搜索: a024716-编号:a024716
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A000110号
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| 贝尔数或指数数:划分一组n个标记元素的方法。 (原名M1484 N0585)
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+10 1308
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1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147, 115975, 678570, 4213597, 27644437, 190899322, 1382958545, 10480142147, 82864869804, 682076806159, 5832742205057, 51724158235372, 474869816156751, 4506715738447323, 44152005855084346, 445958869294805289, 4638590332229999353, 49631246523618756274
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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0.3
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评论
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其差分表的前对角线是移位的序列,参见Bernstein和Sloane(1995)-N.J.A.斯隆2015年7月4日
还可以定义在一组n个元素上的等价关系的数量Federico Arboleda(Federico.Arboleda(AT)gmail.com),2005年3月9日
a(n)=由n+1个相邻区域组成的映射的非同构着色数。相邻区域不能具有相同的颜色-大卫·W·威尔逊2005年2月22日
如果一个整数是无平方的,并且有n个不同的素因子,那么a(n)就是将它写成除数乘积的方法-阿玛纳斯·穆尔西,2001年4月23日
考虑树根高度最多为2。让每棵树“生长”到下一代n意味着我们为每个节点生成一棵新树,它要么是根,要么是高度1,这就给出了贝尔数-乔恩·佩里2003年7月23日
从[1,1]开始,遵循[1,k]->[1,k+1]和[1,k]k倍的规则,例如,[1,3]被转换为[1,4],[1,3+,[1.3]。则a(n)为所有分量之和:[1,1]=2;[1,2], [1,1] = 5; [1,3], [1,2], [1,2], [1,2], [1,1] = 15; 等-乔恩·佩里2004年3月5日
n行诗的不同押韵模式的数量:押韵模式是一系列字母(例如“abba”),因此最左边的字母总是“a”,任何字母都不能比左边最大的字母多出一个。因此,“aac”无效,因为“c”大于“a”。例如,a(3)=5,因为有5个押韵方案:aaa、aab、aba、abb、abc;另见Neven Juric的例子-比尔·布莱维特2004年3月23日
{1,…,n+1}划分为不连续整数子集的分区数,包括分区1|2||n+1。例如,a(3)=5:{1,2,3,4}有5个划分为非连续整数子集,即13|24、13|2|4、14|2|3、1|24|3、1 |2|3|4-奥古斯汀·穆纳吉2005年3月20日
产生术语的三角形(加法)方案,源自重现,摘自Oscar Arevalo(loarevalo(AT)sbcglobal.net),2005年5月11日:
1
1 2
2 3 5
5 7 10 15
15 20 27 37 52
其中P(n)=n的整数分区数,P(i)=n第i个分区的部分数,d(i)=n第i分区的不同部分数,Pp(i,j)!))*(1/(产品{j=1..d(i)}m(i,j)!))-托马斯·维德2005年5月18日
a(n+1)是一个n元集上既对称又可传递的二元关系数Justin Witt(justinmwitt(AT)gmail.com),2005年7月12日
如果使用Jon Perry(2004年3月5日)的规则,则a(n-1)=[用于形成a(n)的组件数量]/2.-Daniel Kuan(dkcm(AT)yahoo.com),2006年2月19日
a(n)是从{1,…,n}到{1,…,n,n+1}的函数f的数目,这些函数满足域中所有x的以下两个条件:(1)f(x)>x;(2) f(x)=n+1或f(f(x。例如,a(3)=5,因为正好有五个函数满足这两个条件:f1={(1,4),(2,4),,(3,4)},f2={-丹尼斯·沃尔什2006年2月20日
