搜索： a006566-编号：a006565
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1, 4, 6, 8, 10, 12, 19, 20, 27, 35, 44, 48, 56, 64, 84, 85, 120, 124, 125, 146, 165, 216, 220, 231, 255, 286, 343, 344, 364, 455, 456, 489, 512, 560, 670, 680, 729, 742, 816, 891, 969, 1000, 1128, 1140, 1156, 1330, 1331, 1469, 1540, 1629, 1728, 1771, 1834
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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数学
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nn=25；t1=表[n（n+1）（n+2）/6，{n，nn}]；t2=表[n^3，{n，nn}]；t3=表[（2*n^3+n）/3，{n，nn}]；t4=表[n（3*n-1）（3*n-2）/2，{n，nn}]；t5=表[n（5*n^2-5*n+2）/2，{n，nn}]；选择[Union[t1，t2，t3，t4，t5]，#<=t1[[-1]]&](*T.D.诺伊2012年10月13日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a053012 n=a053012_list！！（n-1）
a053012_list=尾部$f
[a000292_list、a000578_list、a005900_list，a006566_list和a006564_list]
其中f pss=m:f（映射（dropWhile（<=m））pss）
其中m=最小值（地图标头pss）
（PARI）listpoly（lim，poly[..]）=我的（v=列表（））；对于（i=1，#poly，my（P=poly[i]，x=variable（P），f=k->subst（P，x，k），n，t）；而（t=f（n++））<=lim，listput（v，t））；设置（v）
列表（lim）=我的（n='n）；列表多（lim，n*（n+1）*（n+2）/6，n^3，（2*n^3+n）/3，n*\\查尔斯·格里特豪斯四世，2016年10月11日
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交叉参考
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关键字
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容易的,美好的,非n
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作者
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克劳斯·斯特拉斯伯格（strass（AT）ddfi.uni-duesseldorf.de），2000年2月22日
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状态
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经核准的
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1, 0, 7, 2, 7, 8, 0, 6, 1, 3, 3, 4, 9, 1, 6, 2, 2, 3, 8, 7, 9, 8, 2, 4, 9, 5, 3, 1, 0, 7, 9, 4, 4, 5, 0, 4, 1, 4, 5, 4, 8, 6, 3, 5, 3, 5, 4, 0, 4, 9, 8, 6, 6, 8, 5, 7, 5, 2, 7, 8, 5, 9, 0, 2, 6, 2, 5, 9, 4, 3, 3, 3, 1, 8, 6, 1, 6, 1, 7, 3, 7, 5, 2, 1, 5, 7, 6
(列表;常数;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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公式
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和{n>=1}2/（n（3n-1）（3n-2））=1/1+1/20+1/84+1/220+1/455+…=（sqrt（3）*Pi-3*log（3））/2。
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例子
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1.07278061334916223879...
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数学
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实数字[和[2/（n（3n-1）（3n-2）），{n，1，无限}]，10，100][1]
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黄体脂酮素
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（PARI）（平方（3）*Pi-3*log（3））/2\\米歇尔·马库斯，2017年11月23日
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交叉参考
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关键字
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作者
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状态
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经核准的
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0, 1, 21, 105, 325, 780, 1596, 2926, 4950, 7875, 11935, 17391, 24531, 33670, 45150, 59340, 76636, 97461, 122265, 151525, 185745, 225456, 271216, 323610, 383250, 450775, 526851, 612171, 707455, 813450, 930930, 1060696, 1203576, 1360425
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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几何上，十二面体数的部分和可以解释为四维十二面体超锥数。令人惊讶的是，这是“第二个五边形数减去1”的三角形数（有适当的偏移量）
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链接
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公式
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a（n）=和{i=0..n}i*（3*i-1）*（3*1-2）/2。
a（n）=n*（9*n^3+6*n^2-5*n-2）/8。通用格式：x*（1+16*x+10*x^2）/（1-x）^5。[科林·巴克2012年4月4日]
a（n）=n*（n+1）*（3*n+1）x（3*n-2）/8。
a（n）=和{0<=i<=j<=n-1}（3*i+1）*（3*j+1）。参见。A024212号（结束）
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MAPLE公司
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数学
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表[二项式[n（3n+1）/2，2]，{n，0，100}](*韦斯利·伊万·赫特2013年10月6日*）
线性递归〔｛5，-10，10，-5，1｝，｛0，1，21，105，325｝，40〕(*哈维·P·戴尔2018年4月1日*）
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交叉参考
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关键字
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A053018号
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| 让做（n）=A006566号（n） =第n个十二面体数。考虑所有整数三元组（i，j，k），j>=k>0，其中Do（i）=Do（j）+Do（k），按i的递增顺序排列；序列给出了j值。 |
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2012年，178、150、4840、7773、8904、17403、22363、24699、26200、21916、22250、37022、39223、61190、62899、102450、123108、223132、269966、374384、591930、554636、636031、743699、892780、1295888、1468290、1395491、1822152、1859152、1957822
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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例子
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Do（179）=25665020=25236484+428536=Do（178）+Do（46）；
Do（184）=27880600=15086400+12794200=Do（150）+Do（142）。
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数学
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（*这只是给定i个值的j值的重新计算。*）
do[n]：=n*（3*n-1）*（3*n-2）/2；
三元组=Reap[模块[{s，i，j，k，n，ijk}，s[i_]：=求解[j>=k>0&&do[i]==do[j]+do[k]，{j，k}（整数）]；对于[n=1，n<=长度[A053017号]，n++，i=A053017号[[n]]；ijk={i，j，k}/。s[i]//第一个；打印[ijk]；母猪[ijk]]][[2,1]]；
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关键字
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美好的,非n
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作者
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克劳斯·斯特拉斯伯格（strass（AT）ddfi.uni-duesseldorf.de），2000年2月24日
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扩展
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状态
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经核准的
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A053019号
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| 让做（n）=A006566号（n） =第n个十二面体数。考虑所有整数三元组（i，j，k），j>=k>0，其中Do（i）=Do（j）+Do（k），按i的递增顺序排列；序列给出k值。 |
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3
