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搜索: a007863-编号:a007863
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A011365型 g.f.的倒数A007863号. +20个
2
1、-2、-3、-11、-49、-244、-1301、-7265、-41945、-248357、-1499838、-9202478、-57204263、-359491066、-2280171089、-14578108497、-93850280001、-607856133804、-3958143058643、-25897182540675、-170164359751174、-11224225526850、-7429480035700452 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
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0,2个

链接

真山真一,n=0..500时的n,a(n)表

公式

a(n)=-和{i=0..n}二项式(n+i-2,n-2)*二项式(n+i-1,n-i))/(n-1),n>1;a(0)=1,a(1)=-2。-弗拉基米尔·克鲁基宁2013年2月15日

黄体脂酮素

(PARI)a(n)=如果(n==0,1,如果(n==1,-2,-和(i=0,n,二项式(n+i-2,n-2)*二项式(n+i-1,n-i))/(n-1))\\米歇尔·马库斯2018年12月29日

交叉引用

囊性纤维变性。A007863号.

关键字

签名

作者

N、 斯隆

状态

经核准的

A198951年 G、 f.满足:A(x)=(1+x*A(x))*(1+x^3*A(x)^3)。 +10个
23
1、1、1、2、6、16、39、99、271、763、2146、6062、17359、50337、147057、431874、1275273、3786649、11298031、33846202、101762937、306997821、929038518、2819426688、8578433304、26163061776、79970186791、244938841096、751646959402、2310683396056、71151999151 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
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0,4个

评论

a(n)也是n个节点上有根标记的树的数目,每个节点有0、1、3或4个子节点。-帕特里克·德富林2012年3月4日

链接

阿洛伊斯·P·海因茨,n=0..600时的n,a(n)表

公式

G、 f.满足:

(1) A(x)=exp(和{n>=1}x^n/n*Sum{k=0..n}C(n,k)^2*x^(2*k)*A(x)^(2*k))。

(2) A(x)=(1/x)*系列反转(x/((1+x)*(1+x^3)))。

(3) a(n)=[x^n](1+x+x^3+x^4)^(n+1)/(n+1)。

(4) A(x)=exp(和{n>=1}x^n/n*(1-x^2*A(x)^2)^(2*n+1)*和{k>=0}C(n+k,k)^2*x^(2*k)*A(x)^(2*k))。

有限且有复发的有限公司:3*(n+1)*(3*n+2)*(3*n+4)*(3*n+4)*(119*n^3-210*n^2+73*n-6)*a(n)=2*(6664*n^6 6-1764*n^5-11585*n^4+426*n^3+4129*n^2-102*n-288)*a(n-1)-18*(n-1)*(1190*n^5-5-910*n^4-1937*n^3+895*n^2+606*n-216)*a(a(n)a(n-1-1)*1190*n^5-895*n^2+606*n-216)*a(n)n-2)+162*(n-2)*(n-1)*(2*n-3)*(119*n^3+147*n^2+10*n-24)*a(n-3)。-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年9月9日

a(n)~c*d^n/n^(3/2),其中d=1/81*((2144134+520506*sqrt(17))^(2/3)+112*(2144134+520506*sqrt(17))^(1/3)-2036)/(2144134+520506*sqrt(17))^(1/3)=3.234076602060970245。。。是方程-324+180*d-112*d^2+27*d^3=0和c=0.6286981954423757284622435的根。。。-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年9月9日

A(1/d)=370/243+(3*sqrt(17)/509-3070/123687)*(2144134+520506*sqrt(17))^(1/3)+(141*sqrt(17)/2072648-129529/503653464)*(2144134+520506*sqrt(17))^(2/3)=2.053716618436594614948796。。。-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年9月10日

彼得·巴拉2015年6月21日:(开始)

a(n)=1/(n+1)*和{k=0..floor(n/3)}二项式(n+1,k)*二项式(n+1,n-3*k)。将Maple的sumrecursion命令应用到这个公式中,可以得到上面Kotesovec的递归性。

更一般地说,A(x)^r中x^n的系数等于r/(n+r)*和{k=0..floor(n/3)}二项式(n+r,k)*二项式(n+r,n-3*k)。

O、 g.f.A(x)=经验(和{n>=1}A228960(n) *x^n/n),其中A228960(n) =和{k=0..floor(n/3)}二项式(n,k)*二项式(n,3*k)。囊性纤维变性。A036765号,邮编:A186241甲200731. (结束)

例子

G、 f.:A(x)=1+x+x^2+2*x^3+6*x^4+16*x^5+39*x^6+99*x^7+。。。

相关扩展:

A(x)^3=1+3*x+6*x^2+13*x^3+36*x^4+105*x^5+292*x^6+。。。

A(x)^4=1+4*x+10*x^2+24*x^3+67*x^4+200*x^5+582*x^6+。。。

g.f.的对数等于级数:

