搜索： a006983-编号：a006982
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A349205型
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| a（n）是n阶简单完美平方中最小元素的边长（大小），使得最小元素的大小与平方总大小的比值在所有可能的情况下都取最大值A006983号（n） n阶解剖。 |
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2, 4, 2, 3, 12, 17, 48, 29, 62, 53, 64, 156, 70, 270, 257, 333, 716
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Rainer Rosenthal，序列项图解2021年11月。
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请参阅Pfoertner链接。
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A349207型
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| a（n）是n阶简单完美平方中最小元素的边长（大小），使得最小元素的大小与平方中最大元素的大小之比在所有可能的情况下都取最大值A006983号（n） n阶解剖。 |
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2, 4, 2, 3, 16, 17, 48, 29, 62, 69, 64, 88, 70, 111, 355, 333, 543
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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21,1
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Rainer Rosenthal，序列项图解2021年11月。
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非n,坚硬的,更多
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1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 9, 13, 27, 161, 442, 1153, 3002, 7902
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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非n
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作者
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经核准的
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A002839号
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| n阶到对称的简单完美平方矩形的数量。
（原名M1658 N0650）
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0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 6, 22, 67, 213, 744, 2609, 9016, 31426, 110381, 390223, 1383905, 4931308, 17633773, 63301427, 228130926
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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正方形矩形是指将矩形分割成有限数量的整数大小的正方形。如果这些正方形中没有两个大小相同，则方形矩形是完美的。如果方形矩形不包含较小的方形矩形或正方形，则它是简单的。方形矩形的顺序是它被分割成的正方形数。[编辑：斯图亚特·安德森2024年2月3日]
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参考文献
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C.J.Bouwkamp，个人沟通。
C.J.Bouwkamp、A.J.W.Duijvestijn和P.Medema，九阶至十四阶简单方形矩形及其元素目录，荷兰埃因霍温技术学院，1960年5月，50 pp。
C.J.Bouwkamp、A.J.W.Duijvestijn和J.Haubrich，9到18阶简单完美方形矩形目录，荷兰埃因霍温飞利浦研究实验室，1964年（未出版），第1-12卷，3090页。
A.J.W.Duijvestijn，平方矩形计算中出现的逆矩阵的快速计算，Philips Res.Rep.30（1975），329-339。
M.E.Lines，Think of a Number，伦敦物理研究所，1990年，第43页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
W.T.Tutte，Squaring the Square，M.Gardner在《科学美国人》199的“数学游戏”专栏中，1958年11月，第136-142页，第166页。在美国重印了M.Gardner的补遗和参考书目，《第二部科学美国数学困惑与转移书》，Simon和Schuster，纽约（1961年），第186-209页，第250页[序列第207页]，在英国重印了M Gardner，《更多数学困惑和转移》，贝尔（1963年）和企鹅图书（1966年），146-164页，186-7年[第162页序列]。
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链接
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C.J.Bouwkamp，《关于将矩形剖分为正方形》（论文I-III），Koninklijke Nederlandsche Akademie van Wetenschappen，Proc。，序列号。A、，论文I，49（1946），1176-1188（=Indagationes Math.，v.8（1946年），724-736）；论文II，50（1947），58-71（=Indagationes Math.，v.9（1947年），43-56）；论文III，50（1947），72-78（=Indagationes Math.，v.9（1947年），57-63）。
C.J.Bouwkamp，关于简单完全平方的构造，Koninklijke Nederlandsche Akademie van Wetenschappen，Proc.，荷兰。，序列号。A、 50（1947），1296-1299（=《Indagationes Math.》第9卷（1947年），第622-625页）。
C.J.Bouwkamp和A.J.W.Duijvestijn，21阶至25阶简单完美方形目录《EUT报告92-WSK-03》，荷兰埃因霍温埃因霍芬科技大学，1992年11月。
C.J.Bouwkamp、A.J.W.Duijvestijn和P.Medema，关于九阶至十五阶简单方形矩形的表格，荷兰埃因霍温技术学院，1960年8月，ii+360页，转载于EUT报告86-WSK-03，1986年1月.[序列p.i.]
R.L.Brooks、C.A.B.Smith、A.H.Stone和W.T.Tutte，将矩形分割成正方形杜克大学数学系。J.，7（1940），312-340。重印于I.Gessel和G.-C.Rota（编辑），《组合学经典论文》，Birkhäuser Boston，1987年，第88-116页。[原文第324-5页的计数为a（12）。]
I.甘比尼，卡雷莱斯数量《论文》，马赛第二航空大学，1999年，第24页。[简单矩形的数量不包括单独列中的正方形（顺序21）。]
W.T.Tutte，平面地图普查、加拿大。数学杂志。15 (1963), 249-271.
