搜索： a014787-编号：a014777
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1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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这本质上是雅可比θ函数θ_2（q）的q展开。（在θ2中，必须忽略初始因子2*q^（1/4），然后用q^代替q（1/2）。另请参见A005369号.) -N.J.A.斯隆2014年8月3日
拉马努扬的θ函数f（a，b）=Sum_{n=-inf.inf}a^（n*（n+1）/2）*b^（n*（n-1）/2）。
该序列是序列b^n中以b为基数的数字的串联，对于任意基数b>=2。-Davis Herring（Herring（AT）lanl.gov），2004年11月16日
带交替符号的Polcoeff逆=A006950型: (1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 7, ...). -加里·亚当森2010年3月15日
这个序列与Ramanujan的二元θ函数有关，因为这个序列也是广义六边形数的特征函数-奥马尔·波尔2012年6月8日
D.Zagier在《模式的1-2-3》第30页列出的14个原始eta乘积中的第3个，这些乘积是权重为1/2的全纯模式-迈克尔·索莫斯2016年5月4日
将n划分为包含1的连续部分的数量，n>=1-奥马尔·波尔2020年11月27日
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参考文献
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J.H.Conway和N.J.A.Sloane，“球形填料、晶格和群”，Springer-Verlag，第103页。
M.D.Hirschhorn，《q的力量》，施普林格出版社，2017年。见Psi第9页。
J.Tannery和J.Molk，Eléments de la Théorie des Fonctions Elliptiques，第2卷，Gauthier-Villars，巴黎，1902年；切尔西，纽约，1972年，见第27页。
E.T.Whittaker和G.N.Watson，《现代分析课程》，剑桥大学出版社，第4版，1963年，第464页。
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链接
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K.Ono、S.Robins和P.T.Wahl，整数表示为三角数之和《Aequationes mathematicae》，1995年8月，第50卷，第1-2期，第73-94页，命题1。
Franck Ramaharo，椒盐卷饼结的生成多项式，arXiv:1805.10680[math.CO]，2018年。
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公式
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f（x，x^3）的x次幂展开式，其中f（，）是Ramanujan的一般θ函数。
q^（-1）*（φ（q）-phi（q^4））/2的q^8次幂展开-迈克尔·索莫斯2014年7月1日
q^（-1/8）*eta（q^2）^2/eta（q）的q次幂展开-迈克尔·索莫斯，2005年4月13日
周期2序列的欧拉变换[1，-1，…]-迈克尔·索莫斯2003年3月24日
给定g.f.A（x），则B（q）=q*A（q^8）满足0=f（B（q-迈克尔·索莫斯2005年4月13日
a（n）=b（8*n+1），其中b（）=A098108号（）与b（2^e）=0^e相乘，如果p>2，b（p^e）=（1+（-1）^e）/2-迈克尔·索莫斯2005年6月6日
G.f.：θ_2（sqrt（q））/（2*q^（1/8））。
G.f.：1/（1-x/（1+x/（1+x^1/（1-x/（1A+x^2/（1-x/（1+x^3/…））））-迈克尔·索莫斯2012年5月11日
G.f.：乘积_{k>0}（1-x^（2*k））/（1-x^（2*k-1））-弗拉德塔·乔沃维奇2002年5月2日
G.f.：总和{j>=0}产品{k=0..j}x ^j-乔恩·佩里2004年3月30日
a（n）=楼层（1-cos（Pi*sqrt（8*n+1））/2）-卡尔·R·怀特2006年3月18日
a（n）=f（n，0），f（x，y）=如果x>0，则f（x-y，y+1），否则0^（-x）-莱因哈德·祖姆凯勒2008年9月27日
由于s角数的特征函数是由floor（sqrt（2n/（s-2）+（（s-4）/（2s-4））^2）+1/2）。
（结束）
G.f.是周期1傅里叶级数，满足f（-1/（16t））=2^（-1/2）（t/i）^（1/2）G（t），其中q=exp（2Pi i t），G（）是A002448号. -迈克尔·索莫斯2016年5月5日
G.f.：和{n>=0}x^（n*（n+1）/2）=Product_{n>=1}（1-x^n）*（1+x^n）^2=Product_}n>=1{（1-x^（2*n））*。从theta_2（0，sqrt（q））/（2*q^（1/8））函数的和和积表示。最后一个产品，由弗拉德塔·乔沃维奇通过将第二个乘积的奇诱导因子移动到第一个乘积，通过f（x）：=Product_{n>=1}（1-x^（2*n-1））*Product_{n>=1}（1+x^n）=f（x^2）证明了从第二个到最后一个的欧拉恒等式。这导致f（x）=f（0）=1-沃尔夫迪特·朗2016年7月5日
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例子
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G.f.=1+x+x^3+x^6+x^10+x^15+x^21+x^28+x^36+x^45+x^55+x^66+。。。
