搜索： a007606-编号：a007605
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A000290型
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| 正方形：a（n）=n^2。
（原名M3356 N1350）
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+10
3129
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0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401, 2500
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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要测试一个数字是否是正方形，请参阅科恩，第40页-N.J.A.斯隆2011年6月19日
从n开始，加上下一个数字，减去上一个数字，依此类推，最后减去a 1:a（n）=n+（n+1）-（n-1）+（n+2）-（n-2）+（n+3）-（n-3）+…+（2n-1）-1=n^2-阿玛纳斯·穆尔西2004年3月24日
1949年5月6日，EDSAC上电子计算机计算出的第一个序列（见Renwick链接）-俄罗斯考克斯2006年4月20日
数k，使得虚二次域Q（sqrt（-k））有四个单位-马克·勒布伦2006年4月12日
如果2集Y和（n-2）集Z是n集X的不相交子集，则（n-2-米兰Janjic2007年9月19日
将a编号为a^1/2+b^1/2=c^1/2和a^2+b=c-西诺·希利亚德，2008年2月7日（此评论需要澄清，乔格·阿恩特2013年9月12日）
当n>0时，6^（n-1）的除数-J.洛厄尔2008年8月30日
a（n）是总和2^2+2^2+…+的所有分区数2^2，（n-1）次，转换为2的幂-瓦伦丁·巴科耶夫2009年3月3日
a（n）是n X n板中可以“打开”的最大方块数，以便在应用操作后所有方块都“关闭”：在任何2 X 2子板中，如果其他三个方块都关闭，则一个方块从“打开”变为“关闭”-Srikanth K S公司2009年6月25日
除了第一项，这个序列是Pi^2/6=1+1/4+1/9+1/16+1/25+1/36+…的分母-穆罕默德·阿扎里安2011年11月1日
Drmota、Mauduit和Rivat证明了沿着正方形的Thue-Morse序列是正常的；看见A228039号. -乔纳森·桑多2013年9月3日
a（n）可以分解为四个数之和[二项式（n，1）+二项式A007318号，或两个数字之和[二项式（n，2）+二项式的（n+1，2）]，或这两个数字的差[二项制（n+2，3）-二项式[n，3）]-约翰·莫洛卡赫2013年9月26日
就三角形拼接而言，边长为n的等边三角形内边长为1的等边三角的数量-K.G.斯蒂尔2013年10月30日
B_n和C_n型根系中的正根数（当n>1时）-汤姆·埃德加2013年11月5日
对于n>0，a（n）是最大的整数k，使得k^2+n是k+n的倍数。更一般地说，对于m>0和n>0来说，使k^（2*m）+n是k+n的倍数的最大整数k由k=n^（2*m）给出-德里克·奥尔2014年9月3日
对于n>0，a（n）是n+5到n个部分的组成数，避免了第2部分-米兰Janjic2016年1月7日
对于n>=3，a（n）也是具有n个顶点的循环图的所有连通子树的数目-维克塔·卡拉奇尼亚，2016年3月2日
在每一个具有偶数个元素的自然连续数序列上，序列的后半部分的总和减去序列的前半部分的总数总是平方。示例：从61到70的序列具有偶数个元素（10）。则61+62+63+64+65=315；66+67+68+69+70=340；340 - 315 = 25. （n/2）^2表示n=元素数量-塞萨尔·阿奎莱拉2016年6月20日
在从n^2到（n+1）^2的每一个自然连续数序列上，每一个可能组合中两半元素对的差之和总是（n+1）^2-塞萨尔·阿奎莱拉2016年6月24日
假设两个半径为1的圆彼此相切，并且与不通过切点的直线相切。创建与两个圆以及直线相切的第三个圆。如果继续这个过程，对于n>0，a（n）是圆半径的倒数，从最大的圆开始-梅尔文·佩拉尔塔2016年8月18日
费曼三角形问题的泛化解的分子，偏移量为2。如果三角形的每个顶点都沿对边与点（1/p）相连（例如顺时针测量），则由这些直线形成的内部三角形的面积等于（p-2）^2/（p^2-p+1）乘以原始三角形的面积，p>2。例如，当p=3时，面积比为1/7。面积比的分母由下式给出A002061号[Cook&Wood，2004年]-乔·马拉斯科2017年2月20日
