搜索： a007460-编号：a007460
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0, 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, 2047, 4095, 8191, 16383, 32767, 65535, 131071, 262143, 524287, 1048575, 2097151, 4194303, 8388607, 16777215, 33554431, 67108863, 134217727, 268435455, 536870911, 1073741823, 2147483647, 4294967295, 8589934591
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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这是q=2的高斯二项式系数[n，1]。
S_n上秩-1拟阵的个数。
此外，贝拿勒斯神庙问题的解决方案（移动次数最少），即三个菱形针，其中n个针盘按第一个针的大小递减，以相同的顺序放置在第三个针盘上，每次移动不超过一个针盘，也不将一个针盘放在较小的针盘的顶部Xavier Acloque，2003年10月18日
a（0）=0，a（1）=1；a（n）=最小值，使得a（n，a（m）==0（mod（n-m+1）），对于所有m-阿玛纳斯·穆尔西2003年10月23日
[1，1/2，1/3，…]=[1/1，3/2，7/3，…]的二项式变换；（2^n-1）/n，n=1,2,3-加里·亚当森2005年4月28日
二进制表示为111…1的数字。例如，第7项为（2^7）-1=127=1111111（以2为基数）-亚历山大·瓦恩伯格2005年6月8日
对于n>=2，a（n）是非2次幂的最小斐波那契n阶数-里克·L·谢泼德2007年11月19日
设P（A）是n元集A的幂集，则A（n+1）=P（A-罗斯·拉海伊，2008年1月10日
2^n-1是深度为n的Pascal三角形中元素的总和。-Brian Lewis（bsl04（AT）uark.edu），2008年2月26日
从偏移量1开始=Jacobsthal序列，A001045号，（1，1，3，5，11，21，…）与（1，2，2，…）卷积-加里·亚当森2009年5月23日
如果n是偶数a（n）mod 3=0。这来自同余2^（2k）-1~2*2**2 - 1 ~ 4*4*...*4 - 1 ~ 1*1*...*1-1~0（mod 3）。（请注意，2*2*…*2有偶数个术语。）-华盛顿·邦菲姆2009年10月31日
设A是n阶Hessenberg矩阵，定义为：A[1，j]=1，A[i，i]：=2，（i>1），A[i，i-1]=-1，否则A[i、j]=0。然后，对于n>=1，a（n）=det（a）-米兰Janjic2010年1月26日
这是G.Detlefs考虑的序列家族[A，b:c，d:k]中的序列A（0,1；1,2；2）=A（0,1；3，-2；0），在下面给出的W.Lang链接中被视为A（A，b；c，d；k）-沃尔夫迪特·朗2010年10月18日
a（n）=S（n+1，2），第二类斯特林数。请参见下面的示例-丹尼斯·沃尔什2011年3月29日
帕斯卡三角形中a（n）行的条目都是奇数，而a（n。。。，奇怪。
将条形运算定义为对有符号排列的操作，该操作翻转每个条目的符号。那么a（n+1）是长度为2n的有符号排列的数目，这些有符号排列等于它们的反补码的条，并且避开模式集{（-2，-1），（-1，+2），（+2，+1）}。（参见Hardt和Troyka参考。）-贾斯汀·特洛伊卡2011年8月13日
a（n）是数字k，使得映射k->（3k+1）/2==1（mod 2）直到达到（3k+1/2==0（mod 2中）为止的迭代次数等于n（参见Collatz问题）-米歇尔·拉格诺2012年1月18日
对于整数a，b，用a<+>b表示，最小c>=a，使得Hd（a，c）=b（注意，一般来说，a<+>b与b<+>a不同）。则a（n+1）=a（n）<+>1。因此，这个序列是非负整数的汉明模拟-弗拉基米尔·舍维列夫2012年2月13日
皮萨诺周期长度：1、1、2、1、4、2、3、1、6、4、10、2、12、3、4、1、8、6、18、4。。。显然地A007733号. -R.J.马塔尔2012年8月10日
从n开始。每个n生成一个子列表{n-1，n-2，…，1}。每个子列表的每个元素也会生成一个子列表。取所有的总和。例如，3->{2,1}和2->{1}，因此a（3）=3+2+1=7-乔恩·佩里2012年9月2日
这是卢卡斯U（P=3，Q=2）序列-R.J.马塔尔2012年10月24日
梅森数>=7都是巴西数，以二为基数。参见链接中的命题1和5.2：“Les nombres brésiliens”-伯纳德·肖特2012年12月26日
a（n）是2的最高幂，因此2^a（n）除以（2^n）-伊万·伊纳基耶夫2013年8月17日
在计算机编程中，这些是唯一的无符号数字，例如k&（k+1）=0，其中&是按位AND运算符，数字用二进制表示-斯坦尼斯拉夫·西科拉2013年11月29日
青蛙问题中交换n只青蛙所需的最少移动次数（例如，参见下面的NRICH1246链接或Britton链接）-N.J.A.斯隆2014年1月4日
a（n）！==4（第5版）；a（n）！==10（模式11）；a（n）！==2、4、5、6（第7版）-卡米娜·苏里亚诺2014年4月6日
在0之后，由整数（1，2，3，4，…）的部分和形成的数组的反对角和-卢西亚诺·安科拉2015年4月24日
a（n+1）等于长度为n的三元字的数量，避免了01,02-米兰Janjic2015年12月16日
当偏移量为0且另一个初始值为0时，第n项为0，0，1，3，7，15。。。是序数n的完全扩展von Neumann定义中所需的逗号数。例如，4:={0，1，2，3}:={{}，{}}，}}。此外，对于n>0，a（n）是序数n-1的完全扩展von Neumann定义中所需的符号总数，其中总是使用单个符号（通常）表示空集，空格被忽略。例如，a（5）=31，表示序号4的此类符号总数-里克·L·谢泼德2016年5月7日
