搜索： a006894-编号：a00689四
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1, 3, 7, 18, 85, 2364, 2600425, 3374964379317, 5695183504495988993642596, 16217557574922386301420542667438374091771757190157, 131504586847961235687181874578063117114329409897631406061666638548823646377599560502379804093488299
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链接
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配方奶粉
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A000217号
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| 三角数：a（n）=二项式（n+1,2）=n*（n+1）/2=0+1+2+…+n.（名词）。
（原名M2535 N1002）
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+10
4552
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0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666, 703, 741, 780, 820, 861, 903, 946, 990, 1035, 1081, 1128, 1176, 1225, 1275, 1326, 1378, 1431
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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也称为T（n）或C（n+1,2）或二项式（n+1，2）（首选）。
广义六角形数：n*（2*n-1），n=0，+-1，+-2，+-3。。。广义k-角数是第二个k-角数和k-角数字的正项交错，k>=5。在这种情况下，k=6-奥马尔·波尔2011年9月13日和2012年8月4日
n+1，K_{n+1}阶完整图的边数。
在n个字母的字符串中插入一对括号的合法方法的数量。例如，三个字母有六种写法：（a）bc，（ab）c，（abc），a（b）c，a（bc），ab（c）。证明：有C（n+2.2）方法可以选择括号的位置，但其中n+1是非法的，因为括号是相邻的。囊性纤维变性。A002415号.
对于n>=1，a（n）也是n+2次非奇异曲线的亏格，如费马曲线x^（n+2）+y^（n+2）=1.-艾哈迈德·法尔斯（ahmedfares（AT）my_deja.com），2001年2月21日
根据哈纳克定理（1876），n阶非奇异曲线的分支数有界于a（n）-贝诺伊特·克洛伊特2002年8月29日
双n多米诺骨牌中的瓷砖数量-斯科特·布朗2002年9月24日
n个不相同链接的链可以分解的方式数。这是基于蛋白质组学领域的一个类似问题：质谱仪中n个氨基酸残基的肽可以被分解的方式的数量。一般来说，每个氨基酸都有不同的质量，所以AB和BC的质量会不同-詹姆斯·雷蒙德2003年4月8日
三角数-奇数=移位三角数；1, 3, 6, 10, 15, 21, ... - 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... = 0, 0, 1, 3, 6, 10, ... - Xavier Aclogue，2003年10月31日【更正人：德里克·奥尔2015年5月5日]
居中多边形数是[边数]的结果*A000217号+ 1]. 例如，中心五边形数（1,6,16,31，…）=5*（0,1,3,6，…）+1。居中七元数（1,8,22,43，…）=7*（0,1,3,6，…）+1.-Xavier Acloque，2003年10月31日
由n+1个平面的交点形成的最大线数-罗恩·金2004年3月29日
避开模式132且正好有1个下降的[n]排列数-迈克·扎布罗基2004年8月26日
不允许长度为n-1的三元字的数量带有子字（0,1）、（0,2）和（1,2）-奥利维尔·杰拉德2012年8月28日
可以从集合{0,1,2，…，n}中选择两个不同的数字而不重复，或者，可以在集合{1,2，……，n{中选择二个不同数字并重复的方法。
据推测，只有1、6、120是三角形和阶乘的数字Christopher M.Tomaszewski（cmt1288（AT）comcast.net），2005年3月30日
每对相邻的项组成一个完美的正方形-扎克·塞多夫2006年3月21日
n+1个字母对称组中的转置数，即除两个元素外，其余元素都保持不变的排列数-杰弗里·克雷策2006年6月23日
对于rho（n）：=exp（i*2*Pi/n）（1的n次方根），对于n>=1，rho（n）^a（n）=（-1）^（n+1）。只需使用琐碎性a（2*k+1）==0（mod（2*k+1））和a（2*k）==k（mod））。
a（n）是（a1+a2+a3）^（n-1）展开式中的项数-塞尔吉奥·法尔孔2007年2月12日
a（n+1）是2个变量中n次完全齐次对称多项式的项数-理查德·巴恩斯2017年9月6日
等于半群PT_n\S_n的秩（生成集的最小基数），其中PT_n和S_n表示[n]上的部分变换半群和对称群-詹姆斯·伊斯特，2007年5月3日
a（n）给出了从三角形上的一个顶点到该顶点对面绘制cevian时发现的三角形总数，其中n=绘制的cevian数+1。例如，绘制1个cevian，n=1+1=2和a（n）=2*（2+1）/2=3，则图形中总共有3个三角形。如果从一个点到另一侧绘制2个cevians，则n=1+2=3和a（n）=3*（3+1）/2=6，则图中总共有6个三角形。-Noah Priluck（npriluck（AT）gmail.com），2007年4月30日
对于n>=1，a（n）是当项的顺序不同的表示被认为不同时，n-1可以写成三个非负整数之和的方式数。换句话说，对于n>=1，a（n）是方程x+y+z=n-1的非负积分解的个数-阿马纳特·穆尔蒂2001年4月22日（编辑：罗伯特·A·比勒)
a（n）是三维各向同性谐波量子振荡器的能量为n+3/2（单位为h*f0，普朗克常数为h，振荡器频率为f0）的能级数。请参阅上文A.Murthy的评论：n=n1+n2+n3带有正整数并排序。o.g.f.的证明见A.Messiah参考-Wolfdieter Lang公司2007年6月29日
数字m>=0，使圆（sqrt（2m+1））-圆（squart（2m））=1。
数字m>=0，这样天花板（2*sqrt（2m+1））-1=1+地板（2*m2（2m））。
数字m>=0，使得fract（sqrt（2m+1））>1/2，fract（m2））<1/2，其中fract（x）是x的小数部分（即x-floor（x），x>=0）。（结束）
如果Y和Z是一个n集X的3个块，那么对于n>=6，a（n-1）是与Y和Z相交的X的（n-2）子集的数目-米兰Janjic2007年11月9日
循环赛中的比赛数量：n*（n-1）/2给出了n名球员所需的比赛数量。每个人都会和其他人比赛一次Georg Wrede（Georg（AT）iki.fi），2008年12月18日
等效于连续四面体数的第一个差。请参见A000292号.-Jeremy Cahill（jcahill（AT）inbox.com），2009年4月15日
交替幂和的一般公式是以瑞士-刀多项式P（n，x）表示的A153641号2^（-n-1）（P（n，1）-（-1）^k P（n、2k+1））。因此，a（k）=|2^（-3）（P（2,1）-（-1）^k P（2,2k+1））|-彼得·卢什尼2009年7月12日
a（n）是最小的数>a（n-1），使得gcd（n，a（n。如果n是奇数，则gcd是n；如果n是偶数，则为n/2-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2009年8月6日
弗洛伊德三角形右边的数字是1、3、6、10、15-保罗·穆尔贾迪2010年1月25日
更一般地说，a（2k+1）==j*（2j-1）（mod 2k+2j+1）和
a（2k）==[-k+2j*（j-1）]（模2k+2j）。
列总和：
1 3 5 7 9 ...
1 3 5 ...
1 ...
...............
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1 3 6 10 15 ...