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46, 142, 290, 1536, 6126, 894, 6106, 14539, 9886, 2020, 21179, 21502, 13052, 15751, 3830, 42370, 62580, 6486, 10150, 56214, 14984, 21150, 368668, 354310, 558467, 28810, 38126, 419690, 1237147, 49260, 1056710, 652670
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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例子
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Do（179）=25665020=25236484+428536=Do（178）+Do（46）；
Do（184）=27880600=15086400+12794200=Do（150）+Do（142）。
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数学
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（*这只是k值的重新计算，给定i值。*）
do[n]：=n*（3*n-1）*（3*n-2）/2；
三元组=Reap[模块[{s，i，j，k，n，ijk}，s[i_]：=求解[j>=k>0&&do[i]==do[j]+do[k]，{j，k}（整数）]；对于[n=1，n<=长度[A053017号]，n++，i=A053017号[[n]]；ijk={i，j，k}/。s[i]//第一个；打印[ijk]；母猪[ijk]]][[2,1]]；
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关键字
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美好的,非n
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作者
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克劳斯·斯特拉斯伯格（strass（AT）ddfi.uni-duesseldorf.de），2000年2月24日
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状态
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经核准的
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0, 1, 20, 21, 84, 104, 105, 220, 304, 324, 325, 455, 675, 759, 779, 780, 816, 1271, 1330, 1491, 1575, 1595, 1596, 2024, 2146, 2601, 2821, 2905, 2925, 2926, 3354, 4060, 4170, 4625, 4845, 4929, 4949, 4950, 5456, 6279, 6985, 7095, 7140, 7550, 7770, 7854, 7874, 7875, 9009, 9139, 9516
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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链接
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A053017号
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| 让做（n）=A006566号（n） =第n个十二面体数。考虑所有整数三元组（i，j，k），j>=k>0，其中Do（i）=Do（j）+Do（k），按i的递增顺序排列；序列给出了i值。 |
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2
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179, 184, 2014, 4891, 8877, 8907, 17650, 24248, 25216, 26204, 27156, 27570, 37555, 40052, 61195, 68747, 109707, 123114, 223139, 270776, 374392, 591939, 604344, 670751, 836587, 892790, 1295899, 1479632, 1664436, 1822164, 1966614, 1981707
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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例子
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Do（179）=25665020=25236484+428536=Do（178）+Do（46）；Do（184）=27880600=15086400+12794200=Do（150）+Do（142）；
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关键字
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美好的,非n
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作者
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克劳斯·斯特拉斯伯格（strass（AT）ddfi.uni-duesseldorf.de），2000年2月24日
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扩展
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状态
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经核准的
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A000578号
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| 立方体：a（n）=n^3。
（原名M4499 N1905）
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0, 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744, 3375, 4096, 4913, 5832, 6859, 8000, 9261, 10648, 12167, 13824, 15625, 17576, 19683, 21952, 24389, 27000, 29791, 32768, 35937, 39304, 42875, 46656, 50653, 54872, 59319, 64000
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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a（n）是接下来n个奇数的和；即，将奇数分组，使第n组包含如下n个元素：（1），（3，5），（7，9，11），（13，15，17，19），（21，23，25，27，29）。。。；然后每组总和=n^3=a（n）。每组的中位数=n^2=平均值。由于前n个奇数的和是n^2，这又证明了第n个部分和=（n（n+1）/2）^2-阿玛纳斯·穆尔西2002年9月14日
这个多面体的Schlaefli符号：{4,3}。
画一个正六边形。在六边形的每一侧构造点，以便这些点将每一侧划分为大小相等的线段（即，每一侧上的中点或每一侧上放置的两个点将每侧划分为大小相同的三个线段，依此类推），对六边形的每一侧进行相同的构造，以便每一侧以相同的方式等分。用与多边形至少一侧平行的线将所有这些点相互连接。结果是六边形的三角形平铺，并创建了许多较小的规则六边形。该等式给出了找到的正六边形的总数，其中n=绘制的点数+1。例如，如果在每一侧绘制1个点，则n=1+1=2和a（n）=2^3=8，因此总共有8个正六边形。如果每边画2个点，则n=2+1=3，a（n）=3^3=27，因此总共有27个正六边形。-Noah Priluck（npriluck（AT）gmail.com），2007年5月2日
丢番图方程的解：（X/Y）^2-X*Y=0的形式为：（n^3，n），其中n>=1。丢番图方程的解：（m^2）*（X/Y）^2k-XY=0的形式为：（m*n^（2k+1），m*n~（2k-1）），其中m>=1，k>=1和n>=1。丢番图方程的解：（m^2）*（X/Y）^（2k+1）-XY=0的形式为：（m*n^（k+1），m*n*k），其中m>=1，k>=1和n>=1-穆罕默德·布哈米达2007年10月4日
除前两项外，序列对应于C_{2n}的维纳指数，即2n个顶点上的圈（n>1）-K.V.Iyer公司2009年3月16日
椭圆曲线y^2=x^3-n的扭子群t的阶为t=2的数n-阿图尔·贾辛斯基2010年6月30日
具有Pisano周期mod k长度的序列为1、2、3、4、5、6、7、8、3、10、11、12、13、14、15、16、17、6、19、20。。。对于k>=1，显然是乘法的，并且从A000027号每九个学期除以三。的立方变量A186646号. -R.J.马塔尔2011年3月10日
单边有n个原子的bcc（体心立方）菱形六面体中的原子数为n^3（T.P.Martin，原子壳层，等式（8））-布里吉特·斯特帕诺夫2011年7月2日
顶点位于（0，0），（t（n-1），t（n）），和（t（n，t（n-1））的三角形面积的两倍，其中t=A000217号是三角形数字-J.M.贝戈2013年6月25日
对于n>2，a（n）=顶点位于点（二项式（n，3）、二项式式（n+2,3））、二项式（n+1,3）、二项式（n+1,3-J.M.贝戈2014年6月14日
螺旋结S（4，k，（1,1，-1））的行列式。a（k）=det（S（4，k，（1,1，-1））-瑞恩·斯蒂斯2014年12月14日
Senkereh平板电脑BM 92698显示了这个序列中最古老的一个例子，它以楔形文字显示了前32个术语-查尔斯·格里特豪斯四世2015年1月21日
我们从整数1，2，3，…构造一个数字三角形。。。2*n-1如下。第一列包含所有整数1、2、3。。。2*n-1。接下来的每一列与前一列相同，但没有第一项和最后一项。最后一列只包含n。三角形中所有数字的和是n^3。
以下是n=4的示例，其中1+2*2+3*3+4*4+3*5+2*6+7=64=a（4）：
1
2 2
3 3 3
4 4 4 4
5 5 5
6 6
7
（结束）
对于n>0，a（n）是n+11到n个部分（避开第2部分和第3部分）的组合数-米兰Janjic2016年1月7日
使用最多n种颜色的立方体的不等面着色数，每种颜色至少出现两次-大卫·纳辛2017年2月22日
考虑A={A，b，c}是一个有三个不同成员的集合。A的子集数是8，包括{A，b，c}和空集。这8个子集中的每个子集的数量为27。如果这样的迭代次数是n，那么子集的总数是a（n-1）-格雷戈里·西蒙2018年7月27日
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参考文献
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R.L.Graham、D.E.Knuth和O.Patashnik，《具体数学》。Addison-Wesley，雷丁，马萨诸塞州，1990年，第255页；第二。编辑，第269页。Worpitzky的身份（6.37）。
T.Aaron Gulliver，“整数立方体的序列”，《国际数学杂志》，4（2003），第5期，439-445。请参见http://www.m-hikari.com/z2003.html获取有关此日志的信息。[我扩展了参考，使其更容易找到-N.J.A.斯隆2019年2月18日]
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
D.Wells，《你是数学家》，第238-241页，企鹅出版社1995年。
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|
链接
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N.Brothers、S.Evans、L.Taalman、L.Van Wyk、D.Witchzak和C.Yarnall，螺旋结密苏里州数学杂志。科学。，22 (2010).