对数(A(x))=(1+x^2*A(x)^2)*x+(1+2^2*x^2*A(x)^2+x^4*A(x)^4)*x^2/2+

(1+3^2*x^2*A(x)^2+3^2*x^4*A(x)^4+x^6*A(x)^6)*x^3/3+

(1+4^2*x^2*A(x)^2+6^2*x^4*A(x)^4+4^2*x^6*A(x)^6+x^8*A(x)^8)*x^4/4+

(1+5^2*x^2*A(x)^2+10^2*x^4*A(x)^4+10^2*x^6*A(x)^6+5^2*x^8*A(x)^8+x^10*A(x)^10)*x^5/5+。。。

更明确地说,

对数(A(x))=x+x^2/2+4*x^3/3+17*x^4/4+51*x^5/5+136*x^6/6+393*x^7/7+1233*x^8/8+。。。

枫木

a: =n->coeff(级数(a=(1+x*a)*(1+x^3*a^3),a),x,n+1),x,n):

顺序(a(n),n=0..30)#海因茨2012年5月16日

数学

InverseSeries[系列[x/((1+x)*(1+x^3)),{x,0,31}],x]//系数列表[#,x]&//Rest(*让·弗朗索瓦·阿尔科弗2013年9月10日*)

黄体脂酮素

(PARI){a(n)=局部(a=1/x*serreverse(x/(1+x+x^3+x^4+x*O(x^n)));波尔科夫(a,n)}

(PARI){a(n)=波尔科夫((1+x+x^3+x^4+x*O(x^n))^(n+1)/(n+1),n)}

(PARI){a(n)=局部(a=1+x);对于(i=1,n,a=exp(sum(m=1,n,sum(j=0,m,二项式(m,j)^2*x^(2*j)*(a+x*O(x^n))^(2*j))*x^m/m));polcoeff(a,n)}

(PARI){a(n)=局部(a=1+x);对于(i=1,n,a=exp(sum(m=1,n,(1-x^2*a^2)^(2*m+1)*和(j=0,n\2,二项式(m+j,j)^2*x^(2*j)*(a^2+x*O(x^n))^j)*x^m/m));波尔科夫(a,n,x)}

交叉引用

囊性纤维变性。A198953年,A007863号,A036765号,邮编:A186241,甲200731,A228960.

关键字

,容易的

作者

保罗·D·汉娜2011年10月31日

状态

经核准的

A198953年 G、 满足^ A(x)x(A)=x(1)x(f)。 +10个
23
1、2、9、56、400、3095、25240、213633、1859006、16527544、149472480、1370794835、12718060947、1191581462835125816458458、10714275588727、10261537522564、988302823695146、9565859385140272930006254987314、9077823052666776、8892941663606408172 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
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0,2个

评论

g.f.A(x)的收敛半径r=0.095007017562450871521918431664620。。。A(r)=1.6228790124092133906198298670423120590101223122。。。其中y=A(r)满足2*y^5+6*y^4-18*y^3+6*y^2-3=0。

链接

文琴佐·利班迪,对于n=200的n,表0

公式

G、 f.A(x)满足:

(1) A(x)=exp(和{n>=1}x^n/n*Sum{k=0..n}C(n,k)^2*A(x)^(2*k))。

(2) A(x)=(1/x)*系列反转(2*x^2*(1+x)/(1-sqrt(1-4*x*(1+x)^2)))。

(3) A(x)=G(x*A(x)),其中G(x)=A(x/G(x))是A073157型(不含自由流函数的Schroeder n-路径)。

g.f.A(x)的形式逆是(sqrt((1-x^2)^2+4*x^3)-(1+x^2))/(2*x^3)。

D-有限且有复发的有限公司:2*n*(n+1)*(2*n+1)*(1275*n^5-11696*n^4+36827*n^3-40618*n^2-5828*n+253668)*a(n)=6*n*(2*n-1)*(7650*n ^6-66351*n ^5+183953*n ^4-102147*n^3-314787*n^2+450754*n-137760)*a(n-1)-6*(n-1)*(n-1-1)*(2*n-3)*(2*n-3)*(343450*n-1)*(2*n-3)*(3)*(n-3)*(n-3)*(n-425*n^6-281367*n^5+690471*n^4-86579*n^3-1831014*n^2+2230808*n-685440)*a(n-2)+6*(22950*n^8-2793778*n^7+1275447*n^6-2461807*n^5+518525*n^4+5756973*n^3-9486182*n^2+5962912*n-1303680)*a(n-3)-6*(22950*n^8-313803*n^7+163059*n^6-3736233*n^5+1886879*n^4+7909228*n^3-16107824*n^2+11531408*n-275654444)*a(n-4-4+3*3*3+2+11531408*n-2756544)*a(n-4)+3*3*3*3*3*3*3*3*3*n+3*n+(n-4)*(3*n-14)*(3*n-7)*(1275*n^5-5321*n^4+2793*n^3+12437*n^2-16992*n+5328)*a(n-5)。-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年9月19日

a(n)~c*d^n/(sqrt(Pi)*n^(3/2)),其中d=10.5255382776611313。。。是方程的根-27+108*d-108*d^2+324*d^3-72*d^4+4*d^5=0,c=0.5321376859604681226667897040658537671。。。-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年9月19日

a(n)=和{j=0..n}((和{k=0..j}((二项式(2*n+2*k+2,j-k)*二项式(n+2*k,k))/(k+n+1))*(-1)^(n-j)*二项式(2*n-j,n-j))。-弗拉基米尔·克鲁基宁2016年3月13日

