搜索： a016627-编号：a0166二十七
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A000120号
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| 1’s计数序列：n的二进制展开式中的1’s数（或n的二进制权重）。
（原名M0105 N0041）
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+10
1817
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0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 3, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 6, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 3, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 6, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 3
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0.4
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评论
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n的二进制重量也称为n的汉明重量[术语“汉明重量”是以美国数学家理查德·卫斯利·汉明（1915-1998）的名字命名的-阿米拉姆·埃尔达尔，2021年6月16日]
要构造序列，请从0开始并使用规则：如果k>=0和a（0），a（1）。。。，a（2^k-1）是第一个2^k项，然后下一个2^k项是a（0）+1，a（1）+1。。。，a（2^k-1）+1-Benoit Cloitre公司2003年1月30日
分形序列的示例。也就是说，如果省略序列中的其他每个数字，就会得到原始序列。当然，这可以重复。所以如果你形成序列a（0*2^n），a（1*2^n），a。。。（对于任何整数n>0），您可以得到原始序列克里斯托弗。Hills（AT）sepura.co.uk，2003年5月14日
从a（0）=0开始，同态0->01、1->12、2->23、3->34、4->45等的不动点-罗伯特·威尔逊v2006年1月24日
a（n）是丢番图方程2^m*k+2^（m-1）+i=n的解的个数，其中m>=1，k>=0，0<=i<2^（m-1）；a（5）=2，因为只有（m，k，i）=（1，2，0）[2^1*2+2^0+0=5]和（m，k，i）=（3，0，1）[2^3*0+2^2+1=5]是解-Hieronymus Fischer公司2006年1月31日
k的第一次出现，k>=0，是在a（2^k-1）处-罗伯特·威尔逊v2006年7月27日
序列由T^（无穷大）（0）给出，其中T是转换任何单词w=w（1）w（2）。。。w（m）转化为T（w）=w（1）（w（1。。。w（m）（w（m）+1）。即T（0）=01，T（01）=0112，T（0112）=01121223-Benoit Cloitre公司2009年3月4日
对于n>=2，a（k（2^n-1））不是n的倍数的最小k是2^n+3-弗拉基米尔·谢维列夫，2009年6月5日
三角不等式：a（k+m）<=a（k）+a（m）。当且仅当C（k+m，m）为奇数时，等式成立-弗拉基米尔·谢维列夫2009年7月19日
序列的前2^n项中k值的出现次数等于二项式（n，k），也等于数组中k列的前n-k+1项之和A071919号例如，k=2，n=7：a（0）到a（2^7-1）中有21=二项式（7,2）=1+2+3+4+5+6 2Brent Spillner（Spillner（AT）acm.org），2010年9月1日，简化为R.J.马塔尔2017年1月13日
设m是n的组成部分列表中按字典顺序列出的部分数，a（k）=n-长度（组成部分（k））表示所有k<2^n和所有n（参见示例）；A007895号给出了组成奇数部分的等价物-乔格·阿恩特2012年11月9日
只需将第k行（二进制权重等于k）从0累加到2^n-1，即可得到二项式系数C（n，k）。（请参见A007318号.)
0 1 3 7 15
0:O|.|..|….||
1:|O|O.|O…|（O…|）O|
2:||O|O操作。|哦。哦|
3:|||O|O O O O|
4:||||O|
由于其分形性质，该序列非常有趣。
（结束）
n的二进制权重是n的数字和（基数b）的特殊情况-丹尼尔·福格斯2015年3月13日
前n项的平均值比[a（n+1），…，a（2n）]的平均值小1，这也是[a（n+2），……，a的平均值-基督教完美2015年4月2日
a（n）也是具有高架桥编号n的整数分区的最大部分。整数分区的高架桥编号定义如下。考虑整数分区的费雷尔斯板的东南边界，并考虑通过将每个东阶梯替换为1而每个北阶梯（最后一个除外）替换为0而获得的二进制数。根据定义，相应的十进制形式是给定整数分区的高架桥编号。“Viabin”是由“via binary”创造的。例如，考虑整数分区[2,2,2,1]。费雷尔板块的东南边界产量为10100，通往20号高架桥-Emeric Deutsch公司2017年7月20日
a（n）也被称为n的二进制表示的种群计数-柴华武2020年5月19日
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参考文献
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Jean-Paul Allouche和Jeffrey Shallit，《自动序列》，剑桥大学出版社，2003年，第119页。
Donald E.Knuth，《计算机编程的艺术》，第4A卷，组合算法，第7.1.3节，问题41，第589页-N.J.A.斯隆2012年8月3日
曼弗雷德·施罗德，分形，混沌，幂律。W.H.Freeman，1991年，第383页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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Jean-Paul Allouche、Jeffrey Shallit和Jonathan Sondow，由数字块计数定义的序列求和《数论》，第123卷（2007年），第133-143页。
Jean Coquet，数字和的幂和《数论》，第22卷，第2期（1986年），第161-176页。
约瑟夫·埃什格瓦勒（Josef Eschgfäller）和安德烈亚·斯卡潘特（Andrea Scarpante），二分法随机数发生器，arXiv:1603.08500[math.CO]，2016年。
伊曼纽尔·费兰德，泰勒公式的变形《整数序列杂志》，第10卷（2007年），第07.1.7条。
史蒂文·芬奇（Steven R.Finch）、帕斯卡·塞巴（Pascal Sebah）和柴乔·白（Zai-Qiao Bai），帕斯卡三角中的奇数项，arXiv:0802.2654[math.NT]，2008年。
菲利普·弗拉乔莱特（Philippe Flajolet）、彼得·格拉布纳（Peter Grabner）、彼得·基申霍夫（Peter Kirschenhofer）、赫尔穆特·普罗丁格（Helmut Prodinger）和罗伯特·提希（Robert F.Tichy），梅林变换与渐近：数字和，理论。计算机科学。，第123卷，第2期（1994年），第291-314页。
P.J.Grabner、P.Kirschenhofer、H.Prodinger和R.F.Tichy，关于digits和函数的矩《斐波那契数的应用》，第5卷（圣安德鲁斯，1992年），克鲁沃学院。出版物。，多德雷赫特，1993年，263-271。
罗纳德·格雷厄姆，关于本原图和最优顶点分配，内部。Conf.组合数学。（纽约，1970年），《纽约科学院年鉴》，第175卷，1970年，第170-186页。
Kathy Q.Ji和Herbert S.Wilf，极端回文，arXiv:math/0611465[math.CO]，2006年。
J.-L.Mauclaire和Leo Murata，关于q可加函数，程序。日本科学院。序列号。数学。科学。，第59卷，第6期（1983年），第274-276页。
J.-L.Mauclaire和Leo Murata，关于q可加函数，程序。日本科学院。序列号。数学。科学。，第59卷，第9期（1983年），第441-444页。
Theophanes E.Raptis，通过归纳组合层次的有限信息数，arXiv:1805.06301[physics.gen-ph]，2018年。
Nanci Smith，问题B-82，纤维。夸脱。，第4卷，第4期（1966年），第374-375页。
J.R.Trollope，二进制数字和的显式表示，数学。《杂志》，第41卷，第1期（1968年），第21-25页。
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配方奶粉
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a（0）=0，a（2*n）=a（n），a（2*n+1）=a（n）+1。
a（0）=0，a（2^i）=1；否则，如果n=2^i+j且0<j<2^i，a（n）=a（j）+1。
