搜索: a013973-编号:a013977
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A288851型
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| 指数a(1),a(2)。。。使得E_6,1-504*q-16632*q^2。。。(A013973号)等于(1-q)^a(1)(1-q^2)^a。 |
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+20 26
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504, 143388, 51180024, 20556578700, 8806299845112, 3929750661380124, 1803727445909594616, 845145871847732769804, 402283166289266872824312, 193877350835487271784566812, 94381548697864188120110027256, 46328820782943001597184984563596
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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配方奶粉
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非n
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经核准的
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1, -42, -11088, -3774624, -1472710974, -617481728640, -270883381218912, -122585272771463040, -56747118995519331456, -26727350506044696990762, -12760853360973370821796320, -6159994719956314185540737376, -3000691311646502407278581263104, -1472883416501251994527873967792256
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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N.Heninger、E.M.Rains和N.J.A.Sloane,关于生成函数n次根的可积性,arXiv:math/0509316[math.NT],2005-2006。
N.Heninger、E.M.Rains和N.J.A.Sloane,关于生成函数n次根的可积性,J.组合理论,A辑,113(2006),1732-1745。
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配方奶粉
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a(n)~c*exp(2*Pi*n)/n^(13/12),其中c=-伽马(1/4)^(10/3)*伽马(1/3)^2/(16*6^(1/12)*Pi^3*伽马(1/12))=-0.079329971529325538458906713053582098-瓦茨拉夫·科特索维奇,2017年7月2日,2018年3月5日更新
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数学
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nmax=20;s=6;系数列表[级数[(1-2*s/BernoulliB[s]*Sum[DivisorSigma[s-1,k]*x^k,{k,1,nmax}])^(1/12),{x,0,nmax{],x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2017年7月2日*)
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作者
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经核准的
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0, 1, 18, 84, 292, 630, 1512, 2408, 4680, 6813, 11340, 14652, 24528, 28574, 43344, 52920, 74896, 83538, 122634, 130340, 183960, 202272, 263736, 279864, 393120, 393775, 514332, 551880, 703136, 707310, 952560, 923552, 1198368, 1230768, 1503684, 1517040, 1989396, 1874198, 2346120, 2400216, 2948400
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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配方奶粉
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G.f.:x*f'(x),其中f(x)=和{k>=1}k^3*x^k/(1-x^k)-伊利亚·古特科夫斯基2017年8月31日
与a(p^e)相乘=p^e*(p^(3*e+3)-1)/(p^3-1)。
Dirichlet g.f.:zeta(s-1)*zeta(s-4)。(结束)
a(n)=Sum_{k=1..n}σ_4(gcd(k,n))=Sum _{d除以n}sigma_4(d)*phi(n/d)-彼得·巴拉2024年1月19日
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MAPLE公司
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带有(gfun):
带有(数字理论);M: =100;
E:=程序(k)局部n,t1;全球M;
t1:=1-(2*k/bernoulli(k))*加法(sigma[k-1](n)*q^n,n=1..M+1);
系列(t1,q,M+1);结束;
e2:=E(2);e4:=E(4);e6:=E(6);
t1:=系列((e2*e4-e6)/720,q,M+1);
系列列表(t1);
#替代方案
seq(加上(sigma[4](d)*phi(n/d),d以除数(n)表示),n=1..100)#彼得·巴拉2024年1月20日
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数学
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表[如果[n==0,0,n*DivisorSigma[3,n]],{n,0,40}](*因德拉尼尔·戈什2017年3月11日*)
条款=41;Ei[n_]=1-(2n/BernoulliB[n])和[k^(n-1)x^k/(1-x^k),{k,项}];系数表[(Ei[2]Ei[4]-Ei[6])/720+O[x]^项,x](*Jean-François Alcover公司2018年3月1日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)对于(n=0,40,print1(如果(n==0,0,n*sigma(n,3)),“,”)\\因德拉尼尔·戈什2017年3月11日
(岩浆)[0]cat[n*DivisorSigma(3,n):[1..50]]中的n//文森佐·利班迪,2018年3月1日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,多重
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作者
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经核准的
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1, -288, -129168, -1927296, 65152656, 1535768640, 15223408704, 98001292032, 474055120080, 1870878793824, 6312358836000, 18835985199744, 50831420617152, 126257508465984, 292348744636032, 637474437331200, 1319883180896592, 2610964045674432, 4963491913583664
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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数学
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术语=19;
E2[x_]=1-24*和[k*x^k/(1-x^k),{k,1,项}];
E4[x_]=1+240*总和[k^3*x^k/(1-x^k),{k,1,terms}];
E6[x_]=1-504*和[k^5*x^k/(1-x^k),{k,1,项}];
