搜索： a027375-编号：a027376
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2, 6, 2, 14, 6, 6, 30, 14, 24, 12, 62, 30, 60, 60, 30, 126, 62, 126, 180, 180, 54, 254, 126, 252, 420, 630, 378, 126, 510, 254, 504, 852, 1680, 1512, 1008, 240, 1022, 510, 1014, 1620, 3780, 4536, 4536, 2160, 504, 2046, 1022, 2040, 3060, 7590, 11340, 15120, 10800, 5040, 990
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,1
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评论
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T（n，k）是长度为n的自由Motzkin自旋链的量子算符O的特征值的单位根的个数。对于k=1，如果排除特征值2，则给出正确的结果。
关于自由Motzkin自旋链和量子算符O的定义，请参见Hao等人。
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链接
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Kun Hao、Olof Salberger和Vladimir Korepin，自旋链能把组合学和数论联系起来吗？，arXiv:22022.07647[quant-ph]，2022年。见第9-10页。
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例子
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三角形开始：
2;
6, 2;
14, 6, 6;
30, 14, 24, 12;
62、30、60、60、30；
126, 62, 126, 180, 180, 54;
254, 126, 252, 420, 630, 378, 126;
...
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数学
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g[n_]：=除数和[n，（2^#）*MoebiusMu[n/#]&]；二项总和[n_，k_]：=总和[二项式[n，i]，{i，k，n，k}]；T[n_，k_]：=g[k]*二进制和[n，k]；（*见Hao等人的第9页*）
扁平[表格[T[n，k]，{n，10}，{k，n}]]
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黄体脂酮素
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（PARI）T（n，k）=总和（k，d，moebius（d）*2^（k/d））*总和（m=1，n\k，二项式（n，k*m））\\安德鲁·霍罗伊德2022年2月21日
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A001037号
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| GF（2）上n次不可约多项式的个数；翻身时不允许有2种颜色珠子的n珠项链数量，原始周期为n；长度为n的二进制Lyndon单词数。
（原名M0116 N0046 N0287）
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+10
228
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1, 2, 1, 2, 3, 6, 9, 18, 30, 56, 99, 186, 335, 630, 1161, 2182, 4080, 7710, 14532, 27594, 52377, 99858, 190557, 364722, 698870, 1342176, 2580795, 4971008, 9586395, 18512790, 35790267, 69273666, 134215680, 260300986, 505286415, 981706806, 1908866960, 3714566310, 7233615333, 14096302710, 27487764474
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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该序列还表示有向图中长度L在x^2下的圈数N，所见模为梅森素数M_q=2^q-1。这个数字不依赖于q，L是q-1的任何除数。参见Shallit和Vasiga论文的定理5和推论3：N=和（eulerphi（d）/阶（d，2）），其中d是2^（q-1）-1的除数，使得阶（d、2）=L-托尼·雷克斯2005年11月17日
“二进制Lyndon单词数”是指：数字的不等模旋转（循环置换）且周期不小于n的二进制字符串数。这提供了以下链接：A103314号，因为这些字符串对应于U_m（单位的第m个根）的不等零和子集，通过将U_n（n|m）与0或更多U_d（n| d，d|m）的并集乘以某个exp幂（i2Pi/n）使它们相互不相交而获得。（但并非U_m的所有零和子集都是这种形式。）-M.F.哈斯勒2007年1月14日
此外，阈值布尔自动机网络的周期n的动态循环数，该网络是n的倍数大小的准最小正电路，并且是并行更新的玛蒂尔德·诺尔（Mathilde.Noual（AT）ens lyon.fr），2009年2月25日
此外，单位区间上帐篷映射f（x）：=2min{x，1-x}的迭代中周期为（最小）n的周期点的数目-彼得罗·马杰2009年9月22日
与完全断开双曲迭代函数系统相关的移位动力系统中最小周期n的不同循环数（参见Barnsley链接）-米歇尔·马库斯2013年10月6日
对于n>0，a（n）也是与Kolakoski序列相关的变换的大小为n的轨道数A000002号（对于周期n为2^n个周期点的任何映射都是如此）。Kolakoski变换根据其运行长度的顺序改变1和2的序列。Kolakoski序列是这个变换的两个不动点之一，另一个是没有初始项的同一序列。A025142号和A025143号是大小为2的轨道的周期点。A027375号（n） =n*a（n）给出了最小周期n的周期点数。
继Kam Cheong Au（2020）之后，设d（w，N）为重量w的Q-span和有色多重zeta值（CMZV）的水平N的维数。这里Q是有理数。
Deligne的界表示当N>=3时，d（w，N）<=d（w，N），其中1+Sum_{w>=1}d（w、N）*t^w=（1-a*t+b*t^2）^（-1），其中a=phi（N）/2+omega=A001221号（N） 是N的不同素数）。
对于N=3，a=φ（3）/2+ω（3）=2/2+1=2和b=ω（三）-1=0。由此得出D（w，N=3）=A000079号（w） =2^w。
出于某种原因，金昌凹（2020）假设Deligne的界限很紧，即d（w，N）=d（w，N）。他为N>=3设置了求和{w>=1}c（w，N）*t^w=log（1+Sum{w>=1}d（w，N*t^w）=log。
他定义d*（w，N）=Sum_{k|w}（mu（k）/k）*c（w/k，N）为“重量w和水平N的基本常数的数目”。（使用术语A113788号，我们也许可以称d*（w，N）为权重w和级别N的不可约彩色多重zeta值的数量。）
利用g.f's理论的标准技术，我们可以证明和{w>=1}d*（w，N）*t^w=和{s>=1}（mu（s）/s）和{k>=1}c（k，N）*（t^s）^k=-Sum{s>=1}（μ（s）/s*log（1-a*t^s+b*t^（2*s）））。
对于N=3，我们看到a=2和b=0，因此d*（w，N=3）=a（w）=Sum_{k|w}（mu（k）/k）*2^（w/k）/。见锦昌澳（2020年）第6页的表1。（结束）
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参考文献
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Michael F.Barnsley，《分形无处不在》，学术出版社，圣地亚哥，1988年，第171页，引理3。
E.R.Berlekamp，代数编码理论，McGraw-Hill，纽约，1968年，第84页。
E.L.Blanton，Jr.、S.P.Hurd和J.S.McCranie。在平方模m定义的有向图上，当m有本原根时。恭喜。数字。82 (1991), 167-177.
