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（来自的问候整数序列在线百科全书!)
搜索： a031177-编号：a031176
显示找到的21个结果中的1-10个。 第页12 3
    排序：关联|参考文献|数|被改进的|创建     格式：长的|短的|数据
A193995号 确定数字是否满意所需的最大术语数(A007770号或A031177号). +20
2
1, 9, 13, 8, 12, 17, 6, 13, 12, 2, 10, 13, 3, 14, 11, 8, 13, 11, 5, 8, 13, 14, 4, 9, 11, 10, 14, 4, 10, 13, 3, 4, 12, 12, 13, 16, 8, 10, 13, 9, 14, 8, 12, 5, 15, 12, 11, 14, 5, 12, 11, 11, 13, 15, 13, 10, 12, 8, 10, 17, 9, 10, 16, 12, 10, 15, 10, 3, 13, 6 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
评论
数字1是唯一一个只需要一个术语就可以确定它是否幸福的术语。尽管b文件显示只有少数数字具有8个术语，请参见1996年1月从78999开始了解更多信息。
链接
T.D.Noe，n=1..10000时的n，a（n）表
例子
对于n=2，a（n）=9，因为迭代次数是2、4、16、37、58、89、145、42、20、4、十六，。。。
数学
f[n_]：=总数[整数位数[n]^2]；表[Length[NestWhileList[f，n，UnsameQ，All]]-1，{n，100}]
关键字
非n,基础
作者
T.D.诺伊，2011年8月23日
状态
经核准的
1996年1月 需要8次迭代才能确定是否满意的数字(A007770号和A031177号). +20
1
4, 16, 20, 37, 42, 58, 89, 145, 78999, 79899, 79989, 79998, 87999, 89799, 89979, 89997, 97899, 97989, 97998, 98799, 98979, 98997, 99789, 99798, 99879, 99897, 99978, 99987, 378999, 379899, 379989, 379998, 387999, 389799, 389979, 389997, 389999, 397899, 397989 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,1
评论
此序列从最后8个数字开始A039943号78999是这里第一个快乐的数字。
链接
n=1..39时的n，a（n）表。
数学
f[n_]：=总数[整数位数[n]^2]；选择[Range[400000]，Length[NestWhileList[f，#，UnsameQ，All]]-1==8&]
关键字
非n,基础
作者
T.D.诺伊，2011年8月23日
状态
经核准的
A007770号 快乐数字：其轨迹在数字平方和迭代下映射的数字（参见A003132号)包括1。 +10
86
1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100, 103, 109, 129, 130, 133, 139, 167, 176, 188, 190, 192, 193, 203, 208, 219, 226, 230, 236, 239, 262, 263, 280, 291, 293, 301, 302, 310, 313, 319, 320, 326, 329, 331, 338 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
评论
有时称为友好数字，但这种用法已被弃用。
Gilmer表明，该序列的较低密度＜0.1138，较高密度＞0.18577-查尔斯·格里特豪斯四世，2011年12月21日
修正了上述评论中的上下密度不等式-内森福克斯2013年3月14日
Grundman通过达到1:0、5、1、2、4、3、3、2、3、4、4、2、5、3、3,2、4。。。(A090425号（n） -1）。例如，对于n=2，7的高度是5，因为它需要5次迭代：7->49->97->130->10->1-R.J.马塔尔2017年7月9日
El-Sedy&Siksek证明了该序列包含任意长的连续项子序列；即该序列的上均匀密度为1-查尔斯·格里特豪斯四世2022年9月12日
参考文献
L.E.Dickson，《数字理论史》，第一卷：可除性和基本性，AMS Chelsea Publ。，1999
R.K.Guy，未解决问题数论，Sect。E34。
J.N.Kapur，《数学家的反思》，第34章，第319-324页，新德里Arya书店，1996年。
链接
Jud McCranie，n=1..143071的n，a（n）表
布里安娜·贝克·斯沃特、苏珊·克鲁克、海伦·G·格兰德曼、劳拉·哈尔·塞利格、梅梅和劳丽·扎克，增广广义快乐函数的不动点Ⅱ：绿洲与幻影，arXiv:1908.02194[math.NT]，2019年。
蔡先生和周先生，快乐数字的高度《落基山数学》。38 (6) (2008) 1921.
