搜索： a004015-编号：a004015
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A000122号
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| 雅可比θ函数θ_3（x）=Sum_{m=-oo..oo}x^（m^2）的展开式（k^2=n的整数解的个数）。 |
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+10
1503
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1, 2, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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一维晶格Z的Theta级数。
此外，本质上与一维晶格A_1、A*_1、D_1、D*_1的θ级数相同。
将n写成正方形的方法的数量。
密切相关：theta_4（x）=Sum_{m=-oo..oo}（-x）^（m^2）。请参见A002448号.
D.Zagier在《模块形式的1-2-3》第30页列出的14个原始eta-products中的第6个，它们是重量为1/2的全纯模块形式-迈克尔·索莫斯2016年5月4日
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参考文献
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Tom M.Apostol，《数论中的模函数和Dirichlet级数》，第二版，施普林格出版社，1990年，练习1，第91页。
J.M.Borwein和P.B.Borwein.，《Pi和AGM》，威利出版社，1987年，第64页。
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第104页，[5n]。
J.H.Conway和N.J.A.Sloane，“球形填料、晶格和群”，Springer-Verlag，第102页。
N.J.Fine，《基本超几何级数与应用》，美国。数学。Soc.，1988年；第93页，等式（34.1）；第78页，等式（32.22）。
G.H.Hardy和E.M.Wright，《定理352》，第282页。
J.Tannery和J.Molk，Eléments de la Théorie des Fonctions Elliptiques，第2卷，Gauthier-Villars，巴黎，1902年；切尔西，纽约，1972年，见第27页。
E.T.Whittaker和G.N.Watson，《现代分析课程》，剑桥大学出版社，第4版，1963年，第464页。
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链接
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史蒂文·R·芬奇，数学常数II《数学及其应用百科全书》，剑桥大学出版社，剑桥，2018年。
K.Ono、S.Robins和P.T.Wahl，关于整数作为三角数和的表示《Aequationes mathematicae》，1995年8月，第50卷，第1-2期，第73-94页。
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配方奶粉
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eta（q^2）^5/（eta（q）*eta（q^4））^2的q次幂展开。
周期4序列的欧拉变换[2，-3，2，-1，…]。
G.f.A（x）满足0=f（A（x-迈克尔·索莫斯2004年7月20日
G.f.A（x）满足0=f（A（x，A（x^3），A（x ^9）），其中f（u，v，w）=w^4-v^4+w*（u-w）^3-迈克尔·索莫斯2019年5月11日
G.f.：求和{m=-oo..oo}x^（m^2）；
a（0）=1；对于n>0，a（n）=0，除非n是一个正方形，当a（n）=2。
G.f.：产品{k>0}（1-x^（2*k））*（1+x^）（2*k-1））^2。
G.f.：s（2）^5/（s（1）^2*s（4）^2），其中s（k）：=subs（q=q^k，eta（q）），其中eta（q）是Dedekind函数，参见。A010815号.[罚款]
雅可比三乘积恒等式表明，对于|x|<1，z！=0，产品{n>0}{（1-x^（2n））（1+x^。
对于n>0，a（n）=2*（楼层（sqrt（n））-楼层（sqrt（n-1）））-米凯尔·奥尔顿2015年1月17日
G.f.是周期1傅里叶级数，满足f（-1/（4t））=2^（1/2）（t/i）^（1/2）f（t），其中q=exp（2Pi it）-迈克尔·索莫斯2016年5月5日
Dirichlet g.f.：2*zeta（2s）-1-弗朗索瓦·奥格2019年10月26日
G.f.似乎等于exp（2*Sum_{n>=0}x^（2xn+1）/（2*n+1）*（1+x^））-彼得·巴拉2021年12月23日
G.f.A.（x）满足A（x）*A（-x）=A（-x^2）^2。
A（x）=和{n>=1}x^（n-1）*乘积{k>=n}1-（-x）^k。
A（x）^2=1+4*Sum_{n>=1}（-1）^（n+1）*x^（2*n-1）/（1-x^。例如，见罚款，26.63。
A（x）=1+2*Sum_{n>=1}x^（n*（n+1）/2）*（乘积_{k=1..n-1}1+x^k）/（乘积_{k=1..n}1+x^（2*k））。见Fine，方程式14.43。（结束）
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例子
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G.f.=1+2*q+2*q^4+2*q^9+2*q^16+2*q ^ 25+2*q ^ 36+2*q ^ 49+2*。。。
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MAPLE公司
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加法（x^（m^2），m=-10..10）：seq（系数（%，x，n），n=0..100）；
#备选方案
如果n=0，则
1；
elif issqr（n）那么
2；
其他的
0 ;
结束条件：；
结束进程：
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数学
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a[n_]：=级数系数[EllipticTheta[3，0，q]，{q，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2011年7月11日*）
系数列表[Sum[x^（m^2），{m，-（n=10），n}]，x]
（4 q赭石[q^2]/q赭石[1，-q]^2+O[q]^101）[[3]](*弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2016年9月16日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=我的（a）；如果（n<0，0，a=x*O（x^n）；polceoff（eta（x^2+a）^5/（eta（x+a）*eta（x^4+a））^2，n））}/*迈克尔·索莫斯2011年3月14日*/
（PARI）{a（n）=平方（n）*2-（n==0）}/*迈克尔·索莫斯1999年6月17日*/
（岩浆）基础（模块形式（Gamma0（4），1/2），100）[1]/*迈克尔·索莫斯2014年6月10日*/
（岩浆）L:=晶格（“A”，1）；A<q>：=θ系列（L，20）；A/*迈克尔·索莫斯2014年11月13日*/
（圣人）
Q=对角线二次型（ZZ，[1]）
