搜索： a006694-编号：a00669四
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1, 3, 5, 7, 13, 11, 13, 17, 17, 19, 31, 23, 41, 55, 29, 31, 41, 61, 37, 49, 41, 43, 85, 47, 85, 57, 53, 81, 73, 59, 61, 73, 73, 67, 111, 71, 73, 141, 151, 79, 217, 83, 89, 113, 89, 109, 131, 145, 97, 211, 101, 103, 169, 107, 109, 145, 113, 221, 133, 193, 221, 141, 301, 127
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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a（（n-1）/2）=n的复合数n称为以2为基数的上伪素数(A141232号).
一个推广：如果p_1<p_2<<p_m是不同的奇素数，然后a（（（p_1*p_2*…*p_m）-1）/2）=p_1*p2**p_m当且仅当A002326号（（p_1-1）/2）=A002326号（（p_2-1）/2）==A002326号（p_m-1）/2）。
此外，如果n是一个奇数平方自由数，a（n-1）/2）=n，那么n的所有除数d也满足a（（d-1）/2）=d，d除以2^d-2。因此，该n的序列是A050217号.
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配方奶粉
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可以证明，如果p是奇数素数，那么a（（p^k-1）/2）=1+k*phi（p^k）。
a（n）=ord（2,2*n+1）*（（和{d|（2n+1）}φ（d）/ord（2，d））-1）+1，其中φ=A000010号ord（2，d）是2模d的乘法阶-宋嘉宁2021年11月13日
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数学
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a[n_]：=（t=乘法顺序[2，2n+1））*除数和[2n+1，EulerPhi[#]/乘法顺序[2]，#]&]-t+1；表[a[n]，{n，0，70}](*Jean-François Alcover公司，2015年12月4日，改编自PARI*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=我的（t）；sumdiv（2*n+1，d，eulerphi（d）/（t=znorder（Mod（2，d）））*t-t+1\\查尔斯·格里特豪斯四世2013年2月20日
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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弗拉基米尔·舍维列夫, Apr 26 2008, Apr 28 2008, May 03 2008, Jun 12 2008
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经核准的
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2, 1, 1, 2, 4, 2, 1, 1, 6, 1, 2, 1, 1, 5, 1, 1, 1, 6, 1, 4, 3, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 10, 5, 1, 1, 8, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 40, 1, 1, 1, 1, 1, 6, 3, 1, 7, 17, 1, 36, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 20, 1, 1, 1, 1, 8, 1, 1, 18, 13, 1, 5, 1, 2, 6, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 9, 11, 2, 9, 1, 2, 9, 4, 6, 1, 1, 1, 9, 7, 1, 7, 29, 2, 2, 1
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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猜想。对于每一个n>=1，存在一个有限值a（n）。很容易看出，这个猜想等价于众所周知的Collatz 3n+1猜想。
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MAPLE公司
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A006519号：=程序（n）局部i；对于i，在ifactors（n）[2]中，如果op（1，i）=2，则返回op（1，i）^op（2，i）；fi；od：返回1；结束进程：
f:=proc（twon1）局部三n2；三n2:=3*二n1/2+1/2；三个n2/A006519号（三个n2）；结束进程：
A160266型：=进程（n）局部引用，k，fk；参考：=A006694号（n） ；k:=1；fk:=f（2*n+1）；虽然为true，但如果A006694号（（fk-1）/2）<ref然后返回k；结束条件：；fk:=f（fk）；k：=k+1；结束do；结束进程：
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黄体脂酮素
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（PARI）
f（n）=（（3*（n-1）/2））+2）/A006519号（（3*（n-1）/2））+2）；
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作者
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27, 43, 109, 125, 157, 229, 277, 283, 307, 499, 643, 691, 733, 739, 811, 997, 1021, 1051, 1069, 1093, 1331, 1459, 1579, 1597, 1627, 1699, 1723, 1789, 1933, 2179, 2197, 2203, 2251, 2341, 2347, 2749, 2917, 3163, 3181, 3229, 3259, 3373, 4027, 4339, 4549, 4597, 4651, 4909
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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猜想。序列的项只有一个素因子；此外，p^3在序列中当且仅当p在A001122号.
