搜索： a006976-编号：a006975
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1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192, 16384, 32768, 65536, 131072, 262144, 524288, 1048576, 2097152, 4194304, 8388608, 16777216, 33554432, 67108864, 134217728, 268435456, 536870912, 1073741824, 2147483648, 4294967296, 8589934592
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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0,3
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评论
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还有n.的组成（有序分区）的数量——托比·巴特尔斯，2003年8月27日
将n个未标记项目放入（任意数量）标记框中的方法，其中每个框中至少包含一个项目。也就是“n项的单峰排列”，即先升后降的排列。（例如，对于三个项目：ABC、ACB、BCA和CBA是单峰的。）-亨利·博托姆利2001年1月17日
S_n中避免模式213和312的排列数Tuwani Albert Tshifhumulo，2001年4月20日。更一般地（见Simion和Schmidt），S_n中的排列数避免了（i）123和132个模式；（ii）123和213图案；（iii）132和213图案；（iv）132和231图案；（v） 132和312模式；（vi）213和231图案；（vii）213和312图案；（viii）231和312图案；（ix）231和321图案；（x） 312和321图案。
a（n+2）是对称群作用下n个变量的不同布尔函数的个数。
还有未标记（1+2）-自由偏序集的数量Detlef Pauly，2003年5月25日
此外，[0，1）中二进制扩展在n位后终止的有理数。-Brad Chalfan，2006年5月29日
前置A089067号用1，得到（1，1，3，5，13，23，51，…）作为polceoff a（x）；则（1，1，2，4，8，16，…）=A（x）/A（x^2）-加里·亚当森2010年2月18日
阵列T（m，n）=2*T（m、n-1）+T（m-1、n）：
1，1，2，4，8，16，…=a（n）
1, 7, 32, 120, 400, 1232, ... =A001794号,
1,
1, 0,
2，0，-1，
4, 0, -3, 0,
8, 0, -8, 0, 1.
0, 1, 2, 4, 8, 16,
1、1、2、4、8、16，=a（n），
0, 1, 2, 4, 8, 16,
1, 1, 2, 4, 8, 16.
长度为2n的双色项链的数量等于其互补反向。对于长度2n+1，数字为0-大卫·W·威尔逊2012年1月1日
对于n>=1，具有恰好n个部分的自共轭整数分区数-大卫·克里斯托弗2014年8月18日
序列是（1，0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，…）的INVERT变换-加里·亚当森2015年7月16日
此外，n个节点上的阈值图数量[Hougardy]-福尔克·胡夫纳2015年12月3日
长度为n的三元单词数，其中二进制子单词以10…0的形式出现-米兰Janjic2017年1月25日
a（n）是长度为n的单词在由两个字母组成的字母表中的数量，其中一个字母出现偶数次（包括长度为0的空单词）。参见中类似的奇数情况A131577号和Balakrishnan参考A006516（4个字母的奇数情况），第68-69页，问题2.66、2.67和2.68-沃尔夫迪特·朗2017年7月17日
Łukasiewicz路径的D-等价类数。Łukasiewicz路径是D等价的，如果模式D在这些路径中的位置相同-谢尔盖·柯尔吉佐夫2018年4月8日
使用两种或更少颜色（子集）的长度为n的定向行的颜色模式数（设置分区）。如果我们改变颜色，两种颜色模式是等价的。对于a（4）=8，4种非手性模式为AAAA、AABB、ABAB和ABBA；这4种手性模式是2对AAAB-ABBB和AABA-ABAA-罗伯特·拉塞尔2018年10月30日
对称n X n矩阵M的行列式由M（i，j）=（-1）^max（i，j）定义，对于1<=i，j<=n等于a（n）*（-1）*（n*（n+1）/2）-伯纳德·肖特2018年12月29日
对于n>=1，a（n）是长度为n的排列数，其循环表示可以这样写：当去掉循环括号时，剩下的是1到n，按自然顺序。例如，a（4）=8，因为这种形式正好有8个排列，即（1 2 3 4）、（1）（2 3 4。我们的结果很容易满足于对k的条件，即循环表示中形式为“）（”的括号对的数量。由于有C（n-1，k）方法可以将它们插入循环表示中，并且由于k从0运行到n-1，我们得到a（n）=Sum_{k=0..n-1}C（n-l，k）=2^（n-1）-丹尼斯·沃尔什2020年5月23日
长度为n+1的排列在连续231-避免堆叠排序映射下可以具有的最大预图像数-科林·德芬特2020年8月28日
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参考文献
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Mohammad K.Azarian，《爬楼梯问题的概括》，《数学与计算机教育杂志》，第31卷，第1期，第24-28页，1997年冬季。
S.Kitaev，排列和单词中的模式，Springer-Verlag，2011年。见第399页表A.7
泽维尔·梅林（Xavier Merlin），Methodix Algèbre，Ellipses，1995年，第153页。
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链接
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克里斯蒂安·比恩（Christian Bean）、比亚基·古德蒙德森（Bjarki Gudmundsson）和亨宁·阿尔法森（Henning Ulfarsson），置换类结构规则的自动发现，arXiv:1705.04109[math.CO]，2017年。
Daniel Birmajer、Juan B.Gil、Jordan O.Tirrell和Michael D.Weiner，避免模式的稳定无间隔排列，arXiv:2306.03155[math.CO]，2023年。
朱利奥·塞尔拜（Giulio Cerbai）、安德斯·克莱森（Anders Claesson）和卢卡·费拉里（Luca Ferrari），限制堆栈的堆栈排序，arXiv:1907.08142[cs.DS]，2019年。
Juan B.Gil和Jessica A.Tomasko，斐波那契彩色组合物及其应用，arXiv:2108.06462[math.CO]，2021。
Nickolas Hein和Jia Huang，模块化加泰罗尼亚数字，arXiv:1508.01688[math.CO]，2015-2016年。见第2页的表1.1。
S.Hougardy，完美图的类，离散。数学。306 (2006), 2529-2571.