长度为n的异步站点交换模式的数量,这些模式没有零throws(即不包含0),并且其轨道数量(在Allen Knutson给出的意义上)等于球的数量。例如,当n=4时,以下15个站点交换满足条件:4444、4413、4242、4134、4112、3441、2424、1344、2411、1313、1241、2222、3131、1124、1111。还有从恒等式和循环置换中选择n个置换的方法(1 2),(1 2 3)。。。,(1 2 3…n),以使其组成一致。对于n=3,我们得到了以下五个参数:id o id o id,id o(12)o(12。(要查看双射,请查看Ehrenborg和Readdy论文。)-安蒂·卡图恩2006年5月1日
a(n)是[n]上的排列数,其中3-2-1(散射)模式仅作为3-2-4-1模式的一部分出现。例如:a(3)=5统计[3]上除321以外的所有排列。参见“成分特征序列”参考a(n)=大小为n的排列表数量(A000142号)其第一行不包含0。例如:a(3)=5计算{{}、{},{}}、}、、{{1}、-大卫·卡伦2006年10月7日
该序列也是(下三角)帕斯卡矩阵矩阵指数中的第一列,按exp(-1)缩放:PE=exp(P)/exp(1)=
1
1 1
2 2 1
5 6 3 1
15 20 12 4 1
52 75 50 20 5 1
203 312 225 100 30 6 1
877 1421 1092 525 175 42 7 1
1
1 1
2 1 1
5 2 1 1
15 5 2 1 1(X)P
52 15 5 2 1 1
203 52 15 5 2 1 1
877 203 52 15 5 2 1 1
(结束)
这些项也可以用有限步和精确的整数运算来计算。代替exp(P)/exp(1),可以计算A=exp(P-I),其中I是适当维数的恒等矩阵,因为(P-I。那么a(n)=a[n,1],其中n是从1开始的行index-戈特弗里德·赫尔姆斯2007年4月10日
当n是素数时,a(n)==2(mod n),但反过来并不总是正确的。定义Bell伪素数为复合数n,使得a(n)==2(mod n)。W.F.Lunnon最近发现了贝尔伪素数21361=41*521和C46=3*23*16218646893090134590535390526854205539989357,并推测贝尔伪素数极其罕见。因此,在不久的将来,第二个贝尔伪素数不太可能被确定。我确认21361是第一个-大卫·W·威尔逊2007年8月4日和2007年9月24日
a(n)也是(n链的)幂等序递减的完全变换的数目。
a(n)也是(n链的)幂零部分一阶递减变换的个数。
a(n+1)也是(n链的)部分一阶递减变换的数目。(结束)
Bell(n)是n模式序列的数量[Cooper&Kennedy]。n模式序列是一个整数序列(a_1,…,a_n),对于某些j<i,a_i=i或a_i=a_j。例如,Bell(3)=5,因为3模式序列是(1,1,1),(1,1,3),(1.2,1),(1.2,2)和(1,2,3)。
Bell(n)是长度为n的正整数(n_1,…,n_n)的序列数,使得n_1=1并且n_(i+1)<=1+max{j=1..i}n_j对于i>=1(参见B.Blewett的上述评论)。有趣的是,如果我们将后一个条件加强到N_(i+1)<=1+N_i,我们会得到加泰罗尼亚数字A000108号而不是贝尔号码。
(结束)
二项式系数b(i,j)的无穷低三角矩阵的指数中的项f(i,j)是f(i、j)=b(i、j)e a(i-j)-大卫·帕西诺2008年12月4日
当每个结果以“1”开头时,([1,0,0,0,…]的二项式变换)的重复迭代将收敛于(1,2,5,15,52,…);这样最终结果就是固定极限:([1,1,2,5,15,…]的二项式变换)=(1,2,5,15,52,…)-加里·亚当森2009年1月14日
Bell数B(n)和在x=1时评估的1/Gamma(1+x)的n阶导数之间的关系:
a) 通过seq(subs(x=1,simplify((d^n/dx^n)GAMMA(1+x)^(-1))),n=1..5)产生许多这样的导数;
b) 让它们以洋地黄(Psi(k))和多囊藻(Psi,n))的功能来表达,并且不进行评估;
对于n=1..5,此类表达式的示例如下:
n=1:-Psi(1),
n=2:-(-Psi(1)^2+Psi(1,1)),
n=3:-磅/平方英寸(1)^3+3*磅/平方英尺(1)*磅/立方英寸(1,1)-磅/立方英尺(2,1),
n=4:(-Psi(1)^4+6*Psi(1,
n=5:-磅/平方英寸(1)^5+10*磅/平方毫米;
c) 对于一个给定的n,读取涉及digamma或polygamma函数的每个项的系数的绝对值之和。
这个总和等于B(n)。示例:B(1)=1,B(2)=1+1=2,B(3)=1+3+1=5,B(4)=1+6+3+4+1=15,B(5)=1+10+15+10+5+1=52;
d) 观察到贝尔数B(n)的这种分解显然没有明确涉及第二类斯特林数。
(结束)
渐近展开(0!+1!+2!+…+(n-1)!)/(n-1)!=a(0)+a(1)/n+a(2)/n^2+。。。和(0!+1!+2!+…+n!)/n!=1+a(0)/n+a(1)/n^2+a(2)/n^3+-迈克尔·索莫斯2009年6月28日
a(n)=E(X^n),即关于具有(速率)参数泊松分布的随机变量X原点的第n个矩,λ=1-杰弗里·克雷策2009年11月30日
