搜索： a005804-编号：a005802
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A000311号
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| 施罗德的第四个问题；还包括具有n标记叶片的系列生根树；n的总分区数。
（原名M3613 N1465）
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105
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0, 1, 1, 4, 26, 236, 2752, 39208, 660032, 12818912, 282137824, 6939897856, 188666182784, 5617349020544, 181790703209728, 6353726042486272, 238513970965257728, 9571020586419012608, 408837905660444010496, 18522305410364986906624
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,4
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评论
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a（n）是具有n片叶子的标记系列衍生根树的数量（根的阶数为0或>=2）；a（n-1）=具有n片叶子的标记系列减少树的数量。还有带有n个标记边的串联平行网络的数量，除以2。
n的总分区本质上就是前一行第一部分的意思：取数字12…n，并将其划分为至少两个块。将具有至少2个元素的每个块划分为至少两个块。重复此操作，直到只剩下大小为1的块。（见斯坦利参考文献，第2卷。）-N.J.A.斯隆2016年8月3日
此外，还包括带有n个标签的单基因衍生系统发育树的数量。系统发育树是一种系列衍生的根树，其叶子是（通常是不相交的）非空集。如果没有非叶节点只覆盖单例分支，则它是单例减少的。例如，a（4）=26棵树是：
{1,2,3,4} {{1},{2},{3,4}} {{1},{2,3,4}}
{{1},{2,3},{4}} {{1,2},{3,4}}
｛｛1，2｝，｛3｝，｛4｝｝｛1，2，3｝，｛4｝｝
{{1},{2,4},{3}} {{1,2,4},{3}}
{{1,3},{2},{4}} {{1,3},{2,4}}
{{1,4},{2},{3}} {{1,3,4},{2}}
{{1,4},{2,3}}
{{{1},{2,3}},{4}}
{{{1,2},{3}},{4}}
{{1},{{2},{3,4}}}
{{1},{{2,3},{4}}}
{{{1},{2,4}},{3}}
{{{1,2},{4}},{3}}
{{1},{{2,4},{3}}}
{{{1,3},{2}},{4}}
{{{1},{3,4}},{2}}
{{{1,3},{4}},{2}}
{{{1,4},{2}},{3}}
｛｛1，4｝，｛3｝｝，｛2｝｝
（结束）
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参考文献
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L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第224页。
J.Felsenstein，《类推植物发生学》，西诺尔协会，2004年；见第25页及其后。
L.R.Foulds和R.W.Robinson，无二级点的系统发育树的枚举。Ars Combin.17（1984），A，169-183。数学。版本85f:05045
T.S.Motzkin，《组合数学》，Proc。症状。纯数学。19，AMS，1971年，第167-176页。
J.Riordan，《组合恒等式》，威利出版社，1968年，第197页。
E.Schroeder，Vier组合问题，Z.f.数学。物理。，15 (1870), 361-376.
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
R.P.Stanley，枚举组合数学，剑桥，1999年第2卷；参见第14页的“总分区”，示例5.2.5，方程（5.27），以及图5-3。另请参阅第66页的注释。
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链接
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穆罕默德·巴拉卡特（Mohamed Barakat）、雷默·贝伦兹（Reimer Behrends）、克里斯托弗·杰斐逊（Christopher Jefferson）、卢卡斯·库恩（Lukas Kühne）和马丁·勒纳（Martin Leuner），秩3简单拟阵的生成及其在Terao自由度猜想中的应用，arXiv:1907.01073[math.CO]，2019年。
弗雷德·里克·巴西诺（Frédérique Bassino）、马蒂尔德·布维尔（Mathilde Bouvel）、瓦伦丁·弗雷（Valentin Féray）、卢卡斯·杰林（Lucas Gerin）、米卡埃尔·马佐恩（Mickaél Maazoun）和阿德琳·皮埃罗（Adeline Pierrot），随机有向图：布朗图极限和渐近度分布，arXiv:1907.08517[math.CO]，2019年。
A.Blass、N.Dobrinen和D.Raghavan，仅次于P分的最好成绩，arXiv预印本arXiv:1308.3790[math.LO]，2013。
P.J.Cameron，一些树状物体，夸脱。数学杂志。牛津，38（1987），155-183。MR0891613（89a:05009）。见第155和159页。
L.Carlitz和J.Riordan，标记的双端串联并联网络的数量杜克大学数学系。J.23（1956），435-445（序列名为{A_n}）。
约翰·恩格斯（John Engbers）、大卫·加尔文（David Galvin）和克利夫德·史密斯（Clifford Smyth），限制Stirling数和Lah数及其逆，arXiv:1610.05803[math.CO]，2016年。
J.Felsenstein，进化树的数量，《系统动物学》，27（1978），27-33。（带注释的扫描副本）
J.Felsenstein，进化树的数量《系统生物学》，27（1978），第27-33页，1978年。
S.R.Finch，串并联网络，2003年7月7日。[经作者许可，缓存副本]
史蒂文·芬奇，数学常数II《数学及其应用百科全书》，剑桥大学出版社，剑桥，2018年。
P.Flajolet和R.Sedgewick，分析组合数学，2009年；参见第129页
M.D.Hendy、C.H.C.Little、David Penny、，将树与标记的悬垂顶点进行比较，SIAM J.应用。数学。44（5）（1984）表1
D.Jackson、A.Kempf和A.Morales，QFT中勒让德变换的稳健推广，arXiv:1612.0046[hep-th]，2017年。
Z.A.Lomnicki，双端串并联网络，高级申请。探针。，4 (1972), 109-150.
