搜索： a006052-编号：a006052
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A103744号
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| 在等价性（即对称性和旋转性）之前，共有880个四阶幻方（参见。A006052号). 假设两个正方形是同一类型的，如果可以通过互补（将每个条目i替换为17-i）和应用对称性从另一个正方形中获得一个。共有12种类型。序列给出了每种类型的总体，按非递减顺序排列。 |
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0
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8, 8, 48, 48, 48, 56, 56, 56, 56, 96, 96, 304
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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1,1
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参考文献
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威廉·本森（William H.Benson）和奥斯特瓦德·雅各比（Ostwald Jacoby），《魔术广场的新娱乐》（New Recreations with Magic Squares），多佛出版社，纽约，1976年。
雷内·戴科姆贝斯（Rene Descombes），《卡雷的魔法》（La magie du carré），维伯特，2004年。
亨利·杜德尼（Henry E.Dudeney），《数学中的娱乐》，多佛出版社，纽约。
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链接
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关键词
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非n,最终,满的
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, 3, 7, 28, 121, 746, 5041, 40608, 362936, 3635017, 39916801, 479206146, 6227020801, 87187426839, 1307674521272, 20923334906117, 355687428096001, 6402415241245577, 121645100408832001, 2432905938909013343, 51090942176372298027, 1124001180562929946213
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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评论
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对于某些d|n，非正规半幻方是行和和列和都等于d的非负整数矩阵。
平方的大小必须是k X k，其中k是n的除数。这意味着a（p）=p！+1表示p素数，因为唯一允许的平方是大小为1 X 1和p X p的。1 X 1平方是[p]，p X p平方必然是置换矩阵，并且有p！大小为p X p的置换矩阵。此外，a（n）>=n！+n>1时为1-柴华武2019年1月13日
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配方奶粉
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a（p）=p！+p素数为1，a（n）>=n！+n>1时为1（见上文注释）-柴华武2019年1月13日
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例子
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a（3）=7个半幻方：
[3]
.
[1 0 0] [1 0 0] [0 1 0] [0 1 0] [0 0 1] [0 0 1]
[0 1 0] [0 0 1] [1 0 0] [0 0 1] [1 0 0] [0 1 0]
[0 0 1] [0 1 0] [0 0 1] [1 0 0] [0 1 0] [1 0 0]
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数学
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prs2mat[prs_]：=表[Count[prs，{i，j}]，{i、Union[First/@prs]}，{j、Union[Plast/@prs]}]；
multsubs[set_，k_]：=如果[k==0，{{}}，连接@@表[Prepend[#，set[[i]]&/@multsubs[Drop[set，i-1]，k-1]，{i，Length[set]}]]；
表[Length[Select[multsubs[Tuples[Range[n]，2]，n]，And[Union[First/@#]==Range[Max@@First/@@#]==Union[Last/@#]，SameQ@@Total/@prs2mat[#]，SameQ@@To道达尔/@Transpose[prs2mat[#]]&]，{n，5}]
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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a（6）修正，a（8）-a（15）增加柴华武2019年1月14日
a（16）-a（19）来自柴华武2019年1月16日
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状态
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经核准的
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1, 1, 4, 8, 39, 122, 950, 5042, 45594, 366243, 3858148, 39916802, 494852628, 6227020802, 88543569808, 1308012219556, 21086562956045, 355687428096002, 6427672041650478, 121645100408832002
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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评论
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非正规半幻方是一个非负整数矩阵，对于某些d|n，行和和和和列和都等于d。
矩形的大小必须为k X m，其中k和m是n和k*m>=n的除数。这意味着a（p）=p！+2表示p素数，因为唯一允许的矩形的大小为1 X 1、1 X p、p X 1和p X p。没有满足条件的1 X 1矩形。1 X p和p X 1矩形是[1….1]及其转置，p X p矩形是必要的置换矩阵，有p！大小为pXp的置换矩阵。它还表明a（n）>=n！+n>1时为2-柴华武2019年1月13日
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链接
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配方奶粉
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a（p）=p！+p素数为2。a（n）>=n！+n>1时为2-柴华武2019年1月13日
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例子
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a（3）=8个半魔法矩形：
[1 1 1]
.