例子

G、 f.:A(x)=1+2*x+9*x^2+56*x^3+400*x^4+3095*x^5+25240*x^6+。。。

相关扩展。

A(x)^2=1+4*x+22*x^2+148*x^3+1105*x^4+8798*x^5+73196*x^6+。。。

A(x)^3=1+6*x+39*x^2+284*x^3+2223*x^4+18267*x^5+155445*x^6+。。。

A(x)^4=1+8*x+60*x^2+472*x^3+3878*x^4+32948*x^5+287300*x^6+。。。

其中A(x)=1+x*(A(x)+A(x)^3)+x^2*A(x)^4。

g.f.的对数等于级数:

日志(A(x))=(1+A(x)^2)*x+(1+2^2*A(x)^2+A(x)^4)*x^2/2+

(1+3^2*A(x)^2+3^2*A(x)^4+A(x)^6)*x^3/3+

(1+4^2*A(x)^2+6^2*A(x)^4+4^2*A(x)^6+A(x)^8)*x^4/4+

(1+5^2*A(x)^2+10^2*A(x)^4+10^2*A(x)^6+5^2*A(x)^8+A(x)^10)*x^5/5+。。。

更明确地说,

对数(A(x))=2*x+14*x^2/2+122*x^3/3+1118*x^4/4+10557*x^5/5+101642*x^6/6+991916*x^7/7+。。。

数学

最大值=20;aa=ConstantArray[0,nmax];aa[[1]]=2;做[AGF=1+Sum[aa[[n]]*x^n,{n,1,j-1}]+koef*x^j;sol=解决[系数[(1+x*AGF)*(1+x*AGF)*(1+x*AGF^3)-AGF,x,j]==0,koef][[1]];aa[[j]]=koef/.sol[[1]],{j,2,nmax}}];压平[{1{1,1,aa}}]]压平{1,aa}AGF}(1(1+1,aa}AGF}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2013年9月19日*)

黄体脂酮素

(PARI){a(n)=局部(a=1+x);对于(i=1,n,a=exp(sum(m=1,n,sum(j=0,m,二项式(m,j)^2*(a+x*O(x^n))^(2*j))*x^m/m));polcoeff(a,n)}

(PARI){a(n)=polcoeff((1/x)*serreverse(2*x^2*(1+x)/(1-sqrt(1-4*x*(1+x)^2+x^3*O(x^n))),n)}

(PARI){a(n)=局部(a=1+x);对于(i=1,n,a=(1+x*a)*(1+x*(a+x*O(x^n))^3));polcoeff(a,n)}

(马克西玛)

a(n):=和((二项式(2*n+2*k+2,j-k)*二项式(n+2*k,k))/(k+n+1),k,0,j))*(-1)^(n-j)*二项式(2*n-j,n-j),j,0,n/*弗拉基米尔·克鲁基宁2016年3月13日*/

交叉引用

囊性纤维变性。甲15623,甲15624,甲15654,A007863号,A036765号,A198951年,邮编:A181734,A073157型.

关键字

作者

保罗·D·汉娜2011年10月31日

状态

经核准的

邮编:A192415 G、 f.满足:A(x)=(1+x*A(x))*(1+x^3*A(x)^2)。 +10个
17
1、1、1、2、5、11、23、51、120、286、681、1636、3985、9803、24257、60338、150931、379501、958360、24294、6179380、15769380、40361087、103579221、266471500、687098810、1775440421、45966888、11922774513、30977768907、80615085087、210103228155、548352756656、1433053608502 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
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0,4个

链接

文琴佐·利班迪,对于n=200的n,表0

公式

G、 满足:A(x)=exp(Sum{n>=1}x^n/n*Sum{k=0..n}C(n,k)^2*x^(2*k)*A(x)^k)。

D-有限且有复发的有限公司:4*(n+1)*(n+2)*(217*n^3-1239*n^2+1838*n-336)*a(n n)=6*(n+1)*(434*n^4-2261*n^3+2339*n^2+1792*n-1344)*a(n-1)-(n-1)*(2821*n^4-13286*n^3+7829*n^2+18464*n-4032)*a(n-2)+6*(868*n^5-5-6258*n^4*n-1344*n-4032)*a(n-2)+6*(868*8*n^5-5-6258*n^4+13981*n*n^3-7438*n^2-7769*n+6136)*a(n-3)+2*(n-3)*(2*n-5)*(434*n^3-1393*n^2+211*n+1048)*a(n-4)+2*(n-4)*(2*n-7)*(217*n^3-588*n^2+11*n+480)*a(n-5)。-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年9月19日

a(n)~c*d^n/(sqrt(Pi)*n^(3/2)),其中d=2.730683387097269698。。。是方程-4-8*d-24*d^2+13*d^3-12*d^4+4*d^5=0和c=2.078548317061344694159945441842754的根。。。是方程-1-67*c^2-19811*c^4+36463*c^6-41664*c^8+7936*c^10=0的根。-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年9月19日,2016年11月28日更新

a(n)=和{k=0..n/2+1}C(n-k+2,k-1)*C(n-k+2,2*k-1)/(n-k+2)。-弗拉基米尔·克鲁基宁2019年2月12日

例子

G、 f.:A(x)=1+x+x^2+2*x^3+5*x^4+11*x^5+23*x^6+51*x^7+。。。

相关扩展:

