搜索: a005554-编号:a005554
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1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54, 81, 102, 126, 162, 189, 243, 369, 486, 567, 729, 1071, 1134, 1323, 1458, 1462, 1539, 2187, 2538, 2889, 3213, 4374, 4617, 6561, 7749, 8262, 8667, 13122, 14238, 15498, 19683, 24786, 27702, 28994, 32319, 34263, 39366, 40838
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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数学
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s={1,2};k1=1;k2=2;Do[k3=(2*n*k2+(3*n-9)*k1)/(n+1);如果[Divisible[k3,n],AppendTo[s,n]];k1=k2;k2=k3,{n,342000}];秒(*阿米拉姆·埃尔达尔2022年6月28日*)
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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0, 1, 3, 8, 22, 64, 196, 625, 2055, 6917, 23713, 82499, 290511, 1033411, 3707851, 13402696, 48760366, 178405156, 656043856, 2423307046, 8987427466, 33453694486, 124936258126, 467995871776, 1757900019100
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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在所有具有n+1个边的有序树中,从根开始的路径数(路径是一个非空树,没有大于1的顶点)。例如:a(2)=8,因为有三条边的五棵树总共有1+0+2+2+3=8条路径从根部垂下-Emeric Deutsch公司2002年10月20日
a(n)是所有Dyck(n+1)路径上的平均最大金字塔大小之和。此外,a(n)=所有Dyck(n+1)路径上的平均最大锯齿尺寸之和。Dyck路径中的金字塔(对应锯齿)是形式为U^k D^k(对应(UD)^k)的子路径,k>=1,k是其大小。例如,Dyck路径uUUDD|UD|UDdUUDD中的最大金字塔由大写字母表示(并由竖线分隔)。它们的大小从左到右为2,1,1,2,路径的平均最大金字塔大小为6/4=3/2。此外,该路径的平均最大锯齿尺寸为(1+2+1)/3=4/3-大卫·卡伦2006年6月7日
p^2除以素数p>3的a(p^2-1)。p^2除以素数p=7,13,19,…的a(p^3-1),。。。素数p的形式为p=6k+1-亚历山大·阿达姆楚克2006年7月3日
a(n)是避开模式132、213和231的大小为n的停车功能的数量-劳拉·普德威尔2023年4月10日
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链接
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阿约米昆·阿德尼兰(Ayomikun Adeniran)和劳拉·普德威尔(Lara Pudwell),停车功能中的模式避免,枚举器。梳子。申请。3:3(2023),第S2R17条。
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配方奶粉
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G.f.:(1-2*x-sqrt(1-4x))/(2x(1-x))=(C(x)-1)/(1-xRocio Blanco,2007年4月2日
递归D-有限:(n+1)*a(n)+(1-5n)*a-R.J.马塔尔2011年12月14日
G.f.:1/x-G(0)/(1-x)/x,其中G(k)=1-x/(1-x/(1-x/(1-x/G(k+1))));(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年7月17日
G.f.:1/x-T(0)/(2*x*(1-x)),其中T(k)=2*xx*(2*k+1)+k+2-2*x*(k+2)*(2*k+3)/T(k+1));(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年11月27日
a(n)~2^(2*n+2)/(3*sqrt(Pi)*n^(3/2))-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年12月10日
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MAPLE公司
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a: =n->总和((二项式(2*j,j)/(j+1)),j=1..n):seq(a(n),n=0..24)#零入侵拉霍斯2006年12月1日