Bell数是任何给定的有限泛代数中不同同态图像数的上限。每个代数同态都由其核决定,其核必须是同余关系。由于关于有限泛代数的可能同余关系的数目必须是其可能等价类(由贝尔数给出)的子集,因此它自然而然地遵循-最大窗台数2010年6月1日
设B(x)=(1+x+2x^2+5x^3+…)。则B(x)满足于A(x)/A(x^2),其中A(xA173110型:(1+x+3x^2+6x^3+20x^4+60x^5+…)=B(x)*B(x^2)*B-加里·亚当森2010年7月8日
有故障位的二进制计数器从值0开始,并尝试在每一步增加1。每个应该切换的位可能会切换,也可能不会切换。a(n)是计数器在n个步骤后可以使值为0的方式数。例如,对于n=3,5个轨迹为0,0,0,0;0,1,0,0; 0,1,1,0; 0,0,1,0; 0,1,3,0. -大卫·斯卡布勒2011年1月24日
没有贝尔数可以被8整除,也没有贝尔数与模8的6同余;见Lunnon、Pleasants和Stephens中的定理6.4和表1.7-乔恩·佩里,2011年2月7日,澄清人埃里克·罗兰2014年3月26日
a(n+1)是(对称)半正定n×n 0-1矩阵的个数。这些对应于{1,…,n+1}上的等价关系,其中矩阵元素M[i,j]=1当且仅当i和j彼此等价但不等价于n+1-罗伯特·伊斯雷尔2011年3月16日
a(n)是n个顶点上有根树高度小于2的单调标记森林的数量。我们注意到,如果任何父顶点的标签大于任何子顶点的标签,则标记的根树是单调标记的。请参阅链接“使用斯特林和贝尔数字计算森林数量”-丹尼斯·沃尔什2011年11月11日
B(n)计算长度n+1韵律方案,不重复。例如,对于n=2,有5个长度为3的押韵方案(aaa、aab、aba、abb、abc),没有重复的2个押韵方案是aba、abc。这基本上是O.Munagi的结果,即Bell数将分区计数为非连续整数的子集(见2005年3月20日的评论)埃里克·巴赫,2012年1月13日
映射数f:[n]->[n],其中f(x)<=x,f(f(x-乔格·阿恩特2013年1月4日
[n]的排列避免了等价类(i)1-23、3-21、12-3、32-1和(ii)1-32、3-12、21-3、23-1中8个虚线图案中的任何一个。(参见Claesson 2001参考。)-大卫·卡伦2013年10月3日
猜想:没有a(n)的形式是x^m,m>1和x>1-孙志伟2013年12月2日
求和{j=0..n}二项式(n,j)*a(j)=(1/e)*求和{k>=0}(k+1)^n/k!=(1/e)和{k=1..oo}k^(n+1)/k!=a(n+1),n>=0,使用Dobinski公式。查看评论加里·亚当森2008年12月4日,关于帕斯卡特征序列-沃尔夫迪特·朗2015年2月2日
实际上,它并不是帕斯卡矩阵的特征序列;相反,Pascal矩阵作为移位作用于序列。它是从Pascal矩阵导出的矩阵的特征序列(具有特征值1的唯一特征序列),通过在顶部添加行[1,0,0,0…]。二项式和公式可以从分区的定义中导出:标记N个元素的S集合中的任何元素X,并且让X(k)是包含X的S的子集的数目,其中包含k个元素。由于每个子集都有一个唯一陪集,S的分区p(N)的个数由p(N)=Sum_{k=1..N}(X(k)p(N-k))给出;通常X(k)=N-1选择k-1-梅森·博格2015年3月20日
a(n)是嵌套n个matryoshkas(俄罗斯嵌套玩偶)的方法数量:我们可以将{1,2,…,n}标识为大小递增的玩偶,将集合分区的集合标识为一堆玩偶-卡洛·桑纳2015年10月17日
[n]的排列数,其中递增元素连续运行的初始元素按降序排列。a(4)=15:` 1234,` 2'134,` 23` 14,` 234` 1,` 24` 13,` 3` 124,` 3` 2` 14,` 3` 24` 1,` 34` 12,` 34` 2` 1,` 4` 123,` 4` 2` 13,` 4` 23` 1,` 4` 3` 12,` 4` 3` 2` 1-阿洛伊斯·海因茨2016年4月27日
用交替符号表示,贝尔数是渐近展开式(Ramanujan)中的系数:(-1)^n*(A000166号(n) -n/经验(1))~1/n-2/n^2+5/n^3-15/n^4+52/n^5-203/n^6+O(1/n^7)-弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2016年11月10日
虽然Hürlimann(2009)的结果并没有明确说明这一点,但这可能满足本福德定律-N.J.A.斯隆,2017年2月9日
a(n)=总和(形状m的标准完美表格的#,m是n的组成部分),其中该总和是n>0的所有整数组成部分m的总和。用{1,2,…,n}的集合分区来识别大小为n的标准完美表,很容易看出这个公式是成立的。例如,如果我们按字典顺序对4个整数组合求和,我们会看到1+1+2+1+3+3+15=A000110号(4). -约翰·M·坎贝尔2017年7月17日
a(n)也是(n-1)-三角形蜂窝bishop图中独立顶点集(和顶点覆盖)的数量-埃里克·韦斯特因2017年8月10日
偶数条目表示具有可区分的母系和父系等位基因的n个二倍体个体中基因等位基因的同一性和非同一性配置的数量-诺亚·A·罗森博格2019年1月28日
