搜索: a005563-编号:a005563
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0, 3, 14, 48, 144, 400, 1056, 2688, 6656, 16128, 38400, 90112, 208896, 479232, 1089536, 2457600, 5505024, 12255232, 27131904, 59768832, 131072000, 286261248, 622854144, 1350565888, 2919235584, 6291456000, 13522436096
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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数字出现在表T(n,k)的对角线上,其中左栏包含以下元素A005563号,并且进一步的列递归地为T(n,k)=T(n、k-1)+T(n-1、k-1
....0....-1.....0.....0.....0.....0.....0.....0.....0.....0.
....3.....3.....2.....2.....2.....2.....2.....2.....2.....2.
....8....11....14....16....18....20....22....24....26....28.
...15....23....34....48....64....82...102...124...148...174.
...24....39....62....96...144...208...290...392...516...664.
...35....59....98...160...256...400...608...898..1290..1806.
...48....83...142...240...400...656..1056..1664..2562..3852.
...63...111...194...336...576...976..1632..2688..4352..6914.
...80...143...254...448...784..1360..2336..3968..6656.11008.
...99...179...322...576..1024..1808..3168..5504..9472.16128.
..120...219...398...720..1296..2320..4128..7296.12800.22272.
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链接
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配方奶粉
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G.f.:x*(-3+4*x)/(2*x-1)^3-R.J.马塔尔2010年12月11日
a(n)=2^(n-2)*n*(5+n)-R.J.马塔尔2010年12月11日
a(n)=和{k=0..n-1}和{i=0..n-1}(k+3)*C(n-1,i)-韦斯利·伊万·赫特2017年9月20日
和{n>=1}1/a(n)=1322/75-124*log(2)/5。
和{n>=1}(-1)^(n+1)/a(n)=132*log(3/2)/5-782/75。(结束)
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数学
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线性递归[{6,-12,8},{0,3,14},30](*哈维·P·戴尔2015年10月19日*)
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黄体脂酮素
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(岩浆)[2^(n-2)*n*(5+n):[0.30]]中的n//文森佐·利班迪2011年10月8日
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关键词
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非n,容易的
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作者
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经核准的
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0, 4, 15, 24, 60, 48, 124, 104, 186, 156, 360, 168, 480, 336, 504, 432, 819, 360, 1170, 640, 1080, 768, 1488, 744, 1736, 1240, 1680, 1200, 2880, 960, 3048, 1536, 2286, 2304, 3510, 1824, 3900, 2128, 3720, 2352, 5952, 1848, 5760, 3432, 4320, 3744, 6048
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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链接
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MAPLE公司
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with(numtheory):seq(`if`(n=1,0,sigma(n^2-1)),n=1..100)#G.C.格鲁贝尔2019年12月31日
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数学
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表[如果[n==1,0,DivisorSigma[1,n^2-1]],{n,120}](*由更正梅汀·萨里亚尔2019年12月12日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)a(n)={如果(n<2,0,sigma(n^2-1))}
(岩浆)[0]cat[DivisorSigma(1,n^2-1):[2..100]]中的n//G.C.格鲁贝尔2019年12月31日
(Sage)[0]+[(2..100)中n的σ(n^2-1,1)]#G.C.格鲁贝尔2019年12月31日
(GAP)级联([0],列表([2..100],n->Sigma(n^2-1))#G.C.格鲁贝尔,2019年12月31日
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交叉参考
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关键词
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容易的,非n
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作者
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经核准的
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1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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数学
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a[1]=0;a[2]=0;h=128;
c=(u[#1]&)/@范围[2h];
表[a[d[[n]]=1-a[n],{n,1,h-1}];(*A189166号*)
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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链接
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数学
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a[1]=0;a[2]=1;h=128;
c=(u[#1]&)/@范围[2h];
表[a[d[[n]]=1-a[n],{n,1,h-1}];(*A189169号*)
表[a[c[[n]]]=a[n],{n,1,h}](*189169年*)
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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0, 0, 3, 5, 8, 3, 15, 21, 24, 2, 35, 45, 48, 15, 63, 77, 80, 6, 99, 117, 120, 35, 143, 165, 168, 12, 195, 221, 224, 63, 255, 285, 288, 20, 323, 357, 360, 99, 399, 437, 440, 30, 483, 525, 528, 143, 575, 621, 624, 42, 675, 725, 728, 195, 783, 837, 840, 56, 899, 957, 960, 255, 1023, 1085, 1088, 72, 1155, 1221, 1224, 323, 1295, 1365
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,3
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评论
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混合了氢问题的Lyman和Balmer级数的分子。
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链接
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常系数线性递归的索引项,签名(0,0,00,0,1,0,3,0,0,0,0+0,0,,0,0-0,0、0,0)。
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配方奶粉
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a(n)=3*a(n-8)-3*a(n-16)+a(n-24)-R.J.马塔尔2010年12月8日
总尺寸:x^3*(3*x^21+x^20+x^19+3*x^17-3*x^16-8*x^14-14*x^13-18*x^12-6*x^11-24*x^10-30*x^9-26*x^8-2*x^7-24*x^6-21*x^5-15*x^4-3*x*x^3-8*x^2-5*x-3)/((x-1)^3*+1)^3)-科林·巴克2014年1月26日
当n为奇数时,a(n)=(n-1)*(n+3)/4,否则(n^2+4*n-12)*(37+27*(-1)^(n/2)+6*cos((n+2)*Pi/4))/2^8-G.C.格鲁贝尔,2019年12月4日
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MAPLE公司
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seq(`if`((n mod 2)=1,(n-1)*(n+3)/4,(n^2+4*n-12)*(37+27*(-1)^(n/2)+6*cos((n+2)*Pi/4))/2^8),n=1..90)#G.C.格鲁贝尔,2019年12月4日
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数学
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a[n_]:=如果[OddQ[n],(n-1)*(n+3)/4,(n^2+4*n-12)*(37+27*(-1)^(n/2)+6*Cos[(n+2)*Pi/4])/2^8];表[a[n],{n,90}](*G.C.格鲁贝尔2018年9月19日;2019年12月4日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)a(n)=如果(n%2==1,(n-1)*(n+3)/4,圆形((n^2+4*n-12)*(37+27*(-1)^(n/2)+6*cos((n+2)*Pi/4))/2^8))\\G.C.格鲁贝尔2018年9月19日;2019年12月4日
(岩浆)R:=RealField(20);
a: =函数<n|(n mod 2)eq 1 select(n-1)*(n+3)/4 else Round((n^2+4*n-12)*(37+27*(-1)^(n/2)+6*Cos((n+2)*Pi(R)/4))/2^8)>;