R.K.盖伊，强大的小数定律阿默尔。数学。《95月刊》（1988），第8期，697-712。[带注释的扫描副本]
T.P.Martin，原子壳，物理。报告，273（1996），199-241，等式（8）。
小埃德·佩格。，序列图片《数学游戏》专栏，2003年12月8日。
小埃德·佩格。，序列图片，数学游戏专栏，2003年12月8日[缓存副本，经许可（仅pdf）]
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
Kenneth A.Ross，正方形和立方的第一个数字，数学。Mag.85（2012）36-42。doi:10.4169/math.mag.85.136。
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公式
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通用格式：x*（1+4*x+x^2）/（1-x）^4-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中
a（n）=lcm（n，（n-1）^2）-（n-1）^2。例如：lcm（1，（1-1）^2）-（1-1）^2=0，lcm（2，（2-1）^2-Mats Granvik公司2007年9月24日
开始（1，8，27，64，125，…），=[1，7，12，6，0，0，…]的二项式变换-加里·亚当森2007年11月21日
a（n）=二项式（n+2,3）+4*二项式。【立方体的Worpitzky恒等式。参见例如，Graham等人，等式（6.37）-沃尔夫迪特·朗2019年7月17日]
a（n）=n+6*二项（n+1,3）=二项（n，1）+6*二项式（n+1，3）-罗恩·诺特2019年6月10日
a（n）=3*a（n-1）-3*a（n-2）+a（n-3）+6-蚂蚁王2013年4月29日
a（k）=det（S（4，k，（1,1，-1）））=k*b（k）^2，其中b（1）=1，b（2）=2，b（k-瑞恩·斯蒂斯2014年12月14日
a（n）=4*a（n-1）-6*a（n-2）+4*a（n3）-a（n-4）-乔恩·塔瓦萨尼2016年2月21日
a（n）=n+和{j=0..n-1}和{k=1..2}二项式（3，k）*j^（3-k）-帕特里克·麦克纳布2016年3月28日
a（n）=n*二项式（n+1，2）+2*二项法（n+1、3）+二项式-托尼·福斯特三世2017年11月14日
和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=3*zeta（3）/4(A197070型). （结束）
产品{n>=1}（1+1/a（n））=cosh（sqrt（3）*Pi/2）/Pi。
产品{n>=2}（1-1/a（n））=cosh（sqrt（3）*Pi/2）/（3*Pi）。（结束）
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例子
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对于k=3，b（3）=2b（2）-b（1）=4-1=3，因此det（S（4,3，（1,1，-1））=3*3^2=27。
对于n=3，a（3）=3+（3*0^2+3*0+3*1^2+3*1*1+3*2^2+3*2）=27-帕特里克·麦克纳布2016年3月28日
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MAPLE公司
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isA000578:=进程（r）
局部p；
如果r=0或r=1，则
真；
其他的
ifactors（r）[2]中的p do
如果op（2，p）mod 3<>0，则
返回false；
结束条件：；
结束do：
真；
结束条件：；
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数学
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系数列表[级数[x（1+4x+x^2）/（1-x）^4，{x，0，45}]，x](*文森佐·利班迪2014年7月5日*）
累加[表[3n^2+3n+1，{n，0，20}]]（*或*）线性递归[{4，-6，4，-1}，{1，8，27，64}，20](*哈维·P·戴尔2018年8月18日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a000578=（^3）
a000578_list=0:1:8:zipWith（+）
（映射（+6）a000578_list）
（map（*3）$tail$zipWith（-）（tail a000578_list）a000578-list）
（岩浆）I:=[0,1,8,27]；[n le 4选择I[n]else 4*自我（n-1）-6*自我（n-2）+4*自我（n-3）-自我（n-4）：[1..45]]中的n//文森佐·利班迪2014年7月5日
（Python）
对于范围（10**2）内的_：
对于范围（3）中的i：
m[i+1]+=m[i]#柴华武2015年12月15日
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交叉参考
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（1/12）*t*（n^3-n）+n，对于t=2,4,6。。。给予A004006号,A006527号,A006003号,A005900型,A004068号,A000578号,A004126号,A000447号,A004188号,A004466号,A004467号,A007588号,2005年6月25日,A063521号,A063522美元,A063523号.
