搜索: a002973-编号:a002973
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0, 1, 0, 2, 0, 2, 3, 2, 1, 2, 4, 0, 1, 3, 5, 3, 5, 6, 4, 3, 0, 7, 6, 7, 0, 6, 4, 2, 8, 6, 5, 4, 2, 8, 3, 8, 9, 0, 1, 7, 8, 3, 10, 9, 2, 5, 10, 9, 6, 0, 11, 2, 8, 9, 12, 6, 12, 11, 0, 2, 7, 13, 4, 9, 12
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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2*a(n)+1=A002972号(n) ,n>=1。例如,n=4:2*2+1=5。
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配方奶粉
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非n
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经核准的
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13, 17, 41, 53, 89, 97, 109, 149, 157, 229, 233, 257, 281, 313, 317, 337, 353, 373, 397, 401, 421, 433, 457, 461, 557, 569, 577, 601, 641, 709, 733, 769, 797, 809
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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这个二分出现在素数p==1(mod 4)的同余y^2==x^3+4*x(mod p)的p-亏的公式中。请参见A278720型其中,对于非零项,这些第一部分素数的符号被推测为+,而对于第二部分素数,它是-A279393型.
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配方奶粉
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例子
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a(1)=13是A002144号A+B=1(mod 4),因为13=A002144号(2) =A(2)^2+B(2)*2=3^2+(2*1)^2,和3+2=5==1(mod 4),以及A002144号(1) =5导致A+B=3(mod 4),因为5=1^2+(2*1)^2。
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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5, 29, 37, 61, 73, 101, 113, 137, 173, 181, 193, 197, 241, 269, 277, 293, 349, 389, 409, 449, 509, 521, 541, 593, 613, 617, 653, 661, 673, 677, 701, 757, 761, 773, 821
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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配方奶粉
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例子
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A002144号
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| 毕达哥拉斯素数:形式为4*k+1的素数。 (原名M3823 N1566)
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+10 475
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5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, 137, 149, 157, 173, 181, 193, 197, 229, 233, 241, 257, 269, 277, 281, 293, 313, 317, 337, 349, 353, 373, 389, 397, 401, 409, 421, 433, 449, 457, 461, 509, 521, 541, 557, 569, 577, 593, 601, 613, 617
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,1
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评论
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在字段Q(sqrt(-1))中分解的有理素数-N.J.A.斯隆2017年12月25日
-1是素数p的二次剩余模当且仅当p在这个序列中。
如果奇素数p,q中至少有一个属于序列,那么根据高斯互易定律,全等x^2=p(mod q),x^2=q(mod p)中的两个或两个都是可解的-Lekraj Beedassy公司2003年7月17日