奥利维娅·纳巴旺达和范加·拉科通德拉焦，带有禁止图案的扁平分区集，arXiv:2011.07304[math.CO]，2020年。
圣地亚哥·罗哈斯·罗贾斯、卡米拉·穆尼奥斯、埃德加·巴里加、巴勃罗·索拉诺、阿尔多·德尔加多和卡拉·赫尔曼·阿维利亚诺，复杂耦合紧束缚模型的解析演化：在量子光操纵中的应用，arXiv:2310.12366[quant-ph]，2023年。见第12页。
R.Simion和F.W.Schmidt，受限排列《欧洲联合期刊》，第6383-4061985页，见第392-393页。
张燕X，分级姿势的四种变体，arXiv预印本arXiv:1508.00318[math.CO]，2015。
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配方奶粉
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a（0）=1，a（n）=2^（n-1）。
G.f.：（1-x）/（1-2*x）=1/（1-x/（1-x））-迈克尔·索莫斯2012年4月18日
例如：cosh（z）*exp（z）=（exp（2*z）+1）/2。
a（0）=1，对于n>0，a（n）=所有先前项的总和。
a（n）=和{k=0..n}二项式（n，2*k）-保罗·巴里2003年2月25日
a（n）=Sum_{k=0..n}二项式（n，k）*（1+（-1）^k）/2-保罗·巴里2003年5月27日
a（n）=地板（（1+2^n）/2）托比·巴特尔斯（托比+斯隆（AT）math.ucr.edu），2003年8月27日
G.f.：总和{i>=0}x^i/（1-x）^i-乔恩·佩里2004年7月10日
a（n）=Sum_{k=0..n}（-1）^（n-k）*二项式（k+1，n-k）*binominal（2*k，k）-保罗·巴里2005年3月18日
G.f.：1/（1-（x+x^2+x^3+…））-杰弗里·克雷策2008年8月30日
例如：（exp（2*x）+1）/2=（g（0）+1）/2；G（k）=1+2*x/（2*k+1-x*（2*k+1）/（x+（k+1）/G（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2011年12月3日
A051049号（n） =p（n+1），其中p（x）是唯一的n次多项式，使得p（k）=a（k）对于k=0，1。。。，n.（名词）-迈克尔·索莫斯2012年4月18日
A008619号（n） =p（-1），其中p（x）是唯一的n次多项式，使得p（k）=a（k）对于k=0，1。。。，n.（名词）-迈克尔·索莫斯2012年4月18日
G.f.:U（0），其中U（k）=1+x*（k+3）-x*（k+2）/U（k+1）；（连分数，1步）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年10月10日
E.g.f.：E（0），其中E（k）=1+x/（2*k+1-x/E（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年12月25日
通用公式：1+x/（1+x）*（1+3*x/（1+3*x）*-彼得·巴拉2017年5月27日
a（n）=Sum_（k=0..2}斯特林2（n，k）。
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例子
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G.f.=1+x+2*x^2+4*x^3+8*x^4+16*x^5+32*x^6+64*x^7+128*x^8+。。。
( -1 1 -1)
det（11 1）=4
( -1 -1 -1)
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MAPLE公司
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使用（PolynomialTools）：A011782号：=seq（系数（（1-x）/（1-2*x），x=0，k），k=0..10^2）#穆尼鲁·A·阿西鲁2017年9月26日
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数学
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f[s_]：=附加[s，天花板[Plus@@s]]；嵌套[f，{1}，32](*罗伯特·威尔逊v2006年7月7日*）
系数列表[级数[（1-x）/（1-2x），{x，0，32}]，x](*罗伯特·威尔逊v2006年7月7日*）
表[Sum[StirlingS2[n，k]，{k，0，2}]，{n，0，30}](*罗伯特·拉塞尔2018年4月25日*）
联接[{1}，嵌套列表[2#&，1，40]](*哈维·P·戴尔2018年12月6日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=如果（n<1，n==0，2^（n-1））}；
（PARI）Vec（（1-x）/（1-2*x）+O（x^30））\\阿尔图·阿尔坎2015年10月31日
（岩浆）[底板（（1+2^n）/2）:n in[0..35]]//文森佐·利班迪2011年8月21日
（哈斯克尔）
a011782 n=a011782_list！！n个
a011782_list=1:scanl1（+）a011782列表
（Sage）[求和（stirling_number2（n，j）for j in（0..2））for n in（0..35）]#G.C.格鲁贝尔2020年6月2日
（Python）
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交叉参考
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关键词
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非n,美好的,容易的
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作者
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李·D·基洛（Killough（AT）wagner.comprove.com）
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扩展
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状态
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经核准的
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A053120号
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| 切比雪夫T（n，x）多项式系数的三角形（x的幂为递增）。 |
