搜索： a006116-编号：a006161
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1, 1, 2, 6, 26, 158, 1330, 15414, 245578, 5382862, 162700898, 6801417318, 394502066810, 31849226170622, 3589334331706258, 566102993389615254, 125225331231990004138, 38920655753545108286254, 17021548688670112527781058, 10486973328106497739526535366
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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让v_1，。。。，v_n是场GF（2）上n维向量空间v的基。那么a（n+1）是包含向量V_1但不包含V_2的V的子空间数，。。。，v_n-杰弗里·克雷策2018年7月5日
还有n个节点上Stanley图的数量。精确定义见Knuth（1997）-阿洛伊斯·海因茨2019年9月24日
此外，[n]上自然标记的偏序集的数量最多为两个-大卫·贝文2022年7月28日；2023年11月16日
另外，符号映射的数量X：（[n]选择2）->{+，-}，这样对于任何有序的三元组a<b<c，我们都有X（ab）X（ac）X（bc）不在{++，++}中-曼弗雷德·舒彻2024年1月5日
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参考文献
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S.R.Finch，《数学常数》，剑桥，2003年，第318页。
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链接
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Zvi Rosen和Yan X.Zhang，维数为1的凸神经码，arXiv:1702.06907【math.CO】，2017年。提到这个序列。
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配方奶粉
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O.g.f.：A（x）=和{n>=0}x^n/产品{k=0..n}（1-（2^k-1）*x）。
G.f.：（G（0）-1）/（x-1），其中G（k）=1-1/（1-x*（2^k-1））/（1-x/（x-1/G（k+1））；（递归定义的连分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年1月16日
a（n）~c*2^（n^2/4），其中c=EllipticTheta[3,0,1/2]/QPochhammer[1/2,1/2]=7.3719688014613…如果n是偶数，c=ElllipticTheta[2,0,1/2]/QBochhammer[1/2,1/2]=7.37194907662…如果n为奇数-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年8月23日
G.f.:f（1），其中f（y）=1+x*（（y-1）*f（y）+f（2*y））-大卫·贝文2022年7月28日
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例子
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外径：A（x）=1+x/（1-x）+x^2/（（1-x。。。
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MAPLE公司
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b： =proc（n）选项记忆；添加（mul(
（2^（i+k）-1）/（2^i-1），i=1..n-k），k=0..n）
结束时间：
a： =proc（n）选项记忆；
加上（b（n-j）*二项式（n，j）*（-1）^j，j=0..n）
结束时间：
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数学
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表[级数系数[和[x^n/积[（1-（2^k-1）*x），{k，0，n}]，{n，0，nn}]，}，{x，0，nn}]，[nn，0，20}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2013年8月23日*）
b[n_]：=b[n]=和[积[（2^（i+k）-1）/（2^i-1），{i，1，n-k}]，{k，0，n}]；
a[n]：=a[n]=和[（-1）^jb[n-j]二项式[n，j]，{j，0，n}]；
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=polcoeff（总和（k=0，n，x^k/prod（j=0，k，1-（2^j-1）*x+x*O（x^n）），n）
定义a（n）：
@缓存函数
定义T（n，k）：
如果k==1或k==n：返回1
返回（2^k-1）*T（n-1，k）+T（n-1，k-1）
如果n>0，则返回和（T（n，k）for k in（1..n）），否则返回1
打印（[a（n）代表n in（0..19）]）#彼得·卢什尼2020年2月26日
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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经核准的
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2, 3, 2, 4, 8, 2, 2, 5, 22, 8, 24, 2, 2, 2, 2, 6, 52, 22, 150, 8, 24, 24, 72, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 7, 114, 52, 740, 22, 150, 150, 1046, 8, 24, 24, 72, 24, 72, 72, 216, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 8, 240, 114, 3282, 52, 740
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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1,1