E.El-Sedy和S.Siksek，关于快乐数字《落基山数学杂志》。30 (2000), 565-570.
贾斯汀·吉尔默，关于快乐数的密度，arXiv:1110.3836[math.NT]，2011-2015。
H.G.Grundmann，半快乐数字，J.国际顺序。13 (2010), 10.4.8.
B.L.Mayer和L.H.A.Monteiro，自然数和幸福数的除数：基于熵和图的研究AIMS数学（2023）第8卷第6期，13411-13424。
卢卡·奥尼斯，关于快乐数的一种变体及其推广，arXiv:2203.03381[math.GM]，2022。
郝磐，连续快乐数字，arXiv:math/0607213[math.NT]，2006年。
W.施耐德，快乐数字（包括10000以下的术语列表）
R.Styer，连续快乐数字串的最小示例，J.国际顺序。13 (2010), 10.6.3.
埃里克·魏斯坦的数学世界，快乐数字
埃里克·魏斯坦的数学世界，数字加法
维基百科，快乐数字
公式
来自Ulrich Krug（leuktfeuer37（AT）gmx.de），2009年4月23日：（开始）
1） 每10 ^k的幂都是序列的一个成员。
2） 如果n是成员，则通过在n中任意位置放置零获得的数字是成员。
3） 如果n是成员，则n的每个数字排列都会给出另一个成员。
4） 如果重复的平方数字求和过程给出了一个已经是序列成员的数字，则起始数字属于序列。
5） 如果n是一个成员，那么由n 1组成的repunit就是一个成员。
6） 如果n是一个成员，删除任意数字d，则由n和d^21的剩余数字组成的新数字就是一个成员。
7） 据推测，该序列包含无限数量的素数（见A035497号).
8） 对于任何起始数，平方数字的重复求和过程以1结束，或给出以（37,58,89145,42,20,4,16,37）结束的“8循环”（End）
例子
1正常。2-->4-->16-->37-->…-->4，与句点8重复，因此永远不会达到1，因此2（和4）不高兴。
一位记者表示，98岁的人很幸福，但事实并非如此。它进入一个循环98->145->42->20->4->16->37->58->89->145。。。
数学
f[n_]：=总数[整数位数[n]^2]；选择[Range[400]，NestWhile[f，#，UnsameQ，All]==1&](*T.D.诺伊2011年8月22日*）
选择[Range[1000]，FixedPoint[Total[Integer Digits[#]^2]&，#，10]==1&](*哈维·P·戴尔2011年10月9日*）
（*使用递归公式测试数字是否满意的示例*）
a[1]=7；
a[n_]：=总和[（Floor[a[n-1]/10^k]-10*Floor[a[n-1]/10^（k+1）]）^（2），{k，0，
楼层[Log[10，a[n-1]]}]
表[a[n]，{n，1，10}](*何塞·德·杰苏斯·卡马乔·麦地那2014年3月29日*）
黄体脂酮素
（哈斯克尔）
a007770 n=a007770_列表！！（n-1）
a007770_list=过滤器（（==1）。a103369）[1..]