[1] [1 0 0][1 0 0][0 1 0][0 1 0][0 1 0][0 0 1][0 0 1]
[1] [0 1 0] [0 0 1] [1 0 0] [0 0 1] [1 0 0] [0 1 0]
[1] [0 0 1] [0 1 0] [0 0 1] [1 0 0] [0 1 0] [1 0 0]
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数学
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prs2mat[prs_]：=表[Count[prs，{i，j}]，{i、Union[First/@prs]}，{j、Union[Plast/@prs]}]；
multsubs[set_，k_]：=如果[k==0，{{}}，连接@@表[Prepend[#，set[[i]]&/@multsubs[Drop[set，i-1]，k-1]，{i，Length[set]}]]；
表[Length[Select[Subsets[Tuples[Range[n]，2]，{n}]，And[Union[First/@#]==Range[Max@@First/@@#]，Union[Last/@#]=Range[Max@@Last/@@#]，SameQ@@Total/@prs2mat[#]，Same Q@@To道达尔/@Transpose[prs2mat[#]]&]]，{n，5}]
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交叉参考
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关键词
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非n,更多
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作者
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扩展
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a（8）-a（13）来自柴华武2019年1月14日
a（14）-a（15）来自柴华武2019年1月15日
a（16）-a（19）来自柴华武2019年1月16日
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状态
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经核准的
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1, 1, 2, 2, 4, 2, 7, 2, 10, 7, 12, 2, 38, 2, 21, 46, 72, 2, 162, 2, 420, 415, 64, 2, 4987, 1858, 110, 9336, 45456, 2, 136018, 2, 1014658, 406578, 308, 3996977, 34937078, 2, 502, 28010167, 1530292965, 2, 508164038, 2, 54902992348, 51712929897, 1269, 2, 3217847072904, 8597641914, 9168720349613
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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评论
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权重n的非正规半幻方多集划分是权重n的多集划分，对于某些d|n，其部分大小和顶点度都等于d。
多集分区的重量是其各部分大小的总和。权重通常与顶点数不同。
还有非负整数平方矩阵的数量，直到元素和等于n且没有零行或零列的行和列排列，行和和列和都等于d，对于一些d|n。
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链接
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配方奶粉
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a（p）=2，对应于1X1平方[p]和具有分区（1…10…0）的pXp大小置换矩阵的p素数-柴华武2019年1月16日
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例子
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a（2）=2到a（6）=7个多集分区的非同构代表：
{{11}} {{111}} {{1111}} {{11111}} {{111111}}
{{1}{2}} {{1}{2}{3}} {{11}{22}} {{1}{2}{3}{4}{5}} {{111}{222}}
{{12}{12}} {{112}{122}}
{{1}{2}{3}{4}} {{11}{22}{33}}
{{11}{23}{23}}
｛｛12｝｛13｝｛23｝｝
{{1}{2}{3}{4}{5}{6}}
a（6）=7矩阵的不等价代表：
[6]
.
[3 0] [2 1]
[0 3] [1 2]
.
[2 0 0][2 0 0][1 1 0]
[0 2 0] [0 1 1] [1 0 1]
[0 0 2] [0 1 1] [0 1 1]
.
[1 0 0 0 0 0]
[0 1 0 0 0 0]
[0 0 1 0 0 0]
[0 0 0 1 0 0]
[0 0 0 0 1 0]
[0 0 0 0 0 1]
a（9）=7矩阵的不等价代表：
[9]
.
[3 0 0] [3 0 0] [2 1 0] [2 1 0] [1 1 1]
[0 3 0][0 2 1][1 1 1][1 0 2][1 1 1]
[0 0 3] [0 1 2] [0 1 2] [0 2 1] [1 1 1]
.
