搜索： a004208-编号：a004208
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A001147号
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| 奇数的双阶乘：a（n）=（2*n-1）！！=1*3*5*...*（2*n-1）。
（原名M3002 N1217）
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605
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1、1、3、15、105、945、10395、135135、2027025、34459425、654729075、13749310575、316234143225、7905853580625、213458046676875、6190283353629375、191898783962510625、6332659870762850625、221643095476699771875、8200794532637891559375、319830986772877770815625
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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薛定谔第三个问题的解决方案。
a（n-2）是n个点上具有n-2个Steiner点的完整Steiner拓扑的数量。[由更正莱尔·拉姆肖2022年7月20日]
a（n）也是完全图K（2n）中的完美匹配数Ola Veshta（olaveshta（AT）my-deja.com），2001年3月25日
从2*n个项目中选择n对不相交项目的方法数量罗恩·泽诺（rzeno（AT）hotmail.com），2002年2月6日
从2*n-1个项目中选择n-1个不相交的项目对的方法数（一个项目保持未配对状态）-巴托斯·佐尔塔克2012年10月16日
对于n>=1，a（n）是对称群S_（2n）中的置换数，其循环分解是n个不相交转置的乘积艾哈迈德·法尔斯（ahmedfares（AT）my-deja.com），2001年4月21日
a（n）是具有交换、非关联乘法的n+1变量的不同乘积的数量安德鲁·沃尔特斯（awalters3（AT）yahoo.com），2004年1月17日。例如，a（3）=15，因为四个变量w、x、y和z的乘积可以用15种方式构造，假设是可交换的，但不是可结合的：1。w（x（yz））2。w（y（xz））3。w（z（xy））4。x（w（yz））5。x（y（wz））6。x（z（wy））7。y（w（xz））8。y（x（wz））9。y（z（wx））10。z（w（xy））11。z（x（wy））12。z（y（wx））13。（wx）（yz）14。（wy）（xz）15。（wz）（xy）。
a（n）=E（X^（2n）），其中X是标准正态随机变量（即，X是正态，平均值=0，方差=1）。因此，例如a（3）=E（X^6）=15等。参见阿布拉莫维茨和斯特根或霍尔、波特和斯通杰罗姆·科尔曼，2004年4月6日
1,1,1,1,1,1,1,1，…的第二欧拉变换，。。。第二个欧拉变换通过公式t（n）=Sum_{k=0..n}E（n，k）s（k）将序列s转换为序列t，其中E（n、k）是二阶欧拉数(A008517号)-罗斯·拉海耶2005年2月13日
积分表示为正函数在正轴上的第n个力矩，用Maple符号表示：a（n）=int（x^n*exp（-x/2）/sqrt（2*Pi*x），x=0..无穷大），n=0,1-卡罗尔·彭森2005年10月10日
a（n）是n+1的二进制总分区数（每个非单个块必须精确地分为两个块），或者等价地，是带有n+1标记叶子的无序全二叉树的数目（Stanley，ex5.2.6）-米奇·哈里斯2006年8月1日
a（n）是斜对称2n X 2n矩阵的Pfaffian，其（i，j）项是i<j的i-大卫·卡伦2006年9月25日
a（n）是n+1个顶点上增加的有序根树的数量，其中“增加”表示顶点标记为0,1,2，。。。，n，这样根的每条路径都有递增的标签。增加的无序根树由阶乘数计算A000142号. -大卫·卡伦2006年10月26日
a（n）=所有Dyck n路径的总重量(A000108号)当每条路径用其上台阶终点高度的乘积进行加权时。例如，当n=3时，5个Dyck 3路径UUUDDD、UUDUDD、UUDDUD、UDUUDD、UDUDUD的权重分别为1*2*3=6、1*2x2=4、1*2%2、1*1*2=2、1*1*1=1和6+4+2+1=15。按最后一步的高度计算重量得出A102625号. -大卫·卡伦2006年12月29日
发件人汤姆·科普兰，2007年11月13日，第一段澄清，第二段延长，2021年6月12日：（开始）
a（n）具有例如f（1-2x）^（-1/2）=1+x+3*x^2！+。。。，其倒数是（1-2x）^（1/2）=1-x-x^2/2！-3*x^3/3！-…=b（0）-b（1）*x-b（2）*x^2/2！-。。。否则，b（0）=1和b（n+1）=-a（n）。通过形式主义A133314号，和{k=0..n}二项式（n，k）*b（k）*a（n-k）=0^n，其中0^0:=1。从这个意义上说，序列a（n）本质上是自反的。请参见A132382号以获得该结果的扩展。请参见A094638号用于解释。
