搜索： a003261-编号：a003261
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1, 8, 24, 104, 216, 384, 1080, 2160, 4896, 13656, 32552, 51312, 137160, 287408, 573600, 1999872, 3034368, 4778400, 11098080, 20984560, 49533120, 137218560, 294000768, 417361152, 958698064, 1755253280, 4362821232, 10552800000
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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配方奶粉
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a（n）=σ（n*2^n-1）。
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黄体脂酮素
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（PARI）j=[]；对于（n=1,50，x=σ（n*2^n-1）；j=凹面（j，x））；j个
（PARI）{对于（n=1200，写入（“b063515.txt”，n，“”，sigma（n*2^n-1））}\\哈里·J·史密斯2009年8月24日
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容易的,非n
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经核准的
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1, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34, 38, 42, 46, 50, 54, 58, 62, 66, 70, 74, 78, 82, 86, 90, 94, 98, 102, 106, 110, 114, 118, 122, 126, 130, 134, 138, 142, 146, 150, 154
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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似乎这个序列给出了正整数m，使得前m个斐波那契数的和除以它们的乘积。例如，如果n=2和m=a（2）=6，则求和为1+1+2+3+5+8=20，它清楚地划分了相应的乘积480。请参见A175553号用于使用三角形数时的类似序列。求和{k=1..n}斐波那契（k）除以乘积{k=1.n}斐波那契（k）-约翰·W·莱曼，2010年7月10日
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链接
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配方奶粉
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的二项式逆变换A003261号: (1, 7, 23, 63, 159, 383, ...).
[1,5，-1,1，-1，-1，1，…]的二项式变换。
“1”后接2*[3、5、7、9、11…]。
外径：x*（1+4x-x^2）/（1-x）^2。a（n）=4n-2，n＞1-R.J.马塔尔2008年6月8日
1/（1+1/（6+1/（10+1/（14+1/（……（连分数））））=（e-1）/2，e=2.718281-菲利普·德尔汉姆2013年3月9日
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例子
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a（4）=14=（1,3,3,1）点（1,5,1,1）=（1,15,-3,1）。
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交叉参考
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非n
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作者
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经核准的
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1, 6, 22, 36, 104, 382, 712, 1936, 4320, 6824, 15012, 46992, 79344, 183000, 421008, 480000, 1453784, 4658784, 8877792, 20958480, 38887680, 61284600, 110250264, 388201176, 719023536, 1734432480, 2889658368, 4745378304, 10350643968, 32212254718, 66251144568
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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链接
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配方奶粉
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MAPLE公司
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a： =n->数量[phi]（n*2^n-1）：
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数学
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表[EulerPhi[n 2^n-1]，{n，1，35}]
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黄体脂酮素
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（岩浆）[EulerPhi（n*2^n-1）：n in[1..30]]//文森佐·利班迪2019年4月15日
（PARI）a（n）=eulerphi（n*2^n-1）\\米歇尔·马库斯2019年4月15日
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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4, 13, 64, 89, 83, 188, 433, 701, 449, 342, 1429, 1768, 1889, 2276, 3484, 2423, 5149, 5776, 2069, 1693, 8644, 4793, 9728, 11173, 4237, 13364, 15049, 16108, 16469, 9455, 19501, 22364, 25876, 8929, 3131, 6524, 2311, 36313, 13017, 10114, 13582, 43069, 15962
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,1
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评论
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Keller证明了可被同一素数整除的两个连续Woodall数的出现仅限于偶数为h（p）的素数p，其阶为2模p，并且此类数对存在无穷大。
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链接
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威尔弗里德·凯勒，新Cullen底漆《计算数学》，第64卷，第212号（1995年10月），第1733-1741页。