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评论
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n和k从1开始计算：
2,
3, 2,
4, 8, 2, 2,
5, 22, 8, 24, 2, 2, 2, 2,
6, 52,22,150, 8, 24, 24, 72,2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2,
7,114,52,740,22,150,150,1046,8,24,24,72,24,72,72,216,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2
每行的不同条目数为1、2、3、5、8、12、16。。。
第二列2,8,22,52114240……似乎也出现在其他列中。
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链接
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关键字
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非n,标签
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作者
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状态
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经核准的
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A022166号
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| 当q=2时，高斯二项式系数（或q二项式参数）的三角形[n，k]。 |
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+10
79
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1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 7, 7, 1, 1, 15, 35, 15, 1, 1, 31, 155, 155, 31, 1, 1, 63, 651, 1395, 651, 63, 1, 1, 127, 2667, 11811, 11811, 2667, 127, 1, 1, 255, 10795, 97155, 200787, 97155, 10795, 255, 1, 1, 511, 43435, 788035, 3309747, 3309747, 788035, 43435, 511, 1
(列表;桌子;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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0.5
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评论
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还有不同二进制线性[n，k]码的数量。
T（n，k）是阿贝尔群（C_2）^n的阶为2^k的子群的数目-杰弗里·克雷策2016年3月28日
T（n，k）是有限向量空间GF（2）^n的k-子空间数-宋嘉宁2020年1月31日
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参考文献
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J.Goldman和G.-C.Rota，向量空间的子空间数，W.T.Tutte，编辑，《组合数学的最新进展》第75-83页。纽约学术出版社，1969年。
F.J.MacWilliams和N.J.A.Sloane，《纠错码理论》，Elsevier-North Holland，1978年，第698页。
M.Sved，高斯和二项式，Ars。Combinatoria，17A（1984），325-351。
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链接
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J.A.de Azcarraga和J.A.Macfarlane，分数次超对称的群论基础arXiv:hep-th/95061771995年。
D.斯莱宾，群码的进一步理论《贝尔系统技术杂志》第39卷，1960年，第1219-1252页。
M.斯维德，高斯和二项式，阿瑟。Combinatoria，17A（1984），325-351。（带注释的扫描副本）
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配方奶粉
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通用公式：A（x，y）=Sum_{k>=0}y^k/产品{j=0..k}（1-2^j*x）-保罗·D·汉纳，2006年10月28日
对于k=1,2,3，。。。exp（和{n>=1}（2^（k*n）-1）/（2^n-1）*x^n/n）的展开式给出了三角形第k对角线的o.g.f.（k=1对应于主对角线）-彼得·巴拉2015年4月7日
T（n，k）=T（n-1，k-1）+q^k*T（n-1，k）-彼得·劳伦斯2017年7月13日
T（m+n，k）=Sum_{i=0..k}q^（（k-i）*（m-i））*T（m，i）*T（n，k-i），q=2（见Sved链接，第337页）-沃纳·舒尔特2019年4月9日
T（n，k）=总和{j=0..k}qStirling2（n-j，n-k）*C（n，j），其中qStirling2（n，k）为A139382号. -弗拉基米尔·克鲁奇宁2020年3月4日
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例子
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三角形开始：
1;
1, 1;
1, 3, 1;
1, 7, 7, 1;
1、15、35、15、1；
1、31、155、155、31、1；
1, 63, 651, 1395, 651, 63, 1;
1, 127, 2667, 11811, 11811, 2667, 127, 1;
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MAPLE公司