[1..90]]中的[a(n):n//G.C.格鲁贝尔2018年9月19日;2019年12月4日
(鼠尾草)
定义a(n):
如果(mod(n,2)==1):返回(n-1)*(n+3)/4
else:返回圆((n^2+4*n-12)*(37+27*(-1)^(n/2)+6*cos((n+2)*pi/4))/2^8)
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,较少的
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作者
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状态
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经核准的
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1, 2, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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将整数均值=q>0的泊松分布中整数值x的概率定义为P(q,x)=e^(-q)*(q^x)/x!然后假设P(n,a(n)+1)-P。
也就是说,a(n)是平均值为n的泊松分布具有最小离散差的位置(未被证明,但在n=20*10^3之前进行了测试)。
(非常定性)泊松分布的图,平均q=n。a(n)上方的垂直线表示分布具有最小(负)离散差的位置。
P(P)
^
| *
| * *
| * *
| * *
| * *
| * | *
| * | *
| * | *
| * | *
*-------------+----+---------------------->x个
n个(n)
例如,如果n=8,则
P(8,a(8)+1)-P(8,b(8))=P(8,11)-P
如果我们现在计算a(n)+1中的离散差,则可以得到
P(8,a(8)+2)-P(8,b(8)+1)=P(8,12)-P“8,11”=-0.0240634
在a(n)-1中
P(8,a(8))-P(8,b(8)-1)=P(8,10)-P
之前的两个值都大于在a(n)处获得的最小值。(结束)
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链接
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配方奶粉
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(请参阅Mathematica代码。)
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数学
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a=1;b=2;
F[n]:=a*n^2+b*n;
R[n]:=(n/a+((b-1)/(2a))^2)^(1/2);
G[n]:=n-1+天花板[R[n]-(b-1)/(2a)];
表[F[n],{n,60}]
表[G[n],{n,100}]
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 4, 12, 27, 51, 86, 134, 197, 277, 376, 496, 639, 807, 1002, 1226, 1481, 1769, 2092, 2452, 2851, 3291, 3774, 4302, 4877, 5501, 6176, 6904, 7687, 8527, 9426, 10386, 11409, 12497, 13652, 14876, 16171, 17539, 18982, 20502, 22101, 23781, 25544, 27392, 29327
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0.2个
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评论
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避免模式的n个元素的三次突变数132,321。请参见博尼肯和太阳-米歇尔·马库斯2022年8月19日
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链接
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尼古拉斯·博尼肯(Nicolas Bonichon)和皮埃尔·让·莫雷尔(Pierre-Jean Morel),Baxter d-置换和其他模式避免类,arXiv:22022.12677[math.CO],2022。
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配方奶粉
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总尺寸:(1+2*x^2-x^3)/(1-x)^4。
a(n)=4*a(n-1)-6*a(n-2)+4*a(n3)-a(n-4)。
a(n)=(2*n^3+9*n^2+7*n+6)/6。(结束)
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数学
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系数列表[级数[(1+2*x^2-x^3)/((1-x)^4),{x,0,50}],x](*文森佐·利班迪2012年6月28日*)
线性递归[{4,-6,4,-1},{1,4,12,27},50](*哈维·P·戴尔2015年8月22日*)
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黄体脂酮素
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(岩浆)I:=[1,4,12,27];[n le 4选择I[n]else 4*自我(n-1)-6*自我(n-2)+4*自我(n-3)-自我(n-4):[1..40]]中的n//文森佐·利班迪2012年6月28日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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Patternfinder(AT)webtv.net(Robert Newstedt)
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状态
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经核准的
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0, 0, 3, 5, 8, 12, 15, 21, 24, 32, 35, 45, 48, 60, 63, 77, 80, 96, 99, 117, 120, 140, 143, 165, 168, 192, 195, 221, 224, 252, 255, 285, 288, 320, 323, 357, 360, 396, 399, 437, 440, 480, 483, 525, 528, 572, 575, 621, 624, 672, 675, 725, 728, 780, 783, 837, 840, 896
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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2,3
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评论
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a(n)的差异表:
-1, -3, 0, 0, 3, 5, 8, 12, 15, 21, 24, ...
-2, 3, 0, 3, 2, 3, 4, 3, 6, 3, 8, ...
5, -3, 3, -1, 1, 1, -1, 3, -3, 5, -5, ...
-8, 6, -4, 2, 0, -2, 4, -6, 8, -10, 12, ...
14, -10, 6, -2, -2, 6, -10, 14, -18, 22, -26, ...
-24, 16, -8, 0, 8, -16, 24, -32, 40, -48, 56, ... .
注意a(-n)的特定分布。例子:
a(n-9)=12、15、5、8、0、3、-3、-3、-4、-1、-3、0、0.3、5,8、12、15。
a(2n)+a(2n+1)=a(-2n-1)+a(-2n-2)=-4,0,8,20,36,56,80,…=4个*A000096号(n-1)。
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链接
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配方奶粉
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a(n+2)=(第8周期:重复1、16、1、1、4、1和1)*A175628号(n+1)。
a(n)=3*a(n-4)-3*a(n-8)+a(n-12)。
a(n)=(n^2-4)/4表示n偶数,a(n。
通用格式:x^4*(3+2*x-3*x^2)/((1-x)^3*(1+x)^2)。(结束)
a(n)=(2*n^2+2*n-19-(2*n-11)*(-1)^n)/8-卢斯·埃蒂纳2014年7月26日
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MAPLE公司
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seq((2*n^2+2*n-19-(2*n-11)*(-1)^n)/8,n=2..60)#G.C.格鲁贝尔,2019年12月4日
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数学
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系数列表[级数[x^2(3x^2-2x-3)/((x-1)^3(x+1)^2),{x,0,60}],x](*文森佐·利班迪,2014年7月27日*)
线性递归[{1,2,-2,-1,1},{0,0,3,5,8},60](*哈维·P·戴尔2018年8月30日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)连接([0,0],Vec(x^4*(3*x^2-2*x-3)/((x-1)^3*(x+1)^2)+O(x^60))\\科林·巴克2014年1月26日
(岩浆)[(2*n^2+2*n-19-(2*n-11)*(-1)^n)/8:n in[2..60]]//文森佐·利班迪2014年7月27日
(鼠尾草)[(2*n^2+2*n-19-(2*n-11)*(-1)^n)/8代表n in(2..60)]#G.C.格鲁贝尔,2019年12月4日
(GAP)列表([2..60],n->(2*n^2+2*n-19-(2*n-11)*(-1)^n)/8)#G.C.格鲁贝尔,2019年12月4日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A000217号
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| 三角数:a(n)=二项式(n+1,2)=n*(n+1)/2=0+1+2+…+n.(名词)。 (原名M2535 N1002)
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+10 4543
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0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666, 703, 741, 780, 820, 861, 903, 946, 990, 1035, 1081, 1128, 1176, 1225, 1275, 1326, 1378, 1431
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0.3
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评论
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也称为T(n)或C(n+1,2)或二项式(n+1,2)(首选)。
广义六角形数:n*(2*n-1),n=0,+-1,+-2,+-3。。。广义k-角数是第二个k-角数和k-角数字的正项交错,k>=5。在这种情况下,k=6-奥马尔·波尔2011年9月13日和2012年8月4日
n+1,K_{n+1}阶完整图的边数。
在n个字母的字符串中插入一对括号的合法方法的数量。例如,三个字母有六种写法:(a)bc,(ab)c,(abc),a(b)c,a(bc),ab(c)。证明:有C(n+2.2)方法可以选择括号的位置,但其中n+1是非法的,因为括号是相邻的。囊性纤维变性。A002415号.