Dragan Mašulović，可数链的大拉姆齐谱，arXiv:1912.03022[math.CO]，2019年。
T.S.Motzkin，气缸和其他分类号的分类号，《组合数学》。症状。纯数学。19，AMS，1971年，第167-176页。[带注释的扫描副本]
F.Murtagh，树状图计数：综述，离散应用。数学。，7 (1984), 191-199.
E.Schröder，维耶组合问题，Z.f.数学。物理。，15 (1870), 361-376. [带注释的扫描副本]
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配方奶粉
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例如，A（x）满足exp A（x。
a（0）=0，a（1）=a（2）=1；对于n>=2，a（n+1）=（n+2）*a（n）+2*Sum{k=2..n-1}二项式（n，k）*a。
a（1）=1；对于n>1，a（n）=-（n-1）*a（n-1-迈克尔·索莫斯2012年6月4日
从中的阴影操作符LA135494号作用于x^n的是（a（.）+x）^n=（n*x^（n-1）/2）-（x^n/2）+和{j>=1}j^（j-1）*（2^（-j）/j！）*exp（-j/2）*（x+j/2）^n给出a（n）=2^（-n）*Sum_｛j>=1｝j^（n-1）*（（j/2）*exp（-1/2））^j/j！对于n>1-汤姆·科普兰2008年2月11日
设h（x）=1/（2-exp（x）），例如fA000670号，然后是的第n项A000311号由（h（x）*d/dx）^n）x在x=0时计算得出，即A（x）=exp（x*A（.））=xp（x*h（u）*d/du）u在u=0时进行计算。此外，dA（x）/dx=h（A（x））-汤姆·科普兰，2011年9月5日（自主微分方程见Jones第59页-汤姆·科普兰2019年12月16日）
a（n）=和{k=1..n-1}（n+k-1）*求和{j=1..k}（1/（k-j）！）*求和{i=0..j}2^i*（-1）^i*箍筋2（n+j-i-1，j-i）/（（n+j-i-1）*i！），n> 1，a（0）=0，a（1）=1-弗拉基米尔·克鲁奇宁2012年1月28日
利用L.Comtet的恒等式和D.Wasserman的第二类关联Stirling数的显式公式(A008299号)得到：a（n）=和{m=1..n-1}和{i=0..m}（-1）^i*二项式（n+m-1，i）*和{j=0..m-i}（-1）^j*（（m-i-j）^（n+m-1-i））/（j！*（m-i-j）！）-彼得·雷格纳2012年10月8日
G.f.:x/Q（0），其中Q（k）=1-k*x-x*（k+1）/Q（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月1日
G.f.:x*Q（0），其中Q（k）=1-x*（k+1）/（x*（k+1）-（1-k*x）*（1-x-k*x；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年10月11日
a（n）~n^（n-1）/（sqrt（2）*exp（n）*（2*log（2）-1）^（n-1/2））-瓦茨拉夫·科特索维奇2014年1月5日
例如，A（x）满足d/dx A（x-迈克尔·索莫斯，2014年10月25日
O.g.f.：求和{n>=0}x/Product_{k=0..n}（2-k*x）-保罗·D·汉纳2014年10月27日
a（0）=0，a（1）=1；a（n）=n！*[x^n]exp（和{k=1..n-1}a（k）*x^k/k！）-伊利亚·古特科夫斯基2017年10月17日
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例子
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例如：A（x）=x+x^2/2！+4*x^3/3！+26*x^4/4！+236*x^5/5！+2752*x^6/6！+。。。
其中exp（A（x））=1-x+2*A（x
系列_版本（A（x））=x-x^2！-x^3/3！-x^4/4！-x^5/5！-x^6/6！+。。。
外径：g（x）=x+x^2+4*x^3+26*x^4+236*x^5+2752*x^6+39208*x^7+。。。
哪里
G（x）=x/2+x/（2*（2-x））+x/。。。
如果一棵有根的树没有一元分支，那么它是连续减少的，因此每个非叶节点至少覆盖另外两个节点。以下是a（4）=26系列衍生的有4个标记叶子的有根树。每个括号（…）对应于一个非叶节点。
（1234）（（12）34）（（123）4）
(1(23)4) (1(234))
(12(34)) ((124)3)
(1(24)3) ((134)2)
((13)24) (((12)3)4)
((14)23) ((1(23))4)
((12)(34))
(1((23)4))
(1(2(34)))
(((12)4)3)
((1(24))3)
(1((24)3))
(((13)2)4)
((13)(24))
(((13)4)2)
((1(34))2)
（（14）2）3）
((14)(23))
(((14)3)2)
（结束）
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MAPLE公司
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M： =499；a： =数组（0..500）；a[0]：=0；a[1]：=1；a[2]：=1；对于从0到2的n，进行lprint（n，a[n]）；od：对于从2到M的n，做a[n+1]：=（n+2）*a[n]+2*加法（二项式（n，k）*a[k]*a[n-k+1]，k=2..n-1）；l打印（n+1，a[n+1]）；日期：
阶数：=50；t1:=求解（级数（exp（A）-2*A-1），A）=-x，A）；A000311号：=n->n*系数（t1，x，n）；
#第二个Maple项目：
b： =proc（n，i）选项记忆`如果`（n=0，1，`如果`（i<1，0，
加（组合[多项式]（n，n-i*j，i$j）/j*
a（i）^j*b（n-i*j，i-1），j=0..n/i））
结束时间：
a： =n->`如果`（n<2，n，b（n，n-1））：
#更快的程序：
b： =proc（n，i）选项记忆；
`如果`（i=0且n=0，1，`如果`（i<=0或i>n，0，
i*b（n-1，i）+（n+i-1）*b（n-1，i-1））端：
a： =n->`如果`（n<2，n，加（b（n-1，i），i=0..n-1））：