B（q）的G.f=q*A（q^8）：q+q^9+q^25+q^49+q^81+q^121+q^169+q^225+q^289+qq^361+。。。
以三角形开始：
1;
1, 0;
1, 0, 0;
1, 0, 0, 0;
1, 0, 0, 0, 0;
1，0，0，0，0，0；
…（结束）
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MAPLE公司
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如果issqr（1+8*n），则
1;
其他的
0;
结束条件：；
结束进程：
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数学
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a[n_]：=平方R[1,8n+1]/2；(*迈克尔·索莫斯2011年11月15日*）
a[n_]：=如果[n<0，0，系列系数[（系列[EllipticTheta[3，Log[y]/（2I），x^2]，{x，0，n+Floor@Sqrt[n]}]//Normal//TrigToExp）/。{y->x}，{x，0，n}]]；(*迈克尔·索莫斯2011年11月15日*）
表[If[IntegerQ[（Sqrt[8n+1]-1）/2]，1，0]，{n，0，110}](*哈维·P·戴尔2012年10月29日*）
a[n_]：=级数系数[EllipticTheta[2,0，q^（1/2）]/（2q ^（1/8）），{q，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2014年7月1日*）
模块[{tr=Accumulate[Range[20]]}，如果[MemberQ[tr，#]，1，0]&/@Range[Max[tr]]](*哈维·P·戴尔2023年3月13日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=我的（a）；如果（n<0，0，a=x*O（x^n）；polceoff（eta（x^2+a）^2/eta（x+a），n））}/*迈克尔·索莫斯2011年3月14日*/
（PARI）{a（n）=发行方（8*n+1）}/*迈克尔·索莫斯2000年4月27日*/
（PARI）a（n）=异多角形（n，3）\\米歇尔·马库斯2015年1月22日
（哈斯克尔）
a010054=a010052。(+ 1) . (* 8)
a010054_list=concatMap（\x->1:复制x 0）[0..]
（岩浆）基础（模块形式（Gamma0（16），1/2），362）[2]/*迈克尔·索莫斯2014年6月10日*/
（Python）
从sympy导入integer_ntroot
定义A010054号（n） ：返回int（integer_ntroot（（n<<3）+1，2）[1]）#柴华武2022年11月15日
b=二进制递归序列（-1，0）
a=欧拉变换（b）
打印（[a（n）代表范围（88）中的n]）#彼得·卢什尼2022年11月17日
（克洛朱尔）
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交叉参考
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将n写成k个三角形数之和的方法的数量，对于k=1，…：A010054号,A008441号,A008443号,A008438号,A008439号,A008440型,A226252型,A007331号,A226253型,A226254号,262255英镑,A014787号,A014809号.
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关键字
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 4, 6, 8, 13, 12, 14, 24, 18, 20, 32, 24, 31, 40, 30, 32, 48, 48, 38, 56, 42, 44, 78, 48, 57, 72, 54, 72, 80, 60, 62, 104, 84, 68, 96, 72, 74, 124, 96, 80, 121, 84, 108, 120, 90, 112, 128, 120, 98, 156, 102, 104, 192, 108, 110, 152, 114, 144, 182, 144, 133, 168
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0.2个
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评论
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将n写成4个三角形数之和的方法。
a（n）也是2*n+1划分为相等部分的所有部分的总数-奥马尔·波尔2021年2月14日
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参考文献
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B.C.Berndt，Ramanujan的笔记本第三部分，Springer-Verlag，见第139页，Ex.（III）。
J.H.Conway和N.J.A.Sloane，“球形填料、晶格和群”，Springer-Verlag，第102页。
L.E.Dickson，《数字理论史》。卡内基公共研究所。256，华盛顿特区，第1卷，1919年；1920年第2卷；1923年第3卷，见第2卷，第19页，等式（6）和第283页，等量（8）。
W.Dunham，Euler：《我们所有人的主人》，美国数学协会，华盛顿特区，1999年，第12页。
H.M.Farkas，I.Kra，余弦和三角数，《鲁梅因数学评论》。Pures应用。，46 (2001), 37-43.