G.f.：乘积{k>=0}（1+y*x^（2^k））=和{n>=0{y^a（n）*x^n-N.J.A.斯隆2009年6月4日
通用公式：（1/（1-x））*和{k>=0}x^（2^k）/（1+x^-拉尔夫·斯蒂芬2003年4月19日
a（0）=0，a（n）=a（n-2^层（log2（n）））+1。示例：a（6）=a（6-2^2）+1=a（2）+1=a（2-2^1）+1=1=a（0）+2=2；a（101）=a（101-2^6）+1=a（37）+1=a（37-2^5）+2=a（5-2^2）+3=a（1-2^0）+4=a（0）+4=4；a（6275）=a（6275-2^12）+1=a（2179-2^11）+2=a（131-2^7）+3=a（3-2^1）+4=a（1-2^0）+5=5；a（4129）=a（4129-2^12）+1=a（33-2^5）+2=a（1-2^0）+3=3-Hieronymus Fischer公司，2006年1月22日
映射0->01，1->12，2->23，3->34，4->45。。。当f（i）=楼层（n/2^i）时，a（n）是序列f（0）、f（1）、f-菲利普·德尔汉姆2004年1月4日
让floor_pow4（n）表示n四舍五入到四的下一次幂，floor_pow（n）=4^floor（log4n）。则a（0）=0，a（1）=1，a（2）=1、a（3）=2，a（n）=a（楼层（n/floor_pow4（n）））+a（n%floor_pow4[n）]Stephen K.Touset（Stephen（AT）Touset.org），2007年4月4日
对于奇数m>=1，a（（4^m-1）/3）=a（（2^m+1）/3）+（m-1）/2（mod 2）-弗拉基米尔·谢维列夫2010年9月3日
a（n）-a（n-1）={1-a（n-1A007814号（n） =a（n-1），1当且仅当A007814号（n） =0，-1代表所有其他A007814号（n） }.-Brent Spillner（Spillner（AT）acm.org），2010年9月1日
a（n）=总和{j=1..m+1}（楼层（n/2^j+1/2）-楼层（n/2 ^j）），其中m=楼层（log_2（n））。
n的基p表示中>=d位数的一般公式，其中1<=d<p:a（n）=Sum_{j=1..m+1}（floor（n/p^j+（p-d）/p）-floor（n/p^j）），其中m=floor（log_p（n））；g.f.：g（x）=（1/（1-x））*和{j>=0}（x^（d*p^j）-x^。（结束）
和{n>=1}a（n）/2n（2n+1）=（伽马+对数（4/Pi））/2=A344716飞机，其中gamma是Euler常数A001620号; 参见Sondow 2005、2010和Allouche，Shallit，Sondow 2007-乔纳森·桑多2015年3月21日
对于任意整数基数b>=2，n的展开基数b的位数s_b（n）之和就是这个递推关系的解：如果n=0，则s_（n）=s_（b（n/b））+（n mod b）。因此，a（n）满足：如果n=0，a（n=0）=a（地板（n/2））+（n mod 2）。这很容易产生a（n）=Sum_{i=0..floor（log_2（n））}（floor（n/2^i）mod 2）。由此可以计算a（n）=n-和{i=1..floor（log_2（n））}floor（n/2^i）-马雷克·苏切内克2016年3月31日
a（m*（2^n-1））>=n。当2^n-1>时，等式成立=A000265号（m） ，但在其他一些情况下，例如a（11*（2^2-1））=2和a（19*（2*3-1））=3-蓬图斯·冯·布罗姆森2020年12月13日
G.f.:A（x）满足A（x）=（1+x）*A（x^2）+x/（1-x^2-阿克沙特·库马尔2023年11月4日
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例子
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使用公式a（n）=a（floor（n/floor_pow4（n）））+a（n mod floor_pow5（n）
a（4）=a（1）+a（0）=1，
a（8）=a（2）+a（0）=1，
a（13）=a（3）+a（1）=2+1=3，
a（23）=a（1）+a（7）=1+a（1）+a（3）=1+1+2=4。
0,
1,
1,2,
1,2,2,3,
1,2,2,3,2,3,3,4，
1,2,2,3,2,3,3,4,2,3,3,4,3,4,4,5,
1,2,2,3,2,3,3,4,2,3,3,4,3,4,4,5,2,3,3,4,3,4,4,5,3,4,4,5,4,5,5,6,
1,2,2,3,2,3，。。。
以零件列表的形式连接到n的组成（见注释）：
[#]：a（n）成分
[ 0]: [0] 1 1 1 1 1
[ 1]: [1] 1 1 1 2
[ 2]: [1] 1 1 2 1
[ 3]: [2] 1 1 3
[ 4]: [1] 1 2 1 1
[ 5]: [2] 1 2 2
[ 6]: [2] 1 3 1
[ 7]: [3] 1 4
[ 8]: [1] 2 1 1 1
[ 9]: [2] 2 1 2
[10]: [2] 2 2 1
[11]: [3] 2 3
[12]: [2] 3 1 1
[13]: [3] 3 2
[14]: [3] 4 1
[15]: [4] 5
（结束）
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MAPLE公司
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A000120号：=proc（n）局部w，m，i；w:=0；m：=n；当m>0时，i：=m mod 2；w：=w+i；m:=（m-i）/2；od；w；结束：重量：=A000120号；
带（位）：p:=n->ilog2（n-And（n，n-1））：seq（p（二项式（2*n，n）），n=0..200）#加里·德特利夫斯2019年1月27日
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数学
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表[DigitCount[n，2，1]，{n，0，105}]
嵌套[扁平[#/.#->{#，#+1}]&，{0}，7](*罗伯特·威尔逊v2011年9月27日*）
表[Plus@@IntegerDigits[n，2]，{n，0，104}]
Log[2，Nest[Join[#，2#]&，{1}，14]]（*给出2^14项，卡洛斯·阿尔维斯2014年3月30日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，2*n-赋值（（2*n）！，2））}；
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，subst（Pol（binary（n），x，1））}；
（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，a（n \ 2）+n%2）}/*迈克尔·索莫斯2004年3月6日*/
（PARI）a（n）=我的（v=二进制（n））；总和（i=1，#v，v[i]）\\查尔斯·格里特豪斯四世2011年6月24日
（PARI）a（n）=norml2（二进制（n））\\更好地使用{A000120号=hammingweight}-M.F.哈斯勒2012年10月9日，2020年2月27日编辑
（PARI）a（n）=锤击重量（n）\\米歇尔·马库斯2013年10月19日
（通用Lisp）（deven floor-to-power（n pow）（declare（fixnum pow））（expt pow（floor（log n pow；Stephen K.Touset（Stephen（AT）Touset.org），2007年4月4日
（哈斯克尔）
导入数据。位（位，popCount）
a000120：：（整数t，位t）=>t->Int
a000120=popCount
a000120_list=0:c[1]其中c（x:xs）=x:c（xs++[x，x+1]）
--莱因哈德·祖姆凯勒，2013年8月26日，2012年2月19日，2011年6月16日，2010年3月7日
（哈斯克尔）
a000120=连接
其中r=[0]：（map.map）（+1）（scanl1（++）r）
（SageMath）
如果n<=1：返回整数（n）
（Python）
将numpy导入为np
（Python）#另请参阅链接。
（Scala）（0到127）.map（Integer.bitCount（_））//阿隆索·德尔·阿特2019年3月5日
（岩浆）[多重性（Intseq（n，2），1）：n in[0..104]]//马吕斯·A·伯蒂2020年1月22日
（岩浆）[&+Intseq（n，2）：[0..104]]中的n//马吕斯·A·伯蒂2020年1月22日
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交叉参考
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以2-16为基数的n位数之和：此序列，A053735号,A053737号,A053824号,A053827号,A053828号,A053829号,A053830号,A007953号,A053831美元,A053832号,A053833号,A053834号,A053835号,A053836美元.
