搜索： a003159-编号：a003159
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1, 4, 7, 11, 13, 16, 19, 21, 25, 28, 31, 35, 37, 41, 44, 47, 49, 52, 55, 59, 61, 64, 67, 69, 73, 76, 79, 81, 84, 87, 91, 93, 97, 100, 103, 107, 109, 112, 115, 117, 121, 124, 127, 131, 133, 137, 140, 143, 145, 148, 151, 155, 157, 161, 164, 167, 171, 173, 176, 179, 181
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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（PARI）是（n）=hammingweight（n）%2和evaluation（n，2）%2==0\\查尔斯·格里特豪斯四世2016年5月9日
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(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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黄体脂酮素
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（PARI）是（n）=hammingweight（n-1）%2&&hammingweight（n）%2==0\\查尔斯·格里特豪斯四世2013年3月26日
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容易的,非n
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(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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对于任何n，0<=a（n）<=n。
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3, 6, 7, 9, 11, 14, 15, 18, 19, 22, 23, 25, 27, 30, 31, 33, 35, 38, 39, 41, 43, 46, 47, 50, 51, 54, 55, 57, 59, 62, 63, 66, 67, 70, 71, 73, 75, 78, 79, 82, 83, 86, 87, 89, 91, 94, 95, 97, 99, 102, 103, 105, 107, 110, 111, 114, 115, 118, 119, 121, 123, 126, 127, 129, 131, 134
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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猜想：设m>3属于A003159号定义序列b（n）为b（1）=m的最小递增序列，以及b（nA003159号则a（n）=b（n），对于所有n大于某个m相关最小指数。
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配方奶粉
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a35263[n_]：=1-Mod[整数指数[n，2]，2]；
a[1]=3；a[n_]：=a[n]=For[k=a[n-1]+1，True，k++，If[a35263[k]=a35263[n]，Return[k]]]；
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黄体脂酮素
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nexta（a，n）={my（k=a+1，is=is（n））；while（is（k）！=is，k++）；k；}；
lista（nn）=｛my（a=3）；print1（a，“，”）；for（n=2，nn，a=nexta（a，n）；print1（a，“，”）；｝\\米歇尔·马库斯2018年12月15日
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非n
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(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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Andrews-Newman（2017）给出了该系列的许多特性。
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联接[{1}，差异[（-1）^星期四[范围[0，100]]](*保罗·沙萨2023年12月18日*）
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(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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jointRank[{seqA_，seqB_}]：={压扁@位置[#1，{_，1}]，压扁@位置[#1, {_, 2}]}&[排序@扁平[{{#1，1}和/@seqA，{#1、2}和/@seqB}，1]]
seqA=删除案例[Array[#1 Boole[OddQ[Length[NestWhileList[#1/2&，#1，EvenQ]]]&，{500}]，0]；(*A003159号*)
A187417号=固定点[jointRank[{seqA，#1[[1]]}]&，jointRank[{sequeA，{}}]][1]
A187418号=补码[Range[Max[#]]，#]&[FixedPoint[jointRank[{seqA，#1[[1]]}]&，jointRank[{seq A，{}}]][1]