和{n>=1}1/a（n）^2=4*Pi^2/3-12=12小于半径为Pi^（1/3）的球体的体积。
（结束）
（结束）
绘制三个点（0,0）、（a（n）、a（n+1））、（a+1）、a+2）以形成三角形。面积为a（n+1）/2-J.M.贝戈，2012年5月4日
以a（n）=n*（n+1）/2开头的四个连续三角形数之和减去2等于2*（n+2）^2。a（n）*a（n+2）/2=a（a（n+1）-1）-J.M.贝戈2012年5月17日
（a（n）*a（n+3）-a（n+1）*a-J.M.贝戈2012年5月18日
a（n）*a（n+1）+a（n+2）*a（n+3）+3=a（n^2+4*n+6）-J.M.贝戈2012年5月22日
一般来说，a（n）*a（n+1）+a（n+k）*a-查理·马里恩2012年9月11日
a（n）*a（n+3）+a（n+1）*a-J.M.贝戈2012年5月22日
一般来说，a（n）*a（n+k）+a（n+1）*a-查理·马里恩2012年9月11日
a（n）*a（n+2）+a（n+1）*a（n+3）=a（n^2+4*n+3）-J.M.贝戈2012年5月22日
三个点（a（n）、a（n+1））、（a（n/1）、a-J.M.贝戈2012年5月23日
a（n）+a（n+k）=（n+k）^2-（k^2+（2n-1）*k-2n）/2。对于k=1，我们得到a（n）+a（n+1）=（n+1）^2（见下文）-查理·马里恩2012年10月2日
在n空间中，我们可以定义一个（n-1）非平凡的正交投影。例如，在3空间中有一个（2）=3（即点对线、点对平面、线对平面）-道格拉斯·拉蒂默2012年12月17日
对于n>=1，a（n）等于半群P_n\S_n的秩（生成集的最小基数）和幂等秩（幂等生成集的极小基数），其中P_n和S_n表示[n]上的分区幺半群和对称群。
对于n>=3，a（n-1）等于半群T_n\S_n的秩和幂等秩，其中T_n和S_n表示[n]上的完全变换半群和对称群。
（结束）
对于n>=3，a（n）等于半群PT_n\S_n的秩和幂等秩，其中PT_n和S_n表示[n]上的部分变换半群和对称群-詹姆斯·伊斯特2013年1月15日
公式a（n）*a（n+4k+2）/2+a（k）=a（a（n+2k+1）-（k+2+（k+1）^2））是Bergot 2012年5月17日评论中公式a（n）*a（n+2）/2=a（a（n+1）-1）的推广-查理·马里恩，2013年3月28日
对于奇数m=2k+1，我们有递归a（m*n+k）=m^2*a（n）+a（k）。推论：如果数字T在序列中，那么它就是9*T+1-Lekraj Beedassy公司2013年5月29日
欧拉在歌剧《Postuma》第87节中指出，只要T是三角形数，那么9*T+1、25*T+3、49*T+6和81*T+10也是三角形数。一般来说，如果T是三角形数，那么（2*k+1）^2*T+k*（k+1）/2也是三角形数-彼得·巴拉2015年1月5日
使用1/b和1/（b+2）将得到一个边为2*b+2、b^2+2*b和b^2+2*b+2的勾股三角形。设置b=n-1，得到一个边长为2*n、n^2-1和n^2+1的三角形。四分之一周长=a（n），对于n>1-J.M.贝戈2013年7月24日
a（n）=A028896号（n） /6，其中A028896号（n） =s（n）-s（n-1）是s（n，n）=n^3+3*n^2+2*n-8的第一个差。s（n）可以解释为12个边长加上6个面面积加上n个X（n-1）X（n-2）矩形棱镜的体积之和-J.M.贝戈2013年8月13日
A_n型根系中的正根数（对于n>0）-汤姆·埃德加2013年11月5日
对于k=1到n，k的第r次连续求和的公式是二项式（n+r，r+1）[H.W.Gould]-加里·德特利夫斯2014年1月2日
对于n>=3，a（n-2）是1,2，…，的置换数，。。。，n的上（1）-下（0）个元素的分布为0…011（n-3个零），或者相同，a（n-2）是上下系数{n，3}（参见A060351型). -弗拉基米尔·舍维列夫，2014年2月14日
a（n）是对称n×n矩阵向量空间的维数-德里克·奥尔2014年3月29日
大小为2的{1，…，n+1}的Sidon子集的数目-卡尔·纳杰菲2014年4月27日
Vandermonde行列式V（x_1，x_2，…，x_n）定义中的因子数=Product_{1<=i<k<=n}x_i-x_k-汤姆·科普兰2014年4月27日
假设一个袋子包含一个（n）红色大理石和一个（n+1）蓝色大理石，其中a（n）、a（n+1）是连续的三角形数字。然后，对于n>0，随机选择两个弹珠并得到两个红色或两个蓝色的概率为1/2。一般来说，对于k>2，设b（0）=0，b（1）=1，对于n>1，b（n）=（k-1）*b（n-1）-b（n-2）+1。假设，对于n>0，一个袋子包含b（n）个红色大理石和b（n+1）个蓝色大理石。然后随机选择两个弹珠，得到两个红色或两个蓝色的概率为（k-1）/（k+1）。另请参见A027941号,A061278号,A089817号,A053142号,A092521美元. -查理·马里恩2014年11月3日
考虑将自然数从集合S=（1,2,3，…，n）分为若干部分。生成序列的签名的长度（顺序）由三角数给出。例如，对于n＝10，签名长度为55-大卫·尼尔·麦格拉思2015年5月5日
a（n）将（n-1）个未标记对象的分区计算为三（3）个部分（标记为a、b、c），例如，a（5）=15表示（n-1”=4。这些是（aaaa）、（bbbb）、)、（英国广播公司）、（密件抄送）、（英国电视广播公司）-大卫·尼尔·麦格拉思2015年5月21日
推测：序列是指数n为代数曲线的正弦螺旋的亏格。值0对应于Bernoulli Lemniscate n=2的情况。所以推测的公式是（n-1）（n-2）/2-沃尔夫冈·廷特曼2015年8月2日
猜想：设m为任意正整数。然后，对于每个n=1,2,3，。。。集合{Sum{k=s..t}1/k^m:1<=s<=t<=n}具有基数a（n）=n*（n+1）/2；换句话说，所有1<=s<=t的和{k=s.t}1/k^m是两两不同的。（我通过计算机检查了这个猜想，没有发现反例。）-孙志伟2015年9月9日
对于n>=1，a（n）是n+4到n个部分的组成数，避免了第2部分-米兰Janjic2016年1月7日
假设您正在玩保加利亚纸牌（请参阅A242424型以及张伯伦和加德纳的书），如果n>0，则从一堆a（n）卡开始。那么，达到固定状态{n，n-1，…，1}所需的运算次数是a（n-1）。例如，{6}->{5,1}->{4,2}->{3,2,1}. -查理·马里恩2016年1月14日
每个完美立方体都是两个连续三角形数的平方差。1^2-0^2 = 1^3, 3^2-1^2 = 2^3, 6^2-3^2 = 3^3. -米奎尔·塞尔达2016年6月26日
对于n>1，a（n）=tau_n（k*），其中tau_n（k）是k的有序n分解数，k*是素数的平方。例如，tau_3（4）=tau_3（9）=tau_3（25）=tau _3（49）=6（参见A007425号)因为4、9、25和49的除数是6，a（3）=6-梅尔文·佩拉尔塔2016年8月29日
对常见的公式a（n）+a（n+1）=（n+1”）^2（2004年2月19日）和a（n”^2+a（n+1）^2=a（（n+1+6a（k-1））-查理·马里恩2016年11月27日
a（n）也是具有n+4个顶点的多面体中可能的最大对角线数-弗拉基米尔·莱茨科2016年12月19日
对于n>0，2^5*（二项式（n+1,2））^2表示2*（2*n+1）^2个连续整数之和中的第一个整数，等于（2*n+1）^6-帕特里克·J·麦克纳布2016年12月25日
不大于n的正整数的有序三元组（a，b，c）的数量，使得a+b+c=2n+1-阿维埃尔·利维2017年2月13日
使用最多n种颜色以使任何颜色只出现一次的不等价四面体面的着色数-大卫·纳辛2017年2月22日
a（n）是顶点位于（1,1）、（n+1，n+2）和（（n+1）^2，（n+2）^2）的三角形的面积-阿特·贝克，2018年12月6日
对于n>0，a（n）是最小的k>0，因此n除以（1/a（1）+1/a（2）+…+的分子1/a（n-1）+1/k）。应该注意的是，1/1+1/3+1/6+…+2/（n（n+1））=2n/（n+1-托马斯·奥多夫斯基2019年8月4日
n-齐次超可解线排列中线数的上界（参见Dimca中的定理1.1）-斯特凡诺·斯佩齐亚2019年10月4日
对于n>0，a（n+1）是边长为n的三角形网格上的格点数量-韦斯利·伊万·赫特，2020年8月12日
长度为n的字符串的非空子串的最大数目。
求和集A+A的最大基数，其中A是n个数字的集合。（结束）
a（n）是避免模式123、132和312的大小为n的停车功能的数量-劳拉·普德威尔2023年4月10日
假设平行画出两行，每行由n个均匀间隔的点组成。假设我们在两行的点之间画出直线。对于n>=1，a（n-1）是线之间可能的最大交点数。等价地，[n]置换中的最大反转数-塞拉·弗里德2023年4月18日
以下等式补充了Bala评论（2015年1月5日）中的概括。（2k+1）^2*a（n）+a（k）=a（（2k+1*n+k）-查理·马里恩2023年8月28日
a（n）+a（n+k）+a。对于k=1，我们有a（n）+a（n+1）=（n+1”）^2-查理·马里恩2023年11月17日
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参考文献
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。1964年第55辑（以及各种重印本），第828页。
