搜索： a016123-编号：a016123
|
| |
| |
|
|
|
0, 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, 2047, 4095, 8191, 16383, 32767, 65535, 131071, 262143, 524287, 1048575, 2097151, 4194303, 8388607, 16777215, 33554431, 67108863, 134217727, 268435455, 536870911, 1073741823, 2147483647, 4294967295, 8589934591
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,3
|
|
|
评论
|
这是q=2的高斯二项式系数[n，1]。
S_n上秩-1拟阵的个数。
此外，贝拿勒斯神庙问题的解决方案（移动次数最少），即三个菱形针，其中n个针盘按第一个针的大小递减，以相同的顺序放置在第三个针盘上，每次移动不超过一个针盘，也不将一个针盘放在较小的针盘的顶部Xavier Acloque，2003年10月18日
a（0）=0，a（1）=1；a（n）=最小值，使得a（n，a（m）==0（mod（n-m+1）），对于所有m-阿马纳特·穆尔蒂2003年10月23日
[1，1/2，1/3，…]=[1/1，3/2，7/3，…]的二项式变换；（2^n-1）/n，n=1,2,3-加里·亚当森2005年4月28日
二进制表示为111…1的数字。例如，第7项为（2^7）-1=127=1111111（以2为基数）-亚历山大·瓦恩伯格2005年6月8日
对于n>=2，a（n）是非2次幂的最小斐波那契n阶数-里克·L·谢泼德2007年11月19日
设P（A）是n元集A的幂集，则A（n+1）=P（A-罗斯·拉海耶2008年1月10日
2^n-1是深度n的帕斯卡三角形中元素的总和。-布莱恩·刘易斯（bsl04（AT）uark.edu），2008年2月26日
从偏移量1开始=Jacobsthal序列，A001045号，（1，1，3，5，11，21，…）与（1，2，2，…）卷积-加里·亚当森2009年5月23日
如果n是偶数a（n）mod 3=0。这来自同余2^（2k）-1~2*2**2 - 1 ~ 4*4*...*4 - 1 ~ 1*1*...*1-1~0（mod 3）。（请注意，2*2*…*2有偶数个术语。）-华盛顿·邦菲姆2009年10月31日
设A是n阶Hessenberg矩阵，定义为：A[1，j]=1，A[i，i]：=2，（i>1），A[i，i-1]=-1，否则A[i、j]=0。然后，对于n>=1，a（n）=det（a）-米兰Janjic2010年1月26日
这是G.Detlefs考虑的序列家族[A，b:c，d:k]中的序列A（0,1；1,2；2）=A（0,1；3，-2；0），在下面给出的W.Lang链接中被视为A（A，b；c，d；k）-沃尔夫迪特·朗2010年10月18日
a（n）=S（n+1，2），第二类斯特林数。请参见下面的示例-丹尼斯·沃尔什2011年3月29日
帕斯卡三角形中a（n）行的条目都是奇数，而a（n。。。，奇怪。
将条形运算定义为对有符号排列的操作，该操作翻转每个条目的符号。那么a（n+1）是长度为2n的有符号置换的数量，它等于它们的反向补足的条，并且避免了模式集{（-2，-1），（-1，+2），（+2，+1）}。（参见Hardt和Troyka参考。）-贾斯汀·特洛伊卡2011年8月13日
a（n）是数k，使得映射k-＞（3k+1）/2＝＝1（mod 2）直到达到（3k+1）/2＝＝0（mod 2）的迭代次数等于n（参见Collatz问题）-米歇尔·拉格诺2012年1月18日
对于整数a，b，用a<+>b表示，最小c>=a，使得Hd（a，c）=b（注意，一般来说，a<+>b与b<+>a不同）。则a（n+1）=a（n）<+>1。因此，这个序列是非负整数的汉明模拟-弗拉基米尔·舍维列夫，2012年2月13日
皮萨诺周期长度：1、1、2、1、4、2、3、1、6、4、10、2、12、3、4、1、8、6、18、4。。。显然地A007733号. -R.J.马塔尔2012年8月10日
从n开始。每个n生成一个子列表{n-1，n-2，…，1}。每个子列表的每个元素也会生成一个子列表。取所有的总和。例如，3->{2,1}和2->{1}，因此a（3）=3+2+1=7-乔恩·佩里2012年9月2日
这就是Lucas U（P=3，Q=2）序列-R.J.马塔尔2012年10月24日
梅森数>=7都是巴西数，以二为基数。参见链接中的命题1和5.2：“Les nombres brésiliens”-伯纳德·肖特2012年12月26日
a（n）是2的最高幂，因此2^a（n）除以（2^n）-伊万·伊纳基耶夫2013年8月17日
在计算机编程中，这些是唯一的无符号数字，例如k&（k+1）=0，其中&是按位AND运算符，数字用二进制表示-斯坦尼斯拉夫·西科拉2013年11月29日
青蛙问题中交换n只青蛙所需的最少移动次数（例如，参见下面的NRICH1246链接或Britton链接）-N.J.A.斯隆2014年1月4日
a（n）！==4（第5版）；a（n）！==10（11年款）；a（n）！==2、4、5、6（第7版）-卡米娜·苏里亚诺2014年4月6日
在0之后，由整数（1，2，3，4，…）的部分和组成的数组的反对角线和-卢西亚诺·安科拉2015年4月24日
a（n+1）等于避免01,02的长度为n的三元字的数目-米兰Janjic2015年12月16日
当偏移量为0且另一个初始值为0时，第n项为0，0，1，3，7，15。。。是序数n的完全扩展von Neumann定义中所需的逗号数。例如，4:={0，1，2，3}:={{}，{}}，}}。此外，对于n>0，a（n）是序数n-1的完全扩展von Neumann定义中所需的符号总数，其中总是使用单个符号（通常）表示空集，空格被忽略。例如，a（5）=31，表示序号4的此类符号总数-里克·L·谢泼德2016年5月7日
除初始项外，二维细胞自动机第n个生长阶段的x轴的十进制表示，由“规则659”、“规则721”和“规则734”定义，基于用单个on细胞初始化的5细胞von Neumann邻域-罗伯特·普莱斯2017年3月14日