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配方奶粉
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在第267页的“平面地图普查”中，William Tutte给出了一个关于完美平方矩形数的推测渐近公式，其中n是剖分中元素的数量（顺序）：
猜想：a（n）~n^（-5/2）*4^n/（243*sqrt（Pi））。（结束）
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交叉参考
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关键词
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非n,美好的,坚硬的,更多
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作者
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扩展
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已更正定义以包含“简单”注释中定义了“简单”和“完美”-杰弗里·莫利2010年3月11日
修正了a（18），并将条款延长至21号命令。用于生成剖分的所有3连通平面图（最多22条边）。不完美的方形矩形、复合方形矩形和所有方形过滤掉，留下简单的完美方形矩形-斯图亚特·安德森2011年3月
去除最后残留的化合物后，将a（18）修正为a（21）-斯图亚特·安德森2011年4月10日
从Ian Gambini的论文中添加了a（22）、a（23）和a（24），并更正了a（21）。增加了I.甘比尼的论文参考-斯图亚特·安德森2011年5月8日
添加了一些额外的参考文献，之前对a（22）的修正是基于新的22阶计数增加了4-斯图亚特·安德森2012年7月13日
术语a（21）-a（24）修正为包括平方杰弗里·莫利2012年10月17日
来自Gambini的a（23）-a（24）确认人斯图亚特·安德森2012年12月7日
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经核准的
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0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 8, 12, 30, 172, 541, 1372, 3949, 10209, 26234, 71892, 196357, 528866, 1420439, 3784262, 10012056, 26048712
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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1,22
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评论
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a（n）是经典的用n个不等平方平方平方的问题的解的个数。方形矩形（可能是正方形）是一个被分割成有限个正方形（两个或多个）的矩形。如果这些正方形中没有两个大小相同，则方形矩形是完美的。正方形矩形的顺序是组成正方形的数量。如果方形矩形不包含较小的方形矩形，则它是简单的；如果包含较小的矩形，则是复合的。
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参考文献
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H.T.Croft、K.J.Falconer和R.K.Guy，《几何中未解决的问题》，Springer-Verlag出版社，1991年，第C2节，第81-83页。
A.J.W.Duijvestijn，平方矩形计算中出现的逆矩阵的快速计算，Philips Res.Rep.30（1975），329-339。
P.J.Federico，《方形矩形和正方形：带注释书目的历史回顾》，载于《图论和相关主题》，J.A.Bondy和U.S.R.Murty编辑，学术出版社，1979年，173-196年。
J.H.van Lint和R.M.Wilson，《组合学课程》，第34章“电气网络和平方”，第449-460页，剑桥大学出版社，1992年。
J.D.Skinner II，方形方块：谁是谁和什么是什么，作者出版，1993年。
I.斯图尔特，《Squaring the Square》，美国科学杂志。，2771997年7月，第94-96页。
W.T.Tutte，《平方广场》，摘自M.Gardner在《科学美国人》199期的“数学游戏”专栏，1958年11月，第136-142、166页。在美国重印了M.Gardner的补遗和参考书目，《第二部科学美国数学难题与转移》，Simon和Schuster，纽约（1961年），第186-209页，第250页，在英国重印了M Gardner，《更多数学难题与转移》，Bell（1963年）和Penguin Books（1966），第146-164页，第186-7页。
W.T.Tutte，我所知的图论，第1章“平方”，第1-11页，克拉伦登出版社，牛津，1998年。
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链接
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J.A.Bondy和U.S.R.Murty，第十二章：循环空间和键空间第212-226页，《图论及其应用》，Elsevier Science Ltd/North-Holland出版社，1976年。
C.J.Bouwkamp和A.J.W.Duijvestijn，21阶至25阶简单完美方形目录《EUT报告92-WSK-03》，荷兰埃因霍温埃因霍芬科技大学，1992年11月。
C.J.Bouwkamp和A.J.W.Duijvestijn，26阶简单完美方形专辑，EUT报告94-WSK-02，埃因霍温理工大学，荷兰埃因霍芬，1994年12月。
G.Brinkmann和B.D.McKay，平面图的快速生成，匹配公用。数学。计算。化学。，58 (2007), 323-357.
