搜索： a005881-编号：a005882
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A004016号
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| 平面六角晶格A_2的Theta系列。
（原名M4042）
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1, 6, 0, 6, 6, 0, 0, 12, 0, 6, 0, 0, 6, 12, 0, 0, 6, 0, 0, 12, 0, 12, 0, 0, 0, 6, 0, 6, 12, 0, 0, 12, 0, 0, 0, 0, 6, 12, 0, 12, 0, 0, 0, 12, 0, 0, 0, 0, 6, 18, 0, 0, 12, 0, 0, 0, 0, 12, 0, 0, 0, 12, 0, 12, 6, 0, 0, 12, 0, 0, 0, 0, 0, 12, 0, 6, 12, 0, 0, 12, 0
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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评论
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六角形晶格是常见的二维晶格，其中每个点都有6个邻居。这有时被称为三角晶格。
a（n）是x^2+x*y+y^2=n（或等价的x^2-x*y+y^2=n）的整数解的数目-迈克尔·索莫斯2004年9月20日
a（n）是x^2+y^2+z^2=2*n的整数解数，其中x+y+z=0-迈克尔·索莫斯2012年3月12日
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参考文献
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B.C.Berndt，《拉马努詹的笔记第四部分》，施普林格出版社，见第171页，第28条。
哈维·科恩，《高级数论》，多佛出版公司，1980年，第89页。例18。
J.H.Conway和N.J.A.Sloane，“球形填料、晶格和群”，Springer-Verlag，第111页。
M.N.Huxley，面积，格点和指数和，牛津，1996；第236页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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J.M.Borwein和P.B.Borwein，雅各比身份和年度股东大会的立方对应物，事务处理。阿默尔。数学。Soc.，323（1991），第2期，691-701。MR1010408（91e:33012）见第695页。
克里斯蒂安·卡塞尔（Christian Kassel）和克里斯托夫·鲁特诺（Christophe Reutenauer），二维环面上n点的Hilbert格式的zeta函数，arXiv:1505.07229v3[math.AG]，2015年。[请注意，本文的较新版本具有不同的标题和内容，论文的理论部分已移至本列表下一个出版物。]
小池正雄，非紧算术三角群上的模形式，未发表的手稿[由N.J.A.斯隆用OEIS A-numbers进行了扩展注释，2021年2月14日。我在第一页写的是2005年，但内部证据表明是1997年。]
N.J.A.斯隆，球形填料和球形代码表，IEEE传输。信息理论，第IT-27卷，1981年，第327-338页。
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配方奶粉
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a（q）的q次幂展开式，其中a（q）是第一个三次AGMθ函数。
θ_3（q）*theta_3（q^3）+θ_2（q）*θ_2。
φ（x）*phi（x^3）+4*x*psi（x^2）*psi（x^6）的x次幂展开式，其中phi（）、psi（）是Ramanujan theta函数。
（1/Pi）积分{0..Pi/2}θ_3（z，q）^3+θ_4（z，q）^3 dz的幂展开式-迈克尔·索莫斯2012年1月1日
系数x^0在f（x*q，q/x）^3中以q^2的幂展开，其中f（，）是Ramanujan的广义θ函数-迈克尔·索莫斯，2012年1月1日
G.f.A（x）满足0=f（A（x，A（x^2），A（x ^4）），其中f（u，v，w）=u^2-3*v^2-2*u*w+4*w^2-迈克尔·索莫斯2004年6月11日
G.f.A（x）满足0=f（A（x”），A（x^2），A“x^3”，A“x^6”），其中f（u1，u2，u3，u6）=（u1-u3）*（u3-u6）-（u2-u6）^2-迈克尔·索莫斯2005年5月20日
G.f.是周期1傅里叶级数，满足f（-1/（3t））=3^（1/2）（t/i）f（t），其中q=exp（2Pi it）-迈克尔·索莫斯2007年9月11日
G.f.A（x）从拉马努扬（Ramanujan）出发，满足A（x）+A（-x）=2*A（x^4）。
一般公式：1+6*Sum_{k>0}x^k/（1+x^k+x^（2*k））-迈克尔·索莫斯2003年10月6日
G.f.：总和_（q^（n^2+n*m+m^2）），其中总和（对于n和m）延伸到整数上-乔格·阿恩特2011年7月20日
通用公式：θ_3（q）*θ_3（q^3）+θ_2（q）*theta_2（q^2）=（eta（q^（1/3））^3+3*eta（q ^3）^3）/eta（q）。
一般公式：1+6*Sum_{n>=1}x^（3*n-2）/（1-x^-保罗·D·汉纳2011年7月3日
渐近平均值：极限{m->oo}（1/m）*Sum_{k=1..m}a（k）=2*Pi/sqrt（3）=3.627598(A186706号). -阿米拉姆·埃尔达尔2022年10月15日
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例子
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G.f.=1+6*x+6*x^3+6*x^4+12*x^7+6*x|9+6*x*12+12*x^13+6*x*16+。。。
最小范数为2:
1+6*q^2+6*q^6+6*q ^8+12*q ^ 14+6*q^18+6*q ^ 24+12*q^ 26+6*q^32+12*q^38+12*q ^42+6*q ^ 50+6*q ^54+12*q^56+12*^128+12*q^134+12*q ^146+6*q ^150+12*q ^152+12*q^158+。。。
