搜索： a004301-编号：a004301
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1, 1, 2, 1, 8, 6, 1, 22, 58, 24, 1, 52, 328, 444, 120, 1, 114, 1452, 4400, 3708, 720, 1, 240, 5610, 32120, 58140, 33984, 5040, 1, 494, 19950, 195800, 644020, 785304, 341136, 40320, 1, 1004, 67260, 1062500, 5765500, 12440064, 11026296, 3733920, 362880
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,3
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评论
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二阶欧拉数<<n，k>>=T（n，k+1）计算具有k个上升点的多集{1,1,2,2，…，n，n}的置换，限制条件是对于所有m，m的两个副本之间的所有整数都小于m。特别是，这两个1s总是相邻的。
斯特林2（n，n-k）=和{m=0..k-1}T（k，m+1）*二项式（n+k-1+m，2*k），k>=1。参见Graham等人参考第271页等式（6.43）。
该三角形是斯特林2三角形第k对角线（k>=1）的o.g.f.中出现的分子多项式的系数三角形A048993号.
k列的o.g.f.满足递归g（k，x）=x*（2*x*（d/dx）g（k-1，x）+（2-k）*g-沃尔夫迪特·朗2005年10月14日
这个三角形在某种意义上是由微分方程y'=1-2/（1+x+y）生成的。（这是隐式定义为x+y=exp（x-y）的函数所满足的微分方程。）如果我们取y=a（0）+a（1）x+a（2）x ^2+a（3）x ^3+。。。假设a（0）=c，那么所有的a都可以用c形式化地计算，我们有a（1）=（c-1）/（c+1），对于n>1，a（n）=2^n/n！（1+c）^（1-2n）（T（n，1）c-T（n（-1）^（n-1）T（n，n）c^n）-莫西·什穆埃尔·纽曼，2007年8月8日
根据递推关系，生成函数F（x，y）：=1+Sum_{n>=1，1<=k<=n}[T（n，k）x^n/n！*y^k]满足偏微分方程F=（1/y-2x）Fx+（y-1）F_y，其中（非初等）解F（x、y）=（1-y）/（1-Phi（w）），其中w=y*exp（x（y-1。通过拉格朗日反演（见威尔夫的书《生成功能学》，第168页，例1），Phi（x）=Sum_{n>=1}n^（n-1）*x^n/n！。因此，Phi（x）也可以描述为n个顶点上有根标记树的示例fA000169号. -大卫·卡伦2008年7月25日
Klazar参考文献（见第207-208页）中描述了求解PDE的方法，如F（x，y）的上述方法。在这种情况下，辅助ODE dy/dx=b（x，y）/a（x，y）是精确的；在这种情况下，它并不精确，但有一个仅依赖于y的积分因子，即y-1。行总和的示例fA001147号是1/sqrt（1-2*x），F（x，1）=1/sqrt（1-2*x）的证明很有趣：l'Hopital规则对lim_{y->1}F（x、y）的两个应用产生F（x）=1/（1-2x）*1/F（x，l）。因此，l’Hopital法则并不会直接产生F（x，1），而是产生一个要为F（x、1）！求解的方程-大卫·卡伦2008年7月25日
发件人汤姆·科普兰2008年10月12日；2010年5月19日：（开始）
设P（0，t）=0，P（1，t）=1，P（2，t）=t，P（3，t）=2t+2t^2，P（4，t）=3t+8t^2+6t^3。。。是当前数组的行多项式，则
exp（x*P（.，t））=（u+树（t*exp（u）））/（1-t）=WD（x*（1-t
还应注意P（4，t）/（1-t）^3=Ward Poly（4，t/（1-tA093500型.