[1 0 0 0 0 0 0 0 0]
[0 1 0 0 0 0 0 0 0]
[0 0 1 0 0 0 0 0 0]
[0 0 0 1 0 0 0 0 0]
[0 0 0 0 1 0 0 0 0]
[0 0 0 0 0 1 0 0 0]
[0 0 0 0 0 0 1 0 0]
[0 0 0 0 0 0 0 1 0]
[0 0 0 0 0 0 0 0 1]
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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a（11）-a（13）来自柴华武2019年1月16日
a（14）-a（15）来自柴华武，2019年1月20日
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状态
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经核准的
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1, 1, 5, 9, 44, 123, 986, 5043, 45832, 366300, 3862429, 39916803, 495023832, 6227020803, 88549595295, 1308012377572, 21086922542349, 355687428096003, 6427700493998229, 121645100408832003
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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0,3
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评论
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耦合的非正规半幻方阵是具有相等行和和相等列和的非负整数矩阵。公共行和可能不同于公共列和。
矩形的大小必须为k X m，其中k和m是n的除数。这意味着a（p）=p！+3表示p素数，因为唯一允许的矩形的大小是1 X 1，1 X p，p X 1和p X p。1 X 1正方形是[p]，1 X p和p X 1矩形是[1，…，1]，它的转置和p X p正方形是必要的置换矩阵，有p！大小为p X p的置换矩阵。此外，a（n）>=n！+n>1时为3-柴华武2019年1月15日
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链接
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配方奶粉
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a（p）=p！+p素数为3。a（n）>=n！+n>1时为3-柴华武2019年1月15日
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例子
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a（3）=9耦合半幻方：
[3] [1 1 1]
.
[1] [1 0 0] [1 0 0] [0 1 0] [0 1 0] [0 0 1] [0 0 1]
[1] [0 1 0] [0 0 1] [1 0 0] [0 0 1] [1 0 0] [0 1 0]
[1] [0 0 1] [0 1 0] [0 0 1] [1 0 0] [0 1 0] [1 0 0]
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数学
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prs2mat[prs_]：=表[Count[prs，{i，j}]，{i、Union[First/@prs]}，{j、Union[Plast/@prs]}]；
multsubs[set_，k_]：=如果[k==0，｛｛｝｝，Join@@Table[Prepend[#，set[[i]]&&@multsubs[Drop[set，i-1]，k-1]，{i，Length[set]}]]；
表[Length[Select[multsubs[Tuples[Range[n]，2]，n]，And[Union[First/@#]==Range[Max@@First/@@#]，Union[Last/@#]=Range[Max@@Last/@@#]，SameQ@@Total/@prs2mat[#]，Same Q@@To道达尔/@Transpose[prs2mat[#]]&]]，{n，5}]
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交叉参考
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关键词
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非n,更多
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作者
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a（7）-a（15）来自柴华武2019年1月15日
a（16）-a（19）来自柴华武2019年1月16日
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状态
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经核准的
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1、1、1、1、10、21、97、657、5618、48918、494530、5383553、65112565、840566081、11834555867、176621056393、2838064404989、48060623405313
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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0,5
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评论
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非正规幻方是一个方阵，对于某些d|n，它的行和、列和和以及两条对角线都等于d。
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链接
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配方奶粉
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例子
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a（4）=10个幻方：
[4]
.
[1 1]
[1 1]
.
