搜索: a028916-编号:a028916
|
|
|
|
1、2、1、6、5、4、10、11、10、14、15、1、14、5、9、20、21、24、19、4、6、26、26、12、14、29、16、31、29、22、24、31、34、1、26、5、28、35、40、19、41、39、44、38、29、45、42、4、6、35、51、16、46、20、51、54、55、56、30、52、54、34、36、56、58、40、9、11
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
抵消
|
1,2
|
|
链接
|
|
|
例子
|
-- ---- ----------------
1 1 2 = 1^2 + 1^4
2 2 5 = 2^2 + 1^4
3 1 17 = 1^2 + 2^4
4 6 37 = 6^2 + 1^4
5 5 41 = 5^2 + 2^4
6 4 97 = 4^2 + 3^4
7 10 101 = 10^2 + 1^4
8 11 137 = 11^2 + 2^4
9 10 181 = 10^2 + 3^4
10 14 197 = 14^2 + 1^4
|
|
黄体脂酮素
|
(PARI)请参阅链接部分。
|
|
交叉参考
|
|
|
关键词
|
非n
|
|
作者
|
|
|
状态
|
经核准的
|
|
|
|
|
|
|
2, 8, 34, 134, 615, 2813, 13415, 65162, 323858, 1626844, 8268241, 42417710
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
抵消
|
1,1
|
|
评论
|
伊瓦涅克和弗里德兰德证明了i^2+j^4形式的素数存在无穷大。
具有多个表示形式的素数被计算多次。
如果我们不计算重复次数,序列是A226497号: 2, 6, 28, 121, 583, 2724, 13175, 64551, ..., .
|
|
链接
|
|
|
例子
|
2=1 ^2+1 ^4,5=2 ^2+1^4,17=4 ^2+1A ^4=1 ^2+2 ^4,…,97=9 ^2+2 ^4=4 ^2+3 ^4等等。
|
|
数学
|
mx=10^12;lst={};执行[a=i^2+j^4;如果[PrimeQ[a],AppendTo[lst,a]],{i,Sqrt[mx]},{j,Sqrt[Sqrt[mx-i^2]}];表[长度@选择[lst,#<10^n&],{n,12}]
|
|
交叉参考
|
|
|
关键词
|
非n
|
|
作者
|
|
|
状态
|
经核准的
|
|
|
|
|
|
|
1, 1, 2, 2, 4, 6, 9, 13, 21, 34, 50, 77, 121, 191, 292, 458, 727, 1164, 1840, 2904, 4650, 7429, 11869, 19087, 30760, 49474, 79971, 129226, 209823, 340347, 552722, 898655, 1461698, 2381041, 3883079, 6338935, 10357549, 16935173, 27712338, 45381521, 51559329
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
抵消
|
1,3
|
|
评论
|
伊瓦涅克和弗里德兰德证明了i^2+j^4形式的素数存在无穷大。
|
|
链接
|
|
|
例子
|
2 = 1^2+1^4, 5 = 2^2+1^4, 17 = 4^2+1^4 = 1^2+2^4, ..., 97=9^2+2^4=4^2+3^4等。
|
|
数学
|
mx=2^40;lst={};执行[a=i^2+j^4;如果[PrimeQ[a],AppendTo[lst,a]],{i,Sqrt[mx]},{j,Sqrt[Sqrt[mx-i^2]}];表[长度@选择[lst,#<2^n&],{n,40}]
|
|
交叉参考
|
|
|
关键词
|
非n
|
|
作者
|
|
|
状态
|
经核准的
|
|
|
|
|
|
|
2, 6, 28, 121, 583, 2724, 13175, 64551, 322110, 1621929, 8254127
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
抵消
|
1,1
|
|
评论
|
即使一个素数有多个i^2+j^4形式的表示,它也只计算一次。
伊瓦涅克和弗里德兰德证明了i^2+j^4形式的素数存在无穷大。
|
|
链接
|
|
|
数学
|
mx=2^40;lst={};执行[a=i^2+j^4;如果[PrimeQ[a],AppendTo[lst,a]],{i,Sqrt[mx]},{j,Sqrt[Sqrt[mx-i^2]}];表[Length@Select[Union@lst,#<10^n&],{n,12}]