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(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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配方奶粉
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数学
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在Select[范围[100]，偶数Q[整数指数[#，2]]&]时累加(*阿米拉姆·埃尔达尔2022年1月16日*）
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a（n）=0，n=2,6,8,10,18,22,24,26,30,32。。。。a（n）/log（n）似乎是有界的。lim（-）n->infinity a（n）/log（n）和lim（+）n->infinity a？
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A010060型
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| Thue-Morse序列：让A_k表示前2^k项；则A_0=0，对于k>=0，A_{k+1}=A_kB_k，其中B_k是通过交换0和1从A_k获得的。 |
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0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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以Axel Thue命名，其名字的发音好像是拼写为“Tü”，其中u的发音与德语单词u ben大致相同。（说“Too-ee”或“Too-eh”是不正确的。）-N.J.A.斯隆，2018年6月12日
也称为Thue-Morse无限字，或Morse-Hedlund序列，或奇偶序列。
同态0-->01、1-->10的不动点，请参见示例-乔格·阿恩特2013年3月12日
序列是立方的（不包含三个连续的相同块）[参见Offner以获得直接证明]，并且是无重叠的（不包括XYXYX，其中X是0或1，Y是0和1的任何字符串）。
a（n）=“奇偶序列”=n的二进制表示中1个数的奇偶性。
a（n）=S2（n）mod 2，其中S2（n）=以2为基数的n，n的位数之和。有一类广义Thue-Morse序列：设Sk（n）=n的位数之和；n采用base-k表示法。设F（t）是某个算术函数。则a（n）=F（Sk（n））mod m是广义Thue-Morse序列。经典的Thue-Morse序列是k=2，m=2，F（t）=1*t的情况-Ctibor O.Zizka公司，2008年2月12日（修正自丹尼尔·汉格2017年5月19日）
更一般地，广义Thue-Morse序列a（n）=F（Sk（n））modm的部分和是分形的，其中Sk（n）是以k为基数的n，n的位数之和；F（t）是一个算术函数；m整数-Ctibor O.Zizka公司，2008年2月25日
从偏移量1开始，=揉捏序列的模2运行总和(A035263号, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, ...); 也等于A005187号: (1, 3, 4, 7, 8, 10, 11, 15, 16, 18, 19, ...). -加里·W·亚当森，2008年6月15日
对于所有正整数k，子序列a（0）到a（2^k-1）与子序列a，（2^k+2^（k-1））到a，2^（k+1）+2^。也就是说，A_k的上半部分与B_k的下半部分相同，A_k的下半段与B_{k+1}的第一个四分之一相同，后者由紧跟在B_k之后的k/2项组成。
证明：子序列a（2^k+2^（k-1））到a（2qu（k+1）-1）是B_k的后半部分，根据定义，它是由a_k的后半部分a（2~（k-1，根据定义，是由子序列a（0）到a（2^（k-1）-1）形成的，a_k的前半部分，根据定义也是a_{k-1}，通过交换其0和1。交换子序列的0和1两次使其保持不变，因此子序列a，必须与子序列a（0）到a（2^（k-1）-1）相同，即a_k的前半部分。
此外，子序列a（2^（k+1））到a（2qu（k+1）+2^（k-1）-1），即B_{k+1}的第一个四分之一，根据定义，是通过互换其0和1，从子序列a的（0）到a_{k+1}的第二个四分之一，即a_k的后半部分，形成的，根据定义，是由子序列a（0）到a（2^（k-1）-1）形成的，根据定义a{k-1}，也是通过交换其0和1而形成的。如果通过交换其0和1，从同一子序列形成两个子序列，那么它们必须相同，因此子序列a（2^（k+1））到a（2qu（k+1）+2^（k-1）-1），即B_{k+1}的第一个四分之一，必须与子序列a。
因此，子序列a（0）。。。，a（2^（k-1）-1），a。。。，a（2^k-1）与子序列a（2q+2^（k-1））相同。。。，a（2^（k+1）-1），a（2qu（k+1））。。。，a（2^（k+1）+2^（k-1）-1），量子电动力学。
根据1929年德国国际象棋规则，如果相同的动作顺序连续重复三次，就可以下棋。尤韦（Euwe），见参考文献，证明了这个规则可以导致无限游戏。为了证明这一点，他重新设计了Thue-Morse序列-约翰内斯·梅耶尔2010年2月4日
“Thue-Morse 0->01&1->10，在每个阶段用补码附加前一个。从0、1、2、3开始，用二进制写。然后计算数字之和（mod 2），即除以2，然后使用余数。”数学书Pickover。
设s2（n）是n和epsilon的2位基数之和（n）=（-1）^s_2（n），Thue-Morse序列，然后prod（n>=0，（2*n+1）/（2*n+2））^epsilon（n））=1/sqrt（2）-乔纳森·沃斯邮报2012年6月6日
Dekking表明，通过将此序列解释为二进制展开而获得的常数是超越的；另请参阅“无处不在的彩色莫尔斯序列”-查尔斯·格里特豪斯四世2013年7月23日
虽然0或1的概率相等，但根据看到的最新位进行猜测会产生3次正确匹配中的2次-比尔·麦克阿欣2015年3月13日
从a（0）到a（2n+1），n+1项等于0，n+1项等于1（见Hassan Tarfaoui链接，Concours Général 1990）-伯纳德·肖特2022年1月21日
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参考文献
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链接