除初始项外，二维细胞自动机第n个生长阶段的x轴的十进制表示，由“规则659”、“规则721”和“规则734”定义，基于用单个on细胞初始化的5细胞von Neumann邻域-罗伯特·普莱斯2017年3月14日
a（n），n>1，是具有n个元素的集上保序部分内射映射的幺半群的最大子半群的个数-詹姆斯米切尔和威尔夫·威尔逊2017年7月21日
给出了完备二部图K_{n-1，n-1}中独立顶点集和顶点覆盖的个数-埃里克·韦斯特因2017年9月21日
和{k=0..n}p^k是n X n矩阵M_（i，j）=二项式（i+j-1，j）*p+二项式的行列式（i+j-1，i），在这种情况下p=2（经验观察）-托尼·福斯特三世2019年5月11日
有理数r（n）=a（n+1）/2^（n+1/A000079号（n+1）也作为f（c；x）=f^｛[0]｝（c；x）=2^（n+1）*x-a（n+1）*c的第n次迭代的根f^｛[n]｝（c；x）=2*x-c作为r（n）*c出现。本条目的动机是约翰·彼得·赫贝尔（1760-1826）的一个谜题：1803年的Erstes Rechnungs-Exempel（Ein merkwürdiges Rechnungs-Exempel），其中c=24和n=2，导致根r（2）*24=21作为解。请参阅链接和参考。有关第二个问题（也涉及当前序列），请参阅中的注释A130330型. -沃尔夫迪特·朗2019年10月28日
a（n）是包含n的{1,2，..，n}的所有子集中最小元素的和。例如，a（3）=7；{1,2,3}中包含3的子集是{3}、{1,3}，{2,3}、{1,2,3，最小元素之和为7-恩里克·纳瓦雷特2020年8月21日
a（n-1）是{1,2，..，n}的非空子集的数目，其中没有与集合大小相同的元素。例如，对于n=4，a（3）=7，并且子集是{2}、{3}、}4}、[1,3}和{1,4}-恩里克·纳瓦雷特2020年11月21日
也是完全图K_n中支配集的数目。
此外，当n>=3时，n-helm图中的最小支配集数。（结束）
猜想：除了a（2）=3之外，数字m使得2^（m+1）-2^j-2^k-1对所有0<=j<k<=m都是复合的-柴华武2021年9月8日
a（n）是n维tic-tac-toe中通过角单元的三行数-本·奥尔林2022年3月15日
当n==1（mod 4）时，a（n）==1（mod 30）；
对于n＝＝3（mod 4），a（n）＝＝7（mod 120）；
（a（n）-1）/30=（a（n+2）-7）/120，对于n奇数；
此外，高度为n-1的完美二叉树中的节点数，或：毕达哥拉斯树构造第n步后的正方形（或三角形）数：从线段开始。在每个步骤中，构造以最近的线段为底的正方形，以及以正方形的对边为斜边的等轴直角三角形（位于每个正方形的“顶部”）。在下一步中，这些三角形的腿将用作方块的底线段-M.F.哈斯勒2024年3月11日
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参考文献
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链接
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伊曼纽尔·费兰德，泰勒公式的变形《整数序列杂志》，第10卷（2007年），第07.1.7条。
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A.Hardt和J.M.Troyka，幻灯片（与上述Hardt和Troyka参考相关）。
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西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
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伯纳德·肖特，布列西利安裸鼠，转载自Quarture，编号76，avril-juin 2010，第30-38页，经Quarture编辑许可收录于此。
阿米莉亚·卡罗琳娜·斯巴维尼亚（Amelia Carolina Sparavigna），广义熵的合成运算在数字研究中的应用《国际科学杂志》（2019）第8卷，第4期，第87-92页。
阿米莉亚·卡罗琳娜·斯巴维尼亚（Amelia Carolina Sparavigna），一些群胚及其整数序列表示《国际科学杂志》（2019）第8卷第10期。
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公式
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G.f.:x/（（1-2*x）*（1-x））。
例如：exp（2*x）-exp（x）。
例如，如果偏移量1:（（exp（x）-1）^2）/2。
a（n）=和{k=0..n-1}2^k-保罗·巴里2003年5月26日
a（n）=a（n-1）+2*a（n-2）+2，a（0）=0，a（1）=1-保罗·巴里2003年6月6日
设b（n）=（-1）^（n-1）*a（n）。那么b（n）=和{i=1..n}i*i*斯特林2（n，i）*（-1）^（i-1）。b（n）的E.g.f.：（exp（x）-1）/exp（2x）-马里奥·卡塔拉尼（Mario.Catalani（AT）unito.it），2003年12月19日
a（n+1）=2*a（n）+1，a（0）=0。
a（n）=和{k=1..n}二项式（n，k）。
a（n）=n+和{i=0..n-1}a（i）；a（0）=0-里克·L·谢泼德2004年8月4日
a（n+1）=（n+1”）*和{k=0..n}二项式（n，k）/（k+1）-保罗·巴里2004年8月6日
a（n+1）=和{k=0..n}二项式（n+1，k+1）-保罗·巴里2004年8月23日