f（x，t）=exp（P（.，t）*x）关于x=0的成分逆是
g（x，t）=（x-（t/（1-t）^2）*（exp（x*（1-t
=x-t*x^2/2！-t*（1-t）*x^3/3！-t*（1-t）^2*x^4/4！-t*（1-t）^3*x^5/5！-。
设h（x，t）=1/（1-（t/（1-t））*（exp（x*（1-t））-1），例如，对于t中的行多项式A008292号，则表的t中的第n行多项式A008517号由（h（x，t）*D_x）^（n+1））x给出，导数在x=0处求值。
此外，df（x，t）/dx=hA008517号，即Copeland 2008年评论中的exp（x*P（.，t））。（结束）
前WDVV环的Hilbert级数，从而得到Whitehouse单形复数的h向量（参见Readdy，表1）-汤姆·科普兰2014年9月20日
出现在Buckholtz对exp（nz）序列中误差项的分析中-N.J.A.斯隆2016年7月5日
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参考文献
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R.L.Graham、D.E.Knuth和O.Patashnik，《混凝土数学》，第二版，Addison-Wesley，Reading，MA，1994年，第270页。[偏移[0,0]：参见A201637号]
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链接
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J.Fernando Barbero G.、Jesüs Salas和Eduardo J.s.Villaseñor，一类线性递归的二元生成函数。一、总体结构，arXiv:1307.2010[math.CO]，2013年。
J.F.Barbero G.、J.Salas和E.J.S.Villaseñor，一类线性递归的二元生成函数。二、。应用，arXiv预印本arXiv:1307.5624[math.CO]，2013。
J.Fernando Barbero G.、Jesüs Salas和Eduardo J.s.Villaseñor，广义斯特林排列与森林：高阶欧拉数和沃德数，《组合数学电子杂志》22（3）（2015），#P3.37。
F.Bergeron，Ph.Flajolet和B.Salvy，增加树木的种类《计算机科学讲义》第581卷，J.-C.Raoult编辑，Springer（1992），第24-48页。
J.D.Buckholtz，关于Copson的近似，程序。阿默尔。数学。《社会学杂志》，14（1963），564-568。
Naiomi T.Cameron和Kendra Killpatrick，线性弦图统计，arXiv:1902.09021[math.CO]，2019年。
L.Carlitz，渐近展开式中的系数，程序。阿默尔。数学。《社会分类》第16卷（1965年）第248-252页。
Sen-Peng Eu、Dong-Shan Fu和Yeh-Jong Pan，simsun排列的精细符号平衡，欧洲药典。36 (2014) 97-109
I.Gessel和R.P.Stanley，斯特林多项式，J.Combin.理论，A 24（1978），24-33。
M.Klazar，有根的梧桐树的12个计数《欧洲组合数学杂志》18（1997），195-210；附录，18（1997），739-740。
Grzegorz Rzadkowski和M Urlinska，欧拉数的推广，arXiv预印arXiv:1612.066352016
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配方奶粉
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如果n<k，T（1,1）=1，T（n，-1）=0，T（n，k）=k*T（n-1，k）+（2*n-k）*T（n-1，k-1），则T（n、k）=0。
a（n，m）=和{k=0..n-m}（-1）^（n+k）*二项式（2*n+1，k）*斯特林1（2*n-m-k+1，n-m-k/1）-约翰内斯·梅耶尔2009年10月16日
对于k=0,1,2，。。。放G（k，x，t）：=x-。。。。然后，G（k，x，t）关于x的级数倒转给出了当k=1时当前表和欧拉数的一个例子fA008292号当k=0时。
设v=-t*exp（（1-t）^2*x-t），设B（x，t）=-（1+1/t*LambertW（v））/（1+LambertWv））。从Copeland给出的例子f.中，我们发现B（x，t）=g（1，x，t）的x的组成逆=Sum_{n>=1}R（n，t）*x^n/n！=x+（1+2*t）*x^2/2+（1+8*t+6*t^2）*x^3/3！+。。。。函数B（x，t）满足微分方程dB/dx=（1+B）*（1+t*B）^2=1+（2*t+1）*B+t*（t+2）*B^2+t^2*B^3。
应用[Bergeron等人，定理1]对行生成多项式R（n，t）：R（n、t）计数平面递增树给出了组合解释，其中每个顶点的出度<=3，出度1的顶点为2*t+1颜色，出度2的顶点为t*（t+2）颜色，出级3的顶点为t ^2颜色。下面给出了一个示例。囊性纤维变性。A008292号应用[Dominici，定理4.1]给出了计算行多项式R（n，t）的以下方法：设f（x，t）=（1+x）*（1+t*x）^2，设D是算子f（x、t）*D/dx。然后R（n+1，t）=D^n（f（x，t）），在x=0时计算。（结束）
a（n，k）=Sum_{i=0..k}（-1）^（k-i）二项式（n-i，k-i）113491英镑（n，i），偏移量0。
P（n+1，t）=（1-t）^（2n+1）和{k>=1}k^（n+k）[t*exp（-t）]^k/k！对于n>0；因此，求和（k>=1}（-1）^kk^（n+k）x^k/k！=[1+LW（x）]^（-（2n+1））P[n+1，-LW（x。（结束）