Q.representation_number_list（105）#彼得·卢什尼2014年6月20日
（朱莉娅）
使用Nemo
函数JacobiTheta3（len，r）
R、 x=多项式环（ZZ，“x”）
e=θ_qexp（r，len，x）
0中j的[fmpz（系数（e，j））：len-1]结束
A000122列表（len）=JacobiTheta3（len，1）
A000122列表（105）|>打印#彼得·卢什尼2018年3月12日
（Python）
从sympy.theory.primetest导入为平方
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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A004016号
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| 平面六角晶格A_2的Theta系列。
（原名M4042）
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+10
311
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1, 6, 0, 6, 6, 0, 0, 12, 0, 6, 0, 0, 6, 12, 0, 0, 6, 0, 0, 12, 0, 12, 0, 0, 0, 6, 0, 6, 12, 0, 0, 12, 0, 0, 0, 0, 6, 12, 0, 12, 0, 0, 0, 12, 0, 0, 0, 0, 6, 18, 0, 0, 12, 0, 0, 0, 0, 12, 0, 0, 0, 12, 0, 12, 6, 0, 0, 12, 0, 0, 0, 0, 0, 12, 0, 6, 12, 0, 0, 12, 0
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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六角形晶格是常见的二维晶格，其中每个点都有6个邻居。这有时被称为三角晶格。
a（n）是x^2+x*y+y^2=n（或等价的x^2-x*y+y^2=n）的整数解的数目-迈克尔·索莫斯2004年9月20日
a（n）是x^2+y^2+z^2=2*n的整数解数，其中x+y+z=0-迈克尔·索莫斯2012年3月12日
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参考文献
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B.C.Berndt，Ramanujan笔记本第四部分，Springer-Verlag，见第171页，条目28。
哈维·科恩，《高级数论》，多佛出版公司，1980年，第89页。例18。
J.H.Conway和N.J.A.Sloane，“球形填料、晶格和群”，Springer-Verlag，第111页。
M.N.Huxley，《面积、格点和指数和》，牛津，1996年；第236页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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J.M.Borwein和P.B.Borwein，雅各比身份和年度股东大会的立方对应物，变速器。阿默尔。数学。Soc.，323（1991），第2期，691-701。MR1010408（91e:33012）见第695页。
克里斯蒂安·卡塞尔（Christian Kassel）和克里斯托夫·鲁特诺（Christophe Reutenauer），二维环面上n点的Hilbert格式的zeta函数，arXiv:1505.07229v3[math.AG]，2015年。[请注意，本文的较新版本具有不同的标题和内容，论文的理论部分已移至本列表下一个出版物。]
小池正雄，非紧算术三角群上的模形式，未出版手稿【N.J.A.Sloane用OEIS A-numbers广泛注释，2021年2月14日。我在第一页写的是2005年，但内部证据表明是1997年。]
N.J.A.斯隆，球形填料和球形代码表，IEEE传输。信息理论，第IT-27卷，1981年，第327-338页。
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配方奶粉
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a（q）的q次幂展开式，其中a（q）是第一个三次AGMθ函数。
θ_3（q）*theta_3（q^3）+θ_2（q）*θ_2。
φ（x）*phi（x^3）+4*x*psi（x^2）*psi（x^6）的x次幂展开式，其中phi（）、psi（）是Ramanujan theta函数。
（1/Pi）积分{0..Pi/2}θ_3（z，q）^3+θ_4（z，q）^3 dz的幂展开式-迈克尔·索莫斯2012年1月1日
系数x^0在f（x*q，q/x）^3中以q^2的幂展开，其中f（，）是Ramanujan的广义θ函数-迈克尔·索莫斯2012年1月1日
G.f.A（x）满足0=f（A（x，A（x^2），A（x ^4）），其中f（u，v，w）=u^2-3*v^2-2*u*w+4*w^2-迈克尔·索莫斯2004年6月11日
G.f.A（x）满足0=f（A（x”），A（x^2），A“x^3”，A“x^6”），其中f（u1，u2，u3，u6）=（u1-u3）*（u3-u6）-（u2-u6）^2-迈克尔·索莫斯2005年5月20日
G.f.是周期1傅里叶级数，满足f（-1/（3t））=3^（1/2）（t/i）f（t），其中q=exp（2Pi it）-迈克尔·索莫斯2007年9月11日
G.f.A（x）从拉马努扬（Ramanujan）出发，满足A（x）+A（-x）=2*A（x^4）。
G.f.：1+6*Sum_｛k>0｝x^k/（1+x^k+x^（2*k））-迈克尔·索莫斯2003年10月6日
G.f.：总和_（q^（n^2+n*m+m^2）），其中总和（对于n和m）延伸到整数上-乔格·阿恩特2011年7月20日
通用公式：θ_3（q）*θ_3（q^3）+θ_2（q）*theta_2（q^2）=（eta（q^（1/3））^3+3*eta（q ^3）^3）/eta（q）。
一般公式：1+6*Sum_{n>=1}x^（3*n-2）/（1-x^-保罗·D·汉纳2011年7月3日
渐近平均值：极限{m->oo}（1/m）*Sum_{k=1..m}a（k）=2*Pi/sqrt（3）=3.627598(A186706号). -阿米拉姆·埃尔达尔2022年10月15日
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例子
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G.f.=1+6*x+6*x^3+6*x^4+12*x^7+6*x|9+6*x*12+12*x^13+6*x*16+。。。
最小范数为2:
1+6*q^2+6*q^6+6*q ^8+12*q ^ 14+6*q^18+6*q ^ 24+12*q^ 26+6*q^32+12*q^38+12*q ^42+6*q ^ 50+6*q ^54+12*q^56+12*^128+12*q^134+12*q ^146+6*q ^150+12*q ^152+12*q^158+。。。
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MAPLE公司
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局部a，j；
对于0到n/3 do的j
结束do：
a；
结束进程：
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数学
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a[n_]：=如果[n<1，Boole[n==0]，6除数和[n，KroneckerSymbol[#，3]&]]；(*迈克尔·索莫斯，2011年11月8日*）