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关键字
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非n,核心,容易的,美好的,多重
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作者
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状态
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经核准的
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A000292号
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| 四面体（或三角锥）数：a（n）=C（n+2,3）=n*（n+1）*（n+2）/6。
（原名M3382 N1363）
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+10
836
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0, 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, 1140, 1330, 1540, 1771, 2024, 2300, 2600, 2925, 3276, 3654, 4060, 4495, 4960, 5456, 5984, 6545, 7140, 7770, 8436, 9139, 9880, 10660, 11480, 12341, 13244, 14190, 15180
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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a（n）是三角形金字塔中每个边包含n个球的球数。
五个柏拉图多面体（四面体、立方体、八面体、十二面体和二十面体）数之一（参见。A053012号).
此外，（1/6）*（n^3+3*n^2+2*n）是使用<=n种颜色为三角形顶点着色的方法的数量，允许旋转和反射。群是具有循环指数（x1^3+2*x3+3*x1*x2）/6的二面体群D_6。
自然数与其自身的卷积Felix Goldberg（felixg（AT）tx.technion.ac.il），2001年2月1日
通过1*a（n-2）+4*a（n-1）+1*a（n）=n^3与欧拉数（1，4，1）相连-戈特弗里德·赫尔姆斯2002年4月15日
a（n）是所有可能乘积p*q的和，其中（p，q）是有序对，p+q=n+1。例如，a（5）=5+8+9+8+5=35-阿玛纳斯·穆尔西2003年5月29日
n+3个节点上的三角形标记图的数量-乔恩·佩里2003年6月14日
n+3的具有恰好1个下降并且避开图案的排列的数目1324-迈克·扎布罗基2004年11月5日
此多面体的Schlaefli符号：{3,3}。
Riordan数组下n^2的变换（1/（1-x^2），x）-保罗·巴里2005年4月16日
a（n）只是n={1,2,48}的完美平方。例如，a（48）=19600=140^2-亚历山大·阿达姆楚克2006年11月24日
a（n+1）是3个变量中n次完全齐次对称多项式的项数-理查德·巴恩斯2017年9月6日
这也是平均“置换熵”，和（（pi（n）-n）^2）/n！，覆盖所有可能的n！排列pi.-杰夫·博斯科尔（jazzerciser（AT）hotmail.com），2007年3月20日
a（n）=（d/dx）（S（n，x），x）|_{x=2}。在x=2处评估的切比雪夫S-多项式的一阶导数。请参见A049310型. -沃尔夫迪特·朗2007年4月4日
如果X是一个n集，Y是X的固定（n-1）子集，那么a（n-2）等于X与Y相交的3个子集的数目-米兰Janjic2007年8月15日
a（n）是歌词作者的真爱在歌曲“圣诞节的十二天”中截至并包括第n天收到的礼物数量。a（12）=364，几乎是一年中的天数伯纳德·希尔（Bernard（AT）braeburn.co.uk），2008年12月5日
这是一个alpha=0的“Matryoshka doll”序列，乘法对应项是A000178号：seq（add（add（i，i=α..k），k=α。。n） ，n=α。。50). -彼得·卢什尼2009年7月14日
a（n）是一组大小为n的数的非递减三元组的数目，是一组尺寸为n+2的数的严格递增三元组数目-塞缪尔·萨维茨，2009年9月12日[由修订和增强马库斯·西格2023年9月24日]
a（n）是求和为n的4个非负整数的有序序列的数目。例如，a（2）=10，因为2=2+0+0+0=1+1+0+0=0+2+0+0=1+0+1+0=0+0+2+0+1+0=1+0+0+0+0+1+0+1+0+0+0+1=0+0+0+1+1+0+0+1=0+0+1+0+1-阿图尔·贾辛斯基2009年11月30日
a（n）对应于通过在A173964号.-易卜拉希马·费伊（ifaye2001（AT）yahoo.fr），2010年2月22日
a（n）也是从第二项开始，通过将对角线与三个对角线端点相交，在n个角中形成的三角形的数量（参见Sommars链接中表格的第一列）-亚历山大·瓦恩伯格，2010年8月21日
列总和：
1 4 9 16 25...
1 4 9...
1...
..............
--------------
1 4 10 20 35...
Ca3、Ca4、Gi3和Gi4三角形和（参见A180662号Connell-Pol三角形的定义A159797号是复制四面体数的移位版本的线性和，例如，Gi3（n）=17*a（n）+19*a（n-1）和Gi4（n）=5*a（m）+a（n-1）。
此外，Connell序列的Kn3、Kn4、Ca3、Ca4、Gi3和Gi4三角和A001614号作为三角形，也是上述序列移位版本的线性和。（结束）
a（n-2）=n_0（n），n>=1，其中a（-1）：=0，是三维空间中一般位置上n个平面的顶点数。请参阅下面的注释A000125号用于总布置。对阿诺德问题的评论，1990-11年，见阿诺德参考，第506页-沃尔夫迪特·朗2011年5月27日
我们考虑图G的最佳真顶点着色。假设标记，即着色从1开始。通过优化，我们的意思是使用的最大标号是G的所有可能标号使用的最大整数标号的最小值。设S=差值之和|l（v）-l（u）|，G的所有边uv和l（w）的和是与G的顶点w相关联的标号。如果G的所有可能标号都是S-不变的，并且产生S的相同整数分区，那么我们说G允许唯一标号。通过偏移，这个序列给出了n个顶点上完整图的S-值，n=2，3-K.V.Iyer公司2011年7月8日
相对论量子开弦4-D情况下横向Virasoro算子的换向器的中心项（参考Zwiebach）-汤姆·科普兰2011年9月13日
在第43页的Ovsienko参考中，显示为Sturm-Liouville运算符的系数-汤姆·科普兰2011年9月13日
由3形式v[ijk]所跨越的空间的尺寸，该形式耦合到覆盖圆环内3个循环的M2-平面世界表（参考Green、Miller、Vanhove等式3.9）-斯蒂芬·克劳利2012年1月5日
