搜索： a004011-编号：a004011
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1, 12, -60, 768, -11004, 178200, -3093504, 56265216, -1058194428, 20410970124, -401553531000, 8026398749952, -162541338390528, 3327702330562584, -68761528402925568, 1432192515405350400, -30037109244686774268, 633790586271852392472, -13444940755220756447292, 286577646482211381212928
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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评论
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这些系数有数理解释吗？
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链接
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N.Heninger、E.M.Rains和N.J.A.Sloane，关于生成函数n次根的可积性，arXiv:math/0509316[math.NT]，2005-2006；《组合理论》，A辑，113（2006），1732-1745。
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配方奶粉
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a（n）~（-1）^n*伽马（1/4）^4*经验（Pi*n）/（2^（7/2）*Pi^（1/2）*n^（3/2））-瓦茨拉夫·科特索维奇2017年12月10日
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例子
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更准确地说，D_4的θ级数开始于1+24*q^2+24*q ^4+96*q ^6+24*q ^8+144*q ^10+96*q^12+。。。它的平方根是1+12*q^2-60*q^4+768*q^6-11004*q^8+178200*q^10-3093504*qq^12+。。。
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数学
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系数列表[Sqrt[EllipticTheta[3，0，x]^4+Elliptic Theta[2，0，x]^4]，{x，0，20}]，x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2017年12月10日*）
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作者
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经核准的
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1、6、-48、672、-10686、185472、-3398304、64606080、-1261584768、25141699590、-50911525600、10443131883360、-21500232587520、4528450460408448、-95438941858567104、2024550297637849728、-431906982195545864702、925997705081213764608、-1994 0633776083900614736、431091393800371703940576
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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参考文献
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N.J.A.Sloane，《七个错开的序列》，《向一个花脸拼图机致敬》，E.Pegg Jr.、A.H.Schoen和T.Rodgers（编辑），A.K.Peters、Wellesley，马萨诸塞州，2009年，第93-110页。
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链接
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N.Heninger、E.M.Rains和N.J.A.Sloane，关于生成函数n次根的可积性，J.组合理论，A辑，113（2006），1732-1745。
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配方奶粉
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a（n）~（-1）^n*伽马（1/4）^3*经验（Pi*n）/（2^（15/4）*Pi^（5/2）*n^（3/4））-瓦茨拉夫·科特索维奇2017年12月10日
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例子
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更准确地说，D_4的θ级数开始于1+24*q^2+24*q ^4+96*q ^6+24*q ^8+144*q ^10+96*q^12+。。。它的四次根是1+6*q^2-48*q^4+672*q^6-10686*q^8+185472*q^10-3398304*q^12+。。。
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数学