N.J.Fine，《基本超几何级数与应用》，美国。数学。Soc.，1988年；第79页，等式（32.31）。
N.Koblitz，《椭圆曲线和模形式介绍》，Springer-Verlag，1984年，见第184页，Prop。4、F（z）中。
G.Polya，《数学归纳与类比》，《数学与合理推理》第1卷，普林斯顿大学出版社，1954年，第92页及其后。
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链接
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小池正雄，非紧算术三角群上的模形式，未出版手稿【N.J.A.Sloane用OEIS A-numbers广泛注释，2021年2月14日。我在第一页写的是2005年，但内部证据表明是1997年。]
K.Ono、S.Robins和P.T.Wahl，整数表示为三角数之和《Aequationes mathematicae》，1995年8月，第50卷，第1-2期，第73-94页。定理3[Legendre]。
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公式
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q^（-1/2）*（eta（q^2）^2/eta（q））^4=psi（q）^4的q次幂展开式，其中psi（）是Ramanujanθ函数-迈克尔·索莫斯2004年4月11日
Jacobi theta_2（q）^4/（16*q）在q^2幂上的展开-迈克尔·索莫斯2004年4月11日
周期2序列的欧拉变换[4，-4，-4，…]-迈克尔·索莫斯2004年4月11日
a（n）=b（2*n+1），其中b（）是乘法的，b（2^e）=0^n，b（p^e）=（p^（e+1）-1）/（p-1），如果p>2-迈克尔·索莫斯2004年7月7日
给定g.f.A（x），则B（q）=q*A（q^2）满足0=f（B（q-迈克尔·索莫斯2005年4月8日
给定g.f.A（x），则B（q）=q*A（q^2）满足0=f（B（q。
给定g.f.A（x），则B（q）=q*A（q^2）满足0=f（B（q-迈克尔·索莫斯2005年5月30日
通用公式：和{k>=0}（2k+1）*x^k/（1-x^（2k+1））。
G.f.：（产品{k>0}（1-x^k）*（1+x^k）^2）^4-迈克尔·索莫斯2004年4月11日
G.f.求和{k>=0}a（k）*x^（2k+1）=x（*Prod_{k>0}（1-x^（4*k））-迈克尔·索莫斯2004年7月7日
正奇整数中2*n+1=（x^2+y^2+z^2+w^2）/4的解的个数-迈克尔·索莫斯2004年4月11日
G.f.是周期1傅里叶级数，满足f（-1/（4 t））=（1/4）（t/i）^2 G（t），其中q=exp（2 Pi it），G（）是A096727号.迈克尔·索莫斯2014年6月12日
通用公式：exp（总和{k>=1}4*（x^k/k）/（1+x^k））-伊利亚·古特科夫斯基2017年7月31日
通用公式：和{n>=0}x^n*（1+x^（2*n+1））/（1-x^。（结束）
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例子
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9的除数是1,3,9，因此a（4）=1+3+9=13。
F_2（z）=eta（4z）^8/eta（2z）^4=q+4q^3+6q^5+8q^7+13q^9+。。。
G.f.=1+4*x+6*x^2+8*x^3+13*x^4+12*x^5+14*x^6+24*x^7+18*x^8+20*x^9+。。。
B（q）=q+4*q^3+6*q^5+8*q^7+13*q^9+12*q^11+14*q^13+24*q^15+18*q^17+。。。
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MAPLE公司
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数学
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除数Sigma[1，2#+1]&/@范围[0，61](*蚂蚁王2010年12月2日*）
a[n_]：=系列系数[D[Series[Log[QPochhammer[-x]/QPochharmer[x]]，{x，0，2 n+1}]，x]，{x，0，2n}]；(*迈克尔·索莫斯2019年10月15日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，σ（2*n+1））}；
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，n=2*n；polceoff（总和（k=1，（平方（4*n+1）+1）\2，x^（k^2-k），x*O（x^n））^4，n））}/*迈克尔·索莫斯2004年9月17日*/
（PARI）{a（n）=我的（a）；如果（n<0，0，n=2*n；a=x*O（x^n）；波尔科夫（（eta（x^4+a）^2/eta（x^2+a））^4，n））}/*迈克尔·索莫斯2004年9月17日*/
（Sage）模块形式（Gamma0（4），2，prec=124）.1#迈克尔·索莫斯2014年6月12日
（岩浆）基础（模块形式（Gamma0（4），2），124）[2]/*迈克尔·索莫斯2014年6月12日*/
（哈斯克尔）
a008438=a000203。a005408号--莱因哈德·祖姆凯勒2014年9月22日
（岩浆）[DivisorSigma（1,2*n+1）：[0..70]]中的n//文森佐·利班迪2017年8月1日
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交叉参考
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将n写成k个三角形数之和的方法的数量，对于k=1，…：A010054号,A008441号,A008443号,A008438号,A008439号,A008440型,A226252型,A007331号,A226253型,A226254号,262255英镑,A014787号,A014809号.
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关键字
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1，2，1，2，2，0，3，2，0，2，1，2，0，2，4，0，2，1，4，2，0，2，0，2，2，2，1，4，0，2，2，2，0，0，3，2，0，2，4，0，2，2，0，4，0，2，2，0，6，0，2，2，0，2，2，0，1，4，2，2，4，0，0，2，0，2，2，2，0，0，0