--莱因哈德·祖姆凯勒，2011年8月24日
（PARI）ssd（n）=n=数字（n）；总和（i=1，#n，n[i]^2）
为（n）=而（n>6，n=ssd（n））；n==1\\查尔斯·格里特豪斯四世2012年11月20日
（Python）
def-ssd（n）：返回和（int（d）**2，用于str（n）中的d）
定义正常（n）：
当n不在[1，4]中时：n=ssd（n）#迭代到不动点或循环中
返回n==1
定义aupto（n）：如果确定（k），返回[k代表范围（1，n+1）中的k]
打印（aupto（338））#迈克尔·布拉尼基2021年1月7日
交叉参考
参见。A003132号（底层地图），A001273号,A035497号（快乐素数），A046519号,A031177号,A002025号,A050972号,A050973号,A074902号,A103369号,A035502号,A068571号,A072494号,A124095型,A219667型,A239320型（基数3），A240849型（以5为基数）。
参见。A090425号（需要迭代，包括开始和结束）。
关键字
非n,基础,美好的,容易的
作者
N.J.A.斯隆A.R.麦肯齐（AT）bnr.co.uk
状态
经核准的
A056527号 平方位的迭代和确定为循环模式的数字（实际上是13、16、13、16…）。 +10
4
2, 4, 5, 7, 11, 13, 14, 16, 20, 22, 23, 25, 29, 31, 32, 34, 38, 40, 41, 43, 47, 49, 50, 52, 56, 58, 59, 61, 65, 67, 68, 70, 74, 76, 77, 79, 83, 85, 86, 88, 92, 94, 95, 97, 101, 103, 104, 106, 110, 112, 113, 115, 119, 121, 122, 124, 128, 130, 131, 133, 137, 139, 140 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,1
评论
数==2、4、5或7 mod 9，即使得n^4与n^2 mod 9不全等。
与{2,4,5,7}模9同余的数字。
链接
科林·巴克，n=1..1000时的n，a（n）表
常系数线性递归的索引项，签名（1，0，0，1，-1）。
公式
当n>5时，a（n）=a（n-1）+a（n-4）-a（n-5）-哈维·P·戴尔2015年4月5日
发件人科林·巴克2017年12月19日：（开始）
通用格式：x*（2+2*x+x^2+2*x^3+2*x^4）/（（1-x）^2*（1+x）*（1+x^2））。
a（n）=（-9+（-1）^（1+n）-（3-3*i）*（-i）^n-（3+3*i，i^n+18*n）/8，其中i=sqrt（-1）。
（结束）
例子
a（1）=2，因为迭代开始于2，4，7，13，16，13。。。。
数学
压扁[表[9n+｛2，4，5，7｝，｛n，0，20｝]]（*或*）线性递归[｛1，0，0，1，-1｝，｛2，4，5，7，11｝，100](*哈维·P·戴尔2015年4月5日*）
黄体脂酮素
（PARI）Vec（x*（2+2*x+x^2+2*x^3+2*x^4）/（1-x）^2*（1+x）*（1+x^2））+O（x^80）\\科林·巴克2017年12月19日
交叉参考
参见。A004159号平方的位数之和，A056020型其中迭代定为1，A056020型其中迭代设置为9A056528号,A056529号.不满意的数字A031177号处理数字和平方的迭代，而不是一个结果。
关键字
基础,容易的,非n
作者
亨利·博托姆利2000年6月19日
状态
经核准的
A103369号 最终周期部分开始的2位加法序列中的数字。 +10
4
1, 4, 37, 4, 89, 89, 1, 89, 37, 1, 4, 89, 1, 89, 16, 16, 89, 37, 1, 20, 89, 89, 1, 20, 89, 16, 89, 1, 89, 37, 1, 1, 37, 89, 89, 89, 37, 58, 37, 16, 89, 42, 89, 1, 89, 89, 37, 89, 1, 89, 16, 89, 89, 89, 89, 37, 37, 58, 37, 89, 37, 16, 89, 89, 37, 89, 89, 1, 16, 1, 89, 89, 58 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
评论
一个(A007770号（n） ）=1；一个(A031177号（n） ）>1-莱因哈德·祖姆凯勒2013年3月16日
链接
莱因哈德·祖姆凯勒（Reinhard Zumkeller），n=1..10000时的n，a（n）表
埃里克·魏斯坦的数学世界，数字加法
例子
n=3的2位数条件序列是{3，9，81，65，61，37，58，89，145，42，20，4，16，37，…}，因此a（3）=37。
黄体脂酮素
（哈斯克尔）
a103369=直到（`elem`a039943_list）a003132
a103369_list=映射a103369[1..]
--莱因哈德·祖姆凯勒，2011年10月17日，2011年8月24日
交叉参考
参见。A007770号,A031176号,A003132号,A039943号.