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A002378美元
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| Oblong（或promic、pronic或hetomic）数：a（n）=n*（n+1）。
（原名M1581 N0616）
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+10
770
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0、2、6、12、20、30、42、56、72、90、110、132、156、182、210、240、272、306、342、380、420、462、506、552、600、650、702、756、812、870、930、992、1056、1122、1190、1260、1332、1406、1482、1560、1640、1722、1806、1892、1980、2070、2162、2256、2352、2450、2550
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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根据韦伯斯特第二版，正确的单词是“promic”-R.K.盖伊
a（n）是根晶格a_n中的最小向量数（见Conway和Sloane，第109页）。
对于j<k<=n，对于n>1，所有对（j，k）的最大LCM-罗伯特·威尔逊v2004年6月19日
第一个差异是a（n+1）-a（n）=2*n+2=2，4，6。。。（而平方的第一个差是（n+1）^2-n^2=2*n+1=1，3，5，…）-亚历山大·瓦恩伯格，2005年12月29日
快速（心理）乘法/因式分解技术——Lekraj Beedassy评论的推广：对于所有基b>=2和正整数n，c，d，k，c+d=b^k，我们有（n*b^k+c）*（n*b ^k+d）=A（n）*b^（2*k）+c*d。因此乘积的最后2*k个基-b数字正好是c*d的数字，包括前导0（s）根据需要--前面的以b为基数的数字与a（n）的数字相同。示例：十进制中，113*117=13221（n=11，b=10=3+7，k=1，3*7=21，a（11）=132）；在八进制中，61×67=5207（52是八进制中的a（6））。特别是，对于偶数b=2*m（m>0）和c=d=m，这样的乘积就是这种类型的平方。小数因式分解：5609立即被视为71*79。同样，120099=301*399（此处k=2）和99990000001996=9999002*9999998（k=3）-里克·L·谢泼德2021年7月24日
迭代平方根sqrt序列（N+sqrt（N+…））对于N=1,2。。。限制（1+sqrt（1+4*N））/2。对于N=a（N），该极限为N+1，N=1，2。。。。对于所有其他数字N，N>=1，此极限不是自然数。示例：n=1，a（1）=2:sqrt（2+sqrt…））=1+1=2；n=2，a（2）=6:sqrt（6+sqrt，6+…））=1+2=3-沃尔夫迪特·朗2006年5月5日
可被上限（sqrt（m））整除的非方形整数m，m=0除外-马克斯·阿列克塞耶夫2006年11月27日
（n+1）X（n+1”）矩阵的非对角元素数-阿图尔·贾辛斯基2007年1月11日
a（n）等于函数f:{1，2}->{1，2，…，n+1}的个数，因此对于{1，2]中的固定x和{1，2中，…，n+1}中的一个固定y，我们有f（x）<>y.-Aleksandar M.Janjic和米兰Janjic2007年3月13日
数字m>=0，使fract（sqrt（m+1））>1/2，fract（mqrt（m））<1/2，其中fract（x）是分数部分（fract（x）=x-floor（x），x>=0）-Hieronymus Fischer公司2007年8月6日
方程4*X^3+X^2=Y^2的解的X值。要查找Y值：b（n）=n（n+1）（2n+1）-穆罕默德·布哈米达2007年11月6日
如果Y是n个集合X的2个子集，那么对于n>=2，a（n-2）是X的2个子集和3个子集的数量，它们正好有一个元素与Y相同-米兰Janjic2007年12月28日
a（n）与Redheffer矩阵中指向零的偶数宽度的抛物线的顶点重合。整数p是素数当且仅当对于所有整数k，抛物线y=kx-x^2在y=p时没有1<x<k的整数解；a（n）对应奇数k-莱库·库隆2008年11月30日
超几何函数3F2某些值的第三个差导致长圆数的平方，即3F2（[1，n+1，n+1），[n+2，n+2]，z=1）-3*3F2 1/（（n+2）*（n+3））^2表示n=-1， 0, 1, 2, ... . 另请参阅A162990型. -约翰内斯·梅耶尔2009年7月21日
对于n>1，a（n）是函数f:{1，2}->{1，…，n+2}的数目，其中f（1）>1和f（2）>2。注意，f（1）有n+1个可能值，f（2）有n个可能值。例如，a（3）=12，因为有12个函数f从{1,2}到{1,2,3,4,5}，其中f（1）>1和f（2）>2-丹尼斯·沃尔什2011年12月24日
a（n）给出了包含两个1的对称（0，1）-矩阵（n+1）X（n+1）的个数（参见[Cameron]）-L.埃德森·杰弗里2012年2月18日
a（n）是[n+2]x[n+2]中具有x-y>1的有序对（x，y）的数量-丹尼斯·沃尔什2012年11月27日
a（n）是从{1，2}到{1，2，…，n+1}的内射函数数-丹尼斯·沃尔什2012年11月27日
a（n）是2n+2的分区部分的正差之和，正好分成两部分（参见示例）-韦斯利·伊万·赫特2013年6月2日
a（n）/a（n-1）对e^（2/n）是渐近的-理查德·福伯格2013年6月22日
D_{n+1}型根系中的正根数（对于n>2）-汤姆·埃德加2013年11月5日
A_n型根系统中的根数（对于n>0）-汤姆·埃德加2013年11月5日
对于m>=1，a（m）是唯一的正整数值t，对于该正整数值，b（0）=0且b（1）=1的递归b（n）=b（n-1）+t*b（n-2）的Binet-de-Moivre公式具有平方根。证明（根据建议沃尔夫迪特·朗（2014年3月26日）：如果4t+1=（2m+1）^2，即t=a（m），m>=1，则出现在特征方程的零点r1和r2中的sqrt（1+4t）是正整数t的（正）整数。因此，特征根是整数：r1=m+1和r2=-m。
设m>1是一个整数。如果b（n）=b（n-1）+a（m）*b（n-2），n>=2，b（0）=0，b（1）=1，那么当n接近无穷大时，lim b（n+1）/b（n）=m+1。（结束）
囊性纤维变性。A130534型对于与着色森林的关系，旗杆上旗帜的配置，以及完整图（这里简称K_2）顶点的着色（色多项式）-汤姆·科普兰2014年4月5日
整数n的集合，其中n+sqrt（n+squart（n+sqrt）（n+sqlt（n+…）。。。是一个整数-莱斯利·科勒2014年4月11日
a（n-1）是最大的数字k，使得（n*k）/（n+k）是整数-德里克·奥尔2014年5月22日
将domino和singleton放置在长度为n-2的条带上的方法的数量-拉尔夫·斯蒂芬2014年6月9日
对于n>1，n个值a（1）至a（n）的谐波平均值为n+1。累加调和平均数为整数的递增正整数的最小无限序列-伊恩·达夫2015年2月1日
a（n）是在[n+2]X[n+2]棋盘上，一种颜色的皇后可以共存而不攻击对手颜色的皇后的最大数量。唯一的王后可以放置在棋盘周边的任何位置-鲍勃·塞尔科2015年2月7日
当a（0）=1时，a（n-1）是序列中最小的正数，使得和{i=1..n}1/a（i-1）的分母等于n-德里克·奥尔2015年6月17日
这个序列的正成员是所谓的1-幸福夫妇产品的适当子序列A007969号参见W.Lang链接，等式（4），Y_0=1，末尾有一个表格-沃尔夫迪特·朗2015年9月19日
对于n>0，a（n）是区间[0，1]中x的上边界为y=x^（n-1），下边界为y=x^n的面积的倒数。对所有这些面积求和直观地演示了下面的公式，即求和{n>=1}1/a（n）=1-里克·L·谢泼德2015年10月26日