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MAPLE公司
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局部a，j；
对于从0到n/3的j do
结束do：
a；
结束进程：
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数学
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a[n_]：=如果[n<1，Boole[n==0]，6除数和[n，KroneckerSymbol[#，3]&]]；(*迈克尔·索莫斯2011年11月8日*）
a[n_]：=级数系数[（QPochhammer[q]^3+9 q QPochharmer[q ^9]^3）/QPochhammer[q ^3]，{q，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2014年11月13日*）
a[n_]：=系列系数[EllipticTheta[3，0，q]EllipticTheta[3，0，q^3]+EllipticTheta[2，0，q]EllipticTheta[2，0，q^3]，{q，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2014年11月13日*）
a[n_]：=长度@FindInstance[x^2+xy+y^2==n，{x，y}，整数，10^9]；(*迈克尔·索莫斯2015年9月14日*）
术语=81；f[q_]=LatticeData[“A2”，“ThetaSeriesFunction”][-I Log[q]/Pi]；s=级数[f[q]，{q，0，2项}]；系数列表[s，q^2][[1；；项]](*Jean-François Alcover公司2017年7月4日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=my（a，p，e）；如果（n=1，n=0，a=因子（n）；6*prod（k=1，matsize（a）[1]，[p，e]=a[k，]；如果（p=3，1，p%3==1，e+1，1-e%2））}/*迈克尔·索莫斯，2005年5月20日*//*编者注：这是最有效的程序*/
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，polceoff（1+6*和（k=1，n，x^k/（1+x^k+x^（2*k）），x*O（x^n）），n））}/*迈克尔·索莫斯2003年10月6日*/
（PARI）{a（n）=如果（n<1，n==0，6*sumdiv（n，d，kronecker（d，3）））}/*迈克尔·索莫斯2005年3月16日*/
（PARI）{a（n）=如果（n<1，n==0，6*sumdiv（n，d，（d%3==1）-（d%3==2））}/*迈克尔·索莫斯2005年5月20日*/
（PARI）{a（n）=我的（a）；如果（n<0，0，n*=3；a=x*O（x^n）；波尔科夫（（eta（x+a）^3+3*x*eta（x^9+a））^3）/eta（x^3+a），n））}/*迈克尔·索莫斯2005年5月20日*/
（PARI）{a（n）=如果（n<1，n==0，qfrep（[2，1；1，2]，n，1）[n]*2）}/*迈克尔·索莫斯2005年7月16日*/
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，polcoeff（1+6*和（k=1，n，x^（3*k-2）/（1-x^/*保罗·D·汉纳2011年7月3日*/
（Sage）模块形式（Gamma1（3），1，prec=81）.0#迈克尔·索莫斯，2013年6月4日
（岩浆）基础（模块形式（Gamma1（3），1），81）[1]/*迈克尔·索莫斯2014年5月27日*/
（岩浆）L:=晶格（“A”，2）；A<q>：=ThetaSeries（L，161）；A/*迈克尔·索莫斯，2014年11月13日*/
（Python）
从数学导入prod
来自sympy导入因子
定义A004016号（n） ：如果p%3==1，则返回6*prod（e+1）；如果p！=3） 如果n其他1#柴华武，2022年11月17日
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交叉参考
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关键词
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非n,美好的,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A033762号
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| 产品t2（q^d）；d|3，其中t2=theta2（q）/（2*q^（1/4））。 |
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1, 1, 0, 2, 1, 0, 2, 0, 0, 2, 2, 0, 1, 1, 0, 2, 0, 0, 2, 2, 0, 2, 0, 0, 3, 0, 0, 0, 2, 0, 2, 2, 0, 2, 0, 0, 2, 1, 0, 2, 1, 0, 0, 0, 0, 4, 2, 0, 2, 0, 0, 2, 0, 0, 2, 2, 0, 0, 2, 0, 1, 0, 0, 2, 2, 0, 4, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 3, 0, 2, 0, 0, 2, 0, 0, 2, 0, 0, 3, 2, 0
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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奇数正整数中8*n+4=x^2+3*y^2的解的个数-迈克尔·索莫斯2004年9月18日
4*n+2=x^2+y^2+z^2的整数解的一半，其中0=x+y+z，x和y是奇数-迈克尔·索莫斯，2011年7月3日
给定g.f.A（x），则q^（1/2）*2*A（q）表示为phi_1（z），其中q=exp（Pi i z）在Conway和Sloane中。
平面六角形晶格（A2）相对于边的θ级数的一半。
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参考文献