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系数列表[级数[（椭圆Theta[3，0，x]^4+椭圆Theta[2，0，x]^4）^（1/4），{x，0，20}]，x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2017年12月10日*）
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A000118号
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| 将n写成4个平方和的方式的数量；也是四维立方晶格Z^4的θ级数。 |
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1, 8, 24, 32, 24, 48, 96, 64, 24, 104, 144, 96, 96, 112, 192, 192, 24, 144, 312, 160, 144, 256, 288, 192, 96, 248, 336, 320, 192, 240, 576, 256, 24, 384, 432, 384, 312, 304, 480, 448, 144, 336, 768, 352, 288, 624, 576, 384, 96, 456, 744, 576, 336, 432, 960, 576, 192
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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评论
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a^2+b^2+c^2+d^2是Ramanujan的54个通用四元二次型之一-迈克尔·索莫斯2008年4月1日
a（n）也是四元数q=a+bi+cj+dk，其中a、b、c、d是整数，即a^2+b^2+c^2+d^2=n（即n是q的范数）。这些是Lipschitz整数四元数-里克·L·谢泼德2009年3月27日
威廉姆斯2012年表1中列出的126个eta商中的第5和第35位-迈克尔·索莫斯，2018年11月10日
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参考文献
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J.H.Conway和R.K.Guy，《数字之书》，纽约：Springer-Verlag出版社，1996年，第8章，第231-2页。
J.H.Conway和N.J.A.Sloane，《球形填料、晶格和群》，Springer-Verlag，第108页，等式（49）。
N.J.Fine，《基本超几何级数与应用》，美国。数学。Soc.，1988年；第78页，等式（32.28）。另见第94页顶部。
E.Freitag和R.Busam，Funktitionenthorie 1、4。Auflage，Springer，2006年，第392页。
哈代和赖特，《数论导论》。第三版，牛津大学出版社，1954年，第314页，定理386。
Carlos J.Moreno和Samuel S.Wagstaff，Jr.，《整数平方和》，Chapman&Hall/CRC，2006年，第29页。
S.Ramanujan，《论文集》，第20章，剑桥大学出版社，1927年（剑桥大学出版社学报，19（1917）11-21）。
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链接
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乔治·安德鲁斯（George E.Andrews）、苏米特·库马尔·贾（Sumit Kumar Jha）和J.洛佩斯·博尼拉（J.López-Bonilla），平方和、三角数和除数和《整数序列杂志》，第26卷（2023年），第23.2.5条。
R.T.Bumby，四个平方和，《数论》（纽约，1991-1995），1-8，施普林格，纽约，1996年。
H.H.Chan和C.Kratethaler，整数表示为平方和的研究进展，arXiv:math/0407061[math.NT]，2004年。
小池正雄，非紧算术三角群上的模形式，未出版手稿【N.J.A.Sloane用OEIS A-numbers广泛注释，2021年2月14日。我在第一页写的是2005年，但内部证据表明是1997年。]
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配方奶粉
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G.f.：theta_3（q）^4=（乘积{n>=1}（1-q^（2n））*（1+q^）（2n-1））^2）^4=eta（-q）^8/eta（q^2）；eta=Dedekind函数。
对于n>0，a（n）=8×σ（n）-32×∑（n/4），其中，如果n不是4的倍数，则后一项为0。
周期4序列的欧拉变换[8，-12，8，-4，…]-迈克尔·索莫斯2002年12月16日
G.f.A（x）满足0=f（A（x，A（x^3），A（x ^9）），其中f（u，v，w）=v^4-30*u*v^2*w+12*u*v*w*（u+9*w）-u*w*，（u^2+9*w*u+81*w^2）-迈克尔·索莫斯2006年11月2日
G.f.是周期1傅里叶级数，满足f（-1/（4*t））=4*（t/i）^2*f（t），其中q=exp（2*Pi*i*t）-迈克尔·索莫斯2008年1月25日
对于n>0，a（n）/8是乘法的，a（p^n）/8=1+p+p^2+…+p^n表示p是奇素数，a（2^n）/8=1+2表示n>0。
通用公式：1+8*Sum_{k>0}x^k/（1+（-x）^k）^2=1+8*Summ_{k>0}k*x^k:（1+。
G.f=s（2）^20/（s（1）*s（4））^8，其中s（k）：=subs（q=q^k，eta（q）），其中eta（q）是Dedekind函数，参见。A010815号.[罚款]
Fine根据n的除数给出了a（n）的另一个显式公式。
Dirichlet g.f.：求和{n>=1}a（n）/n^s=8*（1-4^（1-s））*zeta（s）*zeta（s-1）。[Ramanu.J.7（2003）95-127，等式（3.2）]-R.J.马塔尔2012年7月2日