a（n+1）是所有项都在{0，1，…，n}和（项之和）=n中的2X2矩阵的数目。此外，a（n+1）是所有项都在{0,1，…，n}和-克拉克·金伯利2012年3月19日
使用n+4个连续三角数t（1），t（2）。。。，t（n+4），其中n是该序列的第n项，通过连接点（t（1），t（2。。。，（t（1），t（2））到（t（n+3），t。这个多边形的面积将是这个序列中每个项的一半-J.M.贝戈2012年5月5日
皮萨诺周期长度：1、4、9、8、5、36、7、16、27、20、11、72、13、28、45、32、17108、19、40。（Pisano序列模m是辅助序列p（n）=a（n）mod m，n>=1，对于某些m.p（n。此处引用了m>=1时p（n）周期的长度。）-R.J.马塔尔2012年8月10日
a（n）是与任何精确包含n+2叶的系统发育树（0级系统发育网络）相一致的有根三元组的最大可能数目-杰斯珀·詹森2012年9月10日
对于n>0，此序列的数字根A010888美元（a（n））形成纯周期27周期{1，4，1，2，8，2，3，3，4，7，4，5，2，5，6，6，7，1，7，8，5，8，9，9，9}，它只是重新表述了上面的皮萨诺周期长度-蚂蚁王2012年10月18日
a（n）是函数f从{1,2,3}到{1,2，…，n+4}的个数，使得f（1）+1<f（2）和f（2-丹尼斯·沃尔什2012年11月27日
a（n）是具有n+1个顶点的路径图的Szeged指数；参见Diudea等人的参考文献，第155页，等式（5.8）-Emeric Deutsch公司2013年8月1日
也可以通过单个块转置排序的长度为n的排列数-文森特·瓦特2013年8月21日
a（n）是3 X 3矩阵行列式
|（n，1）C（n，2）C（n3）|
|C（n+1，1）C（n+1,2）C（n+1,3）|
|C（n+2,1）C（n+2,2）C（n+2,3）|
（结束）
在物理学中，a（n）/2是自旋为S=n/2的粒子的自旋算符S_z^2的迹。例如，当S=3/2时，S_z特征值为-3/2、-1/2、+1/2、+3/2，它们的平方和为10/2=a（3）/2-斯坦尼斯拉夫·西科拉2013年11月6日
a（n+1）=（n+1*（n+2）*（n+3）/6也是n次齐次多项式的Hilbert空间的维数-L.埃德森·杰弗里2013年12月12日
对于n>=4，a（n-3）是1,2…，n的排列数，上（1）-下（0）个元素的分布为0…0111（n-4个零），或者等价地，a（n-3）是上下系数{n，7}（参见A060351型). -弗拉基米尔·舍维列夫2014年2月15日
a（n）是通过绘制点（n^2，（n+1）^2）创建的区域面积的一半。一条线连接点（n^2，（n+1）^2）和（（n+1，（n+2）^2，），从（0,1）到每个递增点画一条线。从（0,1）到（4,9），面积为2；从（0,1）到（9,16），面积为8；其他区域为20,40,70，。。。，2*a（n）-J.M.贝戈，2014年5月29日
a（n+1）表示n>=1时，字母表[4]={1、2、3、4}（或任何其他四个不同的数字）上非递减n字母单词的数量。a（2+1）=10来自单词11、22、33、44、12、13、14、23、24、34；这也是对称4X4矩阵中不同元素的最大数量。受2014年7月20日评论的启发R.J.卡诺在A000582号. -沃尔夫迪特·朗2014年7月29日
在对称群S3作用下计算平面分割轨道的q多项式次数。轨道计数生成函数为product_{i<=j<=k<=n}（（1-q^（i+j+k-1））/（1-qqu（i+j+k-2）））。参见q-TSPP参考-奥利维尔·杰拉德2015年2月25日
如果n是偶数，则a（n）=和{k=1..n/2}（2k）^2。如果n是奇数，则a（n）=和{k=0..（n-1）/2}（1+2k）^2。这可以用分别位于2k或2k+1边长平台上的方形金字塔内的堆叠盒来说明。最大的k是2k X 2k或（2k+1）X（2k+1）基数-R.K.盖伊2015年2月26日
在平面的一般位置画n条线。任何三个定义一个三角形，所以在所有我们看到的C（n，3）=a（n-2）三角形中（6条线产生4个三角形，依此类推）Terry Stickels，2015年7月21日
a（n-2）=fallfac（n，3）/3！，n>=3，也是秩3和维数n的反对称张量的独立分量的个数。这里falfac是下降阶乘-沃尔夫迪特·朗2015年12月10日
n+3的组合数（有序分区）精确到4个部分-尤根·威尔2016年1月2日
n-1的弱组分（有序弱分区）的数量精确到4个部分-尤根·威尔2016年1月2日
对于n>=2，给出了计算两个上n×n三角形矩阵乘积时两个非零矩阵元素的乘法数-约翰·M·科菲2016年6月23日
C（n+2,3）是在n+2个对象中选择1个三元组的方法数，因此a（n）是指数Bell多项式B_{n+2}（x1，x2，…）中x1^（n-1）*x3的系数，因此它与A050534号和A001296号（见公式）-西里尔·达玛姆2018年2月26日
a（n）也是（n+4）-路径补码图中的3个圈数-埃里克·韦斯特因2018年4月11日
a（n）+4*a（n-1）+a（n-2）=n^3=A000578号（n） ，对于n>=0（扩展名称中给出的a（n）公式）。这是立方体的Worpitzky恒等式。（维度n>=1的秩3张量分解为对称、混合和反对称部分的分量数）。关于（n-2），请参阅我2015年12月10日的评论-沃尔夫迪特·朗，2019年7月16日
a（n）还给出了长度为k（以某种长度单位）的正则三角形的总数，其中k来自{1,2，…，n}，在长度为n的封闭三角形的火柴棒排列中，但只计算了具有封闭三角形方向的三角形。无符号行和A122432号（n-1，k-1），对于n>=1。请参阅安德鲁·霍罗伊德中的注释A085691号. -沃尔夫迪特·朗2020年4月6日
a（n）是n+1元素上的bigrassmannian置换数，即具有唯一左世系和唯一右世系的置换-拉斐尔·马尔登2020年8月21日
a（n-2）是使用n种或更少颜色的三角形边或顶点的手性成对着色数-罗伯特·拉塞尔2020年10月20日
a（n-2）是{1,2，…，n}的子集数，其直径为其大小。例如，对于n=4，a（2）=4，集合是{1,3}，{2,4}，}1,2,4}，{1,3,4}-恩里克·纳瓦雷特2020年12月26日
对于n>1，a（n-2）是{1,2，…，n}的子集数，其中第二大元素是子集的大小。例如，对于n＝4，a（2）＝4，并且集合是{2,3}、{2,4}、{1,3,4}、{2,3,4}-恩里克·纳瓦雷特2021年1月2日
a（n）是长度为n+2且正好为3个0的二进制字符串的数目-恩里克·纳瓦雷特，2021年1月15日
除了零之外，这个序列是帕斯卡矩阵的第四条对角线A007318号和矩阵表示的唯一非对角（第四）IM=(A132440号)^3/3! 微分算子D^3/3！，作用于o.g.f.系数的行向量或幂级数时。
M=e^{IM}是Appell多项式序列p_n（x）=e^}D^3/3A025035级M的第一列用双零填充。
a（n）是整数长度半径>=1且中心位于n X n网格中网格点的圆数-阿尔伯特·斯瓦福德2021年6月11日
所有具有n+1个顶点的连通图上的最大Wiener指数-艾伦·比克尔2022年7月9日