二项式系数恒等式和{k=0..n}（-1）^（n+k+1）*二项式（n，k）*二项式（n+k，k）x（n-k）=n^2的右端-彼得·巴拉2022年1月12日
猜想：对于n>0，min{k，存在{0,1,2，…，A（n）-1}的子集A，B，使得|A|=|B|=k，并且A+B包含{0,12,2，……，A（n）-1-}}=n-迈克尔·朱2022年3月9日
避免模式132、213、321的n个元素的三次突变数。请参见博尼肯和太阳-米歇尔·马库斯2022年8月20日
2n阶循环拉丁方格中的插入数（奇数阶循环拉丁方没有插入）-爱德华·瓦图丁2024年2月15日
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参考文献
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链接
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公式
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通用格式：x*（1+x）/（1-x）^3。
例如：exp（x）*（x+x^2）。
Dirichlet g.f.：zeta（s-2）。
a（n）=a（-n）。
所有矩阵元素M（i，j）之和=2*i/（i+j）（i，j=1..n）。a（n）=求和{i=1..n}求和{j=1..n{2*i/（i+j）-亚历山大·阿达姆楚克2004年10月24日
a（0）=0，a（1）=1，a（n）=2*a（n-1）-a（n-2）+2-米克洛斯·克里斯托夫2005年3月9日
a（n）是从1到2×n-1的奇数之和。
a（0）=0，a（1）=1，然后a（n）=a（n-1）+2*n-1。（结束）
[1,3,2,0,0,0，…]的二项式变换-加里·亚当森2007年11月21日
a（n）=二项式（n+1，2）+二项式。
这个序列可以从以下通用公式推导出来（参见。A001286号,A000330号)：n*（n+1）**（n+k）*（n+（n+1）+…+（n+k））/（k+2）*（k+1）/2）。实际上，使用算术级数之和的公式（n+（n+1）+…+（n+k））=（2*n+k，）*（k+1）/2通式可以改写为：n*（n+1）**（n+k）*（2*n+k”）/（k+2）！因此，对于上述k=0，通式退化为n*（2*n+0）/（0+2）=n^2-亚历山大·波沃洛茨基2008年5月18日
根据（4）递推公式a（n+3）=3*a（n+2）-3*a（n+1）+a（n）和a（1）=1，a（2）=4，a（3）=9-阿图尔·贾辛斯基2008年10月21日
递归a（n+3）=3*a（n+2）-3*a（n+1）+a（n）由a（3）中的所有k次序列满足，其中a（0）=0，a（1）=1，a（2）=k-杰姆·奥利弗·拉丰2008年11月18日
a（n）=a（n-1）+a（n-2）-a（n-3）+4，n>2-加里·德特利夫斯2010年9月7日
a（n+1）=Integral_{x>=0}exp（-x）/-格鲁·罗兰2010年12月8日
长度-2序列的欧拉变换[4，-1]-迈克尔·索莫斯2011年2月12日
求和{n>=1}1/a（n）^k=（2*Pi）^k*B_k/（2*k！）=zeta（2*k），Bernoulli数B_k=-1，1/6，1/30，1/42。。。对于k>=0。请参见A019673号,1950年/10等[Jolley等式319]。
求和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）^k=2^（k-1）*Pi^k*（1-1/2^（k-1））*B_k/k！[Jolley方程320]，其中B_k如上所述。
a（2*a（n）+2*n+1）=a（2*1（n）+2*n）+a（2*n+1）-弗拉基米尔·舍维列夫2014年1月24日
a（n+1）=和{t1+2*t2+…+n*tn=n}（-1）^（n+t1+t2+…+tn）*多项式（t1+t2+…+tn，t1，t2，…，tn）*4^（t1）*7^（t2）*8^-米尔恰·梅卡2014年2月27日
a（n）=楼层（1/（1-cos（1/n）））/2=楼层（1/1（1-n*sin（1/n，）））/6，n>0-克拉克·金伯利，2014年10月8日
a（n）=上限（总和{k>=1}log（k）/k^（1+1/n））=-Zeta'[1+1/n]。因此，对k应用任何大于1的指数都会产生收敛。分数部分从A073002美元=0.93754…当n=1时，缓慢收敛到0.9271841545163232…对于大n-理查德·福伯格2014年12月24日
a（n）=总和{j=1..n}总和{i=1..nneneneep上限（（i+j-n+1）/3）-韦斯利·伊万·赫特2015年3月12日
a（n）=产品{j=1..n-1}2-2*cos（2*j*Pi/n）-米歇尔·马库斯2015年7月24日
产品{n>=1}（1+1/a（n））=sinh（Pi）/Pi=156648英镑.