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数学
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r[n_]：=EulerPhi[n]/乘法阶[2，n]；选择[Range[5000]，Total@（r/@Divisors[#]）-1==3&](*阿米拉姆·埃尔达尔2019年9月12日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a006694号（n） =sumdiv（2*n+1，d，eulerphi（d）/znorder（Mod（2，d）））-1；
isok（n）=（n%2）&&(a006694号（n-1）/2）==3）\\米歇尔·马库斯2016年2月8日
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1, 1, 2, 2, 1, 1, 4, 2, 1, 5, 2, 2, 3, 1, 6, 4, 5, 1, 4, 2, 3, 7, 2, 4, 7, 1, 4, 4, 1, 1, 12, 6, 1, 5, 2
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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经核准的
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1, 3, 7, 15, 21, 31, 45, 63, 93, 105, 127, 189, 217, 255, 315, 341, 455, 511, 819, 1023, 1365, 2047, 3591, 3855, 4095, 5461, 8191, 12483, 13107, 16383, 21845, 29127, 32767, 53261, 55831, 60787, 65535, 87381, 131071, 178481, 182361, 209715, 258111, 262143, 349525, 430185, 479349, 524287
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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问题。这个序列中的所有素数都是梅森素数，这是真的吗？
178481是一个素数项，但不是梅森素数-米歇尔·马库斯2018年12月18日
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黄体脂酮素
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（PARI）a006694号（n） =sumdiv（2*n+1，d，eulerphi（d）/znorder（Mod（2，d）））-1；
列表（nn）={my（m=-1，newm）；对于（n=0，nn，newm=a006694号（n） ；如果（newm>m，m=newm；print1（2*n+1，“，”）；）；｝\\米歇尔·马库斯，2018年12月18日
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15, 33, 39, 49, 55, 57, 81, 87, 95, 111, 113, 143, 159, 177, 183, 201, 209, 249, 281, 289, 295, 303, 319, 321, 335, 353, 393, 407, 415, 417, 447, 489, 519, 529, 535, 537, 543, 551, 577, 583, 591, 593, 617, 625, 633, 649, 655, 681, 695, 737, 767, 807, 815, 879, 895, 913, 951
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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黄体脂酮素
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（PARI）a006694号（n） =sumdiv（2*n+1，d，eulerphi（d）/znorder（Mod（2，d）））-1；
isok（n）=（n%2）&&(a006694号（（n-1）/2）==4）\\米歇尔·马库斯2018年12月18日
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非n
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作者
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11, 23, 37, 41, 43, 59, 61, 79, 83, 97, 103, 107, 113, 121, 139, 143, 147, 149, 163, 167, 169, 171, 173, 177, 181, 183, 191, 193, 199, 201, 203, 227, 237, 243, 249, 251, 263, 271, 283, 287, 289, 293, 303, 313, 317, 321, 323, 347, 351, 353, 355, 359, 363, 367, 373, 379
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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猜想：对于序列中的每一个k，数字k^2也在序列中。
序列中非完美平方的复合数为143、147、171、183等[R.J.Mathar，2009年5月16日]
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非n
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作者
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2, 1, 1, 5, 3, 1, 1, 2, 5, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 5, 2, 5, 3, 33, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 5, 7, 1, 5, 10, 1, 1, 2, 5, 5, 1, 1
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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利用归纳法，可以证明Collatz（3x+1）-猜想是从a（n）对每个n的有限性出发的。
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例子
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非n,未经编辑的
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经核准的
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A002326号
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| 2模2n+1的乘数阶。
（原名M0936 N0350）
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+10
198
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1, 2, 4, 3, 6, 10, 12, 4, 8, 18, 6, 11, 20, 18, 28, 5, 10, 12, 36, 12, 20, 14, 12, 23, 21, 8, 52, 20, 18, 58, 60, 6, 12, 66, 22, 35, 9, 20, 30, 39, 54, 82, 8, 28, 11, 12, 10, 36, 48, 30, 100, 51, 12, 106, 36, 36, 28, 44, 12, 24, 110, 20, 100, 7, 14, 130, 18, 36, 68, 138, 46, 60, 28
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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换句话说，最小m>0，使得2n+1除以2^m-1。
将牌组恢复到初始状态所需的2n+2张牌的随机洗牌次数。随机洗牌替换列表s（1）、s（2）、…、。。。，s（m）与s（1），s（（i/2）+1），s。。。a（1）=2，因为[1,2,3,4]的随机洗牌需要2次迭代[1,2,3，4]->[1,3,2,4]->[1]，2,3,4]来恢复原始顺序。
关于计算这个序列的复杂性，例如，见巴赫和沙利特，第115页，练习8。
不难证明，如果2n+1是素数，那么2n是a（n）的倍数。但反之则不然。事实上，我们可以证明a（2^（2t-1））=4t。因此，如果n=2^（2t-1），其中，对于任何m>0，t=2^（m-1），则2n是a（n）的倍数，而2n+1是费马数，众所周知，费马数并不总是素数。描述2n可被a（n）整除的所有复合数是一个有趣的问题-弗拉基米尔·舍维列夫2008年5月9日
发件人V.拉曼2012年9月18日，2012年12月10日：（开始）
如果2n+1是素数，则多项式（x^（2n+1）+1）/（x+1）将因子转换为GF（2）上相同阶a（n）的2n/a（n）多项式。
如果（x^（2n+1）+1）/（x+1）在GF（2）上是不可约的，则2n+1是素数，2是本原根（mod 2n+1。A001122号).