除了上述n^3恒等式外，第三个欧拉行（1,4,1）与四面体数还有一个额外的联系：a^2（n）+4*a^2。例如，a^2（2）+4*a^2。虽然欧拉三角形和三角数C（n+1,2）的（1,1）行也发生了类似的情况=A000217号（n） =T（n），即T（n-1）+T（nA000332号也就是说，（1,11,11,1）与4个连续项的平方的点积A000332号通常不是A000332号. -理查德·彼德森，2022年8月21日
对于n>1，a（n-2）是Diophantine方程x1+x2+x3+x4+x4+x5=n的解的数目，受约束条件0<=x1，1<=x2，2<=x3，0<=x4<=1，0<=x5，x5是偶数-丹尼尔·切卡2022年11月3日
a（n+1）也是参数为2，n和向量（1,1，…，1）的广义Pitman-Stanley多面体的顶点数，它在积分上等价于具有2行和n列的网格图上的流多面体-威廉·杜根2023年9月18日
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参考文献
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链接
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公式
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a（n）=C（n+2.3）=n*（n+1）*（n+2）/6（见名称）。
通用格式：x/（1-x）^4。
a（n）=-a（-4-n），用于Z中的所有项。
a（n）=和{k=0..n}A000217号（k） =和{k=1..n}和{j=0..k}j，三角数的部分和。
a（n）=和{1<=i<=j<=n}|i-j|-阿玛纳斯·穆尔西2002年8月5日
a（n）=（n+3）*a（n-1）/n-拉尔夫·斯蒂芬2003年4月26日
n×n对称帕斯卡矩阵M_（i，j）=C（i+j+2，i）的行列式-贝诺伊特·克洛伊特2003年8月19日
由指数与级数长度（n）的乘积减去指数（i）构成的级数的和：a（n）=和[i（n-i）]马丁·史蒂文·麦考密克（mathseq（AT）wazer.net），2005年4月6日
a（n）=和{k=0..层（（n-1）/2）}（n-2k）^2[偏移量0]；a（n+1）=和{k=0..n}k^2*（1-（-1）^（n+k-1））/2[偏移量0]-保罗·巴里2005年4月16日
SL_2的Verlinde公式值，g=2:a（n）=Sum_{j=1..n-1}n/（2*sin^2（j*Pi/n））-西蒙·塞韦里尼2006年9月25日
从[1，3，3，1，…]的1=二项式变换开始；例如，a（4）=20=（1，3，3，1）点（1，三，3，一）=（1+9+1）-加里·亚当森2007年11月4日
当n>=4时，a（n）=4*a（n-1）-6*a（n-2）+4*a（n-3）-a（n-4）-杰姆·奥利弗·拉丰2008年11月18日
Gradstein-Ryshik 1.513.7中的总和{n>=1}1/a（n）=3/2，情况x=1-R.J.马塔尔2009年1月27日
例如：（x^3）/6+x^2+x）*exp（x）-杰弗里·克雷策，2009年2月21日
偏移量为1时，a（n）=（1/6）*楼层（n^5/（n^2+1））-加里·德特利夫斯2010年2月14日
a（n）=（3*n^2+6*n+2）/（6*（h（n+2）-h（n-1））），n>0，其中h（n）是第n次谐波数-加里·德特利夫斯，2011年7月1日
a（n）=1+1/（x+1）+1/（x+1）^2+1/（x+1）^3+…+麦克劳林展开式中的x^2系数1/（x+1）^n-弗朗西斯科·达迪2011年8月2日
a（n）=sin（x）*exp（（n+1）*x）的Maclaurin展开式中的x^4系数-弗朗西斯科·达迪2011年8月4日
a（n）=3*a（n-1）-3*a（n-2）+a（n-3）+1-蚂蚁王2012年10月18日
通用公式：x*U（0），其中U（k）=1+2*x*（k+2）/（2*k+1-x*（2*k+1）*（2*k+5）/；（连分数，第3类，3步）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年12月1日
a（n^2-1）=（1/2）*（a（n*2-n-2）+a（n|2+n-2））和
G.f.:x+4*x^2/（Q（0）-4*x）其中Q（k）=1+k*（x+1）+4*x-x*（k+1）*（k+5）/Q（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年3月14日
a（n+1）=det（C（i+3，j+2），1<=i，j<=n），其中C（n，k）是二项式系数-米尔恰·梅卡2013年4月6日
当n>1时，a（n）=a（n-2）+n^2-伊万·伊纳基耶夫2013年4月16日
当n>0时，a（2n）=4*（a（n-1）+a（n））-伊万·伊纳基耶夫2013年4月26日
G.f.:x*G（0）/2，其中G（k）=1+1/（1-x/（x+（k+1）/（k+4）/G（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年6月2日
a（n）=n+2*a（n-1）-a（n-2），其中a（0）=a（-1）=0-理查德·福伯格2013年7月11日
对于任何非负整数m和n，a（n）*（m+1）^3+a（m）*（n+1）=a（n*m+n+m）。这是关于三角数的欧拉定理的三维模拟，即t（n）x（2m+1）^2+t（m）=t（2nm+n+m），其中t（n）是第n个三角数-伊万·伊纳基耶夫2013年8月20日
和{n>=0}a（n）/（n+1）！=2*e/3=1.8121878856393。和{n>=1}a（n）/n！=13*e/6=5.88961062832-理查德·福伯格2013年12月25日
a（k*n）=a（k）*a（n）+4*a（k-1）*a-罗伯特·伊斯雷尔2015年4月20日
Dirichlet g.f.：（zeta（s-3）+3*zeta（s-2）+2*zeto（s-1））/6-伊利亚·古特科夫斯基2016年7月1日
通用公式：x/（1-x）^4=（x*r（x）*r（x^2）*r，其中r（x）=（1+x）^4=（1+4x+6x^2+4x^3+x^4）；和x/（1-x）^4=（x*r（x）*r（x^3）*r其中r（x）=（1+x+x^2）^4-加里·亚当森2017年1月23日
a（n）=1*C（n，1）+2*C（n，2）+1*C。
a（n-2）=1*C（n，3），其中C（n，k）的系数是使用精确k种颜色的三角形着色的手性对的数量。
产品{n>=1}（1+1/a（n））=sinh（平方（2）*Pi）/（3*sqrt（2）*Pi）。
产品{n>=2}（1-1/a（n））=sqrt（2）*sinh（sqert（2）*Pi）/（33*Pi）。（结束）
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例子
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a（2）=3*4*5/6=10，三层球组成的金字塔中的球数，底部三角形为6，中间层为3，顶部为1。
考虑正方形阵列
1 2 3 4 5 6 ...