a（n），n>1，是具有n个元素的集上保序部分内射映射的幺半群的最大子半群的个数-詹姆斯米切尔和威尔夫·威尔逊2017年7月21日
给出了完备二部图K_{n-1，n-1}中独立顶点集和顶点覆盖的个数-埃里克·W·韦斯坦2017年9月21日
和{k=0..n}p^k是n X n矩阵M_（i，j）=二项式（i+j-1，j）*p+二项式的行列式（i+j-1，i），在这种情况下p=2（经验观察）-托尼·福斯特三世2019年5月11日
有理数r（n）=a（n+1）/2^（n+1/A000079号（n+1）也作为第n次迭代f^{[n]}（c；x）=2^（n+1 2）*24=21作为溶液。请参阅链接和参考。有关第二个问题（也涉及当前序列），请参阅中的注释A130330型. -沃尔夫迪特·朗2019年10月28日
a（n）是包含n的{1,2，..，n}的所有子集中最小元素的和。例如，a（3）=7；{1,2,3}中包含3的子集是{3}、{1,3}，{2,3}、{1,2,3，最小元素之和为7-恩里克·纳瓦雷特2020年8月21日
a（n-1）是{1,2，..，n}的非空子集的数目，其中没有与集合大小相同的元素。例如，对于n=4，a（3）=7，并且子集是{2}、{3}、}4}、[1,3}，{1,4}，}3,4}和{1,2,4}-恩里克·纳瓦雷特2020年11月21日
也是完全图K_n中支配集的数目。
此外，当n>=3时，n-helm图中的最小支配集数。（结束）
猜想：除了a（2）=3之外，数字m使得2^（m+1）-2^j-2^k-1对所有0<=j<k<=m都是复合的-柴华武2021年9月8日
a（n）是n维tic-tac-toe中通过角单元的三行数-本·奥林2022年3月15日
当n==1（mod 4）时，a（n）==1（mod 30）；
对于n==3（mod 4），a（n）==7（mod 120）；
（a（n）-1）/30=（a（n+2）-7）/120，对于n奇数；
此外，高度为n-1的完美二叉树中的节点数，或：毕达哥拉斯树构造第n步后的正方形（或三角形）数：从线段开始。在每个步骤中，构造以最近的线段为底的正方形，以及以正方形的对边为斜边的等轴直角三角形（位于每个正方形的“顶部”）。在下一步中，这些三角形的腿将用作方块的底线段-M.F.哈斯勒2024年3月11日
|
|
|
参考文献
|
P.Bachmann，Niedere Zahlentheorie（1902年，1910年），再版切尔西，纽约，1968年，第2卷，第75页。
Ralph P.Grimaldi，《离散和组合数学：应用导论》，第五版，Addison-Wesley，2004年，第134页。
约翰·彼得·赫贝尔（Johann Peter Hebel），《赫拉斯盖伯州第二大道的Gesammelte Werke》：简·克诺普夫（Jan Knopf），弗兰兹·利特曼（Franz Littmann）和汉斯格·施密特·伯格曼（Hansgeorg Schmidt-Bergmann unter Mitarbeit von Ester Stern），沃尔斯泰·弗拉格（Wallstein Verlag），2019年。波段3，S.20-21，Loesung，S.36-37。另请参阅下面的链接。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
D.Wells，《企鹅奇趣数字词典》，“河内塔”，企鹅图书，1987年，第112-113页。
|
|
|
链接
|
M.Baake、F.Gahler和U.Grimm，替代系统及其因素的示例，arXiv:1211.5466[math.DS]，2012-2013年。
Michael Baake、Franz Gähler和Uwe Grimm，替代系统及其因素示例《整数序列杂志》，第16卷（2013年），#13.2.14。
乔纳森·比格利和劳拉·普德威尔，彩色瓷砖和排列《整数序列杂志》，第24卷（2021年），第21.10.4条。
J.Bernheiden，梅森内舍·扎伦，（德语文本）[Wayback Machine cached version]。
迈克尔·博德曼，鸡蛋滴数《数学杂志》，77（2004），368-372。
John Brillhart等人。，坎宁安项目[将b^n+-1，b=2，3，5，6，7，10，11，12分解为高幂][需要订阅]。
吉尔·布里顿，汉诺塔[视频文件，Wayback Machine缓存版本]。
吉尔·布里顿，青蛙拼图[Wayback Machine缓存版本]。
P.Catarino、H.Campos和P.Vasco，关于梅森序列，《数学与信息学年鉴》，46（2016），第37-53页。
W.M.B.Dukes，有限集上拟阵的个数，arXiv:math/0411557[math.CO]，2004年。
David Eppstein，2048年的变革，arXiv:1804.07396[cs.DM]，2018年。
G.Everest等人。，递归序列生成的素数阿默尔。数学。月刊，114（2007年第5期），417-431。
G.Everest、S.Stevens、D.Tamsett和T.Ward，二次多项式序列的原始除数，arXiv:math/0412079[math.NT]，2004-2006。
G.Everest、A.J.van der Poorten、Y.Puri和T.Ward，整数序列和周期点《整数序列杂志》，第5卷（2002年），第02.2.3条。
伊曼纽尔·费兰德，泰勒公式的变形《整数序列杂志》，第10卷（2007年），第07.1.7条。
A.Hardt和J.M.Troyka，受限对称有符号置换《纯粹数学与应用》，第23卷（2012年第3期），第179-217页。
A.Hardt和J.M.Troyka，幻灯片（与上述Hardt和Troyka参考相关）。
A.M.Hinz、S.Klavíar、U.Milutinović和C.Petr，河内塔——神话与数学，Birkhäuser 2013。见第11页。图书网站
爱德华·卢卡斯，简单周期数值函数理论斐波那契协会，1969年。文章“Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques，I”的英文翻译，Amer。数学杂志。，1 (1878), 184-240.