A(x)^2=1+2*x+3*x^2+6*x^3+15*x^4+36*x^5+82*x^6+190*x^7+。。。

A(x)^3=1+3*x+6*x^2+13*x^3+33*x^4+84*x^5+205*x^6+498*x^7+。。。

其中A(x)=1+x*A(x)+x^3*A(x)^2+x^4*A(x)^3。

g.f.的对数等于级数:

对数(A(x))=(1+x^2*A(x))*x+(1+2^2*x^2*A(x)+x^4*A(x)^2)*x^2/2+

(1+3^2*x^2*A(x)+3^2*x^4*A(x)^2+x^6*A(x)^3)*x^3/3+

(1+4^2*x^2*A(x)+6^2*x^4*A(x)^2+4^2*x^6*A(x)^3+x^8*A(x)^4)*x^4/4+

(1+5^2*x^2*A(x)+10^2*x^4*A(x)^2+10^2*x^6*A(x)^3+5^2*x^8*A(x)^4+x^10*A(x)^5)*x^5/5+。。。

明确地,

对数(A(x))=x+x^2/2+4*x^3/3+13*x^4/4+31*x^5/5+70*x^6/6+176*x^7/7+469*x^8/8+1228*x^9/9+3161*x^10/10+。。。

数学

aa[[1]]=1;Do[AGF=1+Sum[aa[[n[n]]]*1;Do[AGF=1+Sum[aa[[n]]*x^n,{n,1,j-1}]+koef*x^j;sol=解决[系数[(1+x*AGF)*(1+x^3*AGF^2)-AGF,x,j]==0,koef][[1]];aa[[j]]=koef/.sol[[1]],[[j]]=koef/.sol[[1]],{j,2,nmax}]]];压平[{1,aa,aa,aa[1,aa[1,1,aa[1,aa[1,}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2013年9月19日*)

黄体脂酮素

(PARI){a(n)=局部(a=1+x);对于(i=1,n,a=(1+x*a)*(1+x^3*(a+x*O(x^n))^2));波尔科夫(a,n)}

(PARI){a(n)=局部(a=1+x);对于(i=1,n,a=exp(sum(m=1,n,sum(j=0,m,二项式(m,j)^2*x^(2*j)*(a+x*O(x^n))^j)*x^m/m));polcoeff(a,n,x)}

(平价)

x='x;y='y;Fxy=(1+x*y)*(1+x^3*y^2)-y;

序号(N)={

my(y0=1+O('x^N),y1=0);

对于(k=1,N,

y1=y0-子基(Fxy,y,y0)/子基(deriv(Fxy,y),y,y0);

如果(y1==y0,break());y0=y1;

Vec(y0);

};

顺序(34)\\格奥尔赫·科塞雷亚2016年11月30日

交叉引用

囊性纤维变性。A198951年,A198953年,A198957年,A007863号,A036765号,A104545号.

关键字

作者

保罗·D·汉娜2011年11月2日

状态

经核准的

A198957年 G、 f.满足:A(x)=(1+x*A(x))*(1+x^2*A(x)^4)。 +10个
16
1、1、2、7、26、102、424、1827、8078、36466、167376、778718、3664164、17407068、83375616、40218915、1952296598、9528757098、46735576816、230227356906、1138609205372、5651170500612、28138939936704、140527262919342、703704207921932、35326644783314484、17775185122527776 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

0,3个

链接

n=0..26的n,a(n)表。

公式

G、 f.A(x)满足:

(1) A(x)=exp(和{n>=1}x^n/n*Sum{k=0..n}C(n,k)^2*x^k*A(x)^(3*k))。

(2) A(x)=(1/x)*系列反转(2*x^3*(1+x)/(1-sqrt(1-4*x^2*(1+x)^2)))。

(3) A(x)=G(x*A(x)),其中G(x)=A(x/G(x))是A104545号(长度为n的Motzkin路径,无连续(1,0)步)。

(4) A(x)=exp(和{n>=1}x^n/n*(1-x*A(x)^3)^(2*n+1)*和{k>=0}C(n+k,k)^2*x^k*A(x)^(3*k))。

a(n)=和(j=0..n/2,二项式(2*j+n,j)*二项式(2*j+n+1,4*j+1)/(n+j+1))。-弗拉基米尔·克鲁基宁2014年5月28日

a(n)~sqrt((1+2*r*s^3+3*r^2*s^4)/(2*Pi*s*(3+5*r*s))/(2*n^(3/2)*r^(n+1/2)),其中r=0.187614989725738719…,s=1.61178302212918247。。。^r*s=1*4*s的根=1+4*s)-瓦茨拉夫·科特索维奇2014年5月28日

例子

G、 f.:A(x)=1+x+2*x^2+7*x^3+26*x^4+102*x^5+424*x^6+1827*x^7+。。。

相关扩展:

A(x)^4=1+4*x+14*x^2+56*x^3+237*x^4+1028*x^5+4570*x^6+。。。

A(x)^5=1+5*x+20*x^2+85*x^3+375*x^4+1681*x^5+7660*x^6+。。。

其中A(x)=1+x*A(x)+x^2*A(x)^4+x^3*A(x)^5。

g.f.的对数等于级数:

对数(A(x))=(1+x*A(x)^3)*x+(1+2^2*x*A(x)^3+x^2*A(x)^6)*x^2/2+

^2*3(2*3)^2*3(2*3)*^3(2*3)+

(1+4^2*x*A(x)^3+6^2*x^2*A(x)^6+4^2*x^3*A(x)^9+x^4*A(x)^12)*x^4/4+

(1+5^2*x*A(x)^3+10^2*x^2*A(x)^6+10^2*x^3*A(x)^9+5^2*x^4*A(x)^12+x^5*A(x)^15)*x^5/5+。。。

更明确地说,

对数(A(x))=x+3*x^2/2+16*x^3/3+75*x^4/4+356*x^5/5+1746*x^6/6+8660*x^7/7+43299*x^8/8+。。。

另外,g.f.A(x)=g(x*A(x)),其中g(x)=A(x/g(x))(g.f.ofA104545号)开头:

G(x)=1+x+x^2+3*x^3+5*x^4+11*x^5+25*x^6+55*x^7+129*x^8+。。。

数学

系数列表[1/x*逆数列[2*x^3*(1+x)/(1-Sqrt[1-4*x^2*(1+x)^2]),{x,0,20}],x],x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2014年5月28日*)

黄体脂酮素

(PARI){a(n)=局部(a=1+x);对于(i=1,n,a=(1+x*a)*(1+x^2*(a+x*O(x^n))^4));波尔科夫(a,n)}

(PARI){a(n)=polcoeff((1/x)*serreverse(2*x^3*(1+x)/(1-sqrt(1-4*x^2*(1+x+x^3*O(x^n))^2)),n)}

(PARI){a(n)=局部(a=1+x);对于(i=1,n,a=exp(sum(m=1,n,sum(j=0,m,二项式(m,j)^2*x^j*(a^3+x*O(x^n))^j)*x^m/m));波尔科夫(a,n,x)}

(PARI){a(n)=局部(a=1+x);对于(i=1,n,a=exp(sum(m=1,n,(1-x*a^3)^(2*m+1)*和(j=0,n,二项式(m+j,j)^2*x^j*(a^3+x*O(x^n))^j)*x^m/m));波尔科夫(a,n,x)}

(最大值)a(n):=和(二项式(2*j+n,j)*二项式(2*j+n+1,4*j+1)/(n+j+1),j,0,(n)/2)/*弗拉基米尔·克鲁基宁2014年5月28日*/

(平价)

x='x;y='y;Fxy=(1+x*y)*(1+x^2*y^4)-y;

序号(N)={

my(y0=1+O('x^N),y1=0);

对于(k=1,N,

y1=y0-子基(Fxy,y,y0)/子基(deriv(Fxy,y),y,y0);

如果(y1==y0,break());y0=y1;

Vec(y0);

};

顺序(27)\\格奥尔赫·科塞雷亚2016年11月30日

交叉引用

囊性纤维变性。A198953年,A198951年,A007863号,A036765号,A104545号.

关键字

作者

保罗·D·汉娜2011年11月1日

状态

经核准的

A245049号 具有n个内部节点的混合k元树的A(n,k)个数;平方数组A(n,k),n>=0,k>=1,通过对角读取。 +10个
11
1、1、1、1、1、1、2、3、1、2、7、5、1、1、2、11、31、8、1、2、15、81、81、154、13、1、2、19、155155、684、820820820、21、21、1、2、23、253、1854、6257、4575、4575、34、1、1、2、27、375、3920、24124、60325、25、26398、98、55、1、1、2、31、521、7138、66221、33575、603641、156233、89、1、1、2、2、35、691、117614、148348、11830777、1、277、27、27、27、27、27、27、27、47363456210059,943174,144 (列表;桌子;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

0,3个

链接

阿洛伊斯·P·海因茨,对角线n=0..140,平坦

SeoungJi Hong和SeungKyung Park,混合d元树及其推广,公牛。韩国数学。Soc。51(2014),第1期,第229-235页

公式

A(n,k)=1/((k-1)*n+1)*和{i=0..n}C((k-1)*n+i,i)*C((k-1)*n+i+1,n-i)。

A(n,k)=[x^n]((1+x)/(1-x-x^2))^((k-1)*n+1/((k-1)*n+1)。

G、 f.对于k列满足:A_k(x)=(1+x*A_k(x)^(k-1))*(1+x*A_k(x)^k)。

例子

方阵A(n,k)开始:

1,1,1,1,1,1,1。。。

2,2,2,2,2,2。。。

3,7,11,15,19,23,27。。。

5,31,81,155,253,375,521。。。

8154、684、1854、3920、7138、11764。。。

1382062572412466221148348290305。。。

21457560325331575,1183077,3262975,7585749。。。

枫木

A: =(n,k)->加法(二项式((k-1)*n+i,i)*

二项式((k-1)*n+i+1,n-i),i=0..n)/((k-1)*n+1):