Stirling_2（n-k，2）从n=k+1开始-阿图尔·贾辛斯基2006年11月18日
a（n）=箍筋S2（n+1,2）-罗斯·拉海伊2008年1月10日
a（n）=J_n（2），其中J_n是第n个Jordan Totient函数：(A007434号，是J_2）。
a（n）=和{d|2}d^n*mu（2/d）。（结束）
a（n）=det（|s（i+2，j+1）|，1<=i，j<=n-1），其中s（n，k）是第一类斯特林数-米尔恰·梅卡2013年4月6日
G.f.：Q（0），其中Q（k）=1-1/（4^k-2*x*16^k/（2*x*4^k-1/（1-1/（2*4^k-8*x*16 ^k/）））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月22日
例如：Q（0），其中Q（k）=1-1/（2^k-2*x*4^k/（2*xx2^k-（k+1）/Q（k+1；（续分数）。
G.f.：Q（0），其中Q（k）=1-1/（2^k-2*x*4^k/（2*xx2^k-1/Q（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月23日
a（n）=和{t1+2*t2+…+n*tn=n}n*多项式（t1+t2+…+t_n，t1，t2，…，t_n）/（t1+t1+…+tn）-米尔恰·梅卡2013年12月6日
对于所有k>=3，二项式系数C（n，a（k））与其自身的卷积是C（n、a（k+1））-安东·扎哈罗夫2016年9月5日
a（n）=n+和{j=1..n-1}（n-j）*2^（j-1）。参见2017年6月14日的公式A000918号（n+1）进行解释-沃尔夫迪特·朗，2017年6月14日
a（n）=和{k=0..n-1}和{i=0..n-1}C（k，i）-韦斯利·伊万·赫特2017年9月21日
a（n+m）=a（n）*a（m）+a（n-宇春记2018年7月27日
a（n+m）=a（n+1）*a（m）-2*a（n）*a-塔拉斯·戈伊2018年12月23日
a（n+1）是n X n矩阵M_（i，j）=二项式（i+j-1，j）*2+二项式-托尼·福斯特三世2019年5月11日
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例子
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对于n=3，a（3）=S（4,2）=7，第二类斯特林数，因为有7种方法可以将{a，b，c，d}划分为2个非空子集，即：，
{a} U型{b，c，d}，{b} U型{a，c，d}，{c} U型{a，b，d}，{d} U型{a，b，c}，{a，b}U{c，d}，{a，c}U{b、d}和｛a，d｝U{b，c}-丹尼斯·沃尔什2011年3月29日
因为a（3）=7，所以有7个4的有符号置换，它们等于它们的反向补足的条，并避免{（-2，-1），（-1，+2），（+2，+1）}。这些是：
(+1,+2,-3,-4),
(+1,+3,-2,-4),
(+1,-3,+2,-4),
(+2,+4,-1,-3),
(+3,+4,-1,-2),
(-3,+1,-4,+2),
(-3,-4,+1,+2). （结束）
G.f.=x+3*x^2+7*x^3+15*x^4+31*x^5+63*x^6+127*x^7+。。。
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MAPLE公司
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A000225号：=n->2^n-1；[seq（2^n-1，n=0..50）]；
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数学
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a[n]：=2^n-1；表[a[n]，{n，0，30}](*斯特凡·斯坦纳伯格2006年3月30日*）
阵列[2^#-1&，50，0]（*Joseph Biberstine（jrbibers（AT）indiana.edu），2006年12月26日*）
线性递归[{3，-2}，{1，3}，20](*埃里克·韦斯特因2017年9月21日*）
系数列表[级数[1/（1-3 x+2 x ^2），{x，0，20}]，x](*埃里克·韦斯特因2017年9月21日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a000225=（减去1）。(2 ^)
a000225_list=迭代（（+1）。(* 2)) 0
（PARI）连接（0，Vec（x/（（1-2*x）*（1-x））+O（x^100））\\阿尔图·阿尔坎，2015年10月28日
（SageMath）
定义isMersenne（n）：返回n==总和（[（1-b）<<s用于枚举（（n+1）.bits（））中的（s，b）]）#彼得·卢什尼2019年9月1日
（Python）
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交叉参考
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关键字
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非n,容易的,核心,美好的,改变
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0
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评论
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Kempner-Mahler数和{k>=0}1/2^（2^k）的二进制表示=A007404号.