seq（a（n），n=0..40）#彼得·卢什尼2021年2月15日
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数学
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a[n_]：=如果[n<1，0，n！SeriesCoefficient[Inverse Series[Series[1+2 x-Exp[x]，{x，0，n}]]，n]]；(*迈克尔·索莫斯2012年6月4日*）
a[n_]：=（如果[n<2，n，（column=ConstantArray[0，n-1]；column[[1]]=1；对于[j=3，j<=n，j++，column=column*Flatten[{Range[j-2]，ConstantArray[0，（n-j）+1]}]+Drop[Prepend[column，0]，-1]*Flatden[{Range[j-1，2*j-3]，Cons坦塔数组[0，n-j]}]；]；）；总和[列[[i]]，{i，n-1}]）；表[a[n]，｛n，0，20｝](*彼得·雷格纳2012年10月5日，根据Felsenstein（1978）的公式*）
多项式[n_，k_List]：=n/次数@@（k！）；b[n_，i_]：=b[n，i]=如果[n==0，1，如果[i<1，0，和[多项式[n，连接[{n-i*j}，数组[i&，j]]/j*a[i]^j*b[n-i*j，i-1]，{j，0，n/i}]]；a[n_]：=如果[n<2，n，b[n，n-1]]；表[a[n]，{n，0，40}](*Jean-François Alcover公司2016年2月7日之后阿洛伊斯·海因茨*)
sps[{}]：={{}}；sps[set:{i_，___}]：=联接@@函数[s，前缀[#，s]和/@sps[Complement[set，s]]/@Cases[子集[set]，{i，___}]；
mtot[mm]：=准备[Join@@Table[Tuples[mtot/@p]，{p，选择[sps[m]，1<Length[#]<Length[m]&]}]，m]；
表[Length[mtot[Range[n]]]，{n，0，6}](*古斯·怀斯曼2019年12月28日*）
（*长度长但容易理解*）
铅[_，n/；n<3]：=0
铅[h，n_]：=模块[{p，i}，
p=位置[h，{___}]；
求和[MapAt[{#，n}&，h，p[[i]]]，{i，长度[p]}]
]
follow[h，n_]：=模块[{r，i}，
r=替换[位置[h，{___}]，{a__}->{a，-1}，1]；
总和[插入[h，n，r[[i]]]，{i，长度[r]}]
]
结婚[_，n_/；n<3]：=0
mary[h，n_]：=模块[{p，i}，
p=位置[h，_Integer]；
求和[MapAt[{#，n}&，h，p[[i]]]，{i，长度[p]}]
]
extend[a+b，n]：=扩展[a，n]+扩展[b，n]
扩展[a，n]：=引导[a，n]+跟随[a，n-]+结婚[a，n]
层次结构[1]：=层次结构[1]=扩展[hier[{}]，1]
hierarchies[n]：=层次结构[n]=扩展[层次结构[n-1]，n](*丹尼尔·盖斯勒2022年8月22日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=局部（a）；如果（n<0，0，对于（i=1，n，a=Pol（exp（a+x*O（x^i））-a+x-1））；n！*polcoff（a，n））}/*迈克尔·索莫斯，2004年1月15日*/
（PARI）{a（n）=my（a）；如果（n<0，0，a=O（x）；对于（i=1，n，a=int形式（1/（1+x-2*a））；n！*polcoeff（a，n））}/*迈克尔·索莫斯2014年10月25日*/
（PARI）{a（n）=n！*polceoff（serreverse（1+2*x-exp（x+x^2*O（x^n））），n）}
对于（n=0，30，打印1（a（n），“，”）\\保罗·D·汉纳2014年10月27日
（PARI）\p100\\设置精度
{A=Vec（总和（n=0，600，1.*x/prod（k=0，n，2-k*x+O（x^31）））}
对于（n=0，25，打印1（如果（n<1，0，圆形（A[n]）），“，”）\\保罗·D·汉纳2014年10月27日
（极大值）a（n）：=如果n=1，则1其他和（（n+k-1）*总和（1/（k-j）*总和（（2^i*（-1）^i）*stirling2（n+j-i-1，j-i））/（（n+j-i-1）*i！），i、 0，j），j，1，k），k，1，n-1）/*弗拉基米尔·克鲁奇宁2012年1月28日*/
（Python）
从functools导入lru_cache
从数学导入梳
@lru_cache（最大大小=无）
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交叉参考
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关键词
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非n,核心,容易的,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 2, 4, 11, 30, 96, 308, 1052, 3648, 13003, 47006, 172605, 640662, 2402388, 9082538, 34590673, 132566826, 510904724, 1978728356, 7697565819, 30063818314, 117840547815, 463405921002, 1827768388175, 7228779397588, 28661434308095, 113903170011006, 453632267633931
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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a（n）是叶子形成n的整数分区的系列减少根树的数量。例如，下面是a（4）=11个系列减少根的树，叶子形成4的整数分区。
4,
(13),
(22),
(112), (1(12)), (2(11)),
(1111), (11(11)), (1(1(11))), (1(111)), ((11)(11)).
（结束）