关键字
非n,基础
作者
埃里克·韦斯特因2005年2月2日
状态
经核准的
A161872号 以n为基数的最小不愉快数字（如果基数中没有不愉快数字，则为0）。 +10
4
0, 2, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 7, 2, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 5, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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2,2
评论
所有正整数都是以2和4为基数的快乐数；它们被称为“快乐基地”。没有其他幸福基础<500000000。
链接
安蒂·卡图恩，n=2..10082时的n，a（n）表
安蒂·卡图恩，数据补充：n，a（n）计算为n=2..100000
迪诺·洛伦齐尼（Dino Lorenzini）、曼泽洛斯·梅利斯塔斯（Mentzelos Melistas）、阿文德·苏雷什（Arvind Suresh）、马科托·苏瓦马（Makoto Suwama）和王海阳（Haiyang Wang），整数动力学，arXiv:2105.14361[math.NT]，2021。
数学
表[If[MemberQ[{2，4}，n]，0，Block[{k=2}，While[NestWhile[Cotal[IntegerDigits[#，n]^2]&，k，UnsameQ，All]==1，k++]；k] ]，{n，2105}](*迈克尔·德弗利格2018年11月6日*）
黄体脂酮素
（PARI）A161872号（n） =if（（2==n）||（4==n），0，对于（k=2，oo，my（visited=Map（），t=k））；while（t！=1，if（mapisdefined（visited，t），return（k），mapput（visiteed，t，t））；t=vecsum（应用（d->（d*d），数字（t，n）））\\安蒂·卡图恩2018年11月6日
交叉参考
参见。A031177号（以10为基数的不满意数字）。
关键字
非n
作者
贾德·麦克拉尼，2009年6月20日
状态
经核准的
A094480号 不快乐的素数，也就是不快乐的数字。 +10
3
2, 3, 5, 11, 17, 29, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 83, 89, 101, 107, 113, 127, 131, 137, 149, 151, 157, 163, 173, 179, 181, 191, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 241, 251, 257, 269, 271, 277, 281, 283, 307, 311, 317, 337, 347, 349, 353, 359, 373, 389 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,1
链接
n=1..57时的n、a（n）表。
交叉参考
对比不满意的数字(A031177号)，快乐的黄金时期(A035497号).
关键字
容易的,非n
作者
杰拉尔德·席尔德伯格2004年6月5日
状态
经核准的
A161874号 不愉快数字最小的基数（在此基数中）>2。 +10
3
16、18、20、30、130、256、1042、4710、7202、10082、47274、65536、65600、351634、4265330、431730、764930、5921514、26639560、32435910、88605010、97025190、99562110 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,1
评论
a（12）>50000（如果存在）-阿米拉姆·埃尔达尔2020年6月16日
a（18）>1.5*10^6（如果存在）。与基数a（1）-a（17）相对应的最小不愉快数字是3、7、3、5、20、3、12、3、3、14、3、三、3、3,3、3和23-乔瓦尼·雷斯塔2020年6月25日
以基数（a（18）。。。，a（23））是（3，23，3，261，6，12）-卢卡斯·布朗，2023年4月25日
a（24）>10^8（如果存在）-卢卡斯·布朗2023年4月25日
链接
n=1..23时的n，a（n）表。
卢卡斯·布朗，A161874.c
例子
在基数16中，2是高兴的，因为它生成的序列是2->4->（1,0）->1，而3是不高兴的，原因是它生成的顺序是3->9->（5,1）->（1,10）->（6,5）->（3,13）->（11,2）->（7,13）->>（0,13）->（10,9）->。。。，以句点6重复。
数学
happyQ[n_，b_]：=NestWhile[Total[Integer Digits[#，b]^2]&，n，UnsameQ，All]==1；选择[范围[2256]！成员Q[{2，4}，#]&&happyQ[2，#]&](*阿米拉姆·埃尔达尔2020年6月16日*）
交叉参考
参见。A031177号（以10为基数的不满意数字），A161872号,A362026飞机.