求和{n>=0}1/a（n！）=BesselI（0，2）=A070910型.（结束）
a（n）=Sum_{i=1..2*n-1}天花板（n-i/2）-斯特凡诺·斯佩齐亚2021年4月16日
a（n）=总和{k=1..n}psi（n/gcd（n，k））。
a（n）=总和{k=1..n}psi（gcd（n，k））*φ。
a（n）=总和{k=1..n}σ_2（n/gcd（n，k））*mu（gcd（n，k））/phi（n/gccd（n、k））。
a（n）=Sum_{k=1..n}sigma_2（gcd（n，k））*mu（n/gcd（n，k））/phi（n/gcd（n，k））。（结束）
a（n）=和{k=1..n}σ_1（k）+和{i=1..n{（n模i）-瓦迪姆·卡塔耶夫2022年12月7日
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例子
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对于n=8，a（8）=8*15-（1+3+5+7+9+11+13）-7=8*15-49-7=64-布鲁诺·贝塞利2010年5月4日
G.f.=x+4*x^2+9*x^3+16*x^4+25*x^5+36*x^6+49*x^7+64*x^8+81*x^9+。。。
a（4）=16。对于n=4个顶点，循环图C4是A-B-C-D-A。子树是：4个单根：A，B，C，D；4对：A-B、BC、C-D、A-D；4个三元组：A-B-C、B-C-D、C-D-A、D-A-B；4个四边形：A-B-C-D、B-C-D-A、C-D-A-B、D-A-B-C；4 + 4 + 4 + 4 = 16. -维克塔·卡拉奇尼亚，2016年3月2日
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MAPLE公司
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数学
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线性递归[{3，-3，1}，{0，1，4}，60](*文森佐·利班迪2015年7月24日*）
系数列表[级数[-（x^2+x）/（x-1）^3，{x，0，50}]，x](*罗伯特·威尔逊v2018年7月23日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[0..1000]]中的n^2:n；
（PARI）{a（n）=n^2}；
（PARI）b000290（maxn）=用于（n=0，maxn，打印（n，“”，n^2）；）\\安纳托利·沃埃武德科2015年11月11日
（哈斯克尔）
a000290=（^2）
a000290_list=扫描（+）0[1，3..]--莱因哈德·祖姆凯勒2012年4月6日
（Scala）（0到59）.map（n=>n*n）//阿隆索·德尔·阿特2019年10月7日
（Python）#请参阅Hobson链接
（Python）
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交叉参考
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参见。A092205号,A128200个,A005408号,A128201型,A002522号,A005563号,A008865号,A059100型,A143051号,A143470型,A143595号,A056944号,A001157号（逆Möbius变换），A001788号（二项式变换），A228039号,A001105号,A004159号,A159918号,A173277号,A095794号,A162395号,A186646号（比萨诺时期），A028338号（第二对角线）。
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关键词
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非n,核心,容易的,美好的,多重,改变
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A000384号
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| 六边形数：a（n）=n*（2*n-1）。
（原名M4108 N1705）
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+10
430
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0, 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, 630, 703, 780, 861, 946, 1035, 1128, 1225, 1326, 1431, 1540, 1653, 1770, 1891, 2016, 2145, 2278, 2415, 2556, 2701, 2850, 3003, 3160, 3321, 3486, 3655, 3828, 4005, 4186, 4371, 4560
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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熵函数H（x）=（1+x）log（1+x）+（1-x）log（1-x）的幂级数展开式具有1/a_i作为x^（2i）的系数（奇数项为零）托马索·托福利（tt（AT）bu.edu），2002年5月6日
更一般地说，如果p1和p2是两个任意选择的不同素数，那么a（n）是（p1^2*p2）^（n-1）的除数，或者是A054753号^（n-1）-蚂蚁王，2011年8月29日
众所周知，对于n>0，A014105号（n） [0,3,10,21，…]是2n+1个连续整数中的第一个，使得第一个n+1个这样的整数的平方和等于最后一个n的平方和；例如，10^2+11^2+12^2=13^2+14^2。
鲜为人知的是，对于n>1，a（n）[0,1,6,15,28，…]是2n个连续整数中的第一个，因此前n个此类整数的平方和等于最后n-1的平方和加上n^2；例如，15^2+16^2+17^2=19^2+20^2+3^2-查理·马里恩，2006年12月16日
从0开始，沿0、6、……方向读取行，找到序列。。。和从1开始的直线，在方向1，15。。。，在顶点为广义六边形数的方形螺旋中A000217号. -奥马尔·波尔2009年1月9日