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链接
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配方奶粉
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a（n）~c*d^n/n^（3/2），其中d=4.210216501727104448901818751…，c=0.21649387167268793159311306-瓦茨拉夫·科特索维奇，2014年9月4日
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例子
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设置（设置（Z）、设置（Z）、设置（Z，Z）），
集合（Set（Z），集合（Set，Z），Set（Z，Z）），
设置（Z、Z、Z和Z），
设置（Set（Z，Z），设置（Z，Z）），
设置（设置（设置（Z），设置（Z）），设置（Z，Z）），
设置（设置（Z）、设置（Z，
设置（设置（Z）、设置（Z，
设置（设置（Z）、设置，
集合（Set（Set（Z），Set（Z，
设置（设置（Z），设置（Z，Z，Z）），
集合（Set（Z），Set（Set（Z），Set
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MAPLE公司
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使用（combstruct）：A141268号：=[H，{H=并集（集合（Z，卡>=1），集合（H，卡>=2））}，未标记]；序列（计数(A141268号，大小=j），j=1..20）；
#第二个Maple项目：
b： =proc（n，i）选项记忆`如果`（n=0，1，`如果`（i<1，0，
加（b（n-i*j，i-1）*二项式（a（i）+j-1，j），j=0..n/i））
结束时间：
a： =n->`如果`（n<2，n，1+b（n，n-1））：
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数学
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facs[n_]：=如果[n<=1，{{}}，连接@@表[Map[Prepend[#，d]&，Select[facs[n/d]，Min@@#>=d&]]，{d，Rest[Divisors[n]]}]；
t[n_]：=t[n]=如果[PrimeQ[n]，{n}，连接@@Table[Union[Sort/@Tuples[t/@fac]]，{fac，选择[facs[n]、长度[#]>1&]}]]；
表[Sum[Length[t[Times@@Prime/@ptn]]，{ptn，IntegerPartitions[n]}]，{n，7}](*古斯·怀斯曼2018年7月31日*）
b[n_，i_]：=b[n，i]=如果[n==0，1，如果[i<1，0，
求和[b[n-i*j，i-1]*二项式[a[i]+j-1，j]，{j，0，n/i}]]；
a[n_]：=如果[n<2，n，1+b[n，n-1]]；
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黄体脂酮素
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（PARI）EulerT（v）={Vec（exp（x*Ser（dirmul（v，vector（#v，n，1/n）））-1，-#v）}
序列（n）={my（v=向量（n））；对于（n=1，n，v[n]=1+EulerT（v[1..n]）[n]）；v}\\安德鲁·霍罗伊德2018年10月26日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A339645型
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| 按行读取的三角形：T（n，k）是具有n个色叶的单子代避免根树的不等色数，正好使用k种颜色。 |
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+10
45
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1, 1, 1, 2, 3, 2, 5, 17, 12, 5, 12, 73, 95, 44, 12, 33, 369, 721, 512, 168, 33, 90, 1795, 5487, 5480, 2556, 625, 90, 261, 9192, 41945, 58990, 36711, 12306, 2342, 261, 766, 47324, 321951, 625088, 516952, 224241, 57155, 8702, 766, 2312, 249164, 2483192, 6593103, 7141755, 3965673, 1283624, 258887, 32313, 2312
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,4
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评论
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只有树叶是彩色的。等价性取决于颜色的排列。
避免独生子女生根的树在其他一些序列中也被称为种植系列衍生树。
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链接
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例子
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三角形开始：
1;
1, 1;
2, 3, 2;
5, 17, 12, 5;
12, 73, 95, 44, 12;
33, 369, 721, 512, 168, 33;
90, 1795, 5487, 5480, 2556, 625, 90;
261, 9192, 41945, 58990, 36711, 12306, 2342, 261;
766, 47324, 321951, 625088, 516952, 224241, 57155, 8702, 766;
...