C.Alsina和R.B.Nelson，《魅力证明：优雅数学之旅》，MAA，2010年。见第1章。
T.M.Apostol，《解析数论导论》，Springer-Verlag，1976年，第2页。
A.H.Beiler，《数字理论中的娱乐》，纽约州多佛，1964年，第189页。
A.T.Benjamin和J.J.Quinn，《真正重要的证据：组合证明的艺术》，M.A.A.2003，第109ff页。
Marc Chamberland，《单数字：赞美小数字》，第3章，数字三，第72页，普林斯顿大学出版社，2015年。
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第155页。
J.M.De Koninck和A.Mercier，1001 Problèmes en Théorie Classique des Nombres，Probléme 309 pp 46-196，Ellipses，巴黎，2004年
E.Deza和M.M.Deza，数字，世界科学出版社（2012），第6页。
L.E.Dickson，《数字理论史》。卡内基公共研究所。256，华盛顿特区，第1卷，1919年；第2卷，1920年；1923年第3卷，见第2卷，第1页。
马丁·加德纳（Martin Gardner），《数学巨著》（Colossal Book of Mathematics），第34章，保加利亚纸牌游戏和其他看似无止境的任务，第455-467页，诺顿公司（W.W.Norton&Company），2001年。
詹姆斯·格莱克，《信息：历史，理论，洪水》，万神殿，2011年。[第82页提到了E.de Joncort1762年出版的前19999个三角形数字的表格。]
凯·霍斯特曼（Cay S.Horstmann），斯卡拉（Scala）为住院患者提供服务。新泽西州上鞍河：Addison-Wesley（2012）：171。
拉博斯·E：关于RGB颜色的数量，我们可以区分。配分光谱。在第七届匈牙利生物计量学和生物数学会议上演讲。布达佩斯。2005年7月6日。
A.J.F.Leatherland，乌拉姆螺旋上的三角数，URL=yoyo.cc.monash.edu.au/~bunyip/primes/triangleUlam.htm。截至2019年12月，此链接不起作用，但恢复它将很有意思。在埃里克·魏斯坦的《数学世界》（World of Mathematics）的纸质版和在线版中，在Prime Spiral to Leatherland的条目中有一个参考，a.J.F.“神秘的Prime Spilon现象”，同样有一个不再起作用的URL-N.J.A.斯隆2019年12月13日
A.弥赛亚，《量子力学》，第一卷，荷兰北部，阿姆斯特丹，1965年，第457页。
J.C.P.Miller，编辑，《二项式系数表》。英国皇家学会数学表格，第3卷，剑桥大学出版社，1954年。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
T.Trotter，三角数的一些恒等式，《休闲数学杂志》，1973年春季，6（2）。
D.Wells，《企鹅好奇和有趣数字词典》，第91-93页，企鹅图书1987年。
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链接
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准应用数学局。系列55，第十次印刷，1972年。
阿约米昆·阿德尼兰（Ayomikun Adeniran）和劳拉·普德威尔（Lara Pudwell），停车功能中的模式避免，枚举器。梳子。申请。3:3（2023），第S2R17条。
T.贝尔登和T.加德纳，三角数和完美平方，《数学公报》86（2002），423-431。
Alexandru Dimca和Takuro Abe，关于复超可解线排列，arXiv:1907.12497[math.AG]，2019年。
阿斯卡·朱马迪尔·达耶夫和达米尔·叶利乌西佐夫，二项式系数的幂和，《整数序列杂志》，第16卷（2013年），#113.1.1。
E.T.Frankel，数字微积分与有限差分《美国数学月刊》，57（1950），14-25。[带注释的扫描副本]
亚当·格拉博夫斯基，多边形数字《形式化数学》，第21卷，第2期，第103-113页，2013年；DOI:10.2478/forma-2013-012；备用副本
C.汉堡，三角形数字无处不在《伊利诺伊州数学和科学学院数学杂志：高中数学资源笔记本》（1992年），第7-10页。
A.M.Hinz、S.Klavíar、U.Milutinović和C.Petr，河内塔——神话与数学，Birkhäuser 2013。见第35页。图书网站
R.Jovanovic，三角形数字[在Wayback Machine缓存副本]
萨米恩·艾哈迈德·汗，多边形数倒数的幂和《国际申请杂志》。数学。（2020）第33卷，第2期，265-282。
Hyun Kwang Kim，关于正则多面体数，程序。阿默尔。数学。《社会学杂志》，131（2003），65-75。
克拉克·金伯利，互补方程《整数序列杂志》，第10卷（2007年），第07.1.4条。
克拉克·金伯利（Clark Kimberling）和约翰·布朗（John E.Brown），部分补体和转座色散，J.整数序列。，2004年第7卷。
谢尔盖·穆拉维奥夫（Sergey V.Muravyov）、刘德米拉·库多诺戈娃（Liudmila I.Khudonogova）和叶卡捷琳娜·伊梅利亚诺娃（Ekaterina Y.Emelyanova），基于偏好聚集的区间数据融合《计量》（2017），见第5页。
Enrique Navarrete和Daniel Orellana，寻找素数作为序列的不动点，arXiv:1907.10023[math.NT]，2019年。
小埃德·佩格。，序列图片《数学游戏》专栏，2003年12月8日。
小埃德·佩格。，序列图片，数学游戏专栏，2003年12月8日[缓存副本，经许可（仅pdf）]
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
大卫·G·拉德克利夫，三角数的乘积规则，arXiv:1606.05398[math.NT]，2016年。
路易斯·曼努埃尔·里维拉，整数序列与k-交换置换，arXiv预印本arXiv:1406.3081[math.CO]，2014-2015。
肯尼思·罗斯，正方形和立方的第一个数字，数学。杂志85（2012）36-42。doi:10.4169/math.mag.85.136。
Frank Ruskey和Jennifer Woodcock，集分区对的随机距离和块距离，《组合算法》，287-299，《计算讲义》。科学。，7056，斯普林格，海德堡，2011年。
克劳德·亚历山大·西蒙内蒂，一种新的数学符号：术语，arXiv:2005.00348[数学.GM]，2020年。
H.Stamm-Wilbrandt，帕斯卡三角形倒数之和[来自Wayback Machine的缓存副本]
T.Trotter等人，三角数的几个恒等式，J.Rec.数学。第6卷，第2期，1973年春季。[来自Wayback Machine的缓存副本]
米歇尔·沃尔德施米特，连续分数，École de recherche CIMPA Oujda，Théorie des Nombres et ses Applications，2015年5月18日至29日：Oujda（摩洛哥）。
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配方奶粉
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通用：x/（1-x）^3-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中
例如：exp（x）*（x+x^2/2）。
a（n）=a（-1-n）。
a（n）=（-1）^n*Sum_{k=1..n}（-1）*k*k^2-贝诺伊特·克洛伊特2002年8月29日
a（n+1）=（n+2）/n）*a（n），和{n>=1}1/a（n=2）-乔恩·佩里，2003年7月13日
对于插值零，这是n*（n+2）*（1+（-1）^n）/16-贝诺伊特·克洛伊特2003年8月19日
a（n+1）是n X n对称帕斯卡矩阵M_（i，j）=二项式（i+j+1，i）的行列式-贝诺伊特·克洛伊特2003年8月19日
a（n）=（（n+1）^3-n^3-1）/6.-泽维尔·阿克洛佩，2003年10月24日
a（n）=a（n-1）+（1+sqrt（1+8*a（n-1）））/2。当取平方根的负分支时，此递归关系被反转，即a（n）被转换为a（n-1）而不是a（n+1）-卡尔·R·怀特2003年11月4日
a（n）=a（n-2）+2*n-1-保罗·巴里2004年7月17日
a（n）=平方（sqrt（和{i=1..n}和{j=1.n}（i*j）^3））=（和{i=1..n{和{j=1..n}和_{k=1..n}（i*j））^（1/6）-亚历山大·阿达姆楚克2004年10月26日
如果n是奇数，a（n）==1（mod n+2）；如果n是偶数，a-乔恩·佩里2004年12月16日
a（0）=0，a（1）=1，a（n）=2*a（n-1）-a（n-2）+1-米克洛斯·克里斯托夫2005年3月9日
a（n）=地板（（2*n+1）^2/8）-保罗·巴里2006年5月29日