设Hex（n）=六角形数，T（n）=三角形数，则Hex（n）=T（n”）+3*T（n-1）-文森佐·利班迪2010年11月10日
对于n>=1，1/a（n）=和{k=0..2*n-1}（（-1）^（k+1）*二项式（2*n-1，k）*二项式（2xn-1+k，k）*H（k）/（k+1。
从划分为象限的正方形的n种颜色中选择任意2种颜色的可能不同颜色的数目-保罗·克利里2010年12月21日
对于n>0，a（n-1）是三元组（w，x，y）的数目，所有项都在{0，…，n}中，max（|w-x|，|x-y|）=|w-y|-克拉克·金伯利2012年6月12日
设一个三角形有T（0,0）=0和T（r，c）=|r^2-c^2|。第（n）行和第（n-1）行中的术语之差之和为a（n）-J.M.贝戈2013年6月17日
a（n）是正好有两个1的长度为2n的二元序列的数目。a（2）=6，因为我们有：{0,0,1,1}，{0,1,0}，}，1,0,1,1}，2,0,1}。带插值零点的普通生成函数是：（x^2+3*x^4）/（1-x^2）^3-杰弗里·克雷策2014年1月2日
对于n>0，a（n）是最大整数k，使得k^2+n^2是k+n的倍数。更一般地，对于m>0和n>0，使得k^（2*m）+n^（2*m）是k+n的倍数的最大整数k由k=2*n^（2*m）-n给出-德里克·奥尔2014年9月4日
（0,1,4,0,0,0，…）的二项式变换和（0,1，4,4,…）的第二部分和-加里·亚当森2015年10月5日
a（n）还给出了当n>=4时单李代数D_n的维数-沃尔夫迪特·朗2015年10月21日
对于n>0，a（n）等于n+11的n部分组成的数量，避开第2、3、4部分-米兰Janjic2016年1月7日
同时给出了n-鸡尾酒会图中最小控制集和最大无冗余集的个数-埃里克·韦斯特因2017年6月29日和8月17日
正如Beedassy的公式所示，这个六角数列是三角形数列的奇数平分。这两个序列都是比喻数字序列。对于A000384号，a（n）可以通过将其三角形数乘以其六边形数得到。例如，让我们使用数字153。153据说是第17个三角形数，但也被认为是第9个六边形数。三角形（17）六边形（9）。17*9=153. 因为六边形数列是三角形数列的子集，所以六边形的数列总是既有三角形数又有六边形数。n*（2*n-1），因为（2*n-1）呈现三角形编号-布鲁斯·尼克尔森2017年11月5日
另外，数字k具有以下性质：在sigma（k）的对称表示中，最小的Dyck路径具有中心谷，最大的Dycl路径具有中心峰，n>=1。因此，所有大于0的六边形数都有中间除数。（参见。A237593型.) -奥马尔·波尔，2018年8月28日
素数n和k=2..n-1的k^a（n-1）modn=1-约瑟夫·舒尼亚2019年2月10日
似乎这些是数字k，其性质是sigma（k）对称表示中的最小子部分为1-奥马尔·波尔2021年8月28日
第n个六角形数等于从2*n-1开始具有相同奇偶校验的n个连续整数的和；例如，1、2+4、3+5+7、4+6+8+10等。通常，第n个2k-角数是从（k-2）*n-（k-3）开始具有相同奇偶校验的n个连续整数的和。当k=1和2时，此结果生成正整数，A000027号和方块，A000290型分别是-查理·马里恩2022年3月2日
猜想：对于n>0，min{k，存在{0,1,2，…，A（n）}的子集A，B，使得|A|=|B|=k和A+B={0,12,2，……，2*A（n-迈克尔·朱2022年3月9日
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参考文献
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阿尔伯特·贝勒，《数字理论中的再现》，纽约州多佛市，1964年，第189页。
Louis Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第77-78页。（在第77页的积分公式中，余弦参数缺少左括号。）
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L.E.Dickson，《数字理论史》。卡内基公共研究所。256，华盛顿特区，第1卷，1919年；1920年第2卷；1923年第3卷，见第2卷，第2页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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Elena Deza和Michel Deza，数字：书的呈现2011年10月7日至9日，第三届蒙特利尔多伦多数字理论研讨会。
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乔纳森·博文（Jonathan M.Borwein）、德克·努延斯（Dirk Nuyens）、阿明·斯特劳布（Armin Straub）和詹姆斯·万（James Wan），随机游动积分《拉马努扬日报》，2011年10月，26:109。DOI:10.1007/s11139-011-9325-y。
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西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近，魁北克蒙特利尔大学论文，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
米歇尔·沃尔德施米特，连续分数2015年5月18日至29日：Oujda（Maroc）。
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公式
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例如：exp（x）*（x+2x^2）-保罗·巴里2003年6月9日
通用格式：x*（1+3*x）/（1-x）^3-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中，去掉了最初的零
a（n）=M^n*[1,0,0]的右项，其中M=3X3矩阵[1,0,1,0；1,1,0；1,4,1]。例如：a（5）=45，因为M^5*[1,0,0]=[1,5,45]-加里·亚当森2006年12月24日
从偏移量1开始，=[1,5,4,0,0,0，…]的二项式变换。也，A004736号* [1, 4, 4, 4, ...]. -加里·亚当森，2007年10月25日
