搜索： a008411-编号：a0084111
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2009年4月
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| Eisenstein级数E_4（q）的展开（交替约定E_2（q））；E_8格的θ级数。
（原名M5416）
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186
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1, 240, 2160, 6720, 17520, 30240, 60480, 82560, 140400, 181680, 272160, 319680, 490560, 527520, 743040, 846720, 1123440, 1179360, 1635120, 1646400, 2207520, 2311680, 2877120, 2920320, 3931200, 3780240, 4747680, 4905600, 6026880
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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E_8也是8维Barnes-Wall晶格。
E_8格是积分的、幺模的、偶数的。格中240个最短非零向量的范数平方为2。在这些向量中，128个都是半整数，112个都是整数-迈克尔·索莫斯，2019年6月10日
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参考文献
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J.H.Conway和N.J.A.Sloane，“球形填料、晶格和群”，Springer-Verlag，第123页。
W.Ebeling，《格与码》，Vieweg；2002年第2版，见第53页。
R.C.Gunning，模块化形式讲座。普林斯顿大学出版社，新泽西州普林斯顿，1962年，第53页。
N.Koblitz，《椭圆曲线和模形式介绍》，Springer-Verlag，1984年，见第111页。
S.Ramanujan，《某些算术函数》，信使数学。，45（1916），11-15（等式（25））。Srinivasa Ramanujan的论文集，第16章，编辑G.H.Hardy等人，纽约州切尔西，1962年。
S.Ramanujan，《某些算术函数》，信使数学。，45（1916），11-15（等式（25））。Ramanujan的论文，第196页，编辑B.J.Venkatachala等人，Prism Books，班加罗尔，2000年。
Jean-Pierre Serre，“算术课程”，施普林格出版社，1978年
约瑟夫·西尔弗曼（Joseph H.Silverman），“椭圆曲线算法的高级主题”，斯普林格出版社，1994年
N.J.A.Sloane，《七个错开的序列》，《向一个花脸拼图机致敬》，E.Pegg Jr.、A.H.Schoen和T.Rodgers（编辑），A.K.Peters、Wellesley，马萨诸塞州，2009年，第93-110页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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H.H.Chan和C.Kratethaler，整数表示为平方和的研究进展，arXiv:math/0407061[math.NT]，2004年。
H.S.M.Coxeter，积分Cayley数杜克大学数学系。J.13（1946），561-578；再版于《十二几何论文》，第20-39页。
D.de Laat和F.Vallenton，球形封装的突破：寻找魔法函数，arXiv预印本arXiv:1607.02111[math.MG]，2016。
杨辉和约翰·麦凯，零星和例外，arXiv:1505.06742[math.AG]，2015年。
N.Heninger、E.M.Rains和N.J.A.Sloane，关于生成函数n次根的可积性，arXiv:math/0509316[math.NT]，2005-2006；《组合理论》，A辑，113（2006），1732-1745。
小池正雄，非紧算术三角群上的模形式，未出版手稿【N.J.A.Sloane用OEIS A-numbers广泛注释，2021年2月14日。我在第一页写了2005年，但内部证据表明是1997年。]
Robert V.Moody和Jiri Patera，权重乘法的快速递归公式《美国数学学会公报》7.1（1982）：237-242。
玛丽娜·维亚佐夫斯卡，8维球体堆积问题，arXiv预印本arXiv:1603.04246[math.NT]，2016。
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配方奶粉
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也可以表示为E4（q）=1+240*和{i>=1}i^3q^i/（1-q^i）-吉恩·沃德·史密斯2006年8月22日
E_8晶格的Theta级数=1+240*Sum_{m>=1}sigma_3（m）*q^（2*m），其中sigma_2（m）是m的除数的立方体之和(A001158号).