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数学
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表[和[(2k)!/k!/(k+1)!,{k,1,n}],{n,1,70}](*亚历山大·阿达姆楚克2006年7月3日*)
联接[{0},累加[CatalanNumber[Range[30]]](*哈维·P·戴尔2013年1月25日*)
系数列表[级数[(1-2x-(1-4x)^(1/2))/(2x(1-x))),{x,0,40}],x](*文森佐·利班迪2015年6月21日*)
a[0]:=0;a[n_]:=总和[CatalanNumber[k],{k,1,n}];表[a[n],{n,0,50}](*G.C.格鲁贝尔2017年1月14日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)Vec((1-2*x-(1-4*x)^(1/2))/(2*x*(1-x))\\查尔斯·格里特豪斯四世2011年2月11日
(哈斯克尔)
a014138 n=a014138_列表!!n个
a014138_list=扫描1(+)a000108_list--莱因哈德·祖姆凯勒2013年3月1日
(Python)
来自未来进口部
对于范围(1,10**2)中的n:
s+=b
b=b*(4*n+2)//(n+2#柴华武2016年1月28日
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交叉参考
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关键词
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非n,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A333093型
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| a(n)是c(x)^n的n阶泰勒多项式(以0为中心),在x=1时求值,其中c(x)=(1-sqrt(1-4*x))/(2*x)是加泰罗尼亚数的o.g.fA000108号. |
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+10 11
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1, 2, 8, 41, 232, 1377, 8399, 52138, 327656, 2077934, 13270633, 85226594, 549837391, 3560702069, 23132584742, 150695482041, 984021596136, 6438849555963, 42208999230224, 277144740254566, 1822379123910857, 11998811140766701, 79095365076843134
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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序列满足Gauss同余:对于所有素数p和正整数n和k,a(n*p^k)==a(n*p^(k-1))(modp ^k)。
我们猜想,对于素数p>=5和正整数n和k,序列满足更强的同余a(n*p^k)==a(n*p^(k-1))(mod p ^(3*k))。这些同余的例子如下所示。
更一般地,对于每个整数m,我们推测序列
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链接
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配方奶粉
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对于n>=1,a(n)=和{k=0..n}n/(n+k)*二项式(n+2*k-1,k)。
O.g.f.:(1+x*f'(x)/f(x))/(1-x*f(x)(1/x)*还原(x/c(x))是A001764号.
属于Riordan组的Hitting time子组的Riordan数组(1+x*f'(x)/f(x),x*f(x))的行和。
a(n)~3^(3*n+3/2)/(7*sqrt(Pi*n)*2^(2*n+1))-瓦茨拉夫·科特索维奇2020年3月28日
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例子
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c(x)^n的n阶泰勒多项式:
n=0:c(x)^0=1+O(x)
n=1:c(x)^1=1+x+O(x^2)
n=2:c(x)^2=1+2*x+5*x^2+O(x^3)
n=3:c(x)^3=1+3*x+9*x^2+28*x^3+O(x^4)
n=4:c(x)^4=1+4*x+14*x^2+48*x^3+165*x^4+O(x^5)
设置x=1给出a(0)=1,a(1)=1+1=2,a(2)=1+2+5=8,a(3)=1+3+9+28=41和a(4)=1+4+14+48+165=232。
c(x)^n,n>=0的n阶泰勒多项式的系数三角形以x的降幂开始
行总和
n=0 |1 1
n=1 | 1 1 2
n=2 | 5 2 1 8
n=3 | 28 9 3 1 41
n=4 | 165 48 14 4 1 232
...