对于n>=1,a(n)也是n+2次非奇异曲线的亏格,如费马曲线x^(n+2)+y^(n+2)=1.-艾哈迈德·法尔斯(ahmedfares(AT)my_deja.com),2001年2月21日
根据哈纳克定理(1876),n阶非奇异曲线的分支数有界于a(n)-贝诺伊特·克洛伊特2002年8月29日
双n多米诺骨牌中的瓷砖数量-斯科特·布朗2002年9月24日
n个不相同链接的链可以分解的方式数。这是基于蛋白质组学领域的一个类似问题:质谱仪中n个氨基酸残基的肽可以被分解的方式的数量。一般来说,每个氨基酸的质量不同,所以AB和BC的质量不同-詹姆斯·雷蒙德2003年4月8日
三角数-奇数=移位三角数;1、3、6、10、15、21…-1, 3, 5, 7, 9, 11, ... = 0, 0, 1, 3, 6, 10, ... - Xavier Acloque,2003年10月31日[由更正德里克·奥尔2015年5月5日]
居中多边形数是[边数]的结果*A000217号+ 1]. 例如,中心五边形数(1,6,16,31,…)=5*(0,1,3,6,…)+1。居中七元数(1,8,22,43,…)=7*(0,1,3,6,…)+1.-Xavier Acloque,2003年10月31日
n+1平面相交形成的最大线数-罗恩·金2004年3月29日
避开图案132并且正好具有1个下降的[n]的排列的数目-迈克·扎布罗基,2004年8月26日
不允许长度为n-1的三元字的数量带有子字(0,1)、(0,2)和(1,2)-奥利维尔·杰拉德2012年8月28日
可以从集合{0,1,2,…,n}中选择两个不同的数字而不重复,或者,可以在集合{1,2,……,n{中选择二个不同数字并重复的方法。
据推测,只有1、6、120是三角形和阶乘的数字Christopher M.Tomaszewski(cmt1288(AT)comcast.net),2005年3月30日
每对相邻的项组成一个完美的正方形-扎克·塞多夫2006年3月21日
n+1个字母对称组中的转置数,即除两个元素外,其余元素都保持不变的排列数-杰弗里·克雷策2006年6月23日
对于rho(n):=exp(i*2*Pi/n)(1的n次方根),对于n>=1,rho(n)^a(n)=(-1)^(n+1)。只需使用琐碎性a(2*k+1)==0(mod(2*k+1))和a(2*k)==k(mod))。
a(n)是(a1+a2+a3)^(n-1)展开式中的项数-塞尔吉奥·法尔孔2007年2月12日
a(n+1)是2个变量中n次完全齐次对称多项式的项数-理查德·巴恩斯2017年9月6日
等于半群PT_n\S_n的秩(生成集的最小基数),其中PT_n和S_n表示[n]上的部分变换半群和对称群-詹姆斯·伊斯特,2007年5月3日
a(n)给出了从三角形上的一个顶点到该顶点对面绘制cevian时发现的三角形总数,其中n=绘制的cevian数+1。例如,绘制1个cevian,n=1+1=2和a(n)=2*(2+1)/2=3,则图形中总共有3个三角形。如果从一个点到另一侧绘制2个cevians,则n=1+2=3和a(n)=3*(3+1)/2=6,则图中总共有6个三角形。-Noah Priluck(npriluck(AT)gmail.com),2007年4月30日
对于n>=1,a(n)是当项的顺序不同的表示被认为不同时,n-1可以写成三个非负整数之和的方式数。换句话说,对于n>=1,a(n)是方程x+y+z=n-1的非负积分解的个数-阿玛纳斯·穆尔西2001年4月22日(编辑:罗伯特·A·比勒)
a(n)是三维各向同性谐振子的能量为n+3/2的能级数(单位为h*f0,普朗克常数为h,振子频率为f0)。请参阅上文A.Murthy的评论:n=n1+n2+n3带有正整数并排序。o.g.f.的证明见A.Messiah参考-沃尔夫迪特·朗2007年6月29日
数字m>=0,使得圆形(sqrt(2m+1))-圆形(sqrt(2m))=1。
数字m>=0,使得天花板(2*sqrt(2m+1))-1=1+地板(2*sqrt(2m))。
数字m>=0,使得fract(sqrt(2m+1))>1/2,fract(m2))<1/2,其中fract(x)是x的小数部分(即x-floor(x),x>=0)。(结束)
如果Y和Z是一个n集X的3个块,那么对于n>=6,a(n-1)是与Y和Z相交的X的(n-2)子集的数目-米兰Janjic2007年11月9日
循环赛中的比赛数量:n*(n-1)/2给出了n名球员所需的比赛数量。每个人都会和其他人比赛一次乔治·雷德(Georg Wrede),2008年12月18日
等效于连续四面体数的第一个差。请参见A000292号.-Jeremy Cahill(jcahill(AT)inbox.com),2009年4月15日
交替幂和的一般公式是以瑞士-刀多项式P(n,x)表示的A153641号2^(-n-1)(P(n,1)-(-1)^k P(n、2k+1))。因此a(k)=|2^(-3)(P(2,1)-(-1)^k P(2,2k+1))|-彼得·卢什尼2009年7月12日
a(n)是最小的数>a(n-1),使得gcd(n,a(n。如果n是奇数,则gcd是n;如果n是偶数,则为n/2-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2009年8月6日
弗洛伊德三角形右边的数字是1、3、6、10、15-保罗·穆尔贾迪2010年1月25日
更一般地说,a(2k+1)==j*(2j-1)(mod 2k+2j+1)和
a(2k)==[-k+2j*(j-1)](模2k+2j)。
列总和:
1 3 5 7 9 ...
1 3 5 ...
1 ...
...............
---------------
1 3 6 10 15 ...