a[n_]：=级数系数[（QPochhammer[q]^3+9 q QPochharmer[q ^9]^3）/QPochhammer[q ^3]，{q，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2014年11月13日*）
a[n_]：=系列系数[EllipticTheta[3，0，q]EllipticTheta[3，0，q^3]+EllipticTheta[2，0，q]EllipticTheta[2，0，q^3]，{q，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2014年11月13日*）
a[n_]：=长度@FindInstance[x^2+xy+y^2==n，{x，y}，整数，10^9]；(*迈克尔·索莫斯2015年9月14日*）
术语=81；f[q_]=LatticeData[“A2”，“ThetaSeriesFunction”][-I Log[q]/Pi]；s=级数[f[q]，{q，0，2项}]；系数列表[s，q^2][[1；；项]](*Jean-François Alcover公司2017年7月4日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=my（a，p，e）；如果（n<1，n==0，a=因子（n）；6*prod（k=1，矩阵大小（a）[1]，[p，e]=a[k，]；如果（p==3，1，p%3==1，e+1，1-e%2））}/*迈克尔·索莫斯，2005年5月20日*//*编者注：这是最有效的程序*/
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，polceoff（1+6*和（k=1，n，x^k/（1+x^k+x^（2*k）），x*O（x^n）），n））}/*迈克尔·索莫斯2003年10月6日*/
（PARI）{a（n）=如果（n<1，n==0，6*sumdiv（n，d，kronecker（d，3）））}/*迈克尔·索莫斯2005年3月16日*/
（PARI）{a（n）=如果（n<1，n==0，6*sumdiv（n，d，（d%3==1）-（d%3==2））}/*迈克尔·索莫斯2005年5月20日*/
（PARI）{a（n）=我的（a）；如果（n<0，0，n*=3；a=x*O（x^n）；波尔科夫（（eta（x+a）^3+3*x*eta（x^9+a））^3）/eta（x^3+a），n））}/*迈克尔·索莫斯2005年5月20日*/
（PARI）{a（n）=如果（n<1，n==0，qfrep（[2，1；1，2]，n，1）[n]*2）}/*迈克尔·索莫斯2005年7月16日*/
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，polcoeff（1+6*和（k=1，n，x^（3*k-2）/（1-x^/*保罗·D·汉纳2011年7月3日*/
（Sage）模块形式（Gamma1（3），1，prec=81）.0#迈克尔·索莫斯2013年6月4日
（岩浆）基础（模块形式（Gamma1（3），1），81）[1]/*迈克尔·索莫斯2014年5月27日*/
（岩浆）L:=晶格（“A”，2）；A<q>：=ThetaSeries（L，161）；A/*迈克尔·索莫斯2014年11月13日*/
（Python）
从数学导入prod
来自sympy导入因子
定义A004016号（n） ：如果p%3==1，则返回6*prod（e+1）；如果p！=3） 如果n其他1#柴华武2022年11月17日
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交叉参考
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关键词
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非n,美好的,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A005875号
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| 简单立方晶格的Theta级数；还有将非负整数n写成3个平方和的方法（允许为零）。
（原名M4092）
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+10
80
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1, 6, 12, 8, 6, 24, 24, 0, 12, 30, 24, 24, 8, 24, 48, 0, 6, 48, 36, 24, 24, 48, 24, 0, 24, 30, 72, 32, 0, 72, 48, 0, 12, 48, 48, 48, 30, 24, 72, 0, 24, 96, 48, 24, 24, 72, 48, 0, 8, 54, 84, 48, 24, 72, 96, 0, 48, 48, 24, 72, 0, 72, 96, 0, 6, 96, 96, 24, 48, 96, 48, 0, 36, 48, 120
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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整数的有序三元组（i，j，k）的数量，使得n=i^2+j^2+k^2。
简单立方晶格中交变单位电荷的马德龙库仑能为Sum_{n>=1}（-1）^n*a（n）/sqrt（n）=-A085469号. -R.J.马塔尔2006年4月29日
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参考文献
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H.Cohen，《数论》，第1卷：工具和丢番图方程，Springer-Verlag，2007年，第317页。
J.H.Conway和N.J.A.Sloane，“球形填料、晶格和群”，Springer-Verlag，第107页。
H.Davenport，《高等算术》。剑桥大学出版社，第7版，1999年，第五章。
L.E.Dickson，《数字理论史》。卡内基公共研究所。256，华盛顿特区，第1卷，1919年；第2卷，1920年；1923年第3卷，见第3卷第109页。
E.Grosswald，整数表示为平方和。施普林格出版社，纽约，1985年，第54页。
L.Kronecker，Crelle，第LVII卷（1860年），第248页；沃克，第四卷，第188页。
C.J.Moreno和S.S.Wagstaff，Jr.，《整数平方和》，查普曼和霍尔出版社，2006年，第43页。
T.Nagell，《数论导论》，威利出版社，1951年，第194页。
W.Sierpiński，1925年。Teorja Liczb。第1-410页（第61页）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
H.J.S.Smith，《数论报告》，重印于《数学文集》第1卷。论文，切尔西，纽约，1979年，见第338页，等式（B'）。
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链接
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S.K.K.Choi、A.V.Kumchev和R.Osburn，关于三个平方和，arXiv:math/0502007[math.NT]，2005。
M.Doring、J.Haidenbauer、U.-G.Meissner和A.Rusetsky，动量格上的动态耦合通道方法，arXiv:1108.0676[hep-lat]，2011年。
R.J.Mathar，简单立方格的层次细分，arXiv:1309.3705[math.MG]，2013年。
J.L.Mordell，整数的三个正平方表示密歇根州数学。J.7（3）：289-290（1960）。