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配方奶粉
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例子
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11是偶数阶为2模p的第三素数p。A003261号（k） =k*2^k-1可被11整除，k=16,48,61,64,65,73,79100，。。。两个连续数字的第一次出现是64和65，因此a（3）=64。
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数学
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a={}；对于[p=0，p<=11699，p++；如果[！PrimeQ[p]，继续[]]；h=乘数阶[2，p]；如果[！EvenQ[h]，继续[]]；n=（h/2+1）*p-2；a=附加到[a，n]]；一
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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0, 2, 8, 24, 64, 160, 384, 896, 2048, 4608, 10240, 22528, 49152, 106496, 229376, 491520, 1048576, 2228224, 4718592, 9961472, 20971520, 44040192, 92274688, 192937984, 402653184, 838860800, 1744830464, 3623878656, 7516192768, 15569256448, 32212254720
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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二项式和sum_{i=0..n}（n-2*i）^2*二项式（n，i）=n*2^n.-Yong Kong（ykong（AT）curagen.com），2000年12月28日
设W是具有n=|a|个元素的集a的幂集P（a）上的二元关系，对于P（a这样y是z的真子集，z是x的真子集。那么a（n）=|W|-罗斯·拉海耶，2007年9月26日
a（n）=n，其中位向左移位了n个位置（右侧的新位为零）-因德拉尼尔·戈什2017年1月5日
满足本福德定律【西奥多·希尔，个人通信，2017年2月6日】-N.J.A.斯隆2017年2月8日
a（n）也是S_{n+3}中具有{i，i+1}下降集的错位数，使得i的范围从1到n-2-伊莎贝拉·黄，2018年3月17日
a（n-1）也是使用Glynn公式计算一般n×n矩阵的永久性所需的乘法次数（见Glynn中的定理2.1）-斯特凡诺·斯佩齐亚2021年10月27日
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参考文献
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阿诺·伯杰和西奥多·希尔。本福德定律简介。普林斯顿大学出版社，2015年。
A.P.Prudnikov，Yu。A.Brychkov和O.I.Marichev，“积分与级数”，第1卷：“初等函数”，第4章：“有限和”，纽约，Gordon和Breach科学出版社，1986-1992，等式（4.2.2.29）
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链接
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David G.Glynn，方阵的恒等式《欧洲组合数学杂志》，第31卷，第7期，2010年，第1887-1891页。
A.F.Horadam，Oresme数字，光纤。夸脱。，12 (1974), 267-271.
弗兰克·拉马哈罗，几类结阴影的统计，arXiv:1802.07701[math.CO]，2018年。
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配方奶粉
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总尺寸：2*x/（1-2*x）^2-R.J.马塔尔2007年11月21日
和{n>=1}1/a（n）=log（2）。
和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=log（3/2）。
（结束）
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MAPLE公司
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g： =1/（1-2*z）：gser：=系列（g，z=0，43）：seq（系数（gser，z，n）*n，n=0..34）#零入侵拉霍斯2009年1月11日
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数学
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线性递归[{4，-4}，{0，2}，40](*哈维·P·戴尔2018年3月2日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a036289 n=n*2^n
a036289_list=zipWith（*）[0..]a000079_list
（Python）a=lambda n:n<<n#因德拉尼尔·戈什2017年1月5日
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交叉参考
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关键字
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非n,容易的,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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A076336号
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| （可证明）Sierpiánski数：奇数n，使得对于所有k>=1的数，n*2 ^ k+1是复合数。 |
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+10
70
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78557, 271129, 271577, 322523, 327739, 482719, 575041, 603713, 903983, 934909, 965431, 1259779, 1290677, 1518781, 1624097, 1639459, 1777613, 2131043, 2131099, 2191531, 2510177, 2541601, 2576089, 2931767, 2931991, 3083723, 3098059, 3555593, 3608251
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,1
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评论
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这只是一个猜测，即这个序列在3000000之前是完整的，可能会缺少一些术语。
据推测，78557是最小的Sierpin ski数-T.D.诺伊2003年10月31日
Sierpiánski数是由p（k）|n*2^k+1的素因子的周期序列p证明的，并通过发现素数n*2*k+1予以证明。据推测，不能用这种方法证明Sierpiánski的数字是非Sierpiñnski。然而，一些数字既拒绝证明也拒绝反驳-大卫·W·威尔逊2005年1月17日
西尔宾斯基证明了这个序列是无限的。
在此背景下出现了4个相关序列：