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mul（2^i-1，i=1..n）；
结束进程：
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数学
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（*S代表qStirling2*）S[n_，k_，q_]/；1<=k<=n：=S[n-1，k-1，q]+和[q^j，{j，0，k-1}]*S[n-1，k，q]；S[n_，0，_]：=克罗内克德尔塔[n，0]；S[0，k_，_]：=克罗内克三角洲[0，k]；S[_，_，_]=0；
温度[n_，k_]/；n>=k:=总和[二项式[n，j]*S[n-j，n-k，q]*（q-1）^（k-j）/。q->2，{j，0，k}]；
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黄体脂酮素
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（PARI）T（n，k）=波尔科夫（x^k/prod（j=0，k，1-2^j*x+x*O（x^n）），n）\\保罗·D·汉纳，2006年10月28日
（PARI）qp=matpascal（9，2）；
对于（n=1，#qp，对于（k=1，n，print1（qp[n，k]，“，”））\\杰拉尔德·麦卡维2009年12月5日
（PARI）{q=2；T（n，k）=if（k==0，1，if（k==n，1，如果（k<0|n<k，0，T（n-1，k-1）+q^k*T（n-l，k））}；
对于（n=0，10，对于（k=0，n，打印1（T（n，k），“，”））\\G.C.格鲁贝尔2018年5月27日
（Sage）def T（n，k）：返回高斯多项式（n，k）.subs（q=2）#拉尔夫·斯蒂芬2014年3月2日
（岩浆）q:=2；[k le 0选择1 else（&*[（1-q^（n-j）））/（1-qqu（j+1））：j in[0..（k-1）]]）：k in[0..n]]：n in[0..20]]//G.C.格鲁贝尔2018年11月17日
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交叉参考
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关键字
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作者
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状态
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经核准的
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A076831号
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| 由行读取的三角形T（n，k），给出了不等二元线性[n，k]码的数量（n>=0，0<=k<=n）。 |
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+10
16
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1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 4, 6, 4, 1, 1, 5, 10, 10, 5, 1, 1, 6, 16, 22, 16, 6, 1, 1, 7, 23, 43, 43, 23, 7, 1, 1, 8, 32, 77, 106, 77, 32, 8, 1, 1, 9, 43, 131, 240, 240, 131, 43, 9, 1, 1, 10, 56, 213, 516, 705, 516, 213, 56, 10, 1, 1, 11, 71, 333, 1060, 1988, 1988
(列表;桌子;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0.5
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评论
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“前几行的熟悉外观[……]提供了一个很好的例子，说明了数学中过于仓促推断的危险。”-斯莱宾。
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参考文献
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M.Wild，二元和三元拟阵的枚举以及Brylawski Lucas定理的其他应用，预印本第1693号，技术学院，Hochschule Darmstadt，1994
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链接
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H.Fripertinger和A.Kerber，不可分解线性码的等距类收录于：G.Cohen，M.Giusti，T.Mora（eds），《应用代数，代数算法和纠错码》，第11届国际研讨会，AAECC 1995，Lect。票据构成。科学。948（1995），第194-204页。[显然，T（n，k）的符号是W_{nk2}；见第197页。]
David Slepian，群码的进一步理论《贝尔系统技术杂志》第39卷第5期（1960年），第1219-1252页。
David Slepian，群码的进一步理论《贝尔系统技术杂志》第39卷第5期（1960年），第1219-1252页。
马塞尔·怀尔德，二元码和二元拟阵的渐近数，SIAM J.离散数学。19 (2005), 691-699. [这篇论文显然纠正了以前论文中的一些错误。]
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配方奶粉
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第k列的G.f.=2:-（x^3-x-1）*x^2/（（x^2+x+1）*（x+1）*（x-1）^4）。
列k=3的G.f:（x^12-2*x^11+x^10-x^9-x^6+x^4-x-1）*x^3/（（x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1）*（x^2+x+1）^2*（x*2+1）*。
对于列k>=4，G.f.：修改下面的Sage程序（参见函数f）。在这里写太复杂了。（另请参阅上面的一些链接。）
（结束）
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例子
