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(来自的问候整数序列在线百科全书!)
搜索: a002973-编号:a002973
显示找到的14个结果中的1-10个。 第页12
    排序:关联|参考文献||被改进的|创建     格式:长的|短的|数据
2008年2月 a(n)*(a(n)+1)+A002973号(n) ^2个=A005098号(n) ,n>=1。 +20
2
0, 1, 0, 2, 0, 2, 3, 2, 1, 2, 4, 0, 1, 3, 5, 3, 5, 6, 4, 3, 0, 7, 6, 7, 0, 6, 4, 2, 8, 6, 5, 4, 2, 8, 3, 8, 9, 0, 1, 7, 8, 3, 10, 9, 2, 5, 10, 9, 6, 0, 11, 2, 8, 9, 12, 6, 12, 11, 0, 2, 7, 13, 4, 9, 12 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
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1,4
评论
请参阅Jon Perry的评论A005098号.(偶数)promic数a(n)*(a(nA002378号)从中减去A005098号(n) (第n个值k使得4*k+1是质数)留下一个正方形,即A002973号(n) ^2。例如,n=4:7-2*3=1^1。n=5:9-0=3^2。
2*a(n)+1=A002972号(n) ,n>=1。例如,n=4:2*2+1=5。
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配方奶粉
a(n)=(sqrt(4*(k(n)-m(n)^2)+1)-1)/2,n>=1,其中k(n):=A005098号(n) (4*k(n)+1是素数A002144号(n) )和m(n):=A002973号(n) ●●●●。
a(n)=(A002972号(n) -1)/2,n>=1。
交叉参考
关键词
非n
作者
沃尔夫迪特·朗2012年3月1日
状态
经核准的
A279392型 模4等于1的素数的二分(A002144号),取决于A002972号和2*A002973号条目是否与模4的1同余。这里我们给出第一种情况。 +20
2
13, 17, 41, 53, 89, 97, 109, 149, 157, 229, 233, 257, 281, 313, 317, 337, 353, 373, 397, 401, 421, 433, 457, 461, 557, 569, 577, 601, 641, 709, 733, 769, 797, 809 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
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1,1
评论
素数来自A002144号(1(mod 4)素数)具有A002144号(n)=A002972号(n) ^2+(2*A002973号(n) )^2=A(n)^2+B(n。的二等分A002144号根据A(n)+B(n)==1(mod 4)(第I部分)或A(n)+B。现在的序列给出了这个二等分的第一部分。另一部分II见A279393型.
这个二分出现在素数p==1(mod 4)的同余y^2==x^3+4*x(mod p)的p-亏的公式中。请参见A278720型其中,对于非零项,这些第一部分素数的符号被推测为+,而对于第二部分素数,它是-A279393型.
链接
配方奶粉
一个素数A002144号(m) =A(m)^2+B(m)^2属于此序列iff(-1)^((A(m)-1)/2+B(m)/2)=+1,其中A(m)=A002972号(m) 和B(m)/2=A002973号(m) ●●●●。
例子
a(1)=13是A002144号A+B=1(mod 4),因为13=A002144号(2) =A(2)^2+B(2)*2=3^2+(2*1)^2,和3+2=5==1(mod 4),以及A002144号(1) =5导致A+B=3(mod 4),因为5=1^2+(2*1)^2。
交叉参考
关键词
非n,容易的
作者
沃尔夫迪特·朗2016年12月11日
状态
经核准的
A279393型 模4等于1的素数的二分(A002144号),取决于A002972号和2*A002973号条目是否与模4的1同余。这里我们给出第二种情况。 +20
2
5, 29, 37, 61, 73, 101, 113, 137, 173, 181, 193, 197, 241, 269, 277, 293, 349, 389, 409, 449, 509, 521, 541, 593, 613, 617, 653, 661, 673, 677, 701, 757, 761, 773, 821 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
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1,1
评论
请参见A279392型有关素数二分的详细信息A002144号这个序列给出了模4等于1的素数的第二部分。
链接
配方奶粉
一个素数A002144号(m) =A(m)^2+B(m=A002972号(m) 和B(m)/2=A002973号(m) ●●●●。
例子
a(1)=5=A002144号(1) 和
A002972号(1) =1和2*A002973号(1) =2,因此1+2=3==3(mod 4),5属于该等分的第二部分。
交叉参考
关键词
非n,容易的
作者
沃尔夫迪特·朗2016年12月11日
状态
经核准的
A002144号 毕达哥拉斯素数:形式为4*k+1的素数。
(原名M3823 N1566)
+10
475
5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, 137, 149, 157, 173, 181, 193, 197, 229, 233, 241, 257, 269, 277, 281, 293, 313, 317, 337, 349, 353, 373, 389, 397, 401, 409, 421, 433, 449, 457, 461, 509, 521, 541, 557, 569, 577, 593, 601, 613, 617 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
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1,1
评论
在字段Q(sqrt(-1))中分解的有理素数-N.J.A.斯隆2017年12月25日
这些是A009003号.
