搜索： a024940-编号：a024940
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A007294号
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| 将n划分为非零三角形数的次数。
（原名M0234）
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+10
116
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1, 1, 1, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 6, 7, 7, 10, 11, 11, 15, 17, 17, 22, 24, 25, 32, 35, 36, 44, 48, 50, 60, 66, 68, 81, 89, 92, 107, 117, 121, 141, 153, 159, 181, 197, 205, 233, 252, 262, 295, 320, 332, 372, 401, 417, 465, 501, 520, 575, 619, 645, 710, 763
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,4
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评论
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递减整数序列的个数l（1）>=l（2）>=l（3）>=。。0使得总和（'i*l（i）'，'i'=1..无穷大）=n。
a（n）也是n的分区数，如果i<=j，{parts等于i}>={parts=j}。
此外，n的分区数（必须分成不同的部分），其中部分大小单调递减（包括最后一部分，即最后一部分和大小为0的“部分”之间的差异）。这些分区是分区与大小为i的部分数量增加的共轭分区-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯，2008年4月8日
还有条件如下的分区A179255号此外，如果超过一个部分，第一个差异>=第一部分：例如，a（10）=7，因为有7个这样的10分区：1+2+3+4=1+2+7=1+3+6=1+9=2+8=3+7=10-乔格·阿恩特2011年3月22日
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参考文献
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N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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格特·阿尔姆克维斯特，各种分区的渐近性，arXiv:math/0612446[math.NT]，2006年。
N.A.Brigham，配分函数的一般渐近公式，程序。阿默尔。数学。Soc.，第1卷（1950年），第191页。
Jan Snellman和Michael Paulsen，凹整数分区的枚举《整数序列杂志》，第7卷，2004年。
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公式
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G.f.：1/Product_{k>=2}（1-z^二项式（k，2））。
对于n>0：a（n）=b（n，1），其中b（n、k）=如果n>k*（k+1）/2，则b（n-k*（k+1）/2、k）+b（n和k+1）else（如果n=k*（k+1）/2则1 else 0）-莱因哈德·祖姆凯勒，2003年8月26日
对于n>0，a（n）是[1,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1，…]的欧拉变换，即A010054号，n>0-本尼迪克特·欧文2016年7月29日
a（n）~exp（3*Pi^（1/3）*Zeta（3/2）^（2/3）*n^（1/3）/2）*Zeta/（2^（7/2）*sqrt（3）*Pi*n^.（2/2））[Brigham 1950（指数部分），Almkvist 2006]-瓦茨拉夫·科特索维奇2016年12月31日
通用公式：求和{i>=0}x ^（i*（i+1）/2）/产品{j=1..i}（1-x^（j*（j+1）/2））-伊利亚·古特科夫斯基2017年5月7日
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例子
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6=3+3=3+1+1=1=1+1+1+1+1，所以a（6）=4。
a（7）=4：上述四个序列为（7,0，…），（5,1,0，..），（3,2,0。它们对应于七个分区中的分区1^7、21^5、2^2 1^3、3 2 1^2，或者在主要描述中对应于分区1^ 7、31^4、3^2 1、6 1。
使用非零三角形数的a（1）=1到a（9）=6分区如下。这些分区的Heinz数由下式给出A325363型.