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配方奶粉
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有一个经典公式（主要是由于高斯）：
对于3平方和r_3（n）：写（唯一）-n=D（2^vf）^2，具有D<0基本判别式，f奇数，v>=-1。则r3（n）=12L（（D/.），0）（1-（D/2））和{D|f}μ（D）（D/D）σ（f/D）。
这里，mu是Moebius函数，（D/2）和（D/D）是Kronecker-Legendre符号，sigma是除数函数的和，L（（D/.），0）=h（D）/（w（D）/2）是二次字符（D/亨利·科恩（Henri Cohen（AT）math.u-bordeaux1.fr），2010年5月12日
a（n）=3*T（n），如果n==1,2,5,6 mod 8，=2*T（n），如果n==3 mod 8=A117726号（n） ●●●●。[Moreno-Wagstaff]。
“如果12E（n）是n作为三个平方和的表示数，那么E（n。[参见。A117726号.]
a（n）=和{d^2|n}b（n/d^2），其中b（）=A074590号（）给出了基本解的数量。
φ（q）^3的q次幂展开式，其中phi（）是Ramanujanθ函数-迈克尔·索莫斯2006年10月25日。
周期4序列的欧拉变换[6，-9，6，-3，…]-迈克尔·索莫斯2006年10月25日
G.f.：（Z}x^（k^2）中的和{k）^3。
a（8*n+7）=0。a（4*n）=a（n）。
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例子
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考虑了顺序和符号：a（1）=6 from 1=（+-1）^2+0^2+0 ^2，a（2）=12 from 2=（+-1）^2+（+-一）^2+0^2；a（3）=8，从3=（+-1）^2+（+-1，^2+（+-1）^2开始，依此类推。
G.f.=1+6*q+12*q^2+8*q^3+6*q^4+24*q^5+24*q ^6+12*q ^8+30*q ^9+24*q ^10+。。。
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MAPLE公司
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（总和（x^（m^2），m=-10..10））^3；seq（系数（%，x，n），n=0..50）；
备选方案：
A005875列表：=proc（len）系列（JacobiTheta3（0，x）^3，x，len+1）；
seq（系数（%，x，j），j=0..len-1）结束：A005875列表（75）#彼得·卢什尼2018年10月2日
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数学
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平方R[3，范围[0，80]](*哈维·P·戴尔2011年7月21日*）
a[n_]：=级数系数[EllipticTheta[3，0，q]^3，{q，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2014年6月25日*）
a[n_]：=长度@FindInstance[n==x^2+y^2+z^2，{x，y，z}，整数，10^9]；(*迈克尔·索莫斯2015年5月21日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，polceoff（和（k=1，平方（n），2*x^k^2，1+x*O（x^n））^3，n））}；
（PARI）{a（n）=我的（a）；如果（n<0，0，a=x*O（x^n）；polceoff（（eta（x^2+a）^5/（eta（x+a）*eta（x^4+a））^2）^3，n））}/*迈克尔·索莫斯2012年6月3日*/
（PARI）{a（n）=我的（G）；如果（n<0，0，G=[1，0，0；0，1；0，0/*迈克尔·索莫斯2015年5月21日*/
（圣人）
Q=对角线二次型（ZZ，[1]*3）
Q.representation_number_list（75）#彼得·卢什尼2014年6月20日
（岩浆）基础（模块形式（伽马1（4），3/2），75）[1]/*迈克尔·索莫斯2014年6月25日*/
A005875列表（len）=JacobiTheta3（len，3）
A005875列表（75）|>打印#彼得·卢什尼2018年3月12日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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经核准的
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A005901号
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| 立方八面体（或二十面体）表面上的点数：a（0）=1；对于n>0，a（n）=10n^2+2。也适用于f.c.c.或A_3或D_3晶格的配位序列。
（原名M4834）
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1, 12, 42, 92, 162, 252, 362, 492, 642, 812, 1002, 1212, 1442, 1692, 1962, 2252, 2562, 2892, 3242, 3612, 4002, 4412, 4842, 5292, 5762, 6252, 6762, 7292, 7842, 8412, 9002, 9612, 10242, 10892, 11562, 12252, 12962, 13692, 14442, 15212, 16002
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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评论
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通过读取段（1，12）和从12开始的直线，在方向12，42，…，上找到序列。。。，在顶点为广义七角数的方形螺旋中A085787号. -奥马尔·波尔2012年7月18日
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参考文献
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H.S.M.Coxeter，“多面体数”，R.S.Cohen等人，编辑，为Dirk Struik。雷德尔，多德雷赫特，1974年，第25-35页。
格梅林无机和有机物手册。化学。，1994年第8版，TYPIX搜索码（225）cF4
B.Grünbaum，《三维空间的均匀平铺》，《地理组合学》，4（1994），49-56。请参见瓷砖#1。
R.W.Marks和R.B.Fuller，Buckminster Fuller的Dymaxion世界。Anchor，纽约，1973年，第46页。
S.Rosen，圆顶精灵：R.Buckminster Fuller；未来设计师。Little，Brown，Boston，1969年，第109页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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M.Baake和U.Grimm，根格和相关图的协调序列，arXiv:cond-mat/9706122，Zeit。f.Kristalographie，212（1997），253-256
J.H.Conway和N.J.A.Sloane，《低维格VII:协调序列》，Proc。伦敦皇家学会，A453（1997），2369-2389(pdf格式).