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+10
210
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1, 0, 1, -1, 0, 2, 0, -3, 0, 4, 1, 0, -8, 0, 8, 0, 5, 0, -20, 0, 16, -1, 0, 18, 0, -48, 0, 32, 0, -7, 0, 56, 0, -112, 0, 64, 1, 0, -32, 0, 160, 0, -256, 0, 128, 0, 9, 0, -120, 0, 432, 0, -576, 0, 256, -1, 0, 50, 0, -400, 0, 1120, 0, -1280, 0, 512, 0, -11, 0, 220, 0, -1232, 0, 2816, 0, -2816, 0, 1024
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,6
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评论
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行多项式T（n，x）等于（S（n，2*x）-S（n-2,2*xA049310型，其中S（-1，x）=0，并且S（-2，x）=-1。
T（n，x）的零点是x（n，k）=cos（（2*k+1）*Pi/（2*n）），k=0，1。。。，n-1，n>=1。（结束）
（次）对角线序列{D_{2*k}（m）}{m>=0}，对于k>=0，具有o.g.f.GD_{2xk}。这是根据它们的o.g.f.GGD（z，x）得出的：=Sum_{k>=0}GD_k（x）*z^n，它是通过GGD。
显式形式是D_{2*k}（m）=（-1）^k，对于m=0，并且
（-1）^k*（2*k+m）*2^（m-1）*risefac（k+1，m-1）/m！，对于m>=1，随着阶乘risefac（x，n）的增加。（结束）
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参考文献
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。第55辑，1964年。第十次印刷，威利，2002年（也可通过电子方式获得），第795页。
F.Hirzebruch等人，《流形和模块形式》，Vieweg 1994年，第77、105页。
西奥多·里夫林，切比雪夫多项式：从近似理论到代数和数论，2。编辑，威利，纽约，1990年。
TableCurve 2D，自动曲线拟合和方程发现，5.01版Windows，用户手册，切比雪夫级数多项式和基本原理，第12-21-12-24页，SYSTAT Software，Inc.，华盛顿州里士满，2002年。
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链接
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。第55辑，第十次印刷，1972年[扫描件]，第795页。
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配方奶粉
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行多项式T（n，x）（有符号三角形）的G.f.：（1-x*z）/（1-2*x*z+z^2）。如果未签名：（1-x*z）/（1-2*x*z^2）。
T（n，m）：如果n<m或n+m奇数，则=0；T（n，m）=（-1）^（n/2），如果m=0（n偶数）；否则T（n，m）=（（-1）^（（n+m）/2+m））*（2^（m-1））*n*二项式（（n+m）/2-1，m-1）/m。
n>=2的递归：T（n，m）=T*a（n-1，m-1）-T（n-2，m），T（n、m）=0，如果n<m，T（n-1）：=0，T（0，0）=T（1，1）=1。
第m列（带符号三角形）的G.f.：如果m=0，则为1/（1+x^2），否则为（2^（m-1））*（x^m）*（1-x ^2）/（1+x2）^（m+1）。
总和{k=0..楼层（n/2）}T（n-k，k）=A000007号（n） ●●●●。
T（2*n，n）=i^n*A036909号（n/2）*（1+（-1）^n）/2+[n=0]/3。（结束）
T（n，k）=[x^k]T（n、x）对于n>=1，其中T（n）=和{k=1..n}（-1）^（n-k）*（n/（2*k））*二项式（k，n-k）x（2*x）^-彼得·卢什尼2022年9月20日
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例子
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三角形a（n，m）开始于：
n\m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。。。
0: 1
1: 0 1
2:-1 0 2
3: 0 -3 0 4
4: 1 0 -8 0 8
5: 0 5 0 -20 0 16
6: -1 0 18 0 -48 0 32
7:0-7 0 56 0-112 0 64
8: 1 0 -32 0 160 0 -256 0 128
9: 0 9 0 -120 0 432 0 -576 0 256
10:-1 0 50 0-400 0 1120 0-1280 0 512
例如，第四行（n=3）对应于多项式T（3，x）=-3*x+4*x^3。
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MAPLE公司
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（矫形）；
T（n，x）；
系数日（%，x=0，k）；
T:=（n，x）->`如果`（n=0，1，add（（-1）^（n-k）*（n/（2*k））*二项式（k，n-k）x（2*x）^。。n） ）：
seq（seq（系数（T（n，x），x，k），k=0..n），n=0..11）#彼得·卢什尼2022年9月20日
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数学
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黄体脂酮素
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（Magma）和cat[系数（ChebyshevT（n））：n in[0.11]]//克劳斯·布罗克豪斯2008年3月8日
（PARI）对于（n=0，5，P=polchebyshev（n））；对于（k=0，n，print1（polceoff（P，k）“，”））\\查尔斯·格里特豪斯四世2012年1月16日
（朱莉娅）
使用尼莫
函数A053120行（n）