N.Moreira和R.Reis，有限集划分语言的密度《整数序列杂志》，第8卷（2005年），第05.2.8条。
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近，魁北克蒙特利尔大学论文，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
Y.Puri和T.Ward，周期轨道的算法和增长，J.整数序列。，第4卷（2001年），第01.2.1号。
伯纳德·肖特，布列西利安裸鼠，转载自Quarture，编号76，avril-juin 2010，第30-38页，经Quarture编辑许可收录于此。
阿米莉亚·卡罗琳娜·斯巴维尼亚（Amelia Carolina Sparavigna），一些群胚及其整数序列表示《国际科学杂志》（2019）第8卷第10期。
|
|
|
配方奶粉
|
G.f.:x/（（1-2*x）*（1-x））。
例如：exp（2*x）-exp（x）。
例如，如果偏移量1:（（exp（x）-1）^2）/2。
a（n）=和{k=0..n-1}2^k-保罗·巴里2003年5月26日
a（n）=a（n-1）+2*a（n-2）+2，a（0）=0，a（1）=1-保罗·巴里2003年6月6日
设b（n）=（-1）^（n-1）*a（n）。那么b（n）=和{i=1..n}i*i*斯特林2（n，i）*（-1）^（i-1）。b（n）的示例：（exp（x）-1）/exp（2x）.-马里奥·卡塔拉尼（Mario.Catalani（AT）unito.it），2003年12月19日
a（n+1）=2*a（n）+1，a（0）=0。
a（n）=和{k=1..n}二项式（n，k）。
a（n）=n+和{i=0..n-1}a（i）；a（0）=0-里克·L·谢泼德2004年8月4日
a（n+1）=（n+1”）*和{k=0..n}二项式（n，k）/（k+1）-保罗·巴里2004年8月6日
a（n+1）=和{k=0..n}二项式（n+1，k+1）-保罗·巴里2004年8月23日
Stirling_2（n-k，2）从n=k+1开始-阿图尔·贾辛斯基2006年11月18日
a（n）=箍筋S2（n+1,2）-罗斯·拉海耶2008年1月10日
a（n）=J_n（2），其中J_n是第n个Jordan Totient函数：(A007434号，是J_2）。
a（n）=和{d|2}d^n*mu（2/d）。（结束）
a（n）=det（|s（i+2，j+1）|，1<=i，j<=n-1），其中s（n，k）是第一类斯特林数-米尔恰·梅卡2013年4月6日
G.f.：Q（0），其中Q（k）=1-1/（4^k-2*x*16^k/（2*x*4^k-1/（1-1/（2*4^k-8*x*16 ^k/）））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基，2013年5月22日
例如：Q（0），其中Q（k）=1-1/（2^k-2*x*4^k/（2*xx2^k-（k+1）/Q（k+1；（续分数）。
G.f.：Q（0），其中Q（k）=1-1/（2^k-2*x*4^k/（2*xx2^k-1/Q（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月23日
a（n）=和{t1+2*t2+…+n*tn=n}n*多项式（t1+t2+…+t_n，t1，t2，…，t_n）/（t1+t1+…+tn）-米尔恰·梅卡2013年12月6日
对于所有k>=3，二项式系数C（n，a（k））与其自身的卷积是C（n、a（k+1））-安东·扎哈罗夫2016年9月5日
a（n）=n+和{j=1..n-1}（n-j）*2^（j-1）。参见2017年6月14日的公式A000918号（n+1）和解释-沃尔夫迪特·朗2017年6月14日
a（n）=和{k=0..n-1}和{i=0..n-1}C（k，i）-韦斯利·伊万·赫特2017年9月21日
a（n+m）=a（n）*a（m）+a（n）+a（m）-宇春记2018年7月27日
a（n+m）=a（n+1）*a（m）-2*a（n）*a-塔拉斯·戈伊2018年12月23日
a（n+1）是n X n矩阵M_（i，j）=二项式（i+j-1，j）*2+二项式-托尼·福斯特三世2019年5月11日
|
|
|
例子
|
对于n=3，a（3）=S（4,2）=7，第二类斯特林数，因为有7种方法可以将{a，b，c，d}划分为2个非空子集，即：，
{a} U型{b，c，d}，{b} U型{a，c，d}，{c} U型{a，b，d}，{d} U型{a，b，c}，｛a，b｝U{c，d}，{a，c}U{b、d}和{a，d}U{b，c}-丹尼斯·沃尔什2011年3月29日
因为a（3）=7，所以有7个4的有符号置换，它们等于它们的反向补足的条，并避免{（-2，-1），（-1，+2），（+2，+1）}。这些是：
(+1,+2,-3,-4),
(+1,+3,-2,-4),
(+1,-3,+2,-4),
(+2,+4,-1,-3),
(+3,+4,-1,-2),
(-3,+1,-4,+2),
(-3,-4,+1,+2). （结束）
G.f.=x+3*x^2+7*x^3+15*x^4+31*x^5+63*x^6+127*x^7+。。。
|
|
|
MAPLE公司
|
A000225号：=n->2^n-1；[seq（2^n-1，n=0..50）]；
|
|
|
数学
|
a[n]：=2^n-1；表[a[n]，{n，0，30}](*斯特凡·斯坦纳伯格2006年3月30日*）
阵列[2^#-1&，50，0]（*Joseph Biberstine（jrbibers（AT）indiana.edu），2006年12月26日*）
系数列表[级数[1/（1-3 x+2 x ^2），{x，0，20}]，x](*埃里克·W·韦斯坦2017年9月21日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（哈斯克尔）
a000225=（减去1）。(2 ^)
a000225_list=迭代（（+1）。（*2））0
（PARI）连接（0，Vec（x/（（1-2*x）*（1-x））+O（x^100））\\阿尔图·阿尔坎2015年10月28日
（SageMath）
定义isMersenne（n）：返回n==总和（[（1-b）<<s用于枚举（（n+1）.bits（））中的（s，b）]）#彼得·卢什尼2019年9月1日
（Python）
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n，容易的，核心，美好的，改变
|
|
|
作者
|
|
|
|
扩展
|
|
|
|
状态
|
已批准
|
| |
|
|
| |
|
|
A000392号
|
| 第二类斯特林数S（n，3）。
（原名M4167 N1734）
|
|
+10
70
|
|
|
|