这是属于Riordan组的Hitting time子组的Riordan数组。第一列序列[1,1,5,28,165,…]=[x^n]c(x)^n=A025174号(n) ●●●●。
同余示例:
a(13)-a(1)=3560702069-2=(3^2)*(13^3)*31*37*157==0(13 ^3模)。
a(3*7)-a(3)=11998811140766701-41=(2^2)*5*(7^4)*32213*7756841==0(修改后的7^3)。
a(5^2)-a(5)=22794614296746579502-1377=(5^6)*7*53*6491*605796421==0(修改后的5^6版本)。
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MAPLE公司
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seq(加上(n/(n+k)*二项式(n+2*k-1,k),k=0..n),n=1..25);
#替代方案
c: =x->(1/2)*(1平方米(1-4*x))/x:
G:=(x,n)->系列(c(x)^n,x,51):
seq(加上(系数(G(x,n),x,n-k),k=0..n),n=0..25);
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数学
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表[级数系数[(1+x)^2*(1-Sqrt[(1-3*x)/(1+x)])/(2*x))^n,{x,0,n}],{n,0,25}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2020年3月28日*)
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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1, 0, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 3, 5, 3, 4, 6, 9, 14, 6, 9, 13, 19, 28, 42, 15, 21, 30, 43, 62, 90, 132, 36, 51, 72, 102, 145, 207, 297, 429, 91, 127, 178, 250, 352, 497, 704, 1001, 1430, 232, 323, 450, 628, 878, 1230, 1727, 2431, 3432, 4862, 603, 835, 1158, 1608, 2236, 3114
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0.6
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链接
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梅周生、王随杰、,广义置换的模式避免,arXiv:1804.06265【math.CO】,2018年。
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配方奶粉
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T(n,k)=(-1)^(n-k)*二项式(2*k,k)/(k+1)*超几何([k-n,k+1/2],[k+2],4)-彼得·卢什尼2012年8月16日
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例子
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阵列启动:
1 1 2 5 14 42 132 429
0 1 3 9 28 90 297 1001
1 2 6 19 62 207 704 2431
1 4 13 43 145 497 1727 6071
3 9 30 102 352 1230 4344 15483
6 21 72 250 878 3114 11139 40143
15 51 178 628 2236 8025 29004 105477
36 127 450 1608 5789 20979 76473 280221
91 323 1158 4181 15190 55494 203748 751422
232 835 3023 11009 40304 148254 547674 2031054
603 2188 7986 29295 107950 399420 1483380 5527750
三角形开始:
1;
0, 1;
1, 1, 2;
1, 2, 3, 5;
3, 4, 6, 9, 14;
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MAPLE公司
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T:=(n,k)->(-1)^(n-k)*二项式(2*k,k)*超几何([k-n,k+1/2],[k+2],4)/(k+1):seq(seq(简化(T(n,k)),k=0..n),n=0..10);
#彼得·卢什尼,2012年8月16日,2021年5月25日更新
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数学
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最大值=11;t=表[差异[表[目录编号[k],{k,0,max}],n],{n,0,最大}];扁平[表[t[[n-k+1,k]],{n,1,max},{k,1,n}]](*Jean-François Alcover公司2011年11月15日*)
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黄体脂酮素
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(鼠尾草)
定义T(n,k):
如果k>n:返回0
如果n==k:返回二项式(2*n,n)/(n+1)
返回T(n-1,k)-T(n,k+1)
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交叉参考
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关键词
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作者
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扩展
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Larry Reeves(larryr(AT)acm.org)提供的更多术语,2001年2月16日
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状态
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经核准的
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0, 2, 10, 12, 44, 50, 52, 178, 180, 204, 210, 216, 228, 716, 722, 728, 740, 818, 820, 844, 866, 868, 872, 914, 920, 932, 2866, 2868, 2892, 2914, 2916, 2920, 2962, 2968, 2980, 3276, 3282, 3288, 3300, 3378, 3380, 3468, 3474, 3480, 3490, 3492, 3504, 3528, 3660
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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Donaghey(在他的论文第82页上)将分支减少的锯齿树定义为那些不包含长于单边分支的锯齿树,其中一个分支是一组倾斜到同一方向的最大连接边,中间没有垂直边。这些构成了自同构的原始元素A057505号/A057506号.