P.J.Freyd和A.Scedrov，《类别，寓言》，北荷兰，阿姆斯特丹，1990年。见1.925。
M.Lothaire，《单词组合数学》，Addison-Wesley，Reading，马萨诸塞州，1983年，第65、79页。
盖伊·梅兰松，使用Maple分解无限单词，MapleTech Journal，第4卷，第1期，1997年，第34-42页，特别是第36页。
M.R.Nester（1999）。一些植物相互作用设计的数学研究。博士论文。澳大利亚布里斯班昆士兰大学。[参见A056391美元第2章的pdf文件]
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括条目N0046和N0287中的该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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E.L.Blanton，Jr.、S.P.Hurd和J.S.McCranie，关于模n平方定义的有向图，斐波纳契夸脱。30 (1992), 322-333.
埃米利·查利尔、马诺·菲利伯特和马诺·斯蒂普兰蒂，尼尔登语，arXiv:1804.09735[math.CO]，2018年。还有J.Comb。你的。A、 167（2019），60-90。
E.N.Gilbert和J.Riordan，周期序列的对称类型伊利诺伊州J.数学。，5 (1961), 657-665.
A.Knopfmacher和M.E.Mays，图形构成I：基本枚举，整数1（2001），A4，等式（1）。
乔治·彼得里德斯（George Petrides）和约翰·米克尔特维特（Johannes Mykkeltveit），周期二元序列的非线性复杂性分类《序列及其应用SETA 2006》，计算机科学讲义，第4086/2006卷，第209-222页。[来自N.J.A.斯隆2009年7月9日]
Y.Puri和T.Ward，周期轨道的算法和增长，J.整数序列。，第4卷（2001年），第01.2.1号。
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配方奶粉
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对于n>=1：
a（n）=（1/n）*和{d|n}亩（n/d）*2^d。
2^n=Sum_{d|n}d*a（d）。
G.f.：1-求和{n>=1}莫比乌斯（n）*log（1-2*x^n）/n，其中莫比乌s（n）=A008683号（n） ●●●●-保罗·D·汉纳2010年10月13日
对于n>=1：
a（n）=（1/n）*Sum_{k=1..n}mu（gcd（n，k））*2^（n/gcd（n，k））/phi（n/gcd（n、k））。
a（n）=（1/n）*Sum_{k=1..n}mu（n/gcd（n，k））*2^gcd（n，k）/phi（n/gcd（n、k））。（结束）
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例子
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a（0）=1=#{“”}，
a（1）=2={“0”，“1”}，
a（2）=1={“01”}，
a（3）=2={“001”，“011”}，
a（4）=3=#{“0001”，“0011”，”0111“}，
a（5）=6=#{“00001”，“00011”，“00101”，”00111“，”01011“，“01111”}。
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MAPLE公司
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带有（数字理论）：A001037号：=proc（n）局部a，d；如果n=0，则返回（1）；否则a:=0:对于除数（n）中的d，做a:=a+mobius（n/d）*2^d；od：返回（a/n）；fi；结束；
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数学
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f[n_]：=块[{d=除数@n}，加号@@（MoebiusMu[n/d]*2^d/n）]；数组[f，32]
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黄体脂酮素
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（PARI）A001037号（n） =如果（n>1，sumdiv（n，d，moebius（d）*2^（n/d））/n，n+1）\\编辑M.F.哈斯勒2016年1月11日
（PARI）{a（n）=polcoeff（1-和（k=1，n，moebius（k）/k*log（1-2*x^k+x*O（x^n）），n）}\\保罗·D·汉纳2010年10月13日
（PARI）a（n）=如果（n>1），我的；对于步骤（i=2^n+1，2^（n+1），2，s+=polisirreducible（Mod（1,2）*Pol（binary（i）））；s、 n+1）\\查尔斯·格里特豪斯四世2012年1月26日
（哈斯克尔）
a001037 0=1
a001037 n=（sum$map（\d->（a000079 d）*a008683（n`div`d））$
a027750_行n）`div`n
（Python）
从sympy导入除数，mobius
定义a（n）：如果n>1，则返回和（mobius（d）*2**（n//d）for d in divisors（n））/n#因德拉尼尔·戈什2017年4月26日
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交叉参考
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的行总和A051168号，它给出了具有固定数量的零和一的Lyndon单词的数量。
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关键词
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非n,核心,容易的,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A000740号
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| 基本周期2n的2n-珠平衡二元项链数量，相当于反向补码；b_n=2^（n-1）与mu（n）的Dirichlet卷积；还有Mandelbrot集对应于具有吸引性n圈的Julia集的分量数。
（原名M2582 N1021）