1 11 3 31 311 6 61 611 63
111 1111 11111 33 331 3311 333
3111 31111 311111 6111
111111 1111111 11111111 33111
3111111
111111111
多重数弱减的a（1）=1到a（10）=7分区如下。与Matthew Vandermast的评论等效，这些分区的Heinz数由下式给出A025487号（一元数的乘积）。
1 11 21 211 2111 321 3211 32111 32211 4321
111 1111 11111 2211 22111 221111 222111 322111
21111 211111 2111111 321111 2221111
111111 1111111 11111111 2211111 3211111
21111111 22111111
111111111 211111111
1111111111
a（1）=1到a（11）=7个差异微弱增加的分区（其中最后一部分为零）如下所示。这些分区的Heinz数由下式给出A325362型（A=10，B=11）。
（1） （2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（A）（B）
(21) (31) (41) (42) (52) (62) (63) (73) (83)
（51）（61）（71）（72）（82）（92）
（321）（421）（521）（81）（91）（A1）
(531) (631) (731)
(621) (721) (821)
(4321) (5321)
（结束）
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MAPLE公司
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b： =proc（n，i）选项记住；
如果n＜0，则为0
elif n=0，然后为1
elif i=0，然后为0
否则b（n，i-1）+b（n-i*（i+1）/2，i）
fi（菲涅耳）
结束：
a： =n->b（n，楼层（平方米（2*n））：
isNondecrP:=过程（L）slp:=差异（DIFF（L））；最小值（op（%））>=0；结束进程：
A007294号：=proc（n）局部a，p；a:=0；如果n=0，则返回1；结束条件：；对于组合[分区]（n）中的p，如果nops（p）=nops（convert（p，set）），那么如果是NondecrP（p），那么，如果nobs（p）=1，那么a:=a+1；elif op（2，p）>=2*op（1，p）则a:=a+1；结束条件：；结束条件：；结束条件：；结束do；a；结束进程：
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数学
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系数列表[系列[1/乘积[1-x^（i（i+1）/2），{i，1，50}]，{x，0，70}]，x]
（*也*）
t=表[n（n+1）/2，{n，1200}]；p[n_]：=整数分区[n，All，t]；表[p[n]，{n，0，12}]（*显示分区*）
a[n]：=长度@p@n；a/@范围[0,80]
b[n_，i_]：=b[n，i]=其中[n<0，0，n==0，1，i==0、0，True，b[n、i-1]+b[n-i*（i+1）/2，i]]；a[n_]：=b[n，楼层[Sqrt[2*n]]]；表[a[n]，{n，0，100}](*Jean-François Alcover公司2014年4月9日之后阿洛伊斯·海因茨*)
表[Length[Select[Integer Partitions[n]，OrderedQ[Differences[Append[#，0]]&]]，{n，0，30}](*古斯·怀斯曼2019年5月3日*）
nmax=58；t=表格[多边形编号[n]，{n，nmax}]；
表[计数[整数分区@n，x_/；子集Q[t，x]]，{n，0，nmax}](*罗伯特·普莱斯2020年8月2日*）
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黄体脂酮素
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（鼠尾草）
has_nondericsing_diffs=λx:min（差值（x，2））>=0
特殊=λx:（x[1]-x[0]）>=x[0]
允许=λx：（len（x）<2或特殊（x））和（len
return len（如果允许（x[：：-1]）]，则为分区（n，max_slope=-1）中x的[1#D.S.麦克尼尔2011年1月6日
（PARI）N=66；Vec（1/prod（k=1，N，1-x^（k*（k+1）\2））+O（x^N））\\乔格·阿恩特2013年4月14日
（哈斯克尔）
a007294=p$tail a000217_list其中
p _ 0=1
p ks'@（k:ks）m=如果m<k，则0，否则p ks'（m-k）+p ks m
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 10, 13, 17, 22, 28, 36, 46, 58, 73, 91, 114, 141, 173, 213, 261, 318, 387, 469, 567, 683, 821, 984, 1176, 1403, 1671, 1984, 2351, 2781, 3284, 3869, 4550, 5343, 6264, 7330, 8565, 9993, 11642, 13543, 15733, 18252, 21148, 24471, 28282, 32646, 37640, 43348, 49867, 57302, 65776, 75426, 86405, 98882
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,4
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评论
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也可以将分区数写入非电子编号（不能写为i*（i+1））。
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链接
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公式
