搜索： a013971-编号：a013981
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A000203号
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| a（n）=σ（n），n的除数之和。
（原名M2329 N0921）
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4994
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1, 3, 4, 7, 6, 12, 8, 15, 13, 18, 12, 28, 14, 24, 24, 31, 18, 39, 20, 42, 32, 36, 24, 60, 31, 42, 40, 56, 30, 72, 32, 63, 48, 54, 48, 91, 38, 60, 56, 90, 42, 96, 44, 84, 78, 72, 48, 124, 57, 93, 72, 98, 54, 120, 72, 120, 80, 90, 60, 168, 62, 96, 104, 127, 84, 144, 68, 126, 96, 144
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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乘法：如果n到素数幂的标准因式分解是p^e（p）的乘积，那么sigma_k（n）=product_p（（p^（（e（p（p）+1）*k））-1）/（p^k-1）。
a（n）是一般二维格中索引n的子格数Avi Peretz（njk（AT）netvision.net.il），2001年1月29日[在群论的语言中，a（n）是Z x Z的index-n子群的数目-宋嘉宁2022年11月5日]
索引n的子格与[0..d-1]中a>0，ad=n，b的矩阵[a b；0 d]一一对应。它们的数量是Sum_{d|n}d=sigma（n），即a（n）。如果gcd（A，b，d）=1，则子格是本原的；它们的数量是n*Product{p|n}（1+1/p），即A001615号[参考Grady reference。]
n和m的公约数之和，其中m从1到n-野本直弘2004年1月10日
a（n）是Q_p代数闭包中度为n的Q_p上所有扩张的基数，其中p>n.-Volker-Schmitt（clamsi（AT）gmx.net），2004年11月24日。囊性纤维变性。A100976号,A100977号,A100978号（p-adic扩展）。
设s（n）=a（n-1）+a（n-2）-a（n-5）-a。。。，则a（n）=s（n），如果n不是五边形，即n！=（3j^2+-j）/2（比照。A001318号)，如果n是五边形，则a（n）是s（n）-（（-1）^j）*n-加里·亚当森，2008年10月5日[经2012年4月27日修订威廉·基思基于Ewell和安德烈·扎博洛茨基2022年4月8日]
将n写成2^k*d，其中d是奇数。那么a（n）是奇数当且仅当d是正方形-乔恩·佩里2012年11月8日
也就是将n划分为相等部分的部分总数-奥马尔·波尔2013年1月16日
注意sigma（3^4）=11^2。另一方面，Kanold（1947）证明方程sigma（q^（p-1））=b^p没有解b>2，q素数，p奇数素数-N.J.A.斯隆，2013年12月21日，基于数字理论邮件列表发布弗拉基米尔·莱茨科和路易斯·加拉多
此外，不规则阶梯金字塔（从顶部开始）第n层阶地中水平菱形的总数，其结构在等腰三角形图每行的k度之字形折叠后出现A237593型，其中k是大于零且小于180度的角度-奥马尔·波尔2016年7月5日
等效于黎曼假设：a（n）<H（n）+exp（H（n））*log（H（n）），对于所有n>1，其中H（n）是第n个调和数（Jeffrey Lagarias）。请参见A057641号了解更多详细信息-伊利亚·古特科夫斯基2016年7月5日
a（n）是2*n分成相等部分的偶数部分的总数。更一般地说，a（n）是将k*n划分为相等部分（2013年1月16日的注释是k=1的情况）中与0 mod k一致的部分总数-奥马尔·波尔，2019年11月18日
a（n）也是C_n X C_n的n阶子群的个数，其中C_n是n阶循环群。证明：根据群论中的对应定理，C_nX C_n=（Z X Z）/（nZ X nZ）的n阶子群与包含nZ X n Z的Z X Z的指数n子群之间存在一一对应关系。但（乘法）群G的指数n正规子群在G}中自动包含{G^n:n。所需结果来自野本直弘以上。
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参考文献
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。1964年第55辑（以及各种重印本），第840页。
T.M.Apostol，《解析数论导论》，Springer-Verlag，1976年，第38页。
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L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第162页，#16，（6），第二公式。