看起来，除了a（0）=0之外，这是一组正整数n，因此x*floor（x）=n没有解。（例如，要得到3，取x=-3/2。）-梅尔文·佩拉尔塔2016年4月14日
如果两个独立的实随机变量x和y按照相同的指数分布进行分布：pdf（x）=lambda*exp（-lambda*x），lambda>0，则n-1<=x/y<n的概率由1/a（n）给出-安德烈斯·西卡廷2016年12月3日
a（n）等于n对不同的连续奇数之间所有可能的差异之和（参见示例）-米奎尔·塞尔达2016年12月4日
a（n+1）是平面上多项式系数高达n阶的向量场空间的维数-马丁·利希特2016年12月4日
此外，（n+3）-三角形蜂窝状锐角骑士图中的3个圈数-埃里克·韦斯特因2017年7月27日
由偶数组成的弗洛伊德三角形的左边缘：0；2, 4; 6, 8, 10; 12, 14, 16, 18; 20, 22, 24, 26, 28; ... 给出0、2、6、12、20。。。右边缘生成A028552号. -Waldemar Puszkarz公司2018年2月2日
a（n+1）是偏序集上的行运动顺序，通过将唯一的最小（或最大）元素与至少两个n个元素链的不相交并邻接而获得-尼克·迈尔斯，2018年6月1日
对于n>0，1/a（n）=n/（n+1）-（n-1）/n。
例如，1/6=2/3-1/2；1/12 = 3/4 - 2/3.
由此推论：
服用1/2粒。
第二天，服用1/6粒。1/2+1/6=2/3，所以你的日平均值是1/3。
第二天，服用1/12粒药丸。2/3+1/12=3/4，所以你的日平均值是1/4。
依此类推。（结束）
对于一个长方形数m>=6，存在一个欧几里德除法m=d*q+r，其中q<r<d按此顺序以公共整数比b进行几何级数。对于b>=2和q>=1，欧几里得除法为m=qb*（qb+1）=qb^2*q+qb，其中（q，qb，qb^2）是几何级数。
具有不同比率和商的一些示例：
6 | 4 30 | 25 42 | 18
----- ----- -----
2 | 1 , 5 | 1 , 6 | 2 ,
以及：
42 | 12 420 | 100
----- -----
6 | 3 , 20 | 4 .
一些长方形数也满足欧几里德除法m=d*q+r，其中q<r<d按此顺序进行几何级数，但具有共同的非整数比b>1（参见A335064型). （结束）
a（n-2）是所有具有n个顶点的树上的最大不规则性。极值图是恒星。（图形的不规则性是图形所有边上度数差的总和。）-艾伦·比克2023年5月29日
a（n-1）是具有n个顶点的所有树的最大萨格勒布指数。极值图是恒星。（图的萨格勒布指数是图的所有顶点上度数的平方和。）-艾伦·比克2024年4月11日
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参考文献
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配方奶粉
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总尺寸：2*x/（1-x）^3-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中。
a（n）=a（n-1）+2*n，a（0）=0。
和{n>=1}a（n）=n*（n+1）*（n+2）/3（比较。A007290号，部分总和）。
和{n>=1}1/a（n）=1。（参考蒂德曼）
和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=log（4）-1=A016627号-1[乔利方程（235）]。
1=1/2+和{n>=1}1/[2*a（n）]=1/2+1/4+1/12+1/24+1/40+1/60+。。。部分和：1/2、3/4、5/6、7/8、9/10、11/12、13/14-加里·亚当森2003年6月16日
a（n）*a（n+1）=a（n*（n+2））；例如a（3）*a（4）=12*20=240=a（3*5）-查理·马里恩2003年12月29日
和{k=1..n}1/a（k）=n/（n+1）-罗伯特·威尔逊v2005年2月4日
对数2=和{n>=0}1/a（2n+1）=1/2+1/12+1/30+1/56+1/90+…=(1 - 1/2) + (1/3 - 1/4) + (1/5 - 1/6) + (1/7 - 1/8) + ... = 和{n>=0}（-1）^n/（n+1）=A002162号. -加里·亚当森2003年6月22日
（2，6，12，20，30，…）=（2，4，2）的二项式变换-加里·亚当森2007年11月28日
a（n-1）=楼层（n^5/（n^3+n^2+1））-加里·德特利夫斯2010年2月11日
对于n>0，a（n）=1/（积分{x=0..Pi/2}2*（sin（x））^（2*n-1）*（cos（x），^3）-弗朗西斯科·达迪2011年8月2日
求和{n>=1}1/（a（n））^（2s）=求和{t=1..2*s}二项式（4*s-t-1，2*s-1）*（（1+（-1）^t）*zeta（t）-1）。参见Arxiv:1301.6293-R.J.马塔尔2013年2月3日
a（n）^2+a（n+1）^2=2*a（（n+1）^2），对于n>0-伊万·伊纳基耶夫2013年4月8日
a（n）=楼层（n^2*e^（1/n））和a（n-1）=楼层-理查德·福伯格2013年6月22日
[0,2,2,0,0,0，…]的二项式变换-阿洛伊斯·海因茨2015年3月10日
对于n>0，a（n）=1/（积分_{x=0..1}（x^（n-1）-x^n）dx）-里克·L·谢泼德2015年10月26日
对于n>0，a（n）=Lim_{m->infinity}（1/m）*1/（Sum_{i，m*n..m*（n+1）}1/i^2），误差约为1/m-理查德·福伯格2016年7月27日
Dirichlet g.f.：zeta（s-2）+zeta（s-1）。
和{n>=0}a（n）/n！=3*exp（1）。（结束）
a（n）*a（n+2k-1）+（n+k）^2=（（2n+1）*k+n^2）^2。
a（n）*a（n+2k）+k^2=（（2n+1）*k+a（n））^2。（结束）
产品{n>=1}（1+1/a（n））=cosh（sqrt（3）*Pi/2）/Pi-阿米拉姆·埃尔达尔2021年1月20日
2003年12月29日公式A（n）*A（n+1）=A（n*（n+2））的推广如下。a（n）*a（n+k）=a（n*（n+k+1））+（k-1）*n*（n+k+1）-查理·马里恩2023年1月2日
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例子
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a（3）=12，因为2（3）+2=8有4个分区，正好有两部分：（7,1），（6,2），（5,3），（4,4）。将每个分区中各部分的正差异相加，得到：6+4+2+0=12-韦斯利·伊万·赫特2013年6月2日
G.f.=2*x+6*x^2+12*x^3+20*x^4+30*x^5+42*x^6+56*x^7+。。。
a（1）=2，因为45-43=2
a（2）=6，因为47-45=2和47-43=4，那么2+4=6
a（3）=12，因为49-47=2，49-45=4，49-43=6，然后2+4+6=12-米奎尔·塞尔达2016年12月4日
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MAPLE公司
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n*（n+1）；
结束进程：
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数学
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表[n（n+1），{n，0，50}](*罗伯特·威尔逊v，2004年6月19日*）
长方形Q[n_]：=整数Q@Sqrt[4 n+1]；选择[范围[0，2600]，长方形Q](*罗伯特·威尔逊v2011年9月29日*）