此充气序列具有例如f.e^（t^2/2）=1+t^2/2！+3*t^4/4！+…=c（0）+c（1）*t+c（2）*t^2/2！+。。。和倒数e^（-t^2/2）；因此，和{k=0..n}cos（Pik/2）*二项式（n，k）*c（k）*c（n-k）=0^n；即，充气序列基本上是自反转的。因此，求和{k=0..n}（-1）^k*二项式（2n，2k）*a（k）*a（n-k）=0^n。（结束）
这也是安排n个不同对的元素的方法的数量，假设元素的顺序是重要的，但这些对是不可区分的，即标签排列后相同的排列是等效的。
如果此序列和A000680号分别用a（n）和b（n）表示，则a（n！其中n！=排列对标签的方式数量。
例如，当3对元素可以区分时，有90种排列3对元素的方法[11]、[22]、[3]：A={[112233]、[11232]、…、[332211]}。
通过对A应用6个重标记置换，我们可以将A划分为90/6=15个子集：B={{[112233]、[113322]、[221133]、[223311]、[331122]、[332211]}、{[11232]、[113232]、[221313]、[231313]，[33212]、[32121]}，….}
B中的每个子集或等价类表示一种独特的配对关系模式。例如，上面的子集B1表示{3个不相交对}，子集B2表示{1个不相交的对+2个交错对}A132101型). （结束）
a（n）是{1,2，…，2n}的所有定点无对合中的相邻转置数。示例：a（2）=3，因为在2143=（12）（34）、3412=（13）（24）和4321=（14）（23）中，我们有2+0+1个相邻的转座。
（结束）
a（n）=（-1）^（n+1）*H（2*n，0），其中H（n，x）是概率论者的Hermite多项式。概率厄米特多项式的生成函数如下：exp（x*t-t^2/2）=Sum_{i>=0}H（i，x）*t^i/i-列奥尼德·贝德拉图克2009年10月31日
a（n）是{1，…，n^2}的子集数，该子集正好包含来自{1，..，k^2}k=1，…，的k个元素，。。。，n.例如，a（3）=15，因为{1,2，…，9}有15个子集满足条件，即{1,2,5}，{1,2,6}，}1,2,7}，1,2,8}，[1,2,9}，,1,3,5}、{1,3,6}、}1,3,7}、[1,3,8}、1,3,9}、-丹尼斯·沃尔什2011年12月2日
对于n>0：a（n）也是对称n X n矩阵M的行列式，由M（i，j）=min（i，j^2定义，对于1<=i，j<=n-恩里克·佩雷斯·埃雷罗2013年1月14日
a（n）=维2（n-1）的多元正态分布的一阶中心矩的符号表示所需的上三角矩阵表示数，即e[X_1*X_2…*X_（2n-2）|mu=0，Sigma]。有关CRAN和Phillips参考文件中的symmoments R包，请参见下面的小插曲-凯姆·菲利普斯，2014年8月10日
对于n>1:a（n）是量子电动力学中仅含一个带电环的真空极化的2n阶费曼图（内部顶点数）的个数-罗伯特·科克雷2014年9月15日
用干预零点充气（1,0,1,0,3，…）=a（n）（参见。A123023号)，例如f.是e^（t^2/2），所以这是Appell序列的基础A099174号例如，f.e^（t^2/2）e^（x*t）=exp（P（.，x），t）=无符号A066325号（x，t），概率（或归一化）Hermite多项式。P（n，x）=（a.+x）^n与（a.）^n=a_n组成的阴影成分倒数A066325号（x，t）=exp（UP（.，x），t），即UP（n，P（.，t））=x^n=P（n，UPA066325号例如，（P（.，t））^n=P（n，t）-汤姆·科普兰2014年11月15日
a（n）=最多有一个n大小的右高松弛压缩二叉树的数目。n大小的松弛压缩二元树是一个有向无环图，由一个具有n个内部节点、一个叶和n个指针的二叉树组成。它是由一个大小为n的二叉树构造的，其中保留了后序遍历中的第一个叶，所有其他叶都由指针替换。这些链接可能指向已被后序遍历访问过的任何节点。右高度是删除所有指针后，从根到任何叶的所有路径上的最大右边缘数（或右子节点数）。大小为n的无界松弛压缩二叉树的数目为A082161号（n） ●●●●。参见Genitrini等人的链接-迈克尔·沃纳2017年6月20日
a（n）=以n+1值作为二元概率分布乘积之和的概率分布的基本不同书写方式的数量。见上文Mitch Harris的评论。这是因为每一种方式都对应于一个具有n+1个叶子的完整二叉树，叶子由值标记。（此评论由Niko Brummer撰写。）
此外，根标记为（n+1）-集S的二叉树的数目，其n+1由S的单个子集留下，其他节点标记为S的子集T，这样标记为T的节点的两个子节点就由T的2-分区的两部分标记，因为叶子标签决定了树的其他顶点的标签。
（结束）
a（n）是具有一个自由度的卡方分布的第n个矩（相当于Coleman 2004年4月6日的评论）-布莱恩·吉莱斯皮2021年3月7日
