈克尔·索莫斯2005年7月15日
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例子
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如果a(k)=1,则元素(a(3k)、a(3k+1)、a(3k+2))的三元组为(1,1,0),如果a(k)=0,则为(0,0,0)。因此,由于a(2)=0,a(6)=a(7)=a-迈克尔·波特2016年7月11日
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MAPLE公司
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a:=proc(n)选项记忆;如果n<=1,则RETURN(1)结束如果;如果n=2,则返回(0)结束;如果n mod 3=2,则返回(0)结束;如果n mod 3=0,则返回(a(1/3*n))结束;如果n mod 3=1,则返回(a(1/3*n-1/3))end if end proc#拉尔夫·斯蒂芬,2005年6月13日
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数学
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(*first-do*)Needs[“DiscreteMath`Combinatorica`”](*then*)s=Rest[Sort[Plus@@@Table[UnrankSubset[n,Table[3^i,{i,0,4}]],{n,32}]];表[If[位置[s,n]=={},0,1],{n,105}](*罗伯特·威尔逊v2005年6月14日*)
系数列表[系列[积[(1+x^(3^k)),{k,0,5}],{x,0,111}],x](*或*)
嵌套[#/.{0->{0,0,0},1->{1,1,0}}]&,{1},5](*罗伯特·威尔逊v2006年3月29日*)
嵌套[Join[#,#,0#]&,{1},5](*罗伯特·威尔逊v2014年7月27日*)
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黄体脂酮素
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(PARI){a(n)=局部(a,m);如果(n<0,0,m=1;a=1+O(x);while(m<=n,m*=3;a=(1+x)*subst(a,x,x^3));polcoeff(a,n))}/*迈克尔·索莫斯2005年7月15日*/
(PARI)A039966号(n) =vecmax(数字(n+!n,3))<2;
(哈斯克尔)
a039966 n=fromEnum(n<2||m<2&&a039966 n'==1)
其中(n',m)=divMod n 3
(Python)
当n>2时:
n、 r=divmod(n,3)
如果r==2:返回0
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交叉参考
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对于(a,b)的以下值生成函数Product_{k>=0}(1+a*x^(b^k)),请参见:(1,2)A000012号和A000027号, (1,3)A039966号和A005836号, (1,4)A151666号和A000695号, (1,5)A151667号和A033042号, (2,2)A001316号, (2,3)A151668号, (2,4)A151669号, (2,5)A151670号, (3,2)A048883号, (3,3)A117940型, (3,4)A151665号, (3,5)A151671号, (4,2)A102376号, (4,3)A151672号, (4,4)A151673号, (4,5)A151674号.
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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条目修订于2005年6月30日
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状态
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经核准的
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A033052号
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| a(1)=1,a(2n)=16a(n),a(2 n+1)=a(2 n)+1。 |
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+10 20
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0, 1, 16, 17, 256, 257, 272, 273, 4096, 4097, 4112, 4113, 4352, 4353, 4368, 4369, 65536, 65537, 65552, 65553, 65792, 65793, 65808, 65809, 69632, 69633, 69648, 69649, 69888, 69889, 69904, 69905, 1048576, 1048577, 1048592, 1048593, 1048832
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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以16位数字为基数的数字集为{0,1}的数字。
a(n)=Xpower(n,4)-安蒂·卡图恩,1999年4月26日
16的不同幂之和。
对于每个非负n,A000695号(n) 是形式a(k)+4a(l)的唯一和。因此,每个非负n都是形式a(p)+2a(q)+4a(r)+8a(s)的唯一和。这给出了所有非负整数的集合N_0到(N_0)^4的一对一映射。此外,如果对于一个固定的正整数m,考虑4^m的所有不同幂和,则可以得到集N_0到(N_0)^(2^m)的一对一映射-弗拉基米尔·舍维列夫2008年11月14日
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链接
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黄显奎(Xien-Kuei Hwang)、斯万特·简森(Svante Janson)和蔡宗希(Tsung-Hsi Tsai),分治递归二分分裂的恒等式和周期振荡,arXiv:2210.10968[cs.DS],2022年,第45页。
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配方奶粉
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a(n)=和{i=0..m}d(i)*16^i,其中和{i=0..m}d(i)*2^i是n的基-2表示。
a(2n)=16*a(n),a(2n+1)=a(2n)+1。
通用公式:(1/(1-x))*Sum_{k>=0}16^k*x^(2^k)/(1+x^-伊利亚·古特科夫斯基2017年6月4日
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数学
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从数字[#,16]和/@元组[{0,1},5](*文森佐·利班迪2012年6月4日*)
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黄体脂酮素
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(Magma)[1..1050000]|Set(IntegerToSequence(n,16))子集{0,1}]中的n:n//文森佐·利班迪2012年5月4日
(PARI)a(n)=n=Vecrev(二进制(n));总和(i=1,#n,n[i])>>4\\查尔斯·格里特豪斯四世2012年9月23日
(C) inta_next(inta_n){return(a_n+0xeeeeeef)&0x11111111;}/*福尔克·胡夫纳2022年1月24日*/