R、 x=多项式环（ZZ，“x”）
p=切比雪夫t（n，x）
[0中j的系数（p，j）：n]结束
0:6 A053120Row（n）|>println end中的n#彼得·卢什尼2018年3月13日
（SageMath）
如果（n<2且k==0）：返回1
elif（k<0或k>n）：返回0
else：返回2*f（n-1，k）-f（n-2，k-2）
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A001793年
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| a（n）=n*（n+3）*2^（n-3）。
（原名M3881 N1591）
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+10
54
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1, 5, 18, 56, 160, 432, 1120, 2816, 6912, 16640, 39424, 92160, 212992, 487424, 1105920, 2490368, 5570560, 12386304, 27394048, 60293120, 132120576, 288358400, 627048448, 1358954496, 2936012800, 6325010432, 13589544960, 29125246976
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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具有金字塔权重n+1的半长n+2的Dyck路径数（关于金字塔权重，请参阅Denise和Simion）。示例：a（2）=5，因为具有金字塔权重3的半长4的Dyck路径为：（ud）u-Emeric Deutsch公司2004年3月10日
a（n）是使用n-1条非交叉对角线的规则（n+3）-gon的剖切数，使得剖切的每一部分都包含（n+3）-go的至少一个非基边。（（n+3）-gon的一侧指定为底面。）-大卫·卡伦2004年3月23日
如果X_1，X_2，。。。，X_n是（2n+1）-集X的2个块，那么a（n）是与每个X_i相交的X的（n+2）-子集的数目，（i=1..n）-米兰Janjic2007年11月18日
第二个校正器行，用于将带有前导1的2^n偏移量0转换为斐波那契序列Al Hakanson（hawkuu（AT）gmail.com），2009年6月1日
n的所有整数组成的所有节点之和，参见示例-奥利维尔·杰拉德2011年10月22日
4*a（n）是从（0,0）到（n+2，n+2）的东北路径数，其中正好有两个东面台阶低于y=x-1或高于y=x+1。它与Pan和Remmel链接中的配对模式P_1和P_6有关-冉·潘2016年2月4日
多项式S（n，x）=Sum_（k>=1）b（n，k）*x^k具有S（n+2，x）=2*S（n+1，x））-x*S（n）与S（1，x）=1，S（2，x）=2-x的递推关系，由系数b（n、k）生成。b（n，k）由b（n、k）=和（j=1..k）二项式（k+1，j）*b（n-j，k）或b（n），k）=（（n-2+k）定义*（n-1+2k）*2^n）/（4*（n-1）*k！）。b（n，1）=A001792号，b（n，2）=A001793号，b（n，3）=A001794号，b（n，4）=A006974号，b（n，5）=A006975号，b（n，6）=A006976号，b（n，7）=A209404型.
k>=1:a（n）=（（n-2+k）*（n-1+2k）*2^n）/（4*（n-1）*k！）n>=1。（结束）[请参阅中的注释A053120号关于次对角序列-沃尔夫迪特·朗2020年1月3日]
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参考文献
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。1964年第55辑（以及各种重印本），第795页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年[替代扫描副本]。
Milan Janjić，关于限制三元词和插入词，arXiv:1905.04465[math.CO]，2019年。
C.W.Jones、J.C.P.Miller、J.F.C.Conn和R.C.Pankhurst，切比雪夫多项式表程序。罗伊。Soc.爱丁堡教派。A.，第62卷，第2期（1946年），第187-203页。
Ran Pan和Jeffrey B.Remmel，晶格路径中的成对图案，arXiv:1601.07988[math.CO]，2016年。
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975【math.NT】，2009年。
劳拉·普德威尔（Lara Pudwell）、康诺·肖尔滕（Connor Scholten）、泰勒·施洛克（Tyler Schrock）和亚历克莎·塞拉托（Alexa Serrato），二叉树中的非连续模式包含，ISRN组合。2014，文章ID 316535，第8页（2014），tr_{t4}（n，2）。
亚伦·罗伯逊（Aaron Robertson）、赫伯特·S·威尔夫（Herbert S.Wilf）和多伦·齐尔伯格（Doron Zeilberger），置换模式和连分式，电气。J.Combina.，第6卷（1999年），第R38条。
I.Tasoulas、K.Manes和A.Sapounakis，二元路径格中的哈密顿区间，选举。J.库姆。（2024）第31卷，第1期，第1.39页。
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配方奶粉
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G.f.:x*（1-x）/（1-2*x）^3。平方的二项式变换[1,4,9，…]。
a（n）=和{k=0..层（（n+4）/2）}C（n+4,2k）*C（k，2）-保罗·巴里2003年5月15日
a（n）=总和{k=0..n+2}C（n+2，k）*楼层（k^2/4）-保罗·巴里2003年5月27日
a（n）=和{i=0..j}二项式（i+1，2）*二项式-乔恩·佩里，2004年2月26日
a（n）=Sum_{k=0..n+1}（-1）^（n-k+1）*C（k，n-k+1）*k*C（2k，k）/2-保罗·巴里2005年10月7日
a（n）=n^2偏移量1的二项式变换。a（3）=18.-Al Hakanson（hawkuu（AT）gmail.com），2009年6月1日
a（n）=（1/n）*和{k=0..n}二项式（n，k）*k^3-加里·德特利夫斯2011年11月26日
对于n>1，a（n）=求和{k=0..n-1}求和{i=0..n}（k+2）*C（n-2，i）-韦斯利·伊万·赫特2017年9月20日