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Burce C.Berndt，《Ramanujan的笔记第三部分》，Springer Verlag出版社，1991年，见第223页，条目3（i）。
J.H.Conway和N.J.A.Sloane，“球形填料、晶格和群”，Springer-Verlag，1999年，第103页。参见公式（13）。
Nathan J.Fine，《基本超几何级数与应用》，美国。数学。Soc.，1988年；第78页，等式（32.27）。
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链接
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配方奶粉
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q^（-1/2）*（eta（q^2）*eta（q ^6））^2/（eta-迈克尔·索莫斯2004年4月18日
q^（-1）*（a（q）-a（q^4））/6的q^2次幂展开式，其中a（）是三次AGMθ函数-迈克尔·索莫斯2006年10月24日
psi（x）*psi（x^3）的x次幂展开，其中psi（）是Ramanujanθ函数-迈克尔·索莫斯2011年7月3日
周期6序列的欧拉变换[1，-1，2，-1，1，-2，…]-迈克尔·索莫斯2004年4月18日
给定g.f.A（x），则B（x）=（x*A（x^2））^2满足0=f（B（x。
a（n）=b（2*n+1），其中b（）与b（2^e）=0^e相乘，b（3^e）=1，b（p^e）=（1+（-1）^e）/2，如果p=5（mod 6），否则b（p^e）=e+1。（说明：g.f.A（x）不是感兴趣的主要函数，而是B（x）=x*A（x^2），它是一个eta商，是乘法序列的生成函数。）
通用公式：（和{j>0}x^（（j^2-j）/2））*（和{k>0}x^。
通用公式：和{k>=0}a（k）*x^（2*k+1）=和{k>0}x^k*（1-x^k）*（1-x ^（4*k））*（1-x^。（结束）
G.f.：s（4）^2*s（12）^2/（s（2）*s（6）），其中s（k）：=subs（q=q^k，eta（q）），式中eta（q）是Dedekind函数，参见。A010815号.[罚款]
通用公式：和{k>=0}a（k）*x^（2*k+1）=和{k>0}x^k/（1+x^k+x^-迈克尔·索莫斯2005年11月4日
渐近平均值：极限{m->oo}（1/m）*Sum_{k=1..m}a（k）=Pi/（2*sqrt（3））=0.906899(A093766号). -阿米拉姆·埃尔达尔2023年11月23日
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例子
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G.f.=1+x+2*x ^3+x ^4+2*x ^6+2**x ^9+2*x^10+x ^12+x ^13+2*×^15+。。。
G.f.=q+q^3+2*q^7+q^9+2*q^13+2*q*19+2*q ^21+q^25+q^27+2*qq^31+。。。
a（6）=2，因为8*6+4=52=5^2+3*3^2=7^2+3*1^2。
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数学
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a[n_]：=如果[n<0，0，DivisorSum[2 n+1，Mod[（3-#）/2，3，-1]&]]；(*迈克尔·索莫斯2011年7月3日*）
a[n_]：=如果[n<1，Boole[n==0]，时间@@（其中[#<2，0^#2，Mod[#，6]==5，1-Mod[#2，2]，True，#2+1]&@@@FactorInteger@（2 n+1））]；(*迈克尔·索莫斯2016年3月6日*）
%t吨A033762号a[n_]：=系列系数[（1/4）x^（-1/2）椭圆率Theta[2，0，x^（1/2）]椭圆率Theta[2，0，x^（3/2）]，{x，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2016年3月6日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=我的（a）；如果（n<0，0，a=x*O（x^n）；polceoff（（eta（x^2+a）*eta（x^6+a））^2/（eta/*迈克尔·索莫斯2004年9月18日*/
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，n=2*n+1；sumdiv（n，d，kronecker（-12，d）*（n/d%2））}/*迈克尔·索莫斯2005年11月4日*/
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，n=8*n+4；和（j=1，平方（n\3），（j%2）*issquare（n-3*j^2））}/*迈克尔·索莫斯2005年11月4日*/
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，sumdiv（2*n+1，d，kronecker（-3，d）））}/*迈克尔·索莫斯2016年3月6日*/
（岩浆）A:=基础（模块形式（Gamma1（12），1），202）；A[2]+A[4]/*迈克尔·索莫斯2014年7月25日*/
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交叉参考
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囊性纤维变性。A002324号,A004016号,A005881号,A035178美元,A091393号,A093766号,A093829号,A096936号,A112298号,A113447号,A113661号,A113974号,A115979号,122860英镑,A123331号,A123484号,A136748号,A137608型.
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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经核准的
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