例如，f.A（x，t）=-v*{Sum_{j>=1}D（j-1，u）（-z）^j/j！}其中u=x*（1-t）^2-t，v=（1+u）/（1-tA042977号.dA（x，t）/dx=（1-t）/[1+u-（1-t-汤姆·科普兰2011年10月6日
A133314号应用于A（x，t）的导数意味着（A.+b.）^n=0^n，对于（b_n）=P（n+1，t）和（A_0）=1，（A_1）=-t，以及（A_n）=-P（n，t），否则。例如，本影，（a.+b.）^2=a_2*b_0+2a_1*b_1+a_0*b_2=0-汤姆·科普兰2011年10月8日
y=y（t；x）=（x-t*（exp（x）-1））的组成逆（相对于x）是1/（1-t）*y+t/（1-t^3*y^2/2！+（t+2*t^2）/（1-t）^5*y^3/3！+（t+8*t^2+6*t^3）/（1-t）^7*y^4/4！+。。。。t中有理函数的分子多项式就是这个三角形的行多项式。如评论部分所述，t中的有理函数是第二类斯特林数三角形对角线的生成函数(A048993号). 请参阅Bala链接以获取证据。囊性纤维变性。A112007号和113491英镑. -彼得·巴拉2011年12月4日
第n行的O.g.f:（1-x）^（2*n+1）*Sum_{k>=0}k^（n+k）*exp（-k*x）*x^k/k-保罗·D·汉纳2012年10月31日
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例子
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三角形开始：
1;
1, 2;
1, 8, 6;
1, 22, 58, 24;
1, 52, 328, 444, 120; ...
第3行：在3个顶点上有三个增加0-1-2-3树的平面。颜色的数量显示在顶点的右侧。
.
1 o（2*t+1）1 o t*（t+2）1 o t*（t＋2）
| / \ / \
| / \ / \
2o（2*t+1）2o3o3o2o
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3个
.
树的总数是（2*t+1）^2+t*（t+2）+t*。
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MAPLE公司
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使用（组合）：A008517号：=进程（n，m）局部k：加法（（-1）^（n+k）*二项式（2*n+1，k）*stirling1（2*n-m-k+1，n-m-k/1），k=0..n-m）结束：seq（seq(A008517号（n，m），m=1..n），n=1..8）；
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数学
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a[n_，m_]=和[（-1）^（n+k）*二项式[2n+1，k]*StirlingS1[2n-m-k+1，n-m-k+1]，{k，0，n-m}]；扁平[表[a[n，m]，{n，1，9}，{m，1，n}][[1；；44]](*Jean-François Alcover公司2011年5月18日之后约翰内斯·梅耶尔*)
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黄体脂酮素
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（PARI）{T（n，k）=my（z）；如果（n<1，0，z=1+O（x）；对于（k=1，n，z=1+整数（z^2*（z+y-1））；n！*polcoeff（z，n），k））}/*迈克尔·索莫斯2002年10月13日*/
（PARI）{T（n，k）=polceoff（（1-x）^（2*n+1）*和（j=0，2*n+1,j^（n+j）*x^j/j！*exp（-j*x+x*O（x^k））），k）}\\保罗·D·汉纳2012年10月31日
对于（n=1,10，对于（k=1，n，print1（T（n，k），“，”））；打印（“”）
（PARI）T（n，m）=总和（k=0，n-m，（-1）^（n+k）*二项式（2*n+1，k）*斯特林（2*n-m-k+1，n-m-k+1,1））\\米歇尔·马库斯2021年12月7日
（鼠尾草）
@缓存函数
如果n==1：如果k==0，则返回1，否则为0
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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已批准
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A201637号
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| 行读取的二阶欧拉数T（n，k）（n>=0，0<=k<=n）的三角形。 |
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+10
22
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1, 1, 0, 1, 2, 0, 1, 8, 6, 0, 1, 22, 58, 24, 0, 1, 52, 328, 444, 120, 0, 1, 114, 1452, 4400, 3708, 720, 0, 1, 240, 5610, 32120, 58140, 33984, 5040, 0, 1, 494, 19950, 195800, 644020, 785304, 341136, 40320, 0, 1, 1004, 67260, 1062500, 5765500, 12440064, 11026296, 3733920, 362880, 0
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,5
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评论