对于n>=1:a（n）=8*Sum_{d|n}b（d）*d，如果d/4不是整数，则b（d。例如，见Freitag-Busam参考，第392页。
对于n>=1:a（n）=8*sigma（nA000265号)中给出了sigmaA000203号参见Moreno-Wagstaff参考，定理2。6（雅各比），第29页。（结束）
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例子
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G.f.=1+8*q+24*q^2+32*q^3+24*q^4+48*q^5+96*q^6+64*q*7+24*q ^8+。。。
a（1）=8计数1=1^2+0^2+0 ^2+0^2=0 ^2+1^2+0^2+0 ^2=0 ^2+0 ^2+1 ^2+0.^2=0^2+0 ^2+0 ^2+1^2，还有4个总和，其中1 ^2被（-1）^2替换-R.J.马塔尔，2023年5月16日
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MAPLE公司
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（加上（q^（m^2），m=-10..10）^4；seq（系数（%，q，n），n=0..50）；
#备选方案：
A000118列表：=proc（len）系列（JacobiTheta3（0，x）^4，x，len+1）；
seq（系数（%，x，j），j=0..len-1）结束：A000118列表（57）#彼得·卢什尼2018年10月2日
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数学
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表[SquaresR[4，n]，{n，0，46}]
a[n_]：=级数系数[EllipticTheta[3，0，q]^4，{q，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2014年6月12日*）
a[n_]：=如果[n<1，Boole[n==0]，8和[If[Mod[d，4]>0，d，0]，{d，除数@n}]]；(*迈克尔·索莫斯2015年2月20日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=如果（n<1，n==0，8*sumdiv（n，d，if（d%4，d）））}/*迈克尔·索莫斯2003年4月1日*/
（PARI）{a（n）=局部（a）；如果（n<0，0，a=x*O（x^n）；polceoff（（eta（x^2+a）^5/（eta/*迈克尔·索莫斯2008年4月1日*/
（PARI）q='q+O（'q^66）；Vec（（eta（q^2）^5/（eta）^2*eta（q ^4）^2））^4）/*乔格·阿恩特2013年4月8日*/
（PARI）a（n）=8*西格玛（n）-如果（n%4，0，32*西格马（n/4））\\米歇尔·马库斯2016年7月13日
（Sage）A=模块形式（Gamma0（4），2，prec=57）。基本（）；A[0]+8*A[1]#迈克尔·索莫斯2014年6月12日
（鼠尾草）
Q=对角线二次型（ZZ，[1]*4）
Q.representation_number_list（60）#彼得·卢什尼2014年6月20日
（岩浆）A:=基础（模块形式（Gamma0（4），2），57）；A[1]+8*A[2]/*迈克尔·索莫斯2014年8月21日*/
（哈斯克尔）
a000118 0=1
A000118列表（len）=JacobiTheta3（len，4）
A000118列表（57）|>打印#彼得·卢什尼2018年3月12日
（Python）
从sympy导入除数
定义a（n）：如果n==0，则返回1；如果d%4，则返回8*sum（d代表除数（n）中的d！=0)
（Python）
来自症状导入divisor_sima
定义A000118号（n） ：如果n==0，则返回1；如果n%2，则返回8*除数_sigma（n）#柴华武2022年6月27日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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A097057号
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| a^2+b^2+2*c^2+2*d^2=n的整数解的数目。 |
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20
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1, 4, 8, 16, 24, 24, 32, 32, 24, 52, 48, 48, 96, 56, 64, 96, 24, 72, 104, 80, 144, 128, 96, 96, 96, 124, 112, 160, 192, 120, 192, 128, 24, 192, 144, 192, 312, 152, 160, 224, 144, 168, 256, 176, 288, 312, 192, 192, 96, 228, 248, 288, 336, 216, 320, 288, 192, 320, 240, 240
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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参考文献
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B.C.Berndt，Ramanujan笔记本第五部分，Springer-Verlag，见第373页第31条。
Jesse Ira Deutsch，Bumby的技术和Liouville在二次型上的结果，《整数8》（2008），第2期，A2，20页MR2438287（2009g:11047）。
N.J.Fine，《基本超几何级数与应用》，美国。数学。Soc.，1988年；第78页，等式（32.29）。