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0.2个
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评论
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参考文献
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B.C.Berndt，Ramanujan的笔记本第三部分，Springer-Verlag。见第139页示例（iv）。
J.H.Conway和N.J.A.Sloane，“球形填料、晶格和群”，Springer-Verlag，第102页。
R.W.Gosper，《十九世纪废弃矿田的露天采矿数学》，收录于《数学中的计算机》（Ed.D.V.Chudnovsky和R.D.Jenks）。纽约：Dekker，1990年。见第279页。
R.W.Gosper，q三角学、符号计算、数论、特殊函数、物理学和组合数学的实验和发现。编辑：F.G.Garvan和M.E.H.Ismail。Kluwer，Dordrecht，荷兰，2001年，第79-105页。[参见图片。]
P.A.MacMahon，《组合分析》，剑桥大学出版社，伦敦和纽约，1915年第1卷和1916年第2卷。见第2卷，第31页，第272条。
Ivan Niven、Herbert S.Zuckerman和Hugh L.Montgomery，《数字理论导论》，第五版，John Wiley and Sons，Inc.，纽约，1991年，第165页。
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链接
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准应用数学局。55系列，第十次印刷，1972年，第575、16.23.1和16.23.2页。
R.P.阿加瓦尔，兰伯特级数和拉马努扬印度科学院产品。科学。（《数学科学》），第103卷，第3期，1993年，第269-293页（见第285页）。
新泽西州罚款，基本超几何级数及其应用阿默尔。数学。Soc.，1988年；第72页，等式（31.2）；第78页，等式如下（32.25）。
J.W.L.Glaisher，关于函数chi（n）《纯粹与应用数学季刊》，20（1884），97-167。见第108页。
N.Heninger、E.M.Rains和N.J.A.Sloane，关于生成函数n次根的可积性，arXiv:math/0509316[math.NT]，2005-2006；《组合理论》，A辑，113（2006），1732-1745。
K.Ono、S.Robins和P.T.Wahl，整数表示为三角数之和《Aequationes mathematicae》，1995年8月，第50卷，第1-2期，第73-94页。
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公式
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这个序列是许多序列的四分之一。以下是两个示例：
a（n）=b（4*n+1），其中b（n）是乘法的，b（2^e）=0^e，b（p^e）=（1+（-1）^e）/2如果p==3（mod 4），b（p ^e）=1如果p==1（mod4）-迈克尔·索莫斯2005年9月14日
通用公式：（和{k>=0}x^（（k^2+k）/2））^2=（和{k>=0{x^。
雅可比θ（θ_2（0，sqrt（q）））^2/（4*q^（1/4））的展开。
求和[d|（4n+1），（-1）^（（d-1）/2）]。
给定g.f.A（x），则B（q）=q*A（q^4）满足0=f（B（q，B（q^2），B（q ^4）），其中f（u，v，w）=v^3+4*v*w^2-u^2*w-迈克尔·索莫斯2005年9月14日
给定g.f.A（x），则B（q）=q*A（q^4）满足0=f（B（q-迈克尔·索莫斯2005年9月14日
雅可比k/（4*q^（1/2））*（2/Pi）*k（k）的q^2次幂展开-迈克尔·索莫斯2005年9月14日。的卷积A001938号和A004018号这出现在Abramowitz-Stegun参考文献第575、16.23.1和16.23.2页中给出的Jacobi sn和cn公式的分母中，其中m=k^2-沃尔夫迪特·朗2016年7月5日
通用公式：和{k>=0}a（k）*x^（2*k）=和{k>=0}x^k/（1+x^，2*k+1））。
通用公式：Z}x^k/（1-x^（4*k+1））中的和{k-迈克尔·索莫斯2005年11月3日
psi（x）^2=phi（x）*psi（x^2）的x次幂展开，其中phi（）、psi（）是Ramanujan theta函数。
莫比乌斯变换是周期8序列[1，-1，-1，0，1，1，-1，0-…]-迈克尔·索莫斯2008年1月25日
G.f.是周期1傅里叶级数，满足f（-1/（8 t））=1/2（t/i）G（t），其中q=exp（2 Pi i t），G（）是A104794号.
周期2序列的欧拉变换[2，-2，…]。
通用格式：q^（-1/4）*eta（q^2）^4/eta（q）^2。另请参见精细参考。
G.f.：产品{k>0}（1-x^（2*k））^2/（1-x ^（2*k-1））^2。
通用公式：exp（总和{n>=1}2*（x^n/n）/（1+x^n））-保罗·D·汉纳2016年3月1日
连分式1/（1-x^1+x^1*（1-x^1）^2/以x^2的幂-迈克尔·索莫斯2017年4月20日
G.f.：求和{n>=0}x^n*求和{k=0..n}二项式（n，k）*（x^（2*n+1）-x^。
G.f.：求和{n>=0}x^n*求和{k=0..n}二项式（n，k）*（x^（2*n+1）+x^。（结束）
G.f.:Sum_{n=-oo..oo}x^（4*n^2+2*n）*（1+x^（4*n+1））/（1-x^（4*n+1））。见阿加瓦尔，第285页，方程6.20，i=j=1，mu=4。
对于形式4*k+3的素数p，a（n*p^2+（p^2-1）/4）=a（n）。
对于形式为4*k+1的素数p和不等于（p-1）/4（mod p）的n，我们有a（n*p^2+（p^2-1）/4）=3*a（n）（因为b（n），其中b（4*n+1）=a（n，是乘法的）。（结束）
G.f.A（q）满足：
A（q^2）=Sum_{n=-oo..oo}q^n/（1-q^（4*n+2））（Agarwal中的集合z=q，alpha=q^2，mu=4，方程式6.15）。
A（q^2）=Sum_{n=-oo..oo}q^（2*n）/（1-q^。
A（q^2）=Sum_{n=-oo..oo}q^n/（1+q^（2*n+1））^2=Sum_{n=-oo..oo}q^。（结束）
通用公式：求和{k>=0}a（k）*q^k=Sum_{k>=0.}（-1）^k*q^-马穆卡·吉卜拉泽2021年5月17日
通用公式：求和{k>=0}a（k）*q^k=Sum_{k>=0.}（-1）^k*q^（k*（k+1））*（1+q^-马穆卡·吉卜拉泽，2021年6月6日