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G.f.：产品{i>=1}（1-x^（i*（i+1）））/（1-x*i）。
通用公式：（1+x）*（1+x^2+x^4）*（1+x^3+x^6+x^9）*（l+x^4+x^8+x^12+x^16）*。。。（如上图所示，展开）-乔格·阿恩特，2014年4月1日
G.f.：乘积_｛n>=1｝（1-q^（n*（n+1）））/乘积_｛n>=1｝（1-q^n）-乔格·阿恩特2014年4月1日
a（n）=p（n，1,1），p（n、t、k）=如果t<0，则为0，否则为0，如果k<=n，则为p（n-k，t-1，k）+p（n；k+1，k+1），否则为0^n-莱因哈德·祖姆凯勒2010年1月20日
a（n）~exp（Pi*sqrt（2*n/3）-3^（1/4）*Zeta（3/2）*n^（1/4）/2^（3/4）-3*Zeta（2/2）^2/（32*Pi））/sqrt（2*n）-瓦茨拉夫·科特索维奇2017年1月1日
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例子
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a（5）=4，因为我们有[5]、[4,1]、[3,2]和[2,2,1]（[3,1,1]、[2,1,1]和[1,1,1,1]不合格）。
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MAPLE公司
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g： =乘积（（1-x^（j*（j+1）））/（1-x*j），j=1.53）：gser:=系列（g，x=0,55）：seq（系数（gser，x，n），n=0..49）#Emeric Deutsch公司2006年3月4日
#第二个Maple项目：
带有（数字理论）：
a： =proc（n）选项记忆`如果`（n=0，1，添加（add(
`如果`（issqr（4*d+1），0，d），d=除数（j））*a（n-j），j=1..n）/n）
结束：
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数学
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系数列表[级数[积[Sum[x^（ij），{i，0，j}]，{j，1，49}]，}x，0，49}]，x]
（*第二个节目：*）
a[n_]：=a[n]=如果[n==0，1，Sum[Sum[If[IntegerQ@Sqrt[4*d+1]，0，d]，{d，Divisors[j]}]*a[n-j]，{j，1，n}]/n]；表[a[n]，{n，0，80}](*Jean-François Alcover公司2017年1月30日之后阿洛伊斯·海因茨*)
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黄体脂酮素
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（PARI）N=66；q='q+O（'q^N）；Vec（prod（n=1，n，sum（k=0，n，q^（k*n）））\\乔格·阿恩特2014年4月1日
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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1,1
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评论
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Mathematica程序首先计算A024940号，将n划分为不同三角形数的数目。然后它会发现n有零个这样的分区。看起来A024940号呈指数增长，这将排除此序列中的其他项-T.D.诺伊2006年7月24日，2009年1月5日
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参考文献
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乔·罗伯茨，《整数的诱惑》，美国数学协会，1992年，第184页，第33条。
大卫·威尔斯（David Wells）在《企鹅奇趣数字词典》（The Penguin Dictionary of Curious and Interest Numbers，修订版，第94页）中指出，“33是最大的数字，不是不同三角形数字的总和”。
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链接
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公式
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例子
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a（2）=5：5的7个分区是5，4+1，3+2，3+1+1，2+2+1，2+1+1+1，1+1+1+1。其中不同的是5，4+1，3+2。None包含所有不同的三角形数字。
12是一个术语，因为它最多不是1、3、6或10的总和。
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数学
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nn=100；t=静止[系数列表[系列[积[（1+x^（k*（k+1）/2）），{k，nn}]，{x，0，nn（nn+1）/2}]，x]]；压扁[位置[t，0]](*T.D.诺伊2006年7月24日*）
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交叉参考
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参见。A000217号,A002243号,A002244号,A014134号,A014156号,A014158号,A020757号,A050941号,A050942号,A051611号,A007294号,A051533号,A060773号.