0, 0, 0, 1, 6, 25, 90, 301, 966, 3025, 9330, 28501, 86526, 261625, 788970, 2375101, 7141686, 21457825, 64439010, 193448101, 580606446, 1742343625, 5228079450, 15686335501, 47063200806, 141197991025, 423610750290, 1270865805301
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,5
|
|
|
评论
|
将n个带标签的球放入k=3个无法区分的盒子中的方法数-托马斯·维德2004年11月30日
让[m]表示前m个正整数。那么a（n）是函数f从[n]到[n+1]的个数，对于所有x满足（i）f（x）>x，对于3个元素满足（ii）f（x）=n+1，对于[n]的其余n-3个元素，满足（iii）f（f（x））=n+1。例如，a（4）=6，因为从{1,2,3,4}到{1,2,2,4,5}正好有6个函数，因此f（x）>x，f（x。函数为f1={（1,5），（2,5），，（3,4），（4,5）}，f2={（4，5）}-丹尼斯·沃尔什2007年2月20日
推测。设S（1）＝{1}，并且对于n>1，设S（n）是对于S（n-1）中的每个元素x包含x、2x和3x的最小集合。那么a（n+2）是S（n）中元素的和。（很容易证明S（n）中的元素数是由A001952号.）请参见A122554号对于以这种方式定义的序列-约翰·W·莱曼2007年11月21日；修正（由于偏移变化，a（n）为a（n+2））弗雷德·丹尼尔·克莱恩2014年10月2日
设P（A）是n元素集A的幂集。则A（n+1）=P（A）的元素对{x，y}的数量，其中x和y不相交，x不是y的子集，y不是x的子集。Wieder称这些为“不相交严格2-组合”-罗斯·拉海耶，2008年1月11日；已由更正罗斯·拉海耶2008年10月29日
同样，设P（A）是n元集A的幂集。然后A（n+2）=P（A，或2）x和y相交，其中x是y的适当子集，或y是x的适当子集-罗斯·拉海耶2008年1月11日
3*a（n+1）=p（n+1。。。，n.（名词）-迈克尔·索莫斯2012年4月29日
设m等于n-1个不同素数的乘积。那么a（n）等于通过将m的除数除以另一除数而产生的不同分数>=1。例如，对于m=2*3*5=30，我们有以下6个分数：6/5、3/2、5/3、5/2、10/3、15/2。
在这里，求分数等于将n-1个球（不同的素数）分布到两个没有空箱子的箱子（分子和分母），而第二类斯特林数可以找到空箱子。（n）的另一个定义是a（n）=Sum_{i=2..n-1}Stirling2（i，2）*二项式（n-1，i）。
对于n>0，a（n）=（d（m^2）+1）/2-d（m），其中m等于n-1个不同素数的乘积。例如，a（5）：m=2*3*5*7=210（四个不同素数的乘积），因此a（五）=（d（210^2）+1）/2-d（210）=41-16=25。（结束）
6*a（n）是长度为n的三元字符串的数目，其中包含定义它们的3个符号中的至少一个。例如，对于n=4，字符串是0012的12个排列、0112的12种排列和0122的12种排序-恩里克·纳瓦雷特，2021年8月23日
La Haye第一条评论的一种更简单的形式是：A（n+1）是我们可以形成[n]的两个非空子集的不相交并的方法的数量（参见下面的示例）。囊性纤维变性。A001047号对于联合体包含n的要求-恩里克·纳瓦雷特2021年8月24日
作为尼科马科斯三角形行的部分和以及3和2的幂差(A001047号)，每次迭代都对应于Sierpinski三角形（3^n）的两个图形变化，与Nicomachus三角形相互关联，参见链接中的插图。Sierpinski半六边形(A001047号)堆叠并符合2^n-1个三角形数字的足迹。根据每个Sierpinski三角形子行，3^n Sierpinski三角形减去其2^n底行，也与Nicomachus三角形相关-约翰·埃利亚斯2021年10月4日
|
|
|
参考文献
|
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。1964年第55辑（以及各种重印本），第835页。
F.N.David、M.G.Kendall和D.E.Barton，《对称函数和联合表》，剑桥，1966年，第223页。
M.R.Nester（1999）。一些植物相互作用设计的数学研究。博士论文。澳大利亚布里斯班昆士兰大学。[参见A056391号第2章的pdf文件]
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
|
|
|
链接
|
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年[替代扫描副本]。
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近，魁北克蒙特利尔大学论文，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
|
|
|
配方奶粉
|
G.f.:x^3/（（1-x）*（1-2*x）x（1-3*x））。
例如：（（exp（x）-1）^3）/3！。
循环次数：a（n+3）=6*a（n+2）-11*a（n+1）+6*a（n），a（3）=1，a（4）=6，a（5）=25-托马斯·维德2004年11月30日
偏移量为0时，这是9*3^n/2-4*2^n+1/2，即3*3^n-2*2^n的部分和=A001047号（n+1）-保罗·巴里2003年6月26日
a（n）=（1+3^（n-1）-2^n）/2，n>0-丹尼斯·沃尔什2007年2月20日
对于n>=3，a（n）=3*a（n-1）+2^（n-2）-1-杰弗里·克雷策2009年3月3日
当n>3时，a（n）=5*a（n-1）-6*a（n-2）+1-文森佐·利班迪2010年11月25日
a（n）=det（|s（i+3，j+2）|，1<=i，j<=n-3），其中s（n，k）是第一类斯特林数-米尔恰·梅卡2013年4月6日
G.f.：x^3+12*x^4/（G（0）-12*x），其中G（k）=x+1+9*（3*x+1）*3^k-8*（2*x+1）*2^k-x*（9*3^k+1-8*2^k）*（81*3^k+1-32*2^k）/G（k+1）；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2014年2月1日
对于n>0，a（n+2）=（1-2^（2+n）+3^（1+n））/2-弗雷德·丹尼尔·克莱恩2014年10月2日
对于n>0，a（n）=（1/2）*和{k=1..n-1}和{i=1..n-1}C（n-k-1，i）*C（n-1，k）-韦斯利·伊万·赫特2017年9月22日