39=5+17+12+5棵树的非同质代表，具有四种颜色的叶子：
(1111) (1112) (1123) (1234)
(1(111)) (1122) (1(123)) (1(234))
（11（11））（1（112））（11（23））（12（34））
((11)(11)) (11(12)) (12(13)) ((12)(34))
(1(1(11))) (1(122)) (2(113)) (1(2(34)))
(11(22)) (23(11))
(12(11)) ((11)(23))
（12（12））（1（1（23））
(2(111)) ((12)(13))
((11)(12)) (1(2(13)))
(1(1(12))) (2(1(13)))
（（11）（22））（2（3（11））
（1（1（22））
(1(2(11)))
((12)(12))
(1(2(12)))
(2(1(11)))
（结束）
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黄体脂酮素
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（PARI）\\有关组合物种功能，请参阅上面的链接。
cycleIndexSeries（n）={my（v=向量（n））；v[1]=sv（1）；对于（n=2，#v，v[n]=polcoef（sExp（x*Ser（v[1..n]）），n））
{my（A=不等价颜色三角形（cycleIndexSeries（10）））；对于（n=1，#A~，打印（A[n，1..n]））}
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A300660型
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| 具有n（叶）节点的未标记根系统发育树的数量，对于每个内部节点，所有子节点都是不同子树的叶或根。 |
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+10
37
|
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0, 1, 1, 2, 3, 6, 13, 30, 72, 182, 467, 1222, 3245, 8722, 23663, 64758, 178459, 494922, 1380105, 3867414, 10884821, 30756410, 87215419, 248117618, 707952902, 2025479210, 5809424605, 16700811214, 48113496645, 138884979562, 401645917999, 1163530868090
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,4
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评论
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发件人古斯·怀斯曼2018年7月31日和2020年2月6日：（开始）
a（n）是叶子形成n的整数分区的孤子无效根身份树的数目。例如，下面是a（6）=13个孤子无效的根身份树，叶子形成6的整数分区。
6,
(15),
(24),
(123), (1(23)), (2(13)), (3(12)),
(1(14)),
（1（1（13））），
(12(12)), (1(2(12))), (2(1(12))),
(1(1(1(12)))).