S.Ramanujan，《论文集》，第20章，剑桥大学出版社，1927年（剑桥大学出版社学报，19（1917），11-21）。
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链接
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Jesse Ira Deutsch，四元二次型表示公式的四元数证明《J·数论》113（2005），第1期，149-174。MR2141762（2006b:11033）。
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配方奶粉
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周期8序列的欧拉变换[4，-2，4，-8，4，-2,4，-4，…]-迈克尔·索莫斯2004年9月17日
与a（n）=4*b（n），b（2）=2，b（2^e）=6相乘，如果e>1，b（p^e）=（p^（e+1）-1）/（p-1），如果p>2-迈克尔·索莫斯2004年9月17日
（eta（q^2）*eta（q ^4））^6/（eta。
G.f.是周期1傅里叶级数，满足f（-1/（8 t））=8（t/i）^2 f（t），其中q=exp（2 Pi it）-迈克尔·索莫斯2011年7月5日
通用公式：（θ_3（q）*θ_3（q^2））^2。
G.f.：产品{k>0}（（1-x^（2k））。
通用公式：1+Sum_{k>0}8*x^（4*k）/（1+x^-迈克尔·索莫斯2005年10月22日
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例子
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1+4*q+8*q^2+16*q^3+24*q^4+24*q^5+32*q^6+32*q ^7+24*q ^8+。。。
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数学
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a[n_]：=系列系数[（椭圆Theta[3，0，q]椭圆Theta[3]，0，q ^2]）^2，{q，0，n}](*迈克尔·索莫斯2011年7月5日*）
f[p，e]：=（p^（e+1）-1）/（p-1）；f[2,1]=2；f[2，e_]：=6；a[0]=1；a[1]=4；a[n_]：=4*倍@@f@@FactorInteger[n]；数组[a，100，0](*阿米拉姆·埃尔达尔2023年8月22日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=局部（t）；如果（n<1，n>=0，t=2^估值（n，2）；4*sigma（n/t）*如果（t>2，6，t））}\\迈克尔·索莫斯2004年9月17日
（PARI）{a（n）=局部（a=x*O（x^n））\\迈克尔·索莫斯2004年9月17日
（PARI）{a（n）=如果（n<1，n==0，2*qfrep（[1,0,0,0；0,1,0，0；0,0,1,2，0；0，0,0，2]，n）[n]）}\\迈克尔·索莫斯2005年10月29日
（PARI）A097057号（n） =如果（n，西格玛（n>>n=估值（n，2））*如果（n>1，24，4<<n），1）\\M.F.哈斯勒2018年5月7日
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交叉参考
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关键词
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非n,多重
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作者
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扩展
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添加了关键字mult和minor edits byM.F.哈斯勒2018年5月7日
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状态
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经核准的
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A096727号
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| eta（q）^8/eta（q^2）^4的q次幂展开。 |
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17
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1, -8, 24, -32, 24, -48, 96, -64, 24, -104, 144, -96, 96, -112, 192, -192, 24, -144, 312, -160, 144, -256, 288, -192, 96, -248, 336, -320, 192, -240, 576, -256, 24, -384, 432, -384, 312, -304, 480, -448, 144, -336, 768, -352, 288, -624, 576, -384, 96, -456, 744, -576, 336, -432, 960, -576, 192
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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评论
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配方奶粉
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a（n）=-8*西格玛（n）+48*西格马（n/2）-64*西格曼（n/4），对于n>0，其中西格玛=A000203号（n） 如果n是整数，则为0。