（n）^2+（a（n）+1）^2+…+（a（n）+n-1）^2=（a（n）+n+1）^2+…+（a（n）+2n-1）^2+n^2；例如，6^2+7^2=9^2+2^2；28^2 + 29^2 + 30^2 + 31^2 = 33^2 + 34^2 + 35^2 + 4^2. -查理·马里恩2007年11月10日
a（n）=二项式（n+1,2）+3*二项式。
a（n）=3*a（n-1）-3*a（n2）+a（n-3），a（0）=0，a（1）=1，a（2）=6-杰姆·奥利弗·拉丰2008年12月2日
a（n）=a（n-1）+4*n-3（a（0）=0）-文森佐·利班迪2010年11月20日
a（n）=2*a（n-1）-a（n-2）+4-蚂蚁王2011年8月26日
a（4*a（n）+7*n+1）=a（4*1（n）+7*n）+a（4xn+1）-弗拉基米尔·舍维列夫2014年1月24日
和{n>=1}（-1）^n/a（n）=log（2）-Pi/2-瓦茨拉夫·科特索维奇2018年4月20日
a（n+1）=三项式（2*n+1，2）=三项式（2xn+1，4*n），对于n>=0，带有三项式不规则三角形A027907号.a（n+1）=（n+1”）*（2*n+1）=（1/Pi）*Integral_{x=0..2}（1/sqrt（4-x^2））*（x^2-1）^（2*n+1）*R（4*n-2，x），其中R多项式系数在A127672号[Comtet，p.77，q=3，n->2*n+1，k=2的积分公式，用x=2*cos（phi）重写]-沃尔夫迪特·朗2018年4月19日
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MAPLE公司
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数学
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线性递归[{3，-3，1}，{0，1，6}，50](*哈维·P·戴尔2015年9月10日*）
连接[{0}，累加[Range[1，312，4]]](*哈维·P·戴尔2016年3月26日*）
（*对于Mathematica 10.4+*）表[PolygonalNumber[RegularPolygon[6]，n]，{n，0，48}](*阿尔卡迪乌斯·韦索洛夫斯基2016年8月27日*）
系数列表[级数[x*（1+3*x）/（1-x）^3，{x，0，100}]，x](*斯特凡诺·斯佩齐亚2018年9月2日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=n*（2*n-1）
（PARI）a（n）=二项式（2*n，2）\\阿尔图·阿尔坎2015年10月6日
（哈斯克尔）
a000384 n=n*（2*n-1）
a000384_list=扫描（+）0 a016813_list
（Python）#用于计算序列的初始段，而不是孤立项。
定义aList（）：
x、 y=1，1
产量0
为True时：
收益率x
x、 y=x+y+4，y+4
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 1, 1, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 2, 7, 3, 1, 1, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 3, 12, 4, 1, 1, 1, 1, 4, 4, 4, 4, 2, 1, 1, 2, 4, 15, 5, 2, 1, 1, 2, 5, 5, 3, 5, 5, 2, 2, 2, 2, 5, 9, 9, 6, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 6, 6, 6, 6, 3, 1, 1, 1, 1, 3, 6, 28, 7, 2, 2, 1, 1, 2, 2, 7, 7, 7, 7, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 7, 12, 12, 8, 3, 1, 2, 2, 1, 3, 8, 8, 8, 8, 8, 3, 2, 1, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,4
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评论
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此外，按行读取的不规则三角形，其中T（n，k）是第n个对称区域组的第k个区域（升序对角线中从左到右）的面积（降序对角线上从上到下），该区域组位于无限阶梯金字塔透视图的二维图中，如A245092型（请参阅链接部分中的图表）。
第n级的立方体数量也为A024916号（n） ，所有正整数<=n的所有除数之和。
请注意，此金字塔也是中描述的金字塔的四分之一A244050型两座金字塔都有无限多个层次。
从阶梯金字塔的前视图中可以看到一个几何图案，它与A001227号，正整数的奇数除数。
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链接
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例子
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不规则三角形开始于：
1;
1, 1;
三；
2, 2;
2, 2;
2, 1, 1, 2;
7；
3, 1, 1, 3;
3, 3;
3, 2, 2, 3;
12;
4, 1, 1, 1, 1, 4;
4, 4;
4, 2, 1, 1, 2, 4;
15;
5, 2, 1, 1, 2, 5;
5, 3, 5;
5, 2, 2, 2, 2, 5;
9, 9;
6, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 6;
6, 6;
6, 3, 1, 1, 1, 1, 3, 6;
28;
7, 2, 2, 1, 1, 2, 2, 7;
7, 7;
7, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 7;
12, 12;
8、3、1、2、2、1、3、8；
8, 8, 8;
8, 3, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 8;
31;
9, 3, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 9;
...