a（n）^2+a（n+1）^2=a（n+1^2）[R B Nelsen，《数学杂志》70（2）（1997），第130页]-R.J.马塔尔2006年11月22日
a（n）*a（n+k）+a（n+1）*a。概括了2006年11月22日之前的公式[以及J.M.贝戈日期：2012年5月22日]-查理·马里恩2011年2月4日
（sqrt（8*a（n）+1）-1）/2=n.-David W.Cantrell（DWCantrell（AT）sigmaxi.net），2007年2月26日
多边形数的一般公式是P（k，n）=（k-2）*（n-1）n/2+n=n+（k-2*A000217号（n-1），对于n>=1，k>=3-奥马尔·波尔2008年4月28日和2013年3月31日
如果我们定义f（n，i，a）=Sum_{j=0..k-1}（二项式（n，k）*Stirling1（n-k，i）*Product_{j=0.0..k-1}（-a-j）），那么当n>=1时，a（n）=-f（n，n-1,1）-米兰Janjic2008年12月20日
4*a（x）+4*a（y）+1=（x+y+1）^2+（x-y）^2-弗拉基米尔·舍维列夫2009年1月21日
该序列逆的指数生成函数由和{m>=0}（（Pochhammer（1，m）*Pochhamder（1，m））*x^m/（Pochharmer（3，m）*阶乘（m））=（（2-2*x）*log（1-x）+2*x）/x^2给出，其n阶导数具有闭合形式，必须通过将极限取为x->0来计算。A000217号（n+1）=（lim_{x->0}d^n/dx^n（（2-2*x）*log（1-x）+2*x）/x^2）+n*（对数（1-x）+对数（-1/（-1+x）））*（-x+1+n））/x^2））^-1-斯蒂芬·克劳利2009年6月28日
偏移量为1时，a（n）=楼层（n^3/（n+1））/2-加里·德特利夫斯2010年2月14日
a（n）=4*a（楼层（n/2））+（-1）^（n+1）*楼层（n+1，/2）-布鲁诺·贝塞利2010年5月23日
a（n）=3*a（n-1）-3*a（n-2）+a（n-3）；a（0）=0，a（1）=1-马克·多尔斯2010年8月20日
a（n）+2*a（n-1）+a（n-2）=n^2+（n-1；和
a（n）+3*a（n-1）+3*a（n-2）+a（n-3）=n^2+2*（n-1。
一般来说，对于n>=m>2，求和{k=0..m}二项式（m，m-k）*a（n-k）=求和{k=0..m-1}二项式（m-1，m-1-k）*（n-k）^2。
a（n）-2*a（n-1）+a（n-2）=1，a。
一般来说，对于n>=m>2，求和{k=0..m}（-1）^k*二项式（m，m-k）*a（n-k）=0。
（结束）
对于n>0，a（n）=1/（积分_{x=0..Pi/2}4*（sin（x））^（2*n-1）*（cos（x），^3）-弗朗西斯科·达迪，2011年8月2日
（n）+（a（n））+1=a（a（n）+1）-J.M.贝戈2012年4月27日
a（n）*a（n+1）=a（和{m=1..n}A005408号（m） ）/2，对于n>=1。例如，如果n=8，则a（8）*a（9）=a（80）/2=1620-伊万·伊纳基耶夫2012年5月27日
通用公式：x*（1+3x+6x^2+…）=x*产品{j>=0}（1+x^（2^j））^3=x*A（x）*A（x^2）*A。。。，其中A（x）=（1+3x+3x^2+x^3）-加里·亚当森2012年6月26日
G.f.：G（0），其中G（k）=1+（2*k+3）*x/（2*k+1-x*（k+2）*（2*k+1）/（x*（k+2）+（k+1）/G（k+1）））；（连分数，第3类，3步）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年11月23日
G.f.：x+3*x^2/（Q（0）-3*x），其中Q（k）=1+k*（x+1）+3*x-x*（k+1）*（k+4）/Q（k+1）；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年3月14日
a（n）+a（n+1）+…+a（n+8）+6*n=a（3*n+15）-查理·马里恩2013年3月18日
a（n）+a（n+1）+…+a（n+20）+2*n^2+57*n=a（5*n+55）-查理·马里恩2013年3月18日
当n>0时，3*a（n）+a（n-1）=a（2*n）-伊万·伊纳基耶夫2013年4月5日
一般来说，a（k*n）=（2*k-1）*a（n）+a（（k-1）*n-1）-查理·马里恩2015年4月20日
此外，a（k*n）＝a（k）*a（n）+a（k-1）*a（n-1）-罗伯特·伊斯雷尔2015年4月20日
a（n+1）=det（二项式（i+2，j+1），1<=i，j<=n）-米尔恰·梅卡2013年4月6日
a（n）=地板（n/2）+天花板（n^2/2）=n-地板（n/2+）+地板（n^1/2）-韦斯利·伊万·赫特2013年6月15日
a（n）=楼面（（n+1）/（exp（2/（n+1））-1））-理查德·福伯格2013年6月22日
和{n>=1}a（n）/n！=3*exp（1）/2由例如f表示。另请参阅A067764号关于用这种方法计算的二项式系数的比率-理查德·福伯格2013年7月15日
和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=4*log（2）-2=0.7725887-理查德·福伯格2014年8月11日
2/（Sum_{n>=m}1/a（n））=m，对于m>0-理查德·福伯格2014年8月12日
设O（n）为长方形数n（n+1）=A002378号（n） 和S（n）平方数n^2=A000290型（n） ●●●●。那么a（n）+a（n+2k）=O（n+k）+S（k）和a（n，n+2k+1）=S（n+k+1）+O（k）-查理·马里恩2015年7月16日
下面是2006年11月22日公式A（n）^2+A（n+1）^2=A（n+1^2）的推广。设T（k，n）=a（n）+k。那么对于所有k，T（k，n）^2+T（k，n+1）^2=T（k，（n+1）^2+2*k）-2*k-查理·马里恩2015年12月10日
Dirichlet g.f.：（zeta（s-2）+zeta（s-1））/2-伊利亚·古特科夫斯基2016年6月26日
a（n）^2-a（n-1）^2=n^3-米奎尔·塞尔达2016年6月29日
a（n）^2+a（n+3）^2+19=a（n^2+4*n+10）-查理·马里恩2016年11月23日
2*a（n）^2+a（n”）=a（n^2+n）-查理·马里恩2016年11月29日
通用公式：x/（1-x）^3=（x*r（x）*r（x^3）*r，其中r（x）=（1+x+x^2）^3=（1+3*x+6*x^2+7*x^3+6*x^4+3*x^5+x^6）-加里·亚当森2016年12月3日
a（n）=矩阵Q（n）的逆的元素之和，其中Q（n）有元素Q_i，j=1/（1-4*（i-j）^2）。因此，如果e=由1组成的适当大小的向量，那么a（n）=e’。Q（n）^-1.e-迈克尔·尤基什2017年3月20日
a（n）=和{k=1..n}（2*k-1）*（2*n-2*k-1）！！）/（2*k-2）*（2*n-2*k）！！）-迈克尔·尤基什2017年3月20日
求和{i=0..k-1}a（n+i）=（3*k*n^2+3*n*k^2+k^3-k）/6-克里斯托弗·霍尔2019年2月23日
当n为奇数时，a（n）==0（mod n）（参见De Koninck参考）-伯纳德·肖特2020年1月10日
8*a（k）*a（n）+（（a（k。当k=1时，这个公式简化为众所周知的公式8*a（n）+1=（2*n+1）^2-查理·马里恩2020年7月23日
a（k）*a（n）=和{i=0..k-1}（-1）^i*a（（k-i）*（n-i））-查理·马里恩2020年12月4日
产品{n>=1}（1+1/a（n））=cosh（sqrt（7）*Pi/2）/（2*Pi）。
乘积_｛n＞＝2｝（1-1/a（n））＝1/3。（结束）
a（n）=和{k=1..2*n-1}（-1）^（k+1）*a（k）*a。例如，对于n=4，1*28-3*21+6*15-10*10+15*6-21*3+28*1=10-查理·马里恩2022年3月23日
2*a（n）=A000384号（n） 一般来说，如果P（k，n）=第n个k边形数，则（j+1）*a（n）=P（5+j，n）-n^2+（j+1）*n。更一般地，（j+1）*P（k，n）=P（2*k+（k-2）*（j-1），n）-n^2+（j+1）*n-查理·马里恩2023年3月14日
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例子
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G.f.：x+3*x^2+6*x^3+10*x^4+15*x^5+21*x^6+28*x^7+36*x^8+45*x^9+。。。
当n=3时，a（3）=4*3/2=6。
示例（a（4）=10）：ABCD，其中a、B、C和D是链中的不同链接，或是肽中的不同氨基酸可能片段：a、B，C、D、AB、ABC、ABCD、BC、BCD、CD=10。
a（2）：冬青树叶落在德川幕府，a（4）：毕达哥拉斯四联中的分数，a（5）：八球台球中的物体球-布拉德利·克莱2015年8月24日
a（1）=1到a（5）=15个正整数的有序三元组求和到n+2[Beerer，McGrath]如下。这些成分按A014311号.