具有n个元素(偏移量=1)的集合上的部分等价关系(PER)的数量,即对称传递(不一定是自反)关系的数量。其思想是在集合中添加一个虚拟元素D,然后在结果上建立等价关系;然后,对于部分等价关系,删除与D等价的任何内容-大卫·斯皮瓦克2019年2月6日
未标记字母时,长度为n+1且没有重复字母的单词数-托马斯·安东2019年3月14日
由贝克尔和里奥丹(1948)以苏格兰裔美国数学家和作家埃里克·坦普尔·贝尔(1883-1960)的名字命名-阿米拉姆·埃尔达尔2020年12月4日
还有最多有一个n+1单元素的{1,2,…,n+1}的分区数。例如,a(3)=5:{13|24,12|34,123|4,14|23,1234}-宇春记2020年12月21日
a(n)是n个元素集合上的sigma代数数。注意,每个sigma代数都是由集合的一个分区生成的。例如,由分区{{1}、{2}、}3,4}}生成的sigma代数是{{}、[1}、[2]、{1,2},{3,4]、{1,3,4{、{2,3,4neneneep、{1,2,4}-宋嘉宁2021年4月1日
a(n)是n个标记节点上的无P_3图的数量-埃伦·凯西姆2021年6月4日
a(n)是函数X的数量:([n]选择2)->{+,-},使得对于任何有序的三元组abc,我们有X(ab)X(ac)X(bc)不在{+-+,++-,-++}中-罗伯特·劳夫2022年12月9日
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参考文献
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配方奶粉
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例如:exp(exp(x)-1)。
递归:a(n+1)=Sum_{k=0..n}a(k)*二项式(n,k)。
a(n)=总和{k=0..n}箍筋2(n,k)。
a(n)=Sum_{j=0..n-1}(1/(n-1)!)*A000166号(j) *二项式(n-1,j)*(n-j)^(n-1)-安德烈·拉博西埃2004年12月1日
通用公式:(和{k>=0}1/((1-k*x)*k!)/exp(1)=超地理学([-1/x],[(x-1)/x]超几何([-mu],[nu+1],z)是拉盖尔函数,拉盖尔多项式的解析推广,对于mu不等于非负整数。这个生成函数在x=0附近有无穷多个极点-卡罗尔·彭森2002年3月25日
a(n)=经验(-1)*和{k>=0}k^n/k![Dobinski]-贝诺伊特·克洛伊特2002年5月19日
a(n)对n是渐近的*(2 Pi r^2 exp(r))^(-1/2)exp(exp(r)-1)/r^n,其中r是r exp(l)=n的正根。参见Odlyzko引用。
a(n)渐近于b^n*exp(b-n-1/2)*sqrt(b/(b+n)),其中b满足b*log(b)=n-1/2(参见Graham,Knuth和Patashnik,《混凝土数学》,第二版,第493页)-贝诺伊特·克洛伊特,2002年10月23日,更正人瓦茨拉夫·科特索维奇2013年1月6日
Lovasz(组合问题和练习,North-Holland,1993,第1.14节,问题9)给出了另一个渐近公式,由Mezo和Baricz引用-N.J.A.斯隆2015年3月26日
G.f.:求和{k>=0}x^k/(乘积{j=1..k}(1-j*x))(参见Klazar的证明)-拉尔夫·斯蒂芬2004年4月18日
a(n+1)=exp(-1)*Sum_{k>=0}(k+1)^(n)/k-杰拉尔德·麦卡维2004年6月3日
对于n>0,a(n)=Aitken(n-1,n-1)[即Aitken's数组的a(n-1、n-1)(A011971号)]. -杰拉尔德·麦卡维2004年6月26日
a(n)=和{k=1..n}(1/k!)*(和{i=1..k}(-1)^(k-i)*二项式(k,i)*i^n+0^n)-保罗·巴里2005年4月18日
a(n)=(2*n!/(Pi*e))*Im(Integral_{x=0..Pi}e^(e^)(i^(ix)))sin(nx)dx),其中Im表示虚部[Cesaro]-大卫·卡伦2005年9月3日
O.g.f.:1/(1-x-x^2/(1-2*x-2*x^2/(1-3*x-3*x^2/(…/(1-n*x-n*x^ 2/(…))))(因弗拉霍雷博士的缘故,继续分数)-保罗·D·汉纳2006年1月17日
贝尔数B(n)的表示,n=1,2,。。。,作为(n-1)F(n-1)型超几何函数的特殊值,在Maple符号中:B(n)=exp(-1)*超几何([2,2,…,2],[1,1,…,1],1),n=1,2,。。。,即,在分子中具有全部等于2的n-1个参数,在分母中具有全部等于1的n-1个参数,并且自变量的值等于1。
示例:
B(1)=exp(-1)*hypergeom([],[],1)=1
B(2)=exp(-1)*hypergeom([2],[1],1)=2
B(3)=exp(-1)*高地层([2,2],[1,1],1)=5
B(4)=exp(-1)*高地层([2,2,2],[1,1,1],1)=15