M.O’Keeffe先生，格的配位序列，Zeit。f.克里斯特。，210 (1995), 905-908.
M.O’Keeffe先生，格的配位序列，Zeit。f.克里斯特。，210 (1995), 905-908. [带注释的扫描副本]
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975【math.NT】，2009年。
B.K.Teo和N.J.A.Sloane，多边形和多面体簇中的幻数，无机。化学。24 (1985), 4545-4558.
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配方奶粉
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通用名称：（1+x）*（1+8*x+x^2）/（1-x）^3-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中
A_n晶格配位序列的G.f.是（1-z）^（-n）*Sum_{i=0..n}二项式（n，i）^2*z^i
例如：-1+2*（1+5*x+5*x^2）*exp（x）-G.C.格鲁贝尔2023年5月25日
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数学
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联接[{1}，10*Range[40]^2+2]（*或*）联接[{1'，LinearRecurrence[{3，-3，1}、{12，42，92}，40]](*哈维·P·戴尔2014年5月28日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=如果（n<0，0，10*n^2+1+（n>0））
（岩浆）[0.55]]中的[n eq 0选择1其他2*（5*n^2+1）：n//G.C.格鲁贝尔2023年5月25日
（SageMath）[2*（5*n^2+1）-int（n==0）表示范围（56）内的n]#G.C.格鲁贝尔2023年5月25日
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交叉参考
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28块统一的3D瓷砖：驾驶室：A299266型,A299267型; crs：A299268型,A299269型; 催化裂化装置：A005901号,A005902号; 费用：A299259号,A299265型; flu-e：A299272号,A299273号; fst（飞行时间）：A299258型,A299264型; 哈尔：A299274型,A299275型; hcp:A007899号,A007202号; 十六进制：A005897号,A005898号; 卡格：A299256型,A299262型; lta：A008137号,A299276号; pcu：A005899号,A001845号; pcu-i：A299277型,A299278号; 雷奥：A299279号,A299280型; reo-e：A299281型,A299282型; ρ值：A008137号,A299276号; 草皮：A005893号,A005894号; 速度：A299255型,A299261型; svh（奇异值）：A299283型,A299284号; svj：A299254型,A299260型; svk公司：A010001型,A063489号; 技术合作协议：A299285型,A299286型; 经颅多普勒超声心动图：A299287型,A299288型; tfs公司：A005899号,A001845号; tsi：A299289号,A299290型; ttw:A299257型,A299263型; ubt（ubt）：A299291型,A299292型; bnn编号：A007899号,A007202号。请参阅中的Proserpio链接A299266型以获取概述。
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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1, 7, 4, 7, 5, 6, 4, 5, 9, 4, 6, 3, 3, 1, 8, 2, 1, 9, 0, 6, 3, 6, 2, 1, 2, 0, 3, 5, 5, 4, 4, 3, 9, 7, 4, 0, 3, 4, 8, 5, 1, 6, 1, 4, 3, 6, 6, 2, 4, 7, 4, 1, 7, 5, 8, 1, 5, 2, 8, 2, 5, 3, 5, 0, 7, 6, 5, 0, 4, 0, 6, 2, 3, 5, 3, 2, 7, 6, 1, 1, 7, 9, 8, 9, 0, 7, 5, 8, 3, 6, 2, 6, 9, 4, 6, 0, 7, 8, 8, 9, 9, 3
(列表；常数；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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1,2
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评论
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这是由所有非零晶格点（i，j，k）处符号为（-1）^（i+j+k）的单位电荷在原点产生的静电势。
NaCl结构由两个电荷为+1和-1的离子互穿面心立方晶格组成，共同占据简单立方晶格的所有位置-安德烈·扎博洛茨基2019年10月21日
以德国物理学家埃尔文·马德隆（1881-1972）命名-阿米拉姆·埃尔达尔2022年4月2日
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参考文献
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Richard E.Crandall，《高级科学计算主题》，Springer，Telos图书，1996年，第73-79页。
史蒂文·R·芬奇，《数学常数》，剑桥，2003年，第76页。
萨德里·哈萨尼（Sadri Hassani），《使用数学的数学方法：针对物理和相关领域的学生》，纽约州斯普林格（Springer），第60页。
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链接
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David H.Bailey、Jonathan M.Borwein、Vishaal Kapoor和Eric W.Weisstein，实验数学中的十个问题，美国。数学。《月刊》，第113卷，第6期（2006年），第481-509页。