周期2序列的欧拉变换[-8，-4，…]。
通用公式：Prod_{k>0}（1-x^k）^8/。
G.f.θ_4（q）^4=（和{k}（-q）^（k^2））^4。
φ（-q）^4的q次幂展开式，其中phi（）是Ramanujanθ函数-迈克尔·索莫斯，2006年11月1日
G.f.A（x）满足0=f（A（x，A（x^3），A（x ^9）），其中f（u，v，w）=v^4-30*u*v^2*w+12*u*v*w*（u+9*w）-u*w*，（u^2+9*w*u+81*w^2）。
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例子
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G.f.=1-8*q+24*q^2-32*q^3+24*q^4-48*q^5+96*q^6-64*q^7+24*q ^8-。。。
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数学
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系数列表[级数[1+和[k（-8x^k/（1-x^k）+48x^（2k）/(*罗伯特·威尔逊v2004年7月14日*）
a[n_]：=具有[{m=反椭圆NomeQ@q}，级数系数[q Dt[Log@m，q]，{q，0，n}]]；(*迈克尔·索莫斯2012年9月6日*）
a[n_]：=（-1）^n平方R[4，n]；(*迈克尔·索莫斯2014年6月12日*）
a[n_]：=级数系数[EllipticTheta[4，0，q]^4，{q，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2014年6月12日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=如果（n<1，n==0，8*（-1）^n*sumdiv（n，d，if（d%4，d）））}；
（PARI）{a（n）=局部（a）；如果（n<0，0，a=x*O（x^n）；polceoff（eta（x+a）^8/eta（x^2+a）*4，n））}；
（Sage）A=模块形式（Gamma0（4），2，prec=57）。基本（）；A[0]-8*A[1]#迈克尔·索莫斯2014年6月12日
（岩浆）A:=基础（模块形式（Gamma0（4），2），57）；A[1]-8*A[2]/*迈克尔·索莫斯2014年8月21日*/
A096727列表（len）=JacobiTheta4（len，4）
A096727列表（57）|>打印#彼得·卢什尼2018年3月12日
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交叉参考
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签名
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作者
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经核准的
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1, 0, 0, 8, 6, 0, 0, 0, 12, 0, 0, 24, 8, 0, 0, 0, 6, 0, 0, 24, 24, 0, 0, 0, 24, 0, 0, 32, 0, 0, 0, 0, 12, 0, 0, 48, 30, 0, 0, 0, 24, 0, 0, 24, 24, 0, 0, 0, 8, 0, 0, 48, 24, 0, 0, 0, 48, 0, 0, 72, 0, 0, 0, 0, 6, 0, 0, 24, 48, 0, 0, 0, 36, 0, 0, 56, 24, 0, 0, 0, 24, 0, 0, 72, 48, 0, 0, 0, 24, 0, 0
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0.4
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评论
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bcc晶格也称为cowweight晶格A^*3（或D^*3），对偶于根晶格A_3（或D_3，或fcc晶格），或置换自面体晶格A^*_3-安德烈·扎博洛茨基2020年3月8日
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参考文献
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J.H.Conway和N.J.A.Sloane，“球形填料、晶格和群”，Springer-Verlag，第116页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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R.J.Mathar，简单立方格的层次细分，arXiv预印本arXiv:1309.3705[math.MG]，2013年。
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配方奶粉
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subs（q=q^2，ph）^3+（2*sqrt（q））^3*subs（q=q^4，ps）^3，其中ps=A010054号=和{k=0..无穷大}q^（k*（k+1）/2），ph=A000122号=Sum_{k=-无穷大，无穷大}q^（k^2）。
φ（q^4）^3+8*q^3*psi（q^8）^3的q次幂展开式，其中phi（）、psi（）是Ramanujan theta函数-迈克尔·索莫斯2006年10月25日
a（4*n+1）=a（4*n+2）=a、（8*n+7）=0。a（4*n）=A005875号（n） ●●●●。
θ_3（q）^3+θ_2（q）*3的幂展开式为q^（1/4）。
G.f.是满足f（-1/（8t））=2（t/i）^（3/2）G（t）的周期1傅立叶级数，其中q=exp（2pi i t），G（）是A004015号.