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关键字
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最终,满的,非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 1, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 2, 7, 2, 0, 2, 6, 1, 4, 6, 2, 12, 24, 3, 8, 0, 8, 32, 6, 2, 13, 26, 6, 34, 36, 0, 32, 150, 3, 20, 50, 14, 54, 126, 32, 32, 12, 55, 160, 78, 122, 44, 174, 4, 72, 294, 36, 201, 896, 128, 62, 180, 176, 164, 198, 852, 110, 320, 159, 212, 414
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,5
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链接
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例子
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a（10）=7，因为我们有[10]、[6、3、1]、[6,1、3]、[3,6,1]、[3、1,6]、[1、6,3]和[1、3,6]。
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MAPLE公司
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h： =proc（n）选项记忆`如果`（n<1，0，
`如果`（issqr（8*n+1），1+h（n-1），h（n-l））
结束：
b： =proc（n，i，p）选项记忆；（t->
`如果`（t*（i+2）/3<n，0，`如果`（n=0，p！，b（n，i-1，p）+
`如果`（t>n，0，b（n-t，i-1，p+1）））（（i*（i+1）/2））
结束：
a： =n->b（n，h（n），0）：
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数学
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h[n]：=h[n]=如果[n<1，0，如果[InterQ@Sqrt[8n+1]，1+h[n-1]，h[n-1]]]；
b[n，i_，p_]：=b[n，i，p]=函数[t，If[t（i+2）/3<n，0，If[n==0，p！，b[n，i-1，p]+If[t>n，0，b[n-t，i-1，p+1]]][（i（i+1）/2）]；
a[n]：=b[n，h[n]，0]；
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交叉参考
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参见。A000217号,A023361号,A024940号,A032020型,A032021型,A032022号,A218396型,A219107型,A331844型,A331845型,A331846飞机,A331847飞机.
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关键字
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 2, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 2, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 2, 0, 1, 1, 0, 2, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 2, 0, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 3, 0, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,17
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评论
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贪婪逆运算（n第一次出现的位置）开始于0、4、16、81、471、2031、1381、11781、6906、17956-R.J.马塔尔2020年4月28日
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链接
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公式
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a（n）=[x^ny^2]产品{k>=1}（1+y*x^（k*（k+1）/2））。
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例子
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a（16）=2，因为我们有[15,1]和[10,6]。
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交叉参考
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关键字
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 2, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 2, 0, 1, 1, 2, 0, 1, 1, 0, 3, 0, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 0, 3, 1, 0, 4, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 3, 1, 2, 2, 1, 2, 3, 1, 1, 3, 2, 2, 2, 2, 1, 3, 2, 0, 4, 1, 1, 5, 1, 3, 2, 2, 3, 2, 2, 1, 4, 1, 2, 4, 2, 2, 3, 2, 1, 3, 2, 4, 3, 3, 2, 2, 3, 1, 6
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0，20
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评论
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贪婪反转开始于0、10、19、37、52、82、109、136、241、226、217、247、364、427、457、541、532、577、637、961、721、787、1066、1102、1381、1267、1564、1192、1396、1816、1501、1612、1927、1942、2242、1792、2842、2587、2557、2422-R.J.马塔尔2020年4月28日
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链接
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公式
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a（n）=[x^ny^3]产品{k>=1}（1+y*x^（k*（k+1）/2））。
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例子
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a（19）=2，因为我们有[15,3,1]和[10,6,3]。
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 3, 2, 4, 7, 6, 4, 14, 15, 19, 31, 28, 43, 57, 80, 103, 127, 181, 234, 295, 398, 539, 663, 888, 1178, 1419, 1959, 2519, 3102, 4201, 5282, 6510, 8717, 11162, 13557, 18108, 22965, 28206, 36860, 46350, 58060, 73857, 93541, 117058, 147376, 186158, 232949, 292798, 365639
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,5
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链接
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公式
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a（n）=[x^（n*（n+1）/2）]产品{k>=1}（1+x^。
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例子