R.E.Crandall和J.P.Buhler，马德隆常数的初等函数展开《物理学杂志》。A： 数学。Gen.，第20卷，第16期（1987年），第5497-5510页。
R.E.Crandall和J.P.Buhler，晶格内的电势《物理学杂志》。A： 数学。Gen.，第20卷，第9期（1987年），第2279-2292页。
安德烈·豪托，泊松求和公式的新应用《物理学》杂志。A、 第8卷，第6期（1975年），第853-862页。
Sandeep Tyagi，马德隆常数的新级数表示，程序。西奥。物理。，第114卷第3期（2005年），第517-521页。
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配方奶粉
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求和{i，j，k不是全部0}（-1）^（i+j+k）/sqrt（i^2+j^2+k^2）。
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例子
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-1.7475645946331821906362120355443974034851614366247417581528253507。。。
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数学
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实数位[12Pi*Sum[Sech[Pi/2*Sqrt[（2j+1）^2+（2k+1）^2]^2，{j，0，40}，{k，0，40}]，10，111][1](*罗伯特·威尔逊v2005年7月12日*）
实数字[Quiet[12 Pi（Sech[Pi/Sqrt[2]）^2+NSum[Sum[Sech[Pi Norm[2v+1]/2]^2，{v，FrobeniusSolve[{1，1}，Round[m]}，Method->“Procedural”]，{m，1，Infinity}，Compiled->False，Method->“WynnEpsilon”，NSumTerms->33，WorkingPrecision->100]）][[1](*简·曼加尔丹2020年6月25日*）
数字=1800；m0=800；dm=10；dd=10；清除[f，g]；
g[j_，k_]：=g[j，k]=12 Pi秒[（Pi/2）平方[（2j+1）^2+（2k+1）^2]^2//N[#，数字+dd]&；
f[m]：=f[m]=和[g[j，k]，{j，0，m}，{k，0，m}]；
f[m=m0]；f[m+=dm]；
当[Abs[f[m]-f[m-dm]]>10^（-数字-dd）时，打印[m]；m+=dm]；
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交叉参考
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关键词
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A014455号
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| 具有Gram矩阵的二次型Theta级数[1，0，0；0，1，0；0，0，2]。x^2+y^2+2*z^2=n的整数解的个数。 |
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+10
10
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1, 4, 6, 8, 12, 8, 8, 16, 6, 12, 24, 8, 24, 24, 0, 16, 12, 16, 30, 24, 24, 16, 24, 16, 8, 28, 24, 32, 48, 8, 0, 32, 6, 32, 48, 16, 36, 40, 24, 16, 24, 16, 48, 40, 24, 40, 0, 32, 24, 36, 30, 16, 72, 24, 32, 48, 0, 32, 72, 24, 48, 40, 0, 48, 12, 16, 48, 56, 48, 32, 48, 16, 30, 64
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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评论
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这是尺寸为3的四方P晶格（经典全息）。
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链接
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配方奶粉
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phi（q）^2*phi（q^2）=psi（q）^4/psi（q^4）的q次方展开，其中phi（），psi（）是Ramanujanθ函数-迈克尔·索莫斯2012年4月7日
eta（q^2）^8*eta（q^4）/（eta（q）^4*eta-迈克尔·索莫斯2005年7月5日
周期8序列的欧拉变换[4，-4，4，-5，4，-4,4，-3，…]-迈克尔·索莫斯2005年7月7日
G.f.：θ_3（q）^2*theta_3（q^2）=Product_{k>0}（1-x^（2*k））^8*（1-x^（4*k）。
有一个经典公式（本质上是由于高斯）：写（唯一）-2n=D（2^vf）^2，用D<0基本判别式，f奇数，v>=-1。则a（n）=12L（（D/.），0）（1-（D/2））\sum_｛D\mid f｝\mu（D）（D/D）sigma（f/D）（A005875号)，但如果v=-1，系数（1-（D/2））必须替换为1/3，如果v=0，则必须替换为1（如果v>=1，则保留该系数）。这里，mu（）是Moebius函数，（D/2）和（D/D）是Kronecker-Legendre符号，sigma（）是除数函数的和，L（（D/.），0）=h（D）/（w（D）/2）是二次字符（D/亨利·科恩（Henri Cohen（AT）math.u-bordeaux1.fr），2010年5月12日
G.f.是周期1傅里叶级数，满足f（-1/（8 t））=32^（1/2）（t/i）^（3/2）G（t），其中q=exp（2 Pi it），G（）是A246631型.