设b（n）=0表示n奇数，b（2k）=a（k）；即，让序列b（n）是该条目的充气版本。在展开微分算子（x+D）^n并对所得项进行正规排序后，项x^k D^m的整数系数为n！b（n-k-m）/[（n-k-m）！k！m！]，其中0<=k，m<=n，（k+m）<=n。例如，（x+D）^2=x^2+2xD+D^2+1，其中D=D/dx。通过将x替换为R，D替换为L，结果推广到任何Sheffer多项式序列的升（R）和降（L）算子，并从解纠缠关系e^{t（L+R）}=e^{t^2/2}e^{tR}e^}tL}得到。因此，这些也是在LR=RL+1条件下二进制符号L和R的重排序2^n置换的系数。例如，（L+R）^2=LL+LR+RL+RR=LL+2RL+RR+1。（参见。A344678型.) -汤姆·科普兰2021年5月25日
Lando和Zvonkin提出了几个场景，在这些场景中，双阶乘发生在其枚举完美匹配（配对）的作用中，并作为高斯e^（x^2/2）的非零矩。
Speyer和Sturmfels（第6页）指出，被称为热带格拉斯曼G''（2，n）的抽象简单复合体的面数，即系统发育T_n树的空间（参见A134991号)或者说，白宫复合体是一个移位的双阶乘。
加泰罗尼亚数字之间的联系A000108号，在关于黎曼ζ函数的MathOverflow文章中给出了奇双阶乘、黎曼ζ函数及其整数变元导数的值，以及简谐振子的归约作用和阿基米德螺旋弧长的级数展开-汤姆·科普兰2021年10月2日
b（n）=a（n）/（n！2^n）=Sum_{k=0..n}（-1）^n二项式（n，k）（-1）；即，归一化双因子a（n）在二项式变换下是自逆的。这可以通过将o.g.f.s和{n>=0}（1-b_n）^nx^n=（1/（1-x））和{n>=0}b_n（x/（x-1））^n的欧拉二项式变换应用于o.g.f（1-x^n二项式（-1/2，n）=二项式（n！2^n）^2-汤姆·科普兰2022年12月10日
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参考文献
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链接
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配方奶粉
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例如：1/sqrt（1-2*x）。
a（n）~sqrt（2）*2^n*（n/e）^n。
伽马分子有理部分（n+1/2）：a（n）*sqrt（Pi）/2^n=Gamma（n+1/2）尤里·布伦（Yuriy Brun），埃瓦·多明诺斯卡（Ewa Dominowska）（布鲁（AT）mit.edu），2001年5月12日
使用插值零，序列具有例如f.exp（x^2/2）-保罗·巴里2003年6月27日
Ramanujan多项式psi（n+1，n）的值为a（n）-拉尔夫·斯蒂芬2004年4月16日
对数（1+x+3*x^2+15*x^3+105*x^4+945*x*5+10395*x^6+…）=x+5/2*x^2+37/3*x^3+353/4*x^4+4081/5*x ^5+55205/6*x^6+。。。，其中[1、5、37、353、4081、55205…]=A004208号. -菲利普·德尔汉姆2006年6月20日
1/3 + 2/15 + 3/105 + ... = 1/2. [乔利等式216]
求和{j=1..n}j/a（j+1）=（1-1/a（n+1））/2。[乔利等式216]
1/1 + 1/3 + 2/15 + 6/105 + 24/945 + ... = 图/2-加里·亚当森2006年12月21日
a（n）=（1/sqrt（2*Pi））*Integral_{x>=0}x^n*exp（-x/2）/sqrt（x）-保罗·巴里2008年1月28日
通用公式：1/（1-x-2x^2/（1-5x-12x^2/-（1-9x-30x^2/（1-13x-56x^2//（1-……（连分数））-保罗·巴里2009年9月18日
a（n）=（-1）^n*subs（{log（e）=1，x=0}，coeff（simplify（series（e^（x*t-t^2/2），t，2*n+1）），t^（2*n））*（2*n）！）-列奥尼德·贝德拉图克2009年10月31日
a（n）=2^n*伽玛（n+1/2）/伽玛（1/2）-杰姆·奥利弗·拉丰2009年11月9日
G.f.：1/（1-x/（1-2x/（1-3×/（1-4x/（1-…（连分数））Aoife轩尼诗（Aoife.Hennessy（AT）gmail.com），2009年12月2日
a（n+1）的g.f.为1/（1-3x/（1-2x/（1~5x/（2-7x/（16x/（1-……）（连分数））-保罗·巴里2009年12月4日
a（n）=Sum_{i=1..n}二项式（n，i）*a（i-1）*a（n-i）-弗拉基米尔·谢维列夫2010年9月30日
例如：A（x）=1-sqrt（1-2*x）满足微分方程A'（x）-A'（x-弗拉基米尔·克鲁奇宁2011年1月17日
a（n）=（1/2）*Sum_{i=1..n}二项式（n+1，i）*a（i-1）*a（n-i）。请参阅上面的链接-丹尼斯·沃尔什2011年12月2日
a（n）=和{k=0..n}（-1）^k*二项式（2*n，n+k）*Stirling_1（n+k，k）[Kauers和Ko]。
a（n）=M^n的左上项和M^（n-1）的顶行项之和，其中M=（1,2）Pascal三角形（Cf。A029635号)如下生产矩阵所示：
1, 2, 0, 0, 0, ...