|
|
交叉参考
|
|
|
关键词
|
非n
|
|
作者
|
|
|
状态
|
经核准的
|
|
|
|
|
|
|
1、1、2、2、3、5、7、11、17、28、43、67、108、173、272、434、690、1115、1772、2815、4528、7267、11646、18799、30378、48956、79270、128267、208509、338533、550262、8958284、1457111、2374753、3874445、6327042
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
抵消
|
1,3
|
|
评论
|
伊瓦涅克和弗里德兰德证明了i^2+j^4形式的素数有无穷大,因此a(n)无限制地增加。
不计算双重表示。
|
|
链接
|
约翰·弗里德兰德(John Friedlander)和亨利克·伊瓦涅克(Henryk Iwaniec),使用平价敏感筛计算多项式的质数,PNAS 1997年2月18日94(4)1054-1058。
|
|
数学
|
mx=2^40;lst={};执行[a=i^2+j^4;如果[PrimeQ[a],AppendTo[lst,a]],{i,Sqrt[mx]},{j,Sqrt[Sqrt[mx-i^2]}];表[Length@Select[Union@lst,#<2^n&],{n,40}]
|
|
黄体脂酮素
|
(PARI)a(n)=我的(n=2^n,v=列表(),t);对于(a=1,sqrt(N),对于步骤(b=a%2+1,sqrtint(N-a^2)),2,t=a^2+b^4;if(isprime(t),listput(v,t));1+#vecsort(Vec(v),8)\\查尔斯·格里特豪斯四世2013年6月12日
|
|
交叉参考
|
|
|
关键词
|
非n
|
|
作者
|
|
|
状态
|
经核准的
|
|
|
|
|
A002496号
|
| 形式为k^2+1的素数。 (原名M1506 N0592)
|
|
+10 218
|
|
|
2, 5, 17, 37, 101, 197, 257, 401, 577, 677, 1297, 1601, 2917, 3137, 4357, 5477, 7057, 8101, 8837, 12101, 13457, 14401, 15377, 15877, 16901, 17957, 21317, 22501, 24337, 25601, 28901, 30977, 32401, 33857, 41617, 42437, 44101, 50177
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
抵消
|
1,1
|
|
评论
|
据推测,这个序列是无限的,但这一点从未被证明。
等价描述:形式为P=(p1*p2*…*pm)^k+1的素数,其中p1..pm是素数,并且k>1,因为那时k必须是偶数,P才能是素数。
还素数p,使得phi(p)是一个正方形。
也是x*y+z形式的素数,其中x、y和z是三个连续数-乔瓦尼·特奥菲拉托2004年6月5日
这是一个可以追溯到Mirsky的结果,即p-1无平方的素数p的集合具有密度a,其中a=A005596号表示Artin常数。更准确地说,Sum_{p<=x}mu(p-1)^2=A*x/log x+o(x/log x),因为x趋于无穷大。猜想:和{p<=x,mu(p-1)=1}1=(A/2)*x/logx+o(x/logx)和和{p<0=x,μ(p-1彼得·莫雷(莫雷(奥地利)mpim-bonn.mpg.de),2003年11月3日
也是x^y+1形式的素数,其中x>0,y>1。形式为x^y-1(x>0,y>1)的素数是A000668号(n) ={3、7、31、127、8191、131071、524287、2147483647,…}-亚历山大·阿达姆楚克2007年3月4日
除前两项{2,5}外,连分数(1+sqrt(p))/2的句点为3-阿图尔·贾辛斯基2010年2月3日
除前两项外,与1或17(mod 20)一致-罗伯特·伊斯雷尔2014年10月14日
如果p素数=n^2+1,φ(p)=n^2,余弦(p)=1^2。
除了3以外A019434号{5,17,257,65537},属于这个序列;其中F_k=2^(2^k)+1,phi(F_k)=(2^(2^(k-1))^2。
请参见中的文件“子族和子序列”(&I)A039770美元有关更多详细信息,请使用数据、注释、公式和示例进行证明。(结束)
在这个序列中,以7结尾的素数的出现频率似乎是以1结尾的素数的两倍。这是因为带7的数字来自以4或6结尾的整数,而带1的数字仅来自以0结尾的整数(请参阅De Koninck&Mercier参考)-伯纳德·肖特2020年11月29日
任意椭圆曲线y^2=x^3+dx,(p,d)=1,在GF(p)上具有p-1阶的素数p的集合-沃尔什2021年9月1日
|
|
参考文献
|