-1是素数p的二次剩余模当且仅当p在这个序列中。
Sin(a(n)*Pi/2)=1,Pi=3.1415…,见A070750型. -莱因哈德·祖姆凯勒2002年5月4日
如果奇素数p,q中至少有一个属于序列,那么根据高斯互易定律,全等x^2=p(mod q),x^2=q(mod p)中的两个或两个都是可解的-Lekraj Beedassy公司2003年7月17日
奇数素数,使得二项式(p-1,(p-1)/2)==1(mod p)-贝诺伊特·克洛伊特2004年2月7日
素数是具有整数边的直角三角形的斜边。毕达哥拉斯三元组是{A002365美元(n) ,A002366号(n) ,a(n)}。
此外,a^k+b^k形式的素数,k>1-阿玛纳斯·穆尔西,2003年11月17日
a(n)的平方是其他两个平方的平均值。这个事实产生了一类b=a(n)的一元多项式x^2+bx+c,它将对整数进行因子分解,而与c的符号无关。参见14200年.-欧文·默滕斯(Owen Mertens(AT)Misouristate.edu),2005年11月16日
同样,对于形式为n^p-(n-1)^p的Nexus数,最后一个数字总是1-亚历山大·阿达姆楚克2006年8月10日
毕达哥拉斯素数集是正基本判别式集的一个适当子集(A003658美元). -保罗·穆尔贾迪,2008年3月28日
A079260号(a(n))=1;的补语A137409号. -莱因哈德·祖姆凯勒2008年10月11日
发件人阿图尔·贾辛斯基,2008年12月10日:(开始)
如果我们取4个数字:1,A002314号(n) ,A152676号(n) ,A152680号(n) 那么乘法表模a(n)与拉丁方同构:
1 2 3 4
2 4 1 3
3 1 4 2
4 3 2 1
与{1,i,-i,-1}的乘法表同构,其中i是sqrt(-1),A152680号(n) 与-1同构,A002314号(n) 带有i或-i和A152676号(n) 反之亦然-i或i.1,A002314号(n) ,A152676号(n) ,A152680号(n) 是Galois字段[a(n)]的子字段。(结束)
素数p使得p^3的除数的算术平均数是一个整数。这样的素数有两个序列,这一个和A002145号. -Ctibor O.Zizka公司2009年10月20日
等价地,F_p的最小延拓包含单位平方根(必然是F_p)的素数p包含单位第四根。在这方面,序列族的n=2情况:参见n=3(A129805号)且n=5(A172469号). -凯瑟琳·斯坦格2010年2月3日
的后续A007969号. -莱因哈德·祖姆凯勒2011年6月18日
A151763号(a(n))=1。
如果4*n+1是素数,那么n^n-1可以被4*n+1整除(参见Dickson参考文献)-加里·德特利夫斯2013年5月22日
这些素数的平方不仅是两个非零平方的和,而且素数本身也是。2是唯一一个等于两个非零平方和且其平方不是的素数。因此,2不是毕达哥拉斯素数-Jean-Christophe Hervé2013年11月10日
这些素数是两个非零平方和的说法来自关于两个平方和的费马定理-Jerzy R Borysowicz公司2019年1月2日
素数及其平方分解为两个非零平方是唯一的-Jean-Christophe Hervé2013年11月11日。见第227页Dickson参考,第二卷,(B)-沃尔夫迪特·朗2015年1月13日
形式4*k+1和e>=1的p素数的p^e是2个非零平方和-乔恩·佩里2014年11月23日
素数p使得某些整数q的等腰三角形(p,p,q)的面积是一个整数-米歇尔·拉格诺2014年12月31日
这是所有素数的集合,它们是两个平方的平均值-理查德·福伯格2015年3月1日
数字n是这样的((n-3)!!)^2==-1(mod n)-托马斯·奥多夫斯基2016年7月28日
这是的素数的子序列A004431号也属于A016813号. -伯纳德·肖特2022年4月30日
除了来自的评论Jean-Christophe Hervé2013年11月10日:所有幂以及这些素数的乘积都是两个非零平方的和。它们是A001481号,在乘法下关闭-克劳斯·普拉斯2023年11月19日