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k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11总和
n个
0 1 1
1 1 1 2
2 1 2 1 4
3 1 3 3 1 8
4 1 4 6 4 1 16
5 1 5 10 10 5 1 32
6 1 6 16 22 16 6 1 68
7 1 7 23 43 43 23 7 1 148
8 1 8 32 77 106 77 32 8 1 342
9 1 9 43 131 240 240 131 43 9 1 848
10 1 10 56 213 516 705 516 213 56 10 1 2297
11 1 11 71 333 1060 1988 1988 1060 333 71 11 1 6928
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黄体脂酮素
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（Sage）#Fripertinger求k列的g.f>=2（对于小k）的方法：
定义A076831col（k，长度）：
G1=PSL（k，GF（2））
G2=PSL（k-1，GF（2））
D1=G1.cycle_index（）
D2=G2.cycle_index（）
f1=总和（i[1]*prod（1/（1-x^j）对于i[0]中的j）对于D1中的i）
f2=总和（i[1]*prod（1/（1-x^j）对于i[0]中的j）对于D2中的i）
f=（f1-f2）/（1-x）
return f.tayler（x，0，length）.list（）
#例如，k=4列的泰勒展开式给出了
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交叉参考
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关键字
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作者
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状态
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经核准的
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1, 2, 2, 5, 2, 6, 2, 16, 6, 8, 2, 16, 2, 10, 4, 67, 2, 28, 2, 22, 10, 14, 2, 54, 8, 16, 28, 28, 2, 28, 2, 374, 4, 20, 4, 78, 2, 22, 16, 76, 2, 36, 2, 40, 12, 26, 2, 236, 10, 64, 4, 46, 2, 212, 14, 98, 22, 32, 2, 80, 2, 34, 36, 2825, 4, 52, 2, 58, 4, 52, 2, 272
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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对于n>=2a（n）>=2等式，如果n是素数。
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链接
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配方奶粉
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例子
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a（6）=6，因为有两个具有6个元素的群：具有4个子群的C_6和具有6个子群的S_3。
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黄体脂酮素
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（间隙）a:=函数（n）
局部gr，mx，t，g；
mx：=0；
gr:=所有小型组（n）；
对于gr-do中的g
t:=总和（共轭类子群（g），大小）；
mx：=最大值（mx，t）；
od；
返回mx；
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交叉参考
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关键字
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非n,美好的
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作者
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Ola Veshta（olaveshta（AT）my-deja.com），2001年5月23日
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扩展
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维多利亚·A·萨普科（vsapko（AT）canes.gsw.edu）提供的更多条款，2003年6月13日
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状态
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经核准的
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1, 3, 11, 51, 307, 2451, 26387, 387987, 7866259, 221472147, 8703733139, 479243212179, 37070813107603, 4036214347068819, 619402703369958803, 134108807406166799763, 40994263184865380595091, 17700624176280878586721683, 10799420012335823235718509971
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0.2个
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评论
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a（n）是GF（2）^n的所有子空间中向量的总数。