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例子
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G.f.=1+4*q+6*q^2+8*q^3+12*q^4+8*qq^5+8*q_6+16*q^7+6*q_8+12*q^9+。。。
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数学
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r[n_，z_]：=减少[x^2+y^2+2*z^2==n，{x，y}，整数]；a[n_]：=模块[{rn0，rnz，k0，k}，rn0=r[n，0]；k0=如果[rn0===假，0，如果[Head[rn0]==And，1，Length[rn0]]]；对于[k=0；z=1，z<=天花板[Sqrt[n/2]]，z++，rnz=r[n，z]；如果[rnz=！=False，k=如果[Head[rnz]===And，k+1，k+Length[rnz]]]；k0+2*k]；表[a[n]，{n，0，100}](*Jean-François Alcover公司，2013年10月7日*）
a[n_]：=级数系数[EllipticTheta[3，0，q]^2 Elliptic Theta[3,0，q^2]，{q，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2014年8月31日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=if（n＜1，n＝＝0，2*qfrep（[1，0，0；0，1，0；0，0，2]，n）[n]）}/*迈克尔·索莫斯2005年7月5日*/
（PARI）{a（n）=局部（a）；如果（n<0，0，a=x*O（x^n）；polceoff（eta（x^2+a）^8*eta（x^4+a）/（eta/*迈克尔·索莫斯2005年7月5日*/
（岩浆）A:=基础（模块形式（伽马1（8），3/2），40）；A[1]+4*A[2]+6*A[3]+8*A[4]/*迈克尔·索莫斯2014年8月31日*/
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交叉参考
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关键词
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非n,美好的,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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1, 0, 0, 8, 6, 0, 0, 0, 12, 0, 0, 24, 8, 0, 0, 0, 6, 0, 0, 24, 24, 0, 0, 0, 24, 0, 0, 32, 0, 0, 0, 0, 12, 0, 0, 48, 30, 0, 0, 0, 24, 0, 0, 24, 24, 0, 0, 0, 8, 0, 0, 48, 24, 0, 0, 0, 48, 0, 0, 72, 0, 0, 0, 0, 6, 0, 0, 24, 48, 0, 0, 0, 36, 0, 0, 56, 24, 0, 0, 0, 24, 0, 0, 72, 48, 0, 0, 0, 24, 0, 0
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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评论
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bcc晶格也称为cowweight晶格A^*3（或D^*3），对偶于根晶格A_3（或D_3，或fcc晶格），或置换自面体晶格A^*_3-安德烈·扎博洛茨基2020年3月8日
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参考文献
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J.H.Conway和N.J.A.Sloane，“球形填料、晶格和群”，Springer-Verlag，第116页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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R.J.Mathar，简单三次格的层次细分，arXiv预印本arXiv:1309.3705[math.MG]，2013年。
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配方奶粉
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subs（q=q^2，ph）^3+（2*sqrt（q））^3*subs（q=q^4，ps）^3，其中ps=A010054号=和{k=0..无穷大}q^（k*（k+1）/2），ph=A000122号=Sum_{k=-无穷大，无穷大}q^（k^2）。
φ（q^4）^3+8*q^3*psi（q^8）^3的q次幂展开式，其中phi（）、psi（）是Ramanujan theta函数-迈克尔·索莫斯2006年10月25日
a（4*n+1）=a（4*n+2）=a、（8*n+7）=0。a（4*n）=A005875号（n） ●●●●。
θ_3（q）^3+θ_2（q）*3的幂展开式为q^（1/4）。
G.f.是满足f（-1/（8t））=2（t/i）^（3/2）G（t）的周期1傅立叶级数，其中q=exp（2pi i t），G（）是2015年4月0日.
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例子
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G.f.=1+8*x^3+6*x^4+12*x^8+24*x^11+8*x ^12+6*x^16+24*x ^19+24*x20+。。。
G.f=1+8*q^（3/2）+6*q^2+12*q^4+24*q^1（11/2。。。
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MAPLE公司
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M： =100；M1:=M*（M+1）/2；ph:=系列（加法（q^（k^2），k=-M..M），q，M1）：ps:=系列q，M1））：对于n从0到nops（t3）-1进行lprint（n，t3[n+1）；日期：
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数学
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m=13；m1=m*（（m+1）/2）；ph[q_]=级数[Sum[q^k^2，{k，-m，m}]，{q，0，m1}]；ps[q_]=级数[和[q^（k*（（k+1）/2）），{k，0，m}]，{q，0，m2}]；t1[q_]=正常[级数[ph[q^2]^3，{q，0，m1}]]；t2[q_]=正常[级数[（2*Sqrt[q]）^3*ps[q^4]^3，{q，0，m1}]]；系数列表[级数[t1[q^2]+t2[q^2]，{q，0，m1}]，q](*Jean-François Alcover公司，2011年12月20日，翻译自枫叶*）
（*从版本6开始*）术语=91；f[q_]=LatticeData[“BodyCenteredCubic”，“ThetaSeriesFunction”][-I Log[q]/Pi]；系数列表[简化[f[q]+O[q]^项，q>0]，q][[1；；项]](*Jean-François Alcover公司，2013年5月15日，2017年7月8日更新*）
a[n_]：=级数系数[EllipticTheta[3，0，x^4]^3+椭圆Theta[2，0，x^4]^3，{x，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯，2013年5月24日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，if（n%4==0，n/=4；polceoff（和（k=1，平方（n），2*x^k^2，1+x*O（x^n））^3，n），n%8==3，n\=8；8*polceof（和（k=0，（平方（8*n+1）-1）\2，x^（（k^2+k）/2），x*O/*迈克尔·索莫斯2006年10月25日*/
（PARI）{a（n）=我的（a）；如果（n<0，0，a=x*O（x^n）；polceoff（（eta（x^8+a）^5/eta（x^4+a）|2/eta（x ^16+a）*2）^3+/*迈克尔·索莫斯，2008年5月17日*/
（岩浆）基础（模块形式（Gamma0（8），3/2），90）[1]/*迈克尔·索莫斯2014年9月4日*/
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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14, 30, 46, 56, 62, 78, 94, 110, 120, 126, 142, 158, 174, 184, 190, 206, 222, 224, 238, 248, 254, 270, 286, 302, 312, 318, 334, 350, 366, 376, 382, 398, 414, 430, 440, 446, 462, 478, 480, 494, 504, 510, 526, 542, 558, 568, 574, 590, 606, 622
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1,1
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评论
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数字的形式不是x^2+y^2+2z^2。