顺序(顺序(A(n,1+d-n),n=0..d),d=0..12;

数学

A[n,küu]:=Sum[二项式[(k-1)*n+i,i]*二项式[(k-1)*n+i+1,n-i],{i,0,n}]/((k-1)*n+1);表[A[n,1+d-n],{d,0,12},{n,0,d}]//展平(*让·弗朗索瓦·阿尔科弗2017年2月18日,译自枫叶*)

交叉引用

k=1-10列给出:A000045型(n+2),A007863号,甲15654,A239107号,A239108号,A239109号,A245050型,A245051型,A245052型,A245053型.

n=0-2行给出:A000012号,A007395号,A004767号(k-1)。

主对角线给出A245054型.

关键字

,

作者

海因茨2014年7月10日

状态

经核准的

甲15654 G、 f.满足:A(x)=(1+x*A(x)^2)*(1+x*A(x)^3)。 +10个
9
1、2、11、81、684、6257、60325、603641、6210059、65272503697898849、7566847547、82999675563、919376968734、10269588489433、115548651723889、1308374198000780、1489799318550455、170482798370871370、195957473116424402、226140080212647634411、261915716386286916342 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

0,2个

评论

更一般地说,对于固定参数p、q、r和s,如果F(x)满足:

F(x)=(1+x^r*F(x)^(p+1))*(1+x^(r+s)*F(x)^(p+q+1)),则

F(x)=exp(和{n>=1}x^(n*r)*F(x)^(n*p)/n*[和{k=0..n}C(n,k)^2*x^(k*s)*F(x)^(k*q)])。

g.f.A(x)的收敛半径r=0.0803583247291483065438962031。。。62909270(62709290531)。。。其中y=A(r)满足20*y^3-38*y^2+15*y-6=0。

r=1/(187/300*17^(2/3)+119/75*17^(1/3)+1273/300)。-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年9月17日

具有n个内部节点的混合三元树的数目。[朴和洪]。-N、 斯隆2014年3月26日

链接

文琴佐·利班迪,对于n=200的n,表0

SeoungJi Hong和SeungKyung Park,它们的杂交d-树及其推广,公牛。韩国数学。Soc。51(2014),第1期,第229-235页。见第233页。-N、 斯隆2014年3月26日

公式

G、 f.A(x)满足:

(1) A(x)=sqrt((1/x)*系列反转(x*(1-x-x^2)^2/(1+x)^2))。

(2) A(x)=exp(和{n>=1}x^n*A(x)^n/n*Sum{k=0..n}C(n,k)^2*A(x)^k)。

(3) A(x)=exp(Sum{n>=1}x^n*A(x)^(2*n)/n*Sum{k=0..n}C(n,k)^2/A(x)^k)。

(4) A(x)=和{n>=0}斐波纳契(n+2)*x^n*A(x)^(2*n)。

(5) A(x)=G(x*A(x)),其中G(x)=A(x/G(x))是A007863号(具有n个内部节点的混合二叉树的数目)。

g.f.A(x)的形式逆是(sqrt(1-2*x+5*x^2)-(1+x))/(2*x^3)。

a(n)=[x^n]((1+x)/(1-x-x^2))^(2*n+1)/(2*n+1)。

定期:100*(n-1)*n*(2*n-1)*(2*n+1)*(2*n+1)*(4913*n^3-26877*n^2+49912*n-30480)*a(n)=2*(n-1)*(2*n-1)*(2*n-1)*(62542449*n^5-40468670*n^4+4+99110119*n^3-109861414*n^2+52822608*n-8566560*a(n-1)-3*(23433501*n^7-2211943333*n^6+87905623*n^6+87905623*n*n-1-1)-3*(23433501*n^7-2211943333*^5-187987155*n^4+233161624*n^3-166253172*n^2+62010112*n-8952000)*a(n-2)+6*(n-2)*(2*n-5)*(3*n-8)*(3*n-4)*(4913*n^3-12138*n^2+10897*n-2532)*a(n-3)。-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年9月17日

(1/17*3^1/1+17*3^1/1+1/2*1/1+1/2/1(1/2/1+1/2*1/1+1/1/1/1/1/1/1/1/1/1/1/1/1/1/1/1/1/1/1/1/1/1/1/1/1/1/1/1/1/1/1/1/1/1/1/1/1/1/1/1/1/1/1/1/1/1/1。-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年9月17日

a(n)=1/(2*n+1)*和{i=0..n}C(2*n+i,i)*C(2*n+i+1,n-i)。-弗拉基米尔·克鲁基宁2019年4月4日

例子

G、 f.:A(x)=1+2*x+11*x^2+81*x^3+684*x^4+6257*x^5+60325*x^6+。。。

相关扩展。

A(x)^2=1+4*x+26*x^2+206*x^3+1813*x^4+17032*x^5+。。。

A(x)^3=1+6*x+45*x^2+383*x^3+3519*x^4+34023*x^5+。。。

A(x)^5=1+10*x+95*x^2+925*x^3+9270*x^4+95237*x^5+。。。

其中A(x)=1+x*(A(x)^2+A(x)^3)+x^2*A(x)^5。

g.f.还满足系列要求:

A(x)=1+2*x*A(x)^2+3*x^2*A(x)^4+5*x^3*A(x)^6+8*x^4*A(x)^8+13*x^5*A(x)^10+21*x^6*A(x)^12+34*x^7*A(x)^14+…+斐波纳契(n+2)*x^n*A(x)^(2*n)+。。。

因此,A(x*(1-x-x^2)^2/(1+x)^2)=(1+x)/(1-x-x^2)。

g.f.的对数等于级数:

对数(A(x))=(1+A(x))*x*A(x)+(1+2^2*A(x)+A(x)^2)*x^2*A(x)^2/2+

(1+3^2*A(x)+3^2*A(x)^2+A(x)^3)*x^3*A(x)^3/3+

(1+4^2*A(x)+6^2*A(x)^2+4^2*A(x)^3+A(x)^4)*x^4*A(x)^4/4+

(1+5^2*A(x)+10^2*A(x)^2+10^2*A(x)^3+5^2*A(x)^4+A(x)^5)*x^5*A(x)^5/5+。。。

明确地,

对数(A(x))=2*x+18*x^2/2+185*x^3/3+2006*x^4/4+22412*x^5/5+255249*x^6/6+2946155*x^7/7+34342270*x^8/8+…+L(n)*x^n/n+。。。

式中L(n)=[x^n](1+x)^(2*n)/(1-x-x^2)^(2*n)/2。

枫木

a: =n->coeff(级数(根((1+x*a^2)*(1+x*a^3)-a,a),x,n+1),x,n):

顺序(a(n),n=0..33)#海因茨2019年4月4日

数学

系数列表[Sqrt[1/x*逆数列[x*(1-x-x^2)^2/(1+x)^2,{x,0,20}],x]],x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2013年9月17日*)

黄体脂酮素

{a(a,α=1+a)(1*a,α=1+a)(1*a=1+a)

(PARI){a(n)=polcoeff(sqrt((1/x)*serreverse(x*(1-x-x^2)^2/(1+x+x*O(x^n))^2)),n)}

“打印a(1,n)”,(n)

(PARI){a(n)=局部(a=1+x+x*O(x^n));对于(i=1,n,a=exp(sum(m=1,n,sum(j=0,m,二项式(m,j)^2*a^j)*x^m*a^m/m));polcoeff(a,n)}

(PARI){a(n)=局部(a=1+x+x*O(x^n));对于(i=1,n,a=exp(sum(m=1,n,sum(j=0,m,二项式(m,j)^2/a^j)*x^m*a^(2*m)/m));波尔科夫(a,n)}

(PARI){a(n)=波尔科夫(((1+x)/(1-x-x^2+x*O(x^n))^(2*n+1)/(2*n+1),n)}

(马克西玛)

a(n):=和(二项式(2*n+i,i)*二项式(2*n+i+1,n-i),i,0,n)/(2*n+1)/*弗拉基米尔·克鲁基宁2019年4月4日*/

交叉引用

囊性纤维变性。A007863号,A198953年,甲15624,A198951年.

第k列=第3列A245049号.

关键字

作者

保罗·D·汉娜2012年8月19日

状态

经核准的

A007788号 增广andre3-有符号置换数:例如f.(1-sin(3*x))^(-1/3)。 +10个
8
1、1、4、19、136、1201、13024、165619、2425216、40132801、740882944、15091932019、336257744896、81342691015601、212309523595264、5946914908771219、177934946000306176、5663754614516217601 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

0,3个

评论

似乎所有的成员都是+3k的形式。-拉尔夫·斯蒂芬2007年11月12日

链接

文琴佐·利班迪,对于n=200的n,表0

R、 Ehrenborg和M.A.Readdy,Sheffer偏序集与r-符号置换,预印本提交给安。科学。数学。魁北克,1994年。(带注释的扫描副本)

R、 Ehrenborg和M.A.Readdy,Sheffer偏序集与r-符号置换,安。科学。数学。魁北克,19(1995年),第2号,173-196。

R、 Ehrenborg和M.A.Readdy,r-立方格与cd指数的推广,欧洲J.Combin。17(1996年),第8号,709-725。

公式

E、 g.f.:(1-sin(3*x))^(-1/3)。

a(n)~n!*2*6^n/(π^(n+2/3)*n^(1/3)*伽马(2/3))。-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年6月25日

枫木

m: =20;S:=系列((1-sin(3*x))^(-1/3),x,m+1):顺序(j!*系数(S,x,j),j=0..m#G、 C.格雷贝尔2020年3月5日

数学

使用[{nn=20},系数列表[系列[(1-Sin[3x])^(-1/3),{x,0,nn}],x]范围[0,nn]!] (*哈维·P·戴尔2011年11月23日*)

黄体脂酮素

(PARI)Vec(serlaplace((1-sin(3*x))^(-1/3)+O('x^20)))\\G、 C.格雷贝尔2020年3月5日

(MAGMA)R<x>:=幂级数(有理数(),20);系数(R!(拉普拉斯((1-Sin(3*x))^(-1/3)))//G、 C.格雷贝尔2020年3月5日

圣人

m=20;

定义A007788号_列表(prec):

<x,功率=

返回P((1-sin(3*x))^(-1/3)).list()

a=A007788号_列表(m+1);[阶乘(n)*a[n]表示n in(0..m)]#G、 C.格雷贝尔2020年3月5日

交叉引用

囊性纤维变性。A007863号,A235135号,A235132型.