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例子
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G.f.=1+2*x+x^2+2*x^3+2*x^4+3*x^6+2*x^7+2*x^9+2*x^10+2*x^11+。。。
B（q）的G.f=q*A（q^4）=q+2*q^5+q^9+2*q*13+2*q^17+3*q^25+2*q~29+2*q ^37+2*qq^41+。。。
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MAPLE公司
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sigmamr：=过程（n，m，r）局部a，d；a:=0；对于numtheory[除数]（n）中的d，如果modp（d，m）=r，那么a:=a+1；结束条件：；结束do:a；结束进程：
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数学
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加号@@（（-1）^（1/2（除数[4#+1]-1））(*蚂蚁王2010年12月2日*）
a[n_]：=级数系数[（1/2）椭圆Theta[2，0，q]椭圆Theta[3，0，q]，{q，0，n+1/4}]；(*迈克尔·索莫斯，2012年6月19日*）
a[n_]：=级数系数[（1/4）椭圆Theta[2，0，q]^2，{q，0，2n+1/2}]；(*迈克尔·索莫斯，2012年6月19日*）
a[n_]：=如果[n<0，0，除数和[4 n+1，（-1）^商[#，2]&]]；(*迈克尔·索莫斯2014年6月8日*）
三角形Q[n_]：=整数Q@Sqrt[8n+1]；表[Count[FrobeniusSolve[｛1，1｝，n]，｛__？三角形Q｝]，｛n，0，104｝](*罗伯特·威尔逊v2017年4月15日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=如果（n<1，n==0，polceoff（和（k=0，（平方（8*n+1）-1）\2，x^（k*（k+1）/2），x*O（x^n））^2，n））}；
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，n=4*n+1；sumdiv（n，d，（-1）^（d\2）））}/*迈克尔·索莫斯2005年9月2日*/
（PARI）{a（n）=我的（a）；如果（n<0，0，a=x*O（x^n）；polceoff（eta（x^2+a）^4/eta（x+a）*2，n））}；
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，n=4*n+1；sumdiv（n，d，（d%4==1）-（d%4=3））}/*迈克尔·索莫斯2005年9月14日*/
（PARI）{my（q='q+O（'q^166））；Vec（eta（q^2）^4/eta（q）^2）}\\乔格·阿恩特2017年4月16日
（Sage）模块形式（Gamma1（8），1，prec=420）.1#迈克尔·索莫斯，2014年6月8日
（哈斯克尔）
a052343=（翻转div 2）。(+ 1) . a008441号
（岩浆）A:=基础（模块形式（伽马1（8），1），420）；A[2]/*迈克尔·索莫斯2015年1月31日*/
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交叉参考
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将n写成k个三角形数之和的方法的数量，对于k=1，…：A010054号,A008441号,A008443号,A008438号,A008439号,A008440型,A226252型,A007331号,A226253型,A226254号,262255英镑,A014787号,A014809号.
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关键字
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 3, 3, 4, 6, 3, 6, 9, 3, 7, 9, 6, 9, 9, 6, 6, 15, 9, 7, 12, 3, 15, 15, 6, 12, 12, 9, 12, 15, 6, 13, 21, 12, 6, 15, 9, 12, 24, 9, 18, 12, 9, 18, 15, 12, 13, 24, 9, 15, 24, 6, 18, 27, 6, 12, 15, 18, 24, 21, 15, 12, 27, 9, 13, 18, 15, 27, 27, 9, 12, 27, 15, 24, 21, 12, 15, 30, 15, 12
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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费马断言，每个数字都是三个三角形数字的和。高斯证明了这一点，他在1796年7月10日的塔格布作品中写道：EYPHEKA！num=三角形+三角形+三角形。另见戴安娜王妃高斯，第293条。
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参考文献
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J.H.Conway和N.J.A.Sloane，“球形填料、晶格和群”，Springer-Verlag，第102页。
C.F.Gauss，《算术研究》，耶鲁大学出版社，1966年，纽黑文和伦敦，第342页，第293条。
M.Nathanson，《加法数理论：经典基础》，《数学研究生教材》，第165卷，Springer-Verlag出版社，1996年。见第1章。
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链接
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乔治·安德鲁斯，埃夫卡！num=增量+增量+增量，J.数论23（1986），285-293。[标题中的Y实际上是希腊字母Upsilon，Delta实际上是该名称的希腊字母。]
M.Doring、J.Haidenbauer、U.-G.Meissner和A.Rusetsky，动量格上的动态耦合通道方法，arXiv预印本arXiv:1108.0676[hep-lat]，2011年。
M.D.Hirschorn和J.A.Sellers，分成三个三角形数《澳大利亚组合数学杂志》，第30卷（2004年），第307-318页；提交.