（结束）
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链接
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配方奶粉
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a（n）~c*d^n/n^（3/2），其中d=3.045141208159736483720243229947630323380565686…和c=0.2004129296838557718008171812000512670126-瓦茨拉夫·科特索维奇2018年8月27日
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例子
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：a（3）=2:：a（4）=3:：
：o o：o o o：
: / \ /|\ : / \ / \ /( )\ :
：o N N N N：o N o N N N N N：
：（）：/\/| \：
：否否否否：
: : ( ) :
：：否编号：
a（2）=1到a（6）=13个未标记的根系统发育半同一树：
（oo）（ooo）（oooo）
（o）（oo）（o）
（（o）（o））（oo）（ooo））
（（o）（o）
（（o）（o）
（（o）（（o）（（o）（oo）））（（o）（（o）（oooo）））
（（o）（（oo）（ooo））
（（oo）（（o）（ooo））
（o）（oo）（o）
（（o）（o）
（（o）（oo）（o））
（（oo）（（o）（o））
（（o）（o）
（结束）
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MAPLE公司
|
b： =proc（n，i）选项记忆`如果`（n=0，1，`如果`（i<1，0，
加（b（n-i*j，i-1）*二项式（a（i），j），j=0..n/i））
结束时间：
a： =n->`如果`（n=0，0，1+b（n，n-1））：
seq（a（n），n=0..30）；
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|
|
数学
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b[0，_]=1；b[_，_？非阳性]=0；
b[n_，i_]：=b[n，i]=和[b[n-i*j，i-1]*二项式[a[i]，j]，{j，0，n/i}]；
a[0]=0；a[n]：=a[n]=1+b[n，n-1]；
ursit[n_]：=前缀[Join@@Table[Select[Union[Sort/@Tuples[ursit/@ptn]]，UnsameQ@@#&]，{ptn，Select[IntegerPartitions[n]，Length[#]>1&]}]，n]；
表[长度[ursit[n]]，{n，10}](*古斯·怀斯曼2020年2月6日*）
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交叉参考
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关键词
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非n,特征
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作者
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状态
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经核准的
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A319312型
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| 叶为整数分区且多集并为n的整数分区的系列减少根树的数目。 |
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+10
37
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1, 3, 7, 22, 67, 242, 885, 3456, 13761, 56342, 234269, 989335, 4225341, 18231145, 79321931, 347676128, 1533613723, 6803017863, 30328303589, 135808891308, 610582497919, 2755053631909, 12472134557093, 56630659451541, 257841726747551, 1176927093597201
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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同时给出了n的整数分块的Heinz数的无序树分解数。
此外，多个标签集合上的系统发育树的数量总和为n。
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链接
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例子
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a（3）=7棵树：
(3) (21) (111)
((1)(2)) ((1)(11))
((1)(1)(1))
((1)((1)(1)))
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|
数学
|
facs[n_]：=如果[n<=1，{{}}，连接@@表[Map[Prepend[#，d]&，Select[facs[n/d]，Min@@#>=d&]]，{d，Rest[Divisors[n]]}]；
phyfacs[n_]：=前缀[Join@@Table[Union[Sort/@Tuples[phyfacs/@f]]，{f，选择[facs[n]，长度[#]>1&]}]，n]；
表[Sum[Length[phyfacs[Times@@Prime/@m]]，{m，Integer Partitions[n]}]，{n，6}]
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|
黄体脂酮素
|
（PARI）EulerT（v）={Vec（exp（x*Ser（dirmul（v，vector（#v，n，1/n）））-1，-#v）}
序列（n）={my（v=[]）；对于（n=1，n，v=concat（v，numberpart（n）+EulerT（concat，[0]））；v}\\安德鲁·霍罗伊德2018年9月18日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000081美元,A000311号,A000669号,A001678号,A005804号,A141268号,A292504型,A300660型,A316653型,A316654型,A316656型.
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A316651型
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| 具有n片叶子跨越正整数初始区间的系列缩减根树的数量。 |
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+10
30
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|
1, 2, 12, 112, 1444, 24086, 492284, 11910790, 332827136, 10546558146, 373661603588, 14636326974270, 628032444609396, 29296137817622902, 1476092246351259964, 79889766016415899270, 4622371378514020301740, 284719443038735430679268, 18601385258191195218790756
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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如果每个非叶节点都至少有两个分支，则根树是连续减少的。
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链接
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配方奶粉
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a（n）~c*d^n*n^（n-1），其中d=1.3739207683084009025551979…和c=0.41435722857311602982846。。。
|
|
|
例子
|
a（3）=12棵树：
(1(11)), (111),
(1(12)), (2(11)), (112),
(1(22)), (2(12)), (122),
(1(23)), (2(13)), (3(12)), (123).