2 4 6 8 10 12 ...
3 6 9 12 16 20 ...
4 8 12 16 20 24 ...
5 10 15 20 25 30 ...
...
G.f.=x+4*x^2+10*x^3+20*x^4+35*x^5+56*x^6+84*x^7+120*x^8+165*x^9+。。。
例如，a（3+1）=20个不减3个字母的单词覆盖{1,2,3,4}:111,222,333；444, 112, 113, 114, 223, 224, 122, 224, 133, 233, 144, 244, 344; 123, 124, 134, 234. 4 + 4*3 + 4 = 20. -沃尔夫迪特·朗2014年7月29日
例如，对于维数为4的秩3反对称张量a的a（4-2）=4个独立分量：a（1,2,3）、a（1,2,4）、a“1,3,4”和a（2,3,4）-沃尔夫迪特·朗2015年12月10日
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MAPLE公司
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a： =n->n*（n+1）*（n+2）/6；seq（a（n），n=0..50）；
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数学
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表[二项式[n+2,3]，{n，0，20}](*零入侵拉霍斯2010年1月31日*）
累计[累计[范围[0，50]]](*哈维·P·戴尔2011年12月10日*）
表[n（n+1）（n+2）/6，{n，0，100}](*韦斯利·伊万·赫特，2013年9月25日*）
嵌套[累加，范围[0，50]，2](*哈维·P·戴尔2017年5月24日*）
线性递归[{4，-6，4，-1}，{0，1，4，10}，20](*埃里克·韦斯特因2017年9月8日*）
系数列表[级数[x/（-1+x）^4，{x，0，20}]，x](*埃里克·韦斯特因2017年9月8日*）
表[范围[n]。范围[n，1，-1]，{n，0，50}](*哈维·P·戴尔2024年3月2日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=（n）*（n+1）*（n+2）/6\\修正人哈里·史密斯2008年12月22日
（PARI）a=矢量（10000）；a[2]=1；对于（i=3，#a，a[i]=a[i-2]+i*i）\\斯坦尼斯拉夫·西科拉，2013年11月7日
（PARI）是（n）=我的（k=平方英寸（6*n，3））；k*（k+1）*（k+2）==6*n\\查尔斯·格里特豪斯四世2016年12月13日
（哈斯克尔）
a000292 n=n*（n+1）*（n+2）`div`6
a000292_list=扫描1（+）a000217_list
（岩浆）[0..50]]中的[n*（n+1）*（n+2）/6:n//韦斯利·伊万·赫特2014年6月3日
x、 y，z=1，1，1
产量0
为True时：
收益率x
x、 y，z=x+y+z+1，y+z+1z+1
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交叉参考
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参见。A000217号（第一个差异），A001044号，（参见上述示例），A061552美元,A040977号,A133111号,A133112号,A152205号,A158823号,156925英镑,A157703型,A173964号,A058187号,A190717号,A190718年,A100440号,A181118号,A222716号.