奇数三角形诱导行的图示为西格玛对称表示图，也是阶梯金字塔的俯视图：
.
1 1=1|_|||||||||||||||||
2 3 = 3 |_ _|_| | | | | | | | | | | | | |
3 4 = 2 + 2 |_ _| _|_| | | | | | | | | | | |
4 7 = 7 |_ _ _| _|_| | | | | | | | | |
5 6 = 3 + 3 |_ _ _| _| _ _|_| | | | | | | |
6 12 = 12 |_ _ _ _| _| | _ _|_| | | | | |
7 8 = 4 + 4 |_ _ _ _| |_ _|_| _ _|_| | | |
8 15 = 15 |_ _ _ _ _| _| | _ _ _|_| |
9 13 = 5 + 3 + 5 |_ _ _ _ _| | _|_| | _ _ _|
10 18=9+9|_____|__|__||
11 12 = 6 + 6 |_ _ _ _ _ _| | _| _| _|
12 28 = 28 |_ _ _ _ _ _ _| |_ _| _|
13 14 = 7 + 7 |_ _ _ _ _ _ _| | _ _|
14 24 = 12 + 12 |_ _ _ _ _ _ _ _| |
15 24 = 8 + 8 + 8 |_ _ _ _ _ _ _ _| |
16 31 = 31 |_ _ _ _ _ _ _ _ _|
...
上图来自一个简单的图，如下所示。
均匀诱导的三角形行的图示，如阶梯金字塔角部的展开前视图：
.
级别__
1 _|1|1|_
2 _|2 _|_ 2|_
3 _|2 |1|1| 2|_
4 _|3 _|1|1|_ 3|_
5 _|3 |2 _|_ 2| 3|_
6 _|4 _|1|1|1|1|_ 4|_
7 _|4 |2 |1|1| 2| 4|_
8 _|5 _|2 _|1|1|_ 2|_ 5|_
9 _|5 |2 |2 _|_ 2| 2| 5|_
10 _|6 _|2 |1|1|1|1| 2|_ 6|_
11 _|6 |3 _|1|1|1|1|_ 3| 6|_
12 _|7 _|2 |2 |1|1| 2| 2|_ 7|_
13_|7|3|2_|1|_2|3|7|_
14 _|8 _|3 _|1|2 _|_ 2|1|_ 3|_ 8|_
15 _|8 |3 |2 |1|1|1|1| 2| 3| 8|_
16 |9 |3 |2 |1|1|1|1| 2| 3| 9|
...
图表左侧的水平线段数量加上右侧的水平线段的数量等于A054844号（n） ●●●●。
该图表示金字塔的前16层。
等腰三角形和阶梯金字塔之间的联系是因为这个物体也可以被解释为弹出卡-奥马尔·波尔2022年11月9日
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交叉参考
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阶梯金字塔中可见的著名序列：
参见。A013661号（zeta（2））。。。。。。。。。。。。。，（水平面面积）/（n^2），n->oo。
阶梯状金字塔中可见的其他序列：A000096号,A001065号,A001359号,A001747号,A002939号,A002943号,A003056号,A004125号,A004277号,A004526号,A005279号,A006512号,A007606号,A007607号,A082647号,A008438号,A008578号,A008864号,A010814号,A014106号,A014107号,A014132号,A014574号,A016945号,A019434号,A024206号,A024916号,A028552号,A028982号,A028983号,A034856号,A038550号,A047836号,A048050型,A052928号,A054735号,A054844号,A062731号,A065091号,A065475型,A071561号,A071562号,A071904号,A092506号,A100484号,A108605号,A139256个,A139257号,144396英镑,A152677号,A152678号,A153485型,A155085号,A161680号,A161983号,A162917号,A174905号,A174973号,A175254号,A176810号,A224880型,A235791型,A237270型,A237271号,A237591型,A237593型,23805加元,A238524型,A244049型,A245092型,A259176型,A259177型,A261348型,A278972型,A317302型,A317303型,A317304型,A317305型,A317307型,A319529型,A319796型,A319801型,A319802型,A327329型,A336305、（以及其他几个）。
参见。A054844号,A131507号,A196020型,A236104型,A237048型,A239660型,A244050型,A259179号,A261350型,A261697型,A261699型,A262612型,A280850型,A286000型,A286001型,2008年2月.