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+10
199
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1、1、3、6、15、27、63、120、252、495、1023、2010、4095、8127、16365、32640、65535、130788、262143、523770、1048509、2096127、4194303、8386440、16777200、33550335、67108608、134209530、268435455、536854005、1073741823、2147450880
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,3
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评论
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也可以将n的组成数转换为相对质数部分（即所有部分的gcd为1）。还有包含n且由相对素数组成的{1,2，..，n}的子集的数目-弗拉德塔·约沃维奇2003年8月13日
a（n）是n次GF（2）[x]中系数非零的一元不可约多项式的个数-米歇尔·马库斯2016年10月30日
a（n）是n的非周期成分数，具有相对质数部分的n的成分数，以及具有相对质素长度的n的组成数-古斯·怀斯曼2017年12月21日
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参考文献
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H.O.Peitgen和P.H.Richter，《分形之美》，Springer-Verlag；A.Douady的贡献，第165页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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Hunki Baek、Sejeong Bang、Dongseok Kim和Jaeun Lee，非周期回文与连通循环图之间的双射，arXiv:1412.2426[math.CO]，2014年。见表2。
弗朗索瓦·维格纳龙和尼古拉·米哈拉什，如何拆分多项式，arXiv:2402.06083[math.NA]，2024年。
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配方奶粉
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a（n）=Sum_{d|n}mu（n/d）*2^（d-1），Mobius变换A011782号此外，Sum_{d|n}a（d）=2^（n-1）。
递归关系：a（n）=2^（n-1）-Sum_{d|n，d>1}a（n/d）。（拉斐特学院问题小组；参见Maple程序和[Iglesias eq（6））-Emeric Deutsch公司2007年4月27日
通用公式：总和{k>=1}亩（k）*x^k/（1-2*x^k）-伊利亚·古特科夫斯基2018年10月24日
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例子
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当n=4时，n的6个组分分成互质部分：<3,1>、<2,1,1>、<1,3>、<1,2,1>、<1,1,2>和<1,1,1,1>。
a（6）=27个非周期成分是：
(11112), (11121), (11211), (12111), (21111),
(1113), (1122), (1131), (1221), (1311), (2112), (2211), (3111),
(114), (123), (132), (141), (213), (231), (312), (321), (411),
(15), (24), (42), (51),
(6).
a（6）=27构成相对主要部分的成分为：
（111111）中，
(11112), (11121), (11211), (12111), (21111),
(1113), (1122), (1131), (1212), (1221), (1311), (2112), (2121), (2211), (3111),
(114), (123), (132), (141), (213), (231), (312), (321), (411),
(15), (51).
a（6）=27组分，具有相对主要的运行长度：
(11112), (11121), (11211), (12111), (21111),
(1113), (1131), (1212), (1221), (1311), (2112), (2121), (3111),
(114), (123), (132), (141), (213), (231), (312), (321), (411),
(15), (24), (42), (51),
(6).
（结束）
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MAPLE公司
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用（数字理论）：a[1]：=1:a[2]：=1:n从3到32对n进行div:=除数（n）：a[n]：=2^（n-1）-和（a[n/div[j]]，j=2..tau（n））od:seq（a[n]，n=1..32）#Emeric Deutsch公司2007年4月27日
使用（numtheory）；A000740号：=n->add（mobius（n/d）*2^（d-1），d以除数（n）表示）#N.J.A.斯隆2012年10月18日
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数学
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=sumdiv（n，d，moebius（n/d）*2^（d-1））
（Python）
从sympy import mobius，除数
定义a（n）：返回和（[mobius（n/d）*2**（d-1）for d in divisors（n）]）
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000837号,A003239号,A008683号,A008965号,A022553号,A034738号,A035928号,A038199号,A051168号,A054525号,A056267号,A059966号,A143424号,电话：167606,A178472号,A216954号,A228369号,A294859型,A296302型.
