搜索： a003239-编号：a003239
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1, 0, 0, 0, 2, 4, 18, 48, 156, 472, 1526, 4852, 16000, 52940, 178276, 605520, 2079862, 7201084, 25138878, 88358520, 312576996, 1112087012, 3977502766, 14294093652, 51596165872, 186997738504, 680272334202, 2483340387644, 9094756956908
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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1,5
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评论
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这是维（2*n-2）模序列中平凡模的重数/不！在对称群S_n上，由维数为（2*n-2）/（n！*（n-1）！）（加泰罗尼亚语）在循环群C_n上。
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链接
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F.Chapoton，关于一些反循环算子《代数和几何拓扑》5（2005），第4号论文，第53-69页。
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配方奶粉
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a（n）=（2/n）*二项式（2*n-2，n-1）-1/（2*n）*Sum_{d除以n}φ（d）*二项（2*n/d，n/d））。
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MAPLE公司
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带有（数字理论）；
a： =proc（n）（2/n）*二项式（2*n-2，n-1）-（1/（2*n））*加法（φ（d）*二项式（2*n/d，n/d），d=除数（n））结束：
seq（a（n），n=1..40）；
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数学
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a[n_]：=2/n*二项式[2*n-2，n-1]-1/（2*n）*除数和[n，EulerPhi[#]*二项法[2*n/#，n/#]&]；表[a[n]，{n，40}](*Jean-François Alcover公司2017年2月20日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）
A106520号：=func<n|2*Catalan（n-1）-（1/（2*n））*；
（圣人）
定义a（n）：返回2*catalan_number（n-1）-（1/（2*n））*sum（euler_phi（n/d）*divisors（n）中d的二项式（2*d，d））
（PARI）a（n）=（2/n）*二项式（2*n-2，n-1）-1/（2*n）*sumdiv（n，d，eulerphi（d）*二项式（2*n/d，n/d））\\米歇尔·马库斯，2021年8月8日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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经核准的
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A000740号
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| 基本周期为2n的2n珠平衡二元项链的数量，相当于反向补码；b_n=2^（n-1）与mu（n）的Dirichlet卷积；还有Mandelbrot集对应于具有吸引性n圈的Julia集的分量数。
（原名M2582 N1021）
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199
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1, 1, 3, 6, 15, 27, 63, 120, 252, 495, 1023, 2010, 4095, 8127, 16365, 32640, 65535, 130788, 262143, 523770, 1048509, 2096127, 4194303, 8386440, 16777200, 33550335, 67108608, 134209530, 268435455, 536854005, 1073741823, 2147450880
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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1,3
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评论
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此外，n的组成数为相对素数部分（即所有部分的gcd为1）。还有包含n且由相对素数组成的{1,2，..，n}的子集的数目-弗拉德塔·乔沃维奇2003年8月13日
还有正好有n列的完美奇偶校验模式的数量（请参阅18141年). -高德纳2006年5月11日
a（n）是n次GF（2）[x]中系数非零的一元不可约多项式的个数-米歇尔·马库斯2016年10月30日
a（n）是n的非周期成分数，具有相对质数部分的n的成分数，以及具有相对质素长度的n的组成数-古斯·怀斯曼2017年12月21日
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参考文献
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H.O.Peitgen和P.H.Richter，《分形之美》，Springer-Verlag；A.Douady的贡献，第165页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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Hunki Baek、Sejeong Bang、Dongseok Kim和Jaeun Lee，非周期回文与连通循环图之间的双射，arXiv:1412.2426[math.CO]，2014年。见表2。
弗朗索瓦·维格纳龙和尼古拉·米哈拉什，如何拆分多项式，arXiv:2402.06083[math.NA]，2024。
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配方奶粉
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a（n）=Sum_{d|n}mu（n/d）*2^（d-1），Mobius变换A011782号此外，Sum_{d|n}a（d）=2^（n-1）。
递归关系：a（n）=2^（n-1）-Sum_{d|n，d>1}a（n/d）。（拉斐特学院问题小组；见Maple项目和[Iglesias eq（6）]-Emeric Deutsch公司2007年4月27日
通用公式：总和{k>=1}亩（k）*x^k/（1-2*x^k）-伊利亚·古特科夫斯基2018年10月24日
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例子
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当n=4时，n的6个组分分成互质部分：<3,1>、<2,1,1>、<1,3>、<1,2,1>、<1,1,2>和<1,1,1,1>。
a（6）=27非周期成分为：
（11112）、（11121）、（11211）、（12111）、（21111），
(1113), (1122), (1131), (1221), (1311), (2112), (2211), (3111),
(114), (123), (132), (141), (213), (231), (312), (321), (411),
(15), (24), (42), (51),
(6).