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关键字
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非n,核心,容易的,美好的,改变
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A005900型
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| 八面体数：a（n）=n*（2*n^2+1）/3。
（原名M4128）
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+10
114
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0, 1, 6, 19, 44, 85, 146, 231, 344, 489, 670, 891, 1156, 1469, 1834, 2255, 2736, 3281, 3894, 4579, 5340, 6181, 7106, 8119, 9224, 10425, 11726, 13131, 14644, 16269, 18010, 19871, 21856, 23969, 26214, 28595, 31116, 33781, 36594, 39559, 42680
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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g.f.的级数反转：A（x）是和{n>0}-A066357号（n） （-x）^n个。
同样作为a（n）=（1/6）*（4n^3+2n），n>0：结构四方菱形数（顶点结构5）（参见。A000447号-结构性钻石）；和结构化三角反棱镜数（顶点结构5）（参见。A100185号-结构化反棱镜）。参见。A100145号有关结构化多面体数的更多信息James A.Record（James.Record（AT）gmail.com），2004年11月7日
此多面体的Schlaefli符号：{3,4}。
如果X是一个n集，Y和Z是X的不相交的2个子集，那么a（n-4）等于X的5个子集数，这些子集与Y和Z相交-米兰Janjic2007年8月26日
从1=[1,5,8,4,0,0,0，…]的二项式变换开始，其中（1,5,8,14）=切比雪夫三角形的第3行A081277号. -加里·亚当森2008年7月19日
a（n）=（1+…+x^（n-1））^4的最大系数-R.H.哈丁2009年7月23日
（1+6x+19x^3+…）的卷积平方根=（1+3x+5x^2+7x^3+…）=A005408号（x） ●●●●-加里·亚当森2009年7月27日
从偏移量1开始=用[1，3，4，4，…]卷积的三角级数-加里·亚当森2009年7月28日
设b是四个不同素数的任意乘积。那么b^n的除数格的宽度为a（n+1）-让·德拉布2010年10月13日
出现在Bezdek关于同余球形填料接触数的证明中（见预印本）-乔纳森·沃斯邮报2011年2月8日
a（n+1）是所有项在{0,1，…，n}中且（项之和）=2n的2X2矩阵的数目-克拉克·金伯利2012年3月19日
a（n）是最大元素<=n的所有3个分区上的半标准杨表数-阿洛伊斯·海因茨2012年3月22日
a（n）是{1，…，n}和w+x=y+z中所有项的（w，x，y，z）数；以及{0，…，n}和|w-x|<=y中所有项的（w，x，y，z）的数目-克拉克·金伯利2012年6月2日
序列是（0，1，3，4，4，…）的第三部分和-加里·亚当森2015年9月11日
a（n）是B_n型Weyl群中关于强Bruhat阶的联合可约元素的个数-拉斐尔·马尔登2020年8月26日
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参考文献
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H.S.M.Coxeter，《多面体数》，R.S.Cohen、J.J.Stachel和M.W.Wartofsky编辑，《为德克·斯特鲁克撰写：纪念德克·斯特鲁克的科学、历史和政治论文》，雷德尔，多德雷赫特，1974年。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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Y-h.郭，一些n色合成，J.国际顺序。15（2012）12.1.2，方程式（5），m=2。
Milan Janjić，限制性三元词和插入词，arXiv:1905.04465[math.CO]，2019年。
Hyun Kwang Kim，关于正则多面体数，程序。阿默尔。数学。《社会学杂志》，131（2002），65-75。
Hankyung Ko、Volodymyr Mazorchuk和Rafael Dja en先生，Bruhat订单和Verma模块的联接操作，arXiv:2109.01067[math.RT]，2021。见第19页备注5.10。
T.P.Martin，原子壳，物理。报告，273（1996），199-241，等式（11）。
J.K.Merikoski、R.Kumar和R。A.Rajput，二部图最大特征值的上界《线性代数电子杂志》ISSN 1081-3810，国际线性代数学会出版物，第26卷，第168-176页，2013年4月。
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
B.K.Teo和N.J.A.Sloane，多边形和多面体簇中的幻数，无机。化学。24 (1985), 4545-4558.
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公式
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a（n）=1^2+2^2+…+（n-1）^2+n^2+（n-1，^2+…+2^2 + 1^2. -阿玛纳斯·穆尔西2001年5月28日
通用格式：x*（1+x）^2/（1-x）^4。a（n）=-a（-n）=（2*n^3+n）/3。
a（n）=（（（n+1）^5-n^5）-（n^5-（n-1）^5））/30.-Xavier Acloque，2003年10月17日
a（n）是乘积pq的和，其中p和q都是正数和奇数，p+q=2n，例如a（4）=7*1+5*3+3*5+1*7=44-乔恩·佩里2005年5月17日
a（n）=4*二项式（n，3）+4*二项式（n，2）+二项式（n，1）-米奇·哈里斯2006年7月6日
求和{n>=1}1/a（n）=3*gamma+3*Psi（（I*（1/2））*sqrt（2））-（1/2）*（3*I）*Pi*coth（（1/2）*Pi*sqrt=A175577号，其中I=sqrt（-1）-斯蒂芬·克劳利2009年7月14日
a（n）=4×a（n-1）-6*a（n-2）+4*a（n-3）-a（n-4），n>3-韦斯利·伊万·赫特2015年9月11日
例如：（1/3）*x*（3+6*x+2*x^2）*exp（x）-伊利亚·古特科夫斯基2017年3月16日
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例子
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G.f.=x+6*x^2+19*x^3+44*x^4+85*x^5+146*x^6+231*x^7+。。。
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MAPLE公司
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al:=过程（s，n）二项式（n+s-1，s）；结束；be：=proc（d，n）局部r；加法（（-1）^r*二项式（d-1，r）*2^（d-1-r）*al（d-r，n），r=0..d-1）；结束；[seq（be（3，n），n=0..100）]；
与（组合）：seq（fibonacci（4,2*n）/12，n=0..40）#零入侵拉霍斯2008年4月21日
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数学
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表[（2n^3+n）/3，{n，0，40}]（*或*）线性递归[{4，-6，4，-1}，{0，1，6，19}，50](*哈维·P·戴尔2013年10月10日*）
系数列表[级数[x（1+x）^2/（1-x）^4，{x，0，45}]，x](*文森佐·利班迪2015年9月12日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=n*（2*n^2+1）/3}；
（PARI）连接（[0]，Vec（x*（1+x）^2/（1-x）^4+O（x^50））\\印地瑞尼Ghosh2017年3月16日
（哈斯克尔）
a005900 n=总和$zipWith（*）赔率$reverse赔率
其中赔率=取n a005408_list
a005900_list=扫描（+）0 a001844_list
（最大值）makelist（n*（2*n^2+1）/3，n，0，20）/*马丁·埃特尔2013年1月7日*/
（岩浆）[0..50]]中的[n*（2*n^2+1）/3:n//韦斯利·伊万·赫特2015年9月11日
（岩浆）I:=[0,1,6,19]；[n le 4选择I[n]else 4*自我（n-1）-6*自我（n-2）+4*自我（n-3）-自我（n-4）：[1..50]]中的n//文森佐·利班迪，2015年9月12日
（Python）
定义a（n）：返回n*（2*n*n+1）//3
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交叉参考
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1/12*t*（n^3-n）+n，对于t=2,4,6。。。给予A004006号,A006527号,A006003号,A005900型,A004068号,A000578号,A004126号,A000447号,A004188号,A004466号,A004467号,A007588号,2005年6月25日,A063521号,A063522美元,A063523号.
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关键字
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非n,容易的
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作者
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经核准的
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