K.Ono、S.Robins和P.T.Wahl，整数表示为三角数之和，《数学幻想曲》，1995年8月，第50卷，第1-2期，第73-94页。
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公式
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q^（-3/8）*（eta（q^2）^2/eta（q））^3的q次幂展开-迈克尔·索莫斯2012年5月29日
周期2序列的欧拉变换[3，-3，…]-迈克尔·索莫斯2006年10月25日
G.f.是周期1傅里叶级数，满足f（-1/（16t））=2^（-3/2）（t/i）^（3/2）G（t），其中q=exp（2Pi it），G（）是A213384型. -迈克尔·索莫斯，2012年6月23日
通用公式：（和{k>0}x^（（k^2-k）/2））^3=（乘积{k>0}（1+x^k）*（1-x^2（2*k））^3-迈克尔·索莫斯2012年5月29日
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例子
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5可以写成3+1+1、1+3+1、1+1+3，因此a（5）=3。
G.f.=1+3*x+3*x^2+4*x^3+6*x^4+3*x*x^5+6*x^6+9*x^7+3*x^8+。。。
G.f.=q^3+3*q^11+3*q^19+4*q^27+6*q^35+3*q*q^43+6*qq^51+9*q^59+3*q ^67+。。。
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MAPLE公司
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s1:=总和（q^（n*（n+1）/2），n=0..30）：s2:=级数（s1^3，q，250）：对于从0到200的i，执行打印f（`%d，`，系数（s2，q，i））od：
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数学
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a[n_]：=级数系数[（1/8）椭圆Theta[2，0，q]^3，{q，0，2n+3/4}]；(*迈克尔·索莫斯2012年5月29日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，polcoeff（和（k=0，（sqrtint（8*n+1）-1）\2，x^（（k^2+k）/2），x*O（x^n））^3，n））}/*迈克尔·索莫斯2006年10月25日*/
（PARI）{a（n）=my（a）；如果（n<0，0，a=x*O（x^n）；极系数（（eta（x^2+a）^2/eta（x+a））^3，n））}/*迈克尔·索莫斯2006年10月25日*/
（岩浆）基础（模块形式（伽马射线（16），3/2），630）[4]/*迈克尔·索莫斯2015年8月26日*/
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交叉参考
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将n写成k个三角形数之和的方法的数量，对于k=1，…：A010054号,A008441号,A008443号,A008438号,A008439号,A008440型,A226252型,A007331号,A226253型,A226254号,262255英镑,A014787号,A014809号.
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关键字
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A007331号
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| E_{无穷大，4}的傅里叶系数。
（原名M4503）
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+10
41
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0、1、8、28、64、126、224、344、512、757、1008、1332、1792、2198、2752、3528、4096、4914、6056、6860、8064、9632、10656、12168、14336、15751、17584、20440、22016、24390、28224、29792、32768、37296、39312、43344、48448、50654、54880、61544、64512
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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E_{无穷大，4}是Gamma_0（2）在i*无穷大处具有简单零的唯一规范化权重-4模形式。由于它有2级，与之相反，它不是尖点形状A002408号.
a（n+1）是n作为8个三角形数之和的表示数（从A000217号). 参见Ono等人的链接，定理5。
a（n）给出n的除数d的立方和，使得n/d是奇数。这在Ono等人的链接中称为sigma ^#_3（n）。请参阅下面的公式-沃尔夫迪特·朗2017年1月12日
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参考文献
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B.C.Berndt，Ramanujan笔记本第三部分，Springer-Verlag，见第139页，Ex（ii）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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H.H.Chan和C.Kratethaler，整数表示为平方和的研究进展，arXiv:math/00407061[math.NT]，2004年。
J.H.Conway和N.J.A.Sloane，球形填料、格和群《施普林格·弗拉格》，第187页。
小池正雄，非紧算术三角群上的模形式，未出版手稿【N.J.A.Sloane用OEIS A-numbers广泛注释，2021年2月14日。我在第一页写的是2005年，但内部证据表明是1997年。]
K.Ono、S.Robins和P.T.Wahl，整数表示为三角数之和《Aequationes mathematicae》，1995年8月，第50卷，第1-2期，第73-94页。定理5。
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公式
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G.f.：q*产品{k>=1}（1-q^k）^8*（1+q^k）^16.-已由更正瓦茨拉夫·科特索维奇2015年10月14日
a（n）=Sum_{0<d|n，n/d奇数}d^3。[上光器]
通用公式：和{n>0}n^3*x^n/（1-x^（2*n））-弗拉德塔·乔沃维奇2002年10月24日
雅可比θ常数θ_2（q）^8/256的q次幂展开。
eta（q^2）^16/eta（q）^8的q次幂展开-迈克尔·索莫斯2005年5月31日
x*psi（x）^8的x次幂展开式，其中psi（）是Ramanujanθ函数-迈克尔·索莫斯2012年1月15日
（Q（x）-Q（x^2））/240的x次幂展开式，其中Q（）是Ramanujan Lambert级数-迈克尔·索莫斯2012年1月15日
E_{gamma，2}^2*E_{0,4}的q次幂展开。
周期2序列的欧拉变换[8，-8，…]-迈克尔·索莫斯2005年5月31日
G.f.A（x）满足0=f（A（x，A（x^2），A（x ^4）），其中f（u，v，w）=v^3-u^2*w+16*u*v*w-32*v^2*w+256*v*w ^2-迈克尔·索莫斯2005年5月31日