a（6）=27组成的相对素数部分是：
(111111),
(11112), (11121), (11211), (12111), (21111),
(1113), (1122), (1131), (1212), (1221), (1311), (2112), (2121), (2211), (3111),
(114), (123), (132), (141), (213), (231), (312), (321), (411),
(15), (51).
a（6）=27组分，具有相对主要的运行长度：
(11112), (11121), (11211), (12111), (21111),
(1113), (1131), (1212), (1221), (1311), (2112), (2121), (3111),
(114), (123), (132), (141), (213), (231), (312), (321), (411),
(15), (24), (42), (51),
(6).
（结束）
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MAPLE公司
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用（数字理论）：a[1]：=1:a[2]：=1:n从3到32对n进行div:=除数（n）：a[n]：=2^（n-1）-和（a[n/div[j]]，j=2..tau（n））od:seq（a[n]，n=1..32）#Emeric Deutsch公司2007年4月27日
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数学
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=汇总（n，d，moebius（n/d）*2^（d-1））
（Python）
从sympy import mobius，除数
定义a（n）：返回和（[mobius（n/d）*2**（d-1）for d in divisors（n）]）
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000837号,A003239号,A008683号,A008965号,A022553号,A034738号,A035928号,A038199号,A051168美元,A054525号,A056267号,A059966号,114324英镑,A167606型,A178472号,A216954号,A228369号,1949年9月,A296302型.
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关键词
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非n,美好的,容易的,改变
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A047996号
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| 按行读取三角形：T（n，k）是第（n，k）个循环二项式系数，其中0<=k<=n。 |
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+10
37
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1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 3, 4, 3, 1, 1, 1, 1, 3, 5, 5, 3, 1, 1, 1, 1, 4, 7, 10, 7, 4, 1, 1, 1, 1, 4, 10, 14, 14, 10, 4, 1, 1, 1, 1, 5, 12, 22, 26, 22, 12, 5, 1, 1, 1, 1, 5, 15, 30, 42, 42, 30, 15, 5, 1, 1, 1, 1, 6, 19, 43, 66, 80, 66, 43, 19, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 22
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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0,13
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评论
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等价地，T（n，k）=带有k个黑色珠子和n-k个白色珠子的项链数量（重量为k的二进制项链）。
k列的生成函数由k阶对称群的循环指数中的替换x_j->x^j/（1-x^j）给出-R.J.马塔尔2018年11月15日