S1：数字n，使得n*2^k+1是所有k的合成（此序列）
S2：奇数n，使得2^k+n对所有k都是复合的（显然，推测S1和S2是同一序列）
S3：数字n，使得n*2^k+1是所有k的素数（空）
S4：数字n，使得2^k+n是所有k的素数（空）
迈克尔·里德提出了以下论点，试图证明S3和S4是空的：如果p是n+1的素数除数，那么对于k=p-1，项（n*2^k+1或2^k+n）是p的倍数（也就是>p，所以不是素数）。[然而，David McAfferty指出，对于案例S3，如果p的形式为2^m-1，则此论点失败。因此，可能只是猜测集合S3为空-N.J.A.斯隆，2021年6月27日]
a（1）=78557也是最小的奇数n，其中n^p*2^k+1或n^p+2^k对于每k>0和每一素数p大于3都是复合的-阿尔卡迪乌斯·韦索洛夫斯基2015年10月12日
编号：400873512578147810299926000625=(A213353号（1） ）^4在这个序列中，但被认为不满足大卫·W·威尔逊以上。对于这个乘数，所有n*2^（4m+2）+1都是由Aurifeuillean因式分解合成的。只有剩下的情况，即n*2^k+1，其中k不是2模4，才被有限的素数集覆盖（即{3,17,97,241,257,673}）。有关详细信息，请参阅Izotov链接（尽管有另一个素数集）-杰佩·斯蒂格·尼尔森2018年4月14日
猜想：如果S是一个（可证明的）Sierpinnski数，则存在一个素数P，使得S^P对于每个素数P>P也是一个Sierpin ski数-托马斯·奥多夫斯基2022年7月12日
问题：是否存在奇数K，使得K-2^m是每1<2^m<K的Sierpin滑雪数？如果是这样，那么（K-2^m）*2^n+1的所有正值都是复合值。此外，根据对偶Sierpiński猜想，对于每1<2^m<K和每n>0，K-2^m+2^n是复合的。注意，根据对偶Sierpinski猜想，如果p是奇数素数且1<2^m<p，则存在n，使得（p-2^m）*2^n+1是素数。因此，如果存在这样一个数字K，它一定是复合的-托马斯·奥多夫斯基2022年7月20日
1） 根据2022年7月12日Michael Filaseta在SeqFan邮件列表（参见links）上发布的解释，上述猜想适用于可由“覆盖集”证明的Sierpin ski数，P等于该集元素的最大素因子*。（*更一般地说：对于S^p，它与覆盖集的所有元素都有p互素，但不一定是素数。）
2） 正如尼尔森在2018年的上述评论中所解释的那样，Wilson在2005年的评论（也是第一部分，不仅仅是猜测）如果不是错误的话，也是误导性的，因为有一些可证明的Sierpiński数的覆盖集是未知的（甚至可能被认为不存在）。应该澄清的是，（或：是否）该序列定义中的“可证明”不仅意味着“通过覆盖集”。（结束）
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参考文献
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C.A.Pickover，《数学书》，斯特林，纽约，2009年；见第420页。
P.Ribenboim，《素数记录簿》，第2期。1989年编辑，第282页。
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链接
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T.D.Noe和Arkadiusz Wesolowski，n=1..15000时的n，a（n）表（T.D.Noe提供了13394个术语，这些术语来自McLean.a（1064）、a（7053）和a（13397）-a（15000），来自Arkadiusz Wesolowski。）
迈克尔·菲拉塞塔（Michael Filaseta），T.Ordowski引用，回复：这是真的吗？SeqFan邮件列表，2022年7月12日
Michael Filaseta、Jacob Juillerat和Thomas Luckner，数字上非常精细的连续素数和Brier数，arXiv:2209.10646[math.NT]，2022。
Payam Samidoost，4847[链接断开？]
Payam Samidoost，4847[缓存副本]
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交叉参考
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关键字
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非n,坚硬的,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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A002064号
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| 卡伦数：a（n）=n*2^n+1。
（原名M2795 N1125）
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+10
68
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1、3、9、25、65、161、385、897、2049、4609、10241、22529、49153、106497、229377、491521、1048577、2228225、4718593、9961473、20971521、44040193、92274689、192937985、402653185、838860801、1744830465、3623878657、7516192769、15569256449、32212254721
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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设A是n阶Hessenberg矩阵，定义为：A[1，j]=1，A[i，i]：=2，（i>1），A[i，i-1]=-1，否则A[i、j]=0。然后，对于n>=1，a（n-1）=（-1）^（n-1”）*系数（charpoly（a，x），x）-米兰Janjic2010年1月26日
添加以1/2+3/4+7/8+…开头的分数列表。。。。2^n-1/2^n，从左到右成对求和。对于1/2+3/4=5/4，其中5+4=9=a（2）；对于5/4+7/8=17/8，17+8=25=a（3）；对于17/8+15/16=49/16，49+16=65=a（4）；49/16+31/32=129/32，其中129+32=161=a（5）。对于每个两两总和a/b，a+b=n*2^（n+1）-J.M.贝戈2015年5月6日
（2^n）^（2^n）的除数-古斯·怀斯曼2021年5月3日
以爱尔兰耶稣会牧师詹姆斯·卡伦（1867-1933）的名字命名，他检查了名词的首要性，直到n=100-阿米拉姆·埃尔达尔2021年6月5日
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参考文献
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G.Everest、A.van der Poorten、I.Shparlinski和T.Ward，《递归序列》，美国。数学。Soc.，2003年；特别见第255页。
R.K.Guy，《数论中未解决的问题》，B20。
西尔宾斯基，《数字基础理论》。巴恩斯特。Wydaw。恶心。，华沙，1964年，第346页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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尤里·比卢（Yuri Bilu）、迭戈·马尔克斯（Diego Marques）和阿兰·托盖（Alain Togbé），线性递归序列中的广义Cullen数《数论杂志》，第202卷（2019年），第412-425页；arXiv预印本，arXiv:1806.09441[math.NT]，2018年。
Daniel Birmajer、Juan B.Gil、David S.Kenepp和Michael D.Weiner，弱序的受限生成树，arXiv:2108.04302[math.CO]，2021。
詹姆斯·卡伦，问题15897，《教育时报》，第58卷（1905年12月），第534页。