a（n）=和{k=0..n-3}2^（k-1）*（3^（n-2-k）-1）-J.M.贝戈2018年2月5日
|
|
|
例子
|
a（4）=6。让我们表示Z[i]第i个标记元素=“ball”。然后，对于n=4，有六种不同的方法用标记的元素填充集合=“框”：
集合（集合（Z[3]，Z[4]），集合（Z[1]），集合）、设置（Z[4]）、设置。
G.f.=x ^3+6*x ^4+25*x ^5+90*x ^6+301*x ^7+966*x*8+3025*x ^9+。。。
例如，对于n=3，a（4）=6，因为不相交并集为：{1} U型{2}, {1} U型{3}, {1} U型{2,3}中，{2} U型{3}, {2} U型{1,3}和{1,2}U{3}. -恩里克·纳瓦雷特2021年8月24日
|
|
|
MAPLE公司
|
|
|
|
数学
|
箍筋S2[范围[0，30]，3](*哈维·P·戴尔2011年12月29日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）{a（n）=3^（n-1）/2-2^（n-1）+1/2}；
（鼠尾草）[stirling_number2（i，3）代表（0..40）中的i]#零入侵拉霍斯2008年6月26日
（GAP）列表（[0..400]，n->箍筋2（n，3））#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年2月4日
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n，美好的，容易的
|
|
|
作者
|
|
|
|
扩展
|
|
|
|
状态
|
已批准
|
| |
|
|
| |
|
|
A006095号
|
| q=2的高斯二项式系数[n，2]。
（原名M4415）
|
|
+10
68
|
|
|
|
0, 0, 1, 7, 35, 155, 651, 2667, 10795, 43435, 174251, 698027, 2794155, 11180715, 44731051, 178940587, 715795115, 2863245995, 11453115051, 45812722347, 183251413675, 733006703275, 2932028910251, 11728119835307, 46912487729835
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0.4
|
|
|
评论
|
一个n集的4块覆盖数，其中集的每个元素正好被3个块覆盖（如果偏移量为3），因此a（n）=（1/4！）*（4^n-6*2^n+8）-弗拉德塔·乔沃维奇，2001年2月20日
具有二元系数的多项式（f，g）的非互质对的数目，其中f和g都具有阶n+1和非零常数项-卢卡·马里奥和恩里科·福门蒂2016年9月26日
通过将整数1转换为二进制并对每对的相应位执行异或运算，从整数1到2^n-1找到的三元组数。以这种无进位的方式定义加法（0+0=1+1=0，0+1=1+0=1），每个三元组（A，B，C）都具有属性A+B=C，A+C=B和B+C=A。例如，n=3给出了7个三元组：（1,2,3），（1,4,5），（1.6,7），（2,4,6），（2,5,7）、（3,4,7）和（3,5,6）。每个整数在三元组中出现2^（n-1）-1次，例如n=3时出现3次-伊恩·达夫2019年10月5日
（Z_2）^n的二维向量子空间的个数，以及群（C_2）^ n的Klein子群的个数-罗伯特·费雷奥2021年7月28日
|
|
|
参考文献
|
J.Goldman和G.-C.Rota，向量空间的子空间数，W.T.Tutte，编辑，《组合数学的最新进展》第75-83页。纽约学术出版社，1969年。
I.P.Goulden和D.M.Jackson，组合枚举。纽约州威利，1983年，第99页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
M.Sved，高斯和二项式，Ars。Combinatoria，17A（1984），325-351。
|
|
|
链接
|
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近，魁北克蒙特利尔大学论文，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
A.I.Solomon、C.-L.Ho和G.H.E.Duchamp，多部分系统的纠缠度，arXiv预印arXiv:1205.4958[quant-ph]，2012年-N.J.A.斯隆，2012年10月23日
M.斯维德，高斯和二项式，阿尔斯。Combinatoria，17A（1984），325-351。（带注释的扫描副本）
|
|
|
配方奶粉
|
G.f.:x^2/（（1-x）（1-2x）（1~4x））。
a（n）=（2^n-1）*（2^（n-1）-1）/3=4^n/6-2^（n-1）+1/3。
a（n）=搅拌2（n+1,3）+搅拌2（n+1,4）-零入侵拉霍斯2007年10月4日；已由更正R.J.马塔尔2011年3月19日
a（n）=4*a（n-1）+2^（n-1-文森佐·利班迪2011年3月19日
a（0）=0，a（1）=0、a（2）=1、a（n）=7*a（n-1）-14*a（n-2）+8*a（n-3）-哈维·P·戴尔2011年7月22日
a（n）=和{k=0..n-2}2^k*C（2*n-k-2，k），n>=2-约翰内斯·梅耶尔2013年8月19日
a（n）=和{i=0..n-2，j=i..n-2}2^{i+j}=2^0*（2^0+2^1+…+2^（n-2））+2^1*2^（n-2）*2^-J.M.贝戈2017年5月8日
例如：（2*exp（x）-3*exp-保罗·魏森霍恩2021年8月22日
|
|
|
MAPLE公司
|
a： =n->加（（4^（n-1-j）-2^（n-1-j））/2，j=0..n-1）：
seq（a（n），n=0..24）#零入侵拉霍斯2007年1月4日
a:=n->（2^n-2）*（2^n-1）/6:
seq（a（n），n=0..24）#彼得·卢什尼2021年7月20日
|
|
|
数学
|
系数列表[级数[x^2/（（1-x）（1-2x）（1~4x）），{x，0，30}]，x]（*或*）线性递归[{7，-14，8}，{0，0，1}，30](*哈维·P·戴尔2011年7月22日*）
（*接下来，使用初等对称函数*）
f[k_]：=2^（k-1）；t[n_]：=表格[f[k]，{k，1，n}]
a[n_]：=对称多项式[2，t[n]]
|
|
|
黄体脂酮素
|
（Sage）[gaussian_binomial（n，2，2）for n in range（0，25）]#零入侵拉霍斯2009年5月24日]