关于Voss、Adams-Waters和Sloane的上述评论，请注意Fredman（1975）证明了满足a_0+…+的非负整数分量向量（a_0，…，a_{n-1}）的数量S（n，k，v）a{n-1}=k和Sum{i=0..n-1}i*a_i=v（modn）由S（n，k，v）=（1/（n+k））*Sum{d|gcd（n，k）}给出A054535号（d，v）*二项式（（n+k）/d，k/d）=S（k，n，v）。
Elashvili等人（1999）也证明了这一结果，他还证明了S（n，k，v）=Sum_{d|gcd（n，k，v）}S（n/d，k/d，1）。这里，S（n，k，0）=A241926型（n，k）=U（n，k）=T（n+k，k）（其中T（n，k）是当前阵列）。此外，S（n，k，1）=A245558型（n，k）。参见Panyushev（2011），了解更多一般结果和生成函数。
最后，请注意A054535美元（d，v）=c_d（v）=Sum_{s|gcd（d，v）}s*Moebius（d/s）。这些是Ramanujan和，它也等于von Sterneck函数c_d（v）=phi（d）*Moebius（d/gcd（d，v））/phi（d/gcr（d，v））。我们有A054535号（d，v）=A054534号（v，d）。
看看是否有Fredman（1975）、Elashvili et al.（1999）和Panyushev（2011）使用Molien级数证明了一般v的结果，就像Sloane（2014）在v=0的情况下所做的那样（在这种情况下，A054535号（d，0）=φ（d））。（即使数组的列A054535号（d，v）从v=1开始，我们也可以从v=0列开始数组。）
（结束）
U（n，k）是模n留数的k元组的等价类的数目，标识出那些分量因常数而不同的类和那些分量因置换而不同的族-阿尔瓦尔·伊比亚斯，2021年9月21日
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参考文献
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N.G.de Bruijn，Polya的计数理论，收录于：应用组合数学（E.F.Beckenbach，ed.），John Wiley and Sons，纽约，1964年，第144-184页（表示该三角形的G.F.）。
理查德·斯坦利，枚举组合数学，第二。ed.，Vol 1，Chapter I，Problem 105，pp.122 and 168，讨论了Z/nZ的子集加到0的数量-N.J.A.斯隆2014年5月6日
J.Voß，发布到序列粉丝邮件列表，2014年4月30日。
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链接
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伊桑·阿金和莫顿·戴维斯，保加利亚纸牌，美国数学。月刊92（4）（1985），237-250。
J.Brandt，分区周期，程序。美国数学。Soc.85（3）（1982），483-486，定理5。
Paul Drube和Puttipong Pongtanapaisan，环形非交叉匹配《整数序列杂志》，第19卷（2016年），第16.2.4号。
A.Elashvili和M.Jibladze，循环群正则表示的Hermite互易性，印度。数学。（N.S.）9（1998），第2期，233-238。MR1691428（2000c:13006）
A.Elashvili、M.Jibladze和D.Pataraia，项链与“Hermite互惠”的组合《代数组合》10（1999），第2期，173--188。MR1719140（2000年j：05009）。见第174页-N.J.A.斯隆2014年8月6日
D.E.Knuth、H.Wilf、C.L.Mallows和D.Klarner，信件，1994年
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配方奶粉
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T（n，k）=（1/n）*和{d|（n，k）}φ（d）*二项式（n/d，k/d）。
对于第n行（n>=1）：（1/n）*Sum_{i=0..n-1}（x^（n/gcd（i，n））+1）^gcd（i，n）-乔格·阿恩特2012年9月28日
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例子
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三角形开始：
[ 0] 1,
[1]1，
[ 2] 1, 1, 1,
[ 3] 1, 1, 1, 1,
[ 4] 1, 1, 2, 1, 1,
[ 5] 1, 1, 2, 2, 1, 1,
[6]1，1，3，4，3，1，1，
[ 7] 1, 1, 3, 5, 5, 3, 1, 1,
[ 8] 1, 1, 4, 7, 10, 7, 4, 1, 1,
[ 9] 1, 1, 4, 10, 14, 14, 10, 4, 1, 1,
[10] 1, 1, 5, 12, 22, 26, 22, 12, 5, 1, 1,
[11] 1、1、5、15、30、42、42、30、15、5、1、1、，
[12] 1, 1, 6, 19, 43, 66, 80, 66, 43, 19, 6, 1, 1, ...