奇数素数,使得二项式(p-1,(p-1)/2)==1(mod p)-贝诺伊特·克洛伊特2004年2月7日
此外,a^k+b^k形式的素数,k>1-阿玛纳斯·穆尔西,2003年11月17日
a(n)的平方是其他两个平方的平均值。这个事实产生了一类b=a(n)的一元多项式x^2+bx+c,它将对整数进行因子分解,而与c的符号无关。参见14200年.-欧文·默滕斯(Owen Mertens(AT)Misouristate.edu),2005年11月16日
同样,对于形式为n^p-(n-1)^p的Nexus数,最后一个数字总是1-亚历山大·阿达姆楚克2006年8月10日
1 2 3 4
2 4 1 3
3 1 4 2
4 3 2 1
如果4*n+1是素数,那么n^n-1可以被4*n+1整除(参见Dickson参考文献)-加里·德特利夫斯2013年5月22日
形式4*k+1和e>=1的p素数的p^e是2个非零平方和-乔恩·佩里2014年11月23日
素数p使得某些整数q的等腰三角形(p,p,q)的面积是一个整数-米歇尔·拉格诺2014年12月31日
这是所有素数的集合,它们是两个平方的平均值-理查德·福伯格2015年3月1日
数字n是这样的((n-3)!!)^2==-1(mod n)-托马斯·奥多夫斯基2016年7月28日
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参考文献
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David A.Cox,“形式x^2+ny^2的素数”,威利出版社,1989年。
L.E.Dickson,“数字理论的历史”,切尔西出版公司,1919年,第一卷,第386页
L.E.Dickson,《数字理论史》,卡内基研究所,出版。第256号,第二卷,华盛顿特区,1920年,第227页。
M.du Sautoy,《初级音乐》,第四庄园/哈珀柯林斯出版社,2003年;见第76页。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。,数学函数手册,国家标准应用数学局。系列55,第十次印刷,1972年。
Peter R.J.Asveld,论邮政标签制度EATCS公报36(1988),96-102。
A.David Christopher,费马双平方定理的分割理论证明《离散数学》,第339卷,第4期,2016年4月6日,第1410-1411页。
伯纳德·弗雷尼科尔·德·贝西,解决排除问题的方法。Abrégédes组合。Des Quarrez魔法,见“Divers ouvrages de mathématiques et de physique,par MM.de l'Académie royale des sciences”,(1693)“Troisième example”,第17-26页,特别见第25页。
A.Granville和G.Martin,素数竞赛,arXiv:math/0408319[math.NT],2004年。
欧内斯特·希布斯,素数的分量相互作用,《国会科技大学博士论文》(2022年),见第33页。
Lucas Lacasa、Bartolome Luque、Ignacio Gómez和Octavio Miramontes,关于一些素数序列的动力学方法,熵20.2(2018):131,另见arXiv:1802.08349[math.NT],2018。
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配方奶粉
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p^2-1=12*总和{i=0..floor(p/4)}楼层(sqrt(i*p)),其中p=a(n)=4*n+1。[西拉里]
产品{k>=1}(1+1/A002145号(k) )/(1+1/a(k))=Pi/(4*A064533号^2) = 1.3447728438248695625516649942427635670667319092323632111110962...
产品{k>=1}(1-1/A002145号(k) )/(1-1/a(k))=Pi/(8*A064533号^2) =0.672386421912434781275832497121381785333659546161816055555481…(完)
求和{k>=1}1/a(k)^s=(1/2)*求和{n>=1奇数}莫比乌斯(n)*log(2*n*s)!*zeta(n*s)*abs(EulerE(n*s-1))/(Pi^(n*s*2^(2*n*s/n、 s>=3奇数-迪米特里斯·瓦利亚纳托斯2020年5月21日
Legendre符号(-1,a(n))=+1,对于n>=1-沃尔夫迪特·朗2021年3月3日
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例子
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下表显示了几个密切相关序列之间的关系:
这里p=A002144号=素数==1(mod 4),p=a^2+b^2,其中a<b;
其中{c,d}={t2,t3},t4=cd/2=ab(b^2-a^2)。
---------------------------------
p a b t1 c d t 2 t 3 t 4
---------------------------------
5 1 2 1 3 4 4 3 6
13 2 3 3 5 12 12 5 30
17 1 4 2 8 15 8 15 60
29 2 5 5 20 21 20 21 210
37 1 6 3 12 35 12 35 210
41 4 5 10 9 40 40 9 180
53 2 7 7 28 45 28 45 630
...