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这个版本以与Graham等人的具体数学相同的方式对欧拉数进行索引。Maple也使用此索引。Riordan、Comtet和其他人使用的索引见A008517号，这是二阶欧拉数的主要入口。
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参考文献
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R.L.Graham、D.E.Knuth和O.Patashnik，《具体数学》。Addison-Wesley，Reading，MA，1990年，表256。
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链接
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邓吉奇，注：关于二阶欧拉数《澳大利亚组合数学杂志》，第50卷（2011年），第183-185页。
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例子
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... [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8]
[0] [1]
[1] [1, 0]
[2] [1, 2, 0]
[3] [1, 8, 6, 0]
[4] [1, 22, 58, 24, 0]
[5] [1, 52, 328, 444, 120, 0]
[6] [1, 114, 1452, 4400, 3708, 720, 0]
[7] [1, 240, 5610, 32120, 58140, 33984, 5040, 0]
[8] [1, 494, 19950, 195800, 644020, 785304, 341136, 40320, 0]
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MAPLE公司
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对于从0到9的n，请执行以下操作(A201637号（n，k），k=0..n）od；
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数学
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t[0,0]=1；t[n_，m_]=和[（-1）^（n+k）*二项式[2*n+1，k]*StirlingS1[2*n-m-k，n-m-k]，{k，0，n-m-1}]；表[t[n，m]，{n，0，9}，{m，0，n}]//展平
E2[n_，k_]/；k==0=1；E2[n_，k_]/；k<0|k>n=0；
E2[n_，k_]：=E2[n，k]=（2*n-1-k）*E2[n-1，k-1]+（k+1）*E2[n-1、k]；
表[E2[n，k]，{n，0，8}，{k，0，n}]//表格
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黄体脂酮素
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（鼠尾草）
@缓存函数
定义欧拉2（n，k）：
如果k==0：返回1
如果k==n：返回0
返回欧拉2（n-1，k）*（k+1）+欧拉2（n-1，k-1）*（2*n-k-1）
对于（0..9）中的n：[eulerian2（n，k）对于（0..n）中的k]
（PARI）对于（n=0，10，对于（m=0，n，print1）（如果（m==0||n==0，1，sum（k=0，n-m-1，（-1）^（n+k）*二项式（2*n+1，k）*斯特林（2*n-m-k，n-m-k），“，”）\\G.C.格鲁贝尔2017年10月24日
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交叉参考
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作者
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扩展
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状态
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已批准
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A340556型
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| E2（n，k），E2（0，k）=δ{0，k}的二阶欧拉数。按行读取的三角形，E2（n，k）表示0<=k<=n。 |
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+10
17
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1, 0, 1, 0, 1, 2, 0, 1, 8, 6, 0, 1, 22, 58, 24, 0, 1, 52, 328, 444, 120, 0, 1, 114, 1452, 4400, 3708, 720, 0, 1, 240, 5610, 32120, 58140, 33984, 5040, 0, 1, 494, 19950, 195800, 644020, 785304, 341136, 40320, 0, 1, 1004, 67260, 1062500, 5765500, 12440064, 11026296, 3733920, 362880
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,6