B(5)=exp(-1)*超深层([2,2,2,2],[1,1,1],1)=52
(警告:此公式是正确的,但计算机应用此公式可能无法产生准确的结果,尤其是使用大量参数时。)
(结束)
a(n+1)=1+求和{k=0..n-1}求和{i=0..k}二项式(k,i)*(2^(k-i))*a(i)-亚尔钦·阿克塔尔2007年2月27日
a(n)=[1,0,0,…,0]T^(n-1)[1,1,1,…,1]',其中T是n×n矩阵,主对角线{1,2,3,…,n},1位于对角线正上方,0位于其他位置。[梅耶]
a(n)=((2*n!)/(Pi*e))*ImaginaryPart(积分[从0到Pi](e^e^e^(i*theta))*sin(n*theta)dtheta)-乔纳森·沃斯邮报2007年8月27日
a(n)=T(n,1)=Sum_{j=0..n}S2(n,j)=Summ_{j=0..n}E(n,j)*Lag(n,-1,j-n)=Sum _{j=0..n}[E(n、j)/n!]*[n!*Lag;S2(n,j),第二类斯特林数;E(n,j),欧拉数;和Lag(n,x,m),相关的m阶Laguerre多项式。注意E(n,j)/n!=E(n,j)/(和{k=0..n}E(n、k))。
欧拉数计算排列上升,表达式[n!*Lag(n,-1,j-n)]为A086885号用座位安排的简单组合解释,对n*a(n)=和{j=0..n}E(n,j)*[n!*滞后(n,-1,j-n)]。
(结束)
定义f_1(x)、f_2(x)。。。使得f_1(x)=e^x,并且对于n=2,3,。。。f{n+1}(x)=(d/dx)(x*fn(x))。那么对于贝尔数B_n,我们得到B_n=1/e*f_n(1)-米兰Janjic,2008年5月30日
a(n)=(n-1)!求和{k=1..n}a(n-k)/(n-k!(k-1)!)其中a(0)=1-托马斯·维德2008年9月9日
a(n+k)=和{m=0..n}斯特林2(n,m)和{r=0..k}二项式(k,r)m^ra(k-r).-大卫·帕西诺(davepasino(AT)yahoo.com),2009年1月25日。(通常,这可以写成a(n+k)=Sum_{m=0..n}斯特林2(n,m)(a+m)^k-N.J.A.斯隆2009年2月7日)
a(n)=和{k_1=0..n+1}和{k_2=0..n}。。。Sum_{k_i=0…n-i}。。。和{k_n=0..1}
δ(k_1,k_2,…,k_i,…,kN)
其中,如果k_i>k_(i+1)且k_(i+1)<>0,则δ(k_1,k_2,…,k_i,…,kN)=0
否则,δ(k_1,k_2,…,k_i,…,kN)=1。
(结束)
设A是n阶上Hessenberg矩阵,定义为:A[i,i-1]=-1,A[i、j]:=二项式(j-1,i-1),(i<=j),否则A[i和j]=0。然后,对于n>=1,a(n)=det(a)-米兰Janjic2010年7月8日
G.f.:1/(1-x/(1-1*x/(1-x/(1-2*x/…))))-迈克尔·索莫斯2012年5月12日
a(n+1)=Sum_{m=0..n}斯特林2(n,m)*(m+1),n>=0。与上述a(n)的第三个公式进行比较。这里Stirling2=A048993号. -沃尔夫迪特·朗,2015年2月3日
G.f.:(-1)^(1/x)*((-1/x)/e+(!(-1-1/x))/x)其中z!还有!z是阶乘和子阶乘,推广到复杂参数-弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2013年4月24日
例如:exp(exp(x)-1)=1+x/(g(0)-x);G(k)=(k+1)*贝尔(k)+x*贝尔(k+1。
通用公式:W(x)=(1-1/(G(0)+1))/exp(1);G(k)=x*k^2+(3*x-1)*k-2+x-(k+1)*(x*k+x-1)^2/G(k+1;(连分数欧拉类,1步)。
G.f.:W(x)=(1+G(0)/(x^2-3*x+2))/exp(1);G(k)=1-(x*k+x-1)/(((k+1)!)-(((k+1)!)^2) *(1-x-k*x+(k+1)!)/(((k+1)!)*(1-x-k*x+(k+1)!)-(x*k+2*x-1)*(1-2*x-k*x+(k+2)!)/G(k+1));(续分数)。
G.f.:A(x)=1/(1-x/(1-x/(1+x/G(0)));G(k)=x-1+x*k+x*(x1+x*k)/G(k+1);(连分数,1步)。
G.f.:-1/U(0),其中U(k)=x*k-1+x-x ^2*(k+1)/U(k+1);(连分数,1步)。
G.f.:1+x/U(0),其中U(k)=1-x*(k+2)-x^2*(k+1)/U(k+1;(连分数,1步)。
通用系数:1+1/(U(0)-x),其中U(k)=1+x-x*(k+1)/(1-x/U(k+1;(连分数,2步)。
G.f.:1+x/(U(0)-x),其中U(k)=1-x*(k+1)/(1-x/U(k+1;(连分数,2步)。
G.f.:1/G(0),其中G(k)=1-x/(1-x*(2*k+1)/(1-x/(1-x*(2*k+2)/G(k+1)));(续分数)。