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关键词
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非n,美好的,容易的,改变
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A000031号
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| 翻身时不允许有2种颜色的n珠项链数量；还有来自简单n级循环移位寄存器的输出序列数；度除n的二元不可约多项式的个数。
（原名M0564 N0203）
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+10
161
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1, 2, 3, 4, 6, 8, 14, 20, 36, 60, 108, 188, 352, 632, 1182, 2192, 4116, 7712, 14602, 27596, 52488, 99880, 190746, 364724, 699252, 1342184, 2581428, 4971068, 9587580, 18512792, 35792568, 69273668, 134219796, 260301176, 505294128, 981706832
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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另外，a（n）-1是词典编纂最小deBruijn循环（Fredricksen）的真值表中的1的数量。
在音乐中，a（n）是n个音符的等调调谐系统中不同类别的音阶和和弦的数量-保罗·坎特雷尔2011年12月28日
此外，不可避免的一组长度为n的二进制单词（Champarnaud、Hansel、Perrin）的最小基数-杰弗里·沙利特，2019年1月10日
φ（n）和2^n的（1/n）*Dirichlet卷积，n>0-理查德·奥尔勒顿2021年5月6日
a（n）是n的偶数！=0, 2. 证明：用奇数s写出n=2^e*s，然后a（n）*s=Sum_{d|s}Sum__{k=0..e}φ（（2^e*s/（2^k*d））*2^ 2^k*s-k-1）+2^（2^e*s-e）==和{k=0.分钟{e-1,1}}2^（2 ^k*s-k-1）（模2）。a（n）是奇数当且仅当s=1和e-1=0，或n=2。
a（n）==2（mod 4）当且仅当n=1，4或n=2*p^e，素数p==3（mod4）。
a（n）==4（mod 8）当且仅当n=2^e，e>=3时为3*2^e，或n=p^e，4*p^e！=12，素数p==3（mod 4），或n=2s，其中s是奇数，使得phi（s）==4（mod 8）。（结束）
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参考文献
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S.W.Golomb，《移位寄存器序列》，Holden-Day，旧金山，1967年，第120、172页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
R.P.Stanley，《枚举组合数学》，剑桥，第2卷，1999年；请参见问题7.112（a）。
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链接
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J.-M.Champarnaud、G.Hansel和D.Perrin，不可避免的定长集，国际。J.阿尔及利亚。计算。14 (2004), 241-251.
James East和Ron Niles，给定周长的整数多边形，arXiv:1710.11245[math.CO]，2017年。
新泽西州罚款，周期序列类伊利诺伊州J.数学。，2 (1958), 285-302.
P.Flajolet和R.Sedgewick，分析组合数学, 2009; 见第18、64页。
E.N.Gilbert和J.Riordan，周期序列的对称类型伊利诺伊州J.数学。，5 (1961), 657-665.
Juhani Karhumäki、S.Puzynina、M.Rao和M.A.Whiteland，关于k-阿贝尔等价类的基数，arXiv预印本arXiv:1605.03319[math.CO]，2016。
亚伯拉罕·伦佩尔，关于德布鲁因图的极值因子，J.组合理论。B 11 1971年17月27日。MR0276126（43号1874）。
维勒·萨洛，一排导线的通用门，arXiv:1809.08050[math.GR]，2018年。
N.J.A.斯隆，关于单删除修正码，arXiv:math/0207197[math.CO]，2002；《规范与设计》（俄亥俄州哥伦布，2000年），273-291，俄亥俄州立大学数学系。Res.Inst.出版物。，10，de Gruyter，柏林，2002年。
大卫·汤姆森，音乐多边形《今日数学》，第57卷，第2期（2021年4月），第50-51页。
R.C.Titsworth，周期序列的等价类伊利诺伊州J.数学。，8 (1964), 266-270.
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配方奶粉
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G.f.：1-总和{n>=1}φ（n）*log（1-2*x^n）/n-赫伯特·科西姆巴2016年10月29日
a（0）=1；a（n）=（1/n）*和{k=1..n}2^gcd（n，k）-伊利亚·古特科夫斯基2021年4月16日
a（0）=1；a（n）=（1/n）*Sum_{k=1..n}2^（n/gcd（n，k））*phi（gcd（n，k））/phi（n/gcd（n，k））-理查德·奥尔勒顿2021年5月6日
Dirichlet g.f.：f（s+1）*（zeta（s）/zeta（s+1）），其中f（s）=和{n>=1}2^n/n^s-宋嘉宁2021年11月13日
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例子
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对于n=3和n=4，项链是{000001011111}和{0000000100111111}。
类似的移位寄存器序列是{000…、001001…、011011…、111…}和{000…，00010001…、00110011…、0101…、01110111…、111..}。
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MAPLE公司
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使用（numtheory）；A000031号：=proc（n）局部d，s；如果n=0，则返回（1）；其他s：=0；对于除数（n）中的d，做s：=s+phi（d）*2^（n/d）；od；返回（s/n）；fi；结束；[顺序(A000031号（n） ，n=0..50）]；
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数学
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a[n_]：=总和[如果[Mod[n，d]==0，EulerPhi[d]2^（n/d），0]，{d，1，n}]/n
a[n_]：=折叠[#1+2^（n/#2）EulerPhi[#2]&，0，除数[n]]/n(*本·布兰曼2011年1月8日*）
表[Expand[CycleIndex[CyclicGroup[n]，t]/。表[t[i]->2，{i，1，n}]]，{n，0，30}](*杰弗里·克雷策2011年3月6日*）
mx=40；系数列表[级数[1-和[EulerPhi[i]对数[1-2*x^i]/i，{i，1，mx}]，{x，0，mx{]，x](*赫伯特·科西姆巴2016年10月29日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a000031 0=1
a000031 n=（`div`n）$总和$
zipWith（*）（映射a000010 divs）（映射a 000079$reverse div）
其中divs=a027750_row n
（Python）
从sympy导入到divisors
定义A000031号（n） ：返回除数（n，生成器=True）中d的和（totient（d）*（1<<n//d））//如果其他n为1#柴华武2022年11月16日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的,核心
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作者
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扩展