2累计[范围[0，50]](*哈维·P·戴尔2011年11月11日*）
线性递归[{3，-3，1}，{2，6，12}，｛0，20}](*埃里克·韦斯特因2017年7月27日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=n*（n+1）}；
（PARI）concat（0，Vec（2*x/（1-x）^3+O（x^100））\\阿尔图·阿尔坎2015年10月26日
（PARI）是（n）=我的（m=平方（n））；m*（m+1）==n\\查尔斯·格里特豪斯四世2018年11月1日
（哈斯克尔）
a002378 n=n*（n+1）
a002378_list=zipWith（*）[0..][1..]
（岩浆）[0..100]]中的[n*（n+1）:n//韦斯利·伊万·赫特2015年10月26日
（标量）（2到100乘2）.scanLeft（0）（_+_）//阿隆索·德尔·阿特2019年9月12日
（Python）
定义a（n）：返回n*（n+1）
打印（[a（n）代表范围（51）中的n]）#迈克尔·布拉尼基2022年1月13日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A035106型,A087811号,A119462年,A127235号,A049598号,A124080型,A033996号,A028896号,A046092号,A000217号,A005563号,A046092号,A001082号,A059300型,A059297号,A059298号,A166373号,A002943号（二等分），A002939号（二等分），A078358号（补语）。
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关键词
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非n,容易的,核心,美好的,改变
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A000384号
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| 六边形数：a（n）=n*（2*n-1）。
（原名M4108 N1705）
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+10
430
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0, 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, 630, 703, 780, 861, 946, 1035, 1128, 1225, 1326, 1431, 1540, 1653, 1770, 1891, 2016, 2145, 2278, 2415, 2556, 2701, 2850, 3003, 3160, 3321, 3486, 3655, 3828, 4005, 4186, 4371, 4560
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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熵函数H（x）=（1+x）log（1+x）+（1-x）log（1-x）的幂级数展开式具有1/a_i作为x^（2i）的系数（奇数项为零）托马索·托福利（tt（AT）bu.edu），2002年5月6日
更一般地说，如果p1和p2是两个任意选择的不同素数，那么a（n）是（p1^2*p2）^（n-1）的除数，或者是A054753号^（n-1）-蚂蚁王2011年8月29日
众所周知，对于n>0，A014105号（n） [0,3,10,21，…]是2n+1个连续整数中的第一个，因此第一个n+1个此类整数的平方和等于最后一个n的平方和；例如，10^2+11^2+12^2=13^2+14^2。
鲜为人知的是，对于n>1，a（n）[0,1,6,15,28，…]是2n个连续整数中的第一个，因此前n个此类整数的平方和等于最后n-1的平方和加上n^2；例如，15^2+16^2+17^2=19^2+20^2+3^2-查理·马里恩2006年12月16日
从0开始，沿0、6、……方向读取行，找到序列。。。和从1开始的直线，在方向1，15。。。，在顶点为广义六边形数的方形螺旋中A000217号. -奥马尔·波尔2009年1月9日
设Hex（n）=六角形数，T（n）=三角形数，则Hex（n）=T（n”）+3*T（n-1）-文森佐·利班迪2010年11月10日
对于n>=1，1/a（n）=和{k=0..2*n-1}（（-1）^（k+1）*二项式（2*n-1，k）*二项式（2xn-1+k，k）*H（k）/（k+1。
从划分为象限的正方形的n种颜色中选择任意2种颜色的可能不同颜色的数目-保罗·克利里2010年12月21日
对于n>0，a（n-1）是三元组（w，x，y）的数目，所有项都在{0，…，n}中，max（|w-x|，|x-y|）=|w-y|-克拉克·金伯利2012年6月12日
设一个三角形有T（0,0）=0和T（r，c）=|r^2-c^2|。第（n）行和第（n-1）行中的术语之差之和为a（n）-J.M.贝戈2013年6月17日
a（n）是正好有两个1的长度为2n的二元序列的数目。a（2）=6，因为我们有：{0,0,1,1}，{0,1,0}，}，1,0,1,1}，2,0,1}。具有插值零点的普通生成函数为：（x^2+3*x^4）/（1-x^2）^3-杰弗里·克雷策2014年1月2日
对于n>0，a（n）是最大的整数k，使得k^2+n^2是k+n的倍数。更一般地说，对于m>0和n>0来说，使k^（2*m）+n^-德里克·奥尔2014年9月4日
（0，1，4，0，0，0，…）的二项式变换和（0，1，4，4，4，…）的第二部分和-加里·亚当森2015年10月5日
对于n>=4，a（n）还给出了简单李代数D_n的维数-沃尔夫迪特·朗2015年10月21日
对于n>0，a（n）等于n+11的n部分组成的数量，避开第2、3、4部分-米兰Janjic2016年1月7日
同时给出了n-鸡尾酒会图中最小控制集和最大无冗余集的个数-埃里克·韦斯特因2017年6月29日和8月17日
正如Beedassy的公式所示，这个六边形数列是三角形数列的奇数平分。这两个序列都是比喻数字序列。对于A000384号，a（n）可以通过将其三角形数乘以其六边形数得到。例如，让我们使用数字153。153据说是第17个三角形数，但也被认为是第9个六边形数。三角形（17）六边形（9）。17*9=153. 因为六边形数列是三角形数列的子集，所以六边形的数列总是既有三角形数又有六边形数。n*（2*n-1），因为（2*n-1）呈现三角形编号-布鲁斯·尼克尔森2017年11月5日
另外，数字k具有以下性质：在sigma（k）的对称表示中，最小的Dyck路径具有中心谷，最大的Dycl路径具有中心峰，n>=1。因此，所有大于0的六边形数都有中间除数。（参见。A237593型.) -奥马尔·波尔，2018年8月28日
素数n和k=2..n-1的k^a（n-1）modn=1-约瑟夫·舒尼亚2019年2月10日
似乎这些是数字k，其性质是sigma（k）对称表示中的最小子部分为1-奥马尔·波尔2021年8月28日
第n个六角形数等于从2*n-1开始具有相同奇偶校验的n个连续整数的和；例如，1、2+4、3+5+7、4+6+8+10等。通常，第n个2k-角数是从（k-2）*n-（k-3）开始具有相同奇偶校验的n个连续整数的和。当k=1和2时，此结果生成正整数，A000027号和方块，A000290型分别是-查理·马里恩2022年3月2日
猜想：对于n>0，min{k，存在{0,1,2，…，A（n）}的子集A，B，使得|A|=|B|=k和A+B={0,12,2，……，2*A（n-迈克尔·朱2022年3月9日
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参考文献
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西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