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a（4）=2，因为第四个三角形数是10，我们有[10]，[6,3,1]。
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MAPLE公司
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N： =100：
G： =mul（1+x^（k*（k+1）/2），k=1..N）：
seq（系数（G，x，n*（n+1）/2），n=0..n）#罗伯特·伊斯雷尔，2017年6月6日
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数学
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表[级数系数[积[1+x^（k（k+1）/2），{k，1，n}]，{x，0，n（n+1）/2}]
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, -1, 0, -1, 1, 0, -1, 1, 0, 1, -2, 1, 0, 1, -1, -1, 2, -1, 1, -2, 1, 0, 0, 0, 0, 1, -1, 1, -3, 2, -1, 2, -1, 0, 1, -1, 0, -2, 3, -1, 1, -2, 1, 1, -2, 0, 0, 2, 0, -1, 0, 2, -2, -1, -1, 1, 2, -1, 1, -1, 1, -2, 1, -2, 3, 1, -2, 0, -2, 3, -1, -1, 0, 3, -1, 0, -2, 1, 0, -3, 2, 2, 1, -1, -1, 0, 0, -1, 0, 2, -1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,11
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评论
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将n划分成偶数个不同三角形数的数目与将n划分为奇数个不同三角数的数目之差。
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链接
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公式
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G.f.：产品{k>=1}（1-x^（k*（k+1）/2））。
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数学
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nmax=90；系数列表[系列[乘积[1-x^（k（k+1）/2），{k，1，nmax}]，{x，0，nmax{]，x]
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交叉参考
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关键字
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签名
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作者
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状态
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经核准的
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A298858型
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| 将第n个三角数写成n个非零三角数之和的有序方法的数量。 |
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+10
10
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1, 1, 0, 0, 4, 11, 86, 777, 4670, 36075, 279482, 2345201, 21247326, 197065752, 1983741228, 20769081251, 228078253168, 2604226354265, 30880251148086, 379415992755572, 4818158748326064, 63116999199457944, 851467484377802094, 11811530978240316682, 168243449082524484856
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,5
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链接
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公式
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a（n）=[x^（n*（n+1）/2）]（和{k>=1}x^。
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例子
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a（4）=4，因为第四个三角数是10，我们有[3,3,3,1]，[3,3，1,3]，[3，1,3，3]和[1，3,3]。
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数学
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表[级数系数[（椭圆Theta[2，0，Sqrt[x]]/（2 x^（1/8））-1）^n，{x，0，n（n+1）/2}]，{n，0，24}]
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A274046号
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| a（n）是最小的正整数，可以用n种方式表示为不同的正三角形数之和，如果不存在这样的整数，则为0。 |
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+10
8
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1, 10, 25, 31, 49, 46, 55, 67, 70, 76, 82, 117, 102, 91, 97, 107, 101, 135, 110, 112, 116, 115, 119, 128, 0, 131, 133, 130, 148, 145, 136, 0, 137, 149, 154, 146, 0, 169, 152, 157, 155, 168, 171, 158, 174, 161, 0, 183, 184, 167, 0, 0, 173, 0, 175, 181, 190
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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46是可以用五种方式表示为不同三角形数之和的最小数，而49是可以用确切的五种方式表达的最小数。这一现象还有更多的例子。
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链接
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例子
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25 = 1 + 3 + 6 + 15 = 10 + 15 = 1 + 3 + 21. 这是可以用三种不同方式写成不同三角形数之和的最小数字。因此a（3）=25。
当n=25、32、37、47、51、52、54、61-乔瓦尼·雷斯塔2016年6月8日
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数学
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nT[n_，m_:0]：=nT[n，m]=如果[n==0，1，块[{t，i=m+1，s=0}，而[（t=i*（i+1）/2）<=n，s+=nT[n-t，i]；i++]；s] ]；a[n_]：=块[{k=0，t}，而[（t=nT[++k]）！=n&&t<最大值[2*n，30]]；如果[t==n，k，0]]；数组[a，57](*乔瓦尼·雷斯塔2016年6月8日*）
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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扩展
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经核准的
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