（PARI）a（n）=（2^n-1）*（2^（n-1）-1）/3\\查尔斯·格里特豪斯四世2011年7月25日
（PARI）连接（[0,0]，Vec（x^2/（（1-x）*（1-2*x）x（1-4*x））+O（x^50））\\阿尔图·阿尔坎2015年11月12日
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n，容易的，美好的
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
已批准
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
1, 17, 273, 4369, 69905, 1118481, 17895697, 286331153, 4581298449, 73300775185, 1172812402961, 18764998447377, 300239975158033, 4803839602528529, 76861433640456465, 1229782938247303441, 19676527011956855057, 314824432191309680913, 5037190915060954894609
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,2
|
|
|
评论
|
16=2^4是雅各布斯塔尔螺旋的增长度量（与斐波纳契螺旋的φ^4相比）-保罗·巴里2008年3月7日
设A是n阶Hessenberg矩阵，定义为：A[1，j]=1，A[i，i]：=16，（i>1），A[i，i-1]=-1，否则A[i、j]=0。然后，对于n>=1，a（n-1）=det（a）-米兰Janjic2010年2月21日
除1和17外，所有术语都是以16为基数的巴西共和国数字，因此属于A125134号。所有>=273的项都是复合项，因为a（n）=（（4^（n+1）+1）*（4^.（n+1）-1））/15-伯纳德·肖特，2017年6月6日
|
|
|
链接
|
A.Abdurrahman，CM方法与数的展开，arXiv:1909.10889【math.NT】，2019年。
Quynh Nguyen、Jean Pedersen和Hien T.Vu，由三周期折叠数产生的新整数序列，第19卷（2016），第16.3.1条。见表1。
|
|
|
配方奶粉
|
a（n）=如果n=0，则1，否则a（n-1）+A001025号（n） ●●●●。
a（n）=（16^（n+1）-1）/15-伯纳德·肖特，2017年6月6日
a（n）=16*a（n-1）+1-保罗·柯茨2008年5月20日
通用：1/（（16*x-1）*（x-1））-R.J.马塔尔2011年2月6日
例如：exp（x）*（16*exp（15*x）-1）/15-斯特凡诺·斯佩齐亚2020年3月6日
|
|
|
例子
|
a（3）=1+16+256+4096=4369=二进制：1000100010001。
a（4）=（16^5-1）/15=（4^5+1）*（4^5-1）/15=1025*1023/15=205*341=69905=11111_16-伯纳德·肖特，2017年6月6日
|
|
|
MAPLE公司
|
|
|
|
数学
|
表[（2^（4n）-1）/15，{n，16}](*罗伯特·威尔逊v2007年8月22日*）
累加[16^范围[0，20]]（*或*）线性递归[{17，-16}，{1，17}，20](*哈维·P·戴尔2019年7月19日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（Sage）[范围（1，18）内n的高斯多项式（n，1，16）]#零入侵拉霍斯2009年5月28日
（岩浆）[（16^（n+1）-1）/15:n in[0..20]]//文森佐·利班迪2011年9月17日
（最大值）
a[0]：0$
a[n]：=16*a[n-1]+1$
（Python）
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n，容易的
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
已批准
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
1, 14, 183, 2380, 30941, 402234, 5229043, 67977560, 883708281, 11488207654, 149346699503, 1941507093540, 25239592216021, 328114698808274, 4265491084507563, 55451384098598320, 720867993281778161
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
1,2
|
|
|
评论
|
13^a（n）是13除（13^n）的最高幂！。
设A是n阶的Hessenberg矩阵，定义为：A[1，j]=1，A[i，i]：=13，（i>1），A[i，i-1]=-1，否则A[i，j]=0。然后，对于n>=1，a（n）=det（a）-米兰Janjic2010年2月21日
设A是n阶Hessenberg矩阵，定义为：A[1，j]=1，A[i，i]：=14，（i>1），A[i，i-1]=-1，否则A[i、j]=0。然后，对于n>=1，a（n）=（-1）^（n）*charpoly（a，1）-米兰Janjic2010年2月21日
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
G.f.:x/（（1-13*x）*（1-x））=（1/（1-13**）-1/（1-x））/12。
a（n）=和{k=0..n-1}13^k=（13^n-1）/12。
当n>1时，a（n）=13*a（n-1）+1，a（1）=1-文森佐·利班迪2011年2月5日
a（n）=和{k=0…n-1}12^k*二项式（n，n-1-k）-布鲁诺·贝塞利2015年11月12日
例如：exp（x）*（exp（12*x）-1）/12-斯特凡诺·斯佩齐亚2023年3月11日
|
|
|
例子
|
对于n=6，a（6）=1*6+12*15+144*20+1728*15+20736*6+248832*1=402234-布鲁诺·贝塞利2015年11月12日
|
|
|
MAPLE公司
|
a： =n->sum（13^（n-j），j=1.n）：序列（a（n），n=1..17）#零入侵拉霍斯2007年1月4日
|
|
|
数学
|
线性递归[{14，-13}，{1，14}，20](*哈维·P·戴尔2024年1月19日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（Sage）[对于范围（1，18）内的n，gaussian_binomic（n，1，13）]#零入侵拉霍斯2009年5月28日