1, 3, 2, 0, 0, ...
1, 4, 5, 2, 0, ...
1, 5, 9, 7, 2, ...
...
例如，a（3）=15是M^3:（15，46，36，8）顶行中的左项，a（4）=105=（15+46+36+8）。
（结束）
G.f.:A（x）=1+x/（W（0）-x）；W（k）=1+x+x*2*k-x*（2*k+3）/W（k+1）；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基，2011年11月17日
a（n）=和{i=1..n}二项式（n，i-1）*a（i-1）*a（n-i）-丹尼斯·沃尔什2011年12月2日
a（n）=（-1）^n*和{k=0..n}2^（n-k）*s（n+1，k+1），其中s（n，k）是第一类斯特林数，A048994号. -米尔恰·梅卡2012年5月3日
a（n）=（2*n）4！=Gauss_factorial（2*n，4）=产品{j=1.2*n，gcd（j，4）=1}j-彼得·卢什尼，2012年10月1日
G.f.：（1-1/Q（0））/x，其中Q（k）=1-x*（2*k-1）/（1-x*（2%k+2）/Q（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年3月19日
G.f.：1+x/Q（0），其中Q（k）=1+（2*k-1）*x-2*x*（k+1）/Q（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月1日
G.f.：2/G（0），其中G（k）=1+1/（1-2*x*（2*k+1）/（2*xx（2*k+1）-1+2*x（2*k+2）/G（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月31日
G.f.:G（0）/2，其中G（k）=1+1/（1-x/（x+1/（2*k+1）/G（k+1）））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年6月1日
G.f.:G（0），其中G（k）=1+2*x*（4*k+1）/（4*k+2-2*x*；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年6月22日
a（n）=（2*n-3）*a（n-2）+（2*n-2）*a-伊万·伊纳基耶夫2013年7月8日
G.f.:G（0），其中G（k）=1-x*（k+1）/（x*（k+1）-1/G（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年8月4日
a（n）=2*a（n-1）+（2n-3）^2*a（n-2），a（0）=a（1）=1-菲利普·德尔汉姆2013年10月27日
倒数的G.f:和{n>=0}x^n/a（n）=1F1（1；1/2；x/2），合流超几何函数-R.J.马塔尔2014年7月25日
对于Z中的所有n，0=a（n）*（+2*a（n+1）-a（n+2））+a（n+1*（+a（n+1））-迈克尔·索莫斯2014年9月18日
对于Z中的所有n，a（n）=（-1）^n/a（-n）=2*a（n-1）+a（n-1）^2/a（n-2）-迈克尔·索莫斯2014年9月18日
递归方程：a（n）=（3*n-2）*a（n-1）-（n-1。
序列b（n）=A087547号（n） ，开始于[1,4,52,608,12624，…]，满足相同的二阶递推方程。这导致了广义连分式展开lim_{n->无穷大}b（n）/a（n）=Pi/2=1+1/（3-6/（7-15/（10-…-n*（2*n-1）/（3*n+1）-…）））。（结束）
例如，第n个元素（n=1,2，…）等于a（n-1）的序列的f为1平方（1-2*x）-斯坦尼斯拉夫·西科拉2017年1月6日
和{n>=1}a（n）/（2*n-1）！=经验（1/2）-丹尼尔·苏图2017年2月6日
a（n）=（乘积_{k=0..n-2}二项式（2*（n-k），2））/n-斯特凡诺·斯佩齐亚2018年11月13日
a（n）=和{i=0..n-1}和{j=0..n-i-1}C（n-1，i）*C（n-i-1，j）*a（i）*a-弗拉基米尔·克鲁奇宁2020年5月6日
求和{n>=1}1/a（n）=sqrt（e*Pi/2）*erf（1/sqrt）），其中erf是错误函数。
Sum_{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=sqrt（Pi/（2*e））*erfi（1/sqrt（2）），其中erfi是虚误差函数。（结束）
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例子
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a（3）=1*3*5=15。
无固定点的6个元素有a（3）=15对合：
#：置换换位
01: [ 1 0 3 2 5 4 ] (0, 1) (2, 3) (4, 5)
02: [ 1 0 4 5 2 3 ] (0, 1) (2, 4) (3, 5)
03: [ 1 0 5 4 3 2 ] (0, 1) (2, 5) (3, 4)
04: [ 2 3 0 1 5 4 ] (0, 2) (1, 3) (4, 5)
05: [ 2 4 0 5 1 3 ] (0, 2) (1, 4) (3, 5)
06: [ 2 5 0 4 3 1 ] (0, 2) (1, 5) (3, 4)
07: [ 3 2 1 0 5 4 ] (0, 3) (1, 2) (4, 5)
08: [ 3 4 5 0 1 2 ] (0, 3) (1, 4) (2, 5)
09: [ 3 5 4 0 2 1 ] (0, 3) (1, 5) (2, 4)
10: [ 4 2 1 5 0 3 ] (0, 4) (1, 2) (3, 5)
11: [ 4 3 5 1 0 2 ] (0, 4) (1, 3) (2, 5)
12: [ 4 5 3 2 0 1 ] (0, 4) (1, 5) (2, 3)
13: [ 5 2 1 4 3 0 ] (0, 5) (1, 2) (3, 4)