G.f.:G(0)/(1+x),其中G(k)=1-2*x*(k+1)/;(续分数)。
通用公式:-(1+2*x)*Sum_{k>=0}x^(2*k)*(4*x*k^2-2*k-2*x-1)/((2*k+1)*(2*x*k-1))*A(k)/B(k)其中A(k。
G.f.:(G(0)-1)/(x-1),其中G(k)=1-1/(1-k*x)/(1-x/(x-1/G(k+1));(续分数)。
G.f.:1+x*(S-1),其中S=Sum_{k>=0}(1+(1-x)/(1-x-x*k))*(x/(1-x))^k/Product_{i=0..k-1}(1-x-x*i)/(1-x)。
G.f.:(G(0)-2)/(2*x-1),其中G(k)=2-1/(1-k*x)/(1-x/(x-1/G(k+1)));(续分数)。
G.f.:-G(0),其中G(k)=1-(x*k-2)/(x*k-1-x*(x*k-1)/(x+(x*km-2)/G(k+1));(续分数)。
G.f.:G(0),其中G(k)=2-(2*x*k-1)/(x*k-1-x*(x*k-1)/;(续分数)。
G.f.:(G(0)-1)/(1+x),其中G(k)=1+1/(1-k*x)/(1-x/(x+1/G(k+1)));(续分数)。
G.f.:1/(x*(1-x)*G(0))-1/x,其中G(k)=1-x/(x-1/(1+1/(x*k-1)/G(k+1));(续分数)。
G.f.:1+x/(Q(0)-x),其中Q(k)=1+x/(x*k-1)/Q(k+1);(续分数)。
G.f.:1+x/Q(0),其中Q(k)=1-x-x/(1-x*(k+1)/Q(k+1;(续分数)。
G.f.:1/(1-x*Q(0)),其中Q(k)=1+x/(1-x+x*(k+1)/(x-1/Q(k+1;(续分数)。
G.f.:Q(0)/(1-x),其中Q(k)=1-x^2*(k+1)/;(续分数)。
(结束)
a(n)~exp(exp(W(n))-n-1)*n^n/W(n)^(n+1/2),其中W(x)是Lambert W函数-弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2015年11月1日
a(n)~n^n*exp(n/LambertW(n)-1-n)/(sqrt(1+LambertW(n-瓦茨拉夫·科特索维奇2015年11月13日
a(n)是-exp(-1)*(-1)^x*x*Gamma(-x,0,-1)的渐近展开式中的系数,其中Garma(a,z0,z1)是广义不完全Gamma函数-弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2015年11月12日
a(n)=1+楼层(exp(-1)*Sum_{k=1..2*n}k^n/k!)-弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2015年11月13日
当p是素数且m>=1时,a(p^m)==m+1(mod p)(参见Hurst/Schultz参考文献中的引理3.1)-Seiichi Manyama先生2016年6月1日
a(n)=和{k=0..n}超几何([1,-k],[],1)*Stirling2(n+1,k+1)=和A182386号(k) *箍筋2(n+1,k+1)-梅利卡·特布尼2022年7月2日
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例子
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G.f.=1+x+2*x^2+5*x^3+15*x^4+52*x^5+203*x^6+877*x^7+4140*x^8+。。。
来自Neven Juric,2009年10月19日:(开始)
n=4的a(4)=15的押韵方案是
aaaa,aaab,aaba,aabb,aabc,abaa,abab,abac,abba,abbc
n=5的a(5)=52韵律方案为
aaaaa、aaaab、aaaba、aaabb、aaabc、aabaa、aabab、aabac、aabba、aabbb、aabbc、aabca、aabcb、aabcc、aaabcd、abaaa、ababab、abaac、ababba、ababb、ababbc、abaca、abac、ababacb、abacb、abcca、abccb、abccc、abccd、abcda、abcdb、abcdc、,abcdd、abcde
(结束)
限制增长字符串(RGS):
对于n=0,有一个空字符串;
对于n=1,有一个字符串[0];
对于n=2,有2个字符串[00]、[01];
对于n=3,有(3)=5个字符串[000]、[001]、[010]、[011]和[012];
对于n=4,有a(4)=15个字符串
1: [0000], 2: [0001], 3: [0010], 4: [0011], 5: [0012], 6: [0100], 7: [0101], 8: [0102], 9: [0110], 10: [0111], 11: [0112], 12: [0120], 13: [0121], 14: [0122], 15: [0123].