此外，a（n）＝a（n）mod 2，其中a是A001700号,A005573美元,A007854号,A026641号,A049027号,A064063号,A064088号,A064090美元,A064092号,A064325号,A064327号,A064329号,A064331号,A064613号,A076026号,A105523号,A123273号,A126694号,A126930号,A126931号,A126982号,A126983号,A126987号,A127016号,A127053号,A127358号,A127360型,A127361号,A127363号. -菲利普·德尔汉姆2007年5月26日
a（n-1），n>=1，2次幂的特征序列，A000079号是下列形式积和形式幂级数恒等式的唯一解：product_{j>=1}（1+a（j-1）*x^j）=1+Sum_{k>=1}x^k=1/（1-x）。因此产品是product_{l>=1}（1+x^（2^l））。证明。比较x^n的系数并使用n的二进制表示法。唯一性来自以下一般情况的递归关系A147542型. -沃尔夫迪特·朗2009年3月5日
a（n）也是[-1,1]上的映射x->1-cx^2在Feigenbaum临界值c=1.401155….时长度n的轨道数-托马斯·沃德2009年4月8日
对于n>=2，也是最大指数k>=0，使得二进制表示法中的n^k不同时包含0和1。与该序列的十进制版本不同，A062518号在这些项只是推测的情况下，对于这个序列，a（n）的值可以证明是A000225号如下所示：n ^k将同时包含0和1，除非n ^k=2 ^r-1用于某些r。但这是加泰罗尼亚方程x ^p=y ^q-1的一个特例，Preda Mihéilescu证明了该方程除2 ^3=3 ^2-1外没有其他非平凡解-克里斯托弗·史密斯2014年8月22日
图像，编码a，b->1；c->0，从a开始的不动点，同态a->ab，b->cb，c->cc-杰弗里·沙利特2016年5月14日
n+1阶非同构布尔代数的个数-宋嘉宁2020年1月23日
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链接
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D.Kohel、S.Ling和C.Xing，显式序列扩展《序列及其应用》，C.Ding、T.Helleseth和H.Niederreiter编辑，《1998年SETA会议录》（新加坡，1998年），308-3171999年。
普雷达·米哈伊列斯库，主分圆单位与Catalan猜想的证明J.Reine angew。数学。572 (2004): 167-195. doi:10.1515/crll.2004.048。MR 2076124。
Apisit Pakapongpun和Thomas Ward，函数轨道计数《整数序列杂志》，12（2009）第09.2.4条。[发件人托马斯·沃德2009年4月8日]
埃里克·罗兰和里姆·雅萨维，Profinite自动机，arXiv:1403.7659[math.DS]，2014年。见第8页。
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公式
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1后跟一个2^k-10的字符串。此外，如果n=2^m-1，a（n）=1。
求和{n>=0}1/10^（2^n）=0.11010001000000000000000000000010。。。
如果n=0，则为1，否则为floor（log_2（n+1））-floor（log_2（n））。通用公式：（1/x）*Sum_{k>=0}x^（2^k）=Sum_}k>=0}x^（2^k-1）-拉尔夫·斯蒂芬2003年4月28日
右移序列的Dirichlet g.f.：2^（-s）/（1-2 ^（/s））。
a（n）=和{k=0..n}（-1）^（n-k）*二项式（n，k）*和{j=0..k}二项式-保罗·巴里2006年6月1日
a（n）=1当n=2^k-1对某些k，否则为0-M.F.哈斯勒2014年6月20日
a（n）=顶棚（log2（n+2））-顶棚（Log2（n+1））-乔纳塔·内里2015年9月6日
a（n）=楼层（1+log（n+1）/log（2））-楼层（log（2n+1）/log（2中））-阿德里亚诺·卡罗利2019年9月22日
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例子
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G.f.=1+x+x^3+x^7+x^15+x^31+x^63+x^127+x^255+x^511+。。。
a（7）=1因为7=2^3-1，而a（10）=0因为10不是任何整数k的形式2^k-1。
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MAPLE公司
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A036987号：=n->`如果`（2^ilog2（n+1）=n+1，1，0）：
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数学
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实数字[N[和[1/10^（2^N），{N，0，无限}]，110]][1]
（*周期：*）
t[n，1]=1；t[1，k_]=1；
t[n，k_]：=t[n、k]=
如果[n<k，如果[n>1&&k>1，-求和[t[k-i，n]，{i，1，n-1}]，0]，
如果[n>1&&k>1，求和[t[n-i，k]，{i，1，k-1}]，0]]；
表[t[n，k]，{k，n，n}，{n，104}]
mb2d[n_]：=1-模块[{n2=整数位数[n，2]}，最大[n2]-最小[n2]]；数组[mb2d，120，0](*文森佐·利班迪，2019年7月19日*）
表[PadRight[{1}，2^k，0]，{k，0，7}]//展平(*哈维·P·戴尔2022年4月23日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=（n++）==2^估值（n，2）}/*迈克尔·索莫斯2003年8月25日*/
（哈斯克尔）
a036987 n=磅（n+1），其中
磅/磅=1
ibp n=如果r>0，则0，否则ibp n'，其中（n'，r）=divMod n 2
a036987_list=1:f[0，1]其中f（x:y:xs）=y:f（x:xs++[x，x+y]）
（Python）
来自辛美进口加泰罗尼亚
定义a（n）：返回catalan（n）%2#因德拉尼尔·戈什2017年5月25日
（Python）
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交叉参考
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这是盖·斯蒂尔的序列GS（1，3），也是GS（3，1）（参见A135416号).