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Hans Zantema，自动序列的复杂性《语言与自动机理论与应用国际会议（LATA 2020）：语言与自然主义理论与应用》，260-271。
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配方奶粉
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a（2n）=a（n），a（2n+1）=1-a（n）、a（0）=0。此外，如果0<=k<2 ^m，a（k+2^m）=1-a（k）。
如果n=总和b_i*2 ^i是n的二进制展开式，则a（n）=总和b_i（mod 2）。
设S（0）=0，对于k>=1，通过映射0->01和1->10从S（k-1）构造S（k）；序列是S（无穷大）。
通用公式：（1/（1-x）-产品{k>=0}（1-x^（2^k）））/2-贝诺伊特·克洛伊特2003年4月23日
a（0）=0，a（n）=（n+a（楼层（n/2）））模块2；同时a（0）=0，a（n）=（n-a（楼层（n/2）））mod 2-贝诺伊特·克洛伊特2003年12月10日
设b（1）=1，b（n）=b（天花板（n/2））-b（地板（n/2，）），则a（n-1）=（1/2）*（1-b（2n-1））-贝诺伊特·克洛伊特2005年4月26日
G.f.A.（x）满足：A（x）=x/（1-x^2）+（1-x）*A-伊利亚·古特科夫斯基2021年7月29日
对于k>=0，a（n）=a（n*2^k）。
a（（2^m-1）^2）=（1-（-1）^m）/2（见Hassan Tarfaoui链接，Concours Général 1990）。（结束）
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例子
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从0开始的演变是：
0
0, 1
0, 1, 1, 0
0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1
0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0
0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1
.......
A_2=0 1 1 0，所以B_2=1 0 0 1和A_3=A_2 B_2=0 11 0 1 0 1。
迭代替换的第一步是
开始时间：0
规则：
0 --> 01
1 --> 10
-------------
0: (#=1)
0
1: (#=2)
01
2: (#=4)
0110
3: (#=8)
01101001
4: (#=16)
0110100110010110
5: (#=32)
01101001100101101001011001101001
6: (#=64)
0110100110010110100101100110100110010110011010010110100110010110
（结束）
0;
1;
1,0;
1,0,0,1;
1,0,0,1,0,1,1,0;
1,0,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,0,0,0,1；
1,0,0,1,0,1,1,0,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0,1,1,0;
（结束）
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MAPLE公司
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s：=proc（k）局部i，ans；ans:=[0,1]；对于从0到k的i，执行ans:=[op（ans），op（map（n->（n+1）mod 2，ans））]od；返回ans；结束；t1:=s（6）；A010060型：=n->t1[n]；#s（k）给出了前2^（k+2）项。
a:=proc（k）b:=[0]：对于n从1到k做b:=subs（{0=[0，1]，1=[1，0]}，b）od:b；结束；#去掉括号后，a（k）给出了前2^k项示例：a（3）；给出[[[0，1]，[1，0]]，[[1，0]，[0，1]]]
添加（i，i=转换（n，base，2））mod 2；
结束进程：
map（`-`，convert（StringTools[ThueMorse]（1000），字节），48）#罗伯特·伊斯雷尔2014年9月22日
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数学
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表[If[OddQ[Count[InterDigits[n，2]，1]]，1，0]，{n，0100}]；
mt=0；Do[mt=ToString[mt]<>ToString[（10^（2^n）-1）/9-ToExpression[mt]]，{n，0，6}]；前缀[RealDigits[N[ToExpression[mt]，2^7]][[1]，0]
Mod[Count[#，1]&/@表格[Integer Digits[i，2]，{i，0，2^7-1}]，2](*哈兰·J·兄弟2005年2月5日*）
嵌套[#/.{0->{0，1}，1->{1，0}}]&，{0}，7](*罗伯特·威尔逊v2006年9月26日*）
a[n_]：=如果[n==0，0，如果[Mod[n，2]==0，a[n/2]，1-a[（n-1）/2]](*本·布兰曼，2010年10月22日*）
a[n_]：=Mod[Length[FixedPointList[BitAnd[#，#-1]&，n]]，2](*简·曼加尔丹2015年7月23日*）
表[2/3（1-Cos[Pi/3（n-求和[（-1）^二项式[n，k]，{k，1，n}]），{n，0，100}]（*或，对于10.2或更高版本*）(*弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2016年5月6日*）
ThueMorse[Range[0100]]（*程序使用Mathematica版本11*中的ThueMosse函数）(*哈维·P·戴尔2016年8月11日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a010060 n=a010060_列表！！n个
a010060_列表=
0：交错（补码a010060_list）
其中补码=映射（1-）