Jean-Marie De Koninck和Armel Mercier,1001 Problèmes en Théorie Classique des Nombres,Probléme 211,第34和169页,Ellipses,巴黎,2004年。
列昂哈德·尤勒(Leonhard Euler),《原始数字》(De numeris primis valde magnis)(E283),再版于《奥姆尼亚歌剧院》(Opera Omnia)。Teubner,莱比锡,1911年,系列(1),第3卷,第22页。
G.H.Hardy和E.M.Wright,《数字理论导论》,第5版,牛津大学出版社,1979年,第17页。
休·蒙哥马利(Hugh L.Montgomery),关于解析数论与调和分析之间接口的十次讲座,美国。数学。Soc.,1996年,第208页。
C.斯坦利·奥格维,《明天的数学》。第二版,牛津大学出版社,1972年,第116页。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
大卫·威尔斯,《企鹅奇趣数字词典》(1997年修订版),第134页。
|
|
链接
|
Tewodros Amdeberhan、Luis A.Medina和Victor H.Moll,由反正切和产生的序列的算术性质,J.Numb。《理论》,第128卷,第6期(2008年),第1807-1846页,等式(1.10)。
William D.Banks、John B.Friedlander、Carl Pomerance和Igor E.Shparlinski,欧拉函数值的乘法结构《高级中学与轻罪:休·科维·威廉姆斯六十岁生日致敬讲座》(A.Van der Poorten主编),菲尔德学院通讯41(2004),第29-47页。
|
|
配方奶粉
|
这个序列在n之前有O(sqrt(n)/log(n))项,但这只是一个上限。例如,请参阅Bateman-Horn或Wolf的论文,了解被认为是正确密度的推测。
|
|
MAPLE公司
|
选择(i素数,[2,seq(4*i^2+1,i=1..1000)])#罗伯特·伊斯雷尔2014年10月14日
|
|
数学
|
选择[Range[100]^2+1,PrimeQ]
连接[{2},选择[Range[2,300,2]^2+1,PrimeQ]](*哈维·P·戴尔2018年12月18日*)
|
|
黄体脂酮素
|
(PARI)是A002496(n)=是素数(n)和发行量(n-1)\\迈克尔·波特2010年3月21日
(PARI)是_A002496号(n) =issquare(n-1)&&isprime(n)\\对于10^10及以上范围内的“随机”数字,其速度至少是上述数字的5倍-M.F.哈斯勒2014年10月14日
(Magma)[p:p in PrimesUpTo(100000)|IsSquare(p-1)]//文森佐·利班迪2011年4月9日
(哈斯克尔)
a002496 n=a002496_列表!!(n-1)
a002496_list=过滤器((==1)。a010051')a002522列表
(Python)
#需要Python 3.2或更高版本
从itertools导入累加
从sympy导入isprime
A002496号_列表=[n+1表示累加中的n(范围(10**5),λx,y:x+2*y-1),如果是i素数(n+1)]#柴华武2014年9月23日
(Python)
#需要Python 2.4或更高版本
从sympy导入isprime
|
|
交叉参考
|
|
|
关键词
|
非n,容易的,美好的
|
|
作者
|
|
|
扩展
|
|
|
状态
|
经核准的
|
|
|
|
|
|
|
2, 5, 10, 17, 20, 25, 26, 32, 37, 41, 50, 52, 65, 80, 82, 85, 90, 97, 101, 106, 116, 117, 122, 130, 137, 145, 160, 162, 170, 181, 185, 197, 202, 212, 225, 226, 241, 250, 257, 260, 265, 272, 277, 281, 290, 292, 305, 306, 320, 325, 337, 340, 356, 362, 370, 377
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
抵消
|
1,1
|
|
评论
|
虽然有正方形、立方体、五次方。。。在这个序列中,没有第四次幂-阿尔图·阿尔坎2016年4月9日
另外,数字z是这样的:对于x,z^5=x^2+y^4,y>=1-M.F.哈斯勒2018年4月16日
|
|
链接
|
J.Friedlander和H.Iwaniec,多项式x^2+y^4捕获其素数,arXiv:math/9811185[math.NT],1998;数学安。148(1998),945-1040。
|
|
例子
|
25=3^2+2^4,所以25是序列的一个元素。