米歇尔·沃尔德施米特，连续分数2015年5月18日至29日：Oujda（Maroc）。
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配方奶粉
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例如：exp（x）*（x+2x^2）-保罗·巴里2003年6月9日
通用格式：x*（1+3*x）/（1-x）^3-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中，去掉了最初的零
a（n）=M^n*[1,0,0]的右项，其中M=3 X 3矩阵[1,0,0；1,1,0；1,4,1]。例如：a（5）=45，因为M^5*[1,0,0]=[1,5,45]-加里·亚当森2006年12月24日
从偏移量1开始，=[1,5,4,0,0,0，…]的二项式变换。也，A004736号* [1, 4, 4, 4, ...]. -加里·亚当森2007年10月25日
（n）^2+（a（n）+1）^2+…+（a（n）+n-1）^2=（a（n）+n+1）^2+…+（a（n）+2n-1）^2+n^2；例如，6^2+7^2=9^2+2^2；28^2 + 29^2 + 30^2 + 31^2 = 33^2 + 34^2 + 35^2 + 4^2. -查理·马里恩2007年11月10日
a（n）=二项式（n+1,2）+3*二项式。
a（n）=3*a（n-1）-3*a（n2）+a（n-3），a（0）=0，a（1）=1，a（2）=6-Jaume Oliver拉丰2008年12月2日
a（n）=a（n-1）+4*n-3（a（0）=0）-文森佐·利班迪2010年11月20日
a（n）=2*a（n-1）-a（n-2）+4-蚂蚁王2011年8月26日
a（4*a（n）+7*n+1）=a（4*1（n）+7*n）+a（4xn+1）-弗拉基米尔·谢维列夫2014年1月24日
和{n>=1}（-1）^n/a（n）=log（2）-Pi/2-瓦茨拉夫·科特索维奇2018年4月20日
a（n+1）=三项式（2*n+1，2）=三项式（2xn+1，4*n），对于n>=0，带有三项式不规则三角形A027907号.a（n+1）=（n+1”）*（2*n+1）=（1/Pi）*Integral_{x=0..2}（1/sqrt（4-x^2））*（x^2-1）^（2*n+1）*R（4*n-2，x），其中R多项式系数在A127672号[Comtet，p.77，q=3，n->2*n+1，k=2的积分公式，用x=2*cos（phi）重写]-沃尔夫迪特·朗2018年4月19日
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MAPLE公司
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数学
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线性递归[{3，-3，1}，{0，1，6}，50](*哈维·P·戴尔2015年9月10日*）
连接[{0}，累加[Range[1，312，4]]](*哈维·P·戴尔2016年3月26日*）
（*对于Mathematica 10.4+*）表[PolygonalNumber[RegularPolygon[6]，n]，{n，0，48}](*阿尔卡迪乌斯·韦索洛夫斯基2016年8月27日*）
系数列表[级数[x*（1+3*x）/（1-x）^3，{x，0，100}]，x](*斯特凡诺·斯佩齐亚2018年9月2日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=n*（2*n-1）
（PARI）a（n）=二项式（2*n，2）\\阿尔图·阿尔坎2015年10月6日
（哈斯克尔）
a000384 n=n*（2*n-1）
a000384_list=扫描（+）0 a016813_list
（Python）#用于计算序列的初始段，而不是孤立项。
定义aList（）：
x、 y=1，1
产量0
为True时：
收益率x
x、 y=x+y+4，y+4
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交叉参考
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囊性纤维变性。A002939号（2倍a（n）：勾股三元组的和（X，Y，Z=Y+1）。
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A000123号
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| 二进制分区数：2n到2次方的分区数。
（原名M1011 N0378）
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+10
108
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1, 2, 4, 6, 10, 14, 20, 26, 36, 46, 60, 74, 94, 114, 140, 166, 202, 238, 284, 330, 390, 450, 524, 598, 692, 786, 900, 1014, 1154, 1294, 1460, 1626, 1828, 2030, 2268, 2506, 2790, 3074, 3404, 3734, 4124, 4514, 4964, 5414, 5938, 6462, 7060, 7658, 8350, 9042, 9828
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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此外，a（n）=2n（或2n+1）的“非平分”分区数，即分区2n=p_1+p_2+…+p_k，1<=p_1<=p_2<=…<=p_k和p_1+p_2+…+p_i<=p_{i+1}表示所有1<=i<k[Hirschorn和Sellers]。
等于[1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2]充气的无穷卷积A000079号-1次，即[1,2,2,2,2,2,2,2,2]*[1,0,2,0,2,0,2]*[1,0,0,2,0,0,2]-Mats Granvik公司和加里·亚当森2009年8月4日
它可以进一步分解为最终支持序列的无穷卷积，即[1,1]A000079号-1倍，具有多重性A000027号+1次，即[1,1]*[1,1]*[1,0,1]*[1,0,1]*[1,0,1]*。。。（下一项是[1,0,0,01]4倍，等等）-艾坦·莱文2023年6月18日
设M=每列（1，2，2，…）向下移动两次的无限下三角矩阵。A000123号=lim_{n->infinidy}M^n，被视为序列的左移向量。将（1，2，2，…）替换为（1，3，3，…），按照相同的步骤，我们得到A171370号: (1, 3, 6, 12, 18, 30, 42, 66, 84, 120, ...). -加里·亚当森2009年12月6日
序列的第一个差异是（1、2、2、4、4、6、6、10…），A018819号也就是说，序列本身除了第一个项外，每个项都是重复的（除非在计算第一个差之前加上前缀0），如公式a（n）-a（n-1）=a（floor（n/2））所示，如果我们让a（-1）=0，则对包括n=0在内的所有n都有效-M.F.哈斯勒2019年2月19日
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参考文献
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链接
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N.J.A.Sloane和J.A.Sellers，关于非折叠分区，离散数学。，294 (2005), 259-274.