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例子
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G.f.=1+8*x^3+6*x^4+12*x^8+24*x^11+8*x ^12+6*x^16+24*x ^19+24*x20+。。。
G.f=1+8*q^（3/2）+6*q^2+12*q^4+24*q^1（11/2。。。
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MAPLE公司
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M： =100；M1:=M*（M+1）/2；ph:=系列（加法（q^（k^2），k=-M..M），q，M1）：ps:=系列q，M1））：对于n从0到nops（t3）-1进行lprint（n，t3[n+1）；日期：
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数学
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m=13；m1=m*（（m+1）/2）；ph[q_]=级数[Sum[q^k^2，{k，-m，m}]，{q，0，m1}]；ps[q_]=级数[和[q^（k*（（k+1）/2）），{k，0，m}]，{q，0，m2}]；t1[q_]=正常[级数[ph[q^2]^3，{q，0，m1}]]；t2[q_]=正常[级数[（2*Sqrt[q]）^3*ps[q^4]^3，{q，0，m1}]]；系数列表[级数[t1[q^2]+t2[q^2]，{q，0，m1}]，q](*Jean-François Alcover公司，2011年12月20日，翻译自枫叶*）
（*从版本6开始*）术语=91；f[q_]=LatticeData[“BodyCenteredCubic”，“ThetaSeriesFunction”][-I Log[q]/Pi]；系数列表[简化[f[q]+O[q]^项，q>0]，q][[1；；项]](*Jean-François Alcover公司，2013年5月15日，2017年7月8日更新*）
a[n_]：=级数系数[EllipticTheta[3，0，x^4]^3+椭圆Theta[2，0，x^4]^3，{x，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯，2013年5月24日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，if（n%4==0，n/=4；polceoff（和（k=1，平方（n），2*x^k^2，1+x*O（x^n））^3，n），n%8==3，n\=8；8*polceof（和（k=0，（平方（8*n+1）-1）\2，x^（（k^2+k）/2），x*O/*迈克尔·索莫斯2006年10月25日*/
（PARI）{a（n）=我的（a）；如果（n<0，0，a=x*O（x^n）；polceoff（（eta（x^8+a）^5/eta（x^4+a）|2/eta（x ^16+a）*2）^3+/*迈克尔·索莫斯，2008年5月17日*/
（岩浆）基础（模块形式（Gamma0（8），3/2），90）[1]/*迈克尔·索莫斯2014年9月4日*/
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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A035099级
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| （0）=40的怪物组的2B类McKay-Thompson级数。 |
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+10
7
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1, 40, 276, -2048, 11202, -49152, 184024, -614400, 1881471, -5373952, 14478180, -37122048, 91231550, -216072192, 495248952, -1102430208, 2390434947, -5061476352, 10487167336, -21301241856, 42481784514, -83300614144
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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-1,2
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评论
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此外，j_2的傅里叶系数，其中j_2是解析同构H/\Gamma_0（2）->\hat{C}。
“函数j_2类似于j，因为它是\Gamma_0（2）的模函数（权重为零），在上半平面上全纯，在无穷远处有一个简单的极点，生成\Gamma_0（2）-模函数的场，并使用他的j_2符号定义了\Gamma_（2）基本集与C的双射”，见Brent文章第260页-迈克尔·索莫斯2011年3月8日
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参考文献
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G.Hoehn，Selbstduale Vertexoperators superalgebren und das Babymonster，Bonner Mathematische Schriften，第286卷（1996年），第1-85页。
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链接
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R.E.Borcherds，怪物李代数简介M.Liebeck和J.Saxl，《群组、组合数学和几何》编辑，第99-107页（达勒姆，1990年）。伦敦数学。Soc.Lect（社会学）。注释165，剑桥大学出版社，1992年。
J.H.Conway和S.P.Norton，怪诞的月亮，公牛。伦敦。数学。《社会分类》第11卷（1979）308-339页。
D.Ford、J.McKay和S.P.Norton，关于可复制功能的更多信息、Commun。《代数》22，第13期，5175-5193（1994）。
G.Hoehn（gerald（AT）math.ksu.edu），《自选顶点算子superalgebren und das Babymonster》，波恩大学博士论文，1995年7月15日(pdf格式,秒).