Gunnar Brinkmann和Brendan McKay，plantri和fullgen用于生成某些类型的平面图的程序[缓存副本，仅pdf文件，无活动链接，经许可]
R.L.Brooks、C.A.B.Smith、A.H.Stone和W.T.Tutte，将矩形分割成正方形杜克大学数学系。J.，7（1940），312-340。重印于I.Gessel和G.-C.Rota（编辑），《组合学经典论文》，Birkhäuser Boston，1987年，第88-116页。
A.J.W.Duijvestijn、P.J.Federico和P.Leeuw，复合完美正方形阿默尔。数学。《89月刊》（1982），15-32。[复合完全平方的最低阶是24。]
I.甘比尼，卡雷莱斯数量《论文》，马赛第二航空大学，1999年，第25页。
C.A.B.Smith和W.T.Tutte，一类自对偶映射，可以。数学杂志。，2 (1950), 179-196.
W.T.Tutte，平方，可以。数学杂志。，2 (1950), 197-209.
W.T.Tutte，追求完美的正方形阿默尔。数学。《月刊》第72期（1965年），第29-35页。
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配方奶粉
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例子
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a（21）=1，因为存在唯一的21阶完美平方。A014530型给出了其组成正方形的大小。
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交叉参考
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关键词
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非n,坚硬的,美好的,更多
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作者
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扩展
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增加了a（31）=71892，a（32）=196357，斯图亚特·安德森2013年9月30日
添加了a（33）=528866，a（34）=1420439，a（35）=3784262，这是因为Jim Williams在2014年和2016年完成了枚举。斯图亚特·安德森2016年5月2日
a（36）和a（37）由Jim Williams于2016年至2018年完成，由斯图亚特·安德森2020年10月28日
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状态
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经核准的
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A181735号
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| n阶完全平方正方形的数量，直到正方形及其平方子矩形（如果有）的对称性。 |
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0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 8, 12, 27, 162, 457, 1198, 3144, 8313, 21507, 57329, 152102, 400610, 1053254, 2750411, 7140575, 18326660
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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1,22
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评论
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方形矩形（可能是正方形）是一个被分割成有限个正方形（两个或多个）的矩形。如果这些正方形中没有两个大小相同，则方形矩形是完美的。正方形矩形的顺序是组成正方形的数量。如果正方形矩形不包含较小的正方形矩形，那么它是简单的；如果包含较小的正方形矩形，那么它是复合的-杰弗里·莫利2012年10月17日
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参考文献
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J.D.Skinner II，方形方块：谁是谁和什么是什么，作者出版，1993年。
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链接
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C.J.Bouwkamp和A.J.W.Duijvestijn，21阶至25阶简单完美方形目录《EUT报告92-WSK-03》，荷兰埃因霍温埃因霍芬科技大学，1992年11月。
C.J.Bouwkamp和A.J.W.Duijvestijn，26阶简单完美方形专辑，EUT报告94-WSK-02，埃因霍温理工大学，荷兰埃因霍芬，1994年12月。
G.Brinkmann和B.D.McKay，平面图的快速生成，匹配公用。数学。计算。化学。，58 (2007), 323-357.
Gunnar Brinkmann和Brendan McKay，plantri和fullgen用于生成某些类型的平面图的程序[缓存副本，仅pdf文件，无活动链接，经许可]
A.J.W.Duijvestijn、P.J.Federico和P.Leeuw，复合完美正方形阿默尔。数学。《89月刊》（1982），15-32。[复合完全平方的最低阶数是24。]
I.甘比尼，卡车数量《论文》，马赛第二航空大学，1999年，第25页。[但任何子矩形的对称性都被视为不同。]
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配方奶粉
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例子
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a（21）=1，因为存在唯一的21阶完美平方。A014530型给出了其组成正方形的大小。
a（24）=27，因为A217156型（24）=30个24阶完美平方，但其中四个仅在平方子矩形的对称性方面有所不同。（结束）
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交叉参考
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关键词
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非n,更多,坚硬的
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作者
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扩展
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将最后一项修正为3144，以反映对中最后一阶28个复合平方项143的修正A181340号.