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MAPLE公司
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A047996号：=程序（n，k）局部C，d；如果k=0，则返回1；结束条件：；C:=0；对于numtheory[除数]（igcd（n，k））中的d，做C:=C+numtheori[phi]（d）*二项式（n/d，k/d）；结束do:C/n；结束进程：
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数学
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t[n_，k_]：=总数[EulerPhi[#]*二项式[n/#，k/#]&/@除数[GCD[n，k]]/n；t[0,0]=1；扁平[表[t[n，k]，{n，0，13}，{k，0，n}]](*Jean-François Alcover公司，2011年7月19日，根据给定公式*）
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黄体脂酮素
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（PARI）
p（n）=如果（n<=0，n==0，1/n*和（i=0，n-1，（x^（n/gcd（i，n））+1）^gcd（i，n））；
对于（n=0，17，打印（Vec（p（n）））；/*打印三角形*/
（PARI）
T（n，k）=如果（n<=0，n==0，1/n*sumdiv（gcd（n，k），d，eulerphi（d）*二项式（n/d，k/d））；
/*打印三角形：*/
{对于（n=0，17，对于（k=0，n，打印1（T（n，k），“，”）；）；打印（）；}
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交叉参考
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关键词
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A022553号
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| 每种类型包含n个字母的二进制Lyndon单词数；周期2n的周期二进制序列，每个周期中有n个零和n个一。 |
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+10
32
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1, 1, 1, 3, 8, 25, 75, 245, 800, 2700, 9225, 32065, 112632, 400023, 1432613, 5170575, 18783360, 68635477, 252085716, 930138521, 3446158600, 12815663595, 47820414961, 178987624513, 671825020128, 2528212128750, 9536894664375, 36054433807398, 136583760011496
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,4
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评论
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可以推测，深度n和权重3n的不可约交替欧拉和的个数。
Hopf代数CQSym（Catalan拟对称函数）的本原李代数n次部分的维数让-伊夫·蒂本（jyt（AT）univ mlv.fr），2006年10月22日
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参考文献
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F.Bergeron、G.Labele和P.Leroux，组合物种和树状结构，剑桥，1998年，第336页（4.4.64）
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链接
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M.J.H.Al Kaabi，标题，IOP配置序列：马特。科学。工程（2020）第871卷，012048。
Y.Puri和T.Ward，周期轨道的算术和增长，J.整数序列。，第4卷（2001年），第01.2.1号。
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配方奶粉
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产品n（1-x^n）^a（n）=2/（1+sqrt（1-4*x））；a（n）=1/（2*n）*Sum_{d|n}mu（n/d）*C（2*d，d）。也是Moebius变换A003239号. -克里斯蒂安·鲍尔
a（n）~2^（2*n-1）/（平方（Pi）*n^（3/2））-瓦茨拉夫·科特索维奇2014年9月11日
总面积：1+Sum_{k>=1}亩（k）*log（1-sqrt（1-4*x^k））/（2*x^k））/k-伊利亚·古特科夫斯基2019年5月18日
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例子
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a（3）＝3个计数，6周期000111、001011和00110。a（4）=8计数00001111、00010111、00011011、00011101、00100111、00101011、00101101和00110101-R.J.马塔尔2021年10月20日
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MAPLE公司
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带有（数字理论）：
a： =n->`如果`（n=0，1，
加法（mobius（n/d）*二项式（2*d，d），d=除数（n）/（2*n））：
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数学
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=如果（n<1，n==0，sumdiv（n，d，moebius（n/d）*二项式（2*d，d））/2/n）
（Python）
从符号导入mobius，二项式，除数
定义a（n）：
如果n==0，则返回1，否则求和（mobius（n//d）*除数（n）中d的二项式（2*d，d）//（2*n）
（圣人）
定义a（n）：
如果n==0，则返回1，否则求和（moebius（n//d）*二项式（2*d，d）用于除数（n）中的d）//（2*n）
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A002995号