关键字
非n,基础,更多
作者
贾德·麦克拉尼，2009年6月20日
扩展
a（11）来自阿米拉姆·埃尔达尔2020年6月16日
a（12）-a（17）来自乔瓦尼·雷斯塔2020年6月25日
a（18）来自卢卡斯·布朗2022年8月17日
a（19）来自卢卡斯·布朗2022年8月26日
a（20）-a（23）来自卢卡斯·布朗2023年4月25日
状态
经核准的
A209242型 以n为基数的最大固定值（既不高兴也不悲伤）。 +10
3
8、1、18、1、45、52、50、1、72、125、160、1、128、1、261、260、200、1、425、405、490、1、338、1、657、628、450、848、936、845、1000、832、648、1、1233、1377、800、1、1450、1445、1813、1341、1058、1856、2125、1844、1250、1525、1352、2205、2560、1、2873、1、3200 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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3.1个
评论
如果一个数字是其自身平方数字的和，那么它就是一个固定值。这些值>1是唯一一个不满意的数字(A007770号)也不会不高兴(A031177美元)在那个基地。
以B为基数的固定值的数目(A193583号)小于（1+B^2）的除数（Beardon，1998，定理3.1）。
以B为基数的不动点不超过2位，两位数字a+bB必须满足（2a-1）^2+（2b-B）^2=1+B^2的条件（Beardon，1998，定理2.5）。因为将1+B^2表示为两个平方和的方法是有限的(A002654号)，这限制了搜索空间。
因为不动点在基数B中的最大值为B^2-1，所以在完美平方x^2附近有大量的解。令人惊讶的是，在“半正方形”（x+.5）^2附近也有大量的点。请参阅链接中的“乌拉姆螺旋”。
链接
n，a（n）表，n=3。.57。
克里斯蒂安·安德森，所有固定值以n为基数，n=3..10000
克里斯蒂安·安德森，以n为基数的最大固定值的Ulam螺旋=3..1000
阿兰·比尔登，数字平方和《数学公报》，82（1998），379-388。
例子
a（7）=45，因为在基数7中，45是63，6^2+3^2=45。以7为基数的其他固定值为32、25、10和（一如既往）1。
黄体脂酮素
（R） #ya=固定点数量，yb=这些固定点的值
图书馆（gmp）；ya=代表（0200）；yb=矢量（“列表”，200）
for（3:200中的B）{
w=1+作为.bigz（B）^2
ya[B]=prod（表格（作为数字（因式分解（w）））+1）-1
x=1；y=0；修正值=c（）
如果（ya[B]>1）{
while（2*x^2<w）{
if（平方（（y=数字（w-x^2）））{
y=平方（y）
av=（1+代表（c（-1，-1，1，1），2）*代表（c，x，y），e=4））/2
bv=（B+代表（c（-1，1），4）*rep（c（y，x），e=4））/2
ix=av>=0&av<B&bv>=0&bv<B&！（av==0&bv==0）&isint（av）
固定点=c（固定点，（av+B*bv）[ix]）
}
x=x+1
}
}else fixpt=1
yb[[B]]=排序（唯一（固定点））
}
蓝宝石（yb，最大值）
（Python）
从sympy.theory.digits导入数字
def-ssd（n，b）：返回和（d**2代表数字d（n，b）[1:]）
定义a（n）：
m=n**2-1
而m！=ssd（m，n）：m-=1
返回m
打印（[a（n）代表范围（3,58）中的n）]#迈克尔·布拉尼基2021年8月1日
交叉参考
参见。A007770号,A031177号.
参见。A193583号.
关键字
非n,基础
作者
克里斯蒂安·安德森2013年4月22日
扩展
程序得到改进，序列得到扩展克里斯蒂安·安德森2013年4月25日。
状态
经核准的
A194041号 幸运数字也是不幸数字。 +10
1
3, 9, 15, 21, 25, 33, 37, 43, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 195, 201, 205, 211, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303, 307, 321, 327, 339, 349, 357, 361, 385, 393 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
1,1
评论
一个不快乐的数字是一个不愉快的数字(A007770号)也就是说，数字n使得以n开头的平方和-数字映射的迭代永远不会到达数字1。素数的许多渐近性质被幸运数所共享。
链接
纳撒尼尔·约翰斯顿，n=1..1000时的n，a（n）表
Eric W.Weistein，不满意的数字
Eric W.Weistein，幸运数字
公式
A000959号交叉A031177号.{k使k位于A000959号k不在A007770号}。
交叉参考
参见。A000959号,A007770号,A031177号.
关键字
非n,容易的
作者
乔纳森·沃斯邮报2011年8月12日
状态
经核准的
第页12 3

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