Orhan Eren和Yüksel Soykan，高斯广义Woodall数，建筑。当前研究国际（2023）第23卷，第。8，货号ACRI.108618，48-68。见第50页。
瓦克·瓦夫·西尔宾斯基，数论基础1964年，华沙。
阿米莉亚·卡罗琳娜·斯巴维尼亚（Amelia Carolina Sparavigna），广义熵的合成运算在数字研究中的应用《国际科学杂志》，第8卷，第4期（2019年），第87-92页。
阿米莉亚·卡罗琳娜·斯巴维尼亚（Amelia Carolina Sparavigna），一些群胚及其整数序列表示《国际科学杂志》，第8卷，第10期（2019年）。
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配方奶粉
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a（n）=4a（n-1）-4a（n-2）+1-保罗·巴里2003年6月12日
a（0）=1，a（1）=3，a（2）=9，a（n）=5*a（n-1）-8*a（n-2）+4*a（n-3）-哈维·P·戴尔，2011年10月13日
例如：2*x*exp（2*x）+exp（x）-罗伯特·伊斯雷尔2014年12月12日
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例子
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G.f.=1+3*x+9*x^2+25*x^3+65*x^4+161*x^5+385*x^6+897*x^7+-迈克尔·索莫斯2018年7月18日
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MAPLE公司
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数学
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线性递归[{5，-8，4}，{1，3，9}，51](*哈维·P·戴尔，2011年10月13日*）
系数列表[级数[（1-2 x+2 x ^2）/（（1-x）（2 x-1）^2），{x，0，50}]，x](*文森佐·利班迪2015年5月7日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a002064 n=n*2^n+1
a002064_list=1:3:（map（+1）$zipWith（-）（tail xs）xs）
其中xs=map（*4）a002064_list
（岩浆）[0..40]]中的[n*2^n+1:n//文森佐·利班迪2015年5月7日
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交叉参考
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关键字
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A002234号
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| 对k进行编号，使Woodall数k*2^k-1为素数。
（原M0820 N0311）
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+10
29
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2, 3, 6, 30, 75, 81, 115, 123, 249, 362, 384, 462, 512, 751, 822, 5312, 7755, 9531, 12379, 15822, 18885, 22971, 23005, 98726, 143018, 151023, 667071, 1195203, 1268979, 1467763, 2013992, 2367906, 3752948, 17016602
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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a（34）=17016602是暂定的，直到完全搜索范围16838832..17016601-埃里克·韦斯特因2018年3月22日
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参考文献
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J.-M.De Konink，《法定法西斯》，条目115，第40页，《椭圆》，巴黎，2008年。
F.Le Lionnais，Les Nombres Remarquables，巴黎，赫尔曼，1983年，第95页，1983年。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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布雷迪·哈兰和马特·帕克，383很酷，数字爱好者视频（2017）
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黄体脂酮素
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交叉参考
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关键字
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非n,美好的,坚硬的
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作者
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扩展
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a（27）由Mohammed Bouayoun传达（bouyao（AT）wanadoo.fr），2004年3月15日
a（28）=1195203，由M.Rodenkirch发现；出资人埃里克·韦斯特因2005年11月29日
更多来自Herman Jamke（hermanjamke（AT）fastmail.fm）的条款，2008年1月5日
1467763，2013992，2367906，3752948来自约翰·布莱泽克2009年5月14日
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状态
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经核准的
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A076335号
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| 布里尔数：里塞尔数和西尔宾斯基数，或者奇数n，对于所有k>=1的数，n*2^k+1和n*2*k-1是复合数。 |
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3316923598096294713661, 10439679896374780276373, 11615103277955704975673, 12607110588854501953787, 17855036657007596110949, 21444598169181578466233, 28960674973436106391349, 32099522445515872473461, 32904995562220857573541
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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Christophe Clavier计算的a（1）、a（4）和a（6）-a（8），2013年12月31日（见以下链接）。2013年早些时候，Dan Ismailescu和Peter Seho Park发现了10439679896374780276373（见下文参考）。2014年计算的a（3）、a（5）和a（9）埃曼纽尔·范蒂厄姆（Emmanuel Vantieghem）.