a（n）是不包含给定非零向量的GF（2）^（n+1）的子空间数。（结束）
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链接
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配方奶粉
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a（n）=和{k=0..n}（2^n/2^k*产品{i=0..k-1}（2 ^n-2 ^i）/（2 ^k-2 ^i。
通用公式：和{n>=0}x^n/产品{k=1..n+1}（1-2^k*x）-保罗·D·汉纳2012年5月1日
a（n）~c*2^（（n+1）^2/4），其中c=椭圆Theta[2，0，1/2]/QPochhammer[1/2，1/2]=A242939型=7.37194949076622733754118336……如果n是偶数，并且c=椭圆Theta[3，0，1/2]/QPochhammer[1/2，1/2]=A242938型=7.3719688014613165091531912082……如果n是奇数-瓦茨拉夫·科特索维奇2014年6月22日
a（n）/[n]q！是当q->2时，（1+x）*expq（x）*xpq（x！是n的q因子-杰弗里·克雷策2017年7月15日
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例子
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对于n=2，有4个维度为0的仿射子空间，6个维度为1，1个维度为2。
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数学
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表[总和[2^n/2^k*乘积[（2^n-2^i）/（2^k-2^i），{i，0，k-1}]，{k，0，n}]，}n，0，20}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2014年6月22日*）
表[Sum[Q二项式[n，k，2]2^k，{k，0，n}]，{n，0，20}](*弗拉基米尔·雷舍特尼科夫2016年10月17日*）
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黄体脂酮素
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（Sage）def a（n）：返回和（[（2^n/2^k）*prod（[0..k-1]]中i的[（2|n-2^i）/（2^k-2^i
（PARI）{a（n）=polcoeff（总和（m=0，n，x^m/prod（k=1，m+1，1-2^k*x+x*O（x^n）），n）}/*保罗·D·汉纳，2012年5月1日*/
（GAP）列表（[0..20]，n->和（[0..n]，k->（2^n/2^k*乘积（[0..k-1]，i->（2^n-2^i）/（2^k-2^i））））#穆尼鲁·A·阿西鲁，2018年8月1日
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交叉参考
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关键字
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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1, 3, 5, 9, 15, 17, 33, 51, 65, 85, 105, 129, 153, 165, 195, 255, 257, 513, 771, 1025, 1285, 1545, 2049, 2313, 2565, 3075, 3855, 4097, 4369, 4641, 5185, 6273, 8193, 8481, 8721, 9345, 10305, 12291, 13107, 15555, 16385, 16705, 17025, 17425, 18465, 20485, 21845
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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0.2个
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评论
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可以为每个子组{0，a，b，…}分配一个整数1+2^a+2^b+。。。
这些按大小排序的整数给出了这个序列。
如果没有数字，序列可以定义如下：
集合{0，…，n-1}的幂集以对称差作为群运算，形成初等阿贝尔群（Z_2）^n。
组中的元素可以按字典顺序从0到2^n-1进行编号，0代表中性元素：
{}-->0 , {0}-->2^0=1 , {1}-->2^1=2 , {0,1}-->2^0+2^1=3 , ... , {0，…，n-1}-->2^n-1个
因此，（Z_2）^n的子群可以用{0，…，2^n-1}的子集表示。
因此，（Z_2）^n的每个子群{0，a，b，…}可以被分配一个整数1+2^a+2^b+。。。
对于每个（Z_2）^n，都有一个按大小排序的这些数字的有限序列，它是（Z_2^（n+1）的有限序列的开始。
这导致无限序列：
*1，（1直到（Z_2）^0）
*3，（2直到（Z_2）^1）
*5，9，15，（5，直到（Z_2）^2）
*17、33、51、65、85、105、129、153、165、195、255，（16直到（Z_2）^3）
* 257, 513, 771, 1025, 1285, 1545, 2049, 2313, 2565, 3075, 3855, 4097, 4369, 4641, 5185, 6273, 8193, 8481, 8721, 9345, 10305, 12291, 13107, 15555, 16385, 16705, 17025, 17425, 18465, 20485, 21845, 23205, 24585, 26265, 26985, 32769, 33153, 33345, 33825, 34833, 36873, 38505, 39321, 40965, 42405, 43605, 49155, 50115, 52275, 61455, 65535,（67至（Z_2）^4）
* 65537, ...
（Z_2）^n的子群数为1，2，5，16，67，374，2825。。。(A006116号)
布尔函数对应于整数，属于小型等价类（sec）。因此，秒可以被视为一组无限的整数（表示为227722英镑最小的一个）。有些秒只包含一个奇数。这些按大小排序的唯一奇数整数显示在这个序列中。（虽然这些秒中的最小整数显示在A227963号.)