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MAPLE公司
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a:=[];对于从1到500的n,do如果是i素数(4*n+1),那么a:=[op(a),4*n+1];fi;日期:A002144号:=n->a[n];
#备选方案
选项记忆;
局部a;
如果n=1,则
5;
其他的
对于来自procname(n-1)+4x4do的a
如果是质数(a),则
返回a;
结束条件:;
结束do:
结束条件:;
结束过程:
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数学
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选择[4*Range[140]+1,PrimeQ[#]&](*斯特凡·斯坦纳伯格2006年4月16日*)
选择[Prime[Range[150]],Mod[#,4]==1&](*哈维·P·戴尔2021年1月28日*)
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黄体脂酮素
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(哈斯克尔)
a002144 n=a002144_列表!!(n-1)
a002144_list=过滤器((==1)。a010051)[1、5…]
(Magma)[a:n在[0..200]|IsPrime(a)中,其中a是4*n+1]//文森佐·利班迪2014年11月23日
(PARI)选择(p->p%4==1,素数(1000))
(Python)
从sympy导入质数
A002144号=[n表示n in(prime(x)表示x in range(1,10**3))if not(n-1)%4]
(Python)
从sympy导入isprime
打印(列表(过滤器(isprime,范围(1,618,4)))#迈克尔·布拉尼基2021年5月13日
(鼠尾草)
如果x%4==1,则返回[prime_range(5,n+1)中x的x
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交叉参考
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囊性纤维变性。A002145号,A002314号,A002476号,A002972号,A002973号,A003658美元,A004431号,A007519号,A010051型,A016813号,A076339号,A094407号.
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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1, 3, 4, 7, 9, 10, 13, 15, 18, 22, 24, 25, 27, 28, 34, 37, 39, 43, 45, 48, 49, 57, 58, 60, 64, 67, 69, 70, 73, 78, 79, 84, 87, 88, 93, 97, 99, 100, 102, 105, 108, 112, 114, 115, 127, 130, 135, 139, 142, 144, 148, 150, 153, 154, 160, 163, 165, 168, 169, 175, 177, 183
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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对于序列中的每一个k,正好有一个可以减去的平方数,以留下一个代词(A002378号). 例如,27-25=2,99-9=90-乔恩·佩里2010年11月6日
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链接
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配方奶粉
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MAPLE公司
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a:=[];对于从1到500的k,do如果是一素数(4*k+1),那么a:=[op(a),k];fi;日期:A005098号:=k->a[k];
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数学
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选择[Range[200],PrimeQ[4#+1]&](*哈维·P·戴尔2011年4月20日*)
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黄体脂酮素
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(岩浆)[0..10000]|IsPrime(4*k+1)中的k:k//文森佐·利班迪2010年11月18日
(哈斯克尔)
a005098=(`div`4)。(减去1)。a002144号
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交叉参考
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关键词
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非n,美好的,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 7, 6, 8, 8, 9, 10, 10, 8, 11, 10, 11, 13, 10, 12, 14, 15, 13, 15, 16, 13, 14, 16, 17, 13, 14, 16, 18, 17, 18, 17, 19, 20, 20, 15, 17, 20, 21, 19, 22, 20, 21, 19, 20, 24, 23, 24, 18, 19, 25, 22, 25, 23, 26, 26, 22, 27, 26, 20, 25, 22, 26, 28, 25
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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参考文献
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A.J.C.坎宁安,《二次分区》。霍奇森,伦敦,1904年,第1页。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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A.J.C.坎宁安,二次分区,霍奇森,伦敦,1904年。[选定页面的注释扫描]
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配方奶粉
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例子
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下表显示了几个密切相关序列之间的关系:
这里p=A002144号=素数==1(mod 4),p=a^2+b^2,其中a<b;
其中{c,d}={t2,t3},t4=cd/2=ab(b^2-a^2)。
---------------------------------
.p.年.月.日.月.月.年.日.日
---------------------------------
.5..1..2...1...3...4...4...3....6
13..2..3...3...5..12..12...5...30
17..1..4...2...8..15...8..15...60
29..2..5...5..20..21..20..21..210
37..1..6...3..12..35..12..35..210
41..4..5..10...9..40..40...9..180
53..2..7...7..28..45..28..45..630
.................................