和{n>=1}1/a(n)^2=4*Pi^2/3-12=12小于半径为Pi^(1/3)的球体的体积。
(结束)
(结束)
绘制三个点(0,0)、(a(n)、a(n+1))、(a+1)、a+2)以形成三角形。面积为a(n+1)/2-J.M.贝戈2012年5月4日
以a(n)=n*(n+1)/2开头的四个连续三角形数之和减去2等于2*(n+2)^2。a(n)*a(n+2)/2=a(a(n+1)-1)-J.M.贝戈,2012年5月17日
(a(n)*a(n+3)-a(n+1)*a(n+2))*(a(n+1)*a(n+4)-a(n+2)*a(n+3))/8=a((n^2+5*n+4)/2)-J.M.贝戈2012年5月18日
a(n)*a(n+1)+a(n+2)*a(n+3)+3=a(n^2+4*n+6)-J.M.贝戈2012年5月22日
一般来说,a(n)*a(n+1)+a(n+k)*a-查理·马里恩2012年9月11日
a(n)*a(n+3)+a(n+1)*a-J.M.贝戈2012年5月22日
一般来说,a(n)*a(n+k)+a(n+1)*a-查理·马里恩2012年9月11日
a(n)*a(n+2)+a(n+1)*a-J.M.贝戈2012年5月22日
三个点(a(n)、a(n+1))、(a(n/1)、a-J.M.贝戈2012年5月23日
a(n)+a(n+k)=(n+k)^2-(k^2+(2n-1)*k-2n)/2。对于k=1,我们得到a(n)+a(n+1)=(n+1)^2(见下文)-查理·马里恩2012年10月2日
在n空间中,我们可以定义一个(n-1)非平凡的正交投影。例如,在3空间中有一个(2)=3(即点对线、点对平面、线对平面)-道格拉斯·拉蒂默2012年12月17日
对于n>=1,a(n)等于半群P_n\S_n的秩(生成集的最小基数)和幂等秩(幂等生成集的极小基数),其中P_n和S_n表示[n]上的分区幺半群和对称群。
对于n>=3,a(n-1)等于半群T_n\S_n的秩和幂等秩,其中T_n和S_n表示[n]上的完全变换半群和对称群。
(结束)
对于n>=3,a(n)等于半群PT_n\S_n的秩和幂等秩,其中PT_n和S_n表示[n]上的部分变换半群和对称群-詹姆斯·伊斯特,2013年1月15日
公式a(n)*a(n+4k+2)/2+a(k)=a(a(n+2k+1)-(k^2+(k+1)^2))是Bergot 2012年5月17日评论中公式a(n*a(n+2)/2=a(a+1)-1的推广-查理·马里恩2013年3月28日
对于奇数m=2k+1,我们有递归a(m*n+k)=m^2*a(n)+a(k)。推论:如果数字T在序列中,那么它就是9*T+1-Lekraj Beedassy公司2013年5月29日
欧拉在歌剧《Postuma》第87节中指出,只要T是三角形数,那么9*T+1、25*T+3、49*T+6和81*T+10也是三角形数。一般来说,如果T是一个三角形数,那么(2*k+1)^2*T+k*(k+1)/2也是一个三角形数-彼得·巴拉,2015年1月5日
使用1/b和1/(b+2)将得到一个边为2*b+2、b^2+2*b和b^2+2*b+2的毕达哥拉斯三角形。设置b=n-1,得到一个边长为2*n、n^2-1和n^2+1的三角形。四分之一周长=a(n),对于n>1-J.M.贝戈2013年7月24日
a(n)=A028896号(n) /6,其中A028896号(n) =s(n)-s(n-1)是s(n,n)=n^3+3*n^2+2*n-8的第一个差。s(n)可以解释为12个边长加上6个面面积加上n个X(n-1)X(n-2)矩形棱镜的体积之和-J.M.贝戈2013年8月13日
A_n型根系中的正根数(对于n>0)-汤姆·埃德加2013年11月5日
对于k=1到n,k的第r次连续求和的公式是二项式(n+r,r+1)[H.W.Gould]-加里·德特利夫斯2014年1月2日
对于n>=3,a(n-2)是1,2,…,的置换数,。。。,n的上(1)-下(0)个元素的分布为0…011(n-3个零),或者相同,a(n-2)是上下系数{n,3}(参见A060351型). -弗拉基米尔·舍维列夫2014年2月14日
a(n)是对称n×n矩阵向量空间的维数-德里克·奥尔2014年3月29日
大小为2的{1,…,n+1}的Sidon子集的数目-卡尔·纳杰菲2014年4月27日
范德蒙德行列式V(x_1,x_2,…,x_n)=乘积_{1<=i<k<=n}x_i-x_k定义中的因子数-汤姆·科普兰2014年4月27日
假设一个袋子包含一个(n)红色大理石和一个(n+1)蓝色大理石,其中a(n)、a(n+1)是连续的三角形数字。然后,对于n>0,随机选择两个弹珠并得到两个红色或两个蓝色的概率为1/2。一般来说,对于k>2,设b(0)=0,b(1)=1,对于n>1,b(n)=(k-1)*b(n-1)-b(n-2)+1。假设,对于n>0,一个袋子包含b(n)个红色大理石和b(n+1)个蓝色大理石。然后随机选择两个弹珠,得到两个红色或两个蓝色的概率为(k-1)/(k+1)。另请参见A027941号,A061278号,A089817号,A053142号,A092521号. -查理·马里恩2014年11月3日
考虑将自然数从集合S=(1,2,3,…,n)分为若干部分。生成序列的签名的长度(顺序)由三角数给出。例如,对于n=10,签名长度为55-大卫·尼尔·麦格拉思2015年5月5日
a(n)将(n-1)个未标记对象的分区计算为三(3)个部分(标记为a、b、c),例如,a(5)=15表示(n-1”=4。这些是(aaaa)、(bbbb)、)、(英国广播公司)、(密件抄送)、(英国电视广播公司)-大卫·尼尔·麦格拉思,2015年5月21日
推测:序列是指数n为代数曲线的正弦螺旋的亏格。值0对应于Bernoulli Lemniscate n=2的情况。所以推测的公式是(n-1)(n-2)/2-沃尔夫冈·廷特曼2015年8月2日
猜想:设m为任意正整数。然后,对于每个n=1,2,3,。。。集合{Sum{k=s..t}1/k^m:1<=s<=t<=n}具有基数a(n)=n*(n+1)/2;换句话说,所有1<=s<=t的和{k=s.t}1/k^m是两两不同的。(我通过计算机检查了这个猜想,没有发现反例。)-孙志伟2015年9月9日
对于n>=1,a(n)是n+4到n个部分的组成数,避免了第2部分-米兰Janjic2016年1月7日
假设您正在玩保加利亚纸牌(请参阅A242424型以及张伯伦和加德纳的书),如果n>0,则从一堆a(n)卡开始。那么,达到固定状态{n,n-1,…,1}所需的操作数是a(n-1)。例如,{6}->{5,1}->{4,2}->{3,2,1}. -查理·马里恩2016年1月14日
每个完美立方体都是两个连续三角形数的平方差。1^2-0^2 = 1^3, 3^2-1^2 = 2^3, 6^2-3^2 = 3^3. -米奎尔·塞尔达2016年6月26日
对于n>1,a(n)=tau_n(k*),其中tau_n(k)是k的有序n分解数,k*是素数的平方。例如,tau_3(4)=tau_3(9)=tau_3(25)=tau _3(49)=6(参见A007425美元)因为4、9、25和49的除数是6,a(3)=6-梅尔文·佩拉尔塔2016年8月29日
对常见的公式a(n)+a(n+1)=(n+1”)^2(2004年2月19日)和a(n”^2+a(n+1)^2=a((n+1+6a(k-1))-查理·马里昂2016年11月27日
a(n)也是具有n+4个顶点的多面体中可能的最大对角线数-弗拉基米尔·莱茨科2016年12月19日
对于n>0,2^5*(二项式(n+1,2))^2表示2*(2*n+1)^2个连续整数之和中的第一个整数,等于(2*n+1)^6-帕特里克·麦克纳布2016年12月25日
不大于n的正整数的有序三元组(a,b,c)的数量,使得a+b+c=2n+1-阿维埃尔·利维2017年2月13日
最多使用n种颜色的不等四面体面着色数,因此没有颜色只出现一次-大卫·纳辛2017年2月22日
a(n)是顶点位于(1,1)、(n+1,n+2)和((n+1)^2,(n+2)^2)的三角形的面积-阿特·贝克,2018年12月6日
对于n>0,a(n)是最小的k>0,因此n除以(1/a(1)+1/a(2)+…+的分子1/a(n-1)+1/k)。应该注意的是,1/1+1/3+1/6+…+2/(n(n+1))=2n/(n+1-托马斯·奥多夫斯基,2019年8月4日
n-齐次超可解线排列中线数的上界(参见Dimca中的定理1.1)-斯特凡诺·斯佩齐亚,2019年10月4日
对于n>0,a(n+1)是边长为n的三角形网格上的格点数量-韦斯利·伊万·赫特2020年8月12日