参考文献
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L.E.Dickson,“数字理论的历史”,切尔西出版公司,1919年,第一卷,第386页
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N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
链接
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欧内斯特·希布斯,素数的分量相互作用,《国会科技大学博士论文》(2022年),见第33页。
Lucas Lacasa、Bartolome Luque、Ignacio Gómez和Octavio Miramontes,关于一些素数序列的动力学方法,熵20.2(2018):131,另见arXiv:1802.08349[math.NT],2018。
R.C.Laubenbacher和D.J.Pengelley,艾森斯坦对二次互易定理的几何证明
卡洛斯·里维拉,拼图968。素数4m+1的另一性质,主要难题与问题的联系。
D.香克斯,复习“K.E.Kloss等人,4n+1形式素数的类数”,数学。公司。,23 (1969), 213-214. [评论的注释扫描预印本]
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罗斯玛丽·沙利文和尼尔·沃特林,从1到n的整数集上的独立可除对,INTEGERS 13(2013)#A65。
埃里克·魏斯坦的数学世界,威尔逊定理
埃里克·魏斯坦的数学世界,毕达哥拉斯三元组
维基百科,二次互惠
Wolfram研究,高斯互惠定律
D.Zagier,每个素数p==1(mod 4)是两个平方和的一元证明,美国数学。《月刊》,第97卷,第2期(1990年2月),第144页。[来自沃尔夫迪特·朗,2015年1月17日(感谢Charles Nash)]
配方奶粉
形式为x^2+y^2,(x)的奇素数=A002331号,年=A002330号,x<y)或形式为u^2+4*v^2,(u=A002972号,v=A002973号,带u奇数)-Lekraj Beedassy公司2004年7月16日
p^2-1=12*总和{i=0..floor(p/4)}楼层(sqrt(i*p)),其中p=a(n)=4*n+1。[西拉里]
a(n)=A000290型(A002972号(n) )+A000290型(2*A002973号(n) )=A000290型(A002331号(n+1))+A000290型(A002330号(n+1))-莱因哈德·祖姆凯勒2010年2月16日
a(n)=(A002972号(n) ^2+(2*A002973号(n) )^2,n>=1。请参阅Jean-Christophe Hervé2013年11月11日评论-沃尔夫迪特·朗2015年1月13日
a(n)=4*A005098号(n) +1-扎克·塞多夫,2018年9月16日
发件人瓦茨拉夫·科特索维奇2020年4月30日:(开始)
产品{k>=1}(1-1/a(k)^2)=A088539号.
产品{k>=1}(1+1/a(k)^2)=A243380型.
产品{k>=1}(1-1/a(k)^3)=A334425飞机.
产品{k>=1}(1+1/a(k)^3)=A334424飞机.
产品{k>=1}(1-1/a(k)^4)=A334446飞机.
产品{k>=1}(1+1/a(k)^4)=A334445飞机.
产品{k>=1}(1-1/a(k)^5)=A334450型.
产品{k>=1}(1+1/a(k)^5)=A334449飞机.(结束)
发件人瓦茨拉夫·科特索维奇,2020年5月5日:(开始)
产品{k>=1}(1+1/A002145号(k) )/(1+1/a(k))=Pi/(4*A064533号^2) = 1.3447728438248695625516649942427635670667319092323632111110962...