（鼠尾草）[（13^n-1）/12表示n in（1..30）]#布鲁诺·贝塞利2015年11月12日
（PARI）a（n）=（[0，1；-13，14]^（n-1）*[1；14]）[1，1]\\查尔斯·格里特豪斯四世2015年9月24日
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n，容易的
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
已批准
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
1, 18, 307, 5220, 88741, 1508598, 25646167, 435984840, 7411742281, 125999618778, 2141993519227, 36413889826860, 619036127056621, 10523614159962558, 178901440719363487, 3041324492229179280, 51702516367896047761
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
1,2
|
|
|
评论
|
17^a（n）是17除以（17^n）的最大幂！。
设A是n阶Hessenberg矩阵，定义为：A[1，j]=1，A[i，i]：=17，（i>1），A[i，i-1]=-1，否则A[i、j]=0。然后，对于n>=1，a（n）=det（a）-米兰Janjic2010年2月21日
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
a（n）=和{k=0..n-1}17^k=（17^n-1）/16。
G.f.:x/（（1-17*x）*（1-x））=（1/（1-17*1）-1/（1-x））/16。
a（n）=17*a（n-1）+1（a（1）=1）-文森佐·利班迪2010年11月16日
|
|
|
MAPLE公司
|
ListTools：-部分和（[seq（17^k，k=0..30）]）#罗伯特·伊斯雷尔，2018年2月18日
|
|
|
数学
|
|
|
|
黄体脂酮素
|
（Sage）[范围（1，18）内n的高斯_非线性（n，1，17）]#零入侵拉霍斯2009年5月28日
（最大值）makelist（总和（17^k，k，0，n），n，0，30）/*马丁·埃特尔2012年11月5日*/
（岩浆）[&+[17^i:i in[0..n]]：n in[0..20]]//文森佐·利班迪2018年2月19日
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n，容易的
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
已批准
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
0, 1, 20, 381, 7240, 137561, 2613660, 49659541, 943531280, 17927094321, 340614792100, 6471681049901, 122961939948120, 2336276859014281, 44389260321271340, 843395946104155461, 16024522975978953760, 304465936543600121441
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,3
|
|
|
评论
|
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
a（n）=地板（19^n/18）。
G.f.:x/（（1-x）*（1-19*x））-布鲁诺·贝塞利2012年11月6日
a（n）=20*a（n-1）-19*a（n-2）-文森佐·利班迪2012年11月7日
|
|
|
数学
|
线性递归[{20，-19}，{0，1}，40](*文森佐·利班迪2012年11月7日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（岩浆）[n le 2选择n-1其他20*自我（n-1）-19*自我（n-2）：n in[1..20]]//文森佐·利班迪2012年11月7日
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n，容易的
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
已批准
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
0, 1, 21, 421, 8421, 168421, 3368421, 67368421, 1347368421, 26947368421, 538947368421, 10778947368421, 215578947368421, 4311578947368421, 86231578947368421, 1724631578947368421, 34492631578947368421, 689852631578947368421, 13797052631578947368421, 275941052631578947368421
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,3
|
|
|
评论
|
对于n>=1，a（n）是在n次迭代后某个长方体分形（从20个长方体内开始，1个洞）中的洞总数。请参阅链接中的插图-基瓦尔·Ngaokrajang2015年1月28日
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
a（n）=20*a（n-1）+1，其中a（0）=0-文森佐·利班迪2010年8月7日
a（0）=0，a（1）=1，a（n）=21*a（n-1）-20*a（n-2）-哈维·P·戴尔2012年10月4日
G.f.:x/（（1-x）*（1-20*x））-布鲁诺·贝塞利2012年11月6日
例如：exp（x）*（exp（19*x）-1）/19-斯特凡诺·斯佩齐亚2023年3月23日
|
|
|
例子
|
..........1
.........2
........4
.......8
.....16
....32
...64
.128
256
-----------
26947368421
|
|
|
MAPLE公司
|
a： =n->总和（20^（n-j），j=0..n）：seq（a（n），n=0..15）#零入侵拉霍斯2007年2月11日