G.H.Hardy，Ramanujan：关于其生活和工作所建议主题的十二次讲座，AMS Chelsea Publishing，罗德岛普罗维登斯，2002年，第141、166页。
H.Hardy和E.M.Wright，《数论导论》，第五版，克拉伦登出版社，牛津，2003年。
罗斯·洪斯伯格（Ross Honsberger），“数学宝石，第一”，多尔恰尼数学博览会，美国数学协会出版发行，第116页。
Kanold、Hans Joachim、Kresteilungspolynome和ungerade vollkommene Zahlen。（德语），Ber。数学-Tagung Tübingen 1946年（1947年）。第84-87页。
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N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
Robert M.Young，《微积分之旅》，美国数学协会，1992年，第361页。
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链接
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J.W.L.Glaisher，关于函数chi（n）《纯粹与应用数学季刊》，20（1884），97-167。
J.W.L.Glaisher，关于函数chi（n）《纯粹与应用数学季刊》，20（1884），97-167。[带注释的扫描副本]
本田正美（Masazumi Honda）和Yoda Takuya，弦论、N=4 SYM和黎曼假设，arXiv:2203.17091[hep-th]，2022年。
道格拉斯·伊恩努奇，关于自然数的小除数和，arXiv:1910.11835[math.NT]，2019年。
M.Maia和M.Mendez，关于组合种的算术积，arXiv:数学。CO/050334362005。
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配方奶粉
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与a（p^e）=（p^（e+1）-1）/（p-1）相乘-大卫·W·威尔逊2001年8月1日
关于以下边界和其他许多边界，请参见Mitrinovic等人-N.J.A.斯隆2017年10月2日
如果n是复合的，a（n）>n+sqrt（n）。
对于所有n，a（n）<n*sqrt（n）。
当n>12时，a（n）<（6/Pi^2）*n^（3/2）。
通用公式：-x*导数（eta（x））/eta（x），其中eta（x）=产品{n>=1}（1-x^n）-乔格·阿恩特2010年3月14日
L.g.f.：-log（产品{j>=1}（1-x^j））=Sum_{n>=1}a（n）/n*x^n-乔格·阿恩特，2011年2月4日
a（n）是奇的，如果n是一个正方形或是正方形的两倍-罗伯特·威尔逊v2001年10月3日
a（n）=f（n，1,1,1），其中f（n、i、x、s）=如果n=1，则s*x else如果p（i）|n，则f（n/p（i），i，1+p（i(A000040型). -莱因哈德·祖姆凯勒2004年11月17日
递归：n^2*（n-1）*a（n）=12*Sum_{k=1.n-1}（5*k*（n-k）-n^2）*a（k）*a（n-k），如果n>1.-多米尼克·贾德（Dominique.Giard（AT）gmail.com），2005年1月11日
通用公式：求和{k>0}k*x^k/（1-x^k）=求和{k>0}x^k/（1-x*k）^2。Dirichlet g.f.：zeta（s）*zeta（s-1）-迈克尔·索莫斯2003年4月5日。见哈代-赖特参考，第312页。第一个方程，第250页，定理290-沃尔夫迪特·朗2016年12月9日
A127093号* [1/1, 1/2, 1/3, ...] = [1/1, 3/2, 4/3, 7/4, 6/5, 12/6, 8/7, ...]. 三角形的行和A135539号. -加里·亚当森，2007年10月31日
G.f.:A（x）=x/（1-x）*（1-2*x*（1-x）/（G（0）-2*x^2+2*x））；G（k）=-2*x-1-（1+x）*k+（2*k+3）*（x^（k+2））-x*（k+1）*（k+3；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2011年12月6日
a（n）=总和{i=1..n}总和{j=1..i}cos（（2*Pi*n*j）/i）-米歇尔·拉格诺2015年10月14日
a（n）=（Pi^2*n/6）*Sum_{q>=1}c_q（n）/q^2，其中Ramanujan和c_qA054533号作为cn（k）表。见哈代参考文献，第141页，或哈代-赖特，定理293，第251页-沃尔夫迪特·朗2017年1月6日
G.f.也为（1-E_2（q））/24，其中G.f.E_2为A006352号参见例如，哈代，第166页，等式（10.5.5）-沃尔夫迪特·朗2017年1月31日
a（n）=Sum_{k=1..n}gcd（n，k）/phi（n/gcd（n，k）），其中phi（k）是Euler totiten函数-丹尼尔·苏图，2018年6月21日
G.f.:A（x）=和{n>=1}x ^（n^2）*（x^n+n*（1-x^（2*n）））/（1-x^n）^2-Arndt w.r.t.x中的微分方程5，设x=1。