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| 具有n个节点的未标记平面树（也称为平面树）的数量。
（原名M0805）
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+10
31
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1, 1, 1, 1, 2, 3, 6, 14, 34, 95, 280, 854, 2694, 8714, 28640, 95640, 323396, 1105335, 3813798, 13269146, 46509358, 164107650, 582538732, 2079165208, 7457847082, 26873059986, 97239032056, 353218528324, 1287658723550, 4709785569184
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,5
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评论
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两（n-1）人在圆桌上不交叉握手（每个人只用一只手），最多可旋转-安蒂·卡图恩2000年9月3日
等价地，由大小为2的n-1个块组成的旋转前的非交叉分区数-安德鲁·霍罗伊德2018年5月4日
a（n），n>2，也是n-1个未标记节点上所有分离度为2的切点上的定向仙人掌数，即仅由两个（循环）块共享的切点。这些是有向图（没有循环），具有独特的欧拉循环。带有标记节点的此类有向图由枚举A102693号. -瓦莱里·利斯科维茨2005年10月19日
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参考文献
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Miklos Bona，编辑，《枚举组合数学手册》，CRC出版社，2015年，第304页。
A.埃雷拉（A.Errera），《分析现场的问题》（Dequelques problèmes d’analysis situs），康普特斯·伦德（Comptes Rend）。恭喜。自然科学。布鲁塞尔，（1930），106-110。
F.Harary和E.M.Palmer，《图形计数》，纽约学术出版社，1973年，第67页，（3.3.26）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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F.Bergeron、G.Labele和P.Leroux，组合种与树状结构，剑桥，1998年，第285（4.1.26）、291（4.1.48）页
R.Cori、M.Marcus、，非同构弦图计数，提奥。公司。科学。204（1998）55-75，推论5.2。
Paul Drube和Puttipong Pongtanapaisan，环形非交叉匹配《整数序列杂志》，第19卷（2016年），第16.2.4号。
D.费尔德曼，数梧桐树，未出版手稿，1992年。（带注释的扫描副本）
F.Harary和R.W.Robinson，无枝树的数量J.Reine Angew著。数学。，278 (1975), 322-335.
F.Harary和R.W.Robinson，无枝树的数量J.Reine Angew著。数学。，278（1975），322-335。（带注释的扫描副本）
G.标签，综合结构，提奥。计算。科学。117，第1-2、3-22号（1993年）。
P.Leroux和B.Miloudi，水獭的形式，《科学年鉴》。数学。魁北克，第16卷，第1期，第53-80页，1992年。（带注释的扫描副本）
托尔斯滕·穆策，中间层猜想的证明，arXiv预印本arXiv:1404.4442[math.CO]，2014。
托尔斯滕·穆策，中间层定理的书证，arXiv:2306.13019[math.CO]，2023。
托尔斯滕·穆策和弗兰齐斯卡·韦伯，离散立方体中间层2因子的构造，arXiv预印本arXiv:11111.2413[math.CO]，2011。
Seunghyun Seo和Heesung Shin，有序树顶点上的两个对合，FPSAC’02（2002）。（参见p_n）。
亚历山大·斯托伊莫夫，关于弦图的个数，离散。数学。218 (2000), 209-233. 见表1。
D.W.沃卡普，梧桐树的数量Mathematika，第19卷，第2期（1972年），200-204。
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配方奶粉
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例子
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G.f.=1+x+x ^2+x ^3+2*x ^4+3*x ^5+6*x ^6+14*x ^7+34*x ^8+95*x ^9+。。。
a（7）=14=11+3，因为有11棵树，有7个节点，但其中三棵树可以通过两种方式嵌入到平面中。这三棵树具有度序列4221111、3321111、3222111，其中有两棵树具有每个度序列，但在第一棵树中，两个二级节点相邻，在第二棵树中两个三级节点相邻；在第三棵树中三级节点与两个二度节点相邻-迈克尔·索莫斯2014年8月19日
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MAPLE公司
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with（powseries）：with（combstruct）：n:=27:顺序：=n+2:sys:={C=循环（B），B=并集（Z，Prod（B，B））}:G003239:=（convert（gfseries（sys，unlabeled，x）[C（x）]，polynom））/x:G000108:=转换（taylor（（1-4*x））/（2*x），x），polyno）：G002995:=1+G003239+（eval（G000108，x=x^2）-G000108^2）/2：A002995号：=1，1，1，seq（系数（G002995，x^i），i=1..n）；#Ulrich Schimke，2002年4月5日
with（combint）：with（numtheory）：m:=2：对于从2到28的p do s1:=0:s2:=0：对于从1到p的d do如果p mod d=0，则s1:=s1+phi m*p）-二项式（m*p，p）/（p*（m-1）+1））od：#零入侵拉霍斯2006年12月1日
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数学
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黄体脂酮素
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（PARI）加泰罗尼亚（n）=二项式（2*n，n）/（n+1）；