14: [ 5 3 4 1 2 0 ] (0, 5) (1, 3) (2, 4)
15: [ 5 4 3 2 1 0 ] (0, 5) (1, 4) (2, 3)
（结束）
G.f.=1+x+3*x^2+15*x^3+105*x^4+945*x^5+10395*x^6+135135*x^7+。。。
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MAPLE公司
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f:=n->（2*n）/（n！*2^n）；
G（x）：=（1-2*x）^（-1/2）：f[0]：=G（x#零入侵拉霍斯2009年4月3日；与偏移对齐约翰内斯·梅耶尔2009年8月11日
级数（hypergeom（[1,1/2]，[]，2*x），x=0,20）#马克·范·霍伊2013年4月7日
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数学
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表[（2n-1）！！，{n，0，19}](*罗伯特·威尔逊v2005年10月12日*）
a[n_]：=2^n伽玛[n+1/2]/伽玛[1/2]；(*迈克尔·索莫斯2014年9月18日*）
加入[{1}，范围[1，41，2]！！](*哈维·P·戴尔2017年1月28日*）
a[n_]：=如果[n<0，（-1）^n/a[-n]，系列系数[乘积[1-（1-x）^（2k-1），{k，n}]，{x，0，n}]]；(*迈克尔·索莫斯，2017年6月27日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=如果（n<0，（-1）^n/a（-n），（2*n）！/n！/2^n）}/*迈克尔·索莫斯2014年9月18日*/
（PARI）x='x+O（'x^33）；Vec（塞拉普拉斯（（1-2*x）^（-1/2））\\乔格·阿恩特2011年4月24日
（岩浆）I:=[1,3]；[1] cat[n le 2 select I[n]else（3*n-2）*Self（n-1）-（n-1//文森佐·利班迪2015年2月19日
（哈斯克尔）
a001147 n=产品[1，3..2*n-1]
a001147_list=1:zipWith（*）[1,3..]a001147_列表
（Sage）[（0..15）中n的升_阶乘（n+1，n）/2^n]#彼得·卢什尼2012年6月26日
（Python）
来自sympy导入因子2
定义a（n）：返回阶乘2（2*n-1）
（最大值）
a（n）：=如果n=0，则1其他总和（总和（二项式（n-1，i）*二项式的（n-i-1，j）*a（i）*a，j）*a（n-i-j-1），j，0，n-i-1），i，0，n-1）/*弗拉基米尔·克鲁奇宁2020年5月6日*/
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交叉参考
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囊性纤维变性。A079267美元,A000698号,A029635号,A161198号,A076795号,A123023号,A161124号,A051125号,A181983号,A099174号,A087547号,A028338号（第一列）。
囊性纤维变性。A000108号,A001813号,A033282号,A060540型,A086810型,A094638号,A126216号,A133437号,A134264美元,A134685号,A134991号,A344678型.
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关键词
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非n,容易的,美好的,核心
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作者
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扩展
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删除了错误注释：此序列既不计算A^2=0的n个Xn个二进制矩阵A的数量，也不计算没有长度为2的有向路径的n个顶点上的简单有向图的数量（对于n=3，两者都是13）-丹·德雷克2009年6月2日
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状态
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已批准
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A000698号
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| 配置问题：A（0）=1；对于n>0，a（n）=（2n-1）！！-求和{k=1..n-1}（2k-1）！！a（n-k）。也就是n个立方体的壳数除以2^n n！。
（原名M1974 N0783）
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+10
68
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1, 1, 2, 10, 74, 706, 8162, 110410, 1708394, 29752066, 576037442, 12277827850, 285764591114, 7213364729026, 196316804255522, 5731249477826890, 178676789473121834, 5925085744543837186, 208256802758892355202, 7734158085942678174730