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链接
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配方奶粉
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A026269号
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| a(n)=(s(0),s(1)。。。,s(n)),使得每个s(i)是一个非负整数,s(0)=0=s(n),s(1)=1,对于i>=2,|s(i。此外,a(n)=T(n,n)和a(n)=Sum{T(k,k-1)},k=1,2,。。。,n、 其中T是数组A026268号. |
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+10 4
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1, 2, 4, 10, 25, 64, 166, 436, 1157, 3098, 8360, 22714, 62086, 170614, 471096, 1306374, 3636708, 10159590, 28473132, 80032638, 225562929, 637301652, 1804751718, 5121677512, 14563448593, 41487279622, 118389089432, 338381552294, 968627180975
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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2,2
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评论
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链接
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配方奶粉
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通用:4z^2(1-z^2)/[1-z+sqrt(1-2z-3z^ 2)]^2。
递归D-有限(n+2)*a(n)+(-3*n-1)*a-R.J.马塔尔2013年6月10日
a(n)~8*3^(n-3/2)/(平方(Pi)*n^(3/2))-瓦茨拉夫·科特索维奇2014年2月12日
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数学
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删除[系数列表[系列[4x^2(1-x^2)/(1-x+Sqrt[1-2x-3x^2])^2,{x,0,30}],x],2](*哈维·P·戴尔,2011年5月5日*)
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 3, 3, 1, 4, 6, 6, 4, 1, 9, 13, 13, 10, 5, 1, 21, 30, 30, 24, 15, 6, 1, 51, 72, 72, 59, 40, 21, 7, 1, 127, 178, 178, 148, 105, 62, 28, 8, 1, 323, 450, 450, 378, 276, 174, 91, 36, 9, 1, 835, 1158, 1158, 980, 730, 480, 273, 128, 45, 10, 1, 2188, 3023, 3023
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,5
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评论
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k列具有g.f.:z^k(1+zM)^(k+1)。
T(n-1,k)是在水平轴上具有k个点(除了第一个和最后一个点)的长度为n的Motzkin路径的数量。例如,T(1,0)=1计算具有2个台阶的路径UD,而y=0轴没有中间拦截,T(1,1)=1统计具有2个阶梯的路径FF,停留在y=0的轴上-R.J.马塔尔2017年7月23日
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链接
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M.Aigner,莫兹金数,欧洲。J.库姆。19 (1998), 663-675.
J.-C.Novelli和J.-Y.Thibon,非交换对称函数与拉格朗日反演,arXiv:math/0512570[math.CO],2005-2006。
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配方奶粉
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G.f.:(1+zM)/(1-tz(1+zM)),其中M=1+zM+z^2M^2是Motzkin数的G.f(A001006号).
T(n,m)=(m*(和{k=1..n-m}k*(-1)^(n+m+k)*二项式(n+k-1,n-1)*和{j=0..n-m}二项式-弗拉基米尔·克鲁奇宁,2012年8月20日
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例子
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三角形开始:
1;
1, 1;
1, 2, 1;
2, 3, 3, 1;
4, 6, 6, 4, 1;
9, 13, 13, 10, 5, 1;
21, 30, 30, 24, 15, 6, 1;
...