产品{k>=1}(1-1/A002145号(k) )/(1-1/a(k))=Pi/(8*A064533号^2) =0.672386421912434781275832497121381785333659546161816055555481…(完)
求和{k>=1}1/a(k)^s=(1/2)*求和{n>=1奇数}莫比乌斯(n)*log(2*n*s)!*zeta(n*s)*abs(EulerE(n*s-1))/(Pi^(n*s*2^(2*n*s/n、 s>=3奇数-迪米特里斯·瓦利亚纳托斯2020年5月21日
Legendre符号(-1,a(n))=+1,对于n>=1-沃尔夫迪特·朗2021年3月3日
例子
下表显示了几个密切相关序列之间的关系:
这里p=A002144号=素数==1(mod 4),p=a^2+b^2,其中a<b;
一个=A002331号,b个=A002330号,t1=ab/2=A070151号;
p^2=c^2+d^2,其中c<d;c(c)=A002366号,天=A002365美元,
t2=2ab=A145046型,t3=b^2-a^2=A070079号,
其中{c,d}={t2,t3},t4=cd/2=ab(b^2-a^2)。
---------------------------------
p a b t1 c d t 2 t 3 t 4
---------------------------------
5 1 2 1 3 4 4 3 6
13 2 3 3 5 12 12 5 30
17 1 4 2 8 15 8 15 60
29 2 5 5 20 21 20 21 210
37 1 6 3 12 35 12 35 210
41 4 5 10 9 40 40 9 180
53 2 7 7 28 45 28 45 630
...
a(7)=53=A002972号(7)^2 + (2*A002973号(n) )^2=7^2+(2*1)^2=49+4,这是唯一的方法-沃尔夫迪特·朗2015年1月13日
MAPLE公司
a:=[];对于从1到500的n,do如果是i素数(4*n+1),那么a:=[op(a),4*n+1];fi;日期:A002144号:=n->a[n];
#备选方案
A002114号:=进程(n)
选项记忆;
局部a;
如果n=1,则
5;
其他的
对于来自procname(n-1)+4x4do的a
如果是质数(a),则
返回a;
结束条件:;
结束do:
结束条件:;
结束过程:
序列号(A002114号(n) ,n=1..100)#R.J.马塔尔2024年1月31日
数学
选择[4*Range[140]+1,PrimeQ[#]&](*斯特凡·斯坦纳伯格2006年4月16日*)
选择[Prime[Range[150]],Mod[#,4]==1&](*哈维·P·戴尔2021年1月28日*)
黄体脂酮素
(哈斯克尔)
a002144 n=a002144_列表!!(n-1)
a002144_list=过滤器((==1)。a010051)[1、5…]
--莱因哈德·祖姆凯勒,2012年3月6日,2011年2月22日
(Magma)[a:n在[0..200]|IsPrime(a)中,其中a是4*n+1]//文森佐·利班迪2014年11月23日
(PARI)选择(p->p%4==1,素数(1000))
(Python)
从sympy导入质数
A002144号=[n表示n in(prime(x)表示x in range(1,10**3))if not(n-1)%4]
#柴华湖2014年9月1日
(Python)
从sympy导入isprime
打印(列表(过滤器(isprime,范围(1,618,4)))#迈克尔·布拉尼基2021年5月13日
(鼠尾草)
定义A002144号_list(n):#返回所有毕达哥拉斯素数
如果x%4==1,则返回[prime_range(5,n+1)中x的x
A002144号_列表(617)#彼得·卢什尼2012年9月12日
交叉参考
囊性纤维变性。A004613号(乘法闭包)。
除初始期限外,与A002313号.
有关n的值,请参见A005098号.
中的素数A020668号.
关键词
非n,容易的,美好的
作者
状态
经核准的
A005098号 数字k,使4k+1为素数。 +10
40
1, 3, 4, 7, 9, 10, 13, 15, 18, 22, 24, 25, 27, 28, 34, 37, 39, 43, 45, 48, 49, 57, 58, 60, 64, 67, 69, 70, 73, 78, 79, 84, 87, 88, 93, 97, 99, 100, 102, 105, 108, 112, 114, 115, 127, 130, 135, 139, 142, 144, 148, 150, 153, 154, 160, 163, 165, 168, 169, 175, 177, 183 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
1,2
评论
第i个和第j个三角数之和,其中i=A096029号(n) ,j=A096030型(n) ;即a(n)=A000217号(A096029号(n) )+A000217号(A096030型(n) )-Lekraj Beedassy公司2004年6月16日
对于序列中的每一个k,正好有一个可以减去的平方数,以留下一个代词(A002378号). 例如,27-25=2,99-9=90-乔恩·佩里2010年11月6日
请参见2008年2月有关上述内容的详细信息乔恩·佩里评论-沃尔夫迪特·朗2012年3月29日
a(k)出现在o.g.f.中,表示楼层(A002144号(k) *j^2/4),j>=0,对于k>=1:x*(a(k)*(1+x^2)+b(k)*x)/((1-x)^3*(1+x)),以及b(k(A002144号(k) +1)/2=A119681号(k) ●●●●-沃尔夫迪特·朗2013年8月7日
链接
扎克·塞多夫,n=1..10000时的n,a(n)表(T.D.Noe的前1000个术语)
埃里克·魏斯坦的数学世界,威尔逊定理.