对于所有n>0，a（n）是GF（2）上多项式（x^（2n+1）+1）/（x+1）的最大不可约多项式因子的次数。（结束）
猜想：如果p是奇数素数，那么a（（p^3-1）/2）=p*a（（p^2-1）/2）。因为否则a（p^3-1）/2）<p*a-托马斯·奥多夫斯基2014年2月10日
对先前猜想的推广：对于每个k>=2，如果p是奇数素数，则A（（p^（k+1））-1）/2）=p*A（（p^k-1）/2）。对这个广义猜想的计算机测试表明，k和p在1000以内都没有反例-艾哈迈德·马萨德2020年10月17日
a（n）=a（（n-1）/2），奇数n=2*n+1>=3（n>=1），也是二进制表示法中（1/n）_2=0.repeat（a[1]a[2]…a[P（n）]）和P（n）=a。例如，N=11（N=5），（1/11）_2=0.重复（0001011101），其中P（11）=10=a（5）。证明：在循环上使用循环移位运算西格玛（向左1步）：西格玛（（1/N）_2）=.reeat（a[2]…a[P（N）]a[1]）。然后可以证明以十进制记数法写回的组成sigma^[k]（k=0是恒等映射）的结果（sigma^[k]（（1/N）_2）_10=（1/N）*2^k（mod N）。例如N=11，sigma^[2]（（1/11）_2）=.repeat（0101110100），以10为基数写为4/11等。因此P（N）和2模N的顺序一致-加里·亚当森和沃尔夫迪特·朗2020年10月14日
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参考文献
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E.巴赫和杰弗里·沙利特，算法数论，I。
T.Folger，“Shuffling Into Hyperspace”，《探索》，1991年（第12卷，第1期），第66-67页。
M.Gardner，“纸牌洗牌”，《数学狂欢节》第10章，第123-138页。纽约：复古图书，1977年。
L.Lunelli和M.Luneli，Tavola di congruenza a ^n==1 mod K per a=2,5,10，Atti Sem.Mat.Fis。摩德纳大学10（1960年/61年），219-236（1961年）。
J.H.Silverman，《数论的友好介绍》，第三版，培生教育公司，2006年，第146页，Exer。21.3
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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D.拜耳和P.迪亚科尼斯，拖着燕尾拖向巢穴，Ann.应用。探针。2 (2) (1992) 294-313.
J.Brillhart、J.S.Lomont和P.Morton，Rudin-Shapiro多项式的分圆性质J.Reine Angew著。数学288（1976），37-65。见表2。MR0498479（58#16589）。
Steve Butler、Persi Diaconis和R.L.Graham，翻转和马蹄形洗牌的数学，arXiv:1412.8533[math.CO]，2014年。
Steve Butler、Persi Diaconis和R.L.Graham，翻转和马蹄形洗牌的数学，《美国数学月刊》123.6（2016）：542-556。
A.J.C.坎宁安，关于二进制分数，数学。天然气。，4（71）（1908），约266页。
P.Diaconis、R.L.Graham和W.M.Kantor，完美洗牌的数学，高级应用程序。数学。4 (2) (1983) 175-196
M.J.Gardner和C.A.McMahan，Riffling赌场支票，数学。Mag.，50（1）（1977），38-41。
V.I.Levenshtein，冲突避免码与循环三系[俄语]，Problemy Peredachi Informatsii，43（2007年第3期），39-53。
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弗拉基米尔·舍维列夫（Vladimir Shevelev）、吉尔伯托·加西亚-普尔加林（Gilberto Garcia-Pulgarin）、胡安·米格尔·贝拉斯奎兹·索托（Juan Miguel Velasquez-Soto）和约翰·卡斯蒂略（John H.Castillo），超伪素数，梅森数和费马数作为primover数，arXiv预印本arXiv:1206:0606[math.NT]，2012。
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配方奶粉
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注意，a（2^n-1）=n+1，a（2 ^n）=2*（n+1）-托马斯·奥多夫斯基2014年1月16日
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例子
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在作者的评论中，我们计算a（n）的算法A179680号（另请参阅下面的Sage程序）可以用“有限连续分数”的形式表示。例如，设n＝8，2*n+1＝17。我们有
1 + 17
------- + 17
2
------------- + 17
2
------------------- + 17
2
-------------------------- = 1
32
这里的分母是A006519号分子数量：A006519号(1+17) = 2,A006519号(9+17) = 2,A006519号(13+17) = 2,A006519号(15+17) = 32. 对这些2次幂的指数求和，我们得到了所需的结果：a（8）=1+1+1+5=8。事实上，我们有（（1*32-17）*2-17）*2-17）*2-17=1。所以32*2*2*2-1==0（mod 17），2^8-1==0（mod 17）。在一般情况下，请注意，所有“部分分数”（实际上是整数）都是区间[1，2*n-1]中模2*n+1的奇余数。很容易证明第一个1不迟于第n步出现。（结束）
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MAPLE公司
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a:=n->`如果`（n=0，1，数字理论：-顺序（2，2*n+1））：
seq（a（n），n=0..72）；
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数学