交错（x:xs）ys=x:interleave ys-xs
--道格·麦克罗伊（Doug（AT）cs.dartmouth.edu），2003年6月29日
（PARI）a（n）=如果（n<1，0，和（k=0，长度（二进制（n））-1，位测试（n，k））%2）
（PARI）a（n）=如果（n<1，0，subst（Pol（binary（n）），x，1）%2）
（PARI）默认值（realprecision，6100）；x=0.0；m=20080；对于（n=1，m-1，x=x+x；x=x+和（k=0，长度（二进制（n））-1，位测试（n，k））%2）；x=2*x/2^m；对于（n=0，20000，d=楼层（x）；x=（x-d）*2；写入（“b010060.txt”，n，“”，d）\\哈里·史密斯2009年4月28日
（Python）
对于范围（14）内的_：
（Python）
（R）
maxrow<-8#（可选）
b01<-1
for（m in 0:maxrow）for（k in 0:（2^m-1））{
b01[2^（m+1）+k]<-b01[2^m+k]
b01[2^（m+1）+2^m+k]<-1b01[2^m+k]
}
（b01<-c（0，b01））
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交叉参考
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Allouche等人《分类学》论文中提到的序列，按示例编号列出：1：A003849号, 2:A010060型, 3:A010056号, 4:A020985美元和A020987号, 5:A191818号, 6:163340英镑和A273129型, 18:A316341型, 19:A030302号, 20:A063438号，第21页：A316342型, 22:A316343, 23:A003849号减去第一项，24:A316344型, 25:A316345型和A316824型, 26:A020985美元和A020987号, 27:A316825型, 28:A159689号, 29:A049320型, 30:A003849号, 31:A316826型, 32:A316827型, 33:A316828型，第34页：A316344型, 35:A043529号, 36:168万元人民币, 37:A010060型.
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关键字
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非n,核心,容易的,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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A007913号
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| n的无平方部分：a（n）是最小的正数m，因此n/m是平方。 |
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+10
291
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1, 2, 3, 1, 5, 6, 7, 2, 1, 10, 11, 3, 13, 14, 15, 1, 17, 2, 19, 5, 21, 22, 23, 6, 1, 26, 3, 7, 29, 30, 31, 2, 33, 34, 35, 1, 37, 38, 39, 10, 41, 42, 43, 11, 5, 46, 47, 3, 1, 2, 51, 13, 53, 6, 55, 14, 57, 58, 59, 15, 61, 62, 7, 1, 65, 66, 67, 17, 69, 70, 71, 2, 73, 74, 3, 19, 77
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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这是一个算术函数，如果n<=0，则未定义。
如果n>1，数量f（n）=log（n/core（n））/log（n；当n无平方时f（n）=0，当n是一个完美的正方形时f（n）=1。如果f（n）<ε，可以将n定义为“ε-几乎平方自由”Kurt Foster（drsardonicus（AT）earthlink.net），2008年6月28日
a（n）是最小的自然数m，使得n的除数的几何平均数与m的除数几何平均数的乘积是整数。数字n的除数的几何平均数是实数b（n）=Sqrt（n）。对于无穷多个n，a（n）=1A000290型：a(A000290型（n） ）=1。对于n=8；b（8）=sqrt（8），a（n）=2，因为b（2）=squrt（2）；平方码（8）*sqrt（2）=4（整数）-雅罗斯拉夫·克里泽克2010年4月26日
Booker、Hiary和Keating概述了一种使用L函数（在GRH上）为大n定义a（n）的方法-查尔斯·格里特豪斯四世2013年2月1日
根据公式a（n）=n/A000188号（n） ^2，散点图显示直线y=x，y=x/4，y=x/9。。。，即，对于所有k=1,2,3，…，y=x/k^2-M.F.哈斯勒2014年5月8日
如果n是平方，a（n）=1；如果n是不同素数的乘积，a（n）=n-扎克·塞多夫2016年1月30日
丢番图方程n*x=y^2或G（n，x）=y的所有解，G是几何平均值，其形式为x=k^2*a（n），y=k*sqrt（n*a（n）），其中k是正整数-斯坦尼斯拉夫·西科拉2016年2月3日
如果f是一个乘法函数，那么Sum_{d除以n）f（a（d））也是乘法函数，A010052号（n） =总和{d除以n）mu（a（d））和A046951号（n） =Sum_{d除以n）mu（a（d）^2）-彼得·巴拉2024年1月24日
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链接
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安德鲁·布克（Andrew Booker）、盖思·希里（Ghaith Hiary）和乔恩·基廷（Jon Keating），检测无平方数，CNTA XII（2012）。
弗拉德·科皮尔（Vlad Copil）和劳伦·伊·帕纳伊托波尔（Laurenţiu Panaitopol），由正整数生成的序列的性质《鲁马尼科学数学公报》，《新社会》，第50卷（98），第2期（2007），第131-137页；备用链路.