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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a（n+1）是概率密度函数rho（x）=（1/sqrt（2*Pi））*exp（x^2/2）/[（u（x））^2+Pi/2]在实数区间无穷大上的2*n阶矩。。无限大-格鲁·罗兰，2009年1月13日
开始（1、2、10、74…）=的INVERTi变换A001147号: (1, 3, 15, 105, ...). -加里·亚当森2009年10月21日
a（n）=标记的Dyck（n-1）路径数(A000108号)其中，终止向上步的每个顶点都用[0，h]中的整数i标记，其中h是顶点的高度。例如，UDUD提供4个带标签的路径——0D0D、0D1D、1D0D和1D1D，其中upsteps被其标签替换——而UUDD将6个带标签路径提供给a（3）=10。下面的Deléham（2007年3月24日）公式按“0”标签的数量计算这些标记路径-大卫·卡伦2011年8月23日
a（n）是[2n]上不可分解完美匹配的个数。如果边的非空子集在[2k]上对某些k＜n形成完美匹配，则[2n]上的完美匹配是可分解的；否则它是不可分解的。例如，完美匹配1-2,3-4是可分解的，a（2）=2表示1-3,2-4和1-4,2-3-大卫·卡伦2012年11月29日
QED图是具有两种边（线）的图：a（无定向）、f（定向）和只有一种（内部）顶点：aff。它们可能有内部和外部（即悬挂式）线路。顺序是（内部）顶点的数量。消失图：包含f型循环和奇数顶点的QED图被设置为0（Furry定理）。适当的图：当任意内部线被切割时保持连接的QED图。
从n=0开始，2n阶电子传播子（QED的2点函数）的2n阶费曼图的个数，无论是否消失，正确与否，由1，2，10，74，706，8162。。。，即这个序列A000698号，删除了第一个术语（等于1）。将关联的g.f调用给Sf。
对于相同的两点函数，非消失费曼图的个数由1，1，4，25，208，2146。。。，即按顺序A005411号，添加了0阶等于1的第一项。称S为相关的g.f。
如果不删除消失图，但同时只考虑那些合适的图，就可以得到QED，0，1，3，21，207，2529，…，自能函数的费曼图（消失和非消失）。。。，即序列A115974号添加了一个0阶的第一项，等于0。A115974年是两倍A167872号将关联的g.f.调用Sigmaf。
如果去掉消失图，同时只考虑那些合适的图，就可以得到由0，1，3，18，153，1638。。。，即按顺序A005412号，添加了0阶第一项，等于0。将关联的g.f称为Sigma。
然后Sf=1/（1-西格玛）和S=1/（1-西格玛）。（结束）
对于n>0，乘积在（x_p+y_p）/y_p的所有峰值p上的半长n-1的所有Dyck路径的和，其中x_p和y_p是峰值p的坐标-阿洛伊斯·海因茨2015年5月22日
此外，还统计了闭正规线性λ项的某些同构类。【N.Zeilberger，2015年】-N.J.A.斯隆2016年9月18日
对于n>=2，a（n）是由匹配的lodgepole基因树和具有2n-1叶的物种树组成的对的合并历史数-诺亚·罗森伯格2022年6月21日
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参考文献
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Dubois C.、Giorgetti A.、Genestier R.（2016）《枚举组合数学的测试和证明》。收录：Aichernig B.，Furia C.（编辑）测试和证明。TAP 2016年。计算机科学讲义，第9762卷。斯普林格。
罗宾逊，《精确渐近计算不可约费曼图》，《抽象阿默》。数学。Soc.，2002年，#975-05-270。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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S.Birdsong和G.Hetyei，超立方体边界壳类型的格雷码，arXiv预印本arXiv:11111.4710[math.CO]，2011。
S.Birdsong和G.Hetyei，超立方体边界壳类型的格雷码，离散数学。313（2013），第3期，258-268。MR2995390。
乔纳森·伯恩斯和蒂拉洪·穆切，不可约双现词计数，arXiv预印arXiv:1105.2926[math.CO]，2011，引理3.2。
Jonathan Burns、Egor Dolzhenko、Natasa Jonoska、Tilahun Muche和Masahico Saito，与DNA重组相关的具有刚性顶点的四正则图，光盘。申请。数学。161（2013）1378-1394
J.Courtiel、K.Yeats和N.Zeilberger，连通弦图和无桥映射，arXiv:1661.04611，提案13。
M.A.Deryagina和A.D.Mednykh，关于给定边数的圆映射的计数，《西伯利亚数学杂志》，第54期，2013年第6期，624-639。
F.Disanto和N.A.Rosenberg，屋极树种的聚集历史，J.计算。《生物学》第22期（2015年），第918-929页。
Ali Assem Mahmoud和Karen Yeats，连通弦图与渐近展开的组合学，arXiv:2010.06550[math.CO]，2020年。
R.J.Martin和M.J.Kearney，一个精确可解的自进化递推，arXiv:1103.4936[math.CO]，2011年。
R.J.Martin和M.J.Kearney，一个精确可解的自进化递推、枇杷。数学。，80 (2010), 291-318. 见第292页。
A.Prunotto、W.M.Alberico和P.Czerski，费曼图和根地图，打开Phys。16 (2018) 149-167.