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表[乘法顺序[2,2*n+1]，{n，0，100}](*罗伯特·威尔逊v2011年4月5日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=如果（n<0，0，znorder（Mod（2，2*n+1）））/*迈克尔·索莫斯2005年3月31日*/
（岩浆）[1]猫[Modorder（2,2*n+1）：n in[1..72]]//克劳斯·布罗克豪斯2008年12月3日
（哈斯克尔）
导入数据。列表（findIndex）
导入数据。也许（来自Just）
a002326 n=（+1）$来自Just$
查找索引（（==0）。（`mod`（2*n+1）））$tail a000225_list
（鼠尾草）
如果gcd（n，2）==1，[（0..145）中n的Mod（2，n）.miplicative_order（）]
定义A002326VS（n）：
s、 m，N=0，1，2*N+1
为True时：
k=N+m
v=估价（k，2）
s+=v
m=k>>v
如果m==1：断裂
返回s
[A002326VS（n）for n in（0..72）]#（结束）
（GAP）列表（[0..100]，n->OrderMod（2，2*n+1））#穆尼鲁·A·阿西鲁2019年2月1日
（Python）
从sympy导入n_order
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交叉参考
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关键字
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A001917号
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| （p-1）/x，其中p=素数（n），x=ord（2，p），最小正整数，使得2^x==1（mod p）。
（原名M0069 N0022）
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+10
33
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1，1，2，1，1，2，1，2，1，6，1，2，3，2，1，1，1，2，8，2，1，2，1，3，4，18，1，2，1，10，3，1，2，1，1，1，1，2，2，2，2，1，2，1，6，1，3，8，2，10，5，16，2，1，2，3，4，3，1，3，2，1，11，16，1，4，2，1，2，1，9，2，2，1，10，6，6，1，2，6，1，2，1，2，2，1，3，2，1，2，1，1，1，1，1，2
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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2,3
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评论
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此外，根据siteswap杂耍模式1234…p构建的排列中的循环数。
GF（2）上多项式（x^p-1）/（x-1）的不可约多项式因子数，其中p是第n素数-V.拉曼2012年10月4日
序列是无界的：对于M的任何值，序列中都存在一个可以被M整除的元素。参见下面David Speyer的证明-Shreevatsa R公司2013年5月24日
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参考文献
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M.Kraitchik，《Nombres村的Recherches sur la Théorie des》。Gauthiers-Villars，巴黎，1924年第1卷，1929年第2卷，见第1卷第131页。
D.H.Lehmer，《数论表格指南》。第105号公报，国家研究委员会，华盛顿特区，1941年，第7-10页。
W.Meissner，《Teilbarkeit von 2^p-2 durch das Quadrat der Primzahl》p=1093，Sitzungsberichte Königlich Preussischen Akadamie Wissenschaften Berlin，35（1913），663-667。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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配方奶粉
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MAPLE公司
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带有（数字理论）；[seq（（ithprime（n）-1）/阶（2，ithprice（n）），n=2..130）]；
与（组）；带有（数字理论）；gen_rss_perm:=进程（n）局部a，i；a:=[]；对于i从1到n，做a:=[op（a），（2*i）mod（n+1））]；od；返回（a）；结束；count_of_disjcyc_seq:=[seq（nops（转换（gen_rss_perm（ithprime（j）-1），'disjcyc'）），j=2..）]；
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数学
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表[p=素数[n]；（p-1）/乘法顺序[2，p]，{n，2，100}](*T.D.诺伊2012年4月11日*）
ord[n_]：=模块[{x=1}，而[PowerMod[2，x，n]=1，x++]；（n-1）/x]；ord/@Prime[范围[2110]](*哈维·P·戴尔2014年6月25日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[（p-1）/模态（2，p），其中p是[2..100]]中的NthPrime（n）：n//克劳斯·布罗克豪斯2008年12月9日
（PARI）{表示（n=2100，p=prime（n）；打印1（（p-1）/znorder（Mod（2，p）），“，”）}\\克劳斯·布罗克豪斯2008年12月9日
（Python）
从sympy导入质数，n阶
p=素数（n）
如果n==2，则返回1，否则返回（p-1）//n顺序（2，p）#柴华武2020年1月15日
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非n,容易的,美好的
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