配方奶粉
a(n)=(A002144号(n) -1)/4。
MAPLE公司
a:=[];对于从1到500的k,do如果是一素数(4*k+1),那么a:=[op(a),k];fi;日期:A005098号:=k->a[k];
数学
选择[Range[200],PrimeQ[4#+1]&](*哈维·P·戴尔2011年4月20日*)
黄体脂酮素
(岩浆)[0..10000]|IsPrime(4*k+1)中的k:k//文森佐·利班迪2010年11月18日
(PARI)是(k)=i素数(4*k+1)\\查尔斯·格里特豪斯四世2012年11月20日
(哈斯克尔)
a005098=(`div`4)。(减去1)。a002144号
--莱因哈德·祖姆凯勒2013年3月17日
交叉参考
请参见A002144号对于实际素数。
关键词
非n,美好的,容易的
作者
扩展
更多术语来自雷·钱德勒2004年6月26日
编辑人查尔斯·格里特豪斯四世2010年3月17日
状态
经核准的
A002330号 p=x^2+y^2,x<=y,素数p的解中y的值=A002313号(n) ●●●●。
(原名M0462 N0169)
+10
39
1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 7, 6, 8, 8, 9, 10, 10, 8, 11, 10, 11, 13, 10, 12, 14, 15, 13, 15, 16, 13, 14, 16, 17, 13, 14, 16, 18, 17, 18, 17, 19, 20, 20, 15, 17, 20, 21, 19, 22, 20, 21, 19, 20, 24, 23, 24, 18, 19, 25, 22, 25, 23, 26, 26, 22, 27, 26, 20, 25, 22, 26, 28, 25 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
1,2
参考文献
A.J.C.坎宁安,《二次分区》。霍奇森,伦敦,1904年,第1页。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
链接
查尔斯·格里塔斯四世,n=1..10000时的n,a(n)表(T.D.Noe的前1000个术语)
约翰·布里尔哈特,关于将素数表示为两个平方和的注记,数学。公司。26(1972),第1011-1013页。
A.J.C.坎宁安,二次分区,霍奇森,伦敦,1904年。[选定页面的注释扫描]
K.Matthews,Serret算法服务器.
J.Todd,关于反正切关系的一个问题阿默尔。数学。《月刊》,56(1949),517-528。
埃里克·魏斯坦的数学世界,费马4n+1定理.
配方奶粉
a(n)=A096029号(n)+A096030型(n) +1,对于n>1-Lekraj Beedassy公司2004年7月21日
a(n+1)=最大值(A002972号(n) ,第2页*A002973号(n) )-莱因哈德·祖姆凯勒2010年2月16日
例子
下表显示了几个密切相关序列之间的关系:
这里p=A002144号=素数==1(mod 4),p=a^2+b^2,其中a<b;
一个=A002331号,b个=A002330号,t1=ab/2=A070151号;
p^2=c^2+d^2,其中c<d;c(c)=A002366号,天=A002365美元,
t2=2ab=A145046型,t3=b^2-a^2=A070079号,
其中{c,d}={t2,t3},t4=cd/2=ab(b^2-a^2)。
---------------------------------
.p.年.月.日.月.月.年.日.日
---------------------------------
.5..1..2...1...3...4...4...3....6
13..2..3...3...5..12..12...5...30
17..1..4...2...8..15...8..15...60
29..2..5...5..20..21..20..21..210
37..1..6...3..12..35..12..35..210
41..4..5..10...9..40..40...9..180
53..2..7...7..28..45..28..45..630
.................................