a（n）=和{k=1..n}τ（n/gcd（n，k））*phi（gcd（n，k））/phi（n/gcd（n、k））-理查德·奥尔勒顿2021年5月7日
根据a（n）=0表示n<=0的约定，我们有一个递归a（n，=t（n）+Sum_{k>=1}（-1）^（k+1）*（2*k+1）*a（n-k*（k+1。例如，n=10=（4*5）/2是一个三角形数，t（10）=-30，因此a（10）=-30+3*a（9）-5*a（7）+7*a（4）=-30+39-40+49=18-彼得·巴拉2022年4月6日
递归：a（p^x）=p*a（p*（x-1））+1，如果p是素数，对于任何整数x，例如，a（5^3）=5*a（5*2）+1=5*31+1=156-朱尔斯·波尚2022年11月11日
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例子
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例如，6可以被1、2、3和6整除，所以sigma（6）=1+2+3+6=12。
设L=<V，W>为二维格。指数4的7个亚晶格由<4V，W>，<V，4W>，<4V，W+-V>，<2V，2W>，<02V+W，2W>，<2 V，2W+V>生成。比较A001615号.
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MAPLE公司
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数学
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表[DivisorSigma[1，n]，{n，100}]
a[n_]：=序列系数[QPolyGamma[1，1，q]/Log[q]^2，{q，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2013年4月25日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[1..70]]中的[SumOfDivisors（n）：n；
（岩浆）[DivisorSigma（1，n）：[1..70]]中的n//布鲁诺·贝塞利2015年9月9日
（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，σ（n））}；
（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，direculer（p=2，n，1/（1-X）/（1-p*X））[n]）}；
（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，polcoeff（和（k=1，n，x^k/（1-x^k）^2，x*O（x^n））}/*迈克尔·索莫斯，2005年1月29日*/
（PARI）max_n=30；ser=-总和（k=1，max_n，log（1-x^k））；a（n）=波尔科夫（ser，n）*n\\戈特弗里德·赫尔姆斯2009年8月10日
（MuPAD）编号：：sigma（n）$n=1..81//零入侵拉霍斯2008年5月13日
（SageMath）[范围（1,71）中n的σ（n，1）]#零入侵拉霍斯2009年6月4日
（Maxima）列表（divsum（n），n，1，1000）\\埃马努埃勒·穆纳里尼2011年3月26日
（哈斯克尔）
a000203 n=产品$zipWith（\p e->（p^（e+1）-1）`div`（p-1））（a027748_row n）（a12410_row n）
（方案）（定义(A000203号n） （let（（r（sqrt n）））（let loop（（i（不精确->精确（楼层r）））；；（独立程序）-安蒂·卡图恩2024年2月20日
（间隙）
（Python）
从symy导入divisorsigma
定义a（n）：返回除数sigma（n，1）
打印（[a（n）代表范围（1,71）中的n]）#迈克尔·布拉尼基2021年1月3日
（Python）
从数学导入prod
来自症状输入因子
定义a（n）：返回prod（（p**（e+1）-1）//（p-1）for p，e in factorint（n）.items（））
打印（[a（n）代表范围（1,51）中的n]）#迈克尔·布拉尼基2024年2月25日
（APL，Dyalog方言）A000203号← +/{ð←⍵{(0=⍵|⍺)/⍵}⍳⌊⍵*÷2 ⋄ 1=⍵:ð ⋄ ð, (⍵∘÷)¨(⍵=(⌊⍵*÷2)*2)↓⌽⍝安蒂·卡图恩2024年2月20日
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交叉参考
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σ_i（i=0..25）：A000005号,A000203号,A001157号,A001158号,A001159号,A001160型,A013954号,A013955型,A013956号,A013957号,A013958型,A013959号,A013960美元,A013961号,A013962号,A013963号,A013964号,A013965型,A013966号,A013967号,A013968号,A013969号,A013970美元,A013971号,A013972号,A281959型.