(111) (112) (113) (114) (115)
(121) (122) (123) (124)
(211) (131) (132) (133)
(212) (141) (142)
(221) (213) (151)
(311) (222) (214)
(231) (223)
(312) (232)
(321) (241)
(411) (313)
(322)
(331)
(412)
（421）
(511)
（结束）
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MAPLE公司
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istriangular:=proc（n）局部t1；t1:=楼层（平方米（2*n））；如果n=t1*（t1+1）/2，则返回true，否则返回false；结束条件：；终末程序#N.J.A.斯隆2008年5月25日
ZL:=[S，{S=Prod（B，B，B），B=Set（Z，1<=卡）}，未标记]：
seq（combstruct[计数]（ZL，大小=n），n=2..55）#零入侵拉霍斯2007年3月24日
isA000217:=进程（n）
issqr（1+8*n）；
结束进程：#R.J.马塔尔2015年11月29日[这是Leonhard Euler在1765年《Vollständige Anleitung zur代数》第七章中提出的食谱。彼得·卢什尼2022年9月2日]
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数学
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数组[#*（#-1）/2&，54](*零入侵拉霍斯2009年7月10日*）
文件夹列表[#1+#2&，0，范围@50](*罗伯特·威尔逊v2011年2月2日*）
系数列表[系列[x/（1-x）^3，｛x，0，50｝]，x](*文森佐·利班迪2014年7月30日*）
（*对于Mathematica 10.4+*）表[多边形编号[n]，{n，0，53}](*阿尔卡迪乌斯·韦索洛夫斯基，2016年8月27日*）
线性递归[{3，-3，1}，{0，1，3}，54](*罗伯特·威尔逊v2016年12月4日*）
（*以下Mathematica程序由Steven J.Miller提供，用于测试序列是否为Benford。要测试不同的序列，只需更改一行即可。这强烈表明三角形数字不是Benford，因为输出的第二列和第三列不一致-N.J.A.斯隆，2017年2月12日*）
fd[x_]：=楼层[10^Mod[Log[10，x]，1]]
benfordtest[num_]：=模块[{}，
对于[d=1，d<=9，d++，数字[d]=0]；
对于[n=1，n<=num，n++，
{
d=fd[n（n+1）/2]；
如果[d！=0，数字[d]=数字[d]+1]；
}];
对于[d=1，d<=9，d++，数字[d]=1.0数字[d]/num]；
对于[d=1，d<=9，d++，
打印[d，“”，100.0位[d]，“”、100.0日志[10，（d+1）/d]]]；
]；
本福德试验[20000]
表[Length[Join@@Permutations/@IntegerPartitions[n，{3}]]，{n，0，15}](*古斯·怀斯曼2020年10月28日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）列表（lim）=我的（v=列表（），n，t）；而（t=n*n++/2）<=lim，listput（v，t））；车辆（v）\\查尔斯·格里特豪斯四世2021年6月18日
（哈斯克尔）
a000217 n=a000217_列表！！n个
a000217_list=扫描1（+）[0..]--莱因哈德·祖姆凯勒2011年9月23日
（岩浆）[0..60]]中的[n*（n+1）/2:n//布鲁诺·贝塞利2014年7月11日
（Sage）[n*（n+1）/2表示n in（0..60）]#布鲁诺·贝塞利2014年7月11日
（Scala）（1至53）.scanLeft（0）（_+_）//霍斯特曼（2012），第171页
（Python）对于范围（0，60）中的n：print（n*（n+1）/2，end='，'）#斯特凡诺·斯佩齐亚，2018年12月6日
（Python）#用于计算序列的初始段，而不是
#孤立术语。如果在迭代中，行“x，y=x+y+1，y+1”
#被替换为“x，y=x+y+k，y+k”，然后得到图形数，
#对于k=0（自然A001477号)，k=1（三角形），k=2（正方形），k=3（五边形），k=4（六边形）。
定义aList（）：
x、 y=1，1
产量0
为True时：
收益率x
x、 y=x+y+1，y+1
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000096号,A000124号,A000292号,A000330号,A000396号,A000668号,A001082号,A001788号,A002024号,A002378号,A002415号,A003056号（反函数），A004526号,A006011号,A007318号,A008953号,A008954号,A010054号（特征函数），A028347号,A036666号,A046092号,A051942号,A055998号,A055999号,A056000型,A056115号,A056119号,A056121号,A056126号,A062717号,A087475型,A101859号,A109613号,A143320型,A210569型,A245031型,A245300型,A060544号,A016754号.