a（n）=如果（n<2，1，n-；sumdiv（n，d，eulerphi（n/d）*二项式（2*d，d））/（2*n）-加泰罗尼亚（n）/2+如果（（n-1）%2，0，加泰罗尼亚（（（n-1）/2））\\米歇尔·马库斯2016年1月23日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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名称已由更正（“标记”-->“未标记”）大卫·卡伦2014年8月19日
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状态
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经核准的
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0, 1, 2, 3, 4, 6, 5, 7, 8, 9, 11, 14, 16, 19, 10, 15, 12, 17, 18, 13, 20, 21, 22, 23, 25, 28, 30, 33, 37, 39, 42, 44, 47, 51, 53, 56, 60, 24, 29, 38, 43, 52, 26, 40, 31, 45, 46, 32, 48, 49, 50, 27, 41, 34, 54, 55, 35, 57, 58, 59, 36, 61, 62, 63, 64, 65, 67, 70, 72, 75, 79, 81
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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通过过程fixedcount可以计算此排列固定的对象数（根平面树、山脉、括号），它给出了A034731号.
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链接
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A.卡图恩，异形性（包括计算该序列的完整Scheme程序）
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MAPLE公司
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地图（CatalanRankGlobal，地图（RotateBottomBranchesL，A014486号));
RotateBottomBranchesL:=n->pars2binexp（rotateL（binexp2pars（n）））；
rotateL:=proc（a）如果0=nops（a），则（a）else[op（cdr（a）），a[1]；fi；结束；
fixedcount：=proc（n）局部d，z；z:=0；对于除数（n）中的d，做z:=z+C（d-1）；od；返回（z）；结束；
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黄体脂酮素
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（在列表结构上实现此自同构的Scheme函数：）（define（Rol s）（cond（not（pair？s））s）（else（append（cdr s）（list（cars））））
（破坏性变体，参见A057501号旋转握手！和交换！）（define（Rol！s）（cond（（pair？s）（swap！s））（旋转握手））
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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0, 1, 2, 3, 4, 6, 5, 7, 8, 9, 14, 10, 16, 19, 11, 15, 12, 17, 18, 13, 20, 21, 22, 23, 37, 24, 42, 51, 25, 38, 26, 44, 47, 27, 53, 56, 60, 28, 39, 29, 43, 52, 30, 40, 31, 45, 46, 32, 48, 49, 50, 33, 41, 34, 54, 55, 35, 57, 58, 59, 36, 61, 62, 63, 64, 65, 107, 66, 121, 149, 67
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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0,3
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链接
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A.卡图恩，异形性（包括计算该序列的完整Scheme程序）
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MAPLE公司
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地图（CatalanRankGlobal，地图（RotateBottomBranchesR，A014486号));
RotateBottomBranchesR:=n->pars2binexp（rotateR（binexp2pars（n）））；
rotateR:=a->反转（rotateL（反转（a）））；
RotBBPermutationCycleCounts：=进程（upto_n）局部u，n，a，r，b；a:=[]；对于从0到upto_n的n，做b:=[]；u:=（二项式（2*n，n）/（n+1））；对于从0到u-1的r，请执行b:=[op（b），1+CatalanRank（n，RotateBottomBranchesL（CatalanUnrank（n、r））]；od；a:=[op（a），计数周期（b）]；od；返回（a）；结束；
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黄体脂酮素
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（Scheme函数在列表结构上实现此自同构，请参见A057502号旋转握手！和交换！：）（define（Ror！s）（cond（（pair？s）（RotateHandshakesInv！s），交换！s））
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A208183型
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| 每种颜色有n个珠子的不同k色项链的数量；方阵A（n，k），n>=0，k>=0。 |
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+10
16