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配方奶粉
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与a（p^k）相乘=p^（k mod 2）-大卫·W·威尔逊，2001年8月1日
Dirichlet g.f.：zeta（2s）*zeta（s-1）/zeta（2-2）-R.J.马塔尔2011年2月11日
a（n）=n/（总和{k=1..n}楼层（k^2/n）-楼层（（k^2-1）/n））^2-安东尼布朗2016年6月6日
a（n）=拉德（n）/a（n/rad（n）），其中拉德=A007947号此递归关系与（1）=1一起生成序列-维林·亚涅夫2017年9月19日
发件人彼得·穆恩，2019年11月18日：（开始）
（结束）
Copil和Panaitopol（2007）证明的定理：
Lim-sup_{n->oo}a（n+1）-a（n）=oo。
Lim-inf_{n->oo}a（n+1）-a（n）=-oo。
求和{k=1..n}1/a（k）~c*sqrt（n）+O（log（n）），其中c=zeta（3/2）/zeta（3）(A090699号). （结束）
求和{k=1..n}a（k）~c*n^2，其中c=Pi^2/30=0.328986-阿米拉姆·埃尔达尔2022年10月25日
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MAPLE公司
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A007913号：=proc（n）局部f，a，d；f:=系数（n）[2]；a:=1；对于f中的d，如果类型为（op（2，d），‘奇数’），则a:=a*op（1，d）；结束条件：；结束do:a；结束进程：#R.J.马塔尔2011年3月18日
#第二个Maple项目：
a： =n->mul（i[1]^irem（i[2]，2），i=ifactors（n）[2]）：
seq（n/展开（数字理论：-ntpow（n，2）），n=1..77）#彼得·卢什尼2022年7月12日
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数学
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数据=表[Sqrt[n]，{n，1，100}]；sp=数据/。平方[_]->1；sfp=数据/sp/。平方[x_]->x(*阿图尔·贾辛斯基2008年11月3日*）
表[Times@@Power@@@（{#[[1]]，Mod[#[2]]，2]}和/@FactorInteger[n]），{n，100}](*扎克·塞多夫2009年4月8日*）
表[｛p，e｝=转座[因子整数[n]]；时间@@（p^Mod[e，2]），{n，100}](*T.D.诺伊2013年5月20日*）
Sqrt[#]/。（c:1）*a_^（b:0）->（c*a^b）^2&/@范围@100 (*高斯珀2015年7月18日*）
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黄体脂酮素
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（Magma）[平方自由（n）：n在[1.256]中]//N.J.A.斯隆2006年12月23日
（PARI）a（n）=核心（n）
（哈斯克尔）
a007913 n=产品$
zipWith（^）（a027748_row n）（映射（`mod`2）$a12410_row n）
（Python）
来自sympy import factorint，prod
return prod（p代表p，e在factorint（n）.items（）中，如果e%2）
（鼠尾草）
[（1..77）中n的平方_部分（n）]#彼得·卢什尼2015年2月4日
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交叉参考
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关键字
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非n,容易的,多重,美好的
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作者
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R.Muller，1996年3月15日
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扩展
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状态
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经核准的
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搜索在0.071秒内完成
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