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MAPLE公司
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a:=[];对于从0到50的x,对于从x到50的y,做p:=x^2+y^2;如果是素数(p),则a:=[op(a),[p,x,y]];fi;od:od:writeto(trans);对于i从1到158,进行lprint(a[i]);od:#然后对“trans”中的三元组进行排序
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数学
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黄体脂酮素
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(PARI)f(p)=我的(s=升程(sqrt(Mod(-1,p))),x=p,t);如果(s>p/2,s=p-s);而(s^2>p,t=s;s=x%s;x=t);秒
对于素数(p=2,1e3,if(p%4-3,打印1(f(p)“,”))\\查尔斯·格里特豪斯四世2012年4月24日
(PARI)do(p)=qfbsolve(Qfb(1,0,1),p)[1]
对于素数(p=2,1e3,if(p%4-3,打印1(do(p)“,”))\\查尔斯·格里特豪斯四世2013年9月26日
(PARI)打印1(1);对于初始步骤(p=5,1e3,4,print1(“,”qfbcornacchia(1,p)[1]))\\查尔斯·格里特豪斯四世2021年9月15日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 2, 5, 3, 5, 4, 1, 3, 7, 4, 7, 6, 2, 9, 7, 1, 2, 8, 4, 1, 10, 9, 5, 2, 12, 11, 9, 5, 8, 7, 10, 6, 1, 3, 14, 12, 7, 4, 10, 5, 11, 10, 14, 13, 1, 8, 5, 17, 16, 4, 13, 6, 12, 1, 5, 15, 2, 9, 19, 12, 17, 11, 5, 14, 10, 18, 4, 6, 16, 20, 19, 10, 13, 4, 6, 15, 22, 11, 3, 5
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,3
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参考文献
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A.J.C.坎宁安,《二次分区》。霍奇森,伦敦,1904年,第1页。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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A.T.Benjamin和D.Zeilberger,勾股素数和回文连分式整数5(1)(2005)#A30
A.J.C.坎宁安,二次分区,霍奇森,伦敦,1904年。[选定页面的注释扫描]
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配方奶粉
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例子
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下表显示了这种关系
在几个密切相关的序列之间:
这里p=A002144号=素数==1(mod 4),p=a^2+b^2,其中a<b;
其中{c,d}={t2,t3},t4=cd/2=ab(b^2-a^2)。
---------------------------------
.p.年.月.日.月.月.年.日.日
---------------------------------
.5..1..2...1...3...4...4...3....6
13..2..3...3...5..12..12...5...30
17..1..4...2...8..15...8..15...60
29..2..5...5..20..21..20..21..210
37..1..6...3..12..35..12..35..210
41..4..5..10...9..40..40...9..180
53..2..7...7..28..45..28..45..630
.................................
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MAPLE公司
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#备选方案
结束过程:
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数学
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pmax=1000;x[p_]:=模块[{x,y},x/.ToRules[Reduce[0<=x<=y&x^2+y^2==p,{x,y},Integers]]];对于[n=1;p=2,p<pmax,p=NextPrime[p],如果[Mod[p,4]==1||Mod[p,4]==2,a[n]=x[p];打印[“a(”,n,“)=”,a[n]];n++]];数组[a,n-1](*Jean-François Alcover公司2016年2月26日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)f(p)=我的(s=升程(sqrt(Mod(-1,p))),x=p,t);如果(s>p/2,s=p-s);而(s^2>p,t=s;s=x%s;x=t);秒
对于素数(p=2,1e3,如果(p%4-3,打印1(平方(p-f(p)^2)“,”))
(PARI)do(p)=qfbsolve(Qfb(1,0,1),p)[2]
对于素数(p=2,1e3,if(p%4-3,打印1(do(p)“,”))\\查尔斯·格里特豪斯四世2013年9月26日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A002972号
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| a(n)是{x,y}的奇数成员,其中x^2+y^2是形式4i+1的第n个素数。 (原M2221)
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+10 16
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1, 3, 1, 5, 1, 5, 7, 5, 3, 5, 9, 1, 3, 7, 11, 7, 11, 13, 9, 7, 1, 15, 13, 15, 1, 13, 9, 5, 17, 13, 11, 9, 5, 17, 7, 17, 19, 1, 3, 15, 17, 7, 21, 19, 5, 11, 21, 19, 13, 1, 23, 5, 17, 19, 25, 13, 25, 23, 1, 5, 15, 27, 9, 19, 25, 17, 11, 5, 25, 27, 23, 29, 29, 25, 23, 19, 29, 13, 31, 31