囊性纤维变性。A144736号,A158951号,A158902号,A174740号,A147843号,A001158号,A001160型,A001065号,A002192号,A001001号,A001615号（原始子格），A039653号,A088580型,A074400型,A083728号,A006352号,A002659号,A083238号,A000593号,A050449号,A050452号,A051731号,A027748号,A124010型,A069192号,A057641美元,A001318号.
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关键字
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容易的,核心,非n,美好的,多重
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作者
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状态
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经核准的
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1, 3, 10, 73, 626, 8052, 117650, 2113665, 43053283, 1001953638, 25937424602, 743375541244, 23298085122482, 793811662272744, 29192932133689220, 1152956690052710401, 48661191875666868482, 2185928253847184914509
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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配方奶粉
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通用公式：和{k>=1}k^（k-1）*x^k/（1-（k*x）^k）-伊利亚·古特科夫斯基2018年11月2日
L.g.f.：-log（乘积_｛k>=1｝（1-（k*x）^k）^（1/k^2））=总和_｛k>=1｝a（k）*x^k/k-Seiichi Manyama先生2019年6月23日
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例子
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a（6）=1^5+2^5+3^5+6^5=1+32+243+7776=8052。
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数学
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表[Total[Divisors[n]^（n-1）]，{n，18}](*T.D.诺伊2006年10月25日*）
表[DivisorSigma[n-1，n]，{n，1，20}](*G.C.格鲁贝尔2018年11月2日*）
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黄体脂酮素
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（Sage）[范围（1，19）中n的σ（n，（n-1））]#零入侵拉霍斯2009年6月4日
（PARI）a（n）=σ（n，n-1）\\米歇尔·马库斯2017年11月7日
（PARI）N=20；x='x+O（'x^N）；Vec（x*导数（-log（prod（k=1，N，（1-（k*x）^k）^（1/k^2））））\\Seiichi Manyama先生2019年6月23日
（岩浆）[DivisorSigma（n-1，n）：[1..20]]中的n//G.C.格鲁贝尔2018年11月2日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A023887号,A000005号,A000203号,A001157号,A001158号,A001159号,A001160型,A013954号,A013955型,A013956号,A013957号,A013958型
囊性纤维变性。A013959号,A013960型,A013961号,A013962号,A013963号,A013964号,A013965美元,A013966号,A013967号,A013968号,A013969号,A013970型
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关键字
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A082771号
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| 三角形数组，按行读取：t（n，k）=总和（d^k:d|n），0<=k<n。 |
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7
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1, 2, 3, 2, 4, 10, 3, 7, 21, 73, 2, 6, 26, 126, 626, 4, 12, 50, 252, 1394, 8052, 2, 8, 50, 344, 2402, 16808, 117650, 4, 15, 85, 585, 4369, 33825, 266305, 2113665, 3, 13, 91, 757, 6643, 59293, 532171, 4785157, 43053283, 4, 18, 130, 1134, 10642, 103158, 1015690, 10078254, 100390882, 1001953638
(列表;桌子;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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链接
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配方奶粉
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t（n，k）=乘积（（p^（（e（n，p）+1）*k））-1）/（p^k-1）：n=乘积。
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例子
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1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...