这些只是已知的最小示例，可能还有更小的示例。
其他Brier编号为143665583045350793098657、15473747564995904863191、312789436368981760543181、3780564951798029783879299，但这些可能不是显示的后面的/Brier编号。从2002年到2013年，这四个数字是已知的最小Brier数，因此新条目A234594号是为了维护这一事实而创建的-N.J.A.斯隆2014年1月3日
143665583045350793098657由Michael Filaseta、Carrie Finch和Mark Kozek于2007年计算得出。
这是一个猜想，每个这样的数字都有10个以上的数字。2011年，我计算出，对于任何n<10^10，都有一个k，即n*2^k+1或n*2|k-1的所有素因子都大于1321-阿尔卡迪乌斯·韦索洛夫斯基2016年2月3日[编者按：下面的评论表明推测现已被证明-M.F.哈斯勒2021年10月6日]
没有低于10^10的Brier数字。对于每一个n<10^10，至少存在一个形式为n*2^k-1或n*2|k+1且k<=356981的素数。最大的必要素数是1355477231*2^356981+1-凯伦·申顿2020年10月25日
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链接
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Chris Caldwell，《主要词汇》，黎瑟尔数
Michael Filaseta和Jacob Juillerat，数字上非常精细的连续素数，arXiv:2101.08898[math.NT]，2021。
Michael Filaseta、Jacob Juillerat和Thomas Luckner，数字上非常精细的连续素数和Brier数，arXiv:2209.10646[math.NT]，2022。另请参见整数（2023）第23卷，#A75。
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交叉参考
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囊性纤维变性。A194591号,A194600个,A194603型,1949年6月,A194607型,A194608型,A194635号,A194636号,A194637号,A194638号,A194639号,A076336号,A076337号,A040081号,A040076号,A103963号,A103964号,A038699号,A050921号,A064699美元,A052333号,A003261号,A364412飞机,A364413型.
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关键字
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非n
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作者
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经核准的
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A076337号
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| 里塞尔数：奇数n，对于所有k>=1的数n*2^k-1都是复合数。 |
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509203已被证明是序列的一个成员，并被推测为最小的成员。然而，截至2009年，仍有几个较小的候选人数，尚未被排除在外（见链接）。
通过给出p（k）|n*2^k-1素数除数的周期序列p，证明了Riesel数的存在性，并通过求素数n*2|k-1证明了其不成立性。据推测，不能用这种方法证明Riesel的数是非Riesel数。然而，一些数字既拒绝证明也拒绝反驳。
其他人则推测相反：有无限多的里塞尔数不是由覆盖系统产生的，见A101036号定义中需要单词“奇数”，因为否则对于任何术语n，所有数字n*2^m，m>=1也都是里塞尔数，但我们不希望它们出现在这个序列中（如A101036号). 由于1和3显然不在这个序列中，对于这个序列中的任何n，n-1是一个偶数>2，因此是复合数，因此可以用“k>=0”等效地替换“k>=1”-M.F.哈斯勒2020年8月20日
以瑞典数学家汉斯·伊瓦尔·里塞尔（1929-2014）命名-阿米拉姆·埃尔达尔2022年4月2日
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参考文献
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保罗·里本博伊姆（Paulo Ribenboim），《素数记录簿》（The Book of Prime Number Records），第二版，1989年，第282页。
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链接
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交叉参考
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非n,布雷夫,坚硬的,更多
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