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评论
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二阶欧拉数E2（n，k）是n阶Stirling置换的个数，正好是k个下降；这里最后一个索引被定义为下降。更正式地说，让Q_n表示多集{1,1,2,2，…，n，n}的置换集，其中对于所有j，j的两次出现之间的所有项都大于j，则E2（n，k）=卡（Q_n中的{s，des（s）=k}），其中des（s=card（{j:s（j）>s（j+1）}）是s的下降数。
还有长度为n、带有k个不同字母的Riordan梯形单词的数量（见Riordan 1976，第9页）。
还有n+1个顶点上具有k片叶子的有根平面树的数量（见Janson 2008，第543页）。
设b（n）=（1/2）*Sum_{k=0..n-1}（-1）^k*E2（n-1，k+1）/C（2*n-1，k+1）。显然b（n）=Bernoulli（n，1）=-n*Zeta（1-n）=Integral_{x=0..1}F_n（x）对于n>=1。这里F_n（x）是带符号的Fubini多项式(1978年2月). （见Rzadkowski和Urlinska，示例4。）
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参考文献
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R.L.Graham、D.E.Knuth和O.Patashnik，《混凝土数学》，第二版，Addison-Wesley，Reading，MA，1994年，第270页。
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链接
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J.Fernando Barbero G.、Jesüs Salas和Eduardo J.s.Villaseñor，广义斯特林排列与森林：高阶欧拉数和沃德数，《组合数学电子杂志》22（3），2015年。
I.Gessel和R.P.Stanley，斯特灵多项式J.Combin，《理论》，A 24，24-331978年。
G.Rzadkowski、M.Urlinska、，欧拉数的推广，arXiv:1612.06635[math.CO]，2016年
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配方奶粉
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E2（n，k）=E2（n-1，k）*k+E2（n-1，k-1）*（2*n-k），对于n>0和0<=k<=n，E2（0,0）=1；在所有其他情况下，E（n，k）=0。
E2（n，k）=和{j=0..n-k}（-1）^（n-j）*二项式（2*n+1，j）*斯特林1（2*n-k-j+1，n-k-j/1）。
E2（n，k）=和{j=0..k}（-1）^（k-j）*二项式（2*n+1，k-j）*Stirling2（n+j，j）。
斯特林1（x，x-n）=（-1）^n*和{k=0..n}E2（n，k）*二项式（x+k-1，2*n）。
斯特林2（x，x-n）=和{k=0..n}E2（n，k）*二项式（x+n-k，2*n）。
E2poly（n，x）=和{k=0..n}E2（n，k）*x^k，作为行多项式。
E2poly（n，x）=x*（x-1）^（2*n）*d_{x}（（1-x）^。
E2poly（n，x）=（1-x）^（2*n+1）*Sum_{k=0..n}（k^（n+k）/k*（x*exp（-x））^k。
W（n，k）=[x^k]（1+x）^n*E2poly（n，x/（1+x））是沃德数A269939型.
E2（n，k）=[x^k]（1-x）^n*Wpoly（n，x/（1-x））；Wpoly（n，x）=和{k=0..n}W（n，k）*x^k。
W（n，k）=和{j=0..k}E2（n，j）*二项式（n-j，n-k）。
E2（n，k）=和{j=0..k}（-1）^（k-j）*W（n，j）*二项式（n-j，k-j）。
x-t*（exp（x）-1）关于x的成分逆（参见B.Drake）：
T（n，k）=[T^k]（n+1）*（1-t）^（2*n+1）*[x^（n+1）]逆级数（x-t*（exp（x）-1），x）。
E2（n，k）=Sum_{j=0..n-k+1}（-1）^（n-k-j+1）*AS1（n+j，j）*二项式（n-j，n-k-j+1），对于n>=1。
AS2（n，k）=Sum_{j=0..n-k}二项式（j，n-2*k）*E2（n-k，n-k-j），其中AS2（m，k）是第二类相关的斯特林数(A008299号，A137375型).
E2（n，k）=和{j=0..k}（-1）^（k-j）*AS2（n+j，j）*二项式（n-j，k-j）。
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例子
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三角形开始：
[0] 1;
[1] 0, 1;
[2] 0, 1, 2;
[3] 0, 1, 8, 6;
[4] 0, 1, 22, 58, 24;
[5] 0, 1, 52, 328, 444, 120;
[6] 0, 1, 114, 1452, 4400, 3708, 720;
[7] 0, 1, 240, 5610, 32120, 58140, 33984, 5040;
[8] 0, 1, 494, 19950, 195800, 644020, 785304, 341136, 40320;
[9] 0, 1, 1004, 67260, 1062500, 5765500, 12440064, 11026296, 3733920, 362880.
.
为了说明第3行的生成函数：（1-x）^7*（x*exp（-x）+16*x^2*exp。该多项式的系数给出第3行。
.