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关键字
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非n,容易的,改变
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A025192号
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| a（0）=1；当n>=1时，a（n）=2*3^（n-1）。 |
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+10
82
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1, 2, 6, 18, 54, 162, 486, 1458, 4374, 13122, 39366, 118098, 354294, 1062882, 3188646, 9565938, 28697814, 86093442, 258280326, 774840978, 2324522934, 6973568802, 20920706406, 62762119218, 188286357654, 564859072962, 1694577218886, 5083731656658, 15251194969974
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0.2个
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评论
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当加号与自身进行卷积（PLUSCONV）时，向左移动一个位置。a（n）=2*Sum_{i=0..n-1}a（i）-安蒂·卡图恩2001年5月15日
设M={0，1，…，2^n-1}是所有n位数字的集合。考虑这个集合上的两个操作：“和模2^n”（+）和“逐位异或”（XOR）。这些操作的结果是相互关联的。
为了给出一个数值度量，考虑M:u=x+y，v=xXOR y上的方程，并询问有多少对（u，v）有解？对于n>=1，答案正好是a（n）=2*3^（n-1）。当n趋于无穷大时，这类对的分数a（n）/4^n消失-马克斯·阿列克塞耶夫2003年2月26日
数量（0），s（1）。。。，s（2n+2）），使得0<s（i）<6和|s（i，。。。，2n+2，s（0）=3，s（2 n+2）=3-赫伯特·科西姆巴2004年6月10日
将n的成分分为两类的数量。对于由n个对象组成的字符串，在第一个对象之前，选择第一类或第二类；在每个后续对象之前，选择continue、firstkind或secondkind。例如，3的成分是3；2,1; 1,2; 和1,1,1。使用两种成分，它们分别产生2、4、4和8种成分，2+4+4+8=18-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2006年8月18日
{1，2，…，n+1}的排列数，使得任何项都不比其前身大2。例如，a（3）=18，因为{1，2，3，4}的所有置换都是有效的，除了1423，1432，2143，3142，2314，3214，其中1后面跟着4。证明：删除（n+1）将得到一个静态有效序列。对于n>=2，可以在n的开头或紧跟n的后面或紧跟（n-1）的后面插入（n+1），但不能插入其他内容。因此，当我们将序列长度增加1时，这种排列的数量是原来的三倍-乔尔·刘易斯2006年11月14日
设M=以（1，2，4，8，…）为左边框的三角形，所有其他列=（0，1，2、4，8…）。A025192号=lim_{n->oo}M^n，被认为是序列的左移向量-加里·亚当森2010年7月27日
具有0的非同构分级偏序集的数目和秩n的一致hasse图，没有3元素反链。（“Uniform”用于Retakh、Serconek和Wilson的意思。“graded”指的是所有最大链具有相同的长度n。）-大卫·纳辛2012年2月13日
a（n）计算图G（1-顶点；1-循环，1-循环，2-循环，2-回路，3-循环，3-循环…）上的行走次数（闭合）-大卫·尼尔·麦格拉思2015年1月1日
对于n>0，a（n）是简单李代数B_3，tr（M^（2n））的邻接矩阵M的偶幂的迹，其中M=矩阵（行1；行2；行3）=矩阵[0,1,0；1,0,2；0,1,0]，与矩阵[0,2,0；1,0；0,1；0,1]的迹相同（参见Damianou）。奇异力量的痕迹消失了。
M的特征多项式等于行列式（x*I-M）=x^3-3x=A127672号（3，x），所以1-3*x^2=det（I-xM）=exp（-Sum_{n>=1}tr（M^n）x^n/n），意味着Sum_{n>=1}a（n+1）x^（2n）/（2n）=-log（1-3*x ^2），给出了充气序列的对数生成函数，不包括a（0）和a（1）。
a（n+1）=tr（M^（2n）），其中tr（M ^ n）=3^（n/2）+（-1）^ n*3^。
关系det（I-xM）=exp（-Sum_{n>=1}tr（M^n）x^n/n）=Sum_{n>=0}P_n（-tr（M），-tr（M^2）-tr（M^n））x^n/n！=exp（P（-tr（M），-tr（M^2），…）x） ，其中P_n（x（1）。。。，x（n））是A036039号意味着对于n>0和x（n）=0，如果x（2n）=-tr（M^（2n，））=-a（n+1），除P_2（x（1），x（2））=P_2（0，-6）=-6外，分配多项式的值为零。
由于A036039号和的Faber多项式F_k（b1，b2，…，bk）A263916型，F_k（0，-3,0,0，…）=tr（M^k）表示充气的a（n），不包括n=0,1。例如，F_2（0，-3）=-2（-3）=6，F_4（0，-3,0,0）=2。（参见。A265185型.)
（结束）
长度n>0的排列数避免了长度4的部分有序模式（POP）{1>2，1>3，1>4}。也就是说，没有长度为4的子序列的长度为n的排列的数量，其中第一个元素是最大的-谢尔盖·基塔耶夫2020年12月8日
对于n>0，a（n）是栅格图P_2 X P_（n-1）的3-色数。更一般地，对于q>1，网格图P_2 X P_n的q色数由q*（q-1）*（q-1-）*（q-2）+1）^（n-1）给出-塞拉·弗里德2023年9月25日
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参考文献
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Richard P.Stanley，枚举组合数学，第1卷，剑桥大学出版社，剑桥，1997年，第96-100页。
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链接
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乔治·安德鲁斯（George E.Andrews）和格雷格·西蒙（Greg Simay），奇偶回文成分，整数21，论文编号A85，（2021），13页。
D.Bevan、D.Levin、P.Nugent、J.Pantone和L.Pudwell，二元灌木林的模式回避，arXiv预印本arXiv:15100.08036[math.CO]，2015。