[1 0 0 0][1 0 0 0][0 1 0 0][0 1 0 0][0 0 1 0][0 0 1 0][0 0 0 1][0 0 0 1]
[0 0 1 0][0 0 0 1][0 0 1 0][0 0 0 1][1 0 0 0][0 1 0 0][1 0 0 0][0 1 0 0]
[0 0 0 1][0 1 0 0][1 0 0 0][0 0 1 0][0 1 0 0][0 0 0 1][0 0 1 0][1 0 0 0]
[0 1 0 0][0 0 1 0][0 0 0 1][1 0 0 0][0 0 0 1][1 0 0 0][0 1 0 0][0 0 1 0]
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数学
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prs2mat[prs_]：=表[Count[prs，{i，j}]，{i、Union[First/@prs]}，{j、Union[Plast/@prs]}]；
multsubs[set_，k_]：=如果[k==0，{{}}，连接@@表[Prepend[#，set[[i]]&/@multsubs[Drop[set，i-1]，k-1]，{i，Length[set]}]]；
表[Length[Select[multsubs[Tuples[Range[n]，2]，n]，And[Union[First/@#]==Range[Max@@First/@@#]==Union[Last/@#]，SameQ@@Join[{Tr[prs2mat[#]]，Tr[Reverse[prs2mat[#]]]}，Total/@prs2mat[#]，Total/@Transpose[prs2mat[#]]]]&]]，{n，5}]
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交叉参考
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关键词
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非n,更多
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作者
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扩展
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a（7）-a（15）来自柴华武2019年1月15日
a（16）-a（17）来自柴华武2019年1月16日
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状态
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经核准的
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A321738飞机
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| 用Heinz数n将整数分区的Young图划分为垂直部分的方法的数量。 |
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13
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1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 5, 7, 4, 1, 10, 1, 5, 13, 15, 1, 27, 1, 17, 21, 6, 1, 37, 34, 7, 87, 26, 1, 60, 1, 52, 31, 8, 73, 114, 1, 9, 43, 77, 1, 115, 1, 37, 235, 10, 1, 151, 209, 175, 57, 50, 1, 409, 136, 141, 73, 11, 1, 295, 1, 12, 543, 203, 229, 198, 1, 65, 91
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1,4
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评论
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整数分区的Heinz数（y_1，…，y_k）是素数（y_1）*…*质数（yk）。
垂直剖面是一个局部杨氏图，每行最多有一个正方形。例如，（322）的杨氏图的垂直部分的划分（显示为正整数着色）为：
1 2 3
1 2
2 3
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链接
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例子
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（211）杨氏图的a（12）=10分区为垂直截面：
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
3 3 2 3 2 1 1 3 2 1
4 3 3 2 2 3 2 1 1 1
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数学
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素数MS[n_]：=如果[n==1，{}，扁平[Cases[FactorInteger[n]，{p_，k_}:>表[PrimePi[p]，{k}]]]；
spsu[，{}]：={{}}；spsu[foo_，set:{i_，___}]：=连接@@函数[s，前缀[#，s]和/@spsu[Select[foo，Complement[#，Complement[set，s]]=={}&]，Complemental[set，s]]/@Cases[foo、{i，___}]；
ptnpos[y_]：=位置[表[1，{#}]&/@y，1]；
ptnverts[y_]：=选择[Rest[Subsets[ptnpos[y]]，UnnameQ@@First/@#&]；
表[[{y=Reverse[primeMS[n]]}，长度[spsu[ptnverts[y]，ptnpos[y]]]，{n，30}]
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交叉参考
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关键词
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非n,更多
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作者
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状态
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经核准的
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A271103型
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| 由1到n^2之间的数字组成的n阶幻方和半幻方的数量，计算为旋转和反射。 |
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+10
12
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1, 0, 9, 68688, 579043051200, 94590660245399996601600
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1,3
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评论
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半幻方与幻方的不同之处在于，它的主对角线中至少有一条对角线不等于幻方常数。[沃尔特·特朗普]
4阶幻方和半幻方的数量是由铃木敏美计算的，可以在他以前的网站上找到。铃木的网页现在在互联网档案中。
阿特姆·里帕蒂（Artem Ripatti）于2018年4月计算了6阶魔法和半魔法方块的数量，并于2018年7月10日发表在他的论文中-威廉·沃尔金顿，2018年7月17日
