搜索： a006050-编号：a006050
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评论
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参考文献
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H.J.Hindin，数字的加性持久性，J.Rec.Math。，7（1974年第2期），134-135。
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链接
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N.J.A.斯隆，数字的持久性，J.娱乐数学。，6（1973），97-98。
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配方奶粉
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对于n>1，a（n）=2*10^（（a（n-1）-1）/9）-1。
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数学
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联接[{1}，嵌套列表[2*10^（（#-1）/9）-1&，10，3]](*哈维·P·戴尔2011年9月20日*）
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交叉参考
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关键词
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非n,基础,美好的
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作者
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下一项是1，后跟2222222222522222222。
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状态
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经核准的
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0, 10, 25, 39, 77, 679, 6788, 68889, 2677889, 26888999, 3778888999, 277777788888899
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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评论
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可能是有限的。
对于n>1，数字0不会出现。因此数字1不会出现，所有术语都有按非递减顺序排列的数字。
a（n）最多由1-3组成，最多由1-2组成，但不包括两者。如果它们同时包含这两个数字，则可以用一个数字6替换，给出一个较小的数字。两个三可以替换为一个9。类似地，最多有一个四和一个六，但不是两个都有。两个六可以替换为49。四和六可以替换为三和八。对于n>2，偶数和5不会同时出现。
综上所述，n>2的a（n）项由7、8和9组成，其前缀为以下一组数字之一：{{}、{2}、}3、{4}、[6}、[2,6}，[3,5}，{5,5，…}}[由修订酒井小平2017年5月27日]
不超过10^200。（结束）
设p（n）是n的位数的乘积，p（n）是n的乘法持久性。任何p（n）>1都必须只有来自两个集合{2,3,7}或{3,5,7}之一的素因子。以下是所有p（n）<10^20000的情况：
p（n）=10时的最大p（n）是2^4*3^20*7^5。唯一已知的其他此类p（n）是p（a（11））=2^19*3^4*7^6。
p（n）=9的最大p（n）是2^33*3^3（12位数字）。
p（p（n））=8的最大p（n）为2^9*3^5*7^8（12位数字）。
p（n）=7的最大p（n）是2^24*3^18（16位数字）。
p（n）=6的最大p（n）是2^24*3^6*7^6（16位数字）。
p（n）=5的最大p（n）是2^35*3^2*7^6（17位数字）。
p（n）=4的最大p（n）是2^59*3^5*7^2（22位数字）。
p（n）=3的最大p（n）是2^4*3^17*7^38（42位数字）。
p（n）=2的最大p（n）是2^25*3^227*7^28（140位）。
所有介于10^140和10^20000之间的p（n）都具有1的持久性，这意味着它们包含一个0数字。（结束）
本杰明·查芬的评论暗示，截至20585年10月，没有其他条款。对于每一个持续性大于1的介于10^200和10^20585之间的数字N，N的位数的乘积在10^140和10^20000之间，并且每个乘积的持续性都为1-大卫·拉德克利夫2019年3月22日
设p_10（n）是以10为基数的n的数字的乘积。我们可以通过n DP_10 m在n上定义等价关系DP_10当且仅当p_10（n）=p_10；等价关系的名称DP_b代表“以b为基数表示的数字乘积”。当且仅当p_10（n）=p_10；即，如果它是该类别中的最小数量；它也称为约化数。
对于除乘法持久性2以外的任何乘法持久化，具有该乘法持久度的类代表数集被推测为有限的。
每个类代表数表示具有相同乘法持久性的无限组数。
对于乘法持久性2，只有以数字0结尾的类代表数集是无限的。不同乘法持久性（mp）的类代表数表如下所示：
最后一位数
mp总计0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
====================================================
0 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 inf信息0 4 0 1 1 5 0 7 0
3 12199 12161 0 8 0 3 3 8 0 16 0
4 408 342 0 14 0 5 4 19 0 24 0
5 151 88 0 9 0 1 3 37 0 13 0
6 41 24 0 1 0 0 0 14 0 2 0
7 13 9 0 0 0 0 0 4 0 0 0
8 8 7 0 0 0 0 0 1 0 0 0
9 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
10 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0
11 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0