J.Touchard，配置和分数问题仍在继续、加拿大。数学杂志。，4 (1952), 2-25. [注释、更正、扫描副本]
诺姆·齐尔伯格，半关联律的序贯演算，arXiv预印本1803.1003018年3月（2017年会议论文的修订版）
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配方奶粉
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通用公式：2-1/（1+Sum_{n>=1}（2*n-1）！！*x ^n）。
发件人保罗·巴里，2009年11月26日：（开始）
G.f.：1+x/（1-2x/（1-3x/（1-4x/（1-5x/（1-6x/（1-…（续分数））。
通用公式：1+x/（1-2x-6x^2/（1-7x-20x^2/-（1-11x-42x^2/（1-15x-72x^2//（1-19x-110x^2/.（1-……（连分数））。（结束）
镀锌：1+x/W（0）；其中W（k）=1+x+x*2k-x*（2k+3）/W（k+1）；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2011年11月17日
发件人彼得·巴拉，2011年12月22日：（开始）
递归关系：对于n>=0和a（1）=1，a（n+1）=（2*n-1）*a（n）+Sum_{k=1..n}a（k）*a。
o.g.f.B（x）=Sum_{n>=1}a（n）*x^（2*n-1）=x+2*x^3+10*x^5+74*x^7+。。。满足Riccati微分方程y'（x）=-1/x^2+（1/x^3）*y（x）-（1/x*2）*y。A005412号). 解是B（x）=1/z（x）+1/x，其中z（x）=-Sum_{n>=0}A001147号（n） *x^（2*n+1）=-（x+x^3+3*x^5+15*x^7+…）。函数b（x）=-b（1/x）满足b'（x）=-1-（x+b（x。因此微分算子（D^2+x*D+1），其中D=D/dx，分解为（D-a（x））*（D-b（x）。有关此序列的细化，请参见A053979号.（结束）
连续分数：
G.f.：2-G（0），其中G（k）=1-（k+1）*x/G（k+1。
G.f.：2-U（0），其中U（k）=1-（2*k+1）*x/（1-（2*k+2）*x/U（k+1））。
G.f.：2-U（0），其中U（k）=1-（4*k+1）*x-（2*k+1，2*k+2）*x^2/U（k+1））。
G.f.：1/Q（0），其中Q（k）=1-x*（2*k+2）/（1-x*（2%k+3）/Q（k+1））。
G.f.：1+x/Q（0），其中Q（k）=1-x*（k+2）/Q（k+1））。
G.f.：2-G（0）/2，其中G（k）=1+1/（1-2*x*（2*k+1）/（2*x+1）-1+2*x x*（2*k+2）/G（k+1）））。
G.f.：1+x*G（0），其中G（k）=1-x*（k+2）/（x*（k+2）-1/G（k+1））。
G.f.：1+x/（1-2*x*B（x）），其中B（xA167872号.（结束）
G.f.：1+x*（1/x+（sqrt（2/Pi）*exp（1/（2*x））*sqrt。这个生成函数是从（4维）QED的生成泛函中获得的，对于2点函数，在0维中求值，没有对实现Furry定理进行修改-罗伯特·科克雷2014年9月14日
G.f.A（x）=1+x/（1+x-3*x/（1+3*x-5*x/。
A（x）=1+x/（1+x-3*x/（1-2*x/（1-5*x/（1-4*x/（1-7*x/（1-6*x/（1-…）））））））。（结束）
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例子
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G.f.=1+x+2*x^2+10*x^3+74*x^4+706*x^5+8162*x^6+11041*x^7+。。。
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MAPLE公司
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A006882号：=proc（n）选项记忆；如果n<=1，则1其他n*进程名（n-2）；fi；结束；
A000698号：=proc（n:：integer）局部结果，fac，pows，c，c1，p，i；如果n=0，则返回（1）；else pows：=组合[分区]（n）；结果：=0；对于从1到nops（pows）的p，doc:=组合[置换]（op（p，pows））；c1：=op（1，c）；fac:=nops（c）；对于i从1到nops（c1），dofac:=fac*双阶乘（2*op（i，c1）-1）；od；结果：=结果-（-1）^nops（c1）*fac；od:fi；返回（结果）；结束#R.J.马塔尔2006年4月24日
#备选Maple计划：
b： =proc（x，y，t）选项记忆`如果`（y>x或y<0，0，
`如果`（x=0，1，b（x-1，y-1，false）*`如果`（t，（x+y）/y，1）+
b（x-1，y+1，真））
结束：
a： =n->`如果`（n=0，1，b（2*n-2，0，false））：
a_list:=proc（len）局部n，a；如果len=1，则返回[1]fi:A:=数组（-1..len-2）；A[-1]：=1；A[0]：=1；对于n到len-2 do A[n]：=（2*n-1）*A[n-1]+加法（A[j]*A[n-j-1]，j=0..n-1）od：转换（A，list）结束：A_list（20）#彼得·卢什尼2017年7月18日
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数学
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a[n]：=a[n]=（2n-1）！！-求和[a[n-k]（2k-1）！！，{k，n-1}]；阵列[a，18，0]（*Ignacio D.Peikoto，2006年6月23日*）
a[n_]：=如果[n<0，0，级数系数[2-1/和[（2k-1）！！x^k，{k，0，n}]，{x，0，n}]]；(*迈克尔·索莫斯2011年11月16日*）
a[n_]：=系列系数[1+x（1/x+（E^（（1/2）/x）Sqrt[2/\[Pi]]Sqrt[-（1/x）]）/Erfc[Sqrt[-（1/x）]/Sqrt[2]），{x，0，n}，假设->x>0](*罗伯特·科克雷2014年9月14日*）
最大值=20；g=t/折叠[1-（（t+#2）*z）/#1&，1，范围[max，1，-1]]；T[n_，k_]：=级数系数[g，{z，0，n}，{T，0，k}]；a[0]=1；a[n_]：=总和[T[n-1，k]，{k，0，n}]；表[a[n]，{n，0，20}](*Jean-François Alcover公司2016年1月31日之后菲利普·德尔汉姆*)
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，polceoff（2-1/和（k=0，n，x^k*（2*k）！/（2^k*k！），x*O（x^n）），n））}/*迈克尔·索莫斯2011年2月8日*/
（PARI）{a（n）=my（a）；如果（n<1，n==0，a=向量（n）；a[1]=1；对于（k=2，n，a[k]=（2*k-3）*a[k-1]+和（j=1，k-1，a[j]*a[k]）；a[n]）}/*迈克尔·索莫斯2011年7月24日*/
（Python）
从sympy导入factorial2，缓存
@缓存
定义a（n）：如果n==0，则返回1，否则factorial2（2*n-1）-sum（factorial（2*k-1）*a（n-k）用于范围（1，n）中的k）