在关于完美正方形定义的评论中添加了更多澄清-斯图亚特·安德森2012年5月23日
定义已更正，偏移量更改为1杰弗里·莫利2012年10月17日
在Jim Williams枚举后添加a（33）、a（34）和a（35），斯图亚特·安德森2016年5月2日
Jim Williams的a（36）和a（37），于2018年至2020年完工，增加了斯图亚特·安德森2020年10月28日
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状态
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经核准的
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129947英镑
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| n阶简单完美平方的最小可能边长；如果不存在这样的正方形，则为0。 |
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0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 112, 110, 110, 120, 147, 212, 180, 201, 221, 201, 215, 185, 223, 218, 225, 253, 237
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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1,21
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评论
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方形矩形（可能是正方形）是一个被分割成有限个正方形（两个或多个）的矩形。如果这些正方形中没有两个大小相同，则方形矩形是完美的。正方形矩形的顺序是组成正方形的数量。
如果方形矩形不包含较小的方形矩形，则它是简单的。
简单完美正方形的已知最小边（和已知的正方形阶数）为110（22,23）、112（21）、120（24）、139（22,23,140（23）、145（23）和147（22,15）。。。
下面显示的n=38和40-44的上限来自J.B.Williams。其余部分来自甘比尼的论文-杰弗里·莫利2013年3月8日
======================================
n=38到59时a（n）的上界
======================================
| +0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9
======================================================
30 | - - - - - - - - 352 360
40 | 328 336 360 413 425 543 601 691 621 779
50 | 788 853 ? 824 971 939 929 985 1100 1060
======================================================
（结束）
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链接
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I.甘比尼，卡雷莱斯数量《论文》，马赛第二航空大学，1999年，第73-78页。
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交叉参考
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关键词
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非n,坚硬的,更多
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作者
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扩展
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未经验证的语句被错误地归因于Skinner，已知上界被更正，交叉引用被添加杰弗里·莫利2010年3月19日
项a（31）到a（78）的上限（全部来自Ian Gambini的论文）由斯图亚特·安德森2011年1月20日
a（31）<=236的新界限，由Stephen Johnson于2011年9月计算，更新人斯图亚特·安德森2011年10月4日
a（31）和a（32）来自Lorenz Milla和斯图亚特·安德森2013年10月5日
J.B.Williams的a（33）到a（37），由斯图亚特·安德森2020年10月27日
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状态
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经核准的
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A002962号
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| n阶到对称的简单不完美平方的数量。
（原名M2496）
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0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 3, 5, 15, 19, 57, 72, 274, 491, 1766, 3679, 11158, 24086, 64754, 132598, 326042, 667403, 1627218, 3508516
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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1,15
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评论
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方形矩形（可能是正方形）是一个被分割成有限个正方形（两个或多个）的矩形。如果这些正方形中没有两个大小相同，则方形矩形是完美的。如果方形矩形不包含较小的方形矩形，则它是简单的。正方形矩形的顺序是组成正方形的数量-杰弗里·莫利2012年10月17日]
C.J.Bowkamp和A.J.W.Duijvestijn（1962年）列举了15至19号订单。斯图亚特·安德森（Stuart Anderson）列举了20至29个订单（2010-2012）。Lorenz Milla和Stuart Anderson（2013）列举了30至32个订单-斯图亚特·安德森2013年9月30日
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参考文献
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C.J.Bouwkamp，个人沟通。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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交叉参考
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关键词
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非n,坚硬的,美好的
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作者
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扩展
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修正了a（21）和a（22），并将条款扩展至a（25）斯图亚特·安德森2011年4月24日
定义已澄清，偏移量更改为1杰弗里·莫利2012年10月17日
a（31），a（32）来自Lorenz Milla和斯图亚特·安德森2013年9月30日
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状态
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经核准的