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关键词
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非n,核心,容易的,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A001190型
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| Wedderburn-Etherington数：具有n个端点（以及总共2n-1个节点）的未标记的二叉根树（每个节点的超度数为0或2）。
（原名M0790 N0298）
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+10
123
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0, 1, 1, 1, 2, 3, 6, 11, 23, 46, 98, 207, 451, 983, 2179, 4850, 10905, 24631, 56011, 127912, 293547, 676157, 1563372, 3626149, 8436379, 19680277, 46026618, 107890609, 253450711, 596572387, 1406818759, 3323236238, 7862958391, 18632325319, 44214569100
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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评论
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还有n个节点的二叉根树的数目（每个节点的超度数<=2），其中根的度数为0（仅当n=1时）或1。
a（n+1）是具有n个节点的根树的数量，其中每个节点的出度<=2，请参见示例。这些树是通过删除上面注释中树的根来获得的-乔格·阿恩特，2014年6月29日
当乘法是交换的但不是结合的时，x^n的解释数（或插入括号的方法数）。例如，a（4）=2:x（x*x^2）和x^2*x^2。a（5）=3:（x*x^2）x^2，x（x*x*x^ 2）和x（x^2*x^1）。[如果乘法是非交换的，那么答案是A000108号（n-1）-宋嘉宁2022年4月29日]
在单界稳定分层多恒星系统中放置n颗恒星的方法数量；即，仅从中获取配置A003214号其中所有星星都包含在单个外括号中Piet Hut，2003年11月7日
Kn（n阶完全图）的n-1色着色数，使得没有三角形是三色的。G的两个边色C1和C2是同构的，如果存在一个自同构f（G和G之间的同构），使得：f在C2的同色边上发送C1的同色边缘，而f^（-1）在C1的同颜色边上发送C2的同颜色边缘-亚伯拉罕·古铁雷斯2012年11月12日
对于n>1，a（n）是总有n个节点的自由未标记树的无序对的数量（不一定是不同的）。请参阅公式部分的第一项-杰弗里·克雷策2014年11月9日
以英国数学家Ivor Etherington（1908-1994）和苏格兰数学家Joseph Wedderburn（1882-1948）命名-阿米拉姆·埃尔达尔，2021年5月29日
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参考文献
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Miklos Bona，编辑，《枚举组合学手册》，CRC出版社，2015年，第307页。
Louis Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第55页。
史蒂文·芬奇，《数学常数》，剑桥，2003年，第295-316页。
A.Gutiérrez-Sánchez，《神色锦标赛》，论文，联阿援助团，2012年。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
理查德·斯坦利（Richard P.Stanley），《枚举组合数学》，剑桥，第2卷，1999年；参见问题6.52。
理查德·斯坦利（Richard P.Stanley），《加泰罗尼亚数字》（Catalan Numbers），剑桥，2015年，第133页。
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链接
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Yu Hin（Gary）Au、Fatemeh Bagherzadeh和Murray R.Bremner，超立方体矩形分区的计数和渐近公式，arXiv:1903.00813[math.CO]，2019年。
尼尔斯·伯格伦德和克里斯蒂安·奎恩，空间分数SPDE正则结构的模型空间《统计物理杂志》，施普林格出版社，2017年，168（2），第331-368页；HAL Id:HAL-01432157。
萨拉·比利（Sara Billey）、马贾兹·科瓦林卡（Matjaz Konvalinka）和弗雷德里克·马特森四世（Frederick A Matsen IV），关于缠结图和缠结链的计数，arXiv:1507.04976[math.CO]，2015年。
萨拉·比利、马蒂亚·科瓦林卡和弗雷德里克·马特森四世，在树上、缠结图上和缠结链上，hal-02173394[math.CO]，2020年。
彼得·卡梅隆，一些树状物体，夸脱。数学杂志。牛津大学。（2） 38（1987），第150、155-183号。MR0891613（89a:05009）。见第155页-N.J.A.斯隆2014年4月18日
Sean Cleary、M.Fischer、R.C.Griffiths和R.Sainudiin，有限根二叉树上的一些分布，UCDMS研究报告编号：UCDMS2015/2，坎特伯雷大学数学与统计学院，新西兰基督城，2015年。
S.J.Cyvin、J.Brunvoll和B.N.Cyven，多烯组成异构体的计数，J.Molec。结构。（Theochem）357，第3期（1995）255-261。
N.G.de Bruijn和D.A.Klarner，多组非周期循环，SIAM J.代数离散方法3（1982），第3期，第359-368页。MR0666861（84i:05008）。见第367页-N.J.A.斯隆2014年3月25日
Filippo Disanto和Thomas Wiehe，种群遗传学中二叉根树的若干组合问题，arXiv预打印arXiv:1112.1295[math.CO]，2011-2012。
I.M.H.Etherington，非关联幂与函数方程，数学。加兹。21（1937）、36-39和153。
I.M.H.Etherington，关于非关联组合，程序。爱丁堡皇家学会，59（第二部分，1938-1939），153-162。[带注释的扫描副本]
I.M.H.Etherington，关于非关联组合，程序。爱丁堡皇家学会，59（第二部分，1938-1939），153-162。
A.Erdelyi和I.M.H.Etherington，非结合组合的几个问题（二）爱丁堡数学。注释，32（1940），第vii-xiv页。
V.Fack、S.Lievens和J.Van der Jeugt，二叉耦合树旋转图的直径离散数学。245（2002），第1-3、1--18期。MR1887046（2003i:05047）。
菲利普·弗拉乔莱和罗伯特·塞奇威克，分析组合数学, 2009; 见第72页
Ira M.Gessel，用物种计算缠结图，arXiv:1509.03867[math.CO]，2020年。
M.Konvalinka和S.Wagner，随机缠结图的形状，arXiv预印本arXiv:1512.0168[math.CO]，2015。
A.Ledda、G.Achaz、T.Wiehe和L.Ferretti，分解站点频谱：树拓扑对中性测试的影响，arXiv预印本arXiv:15100.06748[q-bio.PE]，2015。
C.D.奥尔兹，问题4277阿默尔。数学。《月刊》，56（1949），697-699。
C.D.Olds（提案人）和H.W.Becker（讨论），问题4277阿默尔。数学。《月刊》第56期（1949年），第697-699页。[带注释的扫描副本]
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配方奶粉
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G.f.满足A（x）=x+（1/2）*（A（x）^2+A（x^2））[de Bruijn和Klarner]。
G.f.还满足A（x）=1-平方（1-2*x-A（x^2））-迈克尔·索莫斯2003年9月6日
a（2n-1）=a（1）a（2n-2）+a（2）a（2-3）+…+a（n-1）a（n），a（2n）=a（1）aa（n-1）a（n+1）+1（n）（a（n）+1）/2。
给定g.f.A（x），则B（x）=-1+A（x，满足0=f（B（x，B（x^2），B（x^4）），其中f（u，v，w）=（u^2+v）^2+2*（v^2+w）-迈克尔·索莫斯2006年10月22日
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例子
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G.f.=x+x^2+x^3+2*x^4+3*x^5+6*x^6+11*x^7+23*x^8+46*x^9+98*x^10+。。。
注释中描述的a（6+1）=11根树，具有6个节点，如下所示：
：级别序列超出度（点表示零）
: 1: [ 0 1 2 3 4 5 ] [ 1 1 1 1 1 . ]
：O--O--O-O-O-O-O
以下为：
: 2: [ 0 1 2 3 4 4 ] [ 1 1 1 2 . . ]
：O--O--O--O-O-O
: .--o个
以下为：
: 3: [ 0 1 2 3 4 3 ] [ 1 1 2 1 . . ]
：O--O--O--O-O-O
: .--o个
以下为：
: 4: [ 0 1 2 3 4 2 ] [ 1 2 1 1 . . ]
：O--O--O--O-O-O
: .--o个
以下为：
：5:[0 1 2 3 4 1][2 1 1 1..]