MAPLE公司
a:=[];对于从0到50的x,对于从x到50的y,做p:=x^2+y^2;如果是素数(p),则a:=[op(a),[p,x,y]];fi;od:od:writeto(trans);对于i从1到158,进行lprint(a[i]);od:#然后对“trans”中的三元组进行排序
数学
压扁[#,1]和[Table[Powers Representations[Prime[k],2,2],{k,1,142}]][[All,2](*Jean-François Alcover公司2011年7月5日*)
黄体脂酮素
(PARI)f(p)=我的(s=升程(sqrt(Mod(-1,p))),x=p,t);如果(s>p/2,s=p-s);而(s^2>p,t=s;s=x%s;x=t);
对于素数(p=2,1e3,if(p%4-3,打印1(f(p)“,”))\\查尔斯·格里特豪斯四世2012年4月24日
(PARI)do(p)=qfbsolve(Qfb(1,0,1),p)[1]
对于素数(p=2,1e3,if(p%4-3,打印1(do(p)“,”))\\查尔斯·格里特豪斯四世2013年9月26日
(PARI)打印1(1);对于初始步骤(p=5,1e3,4,print1(“,”qfbcornacchia(1,p)[1]))\\查尔斯·格里特豪斯四世2021年9月15日
交叉参考
囊性纤维变性。A002331号,A002313号,A002144号.
关键词
非n
作者
状态
经核准的
A002331号 素数为p的p=x^2+y^2,x<=y的解中x的值=A002313号(n) ●●●●。
(原名M0096 N0033)
+10
23
1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 2, 5, 3, 5, 4, 1, 3, 7, 4, 7, 6, 2, 9, 7, 1, 2, 8, 4, 1, 10, 9, 5, 2, 12, 11, 9, 5, 8, 7, 10, 6, 1, 3, 14, 12, 7, 4, 10, 5, 11, 10, 14, 13, 1, 8, 5, 17, 16, 4, 13, 6, 12, 1, 5, 15, 2, 9, 19, 12, 17, 11, 5, 14, 10, 18, 4, 6, 16, 20, 19, 10, 13, 4, 6, 15, 22, 11, 3, 5 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
1,3
参考文献
A.J.C.坎宁安,《二次分区》。霍奇森,伦敦,1904年,第1页。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
链接
查尔斯·格里塔斯四世,n=1..10000时的n,a(n)表(T.D.Noe的前1000个术语)
A.T.Benjamin和D.Zeilberger,勾股素数和回文连分式整数5(1)(2005)#A30
约翰·布里尔哈特,关于将素数表示为两个平方和的注记,数学。公司。26(1972),第1011-1013页。
A.J.C.坎宁安,二次分区,霍奇森,伦敦,1904年。[选定页面的注释扫描]
K.Matthews,Serret算法服务器.
J.Todd,关于反正切关系的一个问题阿默尔。数学。《月刊》,56(1949),517-528。
埃里克·魏斯坦的数学世界,费马4n+1定理.
配方奶粉
a(n)=A096029号(n)-A096030型(n) 对于n>1-Lekraj Beedassy公司2004年7月16日
a(n+1)=最小值(A002972号(n) ,第2页*A002973号(n) )-莱因哈德·祖姆凯勒2010年2月16日
a(n)=A363051型(A002313号(n) )-R.J.马塔尔2024年1月31日
例子
下表显示了这种关系
在几个密切相关的序列之间:
这里p=A002144号=素数==1(mod 4),p=a^2+b^2,其中a<b;
一个=A002331号,b个=A002330号,t1=ab/2=A070151号;
p^2=c^2+d^2,其中c<d;c(c)=A002366号,天=A002365美元,
t2=2ab=A145046型,t3=b^2-a^2=A070079号,
其中{c,d}={t2,t3},t4=cd/2=ab(b^2-a^2)。
---------------------------------
.p.年.月.日.月.月.年.日.日
---------------------------------
.5..1..2...1...3...4...4...3....6
13..2..3...3...5..12..12...5...30
17..1..4...2...8..15...8..15...60
29..2..5...5..20..21..20..21..210
37..1..6...3..12..35..12..35..210
41..4..5..10...9..40..40...9..180
53..2..7...7..28..45..28..45..630
.................................