由此可以观察到，对于乘法持久性为1的约化数，素数11、13、17和19不会出现在另一个（较大）数的任何轨迹中；即，由减少的数字11、13、17和19表示的所有数字都具有至少11的素因子（根据观察结果推测）。
减号19表示的数字示例：91=7*13，133=7*19，313为素数，331为素数，119=7*17，191为素数，911为素数，1133=11*103，1313=13*101，1331=11^3，3113=11*283，3131=31*101和3311=7*11*43。
事实上，所有轨迹都可以投影到根为0..9的减少数的十棵树中的一棵树的轨迹上，并且每个叶子的减少数所代表的数字具有至少11的素因子（根据观察结果推测）。
27777788888899的轨迹示例（请参见A121111号)在简约数树中（括号中给出了未简约数）：2777778888899->3778888999（4996238671872）->26888999。（结束）
新下限：如果a（12）存在，则必须大于2.67*10^30000。仍然是这样，所有至少有20000个数字的候选者的数字乘积（此处报告的最后一次长期运行的大致位置）包含一个零数字，因此候选者都具有持久性2。此外，数字产品的最后306位数字中都至少包含一个零。一个极限是数字乘积2^13802*3^16807*7^1757。它有13659个十进制数字，其中1335个是零。它以零结尾，后跟305个非零数字。因此，为了确认不超过30000个数字的大候选者具有持久性2，计算模10^306的数字乘积就足够了。
注意：我所说的“候选”是指匹配这八个（两两不相交）简单正则表达式之一的数字字符串。每个这样的字符串都会给出最小的整数及其数字乘积（并将空字符串视为具有数字乘积1），它们的并集涵盖所有不以零结尾的数字乘积。
7* 8* 9*
2 7* 8* 9*
3 7* 8* 9*
4 7* 8* 9*
5 5* 7* 9*
6 7* 8* 9*
26 7* 8* 9*
35 5* 7* 9*
有（8*N^2+13*N+6）*（N+1）/6个这样的字符串，不超过N个数字。长时间运行计算机检查N=30000，略多于36*10^12个候选人。大于30000位的最小候选值大于2.67*10^30000，这是a（12）的最小剩余可能性。（结束）
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参考文献
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亚历克斯·贝洛斯（Alex Bellos），《看看欧几里德：惊叹数学世界的一次意外之旅》，自由出版社，2010年，第176页。
M.Gardner，Fractal Music，Hypercards and More，弗里曼，纽约，1991年，第170、186页。
C.A.Pickover，《数字的奇迹》，“坚持”，第28章，牛津大学出版社，纽约，2001年。
Clifford A.Pickover，《数学的激情》，威利出版社，2005年；见第66页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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de Faria、Edson和Charles Tresser，关于斯隆的持久性问题，arXiv预印本arXiv:1307.1188[math.DS]，2013。
de Faria、Edson和Charles Tresser，关于斯隆的持久性问题，实验数学。，23（2014年第4期），363-382。
N.J.A.斯隆，数字的持久性，J.娱乐数学。，6 (1973), 97-98.
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例子
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77->49->36->18->8具有持久性4。
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数学
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lst={}；n=0；Do[While[True，k=n；c=0；While[k>9，k=Times@@IntegerDigit[k]；c++]；如果[c==l，则中断[]]；n++]；附加到[lst，n]，{l，0，7}]；第一次(*阿尔卡迪乌斯·韦索洛夫斯基2012年5月1日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）vecprod（w）=产品（i=1，#w，w[i]）；
持久性（x）=｛my（y=数字（x），c=0）；while（#y>1，y=数字（vecprod（y））；c++）；return（c）｝
firstTermsA003001（U）={my（ans=向量（U），k=（U>1），z）；while（k+1<=U，if（持久性（z）==k，ans[k++]=z）；z++）；return（ans）}
\\查找前U项（速度较慢）；R.J.卡诺2016年9月11日
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交叉参考
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关键词
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非n,美好的,基础,更多,坚硬的
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作者
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状态
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经核准的
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A031286号
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| 加法持久性：获得一个数字（加法数字根）所需的位数总和。 |
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+10
20
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0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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0,20
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链接
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N.J.A.斯隆，数字的持久性，J.娱乐数学。，6 (1973), 97-98.