|
|
|
MAPLE公司
|
b： =proc（n，i，k）选项记忆`如果`（n=0，1，`如果`（i<1，0，
加法（二项式（A（i，k）+j-1，j）*b（n-i*j，i-1，k），j=0..n/i））
结束时间：
A： =（n，k）->`如果`（n<2，n*k，b（n，n-1，k））：
a： =n->加（加（a（n，k-j）*（-1）^j*二项式（k，j），j=0..k-1），k=1..n）：
|
|
|
数学
|
sps[{}]：={{}}；sps[set:{i_，___}]：=联接@@函数[s，前缀[#，s]和/@sps[Complement[set，s]]/@Cases[子集[set]，{i，___}]；
mps[set_]：=联合[Sort[Sort/@（#/.x_Integer:>set[[x]]）]&/@sps[Range[Length[set]]]；
gro[m_]：=如果[Length[m]==1，m，并集[Sort/@Join@@（Tuples[gro/@#]&/@Select[mps[m]，Length[#]>1&]）]]；
allnorm[n_Integer]：=函数[s，数组[Count[s，y_/；y<=#]+1&，n]]/@子集[Range[n-1]+1]；
表[Sum[Length[gro[m]]，{m，allnorm[n]}]，{n，5}]
（*第二个节目：*）
b[n_，i_，k_]：=b[n，i，k]=如果[n==0，1，如果[i<1，0，
求和[二项式[A[i，k]+j-1，j]b[n-i*j，i-1，k]，{j，0，n/i}]]；
A[n_，k_]：=如果[n<2，n*k，b[n，n-1，k]]；
a[n]：=总和[Sum[a[n，k-j]*（-1）^j*二项式[k，j]，{j，0，k-1}]，{k，1，n}]；
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|
|
黄体脂酮素
|
EulerT（v）={Vec（exp（x*Ser（dirmul（v，vector（#v，n，1/n）））-1，-#v）}
R（n，k）={my（v=[k]）；对于（n=2，n，v=concat（v，EulerT（concat，[0]））；v}
seq（n）={和（k=1，n，R（n，k）*和（R=k，n，二项式（R，k）x（-1）^（R-k））}\\安德鲁·霍罗伊德2018年9月14日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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316652英镑
|
| 叶跨越具有n个整数分区的正整数的初始区间的系列减少根树的数目。 |
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+10
25
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|
1, 2, 9, 69, 623, 7793, 110430, 1906317, 36833614, 816101825, 19925210834, 541363267613, 15997458049946, 515769374925576, 17905023985615254, 669030297769291562, 26689471638523499483, 1134895275721374771655, 51161002326406795249910, 2440166138715867838359915
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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|
评论
|
如果每个非叶节点都至少有两个分支，则根树是连续减少的。
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链接
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|
例子
|
a（3）=9棵树：
(1(11)), (111),
(1(12)), (2(11)), (112),
（1（23）），（2（13）），（3（12）），（123）。
|
|
|
数学
|
sps[{}]：={{}}；sps[set:{i_，___}]：=联接@@函数[s，前缀[#，s]和/@sps[Complement[set，s]]/@Cases[子集[set]，{i，___}]；
mps[set_]：=联合[Sort[Sort/@（#/.x_Integer:>set[[x]]）]&/@sps[Range[Length[set]]]；
gro[m_]：=如果[Length[m]==1，m，并集[Sort/@Join@@（Tuples[gro/@#]&/@Select[mps[m]，Length[#]>1&]）]]；
表[Sum[Length[gro[m]]，{m，Flatten[MapIndexed[Table[#2，{#1}]&，#]]&/@Integer Partitions[n]}]，{n，4}]
|
|
|
黄体脂酮素
|
cycleIndexSeries（n）={my（v=向量（n））；v[1]=sv（1）；对于（n=2，#v，v[n]=polcoef（sExp（x*Ser（v[1..n]）），n））
|
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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|
状态
|
经核准的
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|
1, 2, 3, 6, 9, 19, 31, 63, 110, 215, 391, 773, 1451, 2879, 5594, 11173, 22041, 44136, 87631, 175155, 348186, 694013, 1378911, 2743955, 5452833, 10853541, 21610732, 43122952, 86192274, 172753293, 347114772, 699602332, 1414033078, 2866580670, 5826842877, 11874508385
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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如果每个非叶节点都至少有两个分支，则根树是连续减少的，如果所有叶距根的距离都相同，则是平衡的。
还有n片叶子的平衡的未标记系统发育根树的数量。
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链接
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例子
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a（1）=1到a（6）=19根树：
1 2 3 4 5 6
(11) (12) (13) (14) (15)
(111) (22) (23) (24)
（112）（113）（33）
(1111) (122) (114)
((11)(11)) (1112) (123)
(11111) (222)
((11)(12)) (1113)
((11)(111)) (1122)
(11112)
(111111)
((11)(13))
((11)(22))
((12)(12))
((11)(112))
（（12）（111））
((11)(1111))
((111)(111))
((11)(11)(11))
|
|
|
数学
|
sps[{}]：={{}}；sps[set:{i_，___}]：=联接@@函数[s，前缀[#，s]和/@sps[Complement[set，s]]/@Cases[子集[set]，{i，___}]；
mps[set_]：=联合[Sort[Sort/@（#/.x_Integer:>set[[x]]）]&/@sps[Range[Length[set]]]；
phy2[labs_]：=如果[Length[labs]==1，labs，Union@@Table[Sort/@Tuples[phy2/@ptn]，{ptn，Select[mps[Sort[labs]，Length[1]>1&]}]；
表[Sum[Length[Select[phy2[ptn]，SameQ@@Length/@Position[#，_Integer]&]]，{ptn，Integer Partitions[n]}]，{n，8}]
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）EulerT（v）={Vec（exp（x*Ser（dirmul（v，vector（#v，n，1/n）））-1，-#v）}
seq（n）={my（u=向量（n，n，1），v=向量（n））；而（u，v+=u；u=EulerT（u）-u）；v}\\安德鲁·霍罗伊德2018年10月25日
|
|
|
交叉参考
|
囊性纤维变性。A000081美元,A000311号,A000669号,A001678号,A005804号,A048816号,A079500型,A119262号,A120803号,A141268号,A244925型,A319312型.