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1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、2、2、1、1、1、6、16、4、1、1、1、24、318、188、10、1、1、120、11352、30804、2896、26、1、1、1、720、623760、11211216、3941598、50452、80、1、1、1、5040、48648960、7623616080、15277017432、586637256、953056、246、1、1
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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0,12
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评论
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列k>1渐近于k^（k*n-1/2）/（（2*Pi）^（（k-1）/2）*n^（k+1）/2））。
行r>0渐近于（r*n）！/（r*n*（r！）^n）。（结束）
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链接
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配方奶粉
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A（n，k）=Sum_{d|n}φ（n/d）*（k*d）/（d！^k*k*n）如果n，k>0；A（n，k）=1其他。
A（n，k）=和{i=1..n}（k*gcd（n，i））/（gcd（n，i）^k*k*n）=Sum_{i=1..n}（k*n/gcd（n，i））/（（n/gcd（n，i））^k*k*n）*phi（gcd（n，i））/phi（n/gcd（n，i）），对于n，k>=1，其中phi=A000010号. -理查德·奥尔勒顿2021年5月19日
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例子
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A（1,4）=6:{0123，0132，0213，0231，0312，0321}。
A（3,2）=4:｛000111、001011、010011、010101｝。
A（4,2）=10:{00001111001110010011100111001101100110011100101010110110110101010011010010101101}。
方阵A（n，k）开始：
1, 1, 1, 1, 1, 1, ...
1, 1, 1, 2, 6, 24, ...
1, 1, 2, 16, 318, 11352, ...
1, 1, 4, 188, 30804, 11211216, ...
1, 1, 10, 2896, 3941598, 15277017432, ...
1, 1, 26, 50452, 586637256, 24934429725024, ...
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MAPLE公司
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带有（数字理论）：
A： =（n，k）->`如果`（n=0或k=0，1，
加上（φ（n/d）*（k*d）/（d！^k*k*n），d=除数（n））：
seq（seq（A（n，d-n），n=0..d），d=0..10）；
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数学
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A[n_，k_]：=如果[n==0||k==0，1，总和[EulerPhi[n/d]*（k*d）/（d！^k*k*n），{d，除数[n]}]]；表[表[A[n，d-n]，{n，0，d}]，{d，0，10}]//扁平(*Jean-François Alcover公司，2013年12月27日，翻译自枫叶*）
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A241926型
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| 反对偶表：T（n，k）（n>=1，k>=1）是带有n个黑色珠子和k个白色珠子的项链数量。 |
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+10
14
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1、1、1、1、2、1、2、2、1、1、3、4、3、1、1、3、5、5、3、3、1、第一第一部的一次，的”1，都，22，6，1
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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1,5
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评论
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不允许翻转项链（该组为环状而非二面体）。T（n，k）=T（k，n）紧跟公式-N.J.A.斯隆2014年5月3日
T（n，k）是模n留数的k元组的等价类的数目，标识出那些分量因常数而不同的类和那些分量因置换而不同的族-阿尔瓦尔·伊比亚斯，2021年9月21日
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链接
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Paul Drube和Puttipong Pongtanapaisan，环形非交叉匹配《整数序列杂志》，第19卷（2016年），第16.2.4号。
A.Elashvili和M.Jibladze，循环群正则表示的Hermite互易，印度。数学。（N.S.）9（1998），第2期，233--238。MR1691428（2000c:13006）
A.Elashvili、M.Jibladze和D.Pataraia，项链与“Hermite互惠”的组合《代数组合》10（1999），第2期，173--188。MR1719140（2000j:05009）。见第174页-N.J.A.斯隆2014年8月6日
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配方奶粉
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T（n，k）=和{d|gcd（n，k）}φ（d）*二项式（（n+k）/d，n/d））/（n+k）。[由更正N.J.A.斯隆2014年5月3日]
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例子
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表格开始：
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...