|
|
MAPLE公司
|
isA111925:=进程(n)
局部a、b;
从1开始
如果a^4>=n,则
返回false;
结束条件:;
b:=n-a^4;
如果issqr(b),则
返回true;
结束条件:;
结束do:
结束进程:
选项记忆;
如果n=1,那么
2;
其他的
对于来自procname(n-1)+1 do的a
如果是A111925(a),则
返回a;
结束条件:;
结束do:
结束条件:;
|
|
数学
|
使用[{nn=60},取[Union[First[#]^2+Last[#]#4&/@Tuples[Range[nn],2],nn]](*哈维·P·戴尔2014年7月9日*)
|
|
黄体脂酮素
|
(PARI)列表(lim)=我的(v=列表(),t);lim=1;对于(b=1,sqrtnint(lim-1,4),t=b^4;对于(a=1,平方(lim-t),列表输入(v,t+a^2));集合(v)\\查尔斯·格里特豪斯四世2016年6月7日
(PARI)是(n)=对于(b=1,sqrtnint(n-1,4),如果(issquare(n-b^4),return(1)));0 \\查尔斯·格里特豪斯四世2016年6月7日
|
|
交叉参考
|
|
|
关键词
|
非n
|
|
作者
|
|
|
状态
|
经核准的
|
|
|
|
|
A002645号
|
| 四元素数:形式为x^4+y^4,x>0,y>0的素数。 (原名M5042 N2178)
|
|
+10 23
|
|
|
2, 17, 97, 257, 337, 641, 881, 1297, 2417, 2657, 3697, 4177, 4721, 6577, 10657, 12401, 14657, 14897, 15937, 16561, 28817, 38561, 39041, 49297, 54721, 65537, 65617, 66161, 66977, 80177, 83537, 83777, 89041, 105601, 107377, 119617, 121937
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
抵消
|
1,1
|
|
评论
|
已知最大的四次素数是目前已知最大的广义费马素数:1353265位145310^262144+1=(145310^65536)^4+1^4,由Ricky L Hubbard发现-延斯·克鲁斯·安徒生2011年3月20日
形式(a^2+b^2)/2的素数,使得|a^2-b^2|是正方形-托马斯·奥多夫斯基2017年2月22日
|
|
参考文献
|
A.J.C.Cunningham,二项式因子分解,卷。1-9,霍奇森,伦敦,1923-1929;见第1卷,第245-259页。
N.D.Elkies,形式a^4+b^4的素数,《数学芽》,编辑H.D.Ruderman第3卷第3章第22-8页Alpha Theta 1984。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
|
|
链接
|
A.J.C.坎宁安,二项式因子分解,卷。1923-1929年,伦敦霍奇森1-9。[第1卷和第2卷中几页的注释扫描]
欧内斯特·希布斯,素数的分量相互作用,《国会科技大学博士论文》(2022年),见第33页。
|
|
配方奶粉
|
|
|
例子
|
a(1)=2=1^4+1^4。
a(2)=17=1^4+2^4。
a(3)=97=2^4+3^4。
a(4)=257=1 ^4+4 ^4。
|
|
数学
|
nn=100000;排序[Reap[Do[n=a^4+b^4;If[n<=nn&&PrimeQ[n],Sow[n]],{a,nn^(1/4)},{b,a}][[2,1]]
使用[{nn=20},选择[Union[Flatten[Table[x^4+y^4,{x,nn},{y,nn}]],PrimeQ[#]&#<=nn^4+1&]](*哈维·P·戴尔2021年8月10日*)
|
|
黄体脂酮素
|
(PARI)小于等于(lim)=我的(v=列表(2),t);对于步骤(x=1,lim^.25,2,对于步骤(y=2,(lim-x^4)^.25,1,if(isprime(t=x^4+y^4),listput(v,t)));向量排序(Vec(v))\\查尔斯·格里特豪斯四世2011年7月5日
(PARI)列表(lim)=我的(v=列表([2]),x4,t);对于(x=1,sqrtnint(lim=1,4),x4=x^4;对于步长(y=1+x%2,min(sqrtnint(lim-x4,4),x-1),2,if(i素数(t=x4+y^4),listput(v,t)));集合(v)\\查尔斯·格里特豪斯四世2017年8月20日
(哈斯克尔)
a002645 n=a002645_列表!!(n-1)
a002645_list=2:(映射一个000040$过滤器((>1))。a256852)[1..])