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链接
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阿特姆·里帕蒂，关于6阶半幻方的个数，arXiv:1807.02983[math.CO]，2018年。见第2页的表1。
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配方奶粉
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交叉参考
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关键词
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非n,更多
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A323306型
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| 整数分区的Heinz数，可以排列成具有相等行数和相等列数的矩阵。 |
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+10
9
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1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19, 23, 25, 27, 29, 31, 32, 36, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 64, 67, 71, 73, 79, 81, 83, 89, 97, 100, 101, 103, 107, 109, 113, 121, 125, 127, 128, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 169, 173, 179, 181, 191, 193
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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整数分区的Heinz数（y_1，…，y_k）是素数（y_1）*…*质数（yk）。
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链接
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例子
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6480属于序列，因为它是（3,2,2,2,2,1,1,1）的Heinz数，可以按以下方式排列：
[1 1 3] [1 2 2] [1 2 2] [1 3 1] [2 1 2] [2 1 2] [2 2 1] [2 2 1] [3 1 1]
[2 2 1] [1 2 2] [3 1 1] [2 1 2] [1 3 1] [2 1 2] [1 1 3] [2 2 1] [1 2 2]
[2 2 1][3 1 1][1 2 2][2 1 2][1 3 1][2 2 1][1 1 3][1 2 2]
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数学
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素数MS[n_]：=如果[n==1，{}，扁平[Cases[FactorInteger[n]，{p_，k_}:>表[PrimePi[p]，{k}]]]；
facs[n_]：=如果[n<=1，{{}}，连接@@表[Map[Prepend[#，d]&，Select[facs[n/d]，Min@@#>=d&]]，{d，Rest[Divisors[n]]}]；
ptnmats[n_]：=并集@@置换/@Select[Union@@（Tuples[Permutations/@#]&/@Map[primeMS，facs[n]，{2}]），SameQ@@Length/@#&]；
选择[范围[100]！选择[ptnmats[#]，和[SameQ@@Total/@@#，SameQ@Total/@Transpose[#]]&]=={}&]
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, 3, 3, 6, 3, 11, 3, 12, 6, 13, 3, 52, 3, 15, 30, 57, 3, 156, 3, 238, 129, 19, 3, 2221, 6, 21, 415, 3114, 3, 14921, 3, 12853, 1044, 25, 6219, 164743, 3, 27, 2220, 851476, 3, 954088, 3, 434106, 3326714, 31, 3, 24648724, 6, 22309800, 7269, 2737618, 3, 69823653
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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另外，非正规半幻方的数量求和为n且不带零。
矩阵的大小必须是m X k，其中m，k是n和mk的除数<=n。这意味着p素数的a（p）=3，因为唯一允许的矩阵必须是1 X 1、1 X p或p X 1的大小，并且只有一种方法来填充每个矩阵大小的条目。类似地，a（p^2）=6，附加允许的矩阵大小为1 X p^2、p^2 X 1和p X p，同样只有一种方法来填写每个大小的条目-柴华武2019年1月13日
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链接
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配方奶粉
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p素数的a（p）=3和a（p^2）=6（见注释）-柴华武2019年1月13日
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例子
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a（6）=11矩阵：
[6] [3 3] [2 2 2] [1 1 1 1 1 1]
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[3] [1 2] [2 1] [1 1 1]
[3] [2 1] [1 2] [1 1 1]
.
[2] [1 1]
[2] [1 1]
[2] [1 1]
.
[1]
[1]
[1]
[1]
[1]
[1]
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数学
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表[Length[Select[Join@@Table[Partition[cmp，d]，{cmp，Join@@Permutations/@IntegerPartitions[n]}，{d，Divisors[Length[cmp]]}]，And[SameQ@@Total/@#，SameQ@Total/@Transpose[#]]&]]，{n，10}]
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000219号,A006052号,A120733号,A305551型,A319056型,A321719飞机,A323295美元,A323300型,A323302型,A323306型,A323347型,A323349型.
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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a（21）-a（31）来自柴华武2019年1月13日
a（32）-a（53）来自柴华武2019年1月14日
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状态
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经核准的
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