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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1、504、270648、144912096、77599626552、41553943041744、22251789971649504、11915647845248387520、6380729991419236488504、34168276666558895485479576、18296827038080504464920468048、9797798201474423701073457645512
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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参考文献
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S.Ramanujan,《斯里尼瓦萨·拉马努扬论文集》,第115-7页,编辑G.H.Hardy等人,AMS Chelsea 2000,第317页。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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S.Ramanujan,关于某些模函数展开式中的系数,程序。皇家学会,A,95(1918),144-155[G.H.Hardy,Coll.Papers,Vol.1,294-305.]-由添加N.J.A.斯隆2010年2月21日
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配方奶粉
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1/R(q)的q次幂展开式,其中R()是Ramanujan Lambert级数。
G.f.A(x)满足0=f(A(x,A(x^2),A(x ^4)),其中f(u,v,w)=v^2*w^2+121*u^2*w ^2+4096*u ^2*v ^2-8*v ^3*w-512*u*v ^3-66*u*v*w ^2+592*u*v^2*w-4224*u ^2*v*w-迈克尔·索莫斯2007年8月9日
渐近[Ramanujan]:a(n)~c*exp(2*Pi*n),其中c=2/(96^2*exp-瓦茨拉夫·科特索维奇2015年11月8日
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例子
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通用系数=1+504*q+270648*q^2+144912096*q^3+77599626552*q^4+41553943041744*q^5+。。。
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数学
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a[n_]:=系列系数[1/(1+总和[-504除数Sigma[5,k]q^k,{k,n}]),{q,0,n}];(*迈克尔·索莫斯2015年4月26日*)
a[n]:=系列系数[与[{t2=椭圆Theta[2,0,q]^4,t3=椭圆Theta[3,0,q]^4},1/(t2^3-33(t2+t3)t2t3+t3^3)],{q,0,n}];(*迈克尔·索莫斯2015年4月26日*)
a[n_]:=系列系数[With[{t3=椭圆Theta[3,0,q]^4,t4=椭圆Theta[4,0,q]^4},2/(t3^3-3(t3-t4)^2(t3+t4)+t4^3)],{q,0,2n}];(*迈克尔·索莫斯2015年4月26日*)
a[n_]:=系列系数[With[{e1=QPochhammer[q]^8,e4=32 q QPochharmer[q^4]^8},QPochhamer[q|2]^12/((e1+e4)(e1^2-16 e1e4-8 e4^2))],{q,0,n}];(*迈克尔·索莫斯2015年4月26日*)
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黄体脂酮素
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(PARI){a(n)=如果(n<0,0,polceoff(1/sum(k=1,n,-504*sigma(k,5)*x^k,1+x*O(x^n)),n))}/*迈克尔·索莫斯2007年8月9日*/
(PARI){a(n)=my(a,e1,e4);如果(n<0,0,a=x*O(x^n);e1=eta(x+a)^8;e4=32*x*eta/*迈克尔·索莫斯2015年4月26日*/
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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0, 1, 12, 36, 112, 150, 432, 392, 960, 1053, 1800, 1452, 4032, 2366, 4704, 5400, 7936, 5202, 12636, 7220, 16800, 14112, 17424, 12696, 34560, 19375, 28392, 29160, 43904, 25230, 64800, 30752, 64512, 52272, 62424, 58800, 117936, 52022, 86640, 85176, 144000, 70602
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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配方奶粉
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G.f.:phi_{3,2}(x)其中phi_{r,s}(x)=和{n,m>0}m^r*n^s*x^{m*n}。
通用公式:和{k>=1}k^3*x^k*(1+x^k)/(1-x^k-伊利亚·古特科夫斯基2018年5月2日
与a(p^e)相乘=p^(2*e)*(p^[e+1)-1)/(p-1)。
Dirichlet g.f.:zeta(s-2)*zeta(s-3)。
Sum_{k=1..n}a(k)~(Pi^2/24)*n^4。(结束)
a(n)=和{1<=i,j,k<=n}σ_2(gcd(i,j、k,n))。
a(n)=和{1<=i,j<=n}σ3(gcd(i,j,n))。
a(n)=Sum_{d除以n}sigma_2(d)*J_3(n/d)=Summ_{d除n}sigma_3(d)*J_2(n/d),其中Jordan方向函数J_2(n)=A007434号(n) 和J_3(n)=A059376号(n) ●●●●。(结束)
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例子
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a(6)=1^3*6^2+2^3*3^2+3^3*2^2+6^3*1^2=432。
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数学
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a[0]=0;a[n_]:=(n^2)*除数Sigma[1,n];表[a[n],{n,0,41}](*因德拉尼尔·戈什2017年2月21日*)
条款=42;Ei[n_]=1-(2n/BernoulliB[n])和[k^(n-1)x^k/(1-x^k),{k,项}];系数表[(3*Ei[2]*Ei[4]-2*Ei[0]-Ei[2]^3)/1728+O[x]^项,x](*Jean-François Alcover公司2018年3月1日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)a(n)=如果(n==0,0,n^2*σ(n))\\米歇尔·马库斯2017年2月21日
(岩浆)[0]cat[n^2*DivisorSigma(1,n):[1..50]]中的n//文森佐·利班迪,2018年3月1日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,多重
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作者
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状态
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经核准的
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1, -768, -19008, 67329024, 4834170816, 137655866880, 2122110676224, 21418943158272, 158760815970240, 928988742914304, 4512155542392960, 18847838706545664, 69519052583699712, 230952254655327744, 701948326302761472, 1975789128222443520
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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链接
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数学