小池正雄，非紧算术三角群上的模形式，未出版手稿【N.J.A.Sloane用OEIS A-numbers广泛注释，2021年2月14日。我在第一页写的是2005年，但内部证据表明是1997年。]
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配方奶粉
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64+q^（-1）*（phi（-q）/psi（q））^8的q次幂展开式，其中phi（）、psi（）是Ramanujan theta函数-迈克尔·索莫斯2011年3月8日
64+（eta（q）/eta（q^2））^24的q次幂展开-迈克尔·索莫斯2011年3月8日
通用格式：64+x^（-1）*（产品{k>0}1+x^k）^（-24）-迈克尔·索莫斯2011年3月8日
a（n）~（-1）^（n+1）*exp（2*Pi*sqrt（n））/（2*n^（3/4））-瓦茨拉夫·科特索维奇2016年11月16日
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例子
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j_2=1/q+40+276*q-2048*q^2+11202*q^3-49152*q^4+184024*q^5+。。。
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数学
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最大值=21；f[x_]：=乘积[1+x^k，{k，1，max}]^（-24）；coes=系数列表[系列[f[x]，{x，0，max}]，x]；a[n]：=系数[[n+2]]；a[0]=40；表[a[n]，{n，-1，max-1}](*Jean-François Alcover公司2011年11月3日之后迈克尔·索莫斯*)
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=我的（a）；如果（n<-1，0，n++；a=x*O（x^n）；polceoff（64*x+（eta（x+a）/eta（x^2+a））^24，n））}/*迈克尔·索莫斯2011年3月8日*/
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交叉参考
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关键词
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容易的,签名,美好的,核心
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作者
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巴里·布伦特（barryb（AT）primenet.com）
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状态
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经核准的
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24, 96, 144, 192, 288, 336, 432, 480, 576, 720, 768, 912, 1008, 1056, 1152, 1296, 1440, 1488, 1632, 1728, 1776, 1920, 2016, 2160, 2352, 2448, 2496, 2592, 2640, 2736, 3072, 3168, 3312, 3360, 3600, 3648, 3792, 3936, 4032, 4176, 4320, 4368, 4608, 4656, 4752
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1,1
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评论
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参考文献
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L.E.Dickson，《代数及其算术》，多佛，1960年，第91节。
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链接
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L.E.Dickson，代数及其算术，芝加哥大学出版社，1923年，第91节（第147页）。
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配方奶粉
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a（n）=24*（素数（n）+1）=24*A008864号（n） 对于n>=2。
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数学
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连接[{24}，24（#+1）&/@Prime[Range[2，50]]](*哈维·P·戴尔2013年3月12日*）
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交叉参考
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囊性纤维变性。A240068型（具有范数素数（n）的素数Lipschitz四元数的个数）。
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 1, 3, 4, 7, 6, 12, 8, 15, 13, 18, 12, 28, 14, 24, 24, 31, 18, 39, 20, 42, 32, 36, 24, 60, 6, 42, 40, 56, 30, 72, 32, 63, 48, 54, 48, 91, 38, 60, 56, 90, 42, 96, 44, 84, 78, 72, 48, 124, 57, 18, 72, 98, 54, 120, 72, 120, 80, 90, 60, 168, 62, 96, 104, 127, 84, 144, 68, 126, 96, 144, 72, 195, 74, 114, 24, 140
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,3
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链接
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配方奶粉
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a（n）与a（0）=1相乘，a（5^e）=6如果e>0，a（p^e）=（p^（e+1）-1）/（p-1）否则。