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配方奶粉
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a（n）=a（n-1）+a（楼层（n/2））。有关证据，请参见A018819号.
如果n是偶数，则2*a（n）=a（n+1）+a（n-1）-迈克尔·索莫斯2011年1月7日
通用公式：（1-x）^（-1）产品{n>=0}（1-x^（2^n））^。
a（n）=Sum_{i=0..n}a（楼层（i/2））[O Shea]。
G.f.A（x）满足A（x^2）=（（1-x）/（1+x））*A（x）-迈克尔·索莫斯2003年8月25日
G.f.：产品{k>=0}（1+x^（2^k））/（1-x^-乔格·阿恩特2005年4月24日
增长的渐近速度是精确已知的——见De Bruijn的论文。用p（n）将n分为二次幂的个数，de Bruijn的渐近公式为：log（p（2*n））=1/（2*L2）*（log（n/log（n））^2+（1/2+1/L2+LL2/L2）*log（n。
从数值上看，Phi（x）的平均值约为0.66。库尔特·马勒（Kurt Mahler）早些时候获得了O（1）项的展开式。（结束）
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例子
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对于n=3，2n=6的a（3）=6允许分区为1+1+1+1+1、1+1+1+2、1+1+2+2、2+2+2，1+1+4和2+4-R.J.马塔尔2021年8月11日
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MAPLE公司
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#第二个Maple程序：对大n更有效；尝试：a（10^25）；
g： =proc（b，n）选项记忆`if`（b<0，0，`如果`（b=0或
n=0，1，`如果`（b>=n），加上（（-1）^（t+1）*二项式（n+1，t）
*g（b-t，n），t=1..n+1），g（b-1，n）+g（2*b，n-1））
结束时间：
a： =n->（t->g（n/2^（t-1），t））（最大值（ilog2（2*n），1））：
seq（a（n），n=0..60）#阿洛伊斯·海因茨2009年4月16日，2016年4月14日修订
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数学
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折叠[Append[#1，Total[Take[Flatten[Transpose[{#1，#1}]]，#2]]&，{1}，Range[2，49]](*Birkas Gyorgy公司，2011年4月18日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=我的（a，m）；如果（n<1，n==0，m=1；a=1+O（x）；而（m<=n，m*=2；a=子集（a，x，x^2）*（1+x）/（1-x））；波尔科夫（a，n））}/*迈克尔·索莫斯2003年8月25日*/
（PARI）{a（n）=如果（n<1，n==0，a（n\2）+a（n-1））}/*迈克尔·索莫斯2003年8月25日*/
（PARI）A123=[]；A000123号（n） ={n<3&&return（2^n）；如果（n<=#A123，A123[n]&&return+A000123号（n\2）），n>2*#A123&&A123=连接（A123，向量（（n-#A123）\2））；A123[如果（n>#A123，1，n）]=2*总和（k=1，n\2-1，A000123号（k） ，1）+（n%2+1）*A000123号（n\2）}\\当大小小于n/2时，存储导致全局向量A123动态调整为最多3n/4。在~n秒内给出（n*10^6）-M.F.哈斯勒2009年4月30日
（PARI）{a（n）=polcoeff（exp（总和（m=1，n，2^估值（2*m，2）*x^m/m）+x*O（x^n）），n）}\\保罗·D·汉娜2012年10月30日
（哈斯克尔）
导入数据。列表（转置）
a000123 n=a000123_列表！！n个
a000123_list=1:zipWith（+）
a000123_list（尾部$concat$转置[a000123_列表，a000123列表]）
（Magma）[1]cat[n eq 1 select n+1 else Self（n-1）+Self，n div 2）：[1..70]]中的n//文森佐·利班迪2016年12月17日
（Python）
从functools导入lru_cache
@lru_cache（最大大小=无）
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,核心,美好的
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作者
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扩展
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Robin Trew的更多术语（Trew（AT）hcs.harvard.edu）
使用给定PARI代码检查的最大值为（10^4）M.F.哈斯勒2009年4月30日
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状态
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经核准的
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6, 0, 2, 0, 5, 9, 9, 9, 1, 3, 2, 7, 9, 6, 2, 3, 9, 0, 4, 2, 7, 4, 7, 7, 7, 8, 9, 4, 4, 8, 9, 8, 6, 0, 5, 3, 5, 3, 6, 3, 7, 9, 7, 6, 2, 9, 2, 4, 2, 1, 7, 0, 8, 2, 6, 2, 0, 8, 5, 4, 9, 2, 2, 2, 5, 4, 2, 1, 6, 3, 7, 8, 5, 4, 8, 8, 4, 9, 0, 1, 8, 9, 7, 3, 8, 5, 4, 5, 0, 4, 2, 3, 6, 3, 7, 2, 3, 4, 4, 0, 8, 1
(列表；常数；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,1
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评论
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在工程（所有分支，尤其是电子和电气）中，功率和振幅比都严格以分贝（dB）为单位进行测量。该常数，偏移量为1（即6.02…=10*A114493号)是振幅比为2:1或功率比为4:1的dB等效值-斯坦尼斯拉夫·西科拉2013年12月11日
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链接
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配方奶粉
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例子
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0.602059991...