长度为n的字符串的非空子串的最大数目。
求和集A+A的最大基数,其中A是n个数字的集合。(结束)
a(n)是避免模式123、132和312的大小为n的停车功能的数量-劳拉·普德威尔2023年4月10日
假设平行画出两行,每行由n个均匀间隔的点组成。假设我们在两行的点之间画出直线。对于n>=1,a(n-1)是线之间可能的最大交点数。等价地,[n]置换中的最大反转数-塞拉·弗里德2023年4月18日
以下等式补充了Bala评论(2015年1月5日)中的概括。(2k+1)^2*a(n)+a(k)=a((2k+1*n+k)-查理·马里恩2023年8月28日
a(n)+a(n+k)+a。对于k=1,我们有a(n)+a(n+1)=(n+1”)^2-查理·马里恩2023年11月17日
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参考文献
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A.J.F.Leatherland,乌拉姆螺旋上的三角数,URL=yoyo.cc.monash.edu.au/~bunyip/primes/triangleUlam.htm。截至2019年12月,此链接不起作用,但恢复它将很有意思。在埃里克·魏斯坦的《数学世界》(World of Mathematics)的纸质版和在线版中,在Prime Spiral to Leatherland的条目中有一个参考,a.J.F.“神秘的Prime Spilon现象”,同样有一个不再起作用的URL-N.J.A.斯隆2019年12月13日
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配方奶粉
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a(n)=a(-1-n)。
a(n)=(-1)^n*Sum_{k=1..n}(-1)*k*k^2-贝诺伊特·克洛伊特2002年8月29日
a(n+1)=(n+2)/n)*a(n),和{n>=1}1/a(n=2)-乔恩·佩里2003年7月13日
对于插值零,这是n*(n+2)*(1+(-1)^n)/16-贝诺伊特·克洛伊特2003年8月19日
a(n+1)是n X n对称帕斯卡矩阵M_(i,j)=二项式(i+j+1,i)的行列式-贝诺伊特·克洛伊特2003年8月19日
a(n)=((n+1)^3-n^3-1)/6.-Xavier Acloque,2003年10月24日
a(n)=a(n-1)+(1+sqrt(1+8*a(n-1)))/2。当取平方根的负分支时,此递归关系被反转,即a(n)被转换为a(n-1)而不是a(n+1)-卡尔·R·怀特2003年11月4日
a(n)=a(n-2)+2*n-1-保罗·巴里2004年7月17日
a(n)=平方(sqrt(和{i=1..n}和{j=1.n}(i*j)^3))=(和{i=1..n{和{j=1..n}和_{k=1..n}(i*j))^(1/6)-亚历山大·阿达姆楚克2004年10月26日
如果n是奇数,a(n)==1(mod n+2);如果n是偶数,a-乔恩·佩里2004年12月16日
a(0)=0,a(1)=1,a(n)=2*a(n-1)-a(n-2)+1-米克洛斯·克里斯托夫2005年3月9日
a(n)=地板((2*n+1)^2/8)-保罗·巴里2006年5月29日
a(n)^2+a(n+1)^2=a(n+1^2)[R B Nelsen,《数学杂志》70(2)(1997),第130页]-R.J.马塔尔2006年11月22日
a(n)*a(n+k)+a(n+1)*a。概括了2006年11月22日之前的公式[以及J.M.贝戈日期:2012年5月22日]-查理·马里恩2011年2月4日
(sqrt(8*a(n)+1)-1)/2=n.大卫·W·坎特雷尔(DWCantrell(AT)sigmaxi.net),2007年2月26日
多边形数的一般公式是P(k,n)=(k-2)*(n-1)n/2+n=n+(k-2*A000217号(n-1),对于n>=1,k>=3-奥马尔·波尔2008年4月28日和2013年3月31日
如果我们定义f(n,i,a)=Sum_{j=0..k-1}(二项式(n,k)*Stirling1(n-k,i)*Product_{j=0.0..k-1}(-a-j)),那么当n>=1时,a(n)=-f(n,n-1,1)-米兰Janjic2008年12月20日
4*a(x)+4*a(y)+1=(x+y+1)^2+(x-y)^2-弗拉基米尔·舍维列夫2009年1月21日
该序列逆的指数生成函数由和{m>=0}((Pochhammer(1,m)*Pochhamder(1,m))*x^m/(Pochharmer(3,m)*阶乘(m))=((2-2*x)*log(1-x)+2*x)/x^2给出,其n阶导数具有闭合形式,必须通过将极限取为x->0来计算。A000217号(n+1)=(lim_{x->0}d^n/dx^n((2-2*x)*log(1-x)+2*x)/x^2)+n*(对数(1-x)+对数(-1/(-1+x)))*(-x+1+n))/x^2))^-1-斯蒂芬·克劳利2009年6月28日
偏移量为1时,a(n)=楼层(n^3/(n+1))/2-加里·德特利夫斯2010年2月14日
a(n)=4*a(楼层(n/2))+(-1)^(n+1)*楼层((n+1)/2)-布鲁诺·贝塞利2010年5月23日
a(n)=3*a(n-1)-3*a(n-2)+a(n-3);a(0)=0,a(1)=1-马克·多尔斯2010年8月20日
a(n)+2*a(n-1)+a(n-2)=n^2+(n-1;和
a(n)+3*a(n-1)+3*a(n-2)+a(n-3)=n^2+2*(n-1。
一般来说,对于n>=m>2,求和{k=0..m}二项式(m,m-k)*a(n-k)=求和{k=0..m-1}二项式(m-1,m-1-k)*(n-k)^2。
a(n)-2*a(n-1)+a(n-2)=1,a。
一般来说,对于n>=m>2,求和{k=0..m}(-1)^k*二项式(m,m-k)*a(n-k)=0。
(结束)
对于n>0,a(n)=1/(积分_{x=0.Pi/2}4*(sin(x))^(2*n-1)*(cos(x))^3)-弗朗切斯科·达迪2011年8月2日
(n)+(a(n))+1=a(a(n)+1)-J.M.贝戈2012年4月27日
a(n)*a(n+1)=a(和{m=1..n}A005408号(m) )/2,对于n>=1。例如,如果n=8,则a(8)*a(9)=a(80)/2=1620-伊万·伊纳基耶夫2012年5月27日
通用公式:x*(1+3x+6x^2+…)=x*产品{j>=0}(1+x^(2^j))^3=x*A(x)*A(x^2)*A。。。,其中A(x)=(1+3x+3x^2+x^3)-加里·亚当森2012年6月26日
G.f.:G(0),其中G(k)=1+(2*k+3)*x/(2*k+1-x*(k+2)*(2*k+1)/(x*(k+2)+(k+1)/G(k+1)));(连分数,第3类,3步)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年11月23日
通用公式:x+3*x^2/(Q(0)-3*x)其中Q(k)=1+k*(x+1)+3*x-x*(k+1)*(k+4)/Q(k+1;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年3月14日
a(n)+a(n+1)+a(n+2)+a(n+3)+n=a(2*n+4)-伊万·伊纳基耶夫2013年3月16日
a(n)+a(n+1)+…+a(n+8)+6*n=a(3*n+15)-查理·马里恩2013年3月18日
a(n)+a(n+1)+…+a(n+20)+2*n^2+57*n=a(5*n+55)-查理·马里恩2013年3月18日
当n>0时,3*a(n)+a(n-1)=a(2*n)-伊万·伊纳基耶夫2013年4月5日
一般来说,a(k*n)=(2*k-1)*a(n)+a((k-1)*n-1)-查理·马里恩2015年4月20日
此外,a(k*n)=a(k)*a(n)+a(k-1)*a-罗伯特·伊斯雷尔2015年4月20日
a(n+1)=det(二项式(i+2,j+1),1<=i,j<=n)-米尔恰·梅卡2013年4月6日
a(n)=地板(n/2)+天花板(n^2)=n-地板(n/2)+地板(n^2)-韦斯利·伊万·赫特2013年6月15日
a(n)=楼面((n+1)/(exp(2/(n+1))-1))-理查德·福伯格2013年6月22日
