搜索： a028916-编号：a028916
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1、2、1、6、5、4、10、11、10、14、15、1、14、5、9、20、21、24、19、4、6、26、26、12、14、29、16、31、29、22、24、31、34、1、26、5、28、35、40、19、41、39、44、38、29、45、42、4、6、35、51、16、46、20、51、54、55、56、30、52、54、34、36、56、58、40、9、11
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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例子
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-- ---- ----------------
1 1 2 = 1^2 + 1^4
2 2 5 = 2^2 + 1^4
3 1 17 = 1^2 + 2^4
4 6 37 = 6^2 + 1^4
5 5 41 = 5^2 + 2^4
6 4 97 = 4^2 + 3^4
7 10 101 = 10^2 + 1^4
8 11 137 = 11^2 + 2^4
9 10 181 = 10^2 + 3^4
10 14 197 = 14^2 + 1^4
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黄体脂酮素
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（PARI）请参阅链接部分。
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非n
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2, 8, 34, 134, 615, 2813, 13415, 65162, 323858, 1626844, 8268241, 42417710
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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伊瓦涅克和弗里德兰德证明了i^2+j^4形式的素数存在无穷大。
具有多个表示形式的素数被计算多次。
如果我们不计算重复次数，序列是A226497号: 2, 6, 28, 121, 583, 2724, 13175, 64551, ..., .
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例子
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2=1 ^2+1 ^4，5=2 ^2+1^4，17=4 ^2+1A ^4=1 ^2+2 ^4，…，97=9 ^2+2 ^4=4 ^2+3 ^4等等。
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数学
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mx=10^12；lst={}；执行[a=i^2+j^4；如果[PrimeQ[a]，AppendTo[lst，a]]，{i，Sqrt[mx]}，{j，Sqrt[Sqrt[mx-i^2]}]；表[长度@选择[lst，#<10^n&]，{n，12}]
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交叉参考
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非n
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经核准的
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1, 1, 2, 2, 4, 6, 9, 13, 21, 34, 50, 77, 121, 191, 292, 458, 727, 1164, 1840, 2904, 4650, 7429, 11869, 19087, 30760, 49474, 79971, 129226, 209823, 340347, 552722, 898655, 1461698, 2381041, 3883079, 6338935, 10357549, 16935173, 27712338, 45381521, 51559329
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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伊瓦涅克和弗里德兰德证明了i^2+j^4形式的素数存在无穷大。
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例子
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2 = 1^2+1^4, 5 = 2^2+1^4, 17 = 4^2+1^4 = 1^2+2^4, ..., 97=9^2+2^4=4^2+3^4等。
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数学
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mx=2^40；lst＝｛｝；执行[a=i^2+j^4；如果[PrimeQ[a]，AppendTo[lst，a]]，{i，Sqrt[mx]}，{j，Sqrt[Sqrt[mx-i^2]}]；表[长度@选择[lst，#<2^n&]，{n，40}]
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交叉参考
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非n
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作者
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经核准的
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2, 6, 28, 121, 583, 2724, 13175, 64551, 322110, 1621929, 8254127
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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即使一个素数有多个i^2+j^4形式的表示，它也只计算一次。
伊瓦涅克和弗里德兰德证明了i^2+j^4形式的素数存在无穷大。
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链接
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数学
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mx=2^40；lst={}；执行[a=i^2+j^4；如果[PrimeQ[a]，AppendTo[lst，a]]，{i，Sqrt[mx]}，{j，Sqrt[Sqrt[mx-i^2]}]；表[Length@Select[Union@lst，#<10^n&]，{n，12}]
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交叉参考
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非n
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作者
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经核准的