MAPLE公司
请参见A002330号用于Maple程序。
#备选方案
A002331号:=进程(n)
A363051型(A002313号(n) );
结束过程:
序列号(A002331号(n) ,n=1..100)#R.J.马塔尔2024年2月1日
数学
pmax=1000;x[p_]:=模块[{x,y},x/.ToRules[Reduce[0<=x<=y&x^2+y^2==p,{x,y},Integers]]];对于[n=1;p=2,p<pmax,p=NextPrime[p],如果[Mod[p,4]==1||Mod[p,4]==2,a[n]=x[p];打印[“a(”,n,“)=”,a[n]];n++]];数组[a,n-1](*Jean-François Alcover公司2016年2月26日*)
黄体脂酮素
(PARI)f(p)=我的(s=升程(sqrt(Mod(-1,p))),x=p,t);如果(s>p/2,s=p-s);而(s^2>p,t=s;s=x%s;x=t);
对于素数(p=2,1e3,如果(p%4-3,打印1(平方(p-f(p)^2)“,”))
(PARI)do(p)=qfbsolve(Qfb(1,0,1),p)[2]
对于素数(p=2,1e3,if(p%4-3,打印1(do(p)“,”))\\查尔斯·格里特豪斯四世2013年9月26日
交叉参考
囊性纤维变性。A002330号,A002313号,A002144号,A027862号(位置y=x+1)。
关键词
非n
作者
状态
经核准的
A002972号 a(n)是{x,y}的奇数成员,其中x^2+y^2是形式4i+1的第n个素数。
(原M2221)
+10
16
1, 3, 1, 5, 1, 5, 7, 5, 3, 5, 9, 1, 3, 7, 11, 7, 11, 13, 9, 7, 1, 15, 13, 15, 1, 13, 9, 5, 17, 13, 11, 9, 5, 17, 7, 17, 19, 1, 3, 15, 17, 7, 21, 19, 5, 11, 21, 19, 13, 1, 23, 5, 17, 19, 25, 13, 25, 23, 1, 5, 15, 27, 9, 19, 25, 17, 11, 5, 25, 27, 23, 29, 29, 25, 23, 19, 29, 13, 31, 31 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
1,2
评论
a(n)^2+4*A002973号(n) ^2个=A002144号(n) ;A002331号(n+1)=最小值(a(n),2*A002973号(n) )和A002330号(n+1)=最大值(a(n),2*A002973号(n) )-莱因哈德·祖姆凯勒2010年2月16日
这个序列中的项似乎是中的项的绝对值A046730型. -杰里·迈尔森2010年12月2日
(a(n)-1)/2=A208295型(n) ,n>=1-沃尔夫迪特·朗2012年3月3日
一个(A267858型(k) )==1(模块4),k>=1-沃尔夫迪特·朗2016年2月18日
“4i+1形式的第n个素数”是A005098号(n) -雷纳尔·罗森塔尔2022年8月24日
参考文献
E.Kogbetliantz和A.Krikorian,《第一复数素数手册》,Gordon和Breach,纽约,1971年,第243页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
链接
Rainer Rosenthal,n=1..10000时的n,a(n)表(T.D.Noe的前1000个术语)
S.R.Finch,欧拉q级数的威力,arXiv:math/0701251[math.NT],2007年。
E.Kogbetliantz和A.Krikorian,第一复数素数手册,Gordon和Breach,纽约,1971年。[几页带注释的扫描]
斯坦·瓦贡,编辑角:欧几里德算法再次受到冲击《美国数学月刊》,第97卷,第2期,1990年,第125-29页。【PARI程序中实现的高效分解算法描述】
配方奶粉
a(n)=最小值(A173330型(n) ,A002144号(n)-A173330型(n) )-莱因哈德·祖姆凯勒2010年2月16日
例子
形式4i+1的第二素数是13=2^2+3^2,所以a(2)=3。
数学
pmax=1000;奇数[p_]:=模块[{k,m},2m+1/.ToRules[Reduce[k>0&m>=0&&(2k)^2+(2m+1)^2==p,{k,m},Integers]]];对于[n=1;p=5,p<pmax,p=NextPrime[p],如果[Mod[p,4]==1,a[n]=奇数[p];打印[“a(”,n,“)=”,a[n]];n++]];数组[a,n-1](*Jean-François Alcover公司2016年2月26日*)
黄体脂酮素
(PARI)decompos2sq(p)={my(m=(p-1)/4,r,x,limit=ceil(sqrt(p));如果(p>4&&分母(m)==1,对于素数(c=2,oo,if(!issquare(Mod(c,p)),r=c;break));x=升力(Mod 0,0),[0,0)};
forprime(p=51000,如果(p%4==1,打印1(选择(x->x%2,解压缩2sq(p))[1],“,”))\\雨果·普福尔特纳2022年8月27日
交叉参考
关键词
非n
作者
扩展