和{n>=1}a(n)/n!=3*exp(1)/2 by the e.g.f.另请参见A067764号关于用这种方法计算的二项式系数的比率-理查德·福伯格2013年7月15日
和{n>=1}(-1)^(n+1)/a(n)=4*log(2)-2=0.7725887-理查德·福伯格2014年8月11日
2/(和{n>=m}1/a(n))=m,对于m>0-理查德·福伯格2014年8月12日
下面是2006年11月22日公式A(n)^2+A(n+1)^2=A(n+1^2)的推广。设T(k,n)=a(n)+k。然后对于所有k,T(k、n)^2+T(k和n+1)^2=T(k(n+1))^2+2*k)-2*k-查理·马里恩2015年12月10日
a(n)^2+a(n+1)^2=a(a(n。可从中推断N.J.A.斯隆a(n)+a(n+1)=(n+1)^2和R.B.Nelson的a(n)^2+a(n+1)^2=a((n+1)^2)-本·保罗·瑟斯顿2015年12月28日
Dirichlet g.f.:(zeta(s-2)+zeta(s-1))/2-伊利亚·古特科夫斯基2016年6月26日
a(n)^2-a(n-1)^2=n^3-米奎尔·塞尔达2016年6月29日
a(n)^2+a(n+3)^2+19=a(n^2+4*n+10)-查理·马里恩2016年11月23日
2*a(n)^2+a(n”)=a(n^2+n)-查理·马里恩2016年11月29日
通用公式:x/(1-x)^3=(x*r(x)*r(x^3)*r,其中r(x)=(1+x+x^2)^3=(1+3*x+6*x^2+7*x^3+6*x^4+3*x^5+x^6)-加里·亚当森2016年12月3日
a(n)=矩阵Q(n)的逆的元素之和,其中Q(n)有元素Q_i,j=1/(1-4*(i-j)^2)。因此,如果e=由1组成的适当大小的向量,那么a(n)=e’。Q(n)^-1.e-迈克尔·尤基什,2017年3月20日
a(n)=和{k=1..n}(2*k-1)*(2*n-2*k-1)!!)/(2*k-2)*(2*n-2*k)!!)-迈克尔·尤基什,2017年3月20日
Sum_{i=0..k-1}a(n+i)=(3*k*n^2+3*n*k^2+k^3-k)/6-克里斯托弗·霍尔2019年2月23日
当n为奇数时,a(n)==0(mod n)(参见De Koninck参考)-伯纳德·肖特2020年1月10日
8*a(k)*a(n)+((a(k。当k=1时,这个公式简化为众所周知的公式8*a(n)+1=(2*n+1)^2-查理·马里恩2020年7月23日
a(k)*a(n)=和{i=0..k-1}(-1)^i*a((k-i)*(n-i))-查理·马里昂2020年12月4日
产品{n>=1}(1+1/a(n))=cosh(sqrt(7)*Pi/2)/(2*Pi)。
产品{n>=2}(1-1/a(n))=1/3。(结束)
a(n)=和{k=1..2*n-1}(-1)^(k+1)*a(k)*a。例如,对于n=4,1*28-3*21+6*15-10*10+15*6-21*3+28*1=10-查理·马里恩2022年3月23日
2*a(n)=A000384号(n) 通常,如果P(k,n)=第n个k次方数,则(j+1)*a(n)=P(5+j,n)-n^2+(j+1-查理·马里恩2023年3月14日
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例子
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总尺寸:x+3*x^2+6*x^3+10*x^4+15*x^5+21*x^6+28*x^7+36*x^8+45*x*9+。。。
当n=3时,a(3)=4*3/2=6。
示例(a(4)=10):ABCD,其中a、B、C和D是链中的不同链接,或是肽中的不同氨基酸可能片段:a、B,C、D、AB、ABC、ABCD、BC、BCD、CD=10。
a(2):冬青树叶落在德川幕府,a(4):毕达哥拉斯四联中的分数,a(5):八球台球中的物体球-Bradley Klee公司2015年8月24日
a(1)=1到a(5)=15个正整数的有序三元组加起来等于n+2(Beeler,McGrath,上文)如下。这些成分按A014311号.
(111) (112) (113) (114) (115)
(121)(122)(123)(124)
(211) (131) (132) (133)
(212) (141) (142)
(221) (213) (151)
(311) (222) (214)
(231) (223)
(312)(232)
(321) (241)
(411) (313)
(322)
(331)
(412)
(421)
(511)
(结束)
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MAPLE公司
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istriangular:=proc(n)局部t1;t1:=楼层(平方米(2*n));如果n=t1*(t1+1)/2,则返回true,否则返回false;结束条件:;结束进程#N.J.A.斯隆2008年5月25日
ZL:=[S,{S=Prod(B,B,B),B=Set(Z,1<=卡)},未标记]:
seq(combstruct[计数](ZL,大小=n),n=2..55)#泽因瓦利·拉霍斯2007年3月24日
isA000217:=进程(n)
issqr(1+8*n);
结束进程:#R.J.马塔尔2015年11月29日[这是Leonhard Euler在1765年《Vollständige Anleitung zur代数》第七章中提出的食谱。彼得·卢什尼2022年9月2日]
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数学
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文件夹列表[#1+#2&,0,范围@50](*罗伯特·威尔逊v2011年2月2日*)
系数列表[级数[x/(1-x)^3,{x,0,50}],x](*文森佐·利班迪2014年7月30日*)
(*对于Mathematica 10.4+*)表[多边形编号[n],{n,0,53}](*阿尔卡迪乌斯·韦索洛夫斯基,2016年8月27日*)
线性递归[{3,-3,1},{0,1,3},54](*罗伯特·威尔逊v2016年12月4日*)
(*以下Mathematica程序由Steven J.Miller提供,用于测试序列是否为Benford。要测试不同的序列,只需更改一行即可。这强烈表明三角形数字不是Benford,因为输出的第二列和第三列不一致-N.J.A.斯隆2017年2月12日*)
fd[x_]:=楼层[10^Mod[Log[10,x],1]]
benfordtest[num_]:=模块[{},
对于[d=1,d<=9,d++,数字[d]=0];
对于[n=1,n<=num,n++,
{
d=fd[n(n+1)/2];
如果[d!=0,数字[d]=数字[d]+1];
}];
对于[d=1,d<=9,d++,数字[d]=1.0数字[d]/num];
对于[d=1,d<=9,d++,
打印[d,“”,100.0位[d],“”、100.0日志[10,(d+1)/d]]];
];
本福德试验[20000]
表[Length[Join@@Permutations/@IntegerPartitions[n,{3}]],{n,0,15}](*古斯·怀斯曼2020年10月28日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)列表(lim)=我的(v=列表(),n,t);而(t=n*n++/2)<=lim,listput(v,t));车辆(v)\\查尔斯·格里特豪斯四世2021年6月18日
(哈斯克尔)
a000217 n=a000217_列表!!n个
a000217_list=扫描1(+)[0..]--莱因哈德·祖姆凯勒,2011年9月23日
(岩浆)[n*(n+1)/2:n英寸[0..60]]//布鲁诺·贝塞利,2014年7月11日
(Magma)[n:n在[0..1500]|IsSquare(8*n+1)]//尤里·斯蒂潘·杰拉西莫夫,2016年4月9日
(弧垂)[n*(n+1)/2表示n in(0..60)]#布鲁诺·贝塞利,2014年7月11日
(Scala)(1至53).左图(0)(_+_)//霍斯特曼(2012),第171页