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1、1、2、2、3、5、7、11、17、28、43、67、108、173、272、434、690、1115、1772、2815、4528、7267、11646、18799、30378、48956、79270、128267、208509、338533、550262、8958284、1457111、2374753、3874445、6327042
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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伊瓦涅克和弗里德兰德证明了i^2+j^4形式的素数有无穷大，因此a（n）无限制地增加。
不计算双重表示。
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链接
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约翰·弗里德兰德（John Friedlander）和亨利克·伊瓦涅克（Henryk Iwaniec），使用平价敏感筛计算多项式的质数，PNAS 1997年2月18日94（4）1054-1058。
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数学
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mx=2^40；lst={}；执行[a=i^2+j^4；如果[PrimeQ[a]，AppendTo[lst，a]]，{i，Sqrt[mx]}，{j，Sqrt[Sqrt[mx-i^2]}]；表[Length@Select[Union@lst，#<2^n&]，{n，40}]
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=我的（n=2^n，v=列表（），t）；对于（a=1，sqrt（N），对于步骤（b=a%2+1，sqrtint（N-a^2）），2，t=a^2+b^4；if（isprime（t），listput（v，t））；1+#vecsort（Vec（v），8）\\查尔斯·格里特豪斯四世2013年6月12日
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非n
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作者
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经核准的
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A002496号
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| 形式为k^2+1的素数。
（原名M1506 N0592）
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2, 5, 17, 37, 101, 197, 257, 401, 577, 677, 1297, 1601, 2917, 3137, 4357, 5477, 7057, 8101, 8837, 12101, 13457, 14401, 15377, 15877, 16901, 17957, 21317, 22501, 24337, 25601, 28901, 30977, 32401, 33857, 41617, 42437, 44101, 50177
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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据推测，这个序列是无限的，但这一点从未被证明。
等价描述：形式为P=（p1*p2*…*pm）^k+1的素数，其中p1..pm是素数，并且k>1，因为那时k必须是偶数，P才能是素数。
还素数p，使得phi（p）是一个正方形。
也是x*y+z形式的素数，其中x、y和z是三个连续数-乔瓦尼·特奥菲拉托2004年6月5日
这是一个可以追溯到Mirsky的结果，即p-1无平方的素数p的集合具有密度a，其中a=A005596号表示Artin常数。更准确地说，Sum_{p<=x}mu（p-1）^2=A*x/log x+o（x/log x），因为x趋于无穷大。猜想：和{p<=x，mu（p-1）=1}1=（A/2）*x/logx+o（x/logx）和和{p<0=x，μ（p-1彼得·莫雷（莫雷（奥地利）mpim-bonn.mpg.de），2003年11月3日
也是x^y+1形式的素数，其中x>0，y>1。形式为x^y-1（x>0，y>1）的素数是A000668号（n） ={3、7、31、127、8191、131071、524287、2147483647，…}-亚历山大·阿达姆楚克2007年3月4日
除前两项{2,5}外，连分数（1+sqrt（p））/2的句点为3-阿图尔·贾辛斯基2010年2月3日
除前两项外，与1或17（mod 20）一致-罗伯特·伊斯雷尔2014年10月14日
如果p素数=n^2+1，φ（p）=n^2，余弦（p）=1^2。
除了3以外A019434号{5，17，257，65537}，属于这个序列；其中F_k=2^（2^k）+1，phi（F_k）=（2^（2^（k-1））^2。
请参见中的文件“子族和子序列”（&I）A039770美元有关更多详细信息，请使用数据、注释、公式和示例进行证明。（结束）
在这个序列中，以7结尾的素数的出现频率似乎是以1结尾的素数的两倍。这是因为带7的数字来自以4或6结尾的整数，而带1的数字仅来自以0结尾的整数（请参阅De Koninck&Mercier参考）-伯纳德·肖特2020年11月29日
任意椭圆曲线y^2=x^3+dx，（p，d）=1，在GF（p）上具有p-1阶的素数p的集合-沃尔什2021年9月1日
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参考文献
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Jean-Marie De Koninck和Armel Mercier，1001 Problèmes en Théorie Classique des Nombres，Probléme 211，第34和169页，Ellipses，巴黎，2004年。
列昂哈德·尤勒（Leonhard Euler），《原始数字》（De numeris primis valde magnis）（E283），再版于《奥姆尼亚歌剧院》（Opera Omnia）。Teubner，莱比锡，1911年，系列（1），第3卷，第22页。
G.H.Hardy和E.M.Wright，《数字理论导论》，第5版，牛津大学出版社，1979年，第17页。
休·蒙哥马利（Hugh L.Montgomery），关于解析数论与调和分析之间接口的十次讲座，美国。数学。Soc.，1996年，第208页。
C.斯坦利·奥格维，《明天的数学》。第二版，牛津大学出版社，1972年，第116页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
大卫·威尔斯，《企鹅奇趣数字词典》（1997年修订版），第134页。
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链接
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Tewodros Amdeberhan、Luis A.Medina和Victor H.Moll，由反正切和产生的序列的算术性质，J.Numb。《理论》，第128卷，第6期（2008年），第1807-1846页，等式（1.10）。
William D.Banks、John B.Friedlander、Carl Pomerance和Igor E.Shparlinski，欧拉函数值的乘法结构《高级中学与轻罪：休·科维·威廉姆斯六十岁生日致敬讲座》（A.Van der Poorten主编），菲尔德学院通讯41（2004），第29-47页。
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配方奶粉