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1995年《整数序列百科全书》中的图M3860中有一个错误：在第三行中A000031号=M0564应为（1/n）和φ（d）2^（n/d）。
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状态
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经核准的
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A328596型
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| 反向二进制展开为Lyndon单词（非周期项链）的数字。 |
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+10
67
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1, 2, 4, 6, 8, 12, 14, 16, 20, 24, 26, 28, 30, 32, 40, 44, 48, 52, 56, 58, 60, 62, 64, 72, 80, 84, 88, 92, 96, 100, 104, 106, 108, 112, 116, 118, 120, 122, 124, 126, 128, 144, 152, 160, 164, 168, 172, 176, 180, 184, 188, 192, 200, 208, 212, 216, 218, 220, 224
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1、2
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评论
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Lyndon单词是一个有限的序列，严格来说，它的词典编纂比它的所有循环旋转都要少。
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链接
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配方奶粉
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例子
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术语序列及其二进制展开式和二进制索引开始于：
1: 1 ~ {1}
2: 10 ~ {2}
4: 100 ~ {3}
6: 110 ~ {2,3}
8: 1000 ~ {4}
12: 1100 ~ {3,4}
14: 1110 ~ {2,3,4}
16: 10000 ~ {5}
20: 10100 ~ {3,5}
24: 11000 ~ {4,5}
26: 11010 ~ {2,4,5}
28: 11100 ~ {3,4,5}
30: 11110 ~ {2,3,4,5}
32:100000至{6}
40: 101000 ~ {4,6}
44: 101100 ~ {3,4,6}
48: 110000 ~ {5,6}
52: 110100 ~ {3,5,6}
56：111000至{4,5,6}
58: 111010 ~ {2,4,5,6}
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数学
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aperQ[q_]：=数组[RotateRight[q，#]&，Length[q]，1，UnsameQ]；
neckQ[q_]：=数组[OrderedQ[{q，RotateRight[q，#]}]&，长度[q]-1，1，And]；
选择[Range[100]，aperQ[Reverse[IntegerDigits[#，2]]和&neckQ[Revverse[IntigerDigits[#，2]]&]
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交叉参考
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关键词
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非n,基础
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作者
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状态
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经核准的
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A000048号
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| 带有2种颜色珠子和原始时期n的n珠项链的数量，不允许翻转，但这两种颜色可以互换。
（原名M0711 N0262）
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+10
66
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1, 1, 1, 1, 2, 3, 5, 9, 16, 28, 51, 93, 170, 315, 585, 1091, 2048, 3855, 7280, 13797, 26214, 49929, 95325, 182361, 349520, 671088, 1290555, 2485504, 4793490, 9256395, 17895679, 34636833, 67108864, 130150493, 252645135, 490853403, 954437120, 1857283155
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,5
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评论
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还有基本周期为2n的2n-珠平衡双人项链，相当于它们的互补物。
同样，长度为n的二进制Lyndon单词的奇数为1（对于n>=1）。
还有具有迹1的n次二元不可约多项式的数目。
还有线性系数为1的n次二元不可约多项式的数量（这与trace-1条件相同，因为不可约的多项式的倒数也是不可约）。
二元不可约2*n次自互易多项式的个数；除了x+1以外，奇数次没有这样的多项式。
满足Sum_{i=1..n}i*x_i=1（mod n+1）的二进制向量数（x_1，…x_n）=Varshamov-Tenengolts代码VT_1（n）的大小。
此外，阈值布尔自动机网络的周期2n的动态循环数，该网络是一个大小为nq的准最小负电路，其中q是奇数，并且是并行更新的Mathilde Noual（Mathilde.Noual（AT）ens-lyon.fr），2009年3月3日
GF（2）上2n次n>1不可约多项式上对称群S3作用的三元轨道数-让·弗朗西斯·米肯，Philippe Ravache（菲利普·拉瓦什（AT）univ-rouen.fr），2009年10月4日
猜想：也是Zagier-约化不定二元二次型的caliber-n圈数，和不变等于s，其中（s-1）/n是一个奇数-巴里·史密斯2014年12月14日
第31页的Metropolis，Stein，Stein（1973）参考表II列出了k=2至15的a（k），实际上是序列A056303号因为对于k＜2，存在a（k）＝0-迈克尔·索莫斯2014年12月20日
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参考文献
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B.D.Ginsburg，《关于编码理论中适用的数论函数》，Problemy Kibernetiki，第19期（1967年），第249-252页。
H.Kawakami，《x_{n+1}=x_n^2-lambda的旋转序列表》，G.Ikegami的第73-92页，动力系统和非线性振荡编辑，第1卷，《世界科学》，1986年。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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J.Demongeot、M.Noual和S.Sene，关于正负阈值布尔自动机电路的吸引子个数，hal-00647877预印本（2009）。[摘自Mathilde Noual（Mathilde.Noual（AT）ens-lyon.fr），2009年3月3日]
新泽西州罚款，周期序列类伊利诺伊州J.数学。，2 (1958), 285-302.