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数学
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T[n_,m_]:=如果[n==m,1,(-1)^m(m和[k(-1),^(n+k)二项式[n+k-1,n-1]和[二项式[j,-n+m-k+2j]二项式(n-m,j],{j,0,n-m}],{k,1,n-m{])/(n(n-m))];
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黄体脂酮素
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(极大值)T(n,m):=如果n=m,则1其他(-1)^m*(m*总和(k*(-1))^(n+k)*二项式(n+k-1,n-1)*总和/*弗拉基米尔·克鲁奇宁2012年8月20日*/
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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1, 3, 7, 17, 42, 106, 272, 708, 1865, 4963, 13323, 36037, 98123, 268737, 739833, 2046207, 5682915, 15842505, 44315637, 124348275, 349911204, 987212856, 2791964574, 7913642086, 22477090679, 63964370301, 182353459733, 520735012027, 1489362193002, 4266018891562, 12236183875496, 35142703099692, 101055137177563
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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链接
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配方奶粉
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总面积:(4*x*(1+x))/(1-x+平方(1-2*x-3*x^2))^2。
a(n)=(1/n)*和{j=0..n}((二项式(j,n-1-j)+4*二项式-弗拉基米尔·克鲁奇宁,2016年3月8日
a(n)~4*3^(n+1/2)/(sqrt(Pi)*n^(3/2))-瓦茨拉夫·科特索维奇2016年3月8日
递归D-有限(n+3)*a(n)+(-3*n-5)*a-R.J.马塔尔2021年11月1日
a(n)=和{k=0..n}(-1)^(n-k)*二项式(n,k)*A002057号(k) ●●●●。
G.f.:x/(1+x)*c(x/(l+x))^4,其中c(x)=(1-sqrt(1-4*x))/(2*x)是加泰罗尼亚数字的G.fA000108号.(结束)
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数学
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系数列表[级数[(4x(1+x))/(1-x+Sqrt[1-2x-3x^2])^2,{x,0,40}],x](*哈维·P·戴尔2013年2月26日*)
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黄体脂酮素
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(最大值)
a(n):=1/n*和((二项式(j,n-1-j)+4*二项式/*弗拉基米尔·克鲁奇宁2016年3月8日*/
(PARI)z='z+O('z^66);Vec(4*z*(1+z)/(1-z+平方(1-2*z-3*z^2))^2)\\乔格·阿恩特2016年3月8日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A247364号
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| Riordan数组(f(x),(f(x)-1)/f(x)),其中f(x=(1+x-sqrt(1-2x-3x^2))/(2*x)。 |
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+10 2
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1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 4, 4, 3, 1, 1, 9, 9, 6, 4, 1, 1, 21, 21, 15, 8, 5, 1, 1, 51, 51, 36, 22, 10, 6, 1, 1, 127, 127, 91, 54, 30, 12, 7, 1, 1, 323, 323, 232, 142, 75, 39, 14, 8, 1, 1, 835, 835, 603, 370, 205, 99, 49, 16, 9, 1, 1, 2188, 2188, 1585, 983
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,7
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评论
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链接
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配方奶粉
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例子
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三角形开始:
1
1、1
1, 1, 1
2, 2, 1, 1
4, 4, 3, 1, 1
9, 9, 6, 4, 1, 1
21, 21, 15, 8, 5, 1, 1
51, 51, 36, 22, 10, 6, 1, 1
生产矩阵开始:
1、1
0, 0, 1
1, 1, 0, 1
1, 1, 1, 0, 1
1, 1, 1, 1, 0, 1
1, 1, 1, 1, 1, 0, 1
1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1
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黄体脂酮素
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(哈斯克尔)
a247364 n k=a247364_tabl!!不!!k个
a247364行n=a247364_tabl!!n个
a247364_tabl=[1]:(地图背面为a034928_tabf)
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 3, 2, 1, 4, 6, 6, 4, 1, 5, 10, 13, 13, 9, 1, 6, 15, 24, 30, 30, 21, 1, 7, 21, 40, 59, 72, 72, 51, 1, 8, 28, 62, 105, 148, 178, 178, 127, 1, 9, 36, 91, 174, 276, 378, 450, 450, 323, 1, 10, 45, 128, 273, 480, 730, 980, 1158, 1158, 835, 1, 11, 55, 174, 410, 791
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,5
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评论
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参考文献
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M.Aigner,Motzkin numbers,欧洲。J.库姆。19 (1998), 663-675.
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链接
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配方奶粉
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G.f.=2(1+tz)/[1-2z+tz-2tz^2+sqrt(1-2tz-3t^2*z^2)]。
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例子
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三角形开始:
[1],
[1, 1],
[1, 2, 1],
[1, 3, 3, 2],
[1, 4, 6, 6, 4],
[1, 5, 10, 13, 13, 9],
[1, 6, 15, 24, 30, 30, 21],
[1, 7, 21, 40, 59, 72, 72, 51]
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交叉参考
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关键词
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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