：O--O--O--O-O-O
：--o个
以下为：
: 6: [ 0 1 2 3 3 2 ] [ 1 2 2 . . . ]
：O--O--O--O
: .--o个
: .--o个
以下为：
: 7: [ 0 1 2 3 3 1 ] [ 2 1 2 . . . ]
：O--O--O--O
: .--o个
：--o个
以下为：
: 8: [ 0 1 2 3 2 3 ] [ 1 2 1 . 1 . ]
：O--O--O--O
: .--o——o
以下为：
: 9: [ 0 1 2 3 2 1 ] [ 2 2 1 . . . ]
：O--O--O--O
: .--o个
：--o个
以下为：
: 10: [ 0 1 2 3 1 2 ] [ 2 1 1 . 1 . ]
：O--O--O--O
：--o——o
以下为：
: 11: [ 0 1 2 2 1 2 ] [ 2 2 . . 1 . ]
：O--O--O
: .--o个
：--o——o
以下为：
（结束）
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MAPLE公司
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N:=40:G001190:=添加(A001190型（n） *x^n，n=0..n）；
规范：=[S，{S=Union（Z，Prod（Z，Set（S，card=2）））}，未标记]：seq（组合结构[count]（规范，大小=n），n=0..20）；
#备选Maple计划：
a： =proc（n）选项记忆`if`（n<2，n，`if`（n：：奇数，0，
（t->t*（1-t）/2）（a（n/2）））+加（a（i）*a（n-i），i=1..n/2）
结束时间：
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数学
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条款=35；A[_]=0；Do[A[x_]=x+（1/2）*（A[x]^2+A[x^2]）+O[x]*terms//正常，terms]；系数列表[A[x]，x](*Jean-François Alcover公司，2011年7月22日，2018年1月10日更新*）
a[n_？奇Q]：=a[n]=和[a[k]*a[n-k]，{k，1，（n-1）/2}]；a[n_？EvenQ]：=a[n]=和[a[k]*a[n-k]，{k，1，n/2-1}]+（1/2）*a[n/2]*（1+a[n/2）；a[0]=0；a[1]=1；表[a[n]，{n，0，32}](*Jean-François Alcover公司，2012年6月13日，重复公式后*）
a[n_]：=如果[n<0，0，SeriesCoefficient[Nest[1-Sqrt[1-2x-（#/.x->x^2）]&，0，BitLength@n]，{x，0，n}]]；(*迈克尔·索莫斯2013年4月25日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）｛a（n）=局部（a，m）；if（n＜0，0，m＝1；a＝O（x）；while（m＜＝n，m*＝2；a＝1-sqrt（1-2*x-subst（a，x，x^2）））；polcoeff（a，n））｝/*迈克尔·索莫斯2003年9月6日*/
（PARI）{a（n）=局部（a）；如果（n<4，n>0，a=向量（n，i，1）；对于（i=4，n，a[i]=和（j=1，（i-1）\2，a[j]*a[i-j]）+如果（i%2，0，a[i-2]*（a[i/2]+1）/2））；a[n]）}/*迈克尔·索莫斯2006年3月25日*/
（Python）
从functools导入lru_cache
@lru_cache（最大大小=无）
如果n<=1：返回n
m=无/无2+无%2
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交叉参考
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关键词
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容易的,核心,非n,美好的,本征的
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作者
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状态
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经核准的
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0, 1, 3, 10, 66, 2278, 2598060, 3374961778891, 5695183504492614029263278, 16217557574922386301420536972254869595782763547560
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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一元二叉树是指每个节点的度小于等于3的树。
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链接
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配方奶粉
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a（n+1）＝1+（a（n）*（a（n）+3））/2。
a（n）：=C（a（n-1）+2，2），n>=-1-零入侵拉霍斯2007年6月8日
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MAPLE公司
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a[-1]：=0:a[0]：=1：对于从1到50的n，执行a[n]：=二项式（a[n-1]+2，2）od:seq（a[n'，n=-1..9）#零入侵拉霍斯2007年6月8日
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数学
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A002658号
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| a（0）=a（1）=1；对于n>0，a（n+1）=a（n）*（a（0）+…+a（n-1））+a（n）*（a（n）+1）/2。
（原名M1814 N0718）
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+10
10
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1, 1, 2, 7, 56, 2212, 2595782, 3374959180831, 5695183504489239067484387, 16217557574922386301420531277071365103168734284282
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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每个节点阶数<=3且高度为n的已种植树木数；或乘法是交换但非结合的时高度n的乘积。
也称为种植三棵树或种植一元二叉树。
下一个术语（给出错误）实际上太大了，无法包含在内。请参见b文件。
来自的评论马克·勒布伦：对单个初始值应用N次换位操作后，不同新值的最大可能数量。
将自然数划分为一组连续的数，从{1}开始，每组的元素数等于前一组的元素数之和。第n个（n>0）集合中的元素数给出了a（n）。集合开始于{1}、{2}、}3,4}、[5,6,7,8,9,10,11}-楼层van Lamoen2002年1月16日
考虑具有一个二进制可交换（x+y）算子和一个生成元A的自由代数系统。高度n的元素数是A（n），其中A的高度为零，（x+y）的高度比x和y的最大高度大一-迈克尔·索莫斯2012年3月6日
Sergey Zimnitskiy，2013年5月8日，为A006894号和A002658号就圆圈内的包装而言。图的以下描述由提供艾伦·威尔克斯。将空白页标记为“1”，并画一个标记为“2”的黑色圆圈。随后的圆圈标记为“3”、“4”。在黑色圆圈中放置两个红色圆圈（编号为“3”和“4”）；因为黑色圆圈的标签是“2”。然后，在每个红色圆圈中，将蓝色圆圈的数量与红色圆圈的标签数量相等。所以这些标记为“5”。。。，"11". 然后在每个蓝色圆圈中，从圆圈“5”开始，放置一组绿色（比如说）圆圈，其数量与蓝色圆圈的标签数量相等。绘制完所有绿色圆圈后，它们将被标记为“12”。。。，"67". 如果你在每个颜色级别上取最大的圆标签，你会得到1，2，4，11，672279，。。。，哪个是A006894号，它本身是的部分和A002658号。该图片是楼层van Lamoen上面的评论。
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参考文献
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N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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|
链接
|
I.M.H.Etherington，非关联幂与函数方程，数学。加兹。21（1937），36-39；补遗21（1937），153。
I.M.H.Etherington，关于非关联组合，程序。爱丁堡皇家学会，59（第二部分，1938-1939），153-162。[带注释的扫描副本]
I.M.H.Etherington，非结合组合的几个问题（I）爱丁堡数学。注释，32（1940年），第i-vi.页。第二部分由A.Erdelyi和i.M.H.Etherington撰写，位于同一版本的第vii-xiv页。
A.Erdelyi和I.M.H.Etherington，非结合组合的若干问题（二）爱丁堡数学。注释，32（1940），第vii-xiv页。
F.Harary等人。，计算允许给定高度的自由二叉树J.Combina.通知。系统科学。17（1992），第1-2期，第175--181页。MR1216977（94c:05039）
Harary，Frank；Edgar M.Palmer。；Robert W.Robinson。，计算允许给定高度的自由二叉树J.Combina.通知。系统科学。17（1992），第1-2期，175-181。（带注释的扫描副本）
Z.A.Melzak，关于均匀枝晶的注记、加拿大。数学。公牛。，11 (1968), 85-93.