|
|
|
数学
|
（20^范围[20]-1）/19（*或*）嵌套列表[20#+1&，1，20](*哈维·P·戴尔，2012年10月4日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（Sage）[范围（1，17）内n的高斯多项式（n，1，20）]#零入侵拉霍斯2009年5月29日
（PARI）用于（n=0100，写入（“b064108.txt”，n，“”，（20^n-1）/19））\\哈里·史密斯2009年9月7日
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n，容易的
|
|
|
作者
|
|
|
|
扩展
|
|
|
|
状态
|
已批准
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
1, 16, 241, 3616, 54241, 813616, 12204241, 183063616, 2745954241, 41189313616, 617839704241, 9267595563616, 139013933454241, 2085209001813616, 31278135027204241, 469172025408063616, 7037580381120954241, 105563705716814313616, 1583455585752214704241
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
1,2
|
|
|
评论
|
设A是n阶Hessenberg矩阵，定义为：A[1，j]=1，A[i，i]：=15，（i>1），A[i，i-1]=-1，否则A[i、j]=0。然后，对于n>=1，a（n）=det（a）-米兰Janjic2010年2月21日
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
a（n）=（15^n-1）/14。
a（n）=15*a（n-1）+1，n>1，a（1）=1-文森佐·利班迪2010年8月3日
G.f.:x/（（1-x）*（1-15*x））-布鲁诺·贝塞利2012年11月7日
a（1）=1，a（2）=16；对于n>2，a（n）=16*a（n-1）-15*a（n-2）-哈维·P·戴尔2013年7月8日
a（n）=和{i=0…n-1}14^i*二项式（n，n-1-i）-布鲁诺·贝塞利2015年11月12日
例如：（1/14）*（exp（15*x）-exp（x））-G.C.格鲁贝尔，2016年10月17日
|
|
|
例子
|
对于n=4，a（4）=15^3+15^2+15^1+1=3375+225+15=1=3616。
对于n=6，a（6）=1*6+14*15+14^2*20+14^3*15+14 ^4*6+14 ^5*1=813616-布鲁诺·贝塞利2015年11月12日
|
|
|
数学
|
表[FromDigits[PadRight[{}，n，1]，15]，{n，20}]（*或*）线性递归[{16，-15}，{1，16}，20](*哈维·P·戴尔2013年7月8日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（Sage）[对于范围（1，15）内的n，gaussian_binomic（n，1，15）]#零入侵拉霍斯2009年5月28日
（Sage）[（15^n-1）/14表示n英寸（1..30）]#布鲁诺·贝塞利2015年11月12日
（Python）
定义a（n）：返回int（'1'*n，15）
打印（[a（n）代表范围（1，20）中的n]）#迈克尔·布拉尼基2021年1月16日
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n，容易的
|
|
|
作者
|
朱利安·彼得·本尼（jpbenney（AT）gmail.com），2008年2月19日
|
|
|
状态
|
已批准
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
1, 15, 211, 2955, 41371, 579195, 8108731, 113522235, 1589311291, 22250358075, 311505013051, 4361070182715, 61054982558011, 854769755812155, 11966776581370171, 167534872139182395, 2345488209948553531
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
1,2
|
|
|
评论
|
设A是n阶的Hessenberg矩阵，定义为：A[1，j]=1，A[i，i]：=14，（i>1），A[i，i-1]=-1，否则A[i、j]=0。然后，对于n>=1，a（n）=det（a）-米兰Janjic2010年2月21日
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
a（n）=（14^n-1）/13。
a（n）=14*a（n-1）+1对于n>1，a（1）=1-文森佐·利班迪2010年8月3日
a（n）=和{i=0..n-1}13^i*二项式（n，n-1-i）-布鲁诺·贝塞利2015年11月12日
G.f.:x/（（1-x）*（1-14*x））。
例如：（1/13）*（exp（14*x）-exp（x））。（结束）
|
|
|
例子
|
a（4）=2955，因为（14^4-1）/13=38416/13=2955。
对于n=6，a（6）=1*6+13*15+169*20+2197*15+28561*6+371293*1=579195-布鲁诺·贝塞利2015年11月12日
|
|
|
数学
|
表[FromDigits[PadRight[{}，n，1]，14]，{n，20}]（*或*）线性递归[{15，-14}，{1，15}，20](*哈维·P·戴尔2016年8月29日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（Sage）[范围（1，15）内n的高斯多项式（n，1，14）]#零入侵拉霍斯2009年5月28日
（鼠尾草）[（14^n-1）/13代表n in（1..30）]#布鲁诺·贝塞利2015年11月12日
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n，容易的，改变
|
|
|
作者
|
朱利安·彼得·本尼（jpbenney（AT）gmail.com），2008年2月19日
|
|
|
状态
|
已批准
|
| |
|
搜索在0.059秒内完成
|