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链接
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L.E.Dickson，正三元二次型表示的整数，公牛。阿默尔。数学。《社会学》第33卷（1927年），第63-70页。
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配方奶粉
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由形式为6x^2+8x^2*（2y-1）的数字组成。（史蒂夫·沃特曼）。
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例子
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在基数4:32、132、232、320、332、1032、1132、1232、1320、1332、2032，。。。
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黄体脂酮素
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（Python）
从itertools导入计数，islice
定义A055039号_gen（startvalue=1）：#术语生成器>=startvalue
返回过滤器（λn:（m:=（~n&n-1）.bit_length（））&1和（n>>m）&7==7，计数（最大值（startvalue，1））
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 13, 19, 43, 55, 79, 87, 135, 141, 177, 201, 225, 249, 321, 321, 369, 381, 429, 459, 531, 555, 603, 627, 675, 683, 767, 791, 887, 935, 959, 959, 1055, 1061, 1157, 1205, 1253, 1289, 1409, 1433, 1481, 1505, 1553, 1601, 1721, 1745, 1865, 1865, 1961, 1985, 2093, 2123
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,2
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参考文献
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N.J.A.Sloane和B.K.Teo，Theta级数和封闭球形星团的幻数，J.Chem。物理学。83 (1985) 6520-6534.
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链接
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配方奶粉
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MAPLE公司
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maxd:=20001：读取格式：temp0:=trunc（evalf（sqrt（maxd）））+2:a:=0：对于i从-temp0到temp0，执行a:=a+q^（（i+1/2）^2）：od:th2:=系列（a，q，maxd）：a:=0:对于i从.temp0至temp0执行a:=a+qq^
t1:=序列（（th3^3+th4^3）/2，q，maxd）：t1:=系列（subs（q=sqrt（q），t1），q，floor（maxd/2））：t2:=序列列表（t1）：t4:=0；对于从1到nops（t2）的n，执行t4：=t4+t2[n]；l打印（n-1，t4）；日期：#N.J.A.斯隆2006年8月9日
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数学
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累加[SquaresR[3，2*范围[0，70]]](*哈维·P·戴尔2015年6月1日*）
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交叉参考
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关键词
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非n,美好的
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作者
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扩展
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Steve Waterman提供的其他链接，2006年11月26日
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状态
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经核准的
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A213384型
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| φ（-q）^3的q次幂展开式，其中phi（）是Ramanujanθ函数。 |
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+10
8
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1, -6, 12, -8, 6, -24, 24, 0, 12, -30, 24, -24, 8, -24, 48, 0, 6, -48, 36, -24, 24, -48, 24, 0, 24, -30, 72, -32, 0, -72, 48, 0, 12, -48, 48, -48, 30, -24, 72, 0, 24, -96, 48, -24, 24, -72, 48, 0, 8, -54, 84, -48, 24, -72, 96, 0, 48, -48, 24, -72, 0, -72, 96
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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链接
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配方奶粉
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（eta（q）^2/eta（q^2））^3的q次幂展开。
周期2序列的欧拉变换[-6，-3，…]。
G.f.是周期1傅里叶级数，满足f（-1/（16t））=2^（15/2）（t/i）^（3/2）G（t），其中q=exp（2Pi it），G（）是A008443号.
通用公式：（Z}中的和{k（-1）^k*x^k^2）^3。
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例子
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G.f.=1-6*q+12*q^2-8*q^3+6*q^4-24*q^5+24*q^6+12*q ^8-30*q^9+。。。
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数学
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a[n_]：=（-1）^n平方R[3，n]；(*迈克尔·索莫斯2015年5月21日*）
a[n_]：=（-1）^n长度@FindInstance[n==x^2+y^2+z^2，{x，y，z}，整数，10^9]；(*迈克尔·索莫斯2015年5月21日*）
a[n_]：=级数系数[EllipticTheta[4，0，q]^3，{q，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2015年5月21日*）
a[n_]：=级数系数[（QPochhammer[q]^2/QPochharmer[q^2]）^3，{q，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2015年5月21日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=my（a）；如果（n<0，0，a=x*O（x^n）；极系数（（eta（x+a）^2/eta（x^2+a））^3，n））}；
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，polceoff（和（k=1，平方（n），2*（-x）^k^2，1+x*O（x^n））^3，n））}/*迈克尔·索莫斯2015年5月21日*/
（PARI）{a（n）=我的（G）；如果（n<0，0，G=[1，0，0；0，1，0；0,0，1]；（-1）^n*polcoeff（1+2*x*Ser（qfrep（G，n）），n）/*迈克尔·索莫斯2015年5月21日*/
（Magma）A:=基（模形式（Gamma0（16），3/2），63）；A[1]-6*A[2]+12*A[3]-8*A[4]/*迈克尔·索莫斯2015年5月21日*/
A213384列表（len）=JacobiTheta4（len，3）
A213384列表（63）|>打印#彼得·卢什尼2018年3月12日
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交叉参考
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