关键字

作者

R、 Ehrenborg(ehrenbor(AT)lacim.uqam.ca)和M.A.Readdy(Readdy(AT)lacim.uqam.ca)

状态

经核准的

A193589号 Fibonacci三角形的扩充邮编:A193588。请参阅注释。 +10个
6
1、1、2、1、4、7、1、6、18、31、1、8、33、90、154、1、10、52、185、481、820、1、12、75、324、1065、2690、4575、1、14、102、515、2006、6276、15547、26398、1、16、133、766、3420、12468、37711、92124、156233、1、18、168、1085、5439、22412、78030、230277 (列表;桌子;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

0,3个

评论

有关应用于三角数组或多项式序列的一元运算扩充的介绍,请参阅A193091号.

关于A193589号,如果三角形写为(w(n,k)),则w(n,n)=A007863号(n) ;w(n,n-1)=A011270型;以及

(第3列)=A033537号.

链接

n=0..52的n,a(n)表。

例子

前5行邮编:A193588:

1

1….2

1….2….3

1….2….3….5

1…2…3…5…8

前5行A193589号:

1

1….2

1….4….7

1….6….18…31

1…8…33…90…154

数学

p[n,kéu]:=斐波纳契[k+2]

表[p[n,k],{n,0,5},{k,0,n}](*A158938号*)

m[n}:=表[如果[i<=j,p[n+1-i,j-i],0],{i,n},{j,n+1}]

表格[m[4]]

w[0,0]=1;w[1,0]=p[1,0];w[1,1]=p[1,1];

v[0]=w[0,0];v[1]={w[1,0],w[1,1]};

v[n_u]:=v[n-1].m[n]

TableForm[表[v[n],{n,0,6}]](*A193589号*)

展平[表格[v[n],{n,0,8}]]

交叉引用

囊性纤维变性。A193091号,邮编:A193588.

关键字

,

作者

克拉克·金伯利2011年7月31日

状态

经核准的

A011270型 具有n个节点且根标记为“n”的杂交二叉根树。 +10个
4
1、1、4、18、90、481、2690、15547、92124、556664、3417062、21248966、133576724、847465593、5419399722、34895368578、2260505073778、1472170887555、9633297762870、6330540213336、417612181048826、2764492667188504、18358282050480384、122265756020847943 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

0,3个

链接

阿洛伊斯·P·海因茨,n=0..500时的n,a(n)表

Nancy S.S.Gu、Nelson Y.Li和Toufik Mansour,二叉树:双射及相关问题,配电盘。数学,308(2008),1209-1221。

J、 帕洛先生,混合二叉树的列表与随机生成《国际计算机数学杂志》,501994,135-145。

系列反转的索引项

与根树相关的序列的索引项

公式

G、 f.:=1+x*G(x)^2,其中G(x)是G.fA007863号.

x-(x/(1-x))^2=0,1,-1,-2,-3,-4,-5。。。-奥利维尔·杰拉德2001年7月5日

a(n)=(2/(n+2))*和{j=0…n}二项式(n+j+1,n+1)*二项式(n+j+2,n-j)。-弗拉基米尔·克鲁基宁2010年12月24日

G、 f.A(x)满足:A(x)=1/(1-和{k>=1}k*x^k*A(x)^k)。-伊利亚·古特科夫斯基2018年4月10日

枫木

G: =proc(n)选项记住;如果n<=0,则1 else convert(series(

(x^2*G(n-1)^3+x*G(n-1)^2+1)/(1-x),x=0,n+1),多项式)fi

结束:

a: =n->系数(1+x*G(n-1)^2,x,n):

顺序(a(n),n=0..20)#海因茨2008年8月22日

#第二个枫树计划:

a: =proc(n)option记住;`if`(n<3,[1,1,4][n+1](

6*n*(210*n^2-411*n+163)*a(n-1)-4*(n-2)*(7*n-6)*(5*n-3)*a(n-2)

+2*(n-3)*(2*n-3)*(35*n-16)*a(n-3))/(5*n*(n+1)*(35*n-51)))

结束:

顺序(a(n),n=0..25)#海因茨2013年5月18日

数学

a[0]=1;a[n_u]:=n*超几何pfq[{1-n,n+1,n+2},{3/2,2},-1/4];表[a[n],{n,0,25}](*让·弗朗索瓦·阿尔科弗2015年4月2日,之后弗拉基米尔·克鲁基宁*)

交叉引用

囊性纤维变性。A011272号.

关键字

作者

帕罗(AT)u-bourgogne.fr(让·帕洛)

状态

经核准的

第1页2

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