G.f.是周期1傅里叶级数，满足f（-1/（2t））=16^（-1）（t/i）^4g（t），其中q=exp（2Pi it），G（）是A035016号. -迈克尔·索莫斯2009年1月11日
与a（2^e）=2^（3e），a（p^e）=（p^（3（e+1））-1）/（p^3-1）相乘-米奇·哈里斯2005年6月13日
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例子
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G.f.=q+8*q^2+28*q^3+64*q^4+126*q^5+224*q^6+344*q^7+512*q^8+。。。
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MAPLE公司
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nmax:=40:seq（系数（系列（x*（乘积（（1-x^k）^8*（1+x^k，^16，k=1..nmax）），x，n+1），x、n），n=0..nmax）#瓦茨拉夫·科特索维奇2015年10月14日
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数学
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前缀[表[Plus@@（选择[Divisors[k+1]，OddQ[（k+1）/#]&]^3），{k，0，39}]，0](*蚂蚁王2010年12月4日*）
a[n_]：=级数系数[EllipticTheta[2,0，q^（1/2）]^8/256，{q，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯，2013年6月4日*）
a[n_]：=如果[n<1，0，和[d^3布尔[OddQ[n/d]]，{d，除数[n]}]；(*迈克尔·索莫斯2013年6月4日*）
f[n_]：=总计[（2n/选择[Divisors[2n]，Mod[#，4]==2&]）^3]；展平[{0，数组[f，40]}](*罗伯特·威尔逊v2015年3月26日*）
nmax=60；系数列表[系列[x*乘积[（1-x^k）^8*（1+x^k）^16，{k，1，nmax}]，{x，0，nmax{]，x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2015年10月14日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，sumdiv（n，d，（n/d%2）*d^3））}/*迈克尔·索莫斯2005年5月31日*/
（PARI）{a（n）=局部（a）；如果（n<1，0，n---；a=x*O（x^n）；polceoff（（eta（x^2+a）^2/eta（x+a））^8，n））}/*迈克尔·索莫斯2005年5月31日*/
（PARI）a（n）=我的（e=估价（n，2））；8^e*西格玛（n/2^e，3）\\查尔斯·格里特豪斯四世2014年9月9日
（Sage）模块形式（Gamma0（2），4，prec=33）.1#迈克尔·索莫斯2013年6月4日
（Magma）基（模形式（Gamma0（2），4），10）[2]/*迈克尔·索莫斯2014年5月27日*/
（Python）
从sympy导入除数
定义a（n）：
如果n==0，则返回0，否则求和（（（n//d）%2）*d**3表示除数（n）中的d）
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交叉参考
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将n写成k个三角形数之和的方法的数量，对于k=1，…：A010054号,A008441号,A008443号,A008438号,A008439号,A008440型,A226252型,A007331号,A226253型,A226254号,262255英镑,A014787号,A014809号,A076577号.
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关键字
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容易的,美好的,非n,多重
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作者
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扩展
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巴里·布伦特（barryb（AT）primenet.com）的附加评论
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状态
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经核准的
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1, 5, 10, 15, 25, 31, 35, 55, 60, 60, 90, 90, 95, 135, 125, 126, 170, 180, 175, 215, 220, 195, 285, 280, 245, 340, 300, 320, 405, 350, 351, 450, 465, 415, 515, 480, 425, 620, 590, 505, 655, 625, 590, 755, 660, 650, 805, 770, 755, 855, 841, 730, 1045, 960, 770, 1100
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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参考文献
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J.H.Conway和N.J.A.Sloane，“球形填料、晶格和群”，Springer-Verlag，第102页。
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链接
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K.Ono、S.Robins和P.T.Wahl，整数表示为三角数之和《Aequationes mathematicae》，1995年8月，第50卷，第1-2期，第73-94页。
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公式
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通用公式：exp（总和{k>=1}5*（x^k/k）/（1+x^k））-伊利亚·古特科夫斯基2017年7月31日
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数学
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a002129[n_]：=-总和[（-1）^d*d，{d，除数[n]}]；a[n_]：=a[n]=如果[n==0，1，5和[a002129[k]a[n-k]，{k，n}]/n]；表[a[n]，｛n，0，100｝](*印地瑞尼Ghosh，2017年8月2日*）
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交叉参考
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将n写成k个三角形数之和的方法的数量，对于k=1，…：A010054号,A008441号,A008443号,A008438号,A008439号,A008440型,A226252型,A007331号,A226253型,A226254号,262255英镑,A014787号,A014809号.