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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1, 3, 4, 7, 8, 9, 13, 14, 15, 16, 21, 22, 23, 24, 25, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 133, 134, 135
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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链接
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公式
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a（n）=n+t（t+1）/2，其中t=楼层（（-1+sqrt（8*n-7））/2）-鲍里斯·普蒂夫斯基2012年12月13日
a（n）=（2*n-r+r^2）/2，其中r=圆形（sqrt（2*n））-韦斯利·伊万·赫特2021年9月20日
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数学
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f[x_]：=模块[{c=1-x+x^2}，范围[c，c+x-1]]；展平[Array[f，20]](*哈维·P·戴尔2012年7月31日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a004201 n=a004201_列表！！（n-1）
a004201_list=f 1[1..]其中
f k xs=us++f（k+1）（下降（k）vs）其中（us，vs）=splitAt k xs
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交叉参考
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关键词
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非n,美好的
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作者
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亚历山大·斯塔辛斯基
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状态
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经核准的
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2, 5, 6, 10, 11, 12, 17, 18, 19, 20, 26, 27, 28, 29, 30, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,1
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评论
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链接
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公式
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例子
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a=（1,3,4,7,8,9,13,14，…）=A004201号=a或b中尚未出现的最小值>0；
b=（2,5,6,10,11,12,17,18，…）=A004202号=a+s。
作为三角形阵列
2;
5, 6;
10, 11, 12;
17, 18, 19, 20;
（结束）
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数学
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a=表[n，{n，1210}]；b={}；Do[a=删除[a，{1，n}]；b=附加[b，取[a，{1，n}]]；a=下降[a，{1，n}]，{n，1，14}]；压扁[b]
a[n_]：=如果[n<1，0，其中[{m=圆形@平方[2n]}，n+m（m+1）/2]]；(*迈克尔·索莫斯2019年5月3日*）
Take[#，（-Length[#]）/2]&/@模块[{nn=20}，TakeList[Range[nn+nn^2]，2*Range[nn]]//展平（*需要Mathematica版本10或更高版本*）(*哈维·P·戴尔2019年5月13日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a004202 n=a004202_列表！！（n-1）
a004202_list=skipTake 1[1..]其中
skipTake k xs=take k（drop k xs）++skipTage（k+1）（drop（2*k）xs
（PARI）{a（n）=my（m）；如果（n<1，0，m=圆形（sqrt（2*n））；n+m*（m+1）/2）}/*迈克尔·索莫斯2019年5月3日*/
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交叉参考
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关键词
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作者
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亚历山大·斯塔辛斯基
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经核准的
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1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0
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评论
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视为按行读取的三角形：T（n，k）=n mod 2，1<=k<=n-莱因哈德·祖姆凯勒2011年3月18日
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参考文献
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K.H.Rosen，《离散数学及其应用》，1999年，第四版，第79页，练习10（g）。
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链接
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公式
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a（n）=（1-（-1））^A002024号（n） ）/2，其中A002024号（n） =圆形（sqrt（2*n））Antonio G.Astudillo（afg_Astudillo（AT）hotmail.com），2003年2月23日
通用公式：x/（1-x）*sum_{n>=0}（-1）^n*x^（n*（n+1）/2）-米尔恰·梅卡2014年3月5日
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MAPLE公司
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#备选Maple计划：
T： =n->[irem（n，2）$n][]：
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数学
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扁平[表[{PadRight[{}，n，1]，PadRight[{}，n+1，0]}，{n，1，21，2}]](*哈维·P·戴尔2015年6月7日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a057211 n=a057211_列表！！（n-1）
a057211_list=concat$zipWith（$）（映射复制[1..]）a059841_list
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交叉参考
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关键词
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作者
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本·泰纳（泰纳（AT）phys.uf.edu），2000年9月27日
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扩展
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状态
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经核准的
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2, 3, 7, 8, 9, 10, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,1
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评论
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用sigma（k）对称表示的最小Dyck路径具有中心峰的性质对k进行编号。（参见。A237593型.) -奥马尔·波尔，2018年8月28日
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参考文献
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R.Honsberger，《数学宝石III》，M.A.A.，1985年，第177页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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公式
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通用公式：1/（1-x）*（1/（1-x）+x*和{k>=1}（2k+1）*x^（k*（k+1）））-拉尔夫·斯蒂芬2004年3月3日
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例子
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写为一个不规则三角形，其中的行长度是非零偶数，序列开始于：
2, 3;
7, 8, 9, 10;
16, 17, 18, 19, 20, 21;
29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36;
46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55;
67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78;
92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105;
121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136;
...