（结束）
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链接
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例子
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Klein四群（Z_2）^2的5个子群和相应的整数为：
{0 } --> 2^0 = 1
{0,1 } --> 2^0 + 2^1 = 3
{0, 2 } --> 2^0 + 2^2 = 5
{0, 3} --> 2^0 + 2^3 = 9
{0,1,2,3} --> 2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 = 15
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交叉参考
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后续内容：
囊性纤维变性。A001317号（Sierpinski三角形的行读起来像二进制数）。
囊性纤维变性。A122569号（Thue-Morse序列r.l.b.n.的否定迭代）。
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关键字
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非n,标签
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 2, 12, 184, 9104, 1225248, 540023488, 652225844096, 2584219514040576, 28081351726592246272, 1001235747932175990213632, 97915621602690773814148184064, 31420034518763282871588038742544384, 27654326463468067495668136467306727743488
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0.2个
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参考文献
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J.Goldman和G.-C.Rota，向量空间的子空间数，W.T.Tutte，编辑，《组合数学的最新进展》第75-83页。纽约学术出版社，1969年。
I.P.Goulden和D.M.Jackson，组合枚举。纽约州威利，1983年，第99页。
M.Sved，高斯和二项式，Ars。Combinatoria，17A（1984），325-351。
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链接
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配方奶粉
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a（n）~c*9^（n^2/4），其中c=EllipticTheta[3,0,1/9]/QPochhammer[1/9,1/9]=1.3946866902389…如果n是偶数，c=ElliticTheta[2,0,1/9]/QPochhammer[1/9,1/9]=1.333574200539…如果n为奇数-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年8月21日
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数学
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总计/@表[Q二项式[n，m，9]，{n，0，20}，{m，0，n}](*文森佐·利班迪2012年11月1日*）
扁平[{1，递归表[{a[n]==2*a[n-1]+（9^（n-1）-1）*a[n-2]，a[0]==1，a[1]==2}，a，{n，1，15}]}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2013年8月21日*）
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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经核准的
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1, 2, 2, 5, 2, 4, 2, 16, 6, 4, 2, 10, 2, 4, 4, 67, 2, 12, 2, 10, 4, 4, 2, 32, 8, 4, 28, 10, 2, 8, 2, 374, 4, 4, 4, 30, 2, 4, 4, 32, 2, 8, 2, 10, 12, 4, 2, 134, 10, 16, 4, 10, 2, 56, 4, 32, 4, 4, 2, 20, 2, 4, 12, 2825, 4, 8, 2, 10, 4, 8, 2, 96, 2, 4, 16, 10, 4, 8, 2, 134, 212, 4, 2
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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a（n）是乘法的：如果m和n是相对素数，那么a（m*n）=a（n，n）*a（m）。对于n>=2，a（n）>=2等于n是素数。
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链接
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G.A.Miller，《关于阿贝尔群的子群》，《数学年鉴》，第二辑。，第6卷，第1期。（1904年），第1-6页。数字对象标识：10.2307/2007151[见第4段，题为“p^m阶群中的子群总数”。-m.F.Hasler，2007年12月3日]
G.A.米勒，阿贝尔群子群个数的确定，公牛。阿默尔。数学。《社会分类》第33卷（1927年），192-194年。
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配方奶粉
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例子
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a（16）=67:C16有5个亚群，C2 X C8有11个亚群，（C2）^2 X C4有27个亚群，（C2）^4有67个亚群，（C4）^2有15个亚群。
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黄体脂酮素
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（PARI）{A061034号（n） =我的（f=因子（n））；prod（i=1，#f~，vecmax（应用（x->numsubgrp（f[i，1]，x），分区（f[i，2]））；}\\请参阅Alekseyev链接以获取numsubgrp（），马克斯·阿列克塞耶夫, 2008
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交叉参考
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关键字
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非n,多重
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作者
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Ola Veshta（olaveshta（AT）my-deja.com），2001年5月26日
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扩展
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2003年6月13日，Victoria A Sapko（vsapko（AT）canes.gsw.edu）发布更多条款
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状态
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经核准的
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A289539号
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| 选择GF（2）^n的子空间U然后选择U的子空间的方法的数量。 |
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+10
4
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1, 3, 12, 66, 513, 5769, 95706, 2379348, 89759799, 5188919427, 463209471288, 64236626341974, 13903296824817117, 4713694025825766861, 2510421030027019810854, 2104931848782489253483752, 2783505220978001187684672531, 5813031971452642599096778614183
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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0.2个
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评论
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链接
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配方奶粉
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a（n）/[n]q！是当q->2时，exp（x）^3展开式中x（n）的系数，其中exp（q（x）是q指数函数，[n]q！是n的q因子。
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数学
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nn=20；eq[z_]：=总和[z^n/FunctionExpand[q系数[n，q]]，{n，0，nn}]；
表[FunctionExpand[QFactorial[n，q]]/。q->2，{n，0，nn}]系数列表[系列[eq[z]^3/。q->2，{z，0，nn}]，z]
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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经核准的
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