a（n）=a（-3-n）*2^（2*n+3），a（n-A058645号Z中所有n的（-3-n）*2^（2*n+3）-迈克尔·索莫斯2019年4月19日
例如：（1/2）*exp（2*x）*x*（2+x）-斯特凡诺·斯佩齐亚，2019年8月17日
和{n>=1}1/a（n）=128/9-56*log（2）/3。
和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=24*log（3/2）-80/9。（结束）
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例子
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a（2）=5，因为32415、32451、34125、42135和52134是12345中唯一的132个无效置换，其中正好包含两个长度为3的递增子序列。
a（4）=56：4的组成是4，3+1，1+3，2+2，2+1+1，1+2+1，1+1+2，1+1+1+1，相应的节点（部分和）是{0，4}，{0，1，4}，{0、6、9、8、7、10}和总共56个-奥利维尔·杰拉德2011年10月22日
带有两个奇数和的2*3=6的a（3）=18个组成为5+1、1+5、3+3、4+1+1、1+4+1、1+1+4、3+2+1、3+1+2、2+3+1、2+1+3、1+3+2、1+2+3、2+2+1、2+1+2+1、2+1+1、2+2+2+2、3+1+1、1+2+2-马穆卡·吉卜拉泽2013年9月4日
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MAPLE公司
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数学
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表[n（n+3）*2^（n-3），{n，28}]（*或*）静止@系数列表[x（1-x）/（1-2x）^3，{x，0，28}]，x](*迈克尔·德弗利格2017年9月21日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[2^（n-3）*n*（n+3）:n in[1..30]]//G.C.格鲁贝尔2019年11月6日
（鼠尾草）[2^（n-3）*n*（n+3）代表n in（1..30）]#G.C.格鲁贝尔2019年11月6日
（GAP）列表（[1..30]，n->2^（n-3）*n*（n+3））#G.C.格鲁贝尔2019年11月6日
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交叉参考
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关键词
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容易的,非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, -1, 2, -3, 4, 1, -8, 8, 5, -20, 16, -1, 18, -48, 32, -7, 56, -112, 64, 1, -32, 160, -256, 128, 9, -120, 432, -576, 256, -1, 50, -400, 1120, -1280, 512, -11, 220, -1232, 2816, -2816, 1024, 1, -72, 840, -3584, 6912, -6144, 2048, 13, -364, 2912, -9984, 16640, -13312, 4096
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0.4
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评论
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参考文献
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。1964年第55辑（以及各种重印本），第795页。
E.A.Guilleman，《无源网络的合成》，Wiley，1957年，第593页。
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链接
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年[替代扫描副本]。
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配方奶粉
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a（n，m）=2^（m-1）*n*（-1）^（n-m）/2）*（（n+m）/2-1）！/（（n-m）/2）！*米！）如果n>0-R.J.马塔尔2007年4月20日
T_n（x）=2*x*T_（n-1）（x）-T_（n-2）（x），T_0（x）=1，T_1（x）=x。
T_n（x）=（（x+sqrt（x^2-1））^n+（x^2-1））^n）/2。（结束）
T（n，x）=[z^n]（z*x+sqrt（1+z^2*（x^2-1））^n。
和{k=0..2*n}二项式（2*n，k）*T（k，x）=（2^n）*（1+x）^n*T（n，x）。
exp（Sum_{n>=1}T（n，x）*T^n/n）=Sum_}n>=0}P（n，x*T^n），其中P（n、x）表示第n个勒让德多项式。（结束）
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例子
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行是：（1），（1）、（-1,2）、（-3,4）、（1，-8,8）、（5，-20,16）等，因为如果c=cos（x）：cos（0x）=1，cos（1x）=1c；cos（2x）=-1+2c^2；cos（3x）=-3c+4c^3，cos（4x）=1-8c^2+8c^4，cos。
这个不规则三角形a（n，k）开始于：
n\k 0 1 2 3 4 5 6 7。。。
0: 1
1: 1
2: -1 2
3: -3 4
4：1-8 8
5: 5 -20 16
6: -1 18 -48 32
7: -7 56 -112 64
8: 1 -32 160 -256 128
9: 9 -120 432 -576 256
10: -1 50 -400 1120 -1280 512
11: -11 220 -1232 2816 -2816 1024
12: 1 -72 840 -3584 6912 -6144 2048
13: 13 -364 2912 -9984 16640 -13312 4096
14: -1 98 -1568 9408 -26880 39424 -28672 8192
15: -15 560 -6048 28800 -70400 92160 -61440 16384
...