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N.Metropolis、M.L.Stein和P.R.Stein，单位区间上变换的有限极限集《组合理论》，A 15（1973），25-44；再版于P.Cvitanovic编辑，《混沌中的普遍性》，Hilger，Bristol，1986年，第187-206页。
Simon Michalowsky、Bahman Gharisfard、Christian Ebenbauer、，有向图上分布优化的李括号近似方法，arXiv:1711.05486[math.OC]，2017年。
N.J.A.斯隆，关于单删除修正码，arXiv:math/0207197[math.CO]，2002；《规范与设计》（俄亥俄州哥伦布，2000年），273-291，俄亥俄州立大学数学系。Res.Inst.出版物。，10，de Gruyter，柏林，2002年。
J.-Y.Thibon，单峰排列的循环枚举器，arXiv:math/0102051[math.CO]，2001年。
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配方奶粉
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a（n）=（1/（2*n））*Sum_{奇数d除以n}mu（d）*2^（n/d），其中mu是Mobius函数A008683号.
和{k除以m/k为奇数的m}k*a（k）=2^（m-1）。（这解释了序列非常接近的观察结果A006788号除非m有一些相对于m很小的非平凡奇除数，否则m*a（m）项将支配和。例如，我们可以看到a（n）=A006788号（n） 当n具有2^m或2^m*p形式之一时，其中p是带有a（2^m）<p的奇素数。）-巴里·史密斯2015年10月24日
一般公式：1+Sum_{k>=1}mu（2*k）*log（1-2*x^k）/（2*k）-伊利亚·古特科夫斯基2019年11月11日
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例子
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a（5）=3对应于项链00001、00111、01011。
a（6）=5，取值范围为000001、000011、000101、000111、001011。
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MAPLE公司
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使用（numtheory）；A000048号：=程序（n）局部d，t1；如果n=0，则返回（1），否则t1:=0；对于从1到n的d，如果n模d=0且d模2=1，则t1:=t1+mobius（d）*2^（n/d）/（2*n）；fi；od；返回（t1）；fi；结束；
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数学
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a[n_]：=总数[MoebiusMu[#]*2^（n/#）&/@选择[Divisors[n]，OddQ]]/（2n）；a[0]=1；表[a[n]，{n，0，35}](*Jean-François Alcover公司2011年7月21日*）
a[n_]：=如果[n<1，Boole[n==0]，DivisorSum[n，MoebiusMu[#]2^（n/#）&，OddQ]/（2n）]；(*迈克尔·索莫斯2014年12月20日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）A000048号（n） =总和（n，d，（d%2）*（莫比乌斯（d）*2^（n/d））/（2*n）\\迈克尔·波特2009年11月9日
（PARI）L（n，k）=总和（gcd（n，k），d，moebius（d）*二项式（n/d，k/d））；
a（n）=总和（k=0，n，如果（（n+k）%2==1，L（n，k），0））/n；
向量（55，n，a（n））\\乔格·阿恩特，2012年6月28日
（Python）
从sympy导入除数，mobius
def a（n）：如果n<1，则返回1（mobius（d）*2**（n//d）for d in divisors（n）if d%2）//（2*n）#因德拉尼尔·戈什2017年4月28日
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交叉参考
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关键词
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非n,核心,容易的,美好的,改变
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A275692型
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| 对k进行编号，使k的二进制数字的每次旋转都小于k。 |
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+10
62
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0, 1, 2, 4, 6, 8, 12, 14, 16, 20, 24, 26, 28, 30, 32, 40, 48, 50, 52, 56, 58, 60, 62, 64, 72, 80, 84, 96, 98, 100, 104, 106, 108, 112, 114, 116, 118, 120, 122, 124, 126, 128, 144, 160, 164, 168, 192, 194, 196, 200, 202, 208, 210, 212, 216, 218, 224, 226, 228
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,3
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评论
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取a（n）的二进制表示，将其反转，每个数字加1。结果是的十进制表示A102659号（n） ●●●●。
也对k进行编号，使第k个成分按标准顺序排列（第k行A066099型)是林登语。例如，所有Lyndon单词的顺序都是从以下开始的：
0: () 52: (1,2,3) 118: (1,1,2,1,2)
1: (1) 56: (1,1,4) 120: (1,1,1,4)
2: (2) 58: (1,1,2,2) 122: (1,1,1,2,2)
4: (3) 60: (1,1,1,3) 124: (1,1,1,1,3)
6: (1,2) 62: (1,1,1,1,2) 126: (1,1,1,1,1,2)
8: (4) 64: (7) 128: (8)
12: (1,3) 72: (3,4) 144: (3,5)
14: (1,1,2) 80: (2,5) 160: (2,6)
16: (5) 84: (2,2,3) 164: (2,3,3)
20: (2,3) 96: (1,6) 168: (2,2,4)
24: (1,4) 98: (1,4,2) 192: (1,7)
26: (1,2,2) 100: (1,3,3) 194: (1,5,2)
28:（1,1,3）104:（1,2,4）196:（1,4,3）
30: (1,1,1,2) 106: (1,2,2,2) 200: (1,3,4)
32: (6) 108: (1,2,1,3) 202: (1,3,2,2)
40: (2,4) 112: (1,1,5) 208: (1,2,5)
48: (1,5) 114: (1,1,3,2) 210: (1,2,3,2)
50: (1,3,2) 116: (1,1,2,3) 212: (1,2,2,3)
（结束）
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链接
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例子
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6在序列中，因为它的二进制表示110大于所有的旋转011和101。