这些是与押韵方案的一对一(识别a=0、b=1、c=2等)。
(结束)
考虑集合S={1,2,3,4}。a(4)=1+3+6+4+1=15分区是:P1={{1},{2},}3},[4]};第21页。。P23={a,4},S\{a,4]},a=1,2,3;第24页。。P29={{a},{b},S\{a,b}},其中1<=a<b<=4;第31页。。P34={S\{a},{a}},a=1。。4; P4={S}。有关图形说明,请参阅Bottomley链接-M.F.哈斯勒2017年10月26日
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MAPLE公司
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A000110号:=proc(n)选项记忆;如果n<=1,则1加上(二项式(n-1,i)*A000110号(n-1-i),i=0..n-1);fi;结束:#版本1
A:=系列(exp(x)-1),x,60):A000110号:=n->n*系数(A,x,n):#版本2
规范:=[S,{S=集(U,卡>=1),U=集(Z,卡>=1)},标记]:G:={P=集(集(原子,卡>0))}:combstruct[gfsolve](G,未标记,x):seq(combstrut[count]([P,G,标记],大小=i),i=0..22);#版本5,零入侵拉霍斯2007年12月16日
BellList:=proc(m)局部A,P,n;答:=[1,1];P:=[1];对于从1到m的n-2 do
P:=列表工具:-部分和([A[-1],op(P)]);A:=[op(A),P[-1]]od;A结束:BellList(29)#彼得·卢什尼2022年3月24日
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数学
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f[n_]:=总和[StirlingS2[n,k],{k,0,n}];表[f[n],{n,0,40}](*罗伯特·威尔逊v*)
表[BellB[n],{n,0,40}](*哈维·P·戴尔2011年3月1日*)
B[0]=1;B[n]:=1/E和[k^(n-1)/(k-1)!,{k,1,无穷大}](*迪米特里·帕帕佐普洛斯,2015年3月10日,编辑M.F.哈斯勒2018年11月30日*)
b[1]=1;k=1;扁平[{1,表[Do[j=k;k+=b[m];b[m]=j;,{m,1,n-1}];b[n]=k,{n,1,40}]}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2019年9月7日*)
表[j!系数[Series[Exp[Exp[x]-1],{x,0,20}],x,j],{j,0,20}](*尼古拉·潘泰利迪斯2023年2月1日*)
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黄体脂酮素
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(PARI){a(n)=my(m);如果(n<0,0,m=contfracpnqn(矩阵(2,n\2,i,k,如果(i==1,-k*x^2,1-(k+1)*x));polcoeff(1/(1-x+m[2,1]/m[1,1])+x*O(x^n),n))}/*迈克尔·索莫斯*/
(PARI){a(n)=polcoeff(和(k=0,n,prod(i=1,k,x/(1-i*x)),x^n*O(x))(n)}/*迈克尔·索莫斯2004年8月22日*/
(PARI)a(n)=圆形(exp(-1)*suminf(k=0,1.0*k^n/k!))\\戈特弗里德·赫尔姆斯,2007年3月30日-警告!仅供说明:如果n=42,则给出错误的结果,如果n>42,则返回错误,标准精度为38位-M.F.哈斯勒2018年11月30日
(PARI){a(n)=如果(n<0,0,n!*polcoeff(exp(x+x*O(x ^n))-1),n))}/*迈克尔·索莫斯2009年6月28日*/
(PARI)Vec(塞拉普拉斯(exp('x+O('x^66))-1))\\乔格·阿恩特2012年5月26日
(Sage)来自Sage.combinat.expnums import expnums2;扩展2(30,1)#零入侵拉霍斯2008年6月26日
(Sage)[(0..40)中n的bell_number(n)]#G.C.格鲁贝尔2019年6月13日
(Python)#此实现的目标是提高效率。
#m->[a(0),a(1),…,a(m)]对于m>0。
A=[0,i在范围(m)内]
A[0]=1
R=[1,1]
对于范围(1,m)内的n:
A[n]=A[0]
对于范围(n,0,-1)中的k:
A[k-1]+=A[k]
R追加(A[0])
返回R
(Python)
#需要python 3.2或更高版本。否则,请在python文档中使用累积的定义。
从itertools导入累加
对于范围(20)内的_:
blist=列表(累加([b]+blist))
b=blist[-1]
(Python)
来自sympy import bell
打印([范围(27)中n的贝尔(n)])#迈克尔·布拉尼基,2021年12月15日
(Python)
从functools导入缓存
@高速缓存
def a(n,k=0):返回int(n<1)或k*a(n-1,k)+a(n-1,k+1)
打印([a(n)代表范围(27)中的n])#彼得·卢什尼2022年6月14日
(岩浆)[贝尔(n):n in[0..40]]//文森佐·利班迪2011年2月7日
(Maxima)制造商列表(belln(n),n,0,40)/*伊曼纽尔·穆纳里尼2011年7月4日*/
(哈斯克尔)
类型N=整数
n_partitioned_k::n->n->n
1`n_partitioned_k`1=1
1`n_partitioned_k`_=0
n`n_partitioned_k`k=k*(pred n`n_partitioned_k` k)+(pred n `n_pPartitioned_k ` pred k)
n_分区::n->n
n分区0=1
n_partitioned n=总和$map(\k->n`n_partioned_k`k)$[1..n]
(哈斯克尔)
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000045号,A000108号,A000166号,A000204号,A000255号,A000311号,A000296号,A003422号,A024716号,A029761号,A049020号,A058692号,A060719号,A084423号,A087650号,A094262号,A103293号,A165194号,A165196号,A173110型,A227840型,A182386号.