|
|
交叉参考
|
|
|
关键词
|
非n,容易的
|
|
作者
|
|
|
扩展
|
更多来自Victoria A Sapko(vsapko(AT)canes.gsw.edu)的条款,2002年11月7日
|
|
状态
|
经核准的
|
|
|
|
|
|
|
17、41、97、137、241、457、641、857、977、1697、2417、2617、3041、4241、5641、6257、6577、7937、8297、9041、9817、11897、13241、14177、14657、15641、16657、22817、27241、32057、36497、44537、47977、48857、52457、53377、60041、62017、70241、75641、78977、83537
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
抵消
|
1,1
|
|
评论
|
|
|
链接
|
|
|
数学
|
选择[表[n^2+16,{n,0,1000}],PrimeQ]
选择[范围[1,301,2]^2+16,PrimeQ](*哈维·P·戴尔2015年11月5日*)
|
|
黄体脂酮素
|
(岩浆)[0..1000]|IsPrime(a)中的[a:n,其中a是n^2+16];
(哈斯克尔)
a243451 n=a243451_list!!(n-1)
a243451_list=[x|x<-a241751_list,a010051'x==1]
(PARI)列表(lim)=如果(lim<17,返回([]));我的(v=列表(),t);对于步骤(n=1,平方(lim\1-16),2,如果(i素数(t=n^2+16),列表输入(v,t));车辆(v)\\查尔斯·格里特豪斯四世2017年8月18日
|
|
交叉参考
|
|
|
关键词
|
非n
|
|
作者
|
|
|
状态
|
经核准的
|
|
|
|
|
|
|
97, 181, 277, 337, 757, 1237, 2017, 3217, 4177, 5557, 5857, 6481, 7477, 11317, 13537, 16981, 19681, 21397, 33937, 37717, 48481, 51157, 52981, 59617, 62581, 65617, 80737, 84181, 87697, 96181, 102481, 106357, 111637, 119797, 144481, 149077, 155317, 160081
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
抵消
|
1,1
|
|
评论
|
推测:序列是无限的。
|
|
链接
|
|
|
数学
|
选择[Range[400]^2+81,PrimeQ](*迈克尔·德弗利格2015年4月19日*)
|
|
黄体脂酮素
|
(哈斯克尔)
a256775 n=a256775_列表!!(n-1)
a256775_list=[x|x<-map(+81)a000290_list,a010051'x==1]
(Magma)[p:p in PrimesUpTo(200000)|IsSquare(p-81)]//文森佐·利班迪2015年4月20日
(PARI)对于(n=1,10^3,如果(i素数(p=n^2+81),打印1(p,“,”))\\德里克·奥尔2015年4月24日
|
|
交叉参考
|
|
|
关键词
|
非n
|
|
作者
|
|
|
状态
|
经核准的
|
|
|
搜索在0.040秒内完成
|