3阶的斯特林排列正好有k个降序：（计算降序时，可能会假设在排列后面附加了一个不可见的“0”。）
T[3，k=0]：
T[3，k=1]:112233；
T[3，k=2]:331122；223311; 221133; 133122; 122331; 122133; 113322; 112332;
T[3，k=3]:332211；331221; 233211; 221331; 133221; 123321
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MAPLE公司
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#使用重复周期：
E2：=proc（n，k）选项记住；
如果k=0且n=0，则返回1 fi；如果n<0，则返回0 fi；
E2（n-1，k）*k+E2（n-1，k-1）*（2*n-k）端：seq（seq（E2（n，k），k=0..n），n=0..9）；
#使用行生成函数：
E2egf:=n->（1-x）^（2*n+1）*add（k^（n+k）/k*（x*exp（-x））^k，k=0..n）；
T:=（n，k）->系数（E2egf（n），x=0，k）：seq（打印（seq（T（n，j），j=0..n）），n=0..7）；
#使用内置函数：
E2:=（n，k）->`如果`（k=0，k^n，组合：-eulerian2（n，k-1））：
#使用成分反转（序列反转）：
E2三角形：=proc（N）局部r，s，C；顺序：=N+2；
s：=求解（y=级数（x-t*（exp（x）-1），x），x
r:=n->-n*（t-1）^（2*n-1）*系数（s，y，n）；C:=[seq（展开（r（n）），n=1..n）]；
seq（打印（seq（系数（C[n+1]，t，k），k=0..n）），n=0..n-1）结束：E2三角形（10）；
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数学
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T[n_，k_]：=T[n，k]=如果[k==0，Boole[n==0]，如果[n<0，0，k T[n-1，k]+（2 n-k）T[n-1，k-1]]；表[T[n，k]，{n，0，9}，{k，0，n}]//展平
（*通过行多项式：*）
E2poly[n_]：=如果[n==0，1，
展开[Simplify[x（x-1）^（2n）D[（（1-x）^[1-2n）E2poly[n-1]），x]]]；
表[系数列表[E2poly[n]，x]，{n，0，9}]//展平
（*系列逆转*）
还原[gf_，len_]：=模[{S=逆级数[Series[gf，{x，0，len+1}]，x]}，
表[系数列表[（n+1）！（1-t）^（2n+1）系数[S，x，n+1]，t]，
{n，0，len}]//展平]；还原[x+t-t Exp[x]，6]
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黄体脂酮素
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（PARI）
E2poly（n）=如果（n==0，1，x*（x-1）^（2*n）*衍生物（（1-x）^；
{用于（n=0，9，打印（Vecrev（E2poly（n）））}
（PARI）T（n，k）=总和（j=0，n-k，（-1）^（n-j）*二项式（2*n+1，j）*斯特林（2*n-k-j+1，n-k-j+1,1））\\米歇尔·马库斯2021年2月11日
（SageMath）#查看笔记本链接。
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交叉参考
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已批准
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1、1、0、2、1、0、6、8、1、0、24、58、22、1、0、120、444、328、52、1、0、720、3708、4400、1452、114、1、0、5040、33984、58140、32120、5610、240、1、0、40320、341136、785304、644020、195800、19950、494、1、0、362880、3733920、11026296、12440064、5765500、1062500
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,4
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评论
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如果假设三角形不是基于（1,1）而是基于（0,0），则T（n，k）=E2（n，n-k），其中E2（n，k）是二阶欧拉数A340556型. -彼得·卢什尼2021年2月12日
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链接
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配方奶粉
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a（n，m）=和{k=0..（m-1）}（-1）^（n+k+1）*二项式（2*n-1，k）*斯特林1（m+n-k-1，m-k），对于1<=m<=n。
假设偏移量=0，T（n，k）是递归定义多项式的系数。T（n，k）=[x^k]x^n*E2poly（n，1/x），其中对于n>=1和E2poly（0，x）=1，E2poly（n，x）=x*（x-1）^（2*n）*d_{x}（（1-x）^（1-2*n）*E2poly（n-1，x））-彼得·卢什尼2021年2月12日
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例子
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三角形开始：
[ 1] 1;
[ 2] 1, 0;
[ 3] 2, 1, 0;
[ 4] 6, 8, 1, 0;
[ 5] 24, 58, 22, 1, 0;
[ 6] 120, 444, 328, 52, 1, 0;
[ 7] 720, 3708, 4400, 1452, 114, 1, 0;
[ 8] 5040, 33984, 58140, 32120, 5610, 240, 1, 0;
[ 9] 40320, 341136, 785304, 644020, 195800, 19950, 494, 1, 0;
前几个W1（z，p）多项式是
W1（z，p=1）=1/（1-z）；
W1（z，p=2）=（1+0*z）/（1-z）^3；
W1（z，p=3）=（2+1*z+0*z^2）/（1-z）^5；
W1（z，p=4）=（6+8*z+1*z^2+0*z^3）/（1-z）^7。