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MAPLE公司
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读取（“转换”）；
局部a，nper；
nper:=n；
a:=0；
当nper>9时
nper：=数字和（nper）；
a:=a+1；
结束do：
a；
结束进程：
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数学
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lst={}；Do[s=0；当[n>9时，s++；n=Plus@@IntegerDigits[n]]；附录[lst，s]，｛n，0，98｝]；第一次(*阿尔卡迪乌斯·韦索洛夫斯基，2012年10月17日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）dsum（n）=我的（s）；而（n，s+=n%10；n\=10）；秒
（Python）
ap=0
当n>9时：
n=总和（int（d）代表str（n）中的d）
ap+=1
返回ap
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交叉参考
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关键词
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非n,基础
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作者
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状态
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经核准的
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0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 3, 1, 5, 4, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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评论
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在第57项之后，所有数字都有一些数字等于零，因此持久性等于1。
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链接
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例子
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加泰罗尼亚数字429->4*2*9=72->7*2=14->1*4=4，因此持久性为3
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MAPLE公司
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P： =proc（n）局部i，k，w，ok，cont；对于i，从0乘1到n do k:=（2*i）/（i！*（i+1）！）；w： =1；确定：=1；如果k<10，则打印（0）；否则，cont:=1；当ok=1 do，而k>0 do w：=w*（k-（trunc（k/10）*10））；k： =trunc（k/10）；od；如果w<10，则ok:=0；打印（续）；其他cont:=cont+1；k： =w；w： =1；fi；od；fi；od；结束：P（100）；
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交叉参考
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关键词
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容易的,非n,基础
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作者
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状态
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经核准的
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0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 3, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 2, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 2, 4, 3, 2, 3
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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例子
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加泰罗尼亚数字429->4+2+9=15->1+5=6，因此持久性为2
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MAPLE公司
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with（numtheory）：with（组合）：P:=proc（n）局部a，t；t： =0；a： =（2*n）/（n！*（n+1）！）；当a>9时，t:=t+1；a： =转换（转换（a，base，10），`+`）；od；t；
结束：seq（P（i），i=0..10^2）；
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交叉参考
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关键词
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容易的,非n,基础
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作者
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状态
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经核准的
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0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、19、299、39999999999999999999999999999999999
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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评论
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a（14）有4444444444、4444444、444444和4444444404 5个数字，太大了，无法包含在内-阿尔卡迪乌斯·韦索洛夫斯基2011年2月17日
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链接
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例子
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8后面跟着9，因为9是数字和大于8的最小数字。
9后面跟着19，因为19是数字和（1+9=10）>9的最小数字。
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数学
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f[s_List]：=块[{k=prev=s[[-1]]}，而[prev>=Plus@@IntegerDigits@k，k++]；追加[s，k]]；嵌套[f，{0}，11](*罗伯特·威尔逊v2010年8月15日*）
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交叉参考
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关键词
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更多,非n,基础
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作者
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经核准的
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A293929型
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| 以10为基数的最小数字，不能使用小于n的加号折叠为一个数字。 |
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评论
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A253057号考虑折叠数字所需的应用程序数量。另一种方法是查看加号需要插入的次数，而不考虑应用程序的数量。
序列被认为是无限的。Butler等人（2016年）仅提供了五个术语，即a（1）-a（5）。