T（4，x）=1-8*x^2+8*x^4，T（5，x）=5*x-20*x^3+16*x^5。
（结束）
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MAPLE公司
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A008310型：=程序（n，m）局部x；coeftayl（简化（切比雪夫T（n，x），‘切比雪夫T’），x=0，m）；end:i:=0：对于n从0到100 do，对于m从n mod 2到n乘以2 do printf（“%d%d”，i，A008310型（n，m））；i:=i+1；od；od#R.J.马塔尔2007年4月20日
#第二个Maple项目：
b： =进程（n）b（n）：=`if`（n<2，1，展开（2*b（n-1）-x*b（n-2）））结束：
T： =n->（p->（d->seq（系数（p，x，d-i），i=0..d））（度（p）））（b（n））：
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数学
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压扁[{1，表[系数列表[ChebyshevT[n，x]，x]、{n，1，13}]}//删除事例[#，0，无限]和（*或*）压扁[}，表[表[（-1）^k*2^（n-2k-1）*n*二项式[n-k，k]）/（n-k），{k，Floor[n/2]，0，-1}]，{n，1,13}]}](*尤金尼·索科尔2019年9月4日*）
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交叉参考
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行总和是一。多项式评估包括A001075号（x=2），A001541号（x=3），A001091号,A001079,A023038号,A011943号,A001081号,A023039号,A001085号,A077422号,A077424号,A097308号,A097310号,A068203号.
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关键词
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签名,标签,美好的,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A002409号
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| a（n）=2^n*C（n+6,6）。（n+6）维超立方体中的6D超立方体内的个数。
（原名M4939 N1668）
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+10
20
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1, 14, 112, 672, 3360, 14784, 59136, 219648, 768768, 2562560, 8200192, 25346048, 76038144, 222265344, 635043840, 1778122752, 4889837568, 13231325184, 35283533824, 92851404800, 241413652480, 620777963520, 1580162088960
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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0,2
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评论
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如果X_1，X_2，。。。，X_n是将2n-集X划分为2个块，然后，对于n>5，a（n-6）等于与每个X_i（i=1,2，…，n）相交的X的（n+6）子集的数目-米兰Janjic2007年7月21日
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参考文献
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N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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米兰·扬基奇和鲍里斯·佩特科维奇，计数函数，arXiv:1301.4550[math.CO]，2013年。
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近，《魁北克大学论文》，1992年，arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
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配方奶粉
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总尺寸：1/（1-2*x）^7。
a（n）=和{i=6..n+6}二项式（i，6）*二项式。例如：对于n=5，a（5）=1*462+7*330+28*165+84*55+210*11+462*1=14784-布鲁诺·贝塞利，2018年3月23日
和{n>=0}1/a（n）=47/5-12*log（2）。
和{n>=0}（-1）^n/a（n）=2916*log（3/2）-5907/5。（结束）
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MAPLE公司
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seq（二项式（n+6,6）*2^n，n=0..22）#零入侵拉霍斯2008年6月16日
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数学
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系数列表[Series[1/（1-2x）^7，{x，0，40}]，x]（*or*）LinearRecurrence[{14，-84，280，-560，672，-448，128}，{1，14，112672，3360，14784，59136}，40](*哈维·P·戴尔2022年1月24日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[2^n*二项式（n+6，6）：n在[0.30]]中//文森佐·利班迪2011年10月14日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 0, 1, 0, 1, 2, 0, 0, 3, 4, 0, 0, 1, 8, 8, 0, 0, 0, 5, 20, 16, 0, 0, 0, 1, 18, 48, 32, 0, 0, 0, 0, 7, 56, 112, 64, 0, 0, 0, 0, 1, 32, 160, 256, 128, 0, 0, 0, 0, 0, 9, 120, 432, 576, 256, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 50, 400, 1120, 1280, 512
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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0,6
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评论
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链接
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配方奶粉