范忠和R.L.Graham，原始杂耍序列，美国数学。月刊115（3）（2008）185-194。
贾煌，部分回文成分，J.国际顺序。（2023）第26卷，第23.4.1条。见第4、13页。
雅各布·斯普里图拉，关于有色因子分解，arXiv:2008.09984[math.CO]，2020年。
文森特·瓦特，奇偶回文成分计数，arXiv:2109.13155[math.CO]，2021。
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公式
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G.f.：（1-x）/（1-3*x）。
例如：（2*exp（3*x）+exp（0））/3-保罗·巴里，2003年4月20日
a（0）=1，a（n）=Sum_{k=0..n-1}（a（k）+a（n-k-1））-贝诺伊特·克洛伊特2003年6月24日
a（1）=2，a（n）=3*a（n-1）-文森佐·利班迪2011年1月1日
a（n）=lcm（a（n-1），Sum_{k=1..n-1}a（k）），对于n>=3-大卫·W·威尔逊2011年9月27日
a（n）=（（2*n-1）*a（n-1）+（3*n-6）*a；a（0）=1，a（1）=2-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年7月16日
对于例如，e（x）=（2/3）*exp（3*x）+exp（0）/3，我们有
E（x）=2*G（0）/3其中G（k）=1+k/（3*（9*x）^k-3*（9*x）/G（k+1））；（连分数，第3类，3步）。
E（x）=1+2*x/（G（0）-3*x）其中G（k）=3*x+1+k-3*x*（k+1）/G（k+1；（连分数，欧拉第一类，1步）。（结束）
G.f.：1+（（1/2）/G（0）-1）/x，其中G（k）=1-2^k/（2-4*x/（2*x-2^k/G（k+1））；（递归定义的连分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年12月22日
G.f.：1+x*W（0），其中W（k）=1+1/（1-x*（2*k+3）/（x*（2%k+4）+1/W（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年8月28日
G.f.：1/（1-2*x/（1-x））-迈克尔·索莫斯2014年4月3日
构造幂矩阵T（n，j）=[A（n）^*j]*[S。（*是卷积运算。）那么a（n）=和{j=1..n}T（n，j）-大卫·尼尔·麦格拉思2015年1月1日
通用公式：1+2*x/（1+2*x）*（1+5*x/-彼得·巴拉2017年5月27日
和{n>=0}1/a（n）=7/4-伯纳德·肖特2021年10月2日
和{n>=0}（-1）^n/a（n）=5/8。
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例子
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有一个（3）=18组成3分为2种部分。这里p:s代表“s类的p部分”：
01: [ 1:0 1:0 1:0 ]
02: [ 1:0 1:0 1:1 ]
03:[1:0 1:1 1:0]
04: [ 1:0 1:1 1:1 ]
05: [ 1:0 2:0 ]
06:[1:0 2:1]
07: [ 1:1 1:0 1:0 ]
08: [ 1:1 1:0 1:1 ]
09:[1:1:1:0]
10: [ 1:1 1:1 1:1 ]
11: [ 1:1 2:0 ]
12: [ 1:1 2:1 ]
13: [ 2:0 1:0 ]
14: [ 2:0 1:1 ]
15: [ 2:1 1:0 ]
16: [ 2:1 1:1 ]
17: [ 3:0 ]
18: [ 3:1 ]
G.f.=1+2*x+6*x^2+18*x^3+54*x^4+162*x^5+486*x^6+1458*x^7+。。。
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MAPLE公司
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数学
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联接[{1}，2*3^（范围[30]-1）](*哈维·P·戴尔2011年3月22日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）Vec（（1-x）/（1-3*x）+O（x^100））\\阿尔图·阿尔坎2015年12月5日
（Python）[1]+[2*3**（n-1）表示范围（1,30）内的n#大卫·纳辛2012年3月4日
（哈斯克尔）
a025192 0=1
a025192 n=2*3^（n-1）
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交叉参考
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关键字
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非n,美好的,容易的,特征
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 1, 2, 4, 9, 18, 40, 80, 168, 340, 698, 1396, 2844, 5688, 11456, 22948, 46072, 92144, 184696, 369392, 739536, 1479232, 2959860, 5919720, 11842696, 23685473, 47376634, 94753940, 189519576, 379039152, 758102900, 1516205800
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,3
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链接
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公式
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a（n+1）=和{d|n}a（d）*a（n/d），a（1）=1。
a（质数（k）+1）=2*a（质素（k））；
a（n）渐近于c*2^n，其中c=0.353030198…（结束）
通用公式：A（x）=和{n>=1}A（n）*x^n=x*（1+和{i>=1}和{j>=1}A（i）*A（j）*x*（i*j））-伊利亚·古特科夫斯基2019年5月1日[修改人伊利亚·古特科夫斯基2019年5月9日]
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MAPLE公司