1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, ...
1, 2, 4, 5, 7, 10, 12, 15, 19, 22, 26, 31, ...
1, 3, 5, 10, 14, 22, 30, 43, 55, 73, 91, 116, ...
1, 3, 7, 14, 26, 42, 66, 99, 143, 201, 273, 364, ...
1, 4, 10, 22, 42, 80, 132, 217, 335, 504, 728, 1038, ...
...
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MAPLE公司
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带有（数字理论）；
T： =proc（n，k）局部d，s，g，t0；
t0:=0；s： =n+k；g： =gcd（n，k）；
对于从1到s的d do
如果（g mod d）=0，则t0：=t0+phi（d）*二项式（s/d，k/d）；fi；
od:t0/s；结束；
r： =n->[seq（T（n，k），k=1..12）]；
[序列（r（n），n=1..12）]；
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数学
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T[n_，k_]：=除数和[GCD[n，k]，EulerPhi[#]二项式[（n+k）/#，n/#]&]/（n+k）；表[T[n-k+1，k]，{n，1，12}，{k，1，n}]//扁平(*Jean-François Alcover公司2015年12月2日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）T（n，k）=sumdiv（gcd（n，k），d，eulerphi（d）*二项式（（n+k）\d，n\d））/（n+k）
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交叉参考
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关键词
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作者
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扩展
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弗拉基米尔·波波夫（Vladimir Popov）提供的Elashvili等人参考，2014年5月17日
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状态
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经核准的
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A005648号
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| 带有n个黑色珠子的2n-珠黑白双面项链的数量。
（原名M0878）
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+10
13
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1, 1, 2, 3, 8, 16, 50, 133, 440, 1387, 4752, 16159, 56822, 200474, 718146, 2587018, 9398520, 34324174, 126068558, 465093571, 1723176308, 6407924300, 23910576230, 89494164973, 335913918902, 1264107416466
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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a（n）是二面体群D{2*n}的循环指数多项式中c1^n*c2^n的系数，用数字计数多项式c=c1+c2，n>=1计算，缩写为Z（D{2*n}，c）。例如，参见Harary-Palmer参考（见A212355型)第42页，定理（PET），以及第44页图2.4.2中所有6个双色4手镯（称为项链）的示例-沃尔夫迪特·朗2012年6月5日
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参考文献
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N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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E.M.Palmer和R.W.Robinson，自对偶配置的枚举太平洋数学杂志。，110 (1984), 203-221.
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配方奶粉
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a（n）=（总和{d|n}φ（n/d）*C（2*d，d））/（4*n）+C（2*k，k）/2，其中k=楼层（n/2）-迈克尔·索莫斯
a（n）=(A003239号（n） +C（2*k，k））/2，其中k=[n/2].-R.J.Fletcher，（yylee（AT）mail.ncku.edu.tw）
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例子
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a（2）=2:BBWW、BWBW。
a（3）=3:BBBWW、BBWBWW、BWBWBW。
a（4）=8:BBBBWWWW、BBBWBWW、bbBWWWW，BBWWBBWW、ABWBWBWW，bbWBWWW，BBWBBWW，BWBBWBWBW。
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数学
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f[k_Integer，n_]：=（加@@（EulerPhi[#]二项式[n/#，k/#]&/@除数[GCD[n，k]]）/n+二项式[（n-如果[奇数Q@n，1，如果[奇数Q@k，2，0]]）/2，（k-如果[奇数Q@k, 1, 0])/2])/2 (*罗伯特·拉塞尔2004年9月27日*）
a[0]=1；a[n_]：=1/2*（二项式[2*Commentient[n，2]，商[n，2]]+除数和[n，EulerPhi[#]*Binominal[2*n/#，n/#]&]/（2*n））；数组[a，26，0](*Jean-François Alcover公司2017年11月5日，翻译自PARI*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=1/2*（二项式（2*（n\2），n\2）+if（n<1，n>=0；
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交叉参考
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关键词
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非n,美好的,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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