2 3 5 9 17 33 65 129 257 513 1025 ...
2 4 10 28 82 244 730 2188 6562 19684 59050 ...
3 7 21 73 273 1057 4161 16513 65793 262657 1049601 ...
2 6 26 126 626 3126 15626 78126 390626 1953126 9765626 ...
4 12 50 252 1394 8052 47450 282252 1686434 10097892 60526250 ...
2 8 50 344 2402 16808 117650 823544 5764802 40353608 282475250。。。
4 15 85 585 4369 33825 266305 2113665 16843009 134480385 1074791425 ...
3 13 91 757 6643 59293 532171 4785157 43053283 387440173 3486843451 ...
4 18 130 1134 10642 103158 1015690 10078254 100390882 1001953638。。。
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数学
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T[n_，k_]：=除数Sigma[k，n]；
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作者
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经核准的
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A211347型
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| 对n进行编号，使n=sigma_k（m），对于某些k>=1。 |
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+10
5
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1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 20, 21, 24, 26, 28, 30, 31, 32, 33, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 48, 50, 54, 56, 57, 60, 62, 63, 65, 68, 72, 73, 74, 78, 80, 82, 84, 85, 90, 91, 93, 96, 98, 102, 104, 108, 110, 112, 114, 120, 121, 122
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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Sigma_k（n）=总和[d|n，d^k]。
Sigma_0（n）可以是任何正整数，因此在此序列中被忽略。
该序列的渐近密度为0（Niven，1951，Rao和Murty，1979）-阿米拉姆·埃尔达尔2020年7月23日
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链接
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伊万·奈文，序列的渐近密度，公牛。阿默尔。数学。Soc.，第57卷（1951年），第420-434页。
R.Sita Rama Chandra Rao和G.Sri Rama Chandri Murty，关于Niven的一个定理《加拿大数学公报》，第22卷，第1期（1979年），第113-115页。
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例子
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Sigma_2（4）=1+4+16=21，因此21在序列中。
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数学
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upto[n_]：=选择[扁平接头[{1，除数Sigma[最大范围[1, 地板@原木[#，n]]，#]&&@范围[2，n]}]，#<=n&&]；高达[122](*乔瓦尼·雷斯塔2013年2月5日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）列表（lim）=如果（lim<3，返回（如果（lim<1，[]，[1]））；my（v=列表（[1]））；对于（k=1，logint（（lim=1）-1，2），系数化（m=2，sqrtnint（lim-1，k），my（t=sigma（m，k））；如果（t<=lim，列表输入（v，t））；集合（v）\\查尔斯·格里特豪斯四世2022年4月9日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A013954号,A013955型,A013956号,A013957号,A013958型,A013959号,A013960美元,A013961号,A013962号,A013963号,A013964号,A013965型,A013966号,A013967号,A013968号,A013969号,A013970型,A013971号,A013972号.
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关键字
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A289981型
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| 236364091*E_24/Delta^2的展开系数，其中Delta是Ramanujan tau函数的生成函数(A000594号). |
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+10
2
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236364091, 11345607408, 1388559260664, 12394474658060992, 9814693119921673116, 2019857252618388683232, 190025763555531360708608, 10672023198070702208400000, 413360977196056231738283958, 12054048247468605179718429968
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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-2,1
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链接
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配方奶粉
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G.f.：236364091*j^2-340364160000*j+30710845440000，其中j是椭圆模不变量。
通用公式：（236364091+1310404*Sum_{n>=1}sigma_23（n）q^n）/（q^2*Product_{n>=1}（1-q^nA013971号.
a（n）~2236364091*exp（4*Pi*sqrt（2*n））/（2^（1/4）*n^（3/4））-瓦茨拉夫·科特索维奇2018年4月9日
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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经核准的
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