Butler等人（2016）推测，通过简单地在十进制展开式的“中间”插入一个加号并进行加法，就可以折叠每个项x，这需要按照对数（log x）加号的顺序进行。
a（5）表明，所有五位数和六位数都可以通过插入不超过四个加号来折叠。
a（6）应包含至少13位数字。在包含7、8、9和10位数字的数字中间插入加号并执行加法运算后，得到的总和最多只能有5、5、6和6位数字。此外，在任何11位或12位数字中间插入加号并进行加法运算后，结果必须分别小于或等于1099998和1999998<a（5）。这意味着在第一次应用后，最多需要4个加号才能折叠结果。因此，所有7、8、9、10、11和12位数字都可以使用不超过5个加号进行折叠-西蒙·德默斯，2017年10月30日【2017年11月29日更新】
在10和10^7-1=9999999之间，270个数字只需要一个加号，175803个数字需要两个加号；5952451个数字需要三个加号、3866392个数字需要四个加号和5074个数字需要五个加号-西蒙·德默斯2017年10月29日
使用暴力，没有发现小于10^9的新术语-J.斯塔杜哈尔2017年11月20日
所有a（n），n>0，都有数字根1的证明：假设a（1）到a（n。将a（n）递增一，直到达到x。以最佳方式将一个加号插入x，以确保加法的结果y需要再插入n个加号才能达到一个数字。因为y需要n个插入，所以它不能小于a（n），否则我们会在a（n”）之前找到y。因为x的数字根大于1，所以y不能等于a（n）。所以y必须在a（n）<y<x的范围内，但在到达x之前我们已经检查过了，所以不可能存在这样的y，因此不可能存在那样的x。显然，（n+1）不能有数字根0。由于不存在数字根为0或2到9的a（n+1）=x，因此a（n/1）必须具有数字根1。Q.E.D.公司-J.斯塔杜哈尔2017年12月8日
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链接
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S.Butler、R.Graham和R.Stong，插入加号并添加《美国数学月刊》，123（3），2016年3月，274-279。
西蒙·德默斯，折叠每个整数1..10^7-1=9999999所需的最小加号数。使用暴力方法计算。从i=1开始，依次为每个后续的带d位的整数，在第一个应用程序中考虑了插入加号的所有2^（d-1）-1可能性。然后，在执行第一次加法之后，查找折叠每个结果整数所需的最小加号数。该数据集确认a（1）=10，a（2）=19，a（3）=118，a（4）=3187，a（5）=3014173。
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配方奶粉
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对于n>1（猜想），a（n）<=（（a（n-1）-1）^2）/3+a（n-2）。这将为a（n）提供一个相对严格的上限。如果评论中的Demers-Stouduhar猜想被证明是正确的，那么这个上限将始终是一个整数-西蒙·德默斯，2017年11月29日
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例子
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对于n=3，a（3）=118解反映了1+18=19、1+9=10和1+0=1的事实。或者，1+1+8=10和1+0=1。这两种情况都需要三个加号。对于a（4）=3187，需要一个加号才能获得31+87=118=a（3）。
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交叉参考
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关键词
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非n,基础,更多
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作者
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状态
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经核准的
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评论
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参考文献
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H.J.Hindin，数字的加性持久性，J.Rec.Math。，7（1974年第2期），134-135。
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链接
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N.J.A.斯隆，数字的持久性，J.娱乐数学。，6 (1973), 97-98.
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配方奶粉
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例子
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a（2）=19，19->10->1，因此需要2个求和步骤才能得到一个单位数。
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交叉参考
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关键词
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坚硬的,非n,基础
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作者
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经核准的
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评论
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下一个术语太大，无法包含在内。
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链接
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例子
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0具有加性持久性0。
11->2具有加性持久性1。
55->10->1具有加性持久性2。
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数学
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lst＝{0，11，55}；做[AppendTo[lst，6*10^（（（lst[[-1]]+5）/3-2）/9）-5]，{2}]；第一次
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交叉参考
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关键词
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基础,美好的,非n
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作者
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状态
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经核准的
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抵消
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0,2
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评论
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相应的最小素数是2、11、29、487和248888888889898989999999。
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链接
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例子
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a（3）=289，因为289是具有加性持久性3、289->19->10->1和乘法持久性3，289->144->16->6的最小数。
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交叉参考
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关键词
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非n,基础
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作者
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状态
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经核准的
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