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这个序列在n之前有O（sqrt（n）/log（n））项，但这只是一个上限。例如，请参阅Bateman-Horn或Wolf的论文，了解被认为是正确密度的推测。
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MAPLE公司
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选择（i素数，[2，seq（4*i^2+1，i=1..1000）]）#罗伯特·伊斯雷尔2014年10月14日
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数学
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选择[Range[100]^2+1，PrimeQ]
连接[{2}，选择[Range[2，300，2]^2+1，PrimeQ]](*哈维·P·戴尔2018年12月18日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）是A002496（n）=是素数（n）和发行量（n-1）\\迈克尔·波特2010年3月21日
（PARI）是_A002496号（n） =issquare（n-1）&&isprime（n）\\对于10^10及以上范围内的“随机”数字，其速度至少是上述数字的5倍-M.F.哈斯勒2014年10月14日
（Magma）[p:p in PrimesUpTo（100000）|IsSquare（p-1）]//文森佐·利班迪2011年4月9日
（哈斯克尔）
a002496 n=a002496_列表！！（n-1）
a002496_list=过滤器（（==1）。a010051'）a002522列表
（Python）
#需要Python 3.2或更高版本
从itertools导入累加
从sympy导入isprime
A002496号_列表=[n+1表示累加中的n（范围（10**5），λx，y:x+2*y-1），如果是i素数（n+1）]#柴华武2014年9月23日
（Python）
#需要Python 2.4或更高版本
从sympy导入isprime
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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2, 5, 10, 17, 20, 25, 26, 32, 37, 41, 50, 52, 65, 80, 82, 85, 90, 97, 101, 106, 116, 117, 122, 130, 137, 145, 160, 162, 170, 181, 185, 197, 202, 212, 225, 226, 241, 250, 257, 260, 265, 272, 277, 281, 290, 292, 305, 306, 320, 325, 337, 340, 356, 362, 370, 377
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,1
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评论
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虽然有正方形、立方体、五次方。。。在这个序列中，没有第四次幂-阿尔图·阿尔坎2016年4月9日
另外，数字z是这样的：对于x，z^5=x^2+y^4，y>=1-M.F.哈斯勒2018年4月16日
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链接
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J.Friedlander和H.Iwaniec，多项式x^2+y^4捕获其素数，arXiv:math/9811185[math.NT]，1998；数学安。148（1998），945-1040。
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例子
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25=3^2+2^4，所以25是序列的一个元素。
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MAPLE公司
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isA111925:=进程（n）
局部a、b；
从1开始
如果a^4>=n，则
返回false；
结束条件：；
b:=n-a^4；
如果issqr（b），则
返回true；
结束条件：；
结束do：
结束进程：
选项记忆；
如果n=1，那么
2;
其他的
对于来自procname（n-1）+1 do的a
如果是A111925（a），则
返回a；
结束条件：；
结束do：
结束条件：；
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数学
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使用[{nn=60}，取[Union[First[#]^2+Last[#]#4&/@Tuples[Range[nn]，2]，nn]](*哈维·P·戴尔2014年7月9日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）列表（lim）=我的（v=列表（），t）；lim=1；对于（b=1，sqrtnint（lim-1,4），t=b^4；对于（a=1，平方（lim-t），列表输入（v，t+a^2））；集合（v）\\查尔斯·格里特豪斯四世2016年6月7日
（PARI）是（n）=对于（b=1，sqrtnint（n-1，4），如果（issquare（n-b^4），return（1）））；0 \\查尔斯·格里特豪斯四世2016年6月7日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A002645号
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| 四元素数：形式为x^4+y^4，x>0，y>0的素数。
（原名M5042 N2178）
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+10
23
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2, 17, 97, 257, 337, 641, 881, 1297, 2417, 2657, 3697, 4177, 4721, 6577, 10657, 12401, 14657, 14897, 15937, 16561, 28817, 38561, 39041, 49297, 54721, 65537, 65617, 66161, 66977, 80177, 83537, 83777, 89041, 105601, 107377, 119617, 121937
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,1
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评论
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已知最大的四次素数是目前已知最大的广义费马素数：1353265位145310^262144+1=（145310^65536）^4+1^4，由Ricky L Hubbard发现-延斯·克鲁斯·安徒生2011年3月20日
形式（a^2+b^2）/2的素数，使得|a^2-b^2|是正方形-托马斯·奥多夫斯基2017年2月22日
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参考文献
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A.J.C.Cunningham，二项式因子分解，卷。1-9，霍奇森，伦敦，1923-1929；见第1卷，第245-259页。