G.f.是周期1傅里叶级数，满足f（-1/（25 t））=25（t/i）^2 f（t），其中q=exp（2 Pi it）。
通用公式：1+求和{k>0}k*x^k/（1-x^k）-求和{k>0}25*k*x（25*k）/（1-x（25*k））。
Sum_｛k=1..n｝a（k）~（2*Pi^2/25）*n^2-阿米拉姆·埃尔达尔，2022年10月4日
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例子
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G.f.=1+q+3*q^2+4*q^3+7*q^4+6*q^5+12*q^6+8*q^7+15*q^8+13*q^9+。。。
75有六个除数：1、3、5、15、25、75，但25和75都可以被25整除，因此不计算在内，我们得到a（75）=1+3+5+15=24-安蒂·卡图恩2017年11月23日
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数学
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a[n_]：=如果[n<1，Boole[n==0]，求和[If[Mod[d，25]>0，d，0]，{d，除数@n}]]；
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=if（n<1，n==0，sumdiv（n，d，if（d%25，d））}；
（PARI）{a（n）=如果（n<1，n==0，1*（σ（n）-如果（n%25==0、25*σ（n/25）））}；
（Sage）A=模块形式（Gamma0（25），2，prec=66）。basis（）；A[0]+A[1]+3*A[2]+4*A[3]+7*A[4]；
（岩浆）A:=基础（模块形式（Gamma0（25），2），66）；A[1]+A[2]+3*A[3]+4*A[4]+7*A[5]/*迈克尔·索莫斯2014年6月12日*/
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交叉参考
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关键词
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非n,多重
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A133690型
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| （phi（-q）*phi（q^2））^2以q的幂展开，其中phi（）是Ramanujanθ函数。 |
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+10
4
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1, -4, 8, -16, 24, -24, 32, -32, 24, -52, 48, -48, 96, -56, 64, -96, 24, -72, 104, -80, 144, -128, 96, -96, 96, -124, 112, -160, 192, -120, 192, -128, 24, -192, 144, -192, 312, -152, 160, -224, 144, -168, 256, -176, 288, -312, 192, -192, 96, -228, 248, -288
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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0,2
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评论
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链接
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配方奶粉
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（eta（q）^2*eta（q^4）^5/（eta。
周期8序列的欧拉变换[-4、2、-4、-8、-4、2，-4、-4…]。
a（n）=-4*b（n）其中b（）与b（2）=-2相乘，b（2^e）=-6如果e>1，b（p^e）=（p^（e+1）-1）/（p-1）如果p>2。
G.f.是周期1傅里叶级数，满足f（-1/（8 t））=32（t/i）^2 G（t），其中q=exp（2 Pi it），G（）是A133657号.
G.f.：（产品{k>0}（1-x^k）^2*（1+x^（2*k））^3/（1+x^（4*k），^2）^2。
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例子
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G.f.=1-4*q+8*q^2-16*q^3+24*q^4-24*q^5+32*q^6-32*q^7+24*q ^8-。。。
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数学
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a[n_]：=级数系数[（椭圆Theta[4，0，q]椭圆Theta[3]，0，q ^2]）^2，{q，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2015年10月30日*）
a[n_]：=如果[n<1，Boole[n==0]，-4 Which[OddQ[n]，DivisorSigma[1，n]，Mod[n，4]>0，-2 Divisor Sigma[1]，n/2]，True，-6 DivisorSum[n/4，#Mod[#，2]&]]；(*迈克尔·索莫斯2015年10月30日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=if（n<1，n==0，-4*if（n%2，sigma（n），n%4，-2*sigma（n/2），-6*sumdiv（n/4，d，（d%2）*d））}；
（PARI）{a（n）=局部（a）；如果（n<0，0，a=x*O（x^n）；polceoff（（eta（x+a）^2*eta（x^4+a）*5/（eta；
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交叉参考
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关键词
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签名
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作者
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状态
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经核准的
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