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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Ignacio D.Peixoto修正的配方，2006年6月23日
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状态
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已批准
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A111184号
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| 三角形T（n，k），0<=k<=n，按行读取，由[0，2，1，3，2，4，3，5，4，6，5，7，6，…]DELTA[1，0，1，0A084938号. |
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+10
2
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1, 0, 1, 0, 2, 1, 0, 6, 6, 1, 0, 24, 34, 12, 1, 0, 120, 210, 110, 20, 1, 0, 720, 1452, 974, 270, 30, 1, 0, 5040, 11256, 8946, 3248, 560, 42, 1, 0, 40320, 97296, 87504, 38338, 8792, 1036, 56, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0.5
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链接
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配方奶粉
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O.g.f.满足：A（x，y）=（1+x^2*A'（x，y））/。[保罗·D·汉纳2011年7月31日]
O.g.f.满足：A（x，y）=1-x*d/dx log（1+x-x*y-x*A（x，y））。[保罗·D·汉纳2011年7月30日]
Sum_{k，0<=k<=n}T（n，k）*2^（n-k）=A004208号（n） ●●●●。
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例子
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行开始：
1;
0, 1;
0, 2, 1;
0、6、6、1；
0, 24, 34, 12, 1;
0, 120, 210, 110, 20, 1;
0, 720, 1452, 974, 270, 30, 1;
0, 5040, 11256, 8946, 3248, 560, 42, 1;
0, 40320, 97296, 87504, 38338, 8792, 1036, 56, 1.
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数学
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DELTA[r_，s_，m_]：=模[{p，q，t，x，y}，q[k_]：=xr[[k+1]]+ys[[k+1]]；p[0，_]=1；p[_，-1]=0；p[n_/；n>=1，k_/；k>=0]：=p[n，k]=p[n，k-1]+q[k]p[n-1，k+1]//展开；t[n_，k_]：=系数[p[n，0]，x^（n-k）y^k]；t[0,0]=p[0,0]；表[t[n，k]，{n，0，m}，{k，0，n}]]；
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黄体脂酮素
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（PARI）{T（n，k）=局部（A=1+x*y）；对于（i=1，n，A=1-x*导数（log（1+x-x*y-x*A+x*O（x^n）））；polcoeff（polcoff（A，n，x），k，y）}/*保罗·D·汉纳*/
（PARI）{T（n，k）=局部（A=1+x*y）；对于（i=1，n，A=（1+x^2*A'）/（1+x-x*y-x*A+x*O（x^n））；polcoeff（polcoff（A，n，x），k，y）}/*保罗·D·汉纳*/
/*打印10行三角形：*/
对于（n=0，10，对于（k=0，n，print1（T（n，k），“，”））；打印（“”）
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交叉参考
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关键词
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作者
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已批准
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A330436型
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| a（n）=n*n！！-求和{k=1..n-1}k！！*a（n-k）。 |
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+10
0
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1, 3, 4, 19, 31, 168, 323, 1859, 4072, 24403, 59423, 368488, 980123, 6275139, 17998264, 118858755, 364059999, 2478263856, 8045642683, 56418223739, 192980878976, 1392909382923, 4995715059111, 37083230363840, 138896979832131, 1059335618366171
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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链接
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配方奶粉
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L.g.f.：log（总和{k>=0}k！！*x^k）。
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数学
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a[n]：=a[n]=n n！！-求和[k！！a[n-k]，{k，1，n-1}]；表[a[n]，{n，1，26}]
nmax=26；系数列表[Series[Log[Sum[k！！x^k，{k，0，nmax}]]，{x，0，nmax}]，x]Range[0，nmax]//Rest
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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