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带有（数字理论）；EIGENbyDIRCONV：=proc（upto_n）局部n，a，j，i，s，m；a:=[1]；对于i从1到upto_n做s：=0；m：=转换（除数（i），集合）；n：=nops（m）；对于从1到n的j，dos：=s+（a[m[j]]*a[m[（n-j）+1]]）；od；a:=[运算（a），s]；od；返回（a）；结束；
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数学
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dc[b_，c_]：=模[{p}，p[n_]：=p[n]=和[b[d]*c[n/d]，{d，如果[n<0，{}，除数[n]]}]；p] ；A[n_，k_]：=模[{f，b，t}，b[1]=dc[f，f]；对于[t=2，t<=k，t++，b[t]=dc[b[t-1]，b[t-2]]；f=函数[m，如果[m==1，1，b[k][m-1]]；f[n]]；a[n_]：=a[n，1]；数组[a，40](*Jean-François Alcover公司2017年3月20日之后A144324号*)
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
导入数据。功能（打开）
a038044 n=a038044_列表！！（n-1）
a038044_list=1:f 1[1]其中
f x ys=y:f（x+1）（y:ys）其中
y=总和$zipWith（（*）`on`a038044）divs$reverse divs
其中divs=a027750_row x
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交叉参考
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关键字
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非n,特征
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作者
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状态
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经核准的
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A007461号
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| 在与自身进行AND卷积的情况下向左移动。
（原名M0117）
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+10
7
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1, 1, 2, 1, 2, 4, 0, 5, 2, 4, 0, 10, 0, 12, 4, 13, 6, 12, 0, 18, 12, 20, 20, 36, 20, 36, 16, 44, 32, 60, 40, 73, 50, 56, 40, 58, 44, 52, 60, 84, 36, 112, 88, 108, 136, 132, 152, 178, 136, 232, 108, 260, 244, 256, 304, 288
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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参考文献
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N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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M.Bernstein和N.J.A.Sloane，整数的一些正则序列，线性算法。应用，226-228（1995），57-72；勘误表320（2000），210。[链接到arXiv版本]
M.Bernstein和N.J.A.Sloane，整数的一些正则序列，线性算法。应用，226-228（1995），57-72；勘误表320（2000），210。[链接到Lin.Alg.Applic.version以及省略的数字]
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MAPLE公司
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a： =proc（n）选项记忆`如果`（n=0，1，添加(
位[与]（a（i），a（n-1-i）），i=0..n-1））
结束时间：
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数学
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
导入数据。位（（.&.））
a007461 n=a007461_列表！！n个
a007461_list=1:f[1，1]其中
f xs=x:f（x:xs），其中
x=总和$zipWith（.&.）xs$tail$reverse xs:：Integer
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交叉参考
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关键字
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非n,美好的,特征
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 421, 1382, 4478, 15580, 54114, 181676, 650484, 2289320, 8028901, 28045302, 103229014, 372640460, 1336511110, 4882492452, 17534836812, 63692926552, 234287550818, 868236370364, 3281589811404
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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当Xmult-conolved（XMULTCONV）与自身进行转换时，向左移动一个位置。
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链接
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MAPLE公司
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加泰罗尼亚人（30）；Xcatalans:=proc（upto_n）局部a，i，k；a:=[1]；对于从1到upto_n的i，做a:=[op（a），加上（Xmult（a[k]，a[i-k+1]），k=1..i）]；od；返回（a）；结束；