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交叉参考
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关键词
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非n,基础,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A117940型
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| a(0)=1,之后a(3n)=a(3n+1)/3=a(n),a(3n+2)=0。 |
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+10 20
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1, 3, 0, 3, 9, 0, 0, 0, 0, 3, 9, 0, 9, 27, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 3, 9, 0, 9, 27, 0, 0, 0, 0, 9, 27, 0, 27, 81, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 3, 9, 0, 9, 27, 0, 0, 0, 0, 9, 27, 0, 27, 81, 0, 0, 0, 0, 0, 0
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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观察:如果这是一个三角形(参见示例),那么至少前五行总和与A002001号.-Omar E.Pol,2011年11月28日
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链接
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David Applegate、Omar E.Pol和N.J.A.Sloane,细胞自动机中的牙签序列和其他序列《国会数值》,第206卷(2010年),第157-191页。[定理6中有一个拼写错误:当n>=2时,(13)应读为u(n)=4.3^(wt(n-1)-1)。]
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配方奶粉
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G.f.:乘积{k>=0,1+3x^(3^k)};a(n)=和{k=0..n,和{j=0..n,L(C(n,j)/3)*L(C,n-j,k)/3)}},其中L(j/p)是j和p的勒让德符号。
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例子
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Omar E.Pol的贡献,2011年11月26日(开始):
当写为三角形时,它开始于:
1,
3,0,
3,9,0,0,0,0,
3,9,0,9,27,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,
3,9,0,9,27,0,0,0,0,9,27,0,27,81,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,...
(结束)
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交叉参考
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对于(a,b)的以下值生成函数Prod_{k>=0}(1+a*x^(b^k)),请参见:(1,2)A000012号和A000027号, (1,3)A039966号和A005836号, (1,4)A151666号和A000695号, (1,5)A151667号和A033042号, (2,2)A001316号, (2,3)A151668号, (2,4)A151669号, (2,5)A151670号, (3,2)A048883号, (3,3)A117940型, (3,4)A151665号, (3,5)A151671号, (4,2)A102376号, (4,3)A151672号, (4,4)A151673号, (4,5)A151674号.
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关键词
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容易的,非n,标签
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作者
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经核准的
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1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,1
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链接
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David Applegate、Omar E.Pol和N.J.A.Sloane,细胞自动机中的牙签序列和其他序列《国会数值》,第206卷(2010年),第157-191页。[定理6中有一个拼写错误:当n>=2时,(13)应读为u(n)=4.3^(wt(n-1)-1)。]
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配方奶粉
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通用公式:Prod_{k>=0}(1+x^(4^k))。指数给出A000695号.
G.f.A.(x)满足:A(x)=(1+x)*A(x^4)-伊利亚·古特科夫斯基2019年8月12日
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数学
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术语=105;
kmax=Log[4,terms]//上限;
系数列表[乘积[1+x^(4^k),{k,0,kmax}]+O[x]^(kmax项),x][[1;;项]](*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2018年7月31日*)
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黄体脂酮素
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(哈斯克尔)
a151666 n=来自枚举(n<2||m<2&&a151666n'==1)
其中(n',m)=divMod n 4
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交叉参考
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对于(a,b)的以下值生成函数Prod_{k>=0}(1+a*x^(b^k)),请参见:(1,2)A000012号和A000027号, (1,3)A039966号和A005836号, (1,4)A151666号和A000695号, (1,5)A151667号和A033042号, (2,2)A001316号, (2,3)A151668号, (2,4)A151669号, (2,5)A151670号, (3,2)A048883号, (3,3)A117940型, (3,4)A151665号, (3,5)A151671号, (4,2)A102376号, (4,3)A151672号, (4,4)A151673号, (4,5)A151674号.
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关键词
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非n
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