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MAPLE公司
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数学
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实际数字[Log[10，4]，10，100][[1](*文森佐·利班迪2013年9月10日*）
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黄体脂酮素
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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-1, 1, 3, 5, 7, 11, 9, 15, 15, 13, 17, 15, 19, 21, 19, 25, 21, 29, 29, 31, 35, 35, 33, 45, 35, 37, 45, 49, 53, 55, 39, 49, 43, 59, 51, 57, 59, 57, 63, 63, 63, 71, 61, 71, 69, 81, 69, 57, 67, 83, 91, 91, 95, 91, 87, 87, 81, 99, 93, 97, 107, 97, 87, 97, 107, 109, 95, 95, 93, 111, 115, 109, 105, 111, 105, 115, 109, 117, 127, 123, 115
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1,3
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评论
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渐近地，a（n）~log（4）n，其中log（四）=2log 2=1.38629436111989=A016627号. -M.F.哈斯勒2013年10月19日
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链接
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数学
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表[素数[2n]-2素数[n]，{n，100}](*哈维·P·戴尔2016年8月21日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{表示（n=11000，a=素数（2*n）-素数（n）*2；写入（“b066066.txt”，n，“”，a））}\\哈里·史密斯2009年11月9日
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关键词
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签名
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作者
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状态
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经核准的
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7, 1, 0, 2, 8, 9, 7, 9, 3, 0, 6, 4, 0, 9, 3, 6, 9, 7, 3, 1, 3, 7, 6, 6, 4, 7, 5, 7, 9, 5, 0, 8, 2, 6, 1, 0, 3, 0, 4, 0, 6, 1, 0, 4, 2, 4, 9, 6, 9, 3, 2, 9, 4, 0, 8, 5, 3, 4, 7, 9, 8, 8, 5, 1, 3, 3, 0, 4, 2, 3, 8, 7, 9, 7, 2, 6, 1, 5, 9, 7, 1, 4, 6, 4, 2, 0, 6, 9, 5, 0, 7, 3, 9, 8, 0, 5, 9, 9, 2, 7, 6, 1, 9
(列表；常数；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,1
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链接
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配方奶粉
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等于（2*EulerGamma+Pi+2*log（2））/8。
等于和{n>=0}（1/（4n+1）-1/2*arctanh（2/（4n+3）））。
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例子
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0.71028979306409369731376647579508261030406104249693294...
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数学
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RealDigits[EulerGamma/4+Pi/8+Log[2]/4，10，103]//第一个
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黄体脂酮素
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（PARI）默认值（realprecision，100）；（2*Euler+Pi+2*log（2））/8\\G.C.格鲁贝尔2018年8月27日
（岩浆）R:=RealField（100）；（2*欧拉伽马（R）+Pi（R）+2*对数（2））/8//G.C.格鲁贝尔2018年8月27日
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A285869型
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| a（n）是开区间内切比雪夫S（n，x）多项式的零点数（-sqrt（2），+sqrt（2中））。 |
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+10
9
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0, 1, 2, 1, 2, 3, 4, 3, 4, 5, 6, 5, 6, 7, 8, 7, 8, 9, 10, 9, 10, 11, 12, 11, 12, 13, 14, 13, 14, 15, 16, 15, 16, 17, 18, 17, 18, 19, 20, 19, 20, 21, 22, 21, 22, 23, 24, 23, 24, 25, 26, 25, 26, 27, 28, 27, 28, 29, 30, 29, 30, 31, 32, 31, 32, 33, 34, 33, 34
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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0,3
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评论
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链接
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配方奶粉
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{b（n）}的G.f:Sum_{n>=0}b（n，*x^n=x^2*（1-x+x^2）/（1-x）*（1-x ^4））（参见A059169号).
通用格式：x*（1+x-x^2+x^3）/（（1-x）^2*（1+x）*（1+/x^2））。
当n>4时，a（n）=a（n-1）+a（n-4）-a（n-5）。
（结束）
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数学
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表[2（楼层[2]-楼层[（n+1）/4]）+布尔[OddQ@n]，{n，0，52}](*迈克尔·德弗利格2017年5月10日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）连接（0，Vec（x*（1+x-x^2+x^3）/（（1-x）^2*（1+x）*（1+/x^2））+O（x^100））\\科林·巴克2017年5月18日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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经核准的
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A319232型
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| 和{p=prime}1/（p*logp）^2的十进制展开式。 |
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+10
8
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6, 3, 7, 0, 5, 6, 1, 8, 4, 0, 7, 4, 6, 7, 6, 4, 3, 3, 0, 5, 9, 9, 6, 8, 5, 8, 5, 0, 4, 7, 8, 5, 2, 7, 6, 9, 4, 5, 7, 9, 8, 9, 6, 0, 7, 7, 1, 9, 9, 5, 3, 3, 6, 7, 0, 9, 6, 0, 1, 3, 7, 1, 0, 7, 5, 5, 8, 8, 3, 1, 6, 0, 4, 3, 3, 2, 7, 1, 5, 1, 6, 8, 3, 6, 7, 5, 3, 8, 3, 5, 9, 6, 6, 1, 3, 3, 1, 8, 1, 3, 1, 3, 8, 2, 7, 5
(列表；常数；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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0,1
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评论
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通过将arXiv:0811.4739的形式推广到Riemann-zeta函数上的二重积分得到。
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链接
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例子
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数学
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数字=106；精度=数字+10；
tmax=500；（*被积函数在tmax之外可忽略不计*）
kmax=300；（*f（k）在kmax之外可忽略不计*）
InLogZeta[k_]：=NIntegrate[（t-2k）Log[Zeta[t]]，{t，2k，tmax}，工作精度->精度，最大递归->20，精度目标->精度]；
f[k]：=与[｛mu=MoebiusMu[k]}一起，如果[mu==0，0，（mu/k^3）*InLogZeta[k]]]；
s=0；
Do[s=s+f[k]；打印[k，“”，s]，｛k，1，kmax｝]；
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黄体脂酮素
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（PARI）默认值（realprecision，200）；s=0；对于（k=1300，s=s+moebius（k）/k^3*intnum（x=2*k，[1]，1]，（x-2*k）*log（zeta（x））；打印件）\\瓦茨拉夫·科特索维奇2022年6月12日
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交叉参考
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关键词
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作者
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经核准的
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1, 2, 1, 6, 7, 4, 5, 9, 5, 6, 1, 5, 8, 2, 4, 4, 1, 8, 2, 4, 9, 4, 3, 3, 9, 3, 5, 2, 0, 0, 4, 7, 6, 0, 3, 8, 2, 1, 0, 8, 3, 6, 1, 7, 0, 0, 9, 2, 2, 7, 7, 2, 8, 9, 0, 9, 4, 9, 8, 3, 7, 4, 4, 1, 5, 4, 4, 6, 9, 6, 3, 5, 6, 3, 5, 0, 7, 2, 9, 5, 4, 8, 7, 1, 0, 5, 3, 5, 7, 9, 7, 8, 8, 6, 7, 7, 1, 5, 3, 2, 2, 0, 5, 6, 9
(列表；常数；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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1,2
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配方奶粉
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例子
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1.216745956158244182494339352004760382108361700922772890949837441544696356350....
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数学
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RealDigits[Log[2]+Pi/6，10，111][[1]（*或*）
实数字[和[1/（4n^2-3n），{n，1，无限}]，10，111][1]
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黄体脂酮素
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