（φ（-q）^8-（2*phi（-q。
（eta（q）^24+256*eta（q^2）^24）/（eta-迈克尔·索莫斯，2008年12月30日
G.f.A（x）满足0=f（A（x，A（x^2），A（x ^4）），其中f（u，v，w）=u^2+33*v^2+256*w^2-18*u*v+16*u*w-288*v*w-迈克尔·索莫斯2006年1月5日
G.f.A（x）满足0=f（A（x，A（x^2），A（x ^3），A，x ^6），其中f（u1，u2，u3，u6）=u1^2+16*u2^2+81*u3^2+1296*u6^2-14*u1*u2-18*u1*u3+30*u1*1*u6+30*u2*u3-288*u2*u6-1134*u3*u6-迈克尔·索莫斯2007年4月15日
G.f.A（x）满足0=f（A（x，A（x^3），A（x ^9）），其中f（u，v，w）=u^3*v+9*w*u^3-84*u^2*v^2+246*u*v^3-253*v^4-675*w*u^2*v+729*w^2*u^2-4590*w*u*v^2+19926*w*v^3-54675*w ^2*u*v+59049*w ^3*u+531441*w^ 3*v-551124*w^2*v^2-迈克尔·索莫斯2007年4月15日
G.f.是周期1傅里叶级数，满足f（-1/t）=（t/i）^4*f（t），其中q=exp（2 Pi it）-迈克尔·索莫斯，2008年12月30日
Ramanujan函数Q（Q^2）=12（omega/Pi）^4 g2（Weierstrass不变量）的Q^2次幂展开。
（q）*（a（q）^3+8*c（q）*3）的q次幂展开式，其中a（），c（）是三次AGMθ函数-迈克尔·索莫斯2015年1月14日
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例子
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G.f.=1+240*x+2160*x^2+6720*x^3+17520*x^4+30240*x^5+60480*x^6+。。。
G.f.=1+240*q^2+2160*q^4+6720*q^6+17520*q^8+3020*q^10+60480*q^12+。。。
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MAPLE公司
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带有（数字理论）；E:=程序（k）局部n，t1；t1:=1-（2*k/bernoulli（k））*加（σ[k-1]（n）*q^n，n=1..60）；系列（t1、q、60）；结束；E（4）；
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数学
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a[n_]：=如果[n<1，Boole[n==0]，240 DivisorSigma[3，n]]；(*迈克尔·索莫斯2011年7月11日*）
a[n_]：=系列系数[With[{t2=EllipticTheta[2，0，q]^4，t3=EllipaticTheta[3，0，q]^4}，t2^2+14 t2t3+t3^2]，{q，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2014年6月4日*）
a[n_]：=系列系数[With[{t2=EllipticTheta[2，0，q]^4，t3=EllipaticTheta[3，0，q]^4}，t2^2-t2t3+t3^2]，{q，0，2n}]；(*迈克尔·索莫斯2016年7月31日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=如果（n<1，n==0，240*sigma（n，3））}；
（PARI）{a（n）=我的（a）；如果（n<0，0，a=x*O（x^n/*迈克尔·索莫斯2008年12月30日*/
（PARI）q='q+O（'q^50）；Vec（（eta（q）^24+256*q*eta（q^2）^24）/（eta\\阿尔图·阿尔坎2018年9月30日
（Sage）模块形式（Gamma1（1），4，prec=30）.0#迈克尔·索莫斯2013年6月4日
（岩浆）基础（模块形式（Gamma1（1），4），29）[1]/*迈克尔·索莫斯2015年5月11日*/
（岩浆）L:=晶格（“E”，8）；A<q>：=θ系列（L，57）；A/*迈克尔·索莫斯2019年6月10日*/
（Python）
从symy导入divisorsigma
定义a（n）：如果n==0，则返回1，否则返回240*除数sigma（n，3）
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交叉参考
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关键字
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非n,容易的,美好的
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作者
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经核准的
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A055747号
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| 对E_8^3或D_16+E_8型Niemeier晶格的Jacobi形式的权重12和指数1的展开。 |
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1, 0, 0, 56, 606, 0, 0, 27456, 123156, 0, 0, 3745512, 9217112, 0, 0, 95209152, 188066718, 0, 0, 1144371624, 1960489800, 0, 0, 8505838656, 13289979912, 0, 0, 45755357024, 67080028224, 0, 0, 195411318912, 272570040468, 0, 0
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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a（4*n-r^2）给出范数2n格中向量x的个数，并给出范数2格中任何固定向量的<x，y>=r。
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参考文献
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M.Eichler和D.Zagier，《雅可比形式理论》，Birkhauser，1985年。
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链接
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配方奶粉
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E_8*E_4，1。
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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Kok Seng Chua（chuaks（AT）ihpc.nus.edu.sg），2000年7月11日
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状态
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经核准的
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1, -1008, 220752, 16519104, 399517776, 4624512480, 34423752384, 187506813312, 814794618960, 2975666040144, 9486668147040, 27052407031104, 70486610910912, 169931677686624, 384163181281152, 820165393918080, 1668889095288912, 3249638073414432
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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链接
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配方奶粉
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E6（q）^2=（1-504和{i>=1}σ_5（i）q^i）^2，其中σ_5n是A001160型.