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关键字
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A008440型
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| 雅可比θ常数theta_2^6/（64q^（3/2））的展开式。 |
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1, 6, 15, 26, 45, 66, 82, 120, 156, 170, 231, 276, 290, 390, 435, 438, 561, 630, 651, 780, 861, 842, 1020, 1170, 1095, 1326, 1431, 1370, 1716, 1740, 1682, 2016, 2145, 2132, 2415, 2550, 2353, 2850, 3120, 2810, 3321, 3486, 3285, 3906, 4005, 3722, 4350
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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n表示为6个三角形数之和的次数-米歇尔·马库斯2012年10月24日。请参阅Ono等人的链接。
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参考文献
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B.C.Berndt，Ramanujan关于Lambert级数的片段，《数论及其应用》，K.Gyory和S.Kanemitsu编辑，Kluwer，Dordrecht，1999年，第35-49页，见条目6。
J.H.Conway和N.J.A.Sloane，“球形填料、晶格和群”，Springer-Verlag，第102页。
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链接
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K.Ono、S.Robins和P.T.Wahl，整数表示为三角数之和《Aequationes mathematicae》，1995年8月，第50卷，第1-2期，第73-94页。定理4。
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公式
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Ramanujan phi^6（q）的q次幂扩展。
q^（-3/4）（eta（q^2）^2/eta（q））^6的q次幂展开。
周期2序列的欧拉变换[6，-6，…]-迈克尔·索莫斯2006年5月23日
通用公式：（和{n>=0}x^（（n^2+n）/2））^6。
a（n）=（-1/8）*Sum_{d除以（4n+3）}Chi_2（4；d）*d^2-米歇尔·马库斯2012年10月24日。请参阅Ono等人的链接。定理4。
通用公式：exp（总和{k>=1}6*（x^k/k）/（1+x^k））-伊利亚·古特科夫斯基2017年7月31日
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例子
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G.f.=1+6*x+15*x^2+26*x^3+45*x^4+66*x^5+82*x^6+-迈克尔·索莫斯2019年6月25日
G.f.=q^3+6*q^7+15*q^11+26*q^15+45*q^19+66*q^23+82*q^27+。。。
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数学
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a[n_]：=如果[n<0，0，-除数和[4 n+3，Re[I^（#-1）]#^2&]/8]；(*迈克尔·索莫斯2019年6月25日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，polcoeff（和（k=0，（sqrtint（8*n+1）-1）\2，x^（（k^2+k）/2），x*O（x^n））^6，n））}/*迈克尔·索莫斯2006年5月23日*/
（PARI）{a（n）=我的（a）；如果（n<0，0，a=x*O（x^n）；polceoff（（eta（x^2+a）^2/eta（x+a））^6，n））}/*迈克尔·索莫斯2006年5月23日*/
（PARI）{a（n）=-sumdiv（4*n+3，d，real（I^（d-1））*d^2）/8}/*迈克尔·索莫斯2012年10月24日*/
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交叉参考
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将n写成k个三角形数之和的方法的数量，对于k=1，…：A010054号,A008441号,A008443号,A008438号,A008439号,A008440型,A226252型,A007331号,A226253型,A226254号,262255英镑,A014787号,A014809号,A002173号.
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关键字
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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1、7、21、42、77、126、175、253、357、434、567、735、833、1057、1302、1400、1708、2037、2191、2597、3003、3151、3619、4242、4389、4935、5691、5740、6594、7434、7371、8400、9303、9506、10626、11592、11585、12761、14427、14203、15519、17241、16808、18788、20559、19950、21882、23898、23786
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0.2个
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链接
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K.Ono、S.Robins和P.T.Wahl，整数表示为三角数之和《Aequationes mathematicae》，1995年8月，第50卷，第1-2期，第73-94页。
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公式
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通用公式：exp（总和{k>=1}7*（x^k/k）/（1+x^k））-伊利亚·古特科夫斯基2017年7月31日
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交叉参考
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将n写成k个三角形数之和的方法的数量，对于k=1，…：A010054号,A008441号,A008443号,A008438号,A008439号,A008440型,A226252型,A007331号,A226253型,A226254号,262255英镑,A014787号,A014809号.
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关键字
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 9, 36, 93, 198, 378, 633, 990, 1521, 2173, 2979, 4113, 5370, 6858, 8955, 11055, 13446, 16830, 20031, 23724, 28836, 33381, 38520, 45729, 52203, 59121, 68922, 77461, 86283, 99747, 110547, 121500, 138870, 152034, 166725, 188568, 204156, 221760, 248310, 268713, 289422, 321786, 345570, 369036
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0.2个
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链接
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K.Ono、S.Robins和P.T.Wahl，整数表示为三角数之和《Aequationes mathematicae》，1995年8月，第50卷，第1-2期，第73-94页。
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公式
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通用公式：exp（总和{k>=1}9*（x^k/k）/（1+x^k））-伊利亚·古特科夫斯基2017年7月31日
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交叉参考
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将n写成k个三角形数之和的方法的数量，对于k=1，…：A010054号,A008441号,A008443号,A008438号,A008439号,A008440型,A226252型,A007331号,A226253型,A226254号,262255英镑,A014787号,A014809号.
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关键字
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 10, 45, 130, 300, 612, 1105, 1830, 2925, 4420, 6341, 9000, 12325, 16290, 21645, 27932, 34980, 44370, 54900, 66430, 81702, 98050, 115440, 138330, 162565, 187800, 220545, 254800, 289265, 334890, 382058, 427350, 488700, 550420, 609960, 691812, 770185, 845750, 949365, 1049400, 1145580, 1274580
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0.2个
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链接
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K.Ono、S.Robins和P.T.Wahl，整数表示为三角数之和《Aequationes mathematicae》，1995年8月，第50卷，第1-2期，第73-94页。情况k=10，定理6。
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公式
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通用公式：exp（总和{k>=1}10*（x^k/k）/（1+x^k））-伊利亚·古特科夫斯基2017年7月31日
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交叉参考
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将n写成k个三角形数之和的方法的数量，对于k=1，…：A010054号,A008441号,A008443号,A008438号,A008439号,A008440型,A226252型,A007331号,A226253型,A226254号,262255英镑,A014787号,A014809号.
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关键字
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非n
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作者
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经核准的
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