10不在序列中，因为它的二进制表示1010在旋转2位时不变。
术语序列及其二进制展开式和二进制索引开始于：
1: 1 ~ {1}
2: 10 ~ {2}
4: 100 ~ {3}
6:110至{2,3}
8: 1000 ~ {4}
12: 1100 ~ {3,4}
14: 1110 ~ {2,3,4}
16: 10000 ~ {5}
20: 10100 ~ {3,5}
24: 11000 ~ {4,5}
26: 11010 ~ {2,4,5}
28: 11100 ~ {3,4,5}
30: 11110 ~ {2,3,4,5}
32: 100000 ~ {6}
40: 101000 ~ {4,6}
48: 110000 ~ {5,6}
50: 110010 ~ {2,5,6}
52: 110100 ~ {3,5,6}
56: 111000 ~ {4,5,6}
58: 111010 ~ {2,4,5,6}
（结束）
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MAPLE公司
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过滤器：=proc（n）局部L，k；
五十： =转换（转换（n，二进制），字符串）；
对于k从1到长度（L）-1 do
如果lexorder（L，StringTools:-Rotate（L，k）），则返回false fi；
od；
真的
结束进程：
选择（过滤器，[0..1000]）；
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数学
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filterQ[n_]：=模块[{bits，rr}，bits=整数位数[n，2]；rr=NestList[RotateRight，bits，Length[bits]-1]//静止；AllTrue[rr，FromDigits[#，2]<n&]]；
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黄体脂酮素
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（Python）
定义正常（n）：
b=箱（n）[2:]
返回所有（b[i:]+b[：i]<b，对于范围（1，len（b））中的i）
打印（[k代表范围（230）中的k，如果正常（k）]）#迈克尔·布拉尼基，2022年5月26日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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0、1、2、4、5、6、8、9、11、12、13、14、16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、32、33、34、35、37、38、39、40、41、43、44、46、47、48、49、50、51、52、53、55、56、57、58、59、60、61、62、64、65、66、67、68、69、70、71、72、73、74、75、76、77
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,3
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评论
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也对k进行编号，以使标准顺序中的第k个成分是非周期的。标准顺序的第k个成分（分级反向放射学，A066099型)通过在k的反向二进制展开中取1的位置集，在0前面加上前缀，取第一个差分，然后再次反转，即可获得。这给出了非负整数和整数合成之间的双向对应-古斯·怀斯曼2020年4月28日
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链接
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例子
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术语序列及其二进制展开式和二进制索引开始于：
0: 0 ~ {}
1: 1 ~ {1}
2: 10 ~ {2}
4: 100 ~ {3}
5: 101 ~ {1,3}
6: 110 ~ {2,3}
8: 1000 ~ {4}
9:1001至{1,4}
11: 1011 ~ {1,2,4}
12:1100至{3,4}
13: 1101 ~ {1,3,4}
14: 1110 ~ {2,3,4}
16: 10000 ~ {5}
17: 10001 ~ {1,5}
18: 10010 ~ {2,5}
19: 10011 ~ {1,2,5}
20:10100至{3,5}
21: 10101 ~ {1,3,5}
22: 10110 ~ {2,3,5}
23: 10111 ~ {1,2,3,5}
24: 11000 ~ {4,5}
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数学
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aperQ[q_]：=数组[RotateRight[q，#]&，Length[q]，1，UnsameQ]；
选择[Range[0，100]，aperQ[Integer Digits[#，2]]&]
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A178472号
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| 部件尺寸的gcd不为1时，n的组成数（有序分区）。 |
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+10
41
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0, 1, 1, 2, 1, 5, 1, 8, 4, 17, 1, 38, 1, 65, 19, 128, 1, 284, 1, 518, 67, 1025, 1, 2168, 16, 4097, 256, 8198, 1, 16907, 1, 32768, 1027, 65537, 79, 133088, 1, 262145, 4099, 524408, 1, 1056731, 1, 2097158, 16636, 4194305, 1, 8421248, 64, 16777712, 65539
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,4
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评论
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当然，所有零件尺寸必须大于1；仅此条件就给出了斐波那契数，因此这是一个上限。
此外，n的周期成分的数量，其中，如果序列的循环旋转并非完全不同，则序列是周期的。也包括具有非基本长度的成分-古斯·怀斯曼2019年11月10日
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链接
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Hunki Baek、Sejeong Bang、Dongseok Kim、Jaeun Lee、，非周期回文与连通循环图之间的双射，arXiv:1412.2426[math.CO]，2014年。见表2。
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配方奶粉
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a（n）=和{d|n&d<n}2^（d-1）*（-mu（n/d））。
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例子
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对于n=6，我们有5种成分：<6>、<4,2>、<2,4>、<2,2>和<3,3>。
a（2）=1到a（9）=4个非相对素成分：