N.D.Elkies，形式a^4+b^4的素数，《数学芽》，编辑H.D.Ruderman第3卷第3章第22-8页Alpha Theta 1984。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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A.J.C.坎宁安，二项式因子分解，卷。1923-1929年，伦敦霍奇森1-9。[第1卷和第2卷中几页的注释扫描]
欧内斯特·希布斯，素数的分量相互作用，《国会科技大学博士论文》（2022年），见第33页。
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配方奶粉
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例子
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a（1）=2=1^4+1^4。
a（2）=17=1^4+2^4。
a（3）=97=2^4+3^4。
a（4）=257=1 ^4+4 ^4。
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数学
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nn=100000；排序[Reap[Do[n=a^4+b^4；If[n<=nn&&PrimeQ[n]，Sow[n]]，{a，nn^（1/4）}，{b，a}][[2，1]]
使用[{nn=20}，选择[Union[Flatten[Table[x^4+y^4，{x，nn}，{y，nn}]]，PrimeQ[#]&#<=nn^4+1&]](*哈维·P·戴尔2021年8月10日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）小于等于（lim）=我的（v=列表（2），t）；对于步骤（x=1，lim^.25,2，对于步骤（y=2，（lim-x^4）^.25,1，if（isprime（t=x^4+y^4），listput（v，t）））；向量排序（Vec（v））\\查尔斯·格里特豪斯四世2011年7月5日
（PARI）列表（lim）=我的（v=列表（[2]），x4，t）；对于（x=1，sqrtnint（lim=1,4），x4=x^4；对于步长（y=1+x%2，min（sqrtnint（lim-x4，4），x-1），2，if（i素数（t=x4+y^4），listput（v，t）））；集合（v）\\查尔斯·格里特豪斯四世2017年8月20日
（哈斯克尔）
a002645 n=a002645_列表！！（n-1）
a002645_list=2：（映射一个000040$过滤器（（>1））。a256852）[1..]）
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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更多来自Victoria A Sapko（vsapko（AT）canes.gsw.edu）的条款，2002年11月7日
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状态
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经核准的
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17、41、97、137、241、457、641、857、977、1697、2417、2617、3041、4241、5641、6257、6577、7937、8297、9041、9817、11897、13241、14177、14657、15641、16657、22817、27241、32057、36497、44537、47977、48857、52457、53377、60041、62017、70241、75641、78977、83537
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,1
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评论
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链接
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数学
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选择[表[n^2+16，{n，0，1000}]，PrimeQ]
选择[范围[1，301，2]^2+16，PrimeQ](*哈维·P·戴尔2015年11月5日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[0..1000]|IsPrime（a）中的[a:n，其中a是n^2+16]；
（哈斯克尔）
a243451 n=a243451_list！！（n-1）
a243451_list=[x|x<-a241751_list，a010051'x==1]
（PARI）列表（lim）=如果（lim<17，返回（[]））；我的（v=列表（），t）；对于步骤（n=1，平方（lim\1-16），2，如果（i素数（t=n^2+16），列表输入（v，t））；车辆（v）\\查尔斯·格里特豪斯四世2017年8月18日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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经核准的
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97, 181, 277, 337, 757, 1237, 2017, 3217, 4177, 5557, 5857, 6481, 7477, 11317, 13537, 16981, 19681, 21397, 33937, 37717, 48481, 51157, 52981, 59617, 62581, 65617, 80737, 84181, 87697, 96181, 102481, 106357, 111637, 119797, 144481, 149077, 155317, 160081
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,1
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评论
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推测：序列是无限的。
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链接
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数学
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选择[Range[400]^2+81，PrimeQ](*迈克尔·德弗利格2015年4月19日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a256775 n=a256775_列表！！（n-1）
a256775_list=[x|x<-map（+81）a000290_list，a010051'x==1]
（Magma）[p:p in PrimesUpTo（200000）|IsSquare（p-81）]//文森佐·利班迪2015年4月20日
（PARI）对于（n=1，10^3，如果（i素数（p=n^2+81），打印1（p，“，”））\\德里克·奥尔2015年4月24日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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经核准的
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