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T（0,0）=T（1,1）=1，如果n<k或如果k<0，T（n，k）=T。
Sum_{k=0.floor（n/2）}T（n-k，k）=斐波那契（n-1）=A000045号（n-1）。
G.f.：（1-y*x）/（1-2y*x-y*x^2）-菲利普·德莱厄姆2011年12月4日
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例子
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三角形开始：
1;
0, 1;
0, 1, 2;
0, 0, 3, 4;
0, 0, 1, 8, 8;
0, 0, 0, 5, 20, 16;
0, 0, 0, 1, 18, 48, 32;
0, 0, 0, 0, 7, 56, 112, 64;
0, 0, 0, 0, 1, 32, 160, 256, 128;
0, 0, 0, 0, 0, 9, 120, 432, 576, 256;
0, 0, 0, 0, 0, 1, 50, 400, 1120, 1280, 512;
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A200139型
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| 三角形T（n，k），按行读取，由（1,1,0,0,0,0,0,0,0,0，…）DELTA（1,,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0，…）给出，其中DELTA是A084938号. |
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+10
8
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1, 1, 1, 2, 3, 1, 4, 8, 5, 1, 8, 20, 18, 7, 1, 16, 48, 56, 32, 9, 1, 32, 112, 160, 120, 50, 11, 1, 64, 256, 432, 400, 220, 72, 13, 1, 128, 576, 1120, 1232, 840, 364, 98, 15, 1, 256, 1280, 2816, 3584, 2912, 1568, 560, 128, 17, 1, 512, 2816, 6912, 9984, 9408, 6048, 2688, 816, 162, 19, 1
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0.4
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评论
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Riordan阵列（（1-x）/（1-2x），x/（1-2-x））。
T（n，k）是将n个未标记对象放置到任意数量的标记箱中（每个箱中至少有一个对象），然后指定k个箱的方法数-杰弗里·克雷策2012年11月18日
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链接
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配方奶粉
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T（n，k）=2*T（n-1，k）+T（n-1，k-1），T（0,0）=T（1,0）=T（1,1）=1，T（n、k）=0，对于k<0或n<k。
和{k，0<=k<=n}T（n，k）*x^k=A000007号（n） ，A011782号（n） ，A025192号（n） ，A002001号（n） ，A005054号（n） ，A052934号（n） ，A055272号（n） ，A055274号（n） ，A055275号（n） ，A052268号（n） ，A055276号（n） ，A196731号（n） n分别为-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10。
通用名称：（1-x）/（1-（2+y）*x）。
T（n，k）=总和j>=0 T（n-1-j，k-1）*2^j。
T型=A007318号*A059260号，因此该条目的行多项式由pn（x）=（1+q（x））^n暗含给出，其中qn（x）是A059260号和（q（x））^k=qk（x）。因此，例如f.是exp[tp.（x）]=exp[t（1+q（x））]=e^t exp（tq.（x-汤姆·科普兰2016年11月15日
x的降次幂的第n行多项式是有理函数（1+x）/（1+2*x）*（1+2**）^n约为0的第n泰勒多项式。例如，对于n=4，（1+x）/（1+2*x）*（1+2**）^4=（8*x^4+20*x*3+18*x^2+7*x+1）+O（x^5）-彼得·巴拉2018年2月24日
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例子
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三角形开始：
1
1, 1
2, 3, 1
4, 8, 5, 1
8, 20, 18, 7, 1
16, 48, 56, 32, 9, 1
32、112、160、120、50、11、1
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数学
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nn=15；f[list_]：=选择[list，#>0&]；映射[f，系数列表[级数[（1-x）/（1-2x-yx），{x，0，nn}]，{x、y}]//网格(*杰弗里·克雷策2012年11月18日*）
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交叉参考
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囊性纤维变性。A118800个（签名版本），A081277号,A039991号,A001333号（反对角线总和），A025192号（行总和）；对角线：A000012号,A005408号,A001105号,A002492号，A072819l；柱：A011782号,A001792号,A001793号,A001794号,A006974号,A006975号,A006976号.
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A201701型
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| Riordan三角形（（1-x）/（1-2x），x^2/（1-2x））。 |
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+10
8
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1, 1, 0, 2, 1, 0, 4, 3, 0, 0, 8, 8, 1, 0, 0, 16, 20, 5, 0, 0, 0, 32, 48, 18, 1, 0, 0, 0, 64, 112, 56, 7, 0, 0, 0, 0, 128, 256, 160, 32, 1, 0, 0, 0, 0, 256, 576, 432, 120, 9, 0, 0, 0, 0, 0, 512, 1280, 1120, 400, 50, 1, 0, 0, 0, 0, 0
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0.4
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评论
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三角形T（n，k），按行读取，由（1,1,0,0,0,1,0,0，0,0…）DELTA（0,1，-1,0,0-0,00,0.0，…）给出，其中DELTA是在A084938号.