(Python)对于范围(0,60)中的n:打印(n*(n+1)/2,end=',')#斯特凡诺·斯佩齐亚,2018年12月6日
(Python)#用于计算序列的初始段,而不是
#孤立术语。如果在迭代中,行“x,y=x+y+1,y+1”
#被替换为“x,y=x+y+k,y+k”,然后得到图形数,
#对于k=0(自然A001477号),k=1(三角形),k=2(正方形),k=3(五边形),k=4(六边形)。
定义aList():
x、 y=1,1
产量0
为True时:
收益率x
x、 y=x+y+1,y+1
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000096号,A000124号,A000292号,A000330号,A000396号,A000668号,A001082号,A001788号,A002024年,A002378号,A002415号,A003056美元(反函数),A004526号,A006011号,A007318号,A008953号,A008954号,A010054号(特征函数),A028347号,A036666美元,A046092号,A051942号,A055998号,A055999号,A056000型,A056115号,A056119号,A056121号,A056126号,A062717号,A087475型,A101859号,A109613号,A143320型,210569英镑,A245031型,A245300型,A060544号,A016754号.
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关键词
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非n,核心,容易的,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A000290型
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| 正方形:a(n)=n^2。 (原名M3356 N1350)
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+10 3123
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0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401, 2500
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0.3
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评论
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要测试一个数字是否为正方形,请参阅Cohen,第40页-N.J.A.斯隆2011年6月19日
从n开始,加上下一个数,减去前一个数等等,最后减去a 1:a(n)=n+(n+1)-(n-1)+(n+2)-(n-2)+(n+3)-(2n-1)-1=n^2-阿玛纳斯·穆尔西2004年3月24日
1949年5月6日,EDSAC上有史以来第一个由电子计算机计算的序列(见Renwick链接)-俄罗斯考克斯,2006年4月20日
数k,使得虚二次域Q(sqrt(-k))有四个单位-马克·勒布伦2006年4月12日
如果2集Y和(n-2)集Z是n集X的不相交子集,则(n-2-米兰Janjic2007年9月19日
将a编号为a^1/2+b^1/2=c^1/2和a^2+b=c-西诺·希利亚德,2008年2月7日(此评论需要澄清,乔格·阿恩特2013年9月12日)
n>0时6^(n-1)的除数-J.洛厄尔2008年8月30日
a(n)是总和2^2+2^2+…+的所有分区数2^2,(n-1)次,转换为2的幂-瓦伦丁·巴科耶夫2009年3月3日
a(n)是n X n板中可以“打开”的最大方块数,以便在应用操作后所有方块都“关闭”:在任何2 X 2子板中,如果其他三个方块都关闭,则一个方块从“打开”变为“关闭”-斯里坎思K S2009年6月25日
除了第一项,这个序列是Pi^2/6=1+1/4+1/9+1/16+1/25+1/36+…的分母-穆罕默德·阿扎里安2011年11月1日
Drmota、Mauduit和Rivat证明了沿着正方形的Thue-Morse序列是正常的;看见A228039号. -乔纳森·桑多2013年9月3日
a(n)可以分解为四个数之和[二项式(n,1)+二项式A007318号,或两个数字之和[二项式(n,2)+二项式的(n+1,2)],或这两个数字的差[二项制(n+2,3)-二项式[n,3)]-约翰·莫洛卡赫2013年9月26日
就三角形拼接而言,边长为n的等边三角形内边长为1的等边三角的数量-K.G.斯蒂尔2013年10月30日
B_n和C_n型根系中的正根数(当n>1时)-汤姆·埃德加2013年11月5日
对于n>0,a(n)是最大的整数k,使得k^2+n是k+n的倍数。更一般地说,对于m>0和n>0来说,使k^(2*m)+n是k+n的倍数的最大整数k由k=n^(2*m)给出-德里克·奥尔2014年9月3日
对于n>0,a(n)是n+5到n个部分的组成数,避免了第2部分-米兰Janjic,2016年1月7日
对于n>=3,a(n)也是具有n个顶点的循环图的所有连通子树的数目-维克塔·卡拉奇尼亚,2016年3月2日
在每一个具有偶数个元素的自然连续数序列上,序列的后半部分的总和减去序列的前半部分的总数总是平方。示例:从61到70的序列具有偶数个元素(10)。则61+62+63+64+65=315;66 + 67 + 68 + 69 + 70 = 340; 340 - 315 = 25. (n/2)^2表示n=元素数量-塞萨尔·阿奎莱拉2016年6月20日
在从n^2到(n+1)^2的每一个自然连续数序列上,每一个可能组合中两半元素对的差之和总是(n+1)^2-塞萨尔·阿奎莱拉2016年6月24日
假设两个半径为1的圆彼此相切,并且与不通过切点的直线相切。创建与两个圆以及直线相切的第三个圆。如果继续这个过程,n>0的a(n)是圆半径的倒数,从最大的圆开始-梅尔文·佩拉尔塔2016年8月18日
费曼三角形问题的泛化解的分子,偏移量为2。如果三角形的每个顶点都沿对边与点(1/p)相连(例如顺时针测量),则由这些直线形成的内部三角形的面积等于(p-2)^2/(p^2-p+1)乘以原始三角形的面积,p>2。例如,当p=3时,面积比为1/7。面积比的分母由下式给出A002061号[Cook&Wood,2004年]-乔·马拉斯科2017年2月20日
二项式系数恒等式和{k=0..n}(-1)^(n+k+1)*二项式(n,k)*二项式(n+k,k)x(n-k)=n^2的右端-彼得·巴拉2022年1月12日
猜想:对于n>0,min{k,存在{0,1,2,…,A(n)-1}的子集A,B,使得|A|=|B|=k,并且A+B包含{0,12,2,……,A(n)-1-}}=n-迈克尔·朱2022年3月9日
避免模式132、213、321的n个元素的三次突变数。请参见博尼肯和太阳-米歇尔·马库斯2022年8月20日
2n阶循环拉丁方格中的插入数(奇数阶循环拉丁方没有插入)-爱德华·瓦图丁2024年2月15日
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参考文献
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G.L.Alexanderson等人,《William Lowell Putnam数学竞赛,问题与解决方案:1965-1984》,“1967年12月问题B4(a)”,第8(157)页,MAA Washington DC 1985。
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H.Cohen,《计算代数数论课程》,Springer,1996年,第40页。
E.Deza和M.M.Deza,数字,世界科学出版社(2012),第6页。
M.Gardner,《时间旅行和其他数学困惑》,第6章,第71-2页,W.H.Freeman NY,1988年。
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链接
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配方奶粉