XMULTCONV：=进程（a，b）局部c，i，k，n；n：=最小值（nops（a），nops（b））；c:=[]；对于从0到n-1的i，做c:=[op（c），加上（Xmult（a[k+1]，b[i-k+1]），k=0..i）]；od；返回（c）；结束；
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交叉参考
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关键字
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非n,容易的,特征
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, 2, 4, 12, 24, 72, 192, 720, 1440, 4320, 11520, 43200, 103680, 362880, 1105920, 4665600, 9331200, 27993600, 74649600, 279936000, 671846400, 2351462400, 7166361600, 30233088000, 67184640000, 221709312000, 644972544000
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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注意阶乘1！，2!, 4!, 6!, 9! 可以从该序列的位置1,3,6,9,15（如果使用基于零的索引，则为2,4,7,10,16）中找到。我不知道序列中是否出现了更大的阶乘。
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链接
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MAPLE公司
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EIGENbyMASKCONV：=proc（upto_n）局部n，a，j，i，s，m；a:=[1]；对于i从0到upto_n做s：=0；m:=蒙面人（i）；n：=nops（m）；对于从1到n的j，dos：=s+（a[m[j]+1]*a[m[（n-j）+1]+1]）；od；a:=[操作（a），s]；od；返回（a）；结束；
maskees:=proc（n）局部a，b，u，i；a:=[]；b:=列表任务位（n）；u：=（2^nops（b））-1；对于从0到u的i，do a：=[op（a），sum_by_mask_list（i，b）]；od；返回（a）；结束；
列表任务位：=进程（nn）局部n，a，x；n：=nn；x：=1；a:=[]；当（n>0）do if（1=（n mod 2）），则a:=[op（a），x]；fi；n:=地板（n/2）；x：=2*x；od；返回（a）；结束；
sum_by_mask_list:=进程（nn，a）局部n，i，s；n：=nn；s：=0；i:=1；当（n>0）do if（1=（n mod 2））then s:=s+a[i]；fi；n:=地板（n/2）；i:=i+1；od；申报表；结束；
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交叉参考
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关键字
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非n,特征
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作者
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Antti Karttunen，2001年6月12日
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状态
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经核准的
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A318621飞机
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| a（0）=a（1）=1；对于n>1，a（n）=和{k=0..n-2}a（k）或a（n-k-2）。 |
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+10
0
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1, 1, 1, 2, 3, 8, 13, 30, 52, 112, 217, 446, 864, 1750, 3469, 6976, 13892, 27828, 55550, 111158, 222224, 444458, 888747, 1777546, 3554844, 7109666, 14218740, 28437336, 56874024, 113747200, 227493165, 454985872, 909968764, 1819934952, 3639866058, 7279725522, 14559441844
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,4
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链接
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公式
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a（n）~c*2^n，其中c=0.2118674483116007242958168442155。。。
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MAPLE公司
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a： =proc（n）选项记忆`如果`（n<2，1，
加法（位[或]（a（k），a（n-k-2）），k=0..n-2））
结束时间：
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数学
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a[0]=a[1]=1；a[n_]：=a[n]=和[BitOr[a[k]，a[n-k-2]，{k，0，n-2}]；表[a[n]，{n，0，36}]
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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