|
|
|
关键词
|
非n
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|
作者
|
|
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扩展
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|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
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2, 3, 10, 40, 170, 785, 3770, 18805, 96180, 502381, 2667034, 14351775, 78096654, 429025553, 2376075922, 13252492311, 74372374366, 419651663108, 2379399524742, 13549601275893, 77460249369658, 444389519874841
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,1
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评论
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考虑具有两个交换结合算子（x+y）和（x*y）以及两个生成元A和B的自由代数系统。如果n>1，生成元n次出现的元素数为2*A（n），如果n=1，生成元的数目为2*B（n）-迈克尔·索莫斯，2017年8月7日
还有n片叶子的半独生子避免生根的树的数量。半长的子节点无效意味着不存在只有一个子节点的顶点，除非该子节点是端点/叶。例如，a（1）=2到a（3）=10树为：
o（oo）（ooo）
（o） （o（o））（o（oo））
（o）（o）
（（o）（oo））
（o（o）（o））
（o（o））
（o）（o）
（（o）（o（o））
（o（o）（o））
（（o）（o））
（结束）
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|
链接
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F.Chapoton、F.Hivert、J.-C.Novelli、，形式分数和树状子运算的集合运算，arXiv预印本arXiv:1307.0092[math.CO]，2013。
|
|
|
配方奶粉
|
EULER变换下的双精度（索引2+）。
乘积{k>=1}（1-x^k）^-a（k）=1+a（1）*x+和{k>=2}2*a（k）*x^k-迈克尔·索莫斯，2017年8月7日
a（n）~c*d^n/n^（3/2），其中d=6.1588935170873962898783859951206775682824030495453326366016992093939…和c=0.19142505082010113607297695251641416051879957300026600722369002-瓦茨拉夫·科特索维奇，2018年8月17日
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例子
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对于n=2，2*a（2）=6个元素是：a+a、a+B、B+B、a*a、a*B、B*B-迈克尔·索莫斯，2017年8月7日
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|
数学
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条款=22；
B[x_]=xO[x]^（术语+1）；
A[x_]=1/（1-x+B[x]）^2；
Do[A[x_]=A[x]/（1-x^k+B[x]）^系数[A[x]，x，k]+O[x]^（项+1）//正规，{k，2，项+1}]；
slaurte[n_]：=如果[n==1，{o，{o}}，连接@@Table[Union[Sort/@Tuples[slaurte/@ptn]]，{ptn，Rest[IntegerPartitions[n]]}]；
表[长度[slaurte[n]]，{n，10}](*古斯·怀斯曼2020年2月7日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=我的（a，B）；如果（n<2，2*（n>0），B=x*O（x^n）；a=1/（1-x+B）^2；对于（k=2，n，a/=（1-x^k+B）*polcoeff（a，k））；polcoff（a，n）/2）}/*迈克尔·索莫斯2017年8月7日*/
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A330465型
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| 叶子是多集且共有n个元素的非同构系列衍生根树的数量。 |
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+10
19
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1, 4, 14, 87, 608, 5573, 57876, 687938, 9058892, 130851823, 2048654450, 34488422057, 620046639452, 11839393796270, 238984150459124, 5079583100918338, 113299159314626360, 2644085918303683758, 64393240540265515110, 1632731130253043991252, 43013015553755764179000
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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具有n个标记的系统发育树的叶色也不相等。系统发育根树是一种级数归根树，其叶子是（通常不相交的）集合。
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链接
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例子
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a（3）=14棵树的非同构代表：
((1)((1)(1))) ((1)((1)(2))) ((1)((2)(3))) ((2)((1)(1)))
((1)(1)(1)) ((1)(1)(2)) ((1)(2)(3)) ((2)(1,1))
((1)(1,1)) ((1)(1,2)) ((1)(2,3))
(1,1,1) (1,1,2) (1,2,3)
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黄体脂酮素
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cycleIndexSeries（n）={my（v=向量（n），p=sEulerT（x*sv（1）+O（x*x^n））；v[1]=sv（l）；对于（n=2，#v，v[n]=polcoef（sEuler T（x*Ser（v[1..n]）），n）+polcoif（p，n）））；x*Ser（v）}
不等效颜色Seq（循环索引系列（15））\\安德鲁·霍罗伊德2020年12月13日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000311号,A000669号,A004114号,A005804号,A007716号,A281118号,A289501型,A292504型,A316651型,316652英镑,A318812型,A319312型,A330471型,A330474型,A330625型,A339645型.
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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经核准的
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