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配方奶粉
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a（n+1）=a（n）*（a（n”）/a（n-1）+（a（n）+a（n-1”）/2）[梅尔扎克1968年第87页的等式（5）用a（）代替他的f（）]。
a（n）~2*c^（2^n），其中c=1.24602083298366250894315294419939352846241772983812581752523573774108242448-瓦茨拉夫·科特索维奇2015年5月21日
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MAPLE公司
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s：=proc（n）局部i，j，ans；ans：=[1]；对于i到n做ans:=[op（ans），ans[i]*（加（j，j=ans）-ans[i]）+ans[i]*（ans[i+1）/2]od；返回（ans）；结束；t1:=s（10）；A002658美元：=n->t1[n]；
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数学
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清除[a，b]；a[0]=a[1]=1；b[0]=b[1]=1；b[n]：=b[n]=b[n-1]+a[n-1]；a[n]：=a[n]=（a[n-1]+1）*a[n-1]/2+a[n-1]*b[n-1]；表[a[n]，{n，0，9}](*Jean-François Alcover公司2013年1月31日，继Frank Harary之后*）
递归表[｛a[n]==a[n-1]*（a[n-1]/a[n-2]+（a[n-1]+a[n-2]）/2），a[0]==1，a[1]==1｝，a，｛n，0，10｝](*瓦茨拉夫·科特索维奇2015年5月21日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=局部（a1，a2）；如果（n<2，n>=0，a2=a（n-1）；a1=a（n-2）；a2*（a2/a1+（a1+a2）/2））}/*迈克尔·索莫斯2012年3月6日*/
（PARI）打印1（s=a=1）；对于（i=1,9，打印1（“，”a*=（1-a）/2+s）；s+=a）\\M.F.哈斯勒2015年1月21日
（哈斯克尔）
a002658 n=a002658_列表！！n个
a002658_list=1:1:f[1，1]其中
f（x:xs）=y:f（y:x:xs'）其中y=x*总和xs+x*（x+1）`div`2
（Python）
从itertools导入islice
定义代理（）：
产量1
a=s=1
为True时：
产生一个
an1=an*s+an*（an+1）//2
an，s=an1，s+an
打印（列表（islice（agen（），10））#迈克尔·布拉尼基2022年11月14日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,核心,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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0, 1, 2, 3, 4, 7, 5, 6, 10, 11, 29, 16, 22, 56, 8, 12, 9, 15, 36, 14, 21, 28, 66, 67, 436, 137, 254, 1597, 37, 79, 46, 121, 667, 106, 232, 407, 2212, 17, 38, 23, 30, 68, 13, 18, 20, 78, 465, 44, 153, 276, 1653, 19, 25, 27, 45, 91, 35, 55, 136, 703, 77, 120, 253, 435, 2278
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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链接
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黄体脂酮素
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（下面的Scheme函数显示了基本思想。有关完整来源，请参阅“Alternative Catalian Orderings”OEIS Wiki页面。）
（定义lexrank->arithrank A061579（lexrank->arithrank-bijection包A061578））
（define（lexrank->arithrank-bijection packfun）（lambda（n）（rank-bintree（binexp->括号(A014486号n） ）packfun））
（定义（rank-bintree bt-packfun）（cond（（not（pair？bt））0）（else（1+（packfun（rank-bintree（car-bt）packfum））（rank-二进制树（cdr-bt）packfen））））
（定义（包A061579 x y）（/（+（导出（+x y）2）（*3 x）y）2
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交叉参考
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作者
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状态
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经核准的
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2, 7, 52, 2133, 2590407, 3374951541062, 5695183504479116640376509, 16217557574922386301420514191523784895639577710480, 131504586847961235687181874578063117114329409897550318273792033024340388219235081096658023517076950
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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a（n）是作为高度n的二叉树生根的自由3棵树的数量。
a（n）<=A002658号（n+1）[Harary等人]“这是因为任何二元生根高度为h的树都对应于种植高度为h+1的3棵树。[…]一般来说，树的高度h有一个以上的二元根，因此等式不成立”-迈克尔·索莫斯2012年9月2日
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参考文献
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N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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Harary，Frank；埃德加·M·帕尔默。；Robert W.Robinson。，计算允许给定高度的自由二叉树J.Combina.通知。系统科学。17（1992），第1-2期，第175--181页。MR1216977（94c:05039）
Harary，Frank；Edgar M.Palmer。；Robert W.Robinson。，允许给定高度的自由二叉树计数J.Combina.通知。系统科学。17（1992），第1-2期，175-181。（带注释的扫描副本）
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配方奶粉
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Harary等人给出了一个复杂的复发。
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例子
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+---------+
|o o o | a（1）=2
| | \| |
|o o（零）|
+---------------------------------------------+
|o o o o 0 o o o o o o o o|a（2）=7
| | \| | \| | | | \| \| |/ |
|o o o o o o o o o o o o o o o o o o o|
| | | \| \| \| \ / \| |
|哦哦哦哦|
+---------------------------------------------+
a（3）=52，而A002658号（4） =56，因为有56-52=4个自由二叉树，允许高度为3的树有两个生根，而其他树只有一个生根。这四棵树的度序列分别为32111、322111、3222111、332111-迈克尔·索莫斯2012年9月2日
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数学
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bin2[n_]=二项式[n，2]；
bin3[n_]=二项式[n，3]；
p[0]=q[0]=0；
p[1]=q[1]=1；
q[h1_]：=q[h1]=使用[{h=h1-1}，q[h]+p[h]]；
p[h1_]：=p[h1]=带有[{h=h1-1}，bin2[1+p[h]]+p[h]q[h]]；
a[h]：=a[h]=bin3[2+p[h]]+bin2[1+p[h]]q[h]；
b[h]：=b[h]=bin2[1+p[h]]；
e[h，i_]：=e[h、i]=1+和[d[j，i]，{j，h-1}]；
d[h，h]：=0；d[h，i_]：=p[h]/；i>h；
d[h1_，i1_]：=d[h1，i1]=带有[{h=h1-1，i=i1-1}，bin2[1+d[h，i]]+d[h,i]e[h，i]]；d（h，1）：=d（h）=p（h）-p（h-1）；
e[h，1]：=e[h、1]=p[h-1]；
t1[h]：=总和[a[h-i]-bin3[2+d[h-i，i]]-bin2[1+d[h-i，i]e[h-i、i]，{i，商[h，2]}]；
t2[h]：=和[b[h-i+1]-bin2[1+d[h-i+1，i]]，{i，商[h+1，2]}]；
t[h]：=箱2[1+p[h]]+t1[h]+t2[h]；
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,核心,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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0, 1, 3, 2, 10, 6, 5, 7, 4, 66, 28, 21, 36, 15, 14, 9, 12, 56, 22, 8, 16, 29, 11, 2278, 435, 253, 703, 136, 120, 55, 91, 1653, 276, 45, 153, 465, 78, 77, 35, 27, 44, 20, 25, 18, 68, 2212, 407, 30, 232, 667, 121, 19, 13, 23, 106, 46, 38, 79, 1597, 254, 17, 37, 137, 436
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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链接
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黄体脂酮素
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（下面的Scheme函数显示了基本思想。有关完整的源代码，请参阅“Alternative Catalan Orderings”OEIS Wiki页面。）
（定义lexrank->arithrank A001477（lexrank->arithrank-bijection包A001478））
（define（lexrank->arithrank-bijection packfun）（lambda（n）（rank-bintree（binexp->括号(A014486号n） ）packfun））
（定义（rank-bintree bt-packfun）（cond（（not（pair？bt））0）（else（1+（packfun（rank-bintree（car-bt）packfum））（rank-二进制树（cdr-bt）packfen））））
（定义（包A001477 x y）（/（+（导出（+x y）2）x（*3 y））2））
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A064065号
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| 第n步是将a（n）加到前面的每个数字a（k）上（不包括其本身，即k<n），以产生序列的n个以上项，从a（0）=0，a（1）=1开始。 |
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+10
三
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0, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 1, 2, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 3, 4, 3, 2, 3, 3, 3, 4, 3, 4, 2, 3, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 3, 4, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 5, 3, 4, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 5, 6, 3, 4, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 1, 2, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 2, 3, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 3, 2, 3, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,5
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评论
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链接
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例子
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从（0,1）开始。因此，在初始步骤有（0，*1*，0+1=1）之后，然后是（0，1，*1*，0+1=1，1+1=2），接着是（0、1，1，*1*，2，0+1=1，1+1=2，1+1=2），然后是。
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A108225号
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| a（0）=0，a（1）=2；对于n>=2，a（n）=（a（n-1）+a（n-2））*（a（n-1）-a（n-2）+1）/2。 |
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+10
2
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0、2、3、5、12、68、2280、2598062、3374961778893、5695183504492614029263280、16217557574922386301420536972254869595782763547562
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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大约在2005年6月10日，Antreas P.Hatzipolakis向雅虎新闻集团“Hyacinthos”发帖。
对于n>0，a（n）给出了未标记二叉根树的秩，在那些具有n+1叶的树中，根据Colijn和Plazzotta（2018）在未标记二阶根树和正整数之间的双射，该秩最大-诺亚·A·罗森博格2022年6月3日
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链接
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C.Colijn和G.Plazzotta，系统发育树形状的度量，系统。《生物学》，67（2018），113-126。
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配方奶粉
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MAPLE公司
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F： =proc（n）选项记忆；如果n<=1，则返回（2*n）fi；（F（n-1）+F（n-2））*；结束；
a[-2]：=-2:a[-1]：=0:a[0]：=1:对于从1到50的n，执行a[n]：=二项式（a[n-1]+2，2）od:seq（a[n]+2、n=-2..8）#零入侵拉霍斯2007年6月8日
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数学
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递归表[{a[0]==0，a[1]==2，a[n]==（a[n-1]+a[n-2]）（a[n-1]-a[n-2]+1）/2}，a[n]，{n，15}](*哈维·P·戴尔2011年6月9日*）
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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