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关键词
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核心,非n,容易的,美好的,已更改
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A005001号
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| a(0)=0;对于n>0,a(n)=Sum_k={0..n-1}Bell(k),其中Bell数Bell(k)在A000110号. (原M1194)
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+10 18
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0, 1, 2, 4, 9, 24, 76, 279, 1156, 5296, 26443, 142418, 820988, 5034585, 32679022, 223578344, 1606536889, 12086679036, 94951548840, 777028354999, 6609770560056, 58333928795428, 533203744952179, 5039919483399502, 49191925338483848, 495150794633289137
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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0.3
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评论
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计算押韵方案。
a(n)是集合{1,2,…,n}的分区数,其中n要么是单个的,要么是在一个连续整数块中。示例:a(3)=4,因为我们有123、1-23、12-3和1-2-3。删除包含n=3的块,我们得到:empty、1、12、1-2,即集合的所有分区:empty{1}和{1,2}-Emeric Deutsch公司2010年5月1日
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参考文献
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N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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J.Riordan,押韵计划的预算很重要第二届组合数学国际会议,第455-465页,纽约,1978年。由Allan Gewirtz和Louis V.Quintas编辑。《纽约科学院年鉴》,3191979年。
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配方奶粉
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a(0)=0;对于n>=0,a(n+1)=1+和{j=1..n}(C(n,j)-C(n,j+1))*a(j)。
G.f.:x*(1+(G(0)+1)*x/(1-x))其中G(k)=1-2*x*(k+1)/;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年12月20日
G.f.:x*G(0)/(1-x^2),其中G(k)=1-2*x*(k+1)/;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年12月22日
G.f.:x*(G(0)-1)/(1-x),其中G(k)=1+(1-x;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年1月21日
G.f.:(G(0)-1)*x/(1-x^2),其中G(k)=1+1/(1-k*x)/(1-x/(x+1/G(k+1));(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基,2013年2月6日
G.f.:x/(1-x)/(1-x*Q(0)),其中Q(k)=1+x/(1-x+x*(k+1)/(x-1/Q(k+1;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月19日
例如,A(x)满足:A'(x)=A(x)+exp(exp(x)-1)-杰弗里·克雷策2014年2月4日
通用公式:(x/(1-x))*Sum_{i>=0}x^i/产品{j=1..i}(1-j*x)-伊利亚·古特科夫斯基2017年6月5日
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MAPLE公司
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数学
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nn=20;范围[0,nn]!系数列表[系列[Exp[-1](-Exp[Exp[x]]+Exp[1+x]-Exp[x]ExpIntegralEi[1]+Exp[x]ExpIntegralEi[Exp[x]]),{x,0,nn}],x](*杰弗里·克雷策2014年2月4日*)
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黄体脂酮素
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(Python)
#需要Python 3.2或更高版本。
从itertools导入累加
对于范围(30)内的_:
….blist=列表(累加([b]+blist))
….b=blist[-1]
….a+=b
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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1, -1, 1, -3, 2, 1, -8, 17, -10, 1, -23, 137, -265, 150, 1, -75, 1333, -7389, 13930, -7800, 1, -278, 16558, -277988, 1513897, -2835590, 1583400, 1, -1155, 260364, -14799354, 245309373, -1330523259, 2488395830, -1388641800, 1, -5295, 5042064, -1092706314, 61514634933, -1016911327479
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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1,4
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评论
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三角形的生成:第n行多项式是Bell三角形前n行的下三角矩阵的特征多项式。
所以从三角形
1
1 2
2 3 5
5 7 10 15
...
我们得到了特征多项式
x-1
x^2-3*x+2
x^3-8*x^2+17*x-10
x^4-23*x^3+137*x^2-265*x+150
...
在2处求值的所有多项式(第一个除外)均为零。
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链接
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例子
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3X3矩阵的特征多项式
1 0 0
1 2 0
2 3 5
=x^3-8x^2+17x-10,带根(1,2,5)。
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数学
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m[0,0]=1;m[n,0]:=m[n、0]=m[n-1,n-1];m[n,k]:=m[n,k]=m[n,k-1]+m[n-1,k-1];m[n,k]/;k>n=0;bm[n_]:=表[m[n0,k],{n0,0,n},{k,0,n}];行[n_]:=(coes=反向[CoefficientList[CharacteristicPolynomial[bm[n],x],x]];符号[coes[1]]*coes);压扁[表格[行[n],{n,0,7}]](*Jean-François Alcover公司2012年9月13日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)BM(n)=M=矩阵(n,n);M[1,1]=1;如果(n>1,M[2,1]=1;M[2,2]=2);\对于(l=3,n,M[l,1]=M[l-1,l-1];对于(k=2,l,M[1,k]=M[1,k-1]+M[l-1,k-1]);M代表(i=1,10,打印(charpoly(BM(i)))代表(i=1,10,印刷(圆形(实数(polroots(charpolyBM(i))))
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交叉参考
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关键词
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作者
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Lambert Klasen(Lambert.Klasen(AT)gmx.net)和加里·亚当森2005年1月28日
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状态
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经核准的
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1、2、1、3、4、1、4、11、7、1、5、26、32、11、1、6、57、122、76、16、1、7、120、423、426、156、22、1、8、247、1389、2127、1206、288、29、1、9、502、4414、9897、8157、2934、491、37、1、10、1013、13744、44002、50682、25761、6371、787、46、1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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1,2
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评论
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行总和=A024716号: (1, 3, 8, 23, 75, 278, ...).
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链接
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配方奶粉
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例子
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三角形的前几行:
1;
2, 1;
3, 4, 1;
4, 11, 7, 1;
5, 26, 32, 11, 1;
6, 57, 122, 76, 16, 1;
7, 120, 423, 426, 156, 22, 1;
...
1;
1, 1;
1, 3, 1;
1, 7, 6, 1;
...
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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