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例子
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G.f=1-1008*q+220752*q^2+16519104*q^3+399517776*q^4+4624512480*q^5+。。。
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数学
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条款=18；
E6[x_]=1-504*和[k^5*x^k/（1-x^k），{k，1，项}]；
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交叉参考
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作者
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经核准的
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1, 960, 354240, 61543680, 4858169280, 137745912960, 2120861041920, 21423820362240, 158753769048000, 928983317334720, 4512174992346240, 18847874280625920, 69518972236842240, 230951926208599680, 701949379778818560, 1975788826748167680
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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以及E_8^2的q展开中的系数。
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参考文献
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G.E.Andrews和B.C.Berndt，Ramanujan遗失的笔记本，第三部分，斯普林格，纽约，2012年，见第207页。
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链接
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配方奶粉
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G.f.：（1+240总和=1｝i^3 q^i/（1-q^i））^4。
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数学
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条款=16；
E4[x_]=1+240*总和[k^3*x^k/（1-x^k），{k，1，terms}]；
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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经核准的
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1, 1200, 586800, 148641600, 20400279600, 1439038231200, 46093334702400, 861697555612800, 10894180752126000, 102121497049868400, 755966260027216800, 4623420005167550400, 24151632380348692800, 110516281318431693600, 451789183426135939200
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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参考文献
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G.E.Andrews和B.C.Berndt，Ramanujan丢失的笔记本，第三部分，Springer，纽约，2012年，见第208页。
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链接
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配方奶粉
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通用公式：（1+240和{i>=1}i^3 q^i/（1-q^i））^5。
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数学
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条款=15；
E4[x_]=1+240*总和[k^3*x^k/（1-x^k），{k，1，terms}]；
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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经核准的
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1, -768, -19008, 67329024, 4834170816, 137655866880, 2122110676224, 21418943158272, 158760815970240, 928988742914304, 4512155542392960, 18847838706545664, 69519052583699712, 230952254655327744, 701948326302761472, 1975789128222443520
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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链接
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数学
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条款=16；
E4[x_]=1+240*总和[k^3*x^k/（1-x^k），{k，1，terms}]；
E6[x_]=1-504*和[k^5*x^k/（1-x^k），{k，1，项}]；
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交叉参考
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作者
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经核准的
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1, -1512, 712152, -78097824, -11474230824, -498089967984, -11088580243104, -152351956669248, -1474676091461160, -10921529499813576, -65490182325115632, -331010378444247264, -1452953351890984608, -5665062963045803184, -19968586384352171328
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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链接
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数学
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条款=15；
E6[x_]=1-504*和[k^5*x^k/（1-x^k），{k，1，项}]；
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交叉参考
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经核准的
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0, 1, 1026, 59052, 1050628, 9765630, 60587352, 282475256, 1075843080, 3486961557, 10019536380, 25937424612, 62041684656, 137858491862, 289819612656, 576679982760, 1101663313936, 2015993900466, 3577622557482, 6131066257820, 10260044315640
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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D.H.Lehmer证明了当n>0时，a（n）==tau（n）（mod 7），其中tau是Ramanujan的tau函数(A000594号). 此外，如果n==3,5,6（mod 7），则a（n）==tau（n）（mod 49）。请参阅下面的维基百科链接-宋嘉宁，2020年8月12日
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链接
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配方奶粉
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G.f.：phi_{10，1}（x）其中phi_{r，s}（x）=和{n，m>0}m^r*n^s*x^{m*n}。
与a（p^e）相乘=p^e*（p^（9*（e+1））-1）/（p^9-1）-宋嘉宁，2020年8月12日
Dirichlet g.f.：zeta（s-1）*zeta（s-10）。
和{k=1..n}a（k）~zeta（10）*n^11/11。（结束）
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例子
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a（6）=1^10*6^1+2^10*3^1+3^10*2^1+6^10*1^1=60587352。
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数学
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表[If[n>0，n*DivisorSigma[9，n]，0]，{n，0，20}](*印地瑞尼Ghosh2017年3月12日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）对于（n=0，20，print1（如果（n==0，0，n*sigma（n，9）），“，”）\\印地瑞尼Ghosh，2017年3月12日
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交叉参考
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关键字
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非n,容易的,多重
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作者
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经核准的
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1、192、-8928、9984、1420896、11433600、53760384、187233792、533725920、1327018944、2953851840、6060858624、11611915392、21030301824、36387585792、60357358080、97020376032、150755202432、229107724704、338493223680、492378465600、698632525824、980953593984
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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链接
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数学
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条款=23；
E2[x_]=1-24*和[k*x^k/（1-x^k），{k，1，项}]；
E4[x_]=1+240*总和[k^3*x^k/（1-x^k），{k，1，terms}]；
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交叉参考
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作者
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经核准的
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1, 2232, 2251260, 1355202240, 541778118390, 151522053809760, 30456116651640888, 4460775211418664960, 479919718908048515625, 38292247221915373896560, 2309356967925215526546564, 108570959012192293978767360, 4111854826236389868361040550
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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链接
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配方奶粉
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通用公式：（（1+240和{k>0}k^3q^k/（1-q^k））^3/（乘积{k>0}（1-q*k）^24））^3。
a（n）~3^（1/4）*exp（4*Pi*sqrt（3*n））/（sqrt[2]*n^（3/4））-瓦茨拉夫·科特索维奇2017年6月29日
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数学
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系数列表[系列[（QPochhammer[x，x^2]^8+256*x/QPochharmer[x，x^2]^16）^9，{x，0，20}]，x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2017年6月29日*）
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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