这是Corsani等人-彼得·巴拉2015年7月14日
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链接
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C.Corsani、D.Merlini和R.Sprugnoli，组合和的左反演《离散数学》，180（1998）107-122。
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配方奶粉
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当k＜0或n＜k时，T（n，k）＝2*T（n-1，k）+T（n-2，k-1），其中T（0,0）＝T（1,0）＝1，T（1,1）＝0和T（n，k）＝0。
和{k，0<=k<=n}T（n，k）*x^k=A138229号（n） ，A006495号（n） ，A138230型（n） ，A087455号（n） ，A146559号（n） ，A000012号（n） ，A011782号（n） ，A001333号（n） ，A026150型（n） ，A046717号（n） ，A084057号（n） ，A002533号（n） ，A083098号（n） ，A084058号（n） ，A003665号（n） ，A002535号（n） ，A133294号（n） ，A090042号（n） ，125816年（n） ，A133343号（n） ，A133345号（n） ，A120612号（n） ，A133356号（n） ，A125818号（n） 对于x=-6，-5，-4，-3，-2，-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17。
G.f.：（1-x）/（1-2*x-y*x^2）-菲利普·德莱厄姆2012年3月3日
T（n，k）=Sum_{i=k.floor（n/2）}二项式（n，2*i）*binominal（i，k）。（结束）
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例子
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三角形T（n，k）开始于：
n \k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15。。。
0: 1
1: 1 0
2: 2 1 0
3:4 3 0 0
4: 8 8 1 0 0
5: 16 20 5 0 0 0
6: 32 48 18 1 0 0 0
7: 64 112 56 7 0 0 0 0
8: 128 256 160 32 1 0 0 0 0
9: 256 576 432 120 9 0 0 0 0 0
10: 512 1280 1120 400 50 1 0 0 0 0 0
11: 1024 2816 2816 1232 220 11 0 0 0 0 0 0
12: 2048 6144 6912 3584 840 72 1 0 0 0 0 0 0
13: 4096 13312 16640 9984 2912 364 13 0 0 0 0 0 0 0
14: 8192 28672 39424 26880 9408 1568 98 1 0 0 0 0 0 0 0
15: 16384 61440 92160 70400 28800 6048 560 15 0 0 0 0 0 0 0 0
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经核准的
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1、2、1、4、3、8、8、1、16、20、5、32、48、18、1、64、112、56、7、128、256、160、32、1、256、576、432、120、9、512、1280、1120、400、50、1、1024、2816、2816、1232、220、11、2048、6144、6912、3584、840、72、1、4096、13312、16640、9984、2912、364、13
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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配方奶粉
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T（n，k）=2*T（n-1，k）+T（n-2，k-1）-菲利普·德莱厄姆2012年3月3日
G.f.：-（1+x*y）*x*y/（-1+2*x+x^2*y）-R.J.马塔尔2015年8月11日
T（n，k）=[x^k]超几何（[-n/2，-n/2+1/2]，[1/2]，x+1），前提是偏移设置为0，并加上1-彼得·卢什尼2021年2月3日
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例子
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前七行：
1;
2, 1;
4, 3;
8, 8, 1;
16, 20, 5,
32, 48, 18, 1;
64, 112, 56, 7;
1;
1, 0;
2, 1, 0;
4, 3, 0, 0;
8, 8, 1, 0, 0;
16, 20, 5, 0, 0, 0;
32, 48, 18, 1, 0, 0, 0;
64、112、56、7、0、0、0、0；
…（结束）
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数学
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u[1，x_]：=1；v[1，x_]：=1；z=16；
u[n，x_]：=u[n-1，x]+（x+1）*v[n-1、x]
v[n，x_]：=u[n-1，x]+v[n-1、x]
表[系数[u[n，x]]，{n，1，z}]
表[系数[v[n，x]]，{n，1，z}]
cu=表[系数列表[u[n，x]，x]、{n，1，z}]；
表格[cu]
表[展开[v[n，x]]，{n，1，z}]
cv=表[系数列表[v[n，x]，x]、{n，1，z}]；
表格[cv]
（*在1前面加上偏移量0:*）
Tpoly[n_]：=超几何PFQ[{-n/2，-n/2+1/2}，{1/2}，x+1]；
表[系数列表[Tpoly[n]，x]，{n，0，12}]//展平(*彼得·卢什尼2021年2月3日*）
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交叉参考
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关键词
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非n,标签
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经核准的
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1, 15, 128, 816, 4320, 20064, 84480, 329472, 1208064, 4209920, 14057472, 45260800, 141213696, 428654592, 1270087680, 3683254272, 10478223360, 29297934336, 80648077312, 218864025600, 586290298880, 1551944908800, 4063273943040
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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0,2
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配方奶粉
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通用名称：（1-x）/（1-2*x）^8-科林·巴克2013年5月31日
例如：（1/315）*exp（2*x）*（315+4095*x+11340*x ^2+11550*x ^3+5250*x ^4+1134*x ^5+112*x ^6+4*x ^7）-斯特凡诺·斯佩齐亚2019年10月17日
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MAPLE公司
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seq（2^（n-1）*（n+14）*二项式（n+6,6）/7，n=0..30）#G.C.格鲁贝尔2019年10月18日
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数学
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系数表[级数[（1-x）/（1-2*x）^8，{x，0，30}]，x]（*或*）表[2^（n-1）*二项式[n+6，6]*（n+14）/7，{n，0，30}](*G.C.格鲁贝尔2018年1月3日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）Rn:=6；[2^（n-1）/（Rn+1）*二项式（n+Rn，Rn）*（n+（Rn+1*2）：[0.22]中的n；
（PARI）用于（n=0，30，打印1（2^（n-1）*二项式（n+6，6）*（n+14）/7，“，”）\\G.C.格鲁贝尔2018年1月3日
（Magma）R<x>：=PowerSeriesRing（整数（），23）；系数（R！（（1-x）/（1-2*x）^8））//马吕斯·A·伯蒂2019年10月17日
（GAP）列表（[0..30]，n->2^（n-1）*（n+14）*二项式（n+6,6）/7）#G.C.格鲁贝尔2019年10月18日
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非n,容易的
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