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条款=16;
E4[x_]=1+240*总和[k^3*x^k/(1-x^k),{k,1,terms}];
E6[x_]=1-504*和[k^5*x^k/(1-x^k),{k,1,项}];
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交叉参考
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关键词
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签名
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作者
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状态
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经核准的
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0, 1, 66, 732, 4228, 15630, 48312, 117656, 270600, 533637, 1031580, 1771572, 3094896, 4826822, 7765296, 11441160, 17318416, 24137586, 35220042, 47045900, 66083640, 86124192, 116923752, 148035912, 198079200, 244218775, 318570252, 389021400, 497449568, 594823350
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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链接
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配方奶粉
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G.f.:phi_{6,1}(x)其中phi_{r,s}(x)=和{n,m>0}m^r*n^s*x^{m*n}。
和{k=1..n}a(k)~zeta(6)*n^7/7-阿米拉姆·埃尔达尔2023年9月6日
与a(p^e)相乘=p^e*(p^(5*e+5)-1)/(p^5-1)。
Dirichlet g.f.:zeta(s-1)*zeta(s-6)。(结束)
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例子
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a(6)=1^6*6^1+2^6*3^1+3^6*2^1+6^6*1^1=48312。
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数学
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条款=30;
E2[x_]=1-24*和[k*x^k/(1-x^k),{k,1,项}];
E4[x_]=1+240*总和[k^3*x^k/(1-x^k),{k,1,terms}];
E6[x_]=1-504*和[k^5*x^k/(1-x^k),{k,1,项}];
表[n*DivisorSigma[5,n],{n,0,30}](*阿米拉姆·埃尔达尔2023年9月6日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)a(n)=如果(n<1,0,n*σ(n,5))\\安德鲁·霍罗伊德2018年7月23日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,多重
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作者
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状态
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经核准的
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0、1、258、6564、66052、390630、1693512、5764808、16909320、43066413、10078254、214358892、433565328、815730734、1487320464、2564095320、4328785936、6975757458、111111 34554、16983563060、25801892760、37840199712、55304594136、78310985304、110992776480
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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链接
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配方奶粉
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G.f.:phi_{8,1}(x)其中phi_{r,s}(x)=和{n,m>0}m^r*n^s*x^{m*n}。
和{k=1..n}a(k)~zeta(8)*n^9/9-阿米拉姆·埃尔达尔2023年9月6日
与a(p^e)相乘=p^e*(p^(7*e+7)-1)/(p^7-1)。
Dirichlet g.f.:zeta(s-1)*zeta(s-8)。(结束)
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例子
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a(6)=1^8*6^1+2^8*3^1+3^8*2^1+6^8*1^1=1693512。
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数学
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条款=25;
E2[x_]=1-24*和[k*x^k/(1-x^k),{k,1,项}];
E4[x_]=1+240*总和[k^3*x^k/(1-x^k),{k,1,terms}];
E6[x_]=1-504*和[k^5*x^k/(1-x^k),{k,1,项}];
表[n*DivisorSigma[7,n],{n,0,24}](*阿米拉姆·埃尔达尔2023年9月6日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)a(n)=如果(n<1,0,n*σ(n,7))\\安德鲁·霍罗伊德2018年7月25日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,多重
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作者
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状态
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经核准的
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1, -528, -4608, 312384, 3664416, 21745440, 86782464, 276703872, 741794400, 1758969264, 3797729280, 7568097984, 14222957952, 25253852064, 43166426112, 70518360960, 112406614752, 172631876832, 260795119104, 381636168000, 552633117120, 778105665024
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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链接
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数学
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条款=22;
E2[x_]=1-24*和[k*x^k/(1-x^k),{k,1,项}];
E6[x_]=1-504*和[k^5*x^k/(1-x^k),{k,1,项}];
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交叉参考
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关键词
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签名
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作者
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状态
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经核准的
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