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A181340号
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| n阶复合完美平方的个数，直到平方及其平方子矩形的对称性。 |
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0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 16, 46, 143, 412, 941, 2788, 7941, 22413, 62273, 172330, 466508, 1239742, 3257378, 8430928
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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方形矩形（可能是正方形）是一个被分割成有限个正方形（两个或多个）的矩形。如果这些正方形中没有两个大小相同，则方形矩形是完美的。如果一个正方形矩形包含一个较小的正方形矩形，那么它就是复合矩形。正方形矩形的顺序是组成正方形的数量-杰弗里·莫利2012年10月17日
最小的完美复合正方形由T.H.Willcocks于1948年出版，有24个正方形，有一个矩形作为次级剖切；然而，直到1982年，A.J.W.Duijvestijn、P.J.Federico和P.Leeuw才证明这是最低阶的例子。
2010年，斯图亚特·安德森和小埃德·佩格使用B.D.McKay和G.Brinkmann的plantri软件生成了包括29条边在内的所有2连通最小度3平面图，然后对这些图进行电节点分析，以获得顺序为24、25、26、27和28的复合完美平方的完整计数，以及每个复合正方形的每个等价类的所有成员。
2011年，S.E.Anderson和Stephen Johnson开始订购29个CPSS，并处理了所有生成的具有多达15个顶点的2连通最小度3平面图嵌入。这就留下了最大的图类，16个顶点类。2012年，S.E.Anderson使用亚马逊弹性云超级计算机和他编写的新软件处理了剩余的图表-斯图亚特·安德森2012年11月30日
2013年5月，洛伦兹·米拉（Lorenz Milla）和斯图亚特·安德森（Stuart Anderson）列举了一个（30）（订单号30的CPSS），使用的过程和软件与订单号29的CPSS相同，添加了William Tutte在其著作中推荐的一种技术，该技术通过将图的基尔霍夫/离散拉普拉斯矩阵的行列式分解为乘积2fS，将搜索完美平方的速度提高了3倍，其中f是平方数，S是平方数-斯图亚特·安德森2013年5月26日
2013年6月至9月，Lorenz Milla进一步优化了流程和软件，并完成了枚举订单31和32的所有CPSS所需的计算。Milla和Anderson使用增强软件进行了第二次运行，因为第一次运行时可能会错过一些CPSS。第二次运行没有发现任何新的或不同的，并确认了结果-斯图亚特·安德森2013年9月29日
2014年4月，Jim Williams编写了软件，并用它完成了CPSS订单33、34、35和36的枚举-斯图亚特·安德森2016年5月2日
2018年8月，Jim Williams完成了CPSS订单37、38和39的枚举-斯图亚特·安德森2018年9月17日。
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参考文献
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J.D.Skinner II，方形方块：谁是谁和什么是什么，作者出版，1993年。[包括一些高达30阶的复合完美正方形。]
T.H.Willcocks，问题7795和解决方案，《精灵国际象棋评论7》（1948）97，106。
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链接
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S.E.Anderson，二十阶复合完美平方, 2013; arXiv:1303.0599[math.CO]，2013年。
G.Brinkmann和B.D.McKay，平面图的快速生成，匹配公用。数学。计算。化学。，58 (2007), 323-357.
Gunnar Brinkmann和Brendan McKay，plantri和fullgen用于生成某些类型的平面图的程序[缓存副本，仅pdf文件，无活动链接，经许可]
A.J.W.Duijvestijn、P.J.Federico和P.Leeuw，复合完美正方形阿默尔。数学。《89月刊》（1982），15-32。[复合完全平方的最低阶是24。]
N.D.Kazarinoff和R.Weitzenkamp，关于小阶复合完美平方的存在性J.Combina.理论系列。B 14（1973），163-179。[一个复合完全平方必须包含至少22个子平方。]
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例子
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有关Bouwkamp代码的解释，请参阅MathWorld链接。
a（24）=1，因为24阶的所有四个复合完美平方等于对称。他们有175边。其中一个的布坎普代码是（81,56,38）（18,20）（55,16,3）（1,5,14）（4）（9）（39）（51,30）（29,31,64）（43,8）（35,2）（33）。（结束）
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非n,更多,坚硬的
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作者
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将最后一项从142改为143，以包括cpss 1170C，并添加交叉引用
将上一项从143修正为144，以包括cpss 1224d，在初始计数中错误地排除为重复项。
重新计算原始图后，将上一项从144修正回143，在143个不同CPSS排列中的948个非同构图和948个异构体之间建立了一个双射。在示例中给出了常见的布坎普代码表示法。从注释中删除多余的单词“数学上”-斯图亚特·安德森2012年1月
阐明了“数”与复合正方形“数”的关系，包括“完美”的定义。从序列计数中排除琐碎的解剖-斯图亚特·安德森2012年5月
定义已更正，偏移量更改为1杰弗里·莫利2012年10月17日
a（33）-a（36），这些订单的枚举由Jim Williams于2014年完成，添加了斯图亚特·安德森2016年5月2日
a（37）-a（39），这些订单的枚举由Jim Williams于2018年完成，添加了斯图亚特·安德森2018年9月17日
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A217149型
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| n阶完美平方的最大可能边长；如果不存在这样的正方形，则为0。 |
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0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 112, 192, 332, 479, 661, 825, 1179, 1544, 2134, 2710, 3641, 4988, 6391, 8430, 11216, 15039, 20242
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评论
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方形矩形（可能是正方形）是一个被分割成有限个正方形（两个或多个）的矩形。如果这些正方形中没有两个大小相同，则方形矩形是完美的。正方形矩形的顺序是组成正方形的数量。按照惯例，子平方的边是没有公因数的整数。
如果方形矩形不包含较小的方形矩形，则它是简单的。每一个已知边长最大的完美正方形，其最大边长可达37，都很简单。
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交叉参考
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非n,坚硬的,更多
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扩展
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J·B·威廉姆斯（J.B.Williams）的a（33）到a（37）加上斯图尔特·安德森2020年10月27日
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