（结束）
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数学
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扁平[表[i，{j，2，16，2}，{i，j（j-1）/2+1，j（j+1）/2}]](*罗伯特·威尔逊v2004年3月11日*）
用[{t=20}，压扁[Take[TakeList[Range[（t（t+1）））/2]，Range[t]]，{2，-1，2}]](*哈维·P·戴尔2021年9月26日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a007607 n=a007607_列表！！（n-1）
a007607_list=skipTake 1[1..]其中
skipTake k xs=take（k+1）（丢弃k xs）
++跳过Take（k+2）（删除（2*k+1）xs）
（PARI）对于（m=0，10，对于（n=2*m^2+3*m+2，2*m^2+5*m+3，打印1（n“，”））\\查尔斯·格里特豪斯四世2011年2月12日
（哈斯克尔）
a007607_list'=f$tail$scanl（+）0[1..]其中
f（t:t'：t''：ts）=[t+1…t']++f（t''：cs）
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,标签
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作者
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状态
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经核准的
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1, 4, 5, 9, 10, 11, 16, 17, 18, 19, 25, 26, 27, 28, 29, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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对于实际x>=1，地板（x*地板（x））的可能值也是如此-宋嘉宁2021年2月16日
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链接
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公式
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数学
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a=表[n，{n，0，200}]；b={}；Do[a=删除[a，｛1，n｝]；b=追加[b，取[a，｛1，n｝]]；a=下降[a，{1，n}]，{n，1，14}]；压扁[b]
扁平[表格[范围[n^2，n^2+n-1]，{n，12}]](*哈维·P·戴尔2015年12月18日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）｛n=0；对于（m=1，10^9，s=m^2；a=0；对于（k=0，m-1，a=s+k；写入（“b064801.txt”，n++，“”，a）；如果（n=1000，返回））｝\\哈里·史密斯2009年9月26日
（哈斯克尔）
a064801 n=a064801_list！！（n-1）
a064801_list=f 1[1..]其中
f k xs=us++f（k+1）（下降（k+1
其中（us，vs）=splitAt k xs
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交叉参考
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关键词
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容易的,非n
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作者
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状态
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经核准的
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A317303型
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| 对k进行编号，使sigma（k）对称表示的两条Dyck路径都有一个中心峰。 |
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+10
6
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2, 7, 8, 9, 16, 17, 18, 19, 20, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,1
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评论
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等价地，数字k具有这样的性质，即sigma（k）对称表示的两条Dyck路径都有奇数个峰值-奥马尔·波尔2018年9月13日
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链接
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例子
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写为一个不规则三角形，其中的行长度是奇数，序列开始于：
2;
7、8、9；
16, 17, 18, 19, 20;
29, 30, 31, 32, 33, 34, 35;
46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54;
67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77;
92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104;
121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135;
...
初始术语说明：
-----------------------------------------------------------
kσ（k）σ对称图
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_| | | | | | | | | | | |
2 3 |_ _| | | | | | | | | | |
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8 15 |_ _ _ _ _| _ _ _| | | | | |
9 13 |_ _ _ _ _| | _ _ _|_| | | |
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16 31 |_ _ _ _ _ _ _ _ _| | _ _|
17 18 |_ _ _ _ _ _ _ _ _| | |
18 39 |_ _ _ _ _ _ _ _ _ _| |
19 20 |_ _ _ _ _ _ _ _ _ _| |
20 42 | _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __|
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对于序列的前九项，我们可以在上图中看到，sigma（k）对称表示的Dyck路径（最小和最大）都有一个中心峰。
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交叉参考
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参见。A000203号,A005408号,A196020型,A236104型,A235791型,A237048型,A237591型,A237593型,A237270型,A237271号,A239660型,A239931型,A239932型,A239933型,A239934型,A244050型,A245092型,A249351型,A262626型.
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关键词
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非n,标签
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作者
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状态
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经核准的
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A317304型
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| 数字k具有sigma（k）对称表示的两条Dyck路径都有中心谷的性质。 |
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+10
6
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4, 5, 11, 12, 13, 14, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,1
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评论
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等价地，数字k具有sigma（k）对称表示的两条Dyck路径具有偶数个峰值的性质-奥马尔·波尔2018年9月13日
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链接
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例子
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写为一个不规则三角形，其中的行长度为正偶数，序列开始于：
4, 5;
11, 12, 13, 14;
22, 23, 24, 25, 26, 27;
37、38、39、40、41、42、43、44；
56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65;
79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90;
106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119;
...
初始术语说明：
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k西格玛（k）西格玛对称图
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11 12 |_ _ _ _ _ _| | _|
12 28 |_ _ _ _ _ _ _| |
13 14 |_ _ _ _ _ _ _| |
14 24 |_ _ _ _ _ _ _ _|
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对于序列的前六项，我们可以在上图中看到，sigma（k）对称表示的Dyck路径（最小和最大）都有一个中央谷。
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交叉参考
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参见。A000203号,A005843号,A196020型,A236104型,A235791型,A237048型,A237591型,237593加元,A237270型,A237271号,A239660型,A239931型,A239932型,A239933型,A239934型,A244050型,A245092型,A249351型,A262626型.
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关键词
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非n,标签
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作者
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状态
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经核准的
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