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通用格式:x*(1+x)/(1-x)^3。
例如:exp(x)*(x+x^2)。
Dirichlet g.f.:zeta(s-2)。
a(n)=a(-n)。
所有矩阵元素M(i,j)之和=2*i/(i+j)(i,j=1..n)。a(n)=求和{i=1..n}求和{j=1..n{2*i/(i+j)-亚历山大·阿达姆楚克2004年10月24日
a(0)=0,a(1)=1,a(n)=2*a(n-1)-a(n-2)+2-米克洛斯·克里斯托夫2005年3月9日
a(n)是从1到2×n-1的奇数之和。
a(0)=0,a(1)=1,然后a(n)=a(n-1)+2*n-1。(结束)
[1,3,2,0,0,0,…]的二项式变换-加里·亚当森2007年11月21日
a(n)=二项式(n+1,2)+二项式。
这个序列可以从以下通用公式推导出来(参见。A001286号,A000330号):n*(n+1)**(n+k)*(n+(n+1)+…+(n+k))/(k+2)*(k+1)/2)。实际上,使用算术级数之和的公式(n+(n+1)+…+(n+k))=(2*n+k)*(k+1)/2通式可以改写为:n*(n+1)**(n+k)*(2*n+k)/(k+2)!因此,对于上述k=0,通式退化为n*(2*n+0)/(0+2)=n^2-亚历山大·波沃洛茨基2008年5月18日
根据(4)递推公式a(n+3)=3*a(n+2)-3*a(n+1)+a(n)和a(1)=1,a(2)=4,a(3)=9-阿图尔·贾辛斯基2008年10月21日
递归a(n+3)=3*a(n+2)-3*a(n+1)+a(n)由a(3)中的所有k次序列满足,其中a(0)=0,a(1)=1,a(2)=k-杰姆·奥利弗·拉丰2008年11月18日
a(n)=a(n-1)+a(n-2)-a(n-3)+4,n>2-加里·德特利夫斯2010年9月7日
a(n+1)=Integral_{x>=0}exp(-x)/-格鲁·罗兰2010年12月8日
长度-2序列的欧拉变换[4,-1]-迈克尔·索莫斯2011年2月12日
求和{n>=1}1/a(n)^k=(2*Pi)^k*B_k/(2*k!)=zeta(2*k),Bernoulli数B_k=-1,1/6,1/30,1/42。。。对于k>=0。请参见A019673号,A195055号/10等[Jolley等式319]。
求和{n>=1}(-1)^(n+1)/a(n)^k=2^(k-1)*Pi^k*(1-1/2^(k-1))*B_k/k![Jolley eq 320],B_k如上。
a(2*a(n)+2*n+1)=a(2*1(n)+2*n)+a(2*n+1)-弗拉基米尔·舍维列夫2014年1月24日
a(n+1)=和{t1+2*t2+…+n*tn=n}(-1)^(n+t1+t2+…+tn)*多项式(t1+t2+…+tn,t1,t2,…,tn)*4^(t1)*7^(t2)*8^-米尔恰·梅卡2014年2月27日
a(n)=楼层(1/(1-cos(1/n)))/2=楼层(1/1(1-n*sin(1/n,)))/6,n>0-克拉克·金伯利2014年10月8日
a(n)=上限(总和{k>=1}log(k)/k^(1+1/n))=-Zeta'[1+1/n]。因此,对k应用任何大于1的指数都会产生收敛。分数部分从A073002型=0.93754…当n=1时,缓慢收敛到0.9271841545163232…对于大n-理查德·福伯格2014年12月24日
a(n)=总和{j=1..n}总和{i=1..nneneneep上限((i+j-n+1)/3)-韦斯利·伊万·赫特2015年3月12日
a(n)=产品{j=1..n-1}2-2*cos(2*j*Pi/n)-米歇尔·马库斯2015年7月24日
产品{n>=1}(1+1/a(n))=sinh(Pi)/Pi=A156648号.
求和{n>=0}1/a(n!)=BesselI(0,2)=A070910型.(结束)
a(n)=总和{i=1..2*n-1}上限(n-i/2)-斯特凡诺·斯佩齐亚2021年4月16日
a(n)=总和{k=1..n}psi(n/gcd(n,k))。
a(n)=总和{k=1..n}psi(gcd(n,k))*φ。
a(n)=总和{k=1..n}σ_2(n/gcd(n,k))*mu(gcd(n,k))/phi(n/gccd(n、k))。
a(n)=总和{k=1..n}σ_2(gcd(n,k))*mu(n/gcd(n,k))/phi(n/gcd(n、k))。(结束)
a(n)=和{k=1..n}σ_1(k)+和{i=1..n{(n模i)-瓦迪姆·卡塔耶夫2022年12月7日
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例子
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对于n=8,a(8)=8*15-(1+3+5+7+9+11+13)-7=8*15-49-7=64-布鲁诺·贝塞利2010年5月4日
G.f.=x+4*x^2+9*x^3+16*x^4+25*x^5+36*x^6+49*x^7+64*x^8+81*x^9+。。。
a(4)=16。对于n=4个顶点,循环图C4是A-B-C-D-A。子树是:4个单根:A,B,C,D;4对:A-B、BC、C-D、A-D;4个三元组:A-B-C、B-C-D、C-D-A、D-A-B;4个四边形:A-B-C-D、B-C-D-A、C-D-A-B、D-A-B-C;4 + 4 + 4 + 4 = 16. -维克塔·卡拉奇尼亚,2016年3月2日
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MAPLE公司
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数学
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线性递归[{3,-3,1},{0,1,4},60](*文森佐·利班迪2015年7月24日*)
系数列表[级数[-(x^2+x)/(x-1)^3,{x,0,50}],x](*罗伯特·威尔逊v2018年7月23日*)
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黄体脂酮素
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(岩浆)[n^2:n英寸[0..1000]];
(PARI){a(n)=n^2};
(PARI)b000290(maxn)=用于(n=0,maxn,打印(n,“”,n^2);)\\安纳托利·沃埃武德科2015年11月11日
(哈斯克尔)
a000290=(^2)
a000290_list=扫描(+)0[1,3..]--莱因哈德·祖姆凯勒2012年4月6日
(Scala)(0到59).map(n=>n*n)//阿隆索·德尔·阿特,2019年10月7日
(Python)#请参阅Hobson链接
(Python)
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交叉参考
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囊性纤维变性。A092205号,A128200个,A005408号,A128201型,A002522号,A005563号,A008865号,A059100型,A143051号,A143470型,A143595号,A056944号,A001157号(逆Möbius变换),A001788号(二项式变换),A228039号,A001105号,A004159号,159918英镑,A173277号,A095794号,A162395号,A186646号(皮萨诺时期),A028338号(第二对角线)。
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关键词
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非n,核心,容易的,美好的,多重
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作者
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扩展
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