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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参考文献
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E.Kogbetliantz和A.Krikorian,《第一复数素数手册》,Gordon和Breach,纽约,1971年,第243页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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S.R.Finch,欧拉q级数的威力,arXiv:math/0701251[math.NT],2007年。
E.Kogbetliantz和A.Krikorian,第一复数素数手册,Gordon和Breach,纽约,1971年。[几页带注释的扫描]
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配方奶粉
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例子
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形式4i+1的第二素数是13=2^2+3^2,所以a(2)=3。
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数学
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pmax=1000;奇数[p_]:=模块[{k,m},2m+1/.ToRules[Reduce[k>0&m>=0&&(2k)^2+(2m+1)^2==p,{k,m},Integers]]];对于[n=1;p=5,p<pmax,p=NextPrime[p],如果[Mod[p,4]==1,a[n]=奇数[p];打印[“a(”,n,“)=”,a[n]];n++]];数组[a,n-1](*Jean-François Alcover公司2016年2月26日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)decompos2sq(p)={my(m=(p-1)/4,r,x,limit=ceil(sqrt(p));如果(p>4&&分母(m)==1,对于素数(c=2,oo,if(!issquare(Mod(c,p)),r=c;break));x=升力(Mod 0,0),[0,0)};
forprime(p=51000,如果(p%4==1,打印1(选择(x->x%2,解压缩2sq(p))[1],“,”))\\雨果·普福尔特纳2022年8月27日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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2、2、13、2、31、4、2、55、8、81、4、91、99、105、133、10、6、2、10、181、183、227、8、237、16、10、14、265、2、301、303、16、18、8、355、379、6、381、389、14、421、429、453、451、487、20、531、543、20、24、585、24、18、16、637、631、655、12、651、675、22、731、26、741、757
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,1
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评论
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参考文献
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H.Davenport,《高等算术》(剑桥大学出版社第7版,1999年),第V.3章,第122页。
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链接
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配方奶粉
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a(n)=(2k)!/2(k!))^2 mod p,其中p=4*k+1=A002144号(n) ●●●●。
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例子
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a(7)=A173330型(7) * 26! 型号53=7*403291461126605635584000000型号53=2,
a(8)=A173330型(8) * 30! 修改61=5*265228598121910586363084800000修改61=55,
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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2, -6, 2, 10, 2, 10, -14, 10, -6, 10, 18, 2, -6, -14, -22, -14, -22, 26, 18, -14, 2, -30, 26, -30, 2, 26, 18, 10, 34, 26, -22, 18, 10, 34, -14, 34, -38, 2, -6, -30, 34, -14, 42, -38, 10, -22, 42, -38, 26, 2, -46, 10, 34, -38, 50, 26, 50, -46, 2, 10, -30, -54, 18, -38, 50, 34, -22, 10, 50, -54
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,1
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评论
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给出了椭圆曲线y^2=x^3+x(判别式-4的)模素数p的解的个数N(p)A095978号.
素数2和与3模4全等的素数的p-缺陷a_p=p-N(p)消失。
这个序列还给出了椭圆曲线y^2=x^3-4*x的非零p-缺陷A138515号其中Martin和Ono链接用于这两条椭圆曲线的模块化级数-沃尔夫迪特·朗2016年5月26日
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参考文献
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J.H.Silverman,《数字理论的友好介绍》,第三版,培生教育公司,2006年,第398页。2014年第4版,第371页。
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链接
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配方奶粉
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数学
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