(2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)
(2,2) (2,4) (2,6) (3,6)
(3,3) (4,4) (6,3)
（4,2）（6,2）（3,3,3）
(2,2,2) (2,2,4)
(2,4,2)
(4,2,2)
(2,2,2,2)
a（2）=1到a（9）=4周期成分：
11 111 22 11111 33 1111111 44 333
1111 222 1313 121212
1212 2222 212121
2121 3131 111111111
111111 112112
121121
211211
11111111
a（2）=1到a（9）=4的组合具有非相对素数长度：
11 111 22 11111 33 1111111 44 333
1111 222 1133 111222
1122 2222 222111
2211 3311 111111111
111111 111122
112211
221111
11111111
（结束）
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MAPLE公司
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A178472号：=n->（2^n-加（mobius（n/d）*2^d，d以除数（n）表示）/2:
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数学
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表[2^（n-1）-除数和[n，MoebiusMu[n/#]*2^（#-1）&]，{n，51}](*迈克尔·德弗利格2018年1月20日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）向量（60，n，2^（n-1）-sumdiv（n，d，2^-（d-1）*moebius（n/d））
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A027376号
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| n次三元不可约一元多项式的个数；自由李代数的维数。 |
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+10
37
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1, 3, 3, 8, 18, 48, 116, 312, 810, 2184, 5880, 16104, 44220, 122640, 341484, 956576, 2690010, 7596480, 21522228, 61171656, 174336264, 498111952, 1426403748, 4093181688, 11767874940, 33891544368, 97764009000, 282429535752, 817028131140, 2366564736720, 6863037256208, 19924948267224, 57906879556410
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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{1,2,3}上长度为n的Lyndon单词数。林登语单词是原始的（不是另一个单词的幂），在词典顺序上比它的任何循环移位都要早-约翰·W·莱曼2006年1月24日
Hardy-Littlewood常数积（1-（3*p-1）/（p-1）^3，p素数>=5）展开式中的指数，其十进制展开式为A065418号：常数等于Product_{n>=2}（zeta（n）*（1-2^（-n））*（1-3 ^（-n）））^（-a（n））-迈克尔·索莫斯2003年4月5日
不可约调和多对数的个数，见Gehrmann和Remiddi参考文献第299页和Maêtre文章的表1-F.查波顿，2021年8月9日
对于n>=2，a（n）是长度为2*n的黑塞环数，参见Dutta、Halbeisen和Hungerbühler链路的定理22-萨扬·杜塔2023年9月22日
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参考文献
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E.R.Berlekamp，代数编码理论，McGraw-Hill，纽约，1968年，第84页。
M.Lothaire，单词组合学。Addison-Wesley，马萨诸塞州雷丁，1983年，第79页。
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链接
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Sayan Dutta、Lorenz Halbeisen和Norbert Hungerbühler，三次曲线黑塞导数的性质，arXiv:2309.05048[math.AG]，2023年。
T.Gehrmann和E.Remiddi，调和多对数的数值计算。计算。物理学。通信141（2001），第296-312号。
E.N.Gilbert和J.Riordan，周期序列的对称类型伊利诺伊州J.数学。，5 (1961), 657-665.
Y.Puri和T.Ward，周期轨道的算法和增长，J.整数序列。，第4卷（2001年），第01.2.1号。
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配方奶粉
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a（n）=（1/n）*Sum_{d|n}mu（d）*3^（n/d）。
（1-3*x）=产品{n>0}（1-x^n）^a（n）。
一般公式：k=3，1-和{i>=1}mu（i）*log（1-k*x^i）/i-赫伯特·科西姆巴2016年11月25日
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例子
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对于n=2，a（2）=3多项式是x^2+1，x^2+x+2，x^2+2*x+2-罗伯特·伊斯雷尔2015年12月16日
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MAPLE公司
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加法（mobius（d）*3^（n/d），d=除数（n））/n）：
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数学
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a[0]=1；a[n_]：=模[{ds=除数[n]，i}，和[MoebiusMu[ds[i]]3^（n/ds[i]]），{i，1，长度[ds]}]/n]
mx=40；f[x_，k_]：=1-和[MoebiusMu[i]对数[1-k*x^i]/i，{i，1，mx}]；系数列表[系列[f[x，3]，{x，0，mx}]，x](*赫伯特·科西姆巴2016年11月25日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=如果（n<1，n==0，sumdiv（n，d，moebius（n/d）*3^d）/n）
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交叉参考
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关键词
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非n,美好的,容易的
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作者
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经核准的
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