更好的描述来自贾德·麦克拉尼2003年3月5日
状态
经核准的
A173331号 积分解的两个中间序列中的第二个A002144号(n) =x^2+y^2。 +10
5
2、2、13、2、31、4、2、55、8、81、4、91、99、105、133、10、6、2、10、181、183、227、8、237、16、10、14、265、2、301、303、16、18、8、355、379、6、381、389、14、421、429、453、451、487、20、531、543、20、24、585、24、18、16、637、631、655、12、651、675、22、731、26、741、757 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
1,1
评论
a(n)=A173330型(n)*A010050型(A005098号(n) )模块A002144号(n) ;
A002973号(n) =MIN(a(n),A002144号(n) -a(n))/2。
参考文献
H.Davenport,《高等算术》(剑桥大学出版社第7版,1999年),第V.3章,第122页。
链接
配方奶粉
a(n)=(2k)!/2(k!))^2 mod p,其中p=4*k+1=A002144号(n) ●●●●。
例子
n=7:A002144号(7) = 53 = 4*13 + 1,
a(7)=A173330型(7) * 26! 型号53=7*403291461126605635584000000型号53=2,
A002973号(7) =最小值(253-2)/2=1;
n=8:A002144号(8) = 61 = 4*15 + 1,
a(8)=A173330型(8) * 30! 修改61=5*265228598121910586363084800000修改61=55,
A002973号(8) =最小值(55,61-55)/2=3。
交叉参考
囊性纤维变性。A123072号,A000142号.
关键词
非n
作者
状态
经核准的
A267859型 模4等于1的素数p的椭圆曲线y^2=x^3+x的p-亏p-N(p)(A002144号). +10
4
2, -6, 2, 10, 2, 10, -14, 10, -6, 10, 18, 2, -6, -14, -22, -14, -22, 26, 18, -14, 2, -30, 26, -30, 2, 26, 18, 10, 34, 26, -22, 18, 10, 34, -14, 34, -38, 2, -6, -30, 34, -14, 42, -38, 10, -22, 42, -38, 26, 2, -46, 10, 34, -38, 50, 26, 50, -46, 2, 10, -30, -54, 18, -38, 50, 34, -22, 10, 50, -54 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
1,1
评论
请参见A002172号对于不同签名的序列。
给出了椭圆曲线y^2=x^3+x(判别式-4的)模素数p的解的个数N(p)A095978号.
素数2和与3模4全等的素数的p-缺陷a_p=p-N(p)消失。
A002144号(n) -(a(n)/2)^2=(2*A002973号(n) )^2,n>=1。参见公式A095978号对于素数1(mod 4)。
这个序列还给出了椭圆曲线y^2=x^3-4*x的非零p-缺陷A138515号其中Martin和Ono链接用于这两条椭圆曲线的模块化级数-沃尔夫迪特·朗2016年5月26日
参考文献
J.H.Silverman,《数字理论的友好介绍》,第三版,培生教育公司,2006年,第398页。2014年第4版,第371页。
链接
配方奶粉
a(n)=A002144号(n)-A095978号(m) 带有A002144号(n)=A000040型(m) ,n>=1。
a(n)=A138515号((A002144号(n) -1)/4),n>=1-沃尔夫迪特·朗2016年5月26日
例子
n=2:p=A002144号(2) = 13 =A000040型(6) ,m=6,a(2)=13-A095978号(6) = 13 - 19 = -6.
n=2:-6=A138515号((A002144号(2) - 1)/4) =
A138515号(3) = -6. -沃尔夫迪特·朗2016年5月26日
数学
术语=100;A002144号=选择[Range[5,20*terms,4],PrimeQ];A095978号[n_]:=模[{p,xy,x},p=素数[n];如果[n==1||Mod[p,4]==3,则返回[p]];xy={Re[#],Im[#]}&@FactorInteger[p,GaussianIntegers->True][[2,1]];x=SelectFirst[xy,OddQ];如果[Mod[x,4]==1,p-2*x,p+2*x]];a[n]:=(p=A002144号[[n]];m=PrimePi【p】;第页-A095978号[m] );数组[a,terms](*Jean-François Alcover公司,2016年2月26日,之后罗伯特·伊斯雷尔(A095978号) *)
交叉参考
关键词
签名
作者
沃尔夫迪特·朗2016年2月6日
状态
经核准的
第页12

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