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MAPLE公司
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与（组合）：a:=proc（n，m）：加（-1）^（n+k+1）*二项式（2*n-1，k）*stirling1（m+n-k-1，m-k），k=0..m-1）结束：seq（seq（a（n，m），m=1..n），n=1..9）#约翰内斯·梅耶尔2012年11月27日修订
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数学
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表[和[（-1）^（n+k+1）*二项式[2*n-1，k]*StirlingS1[m+n-k-1，m-k]，{k，0，m-1}]，{n，1，10}，{m，1，n}]//展平(*G.C.格鲁贝尔2017年8月13日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）对于（n=1,10，对于（m=1，n，print1（总和（k=0，m-1，（-1）^（n+k+1）*二项式（2*n-1，k）*斯特林（m+n-k-1，m-k，1），“，”））\\G.C.格鲁贝尔，2017年8月13日
（PARI）\\假设偏移量=0：
E2poly（n，x）=如果（n==0，1，x*（x-1）^（2*n）*导数（（1-x）^；
{用于（n=0，9，打印（Vec（E2poly（n，x）））}\\彼得·卢什尼2021年2月12日
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交叉参考
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1, 0, 1, 0, 2, 1, 0, 6, 8, 1, 0, 24, 58, 22, 1, 0, 120, 444, 328, 52, 1, 0, 720, 3708, 4400, 1452, 114, 1, 0, 5040, 33984, 58140, 32120, 5610, 240, 1, 0, 40320, 341136, 785304, 644020, 195800, 19950, 494, 1, 0, 362880, 3733920, 11026296, 12440064, 5765500, 1062500, 67260, 1004, 1, 0, 3628800, 44339040, 162186912, 238904904, 155357384, 44765000, 5326160, 218848, 2026, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,5
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评论
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该三角形P（n，x）=Sum_{m=0..n}T（n，m）*x^m的行多项式作为三角形对角序列的分子多项式出现在o.g.f.s中A132393号（|Stirling1|行和列的偏移量为0）。请参阅此处的评论和P.Bala链接。
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链接
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配方奶粉
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递归：T（0，0）=1，T（n，-1）=0，T（m，n）=0如果n<m，（n-m+1）*T（n-1，m-1）+（n-1+m）*T；来自A008517号重复发生。
T（0，0）=1，T（n，m）=和{p=0..m-1}（-1）^（n-p）*二项式（2*n+1，p）*A132393号（n+m-p，m-p），n>=1，m=0..n；来自A008517号程序。
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例子
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三角形T（n，m）开始于：
n\m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9。。。
0: 1
1: 0 1
2: 0 2 1
3: 0 6 8 1
4: 0 24 58 22 1
5: 0 120 444 328 52 1
6: 0 720 3708 4400 1452 114 1
7: 0 5040 33984 58140 32120 5610 240 1
8: 0 40320 341136 785304 644020 195800 19950 494 1
9: 0 362880 3733920 11026296 12440064 5765500 1062500 67260 1004 1
...
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MAPLE公司
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T： =（n，k）->组合[eulerian2]（n，n-k）：
seq（seq（T（n，k），k=0..n），n=0..12）#阿洛伊斯·海因茨2017年7月26日
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数学
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3, 29, 164, 726, 2805, 9975, 33630, 109424, 347519, 1085313, 3349848, 10253994, 31203945, 94561643, 285716018, 861472836, 2593592883, 7800176565, 23441423340, 70410252350, 211411111133, 634610819679, 1904620987014
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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配方奶粉
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通用格式：x^3*（3-x-6*x^2）/（（（1-x）^3）*（（1-2*x）^2）*（1-3*x））。请参阅下关于g.f.s列的注释A008517号.
a（n）=3*a（n-1）+（2*n-3）*（2^（n-1。
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非n，容易的
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